Розрахунок на міцність та довговічність композитних пластинчастих елементів конструкцій складної форми з тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 539.3

РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ТА ДОВГОВІЧНІСТЬ КОМПОЗИТНИХ ПЛАСТИНЧАСТИХ ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ СКЛАДНОЇ ФОРМИ З ТРІЩИНАМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

МАКСИМОВИЧ Олеся Володимирівна

Луцьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Луцькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України, м. Луцьк.

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор Божидарнік Віктор Володимирович, Луцький національний технічний університет, ректор університету.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, член?кореспондент НАН України, професор Андрейків Олександр Євгенович, професор кафедри механіки, Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України, м. Львів;

доктор технічних наук, професор Оробей Віктор Федорович, професор кафедри автомобільного транспорту, Одеський національний політехнічний університет МОН України, м. Одеса;

доктор технічних наук, професор Сяський Андрій Олексійович, завідувач кафедри інформатики та прикладної математики, Рівненський державний гуманітарний університет МОН України, м. Рівне.

Захист відбудеться " 7 " липня 2010 року о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 32.075.01 у Луцькому національному технічному університеті МОН України за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Луцького національного технічного університету МОН України за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Автореферат розіслано " 5 " червня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наукБондарський О.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Високі міцнісні властивості, низька питома вага, стійкість відносно дії агресивних середовищ, простота ремонту зумовили широке застосування композитних матеріалів у машинобудуванні, автомобілебудуванні, суднобудуванні, авіаційній техніці, хімічній промисловості. Реальні композитні елементи конструкцій мають достатньо складну форму, послаблені отворами, містять пружні чи близькі до жорстких включення, є анізотропними за механічними та міцнісними властивостями. Відомо також, що композитні матеріали часто мають тріщиноподібні дефекти, які виникають в процесі їх виготовлення чи експлуатації. Оцінка міцності і довговічності композитних елементів конструкцій ґрунтується на аналізі їх напружено-деформованого стану (НДС) за повного врахування анізотропії механічних і міцнісних характеристик. При цьому необхідно детально досліджувати високолокалізовану концентрацію напружень біля тріщин, включень, кутових вирізів, поблизу яких розпочинається руйнування.

Значний вклад у розробку методів визначення НДС анізотропних тонкостінних елементів конструкцій з отворами, включеннями і тріщинами внесли А.Я. Александров, С.О. Амбарцумян, Е.О. Андрейків, В.В. Божидарнік, Л.Т. Бережницький, Г.А. Ванін, А.Т. Василенко, І.П. Волчок, Я.М. Григоренко, Д.В. Гриліцький, В.Т. Грінченко, В.С. Гудрамович, О.М. Гузь, М.В. Делявський, С.О. Калоєров, О.С. Космодаміанський, Г.С. Кіт, Р.М. Кушнір, С.Г. Лехніцький, Т.Л. Мартинович, М.Ф. Морозов, М.І. Мусхелішвілі, В.Г. Піскунов, І.О. Прусов, В.Н. Максименко, В.В. Лобода, З.Т. Назарчук, М.М. Николишин, В.А. Осадчук, В.В. Панасюк, Я.С. Підстригач, Г.Я. Попов, Б.Л. Пелех, О.О. Рассказов, Г.М. Савін, В.Р. Скальський, М.М. Стадник, Г.Т. Сулим, А.О. Сяський, А.Ф. Улітко, Л.А. Фільштинський, Г.П. Черепанов, В.П. Шевченко, Л.П. Хорошун, І.А. Цурпал, В.А. Шалдирван, В.І. Шваб'юк, М.О. Шульга, С.Я. Ярема, К. Аткінсон, Ф. Ердоган, Дж.Р. Ірвін, Г.Сі, О.Тамате, R.M. Jones і інші.

При розміщенні тріщин у зонах стиску необхідно враховувати контакт їх берегів. Такі задачі, які є нелінійними, досліджувались в основному стосовно до ізотропних пластинок в роботах Д.В. Гриліцького, О.М. Гузя, С. ст І. Моссаковського, В.В. Панасюка, О.П. Дацишин, Г.С. Кіта, М.П. Саврука та ін. У значно меншій мірі ці задачі вивчались для анізотропних пластинок. Тут зокрема можна назвати роботи П.А. Загубіженко, Л.А. Фільштинського, Е.А. Стрельнікової.

Відомо, що руйнування композитних пластинок біля отворів часто розпочинається поза зонами максимальної концентрації напружень, що пов'язано з міцнісною анізотропією матеріалів. Одночасно з розробкою прямих методів розрахунку НДС значний практичний інтерес становить проблема вибору оптимальної з точки зору міцності форми пластинок. Такі задачі розглянуті в основному стосовно до ізотропних матеріалів у роботах Н.В. Банічука, О.С. Космодаміанського, М.П. Саврука, Г.Л. Тетерса, В.А. Троіцького, Г.П. Черепанова, Z. Zhao.

Методи прогнозування міцності і довговічності пластин з тріщинами за статичних та циклічних навантажень розроблені в роботах О.Є. Андрейківа, О.П. Дацишин, В.І. Кир'яна, А.Я. Красовського, Л.М. Лобанова, А.Л. Майстренка, М.В. Новикова, І.В. Ориняка, М.П. Саврука, Г.Т. Сулима, В.В. Панасюка, С.Я. Яреми, Г.П. Черепанова, П. Періса і ін.

Задачі згину анізотропних пластинок з отворами, включеннями або тріщинами досліджувались у роботах С.О. Амбарцумяна, В.В. Божидарніка, Л.Т. Бережницького, М.В. Делявського, С.О. Калоєрова, О.С. Космодаміанського, С.Г.Лехніцького, В.Н.Максименка, Т.Л.Мартиновича і ін. Для ізотропних пластинок встановлено аналогію між задачею згину пластин та плоскою задачею теорії пружності, що дозволило розробити спільні методики їх розв'язування. Тому актуальною є задача розробки аналогічних підходів для дослідження задачі згину анізотропних пластинок. Руйнування тіл, як правило, починаються із їх границі. В той же час проблема дослідження НДС анізотропних пластинок з крайовими тріщинами залишається маловивченою, особливо за врахування контакту їх берегів. Значний практичний інтерес становить узагальнення відомих методик дослідження НДС для ізотропних матеріалів з криволінійними та негладкими межами отворів і включень на випадок анізотропних пластинок, що дасть можливість аргументовано оцінювати міцність конструкцій складної форми за врахування кутових вирізів. Важливою для практики є проблема розвинення методик розрахунку НДС стосовно вивчення процесу росту системи втомних тріщин до критичних розмірів у неоднорідних пластинках складної форми. Актуальним є питання спрощення достатньо громіздких співвідношень апарату інтегральних рівнянь, який використовується для анізотропних пластинок. Таким чином, методи дослідження НДС анізотропних пластин за комплексного врахування їх форми, пружних і жорстких включень, криволінійних тріщин, кутових вирізів розвинені значно менше, ніж для ізотропних матеріалів, що відповідно звужує можливості використання підходів механіки руйнування в розрахунках на міцність та довговічність композитних пластинчастих елементів конструкцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано здобувачем як виконавцем та відповідальним виконавцем відповідно до комплексних тем досліджень у галузі механіки деформівного твердого тіла: “Теоретичні основи неруйнівного теоретико-експериментального методу визначення залишкових напружень за допомогою локалізованих термосилових дій та голографічної інтерференції” (№ держреєстрації 0104U008624, 2004-2006 рр.); "Розробка методів розрахунку криволінійних траєкторій поширення втомних тріщин в елементах конструкцій та способів уповільнення їх руху" (номер державної реєстрації 0107U000230, 2007-2010), що виконувалися в Луцькому національному технічному університеті за планом досліджень Міністерства освіти та науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів розрахунку на міцність і довговічність тонкостінних неперервно армованих композитних елементів конструкцій складної форми з технологічними концентраторами напружень, включеннями та внутрішніми і крайовими тріщинами за врахування контакту їх берегів, що перебувають в умовах статичних та циклічних навантажень.

Для досягнення вказаної мети необхідно вирішити такі проблеми, які є суттєвими для розвитку механіки деформівних анізотропних тіл і закладають основу для широкого застосування комп'ютерних методів у розрахунках на міцність, довговічність та при проектуванні композитних елементів конструкцій:

побудувати метод розрахунку на міцність тонкостінних композитних елементів конструкцій з технологічними концентраторами напружень (отвори, включення) і тріщинами, який включає енергетичний і силовий критерії руйнування, механічні теорії міцності, повну інформацію щодо напружень;

розвинути метод граничних інтегральних рівнянь на випадок визначення концентрації напружень у анізотропних пластинках біля отворів, пружних і жорстких включень та тріщин за врахування контакту їх берегів і адаптувати розроблені числові алгоритми знаходження напружень до запропонованих методик розрахунку на міцність композитних елементів конструкцій;

розробити методику побудови інженерних формул для розрахунку локалізованої концентрації напружень у анізотропних пластинках з отворами і жорсткими включеннями за врахування довільного закруглення кутів на їх межах;

адаптувати розроблені методики визначення напружень на випадок згину багатозв'язних анізотропних пластинок;

узагальнити відомий метод розрахунку довговічності ізотропних пластинок, що базується на дослідженні кінетики росту втомних тріщин (в тому числі, за врахування контакту їх берегів) на випадок композитних пластинок;

розроблені і узагальнені методи використати для розрахунку на міцність композитних пластинок із отворами складної форми і тріщинами та оптимізації їх конфігурації для підвищення міцності.

Об'єкт дослідження - композитні елементи конструкцій складної форми з пружними і жорсткими включеннями, отворами та криволінійними тріщинами.

Предмет дослідження - методи оцінки міцності і довговічності композитних пластинчастих елементів конструкцій з технологічними концентраторами напружень (отвори, включення) і тріщинами за статичних і циклічних навантажень.

Методи дослідження - теоретичні дослідження проводились з використанням сучасних методів механіки деформівного твердого тіла та механіки руйнування; методу граничних інтегральних рівнянь та квадратурного методу їх розв'язування; асимптотичного методу дослідження напружень біля кутових вирізів; покрокового методу дослідження росту втомних тріщин; методів теорії функцій комплексної змінної; методів квадратичного та нелінійного програмування. Це дозволило разом з використанням сучасної комп'ютерної техніки забезпечити високу точність і достовірність результатів досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі нові наукові результати:

1. Розроблено метод розрахунку на міцність тонкостінних композитних елементів конструкцій з технологічними концентраторами напружень (отвори, включення) і тріщинами, що базується на механічних теоріях міцності та енергетичному критерії руйнування, який є узагальненням відомого аналогічного критерію для ізотропних матеріалів і побудований шляхом введення енергетичної міри пошкодження.

2. Розвинено метод граничних інтегральних рівнянь на випадок визначення НДС анізотропних пластинок з отворами, пружними і жорсткими включеннями та тріщинами. Інтегральні рівняння побудовано в простому вигляді, причому для тріщин вони записані відносно стрибків переміщень. Розроблено числові алгоритми розв'язування отриманих рівнянь за допомогою методу механічних квадратур, проілюстровано їх універсальність. Ці алгоритми адаптовано до методик розрахунку на міцність композитних елементів конструкцій.

3. Створено загальну методологію дослідження НДС анізотропних пластинок з контактуючими берегами внутрішніх та крайових тріщин, в якій визначення меж ділянок контакту і розподілу напружень в них зведено до задачі квадратичного програмування. Стосовно до крайових тріщин інтегральні рівняння модифіковано так, що умови на межі отвору виконуються тотожно.

4. Розроблено загальний підхід до дослідження НДС при згині анізотропних пластинок з отворами, включеннями і тріщинами на основі встановленої аналогії із плоскими задачами теорії пружності. За встановленою аналогією розроблено також методику дослідження термопружного стану анізотропних пластинок із тепловіддачею.

5. Встановлено ефективність розроблених алгоритмів (за додаткового застосування асимптотичних методів) для побудови інженерних, практично точних формул для визначення високої концентрації напружень біля зближених отворів та отворів і жорстких включень з довільно закругленими кутами.

6. Побудовано загальні співвідношення для визначення залишкової міцності за відомих значень КІН на основі енергетичного та силового критеріїв руйнування. Проведено розрахунки граничних навантажень для пластинок з прямолінійними і ламаними тріщинами, які розміщені у пружних включеннях або біля отворів (в тому числі крайових). Виконані розрахунки на міцність композитних пластинок із отворами складної форми, пружними включеннями.

7. Узагальнено відомий метод для дослідження втоми ізотропних матеріалів на випадок розрахунку довговічності пластинчастих композитних елементів конструкцій шляхом дослідження кінетики росту системи втомних криволінійних тріщин за врахування контакту їх берегів.

8. Запропоновано методику оптимізації (з точки зору підвищення міцності) форм отворів у композитних пластинках, застосування якої проілюстровано на задачах для пластинок з високою мірою міцнісної анізотропії.

Достовірність отриманих результатів забезпечується: коректним застосуванням апарату інтегральних рівнянь, що використовується при визначенні НДС у пластинках з отворами, включеннями, тріщинами; застосуванням для розв'язування інтегральних рівнянь апробованого у літературі квадратурного методу; використанням відомих у механіці руйнування критеріїв щодо підростання втомних тріщин; коректним застосуванням відомих алгоритмів розв'язування задач нелінійного та квадратичного програмування; узгодженням отриманих розв'язків для широкого кола задач із відомими в літературі результатами, здобутими іншими методами.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені методи дослідження НДС анізотропних пластин за повного врахування їх форми, пружних і жорстких включень, криволінійних тріщин, кутів дають можливість використати підходи механіки руйнування в розрахунках на міцність та довговічність композитних пластинчастих елементів конструкцій. Алгоритм розрахунку траєкторій та швидкості росту втомних тріщин дає можливість прогнозувати довговічність однорідних та композитних пластинчастих елементів конструкцій складної форми, в тому числі за стиску. Методики визначення форми отворів з низькою концентрацією напружень за повного врахування механічної та міцнісної анізотропії матеріалу можуть бути використані на стадії проектування композитних елементів конструкцій. Проведений в роботі аналіз дозволяє оцінити вплив анізотропії на КІН у пластинках різної форми.

Окремі результати дисертації впроваджено в інженерну практику ВАТ "Авіамотор", на ОДП "Автоскладальний завод №1" АТ "АК" "Богдан Моторс", Українсько-німецькому спільному підприємстві "Інтернешнл каттер манюфекчерер ГмбХ(ІСМ)", Укрзалізниці, а також у навчальний процес Луцького національного технічного університету.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися і обговорювалися на VІІ Міжнародній науковій конференції " Математичні проблеми механіки неоднорідних структур", (Львів, 2006); 6-ому Міжнародному науково-технічному семінарі "Современные проблемы подготовки производства, обработки и сборки в машиностроении и приборостроении" (Київ, Свалява, 2006); Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми технічної механіки-2006" (Дніпродзержинськ, Дніпропетровськ, 2006); ХІІІ та ХV Міжнародних науково-технічних конференціях "Машиностроение и техносфера ХХІ века" (Донецьк, Севастополь, 2006, 2008); 8-ому Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (МСУІМЛ-8) "Проблеми енергоощадності при проектуванні, виготовленні та експлуатації машинобудівних конструкцій" (Львів,2007); VIII міжнародній конференції "Прогресивна техніка і технологія-2007" (Київ-Севастополь, 2007); 7-ому Українсько-польському симпозіумі "Актуальні задачі механіки неоднорідних структур" (Львів, 2007); Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В.І. Моссаковського "Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій" (Дніпропетровськ, 2007); II Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (Львів, 2008); VI Міжнародній науково-технічній конференції з питань "Техніка і технологія зборки машин" (Польща, Жешув-Кальніца, 2008); V Міжнародній науковій конференції "Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла" (Донецьк, 2008); IV Міжнародній конференції "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій" (Львів, 2009); ІІ Міжнародній науково-практичній конференції "Теоретичні і експериментальні дослідження в технологіях сучасного матеріалознавства та машинобудування" (Луцьк -Світязь, 2009); Міжнародній науково-технічній конференції "Актуальні проблеми прикладної механіки і міцності конструкцій" (Дніпропетровськ, 2009); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки" (Львів, 2009) .

У повному обсязі дисертація доповідалась на розширеному науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького національного технічного університету під керівництвом д.т.н., проф. В.І. Швабюка; науковій сесії наукової ради з проблеми "Механіка деформівного твердого тіла" по питанню "Проблеми міцності та довговічності машин і механізмів агропромислового комплексу" (Полтава, 2008); науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету імені Ів. Франка МОН України, під керівництвом д.т.н., проф. Г.Т. Сулима та чл.-кор. НАН України, д.т.н., проф. О.Є. Андрейківа; науковому семінарі відділу термомеханіки інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України, під керівництвом чл.-кор. НАН України, д.ф.-м.н., проф. Р.М. Кушніра та д.т.н., проф. В.С. Поповича; на науковому семінарі при Придніпровському науковому центрі МОН і НАН України та науковій раді з проблеми "Механіка деформівного твердого тіла" при відділенні механіки НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України, д.т.н., проф. В.С. Гудрамовича та д.т.н. проф. А.П. Дзюби; об'єднаному науковому семінарі кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету і кафедри прикладної математики Українського державного університету водного господарства та природокористування під керівництвом д.т.н., проф. А.О. Сяського; науковому семінарі відділу міцності зварних конструкцій Інституту електрозварювання ім. Є.О. Патона під керівництвом чл.-кор. НАН України, д.т.н. В.І. Кир'яна.

Публікації. Матеріали дисертації загалом викладено в 41 науковій роботі, з яких в авторефераті є список: з однієї монографії, 6 публікацій у наукових журналах, 23 - у фахових збірниках та 10 праць у збірниках матеріалів і тез конференцій.

Особистий внесок здобувача. Визначальна частина ідей, теоретичних та практичних розробок дисертації належать здобувачу особисто.

У спільних публікаціях [1, 5, 6, 8,9, 11?14, 16, 18, 19, 23,24,31,33, 34, 37-39] здобувачем вибрано підхід до розв'язування поставлених задач на основі методу інтегральних рівнянь, розроблено числовий метод їх розв'язування, вибрано класи задач для досліджень та проведено для них числові розрахунки. У працях[15,35,36,41] здобувачем сформульовано критерій для пошуку отворів оптимальної форми, на основі якого записано відповідні задачі на умовний екстремум або задачі нелінійного програмування; проведено розв'язування вибраних класів задач. У спільних публікаціях [7,10,17,30, 32,40] дисертант брала участь у побудові інтегральних рівнянь, виборі числового методу їх розв'язування. У роботах [6,29] вибрано метод розв'язування, в якому задача теплопровідності для анізотропного тіла зведена до відповідної задачі для ізотропного середовища, а в [20] автором записано співвідношення для визначення напружень біля пружного включення у пластинці. У всіх спільних публікаціях здобувач брала участь у постановці задач, в аналізі отриманих числових результатів розрахунків та формулюванні висновків.

Дисертантка щиро вдячна науковому консультанту д. т. н., проф. В.В. Божидарніку за постійну увагу до роботи та підтримку при її виконанні.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається з вступу, семи розділів, висновків та додатків. Основний обсяг становить 309 сторінок, у тому числі 207 рисунків, 68 таблиць та список використаних джерел із 441 найменувань на 46 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету роботи та шляхи її вирішення, коротко викладено суть одержаних результатів, відзначено їх новизну, наукове та практичне значення.

У першому розділі подано огляд праць за темою дисертації та наведено стислий аналіз сучасного стану проблеми, на основі якого обґрунтовано актуальність проведення досліджень у вибраному напрямку. Наведено також основні рівняння плоскої задачі теорії пружності і згину пластинок.

У другому розділі розроблено метод розрахунку на залишкову міцність тонкостінних неперервно армованих елементів конструкцій з тріщинами. В основу методу покладено енергетичний критерій гранично-рівноважного стану композитних пластинок з тріщинами та методику визначення напружень біля системи криволінійних тріщин, що враховує контакт їх берегів. При цьому композит розглядається як однорідний анізотропний матеріал із усередненими механічними та міцнісними властивостями. Шляхом узагальнення відомого енергетичного критерію для ізотропних матеріалів і введення енергетичної міри пошкодженості (аналогічно силовій мірі пошкодженості В.В. Божидарніка, О.Є. Андрейківа, Г.Т. Сулима) стосовно до композитних пластинок отримано наступні співвідношення для визначення критичного значення зовнішнього навантаження і кута початкового поширення тріщини (рис.1). (1)

Для матеріалу з малою мірою механічної анізотропії ці співвідношення спрощуються, оскільки тоді . Умова (1) при наближено збігається також із - критерієм, в якому враховується анізотропія в'язкості руйнування.

Ця умова дозволяє визначити гранично-рівноважний стан анізотропної пластини з тріщиною при відомих КІН. Розглянуто випадок, коли КІН пропорційні параметру навантаження. Позначимо через … значення аргументу, при якому досягається максимальне значення функції

Тоді тріщина підростатиме під кутом … та граничне значення параметру навантаження буде ….

Розглянуто пластинку з матеріалу ЕФ 32-301 з прямолінійною тріщиною довжиною l, нахиленою під кутом до напрямку з максимальною жорсткістю матеріалу (осі Ох) за розтягу зусиллями р під кутом відносно тріщини (рис. 1). На рис. 2 зображено залежність безрозмірного граничного значення навантаження від напрямку дії зусиль при тріщинах, нахилених під кутом (значення кута наведено біля кривих). Тут використано енергетичний критерій руйнування при , причому для даного матеріалу відношення модулів пружності дорівнює 1,56 та  МПа, МПа.

Проведені розрахунки показали, що знайдені для даного випадку граничні навантаження за повного врахування вигляду функцій практично збігаються із наведеними на рис. 2. Встановлено, що розраховані значення граничних навантажень на основі енергетичного критерію є меншими (або рівними) за відповідні величини, знайдені за силовим критерієм руйнування. Тобто, знайдені за силовим критерієм граничні навантаження можуть бути завищеними.

При відомих значеннях КІН оцінка міцності може бути проведена на основі перевірки умови , де . На рис. 3 зображено розраховані за енергетичним критерієм руйнування граничні значення відносних КІН залежно від відношення для пластинки з матеріалу із малою мірою анізотропії ЕФ 32-301 при різних кутах нахилу тріщини до осі Ох, вказаних біля кривих. Аналогічні результати отримані для склопластика ЕТФ із середньою мірою анізотропії. Таким чином, запропонований підхід дає можливість оцінювати залишкову міцність за відомого розподілу напружень біля тріщин.

Визначення НДС анізотропних пластинок з тріщинами в роботі проводилось на основі комплексних потенціалів Лехніцького. Вектор напружень на дотичній до довільної кривої площинці, нормаль до якої напрямлена вправо відносно вибраного напрямку обходу, через ці потенціали визначається за формулою (2)

Між комплексними потенціалами на цій кривій та переміщеннями і введеним вектором напружень має місце взаємозв'язок (3)

У роботі будуть розглядатись анiзотропні пластинки, які послаблені отворами та розрізами (на яких розміщені тріщини або тонкостінні включення). Прийнято, що на берегах розрізів, які розміщені вздовж розімкнених кривих, задано зусилля (у випадку тріщин) або переміщення (наприклад, при розгляді жорстких тонкостінних включень). Аналогічно прийнято, що межами отворів є криві, на яких задано зусилля або переміщення. Використовуючи теорему Коші та формули (3), отримано загальні інтегральні зображення для потенціалів Лехніцького (4)

При розгляді крайових задач теорії пружності на отворах дві з чотирьох величин будуть відомими, а дві - невідомими. Аналогічно, на розрізах відомими та невідомими будуть по дві з чотирьох величин . Для визначення введених невідомих функцій далі будуть записані відповідні інтегральні рівняння.

На практиці часто тріщини є малими порівняно з розмірами композитного тонкостінного елемента конструкцій та знаходяться на досить великих відстанях від його межі. Стосовно до такого випадку розглянуто нескінченну анiзотропну пластинку, яка послаблена системою тріщин, розміщених вздовж кривих. Прийнято, що пластинка перебуває під дією зосереджених сил, двостороннього розтягу на нескінченності та прикладених до тріщин зусиль, які далі приймаються однаковими на її протилежних берегах. Використовуючи зображення (4), отримано подання (6)

Підставивши подання (6) у формули для визначення вектора напружень (2) на тріщині і використавши при граничному переході формули Сохоцького, значення для величин , отримано систему інтегральних комплексних рівнянь (7)

Для розв'язування інтегральних рівнянь використано метод механічних квадратур (ММК). Невідомі функції у цих рівняннях для випадку однієї тріщини, описаної рівняннями, зображено у вигляді (8)

Заміною в рівняннях (7) і умові однозначності переміщень сингулярних та регулярних інтегралів квадратурними формулами Лобатто отримано систему N алгебричних рівнянь (9)

Значення КІН визначаються через знайдені величини і . Вказано заміни, за яких рівняння (9) будуть справедливими для системи тріщин.

Дослідження НДС анізотропних пластинок, які послаблені криволінійними тріщинами, що розміщені періодично або симетрично, проведено з урахування геометричної і силової симетрії і зведено до інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків переміщень на одній тріщині.

Виконано дослідження НДС пластинок, послаблених системами тріщин різної форми, на основі яких встановлено випадки малого або істотного впливу анізотропії на значення КІН. Розрахунки для ізотропних пластинок проведено на основі розробленого алгоритму шляхом введення гіпотетичного ортотропного матеріалу, який дозволив отримати стійкі і практично точні результати.

Розглянуто маловивчені для анізотропних пластинок задачі з ламаними тріщинами. Контур тріщини описувався кубічним сплайном, який є неперервним разом з двома першими похідними та має кути нахилу дотичних на кінцях такі ж, як і в ламаної. Результати розрахунків відносних КІН для дволанкової тріщини (рис. 4) за розтягу пластинки зусиллями р в напрямку осі Оу при куті нахилу лівої ланки наведено в таблиці 1. Тут розглянуто анізотропний матеріал CF1 з відношенням модулів пружності 46,4.

У дужках наведено значення відносних КІН для ізотропної пластинки, що отримані в літературі іншим методом, які вказують на можливість застосування сплайнів для опису форми тріщин складної конфігурації. Тут і далі індекс біля матеріалу вказує на кут між напрямком із більшою жорсткістю матеріалу та віссю Оу (нульовий кут опускається). При малих кутах нахилу лівої ланки анізотропія мало впливає на значення КІН . Виконано розрахунки КІН для кінцевої кількості паралельних тріщин за поперечного розтягу пластинки. Для тріщин однакової довжини КІН найбільші для крайніх тріщин, де і буде починатись руйнування. КІН для локально збільшеної центральної тріщини зростає, а для сусідніх - істотно зменшується. Тобто, одна із тріщин в процесі підростання збільшує швидкість і стає магістральною.

Далі у розділі розглянуто задачу дослідження напружень біля тріщин із контактуючими берегами. Для цього систему рівнянь (9) спочатку модифікували так, щоб невідомими в ній були стрибки переміщень. Введено проекції вектора переміщень на дотичну і нормаль до тріщини. Стрибки цих переміщень при параметричному заданні тріщини зображено у вигляді … Тоді для основних функцій у зображеннях (8), через які записано похідні від переміщень, отримано … Використовуючи для функції при відомий інтерполяційний поліном з вузловими точками , які збігаються із коренями полінома Чебишева та точок -1 і 1, отримано (10). Підставляючи зображення (10) у рівняння (9), отримано систему рівнянь відносно величин, через які визначаються стрибки переміщень у вигляді (11).

Розрахунки показали, що рівняння (11) і (9) є рівноцінні за точністю та збіжністю. При розгляді задач з контактуючими гладкими берегами тріщин прийнято, що зовнішнє навантаження до їх берегів не прикладене та в рівняннях (11) , а - невідомі контактні напруження.

Задача з гладким контактом берегів вздовж всієї тріщини зводиться до розв'язування системи (11), якщо в ній покласти .

Для розв'язування задачі з неповним контактом берегів тріщин із системи (11) виключено невідомі і далі записано її в матричному вигляді (12)

Рівняння (12) спочатку, за аналогією до відомого в контактних задачах теорії пружності підходу Синьоріні, записано у вигляді альтернативних систем рівнянь-нерівностей, а далі доведено, що їх розв'язок може бути знайдено із задачі квадратичного програмування: знайти мінімальне значення величини (13) за умови, що виконуються нерівності (14)

Після знаходження величин контактні напруження визначаються з рівнянь (12). Основна перевага застосованого підходу полягає в тому, що межі ділянок контакту та напруження в них знаходяться безпосередньо з задачі квадратичного програмування.

Результати розрахунків контактних напружень на берегах тріщини, що розміщена в скло-епоксидної пластинці на дузі параболи за стиску зусиллями р під кутом до осі Ох наведено на рис. 5. Вгорі на рисунку подано відносні значення КІН для лівої (А) та правої (В) вершин. Видно, що виникли дві ділянки контакту. Для ізотропного матеріалу за контакту берегів тріщини біля вершин КІН , а для анізотропних пластинок ця величина є, як правило, малою, але відмінною від нуля. Розраховані значення відносних КІН за та без врахування контакту берегів тріщини для скло-епоксидної пластинки за зсуву зусиллями р наведено в таблиці 2. Тут розглянуто випадки, коли кут між армованими елементами і віссю Оу дорівнює 00 або 900.

Із таблиці видно, що нехтування в розрахунках контактом берегів тріщин може привести до істотних похибок при визначенні величин КІН.

Досліджено КІН для пластинки, послабленої ламаною тріщиною, що складається з трьох ланок, яка моделює відомі з експериментів руйнування композитних матеріалів. Визначення КІН проведено за врахування контакту берегів тріщин.

Розраховані безрозмірні граничні значення зусиль при відношенні довжин крайніх ланок до центральної рівному 0,1 залежно від напрямку розтягу пластинки із матеріалу ЕФ 32-301 при нахилі центральної ланки до осі Ох під кутом наведено на рис. 6. Тут l - відстань між вершинами, крива 1 розрахована за силовим критерієм руйнування, а 2 - за енергетичним та прийнято, що коротші ланки паралельні напрямку з мінімальним опором руйнування.

У третьому розділі запропонований вище метод узагальнено на випадок розрахунку на міцність композитних пластинок складної форми з внутрішніми та крайовими тріщинами за врахування контакту їх берегів.

Розглядається пластинка, яка послаблена системою отворів та тріщин, що розміщені вздовж кривих. При розгляді обмежених пластинок додатково задається їх зовнішня межа - крива . Прийнято, що пластинка перебуває під дією зосереджених сил, двостороннього розтягу на нескінченності (для безмежних пластинок), прикладених до берегів тріщини і межі зусиль. Використовуючи загальний розв'язок (4) та задовольняючи граничні умови, отримана система інтегральних рівнянь у вигляді (15)

З використанням ММК інтегральні рівняння зведено до розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих у вузлових точках похідних від переміщень на межі пластинки та похідних від стрибків переміщень - на тріщинах. Встановлено лінійну залежність отриманих рівнянь та проведено їх модифікацію таким чином, щоб для їх розв'язання могли бути використані стандартні комп'ютерні процедури. Наведено приклади розрахунку КІН для розміщених біля отворів тріщин.

Стосовно до визначення НДС пластинок, що мають межі нескінченних розмірів або отвори з крайовими тріщинами розроблено ефективніший підхід, який ґрунтується на модифікованих інтегральних рівняннях, за яких умови на межі отвору задовольняються тотожно. Попередньо встановлено, що допоміжні функції в зображенні (6) належать до класу дислокаційних розв'язків, розглянутих детально М.І. Мусхелішвілі. Далі введено в розгляд потенціали, які мають такі ж полюси в точці, як і функції , за умови, що відповідний їм вектор напружень на межі дорівнює нулю. На основі цих потенціалів (які є дислокаційними для області D) записано модифіковані подання (16)

Основна перевага подання (16) полягає в тому, що умови на межі області D виконуються тотожно. Інтегральні рівняння для знаходження похідних від стрибків переміщень для випадку однієї тріщини отримано у вигляді (17)

Дислокаційні потенціали наведено для таких областей: півплощина з вільним та жорстко закріпленим краєм; пластинка з вільним від навантаження або жорстко підкріпленим еліптичним отвором і ін. Основна перевага запису інтегральних рівнянь у вигляді (17) полягає в тому, що його ядра визначаються безпосередньо через дислокаційні потенціали.

Розв'язування інтегральних рівнянь проведено ММК. Проведено дослідження впливу анізотропії на КІН для тріщин, що розміщені біля еліптичного отвору. Здійснено оцінку граничних навантажень для пластинки з еліптичним отвором, півосі якого дорівнюють a і b та прямолінійною тріщиною довжини l з центром в точці , нахиленою під кутом до осі Ох за розтягу зусиллями р під кутом до осі Ох. На рис. 7 зображено розраховані значення величини залежно від напрямку розтягу пластинки при , де -граничні значення зусиль, які отримані на основі енергетичного критерію руйнування для лівої (А) і правої (В) вершин стосовно пластинки з матеріалу ЕФ 32-301. Результати, які отримані за допомогою силового критерію практично збігаються із зображеними на цих рисунках кривими.

Розглянуто маловивчений у літературі випадок анізотропної пластинки, послабленої отвором з J крайовими тріщинами, які розміщені на кривих , що виходять із точок . При розгляді такої задачі враховано, що у точках стрибки переміщень ненульові, в зв'язку з чим похідні від них в рівняннях (17) необхідно розглядати в класі узагальнених функцій. Таким способом отримано для потенціалів інтегральне подання вигляду (18)

Показано, що при використанні подання (18) умови однозначності переміщень на отворі з крайовими тріщинами виконуються тотожно. Для чисельного розв'язування інтегральних рівнянь, отриманих на основі представлень (18), використано ММК. Викладений числовий алгоритм в роботі узагальнено на випадок системи довільної кількості крайових тріщин.

Розглянуто анізотропну пластинку з еліптичним отвором із півосями a, b, що послаблена прямолінійною крайовою тріщиною довжини, яка виходить із точки (а,0) і нахилена під кутом до осі Ox.

Відношення КІН для анізотропних пластинок, що виготовлені з матеріалів CF1, CF2 до відповідного значення КІН для ізотропної пластинки залежно від довжини тріщини за розтягу в напрямку осі Оу при , зображено на рис.8. У таблиці 3 наведено відносні значення КІН при b/a=0,5, , стосовно до ізотропного матеріалу та матеріалу CF1 залежно від відношення с/a.

.Розраховані КІН для ізотропного матеріалу практично збігаються із відповідними довідниковими даними, які наведені в дужках. Видно, що найбільш істотно впливає анізотропія на КІН для коротких тріщин.

Виконано дослідження КІН для анізотропної пластинки з еліптичним отвором, що послаблений системою 340 горизонтальних або нормальних до граничного контуру крайових тріщин при односторонньому або всебічному розтягу зусиллями р. Встановлено, що із системи тріщин підростатимуть крайні тріщини, якщо напрямок з більшою жорсткістю паралельний тріщинам та центральна тріщина - якщо тріщина перпендикулярна до цього напрямку.

Розрахунок на міцність виконано для пластинки з круговим отвором радіуса R, що послаблена прямолінійною крайовою перпендикулярною до межі тріщиною довжини l за розтягу зусиллями р під кутом . Розрахунки виконано для пластинки з матеріалу ЕФ 32-301. Безрозмірні граничні зусилля наведено на рис. 9 (біля кривих вказано кути нахилу тріщин), які отримано на основі енергетичного критерію.

Розглянуто задачу визначення НДС пластинок із крайовими тріщинами, в яких можуть контактувати їх береги. Спочатку записано систему рівнянь вигляду (11) відносно стрибків переміщень на тріщинах аналогічно, як це було проведено для внутрішніх тріщин, внісши при цьому деякі зміни. А саме, проекції стрибків переміщень на дотичну і нормаль до тріщини вибрано у вигляді … Тут прийнято, що гирлу тріщини відповідає значення параметра та враховано обмеженість тут похідних від переміщень. Для функцій із співвідношення (8), через який записано вище розв'язок задачі, отримано (19). Задача визначення контактних напружень та КІН на основі видозміненої системи вигляду (11) проводиться так само, як і для внутрішніх тріщин і зводиться до задачі квадратичного програмування.

Досліджено мало вивчену в літературі задачу про визначення напружень біля тріщин, що виникають у композитах біля штампів. З цією метою розглянуто задачу про дію герцівського тиску на півплощину, коли його центр розміщено в точці , тріщина довжини L виходить на межу пластинки в точці (0,0) та кут між нею і віссю Ох рівний , між штампом і основою має місце тертя. Тиск описувався за формулою (20)

Розрахунки відносних КІН виконані при , , за врахування контакту берегів тріщини. Отримані значення КІН для ізотропної пластинки практично збігаються із даними, які знайдені О.П. Дацишин іншим методом. На рис. 10 зображено розраховані відносні КІН залежно від відносної відстані для скло-епоксидної пластинки, армованої в напрямку осі Оу. Тут величинам відповідають суцільні лінії, - штрихові. Виконано також дослідження КІН залежно від кутів нахилу тріщин для різних анізотропних матеріалів. На основі аналізу отриманих результатів можна зробити висновок про значний вплив анізотропії на напруження біля тріщин. В усіх розглянутих випадках мав місце контакт берегів тріщин біля вершин.

Розглянуто композитну пластинку із крайовою прямолінійною тріщиною малих розмірів. Така задача достатньо повно вивчена за розтягу пластинки. Для дослідження НДС за її стиску розглянуто півплощину із нахиленою відносно межі прямолінійною крайовою тріщиною, яка стискається зусиллями р паралельно межі пластинки. Для всіх розглянутих анізотропних матеріалів мав місце повний контакт берегів тріщин. КІН досягають максимального значення для нахиленої тріщини під кутом 450

Розраховані безрозмірні граничні значення зусиль залежно від нахилу крайової тріщини до межі для матеріалу ЕФ 32-301 при стиску наведено на рис.11. Тут криві 1 розраховані за силовим критерієм руйнування, а 2- за енергетичним.

В аналогічному до (18) вигляді записані також модифіковані інтегральні подання для комплексних потенціалів Мусхелішвілі для ізотропних пластинок. При цьому вводяться дислокаційні розв'язки, через які визначаються ядра інтегральних рівнянь, з аналогічними до потенціалів властивостями. Такі потенціали побудовано для обмежених або нескінченних пластинок з отворами практично довільної форми за допомогою методу Мусхелішвілі з додатковим використанням конформного відображення. За розробленим алгоритмом досліджено КІН: для отворів складної форми із крайовими тріщинами; для нахилених тріщин в прямокутній пластинці із залишковими напруженнями за врахування контакту їх берегів. Залишкові напруження визначались теоретико-експериментальним методом Я.С.Підстригача і В.А.Осадчука.

У четвертому розділі запропонований вище метод узагальнено на випадок розрахунку на міцність композитних пластинок з пружними і жорсткими включеннями та тріщинами, причому для оцінки міцності областей, що розміщені біля межі розділу матеріалів додатково використано критерій Гофмана.

Розглядається задача про визначення НДС анізотропної пластинки із пружним включенням із іншого матеріалу, що перебуває під дією зосереджених сил, двовісного розтягу на нескінченності за умови ідеального механічного контакту на межі розділу L матеріалів. Для потенціалів в нескінченній області використано подання, яке випливає із формул (4) -(21)

Тут функції, які введені вище, визначаються на основі пружних сталих для матриці. В аналогічному до подання (21) вигляді записано інтегральні подання для включення. Для інтегралів, що входять в подання (21), для включення та матриці використано відомі квадратурні формули, на основі яких знайдено далі похідні від переміщень та вектор напружень на контурі L. Задовольнивши умови ідеального механічного контакту, отримано систему рівнянь відносно невідомих величин у вузлових точках на межі розділу матеріалів. Встановлено, що розв'язок цієї системи існує, оскільки за потенціалів (21) умови рівноваги включення та однозначності переміщень виконуються тотожно.

Дослідження НДС проведено для включень різної форми. Зокрема, розглянуто включення у формі прямокутника із закругленими вершинами. Встановлено, що при повному закругленні сторін прямокутника кільцеві (максимальні) напруження у матриці є значно більшими за величиною, ніж при частковому. Показано, що у випадку, коли модуль пружності в напрямку дії зусиль для матриці є меншим (більшим), ніж відповідний модуль для включення, то кільцеві напруження біля межі розділу у матриці є незначними (істотними).

Виконано розрахунок на міцність скло-епоксидної пластинки з прямокутним ізотропним включенням із півсторонами a і b, вершини якого закруглені дугами кола радіуса 0,5b, за одностороннього розтягу зусиллями р у напрямку осі Оу, в якому жорсткість матеріалу максимальна. При пружних сталих включення та E=25, E=50,75,100 (Гпа) та b/a=0,5 знайдено такі допустимі зусилля: , , , . Тут =1035 МПа - допустимі зусилля для однорідної скло-епоксидної пластинки. Встановлено, що руйнування починатиметься у матриці біля закруглених вершин.

Розглянуто випадок, коли пружне включення та матриця додатково послаблені отворами, межі яких вільні від навантаження або жорстко підкріплені. Побудовано модифіковані інтегральні рівняння, за яких умови на межі отворів виконуються тотожно, що дає можливість зменшити кількість невідомих функцій. Детально досліджено випадок еліптичного та прямокутного включень з прямолінійною тріщиною (частковий випадок еліптичного отвору) півдовжини a, що лежить на осі абсцис при за одновісного розтягу пластинки зусиллями р в напрямку осі Оу. Розраховані КІН для ізотропного матеріалу з круговим включенням збігаються із відомими довідниковими даними. Результати розрахунків відносних КІН для випадку, коли матриця виготовлена із матеріалу ЛУ-1 при ізотропному включенні прямокутної форми довжиною l із закругленими меншими сторонами півколами l/4 з модулем Юнга E=50 GPa і 25 GPa, зображені на рис.12. Тут біля кривих вказано значення модуля Юнга та додатково наведено назву осі, вздовж якої модуль Юнга матеріалу ЛУ-1 є максимальним.

Показано, що зміна напрямку армування може на порядок змінити значення КІН. Форма включень (прямокутна чи еліптична) неістотно змінює значення КІН для прямолінійних тріщин. Встановлено, що КІН є меншими (більшими) за величиною порівняно з однорідною пластинкою, якщо модуль пружності включення в напрямку дії зусиль є меншим (більшим), ніж відповідний модуль матриці. Виконані також дослідження КІН та напружень у півнескінченній пластинці з вільним краєм, в якому розміщене еліптичне включення з прямолінійною тріщиною.

Виконано розрахунок граничних навантажень для випадку еліптичного включення з півосями а і b із матеріалу ЕФ 32-301, послабленого симетрично розміщеною тріщиною на осі Ох довжини l. Розраховані за допомогою енергетичного критерію безрозмірні граничні зусилля за поперечного розтягу зусиллями р для випадку ізотропної матриці при Е=15 Гпа, наведено на рис. 13 при , причому біля кривих вказано відношення півосей. Аналіз результатів розрахунку показує, що найнижчими виявились граничні навантаження для кругового включення. При зменшенні відношення півосей граничні значення зусиль зростають.

Розглянуто анізотропні пластинки з жорсткими включеннями довільної конфігурації за дії зусиль на нескінченності і зосереджених сил. Прийнято відомими головний вектор і момент всіх сил, що прикладені до включень. Інтегральні рівняння записано на основі зображень (4). Числове розв'язування рівнянь проведено ММК. Детально розглянуто жорсткі включення із закругленими кутами, в околі яких напруження можуть бути нескінченними. Для знаходження НДС використано додатково асимптотичні розв'язки для пружного клина із жорстко закріпленими гранями. Максимальні напруження (нормальні) при малих кривинах зображено у вигляді (22)

Встановлено, що відносна похибка простої формули (22) для включень ромбовидної та прямокутної форми за визначених вказаним вище способом сталих, не перевищує 1% в широкому діапазоні значень кривин.

У п'ятому розділі роботи аналогічно попередньому розроблено підхід до розрахунку на міцність тонкостінних неперервно армованих елементів конструкцій складної форми, який базується на відомих критеріях міцності та побудованих методиках визначення НДС анізотропних багатозв'язних пластинок. Розроблені методики використані для вибору оптимальної за міцністю форми пластинок та для дослідження концентрації напружень біля дефектів типу тріщин.

Для оцінки міцності межі вільного від навантаження отвору введено величину . Тут враховано, що межа вільного від навантаження отвору знаходиться в умовах одновісного розтягу. Таким чином, розрахунок на міцність пластинок складної форми зводиться до визначення напружень біля отворів, величини на межі та подальшої перевірки умови .

Розглянуто задачу визначення НДС анізотропних пластинок, послаблених системою отворів, обмежених контурами. При розгляді обмежених пластинок додатково задається зовнішня межа ? крива . Прийнято, що пластинка навантажена зусиллями на нескінченності (для нескінченних пластинок), зусиллями на межі пластинки та зосередженими силами. Використавши загальний розв'язок (4), отримано інтегральні подання потенціалів для обмеженої пластинки з отворами (23).

Вимагаючи, щоби відповідні потенціалам (23) напруження задовольняли граничні умови, отримано інтегральне рівняння у комплексному вигляді (24)

Встановлено, що невідомі функції на кожному з граничних контурів у представленні (23) визначені з точністю до доданків. Числове розв'язування інтегральних рівнянь проводилось за допомогою ММК, в якому регулярні та сингулярні інтеграли замінені відомими квадратурними формулами для періодичних функцій. В результаті для випадку одного отвору, рівняння якого записано у вигляді … отримана система рівнянь (25)

Встановлено лінійну залежність рівнянь (25) та проведено їх модифікацію (в якій використано умови однозначності переміщень) таким чином, щоб для їх розв'язання могли бути використані стандартні комп'ютерні процедури. Проведено дослідження напружень для пластинок з отворами різної форми при одновісному розтягу зусиллями р на нескінченності. Зокрема, досліджена додаткова концентрація напружень в околі вирізів біля кругових отворів та біля щілини, вершини якої закруглені колами (тріщини із висвердленими на кінцях круговими отворами). Виконані дослідження біля квадратних отворів із закругленими вершинами показали, що за одностороннього розтягу максимальні напруження на них можуть виявитись значно меншими, ніж на кругових.

Розглянуто систему із N кругових отворів радіуса R, відстань між якими дорівнює R. Коефіцієнти концентрації напружень (ККН) на межі кожного із отворів при N=1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 40 за розтягу пластинки, виготовленої з матеріалу CF1 в напрямку осі Оу, показано зірочками на рис. 15. За поперечного (поздовжнього) розтягу мінімальні (максимальні) напруження - на крайніх отворах, а максимальні (мінімальні) - на центральних. Приклади вказують на те, що розроблений алгоритм дає можливість досліджувати НДС пластинок з практично довільною кількістю гладких отворів.

Далі в розділі розроблено методики побудови простих інженерних формул для визначення концентрації напружень біля зближених або негладких отворів, які узагальнюють відомі для ізотропних матеріалів підходи на випадок анізотропних пластинок. Розглянуто ортотропну пластинку з двома однаковими еліптичними отворами з півосями , центри яких розміщені в точках за розтягу пластинки в напрямку осі Оу зусиллями p. Для максимальних напружень використано подання (26)

Формула (26) узагальнює відоме подання для ізотропних пластинок, в якому . Сталі визначали МНК із умови (27)

При більших значеннях параметра для визначення відносних максимальних напружень отримана наближена формула у вигляді …