Детермінований хаос у нелінійних системах з розривами

Апробація результатів дисертації. Матеріали роботи доповідалися в 2000-2007 рр. на міжнародних наукових конференціях і симпозіумах, а також на науково-практичних конференціях, засіданнях і розширених семінарах. Результати роботи були представлені та опубліковані в матеріалах 1^st та 2^nd International Conferences on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, 2001, 2006); 47^th, 48^th та 49^th SPIE's Annual Meetings (Seattle, USA, 2002; San Diego, USA, 2003; Denver, USA, 2004); SPIE Symposium on Optics & Photonics (San Diego, USA, 2006); IEEE NSS and MIC Conferences (Lyon, France, 2000; Rome, Italy, 2004, San Diego, USA, 2006); 5^th European Conference LumDetr (Prague, Czech Republic, 2003); 7^th International Conference SCINT (Valencia, Spain, 2003); International Conference “Functional Materials” (Partenit, Ukraine, 2003); 1^st European Conference on Molecular Imaging Technology (Marseille, France, 2006); Третьої Міжнародної конференції “Комп'ютерні методи й Зворотні задачі” (Москва, Росія, 2002); 1-ої Регіональної конференції “Сучасні проблеми матеріалознавства” (Харків, Україна, 2002); Міжнародної конференції “Колмогоров і сучасна математика” (Москва, Росія, 2003), тощо. Результати досліджень доповідались в Інституті монокристалів НАН України, ННЦ ХФТІ, Інституті магнетизму НАН України, ФТІНТ НАН України, МИСИС (Москва) та інших. Матеріали дисертації представлені для відкритого доступу в Інтернеті (більше ніж 15 публікацій на різних веб-сайтах), включаючи архів електронних препринтів Лос-Аламоської Національної лабораторії США.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 29 наукових праць у фахових українських і закордонних періодичних наукових виданнях. Список цих статей наведено в авторефераті. Загалом за темою дисертації опубліковано понад 50 публікацій.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини із шести розділів, висновків, списку використаних джерел з 320 найменувань, а також 2 додатків на 13 сторінках. Повний обсяг дисертації становить 347 сторінок, включаючи 45 малюнків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У Вступі стисло розкрито зміст і стан сформульованої в дисертації наукової проблеми; обґрунтовано її актуальність, зв'язок з науковими програмами; наведені мети, завдання й методи виконаних досліджень, висловлено наукову новизну отриманих результатів, наведено їхнє наукове та практичне значення, зазначено відомості про наукові публікації, особистий внесок дисертанта, апробацію роботи. Також наведено короткий зміст дисертації.

Перший розділ роботи присвячено стислому опису сучасного стану досліджень детермінованого хаосу в гладких динамічних системах і системах з розривами. Окрему увагу зосереджено на огляді наукових результатів щодо теорії хаосу в більярдах, які відносяться до типових нелінійних систем з розривами та мають численні фізичні застосування. Наведено приклади різних фізичних систем, для опису яких використовується модель більярду. Також вказано на відомі результати з дослідження хаотичного руху в точкових відображеннях з розривами. Останні теж відносяться до базових моделей хаотичної динаміки та можуть використовуватись для спрощеного опису багатьох різноманітних фізичних процесів та систем з негладким законом руху.

У другому розділі запропоновано новий геометро-динамічний підхід для опису фізичних більярдів. Одне з вирішальних значень для адекватного опису всілякої динамічної системи має вибір її фазового простору (простору однозначних станів руху). У підрозділі 2.1 побудовано симетричний фазовий простір більярдів. На відміну від звичайного гамільтонівського фазового простору (в координатах Біркгофа) в ньому у якості нових фазових змінних виступає пара рівноправних симетричних координат. Одна з них визначає точку відходу обраного променя від границі більярду , яка параметризується саме координатою , а інша координата визначає, відповідно, точку , на яку цей промінь налітає (рис. 1). Таким чином, кожна фазова точка симетричного фазового простору відповідає цілому більярдному променю, тобто сегменту більярдної траєкторії. Це дозволяє побудувати скорочений, але нічим не огрублений опис більярдного руху. Симетричний фазовий простір - це фазовий простір всіх променів більярду. Оборотність більярду відносно зміни знака часу або відносно зміни напрямку руху променів на зворотний відповідає симетричності фазового простору . Як наслідок, всі динамічні характеристики фазової динаміки в , зокрема фазовий портрет, інваріантна функція розподілу, тощо є інваріантними відносно заміни . В новому підході глибше впроваджуються та використовуються найбільш суттєві симетрії більярду. Тому його можна зіставити з традиційним майже таким чином, як у класичній механіці лагранжевий підхід порівнюється з гамільтонівським. У роботі досліджена загальна структура нового фазового простору в залежності від геометрії більярду, у тому числі багатозв'язної або багатовимірної.

У підрозділі 2.2 побудовано спеціальну динамічну систему, яка відповідає більярду в геометро-динамічному підході. При цьому перехід від неперервного часу до відображень (опис в дискретному часі) проходить більш природнім шляхом, тому що не потребує проведення перетинів у кодотичному просторі координата-імпульс, як це робиться при традиційному описі. Більярдне відображення для планарного більярду має вигляд

, (1)

де спеціальна функція визначає динаміку фазових траєкторій в . Зважаючи на оборотність більярду ця функція є спеціальною, а саме є інволюцією більярду, тобто відносно двократної композиції функцій при фіксованому другому аргументі. Ця властивість важлива для теорії. Вона відокремлює більярди у спеціальний клас динамічних систем (1). Більше того, більярд визначається саме проективною інволюцією. Проективність більярду пов'язана з його геометричною природою. Локально кожний більярд можна розглядати як перетворення одних (падаючих) більярдних променів в інші (відбиті). Зважаючи на пружний (дзеркальний) характер відбиття доведено, що локально таке перетворення відноситься до проективних, точніше до гармонічних перетворень. Напевно, проективність більярду має фізичні наслідки. Наприклад, винятковими стають інтегровані більярди у кривих другого порядку, які відрізняються від інших своїми проективними властивостями. Проективність дозволяє отримати універсальні рівняння для інволюцій. У роботі отримано рівняння для інволюції довільного планарного більярду в різній математичній формі - у вигляді неявної функції, функціональне рівняння, безкоординатне геометричне рівняння, тощо, а також встановлено їх геометричні властивості. У проективних координатах :

, (2)

де , а функції і пов'язані з формою більярда. В скороченому вигляді (2) має вигляд функціонального рівняння або локально (за теоремою про неявну функцію) .

Аналітичні властивості інволюції більярду тісно пов'язані з його геометрією. Зокрема, вона є кусочно-монотонною і разом з тим кусочно-неперервною функцією. По першому аргументу вона завжди спадає, , внаслідок проективності. По другому аргументу тип монотонності визначається знаком кривизни границі більярду, . Він відповідає фокусуючому або розсіючому характеру відбиття. Виродженим є випадок . Важливою ознакою є наявність розривів у інволюцій більярдів. Розриви відповідають фізичному стану тих променів, які хоч би раз доторкуються до границі більярда або попадають в її особливі точки, де не визначена кривизна. Ці промені (кут відбиття є ) і пов'язані з ними траєкторії мають суттєвий вплив на динаміку. Вони завжди є у будь-яких більярдах, крім опуклих більярдів з аналітичною границею. Навіть в останніх інволюція на фазовій діагоналі, , має несуттєву особливість, що усувається за умови . Фізично ця особливість пов'язана з граничним станом променів для так званих траєкторій “галерей, які шепотять”, коли їх безперервно наближувати до границі. Отже, більярди є типовою нелінійною системою з розривами. У рамках запропонованого підходу ця розривність виявляється найбільш вдало. Саме у більярдних відображеннях з інволюцією розриви виникають явно, а, наприклад, у біркгофових координатах вони замасковані формально гладким характером відповідних рівнянь руху та гладкою структурою фазового простору без наявних сингулярностей, який не чутливий до певної геометрії більярду.

У підрозділі 2.3 до теорії уведено принцип коваріантності більярду. Цей принцип відповідає незалежності фізичних властивостей більярду від вибору тих чи інших фазових чи геометричних координат для його опису. Коваріантність більярду важлива тому, що деякі його властивості доречно вивчати або доказувати в одному координатному представленні, а використовувати в іншому. Дотепер на коваріантність більярдів не звертали особливої уваги. Але вона дозволяє дослідити їх загальні властивості. Тому в роботі отримано вирази для коваріантних перетворень інволюцій більярдів відносно довільних геометричних замін систем координат або репараметризації границі. Також досліджено коваріантність інволюції відносно окремих замін для її першого або другого аргументу.

Перетворення інволюції, які пов'язані з геометричними замінами, мають коваріантний вигляд , де штрихом позначена інволюція в новій системі відліку, а відповідає перетворенню геометричного простору. Запропоновано метод геометро-динамічного відновлення інволюції, який використовує спеціальну “миттєву” (пов'язану з променем, що розповсюджується) систему відліку. Встановлено груповий закон перетворень локальної інволюції, прив'язаної до миттєвої системи, при послідовних відбиттях більярду, тобто внутрішній закон коваріантної зміни інволюції більярду за її другим аргументом. Він має операторний вигляд , де позначає групове перетворення, загальний вид та властивості якого наведено в роботі. Сформульовано принцип коваріантності більярдних відображень, тобто геометричної інваріантності більярду як динамічної системи. Він визначається комутативним рівнянням (симетрією) , де - будь-які коваріантні перетворення симетричного фазового простору, до яких, у тому числі, відносяться координатні заміни систем відліку та симетрії границі більярду. Загалом, наведені коваріантні формулювання викривають груповий характер більярдних каскадів у симетричному фазовому просторі, що може бути корисним при подальшому дослідженні більш складних більярдних систем - багатовимірних чи з криволінійною геометрією.

У підрозділі 2.4 досліджуються різновиди симетрій більярдів як динамічних систем. До них відносяться: 1) геометричні симетрії фазового портрету, , які пов'язані з геометричною симетрією границі більярду, ; 2) симетрія фазового портрету відносно фазової діагоналі як наслідок оборотності звичних траєкторій більярдів; 3) оборотність більярдів у загальному сенсі. Останнє означає, що більярди у межах геометро-динамічного підходу слід віднести до більш широкого, ніж гамільтонівські, класу оборотних динамічних систем. В свою чергу це дозволяє відокремити найбільш суттєві симетрійні властивості більярду та розробити єдиний підхід для дослідження більярдів різного типу, включаючи, наприклад, нестаціонарні більярди та більярди із заломленням променів.

У підрозділі 2.5 сформульовано та досліджено пряму і зворотну задачі для більярдів. Пряма задача полягає в обчисленні інволюції довільного більярду за рівнянням його границі, а зворотна, навпаки, - у відновленні форми границі невідомого більярду з наперед заданою інволюцією. Пряма задача виникає повсякчас при дослідженні різних фізичних систем, що зводяться до більярдів, та потребує загального вирішення. Зворотна задача може бути корисною за умов інтерпретації або приведення динамічної поведінки нелінійних систем, що описуються схожими рівняннями (інволюціями), до більярдів, які мають більш прозорий фізичний зміст. Пряма задача для планарних більярдів допускає повне та загальне аналітичне вирішення. Слід зазначити, що при гамільтонівському опису для кожного більярду (інколи сімейства більярдів) доводиться окремо отримувати відповідні рівняння руху в фазовому просторі. Для прикладу, обчислено декілька інволюцій для кругового, еліптичного більярду, більярду в овалах Касині, тощо. Щодо зворотної задачі отримано низку складних інтегро-функціональних (операторних) рівнянь, які вирішують її загалом, але потребують суттєвих зусиль для свого розв'язання. Важливою умовою для отримання повної системи рівнянь зворотної задачі є необхідність враховувати, що зв'язок між інволюцією більярда та формою його границі спирається саме на зв'язок між інволюцією та кривизною більярда. Останній висновок відповідає принципу коваріантності більярдів, тому що саме кривизна границі є її геометричним інваріантом.

У підрозділі 2.6 впроваджено узагальнення геометро-динамічного підходу для опису багатовимірних більярдів. Загальні рівняння, що визначають динамічну систему, зберігають свій вигляд, але симетричні координати стають багатовимірними відповідно до розмірності границі більярду, яку вони параметризують. Таким чином, у фазових координатах

, (3)

де визначає покоління променів (номер відбиття або дискретний час), а вектор-функція є вектор-інволюцією багатовимірного більярду. Змінюється також топологія симетричного фазового простору як гладкого багатовиду, але зберігається його універсальна симетрична структура , згідно з якою він конструюється. Симетричний фазовий простір топологічно еквівалентний прямому додатку двох тотожних екземплярів границі. Більш стосовно розглянуто трьохвимірні більярди. Зокрема отримано повну систему рівнянь для обчислення інволюції однозв'язного просторового більярду довільної форми. Принципову роль при цьому обчисленні відіграє проективність. Обчислено інволюцію більярду в еліпсоїді. На відміну від інволюції в еліпсі вона не зводиться до аналітичної функції (навіть у випадку шару), що відповідає появі більш складних типів руху променів у багатовимірних більярдах. Фізично це пов'язано з можливістю зміни променем під час відбиттів площини свого руху. Розпочаті в цьому підрозділі ці та інші узагальнення запропонованої теорії більярдів допускають подальший розвиток.

У підрозділі 2.7 побудовано топологічну теорію більярдів у симетричному фазовому просторі. Топологія визначається, по-перше, його загальною симетричною конструкцією з замкнутою границею більярду , яка гомеоморфна окружності або їх об'єднанню (для багатозв'язних більярдів), а, по-друге, розривами інволюції, тобто розривами (дірками) самого топологічного простору . Ці топологічні особливості мають цілком геометричне походження. Визначено, що існують три типи особливостей: 1) лакуни більярду, пов'язані з наявністю геометричної тіні, яка виникає в більярдах з ділянками увігнутої границі негативної кривизни, або в більярдах з неаналітичною границею, яка має точки повернення, а також в багатозв'язних більярдах; 2) дискримінанти більярду, пов'язані з наявністю прямолінійних компонент границі нульової кривизни; 3) фазова діагональ симетричного фазового простору, яка водночас є множиною всіх нерухомих точок більярду. Досліджено структуру всіх цих особливостей. Показано, що спеціальними топологічними перетвореннями, які повинні зберігати симетричну структуру фазового простору, означені особливості можна видалити та перетворити симетричний фазовий простір у гладкий багатовид, що еквівалентний деякій двовимірній поверхні. Як наслідок, ця топологічна регулярізація дозволяє побудувати замкнуту й повну топологічну класифікацію двовимірних однозв'язних більярдів, які не мають прямолінійних ділянок границі. Всі їх типи охоплюються топологічним рядом

, (4)

де бутила Клейна є регуляризованим фазовим простором більярдів Синая (з границею усюди негативної кривизни), які демонструють найбільш сильні стохастичні властивості динаміки траєкторій, а тор відповідає опуклим більярдам, які завжди мають регулярну компоненту руху та відносяться до більярдів із слабкими хаотичними властивостями. Загалом топологічний тип більярду відповідає фазовому руху на поверхні, яка є сферою з вклеєними до неї листами Мьобіуса та ручками у кількості, що відповідає загальній кількості лакун увігнутості та, відповідно, лакун багатозв'язності. Число виступає новим топологічним інваріантом більярду. Висунуто гіпотезу, що топологічний тип відповідає характеру зміни показника Ляпунова при деформаціях границі у сімействах більярдів певного типу. Ця гіпотеза потребує подальшого дослідження та є важливою для встановлення зв'язку між хаотичними властивостями і формою більярдів.

У третьому розділі геометро-динамічний підхід поширюється для опису динамічної та статистичної поведінки більярдних траєкторій, зокрема для опису можливих типів руху і улаштування фазових портретів, а також для опису інваріантних розподілів, що відповідають імовірнісним характеристикам більярду з хаотичною компонентою руху.

У підрозділі 3.1 досліджуються приклади типових фазових портретів деяких більярдів у симетричному фазовому просторі. Наведено приклади інтегрованих більярдів у колі та еліпсі і хаотичного - у “стадіоні” (рис. 2). Обчислено портрети більярдів із змішаною динамікою у овалах 4-го порядку, овалах Касині, равликах Паскаля й кардіоїді. Досліджено їх фазові перебудови при зміні параметрів (рис. 2). Відзначено типові особливості фазового портрету: відсутність атракторів; наявність лакун або зон забороненого руху; дискримінант або зон неоднозначного руху тих променів, що зліплюються, тощо.

У підрозділі 3.2 побудовано теорію нормальних форм (законів руху) більярдів у симетричному фазовому просторі, яка корисна для аналітичного дослідження типів руху та можливих перебудов фазових портретів. Метод нормальних форм полягає в наданні рівнянням руху найбільш простого вигляду за допомогою нелінійних замін координат. При цьому важлива коваріантність більярду саме в симетричному фазовому просторі, де допускаються більш загальні перетворення фазових координат, які не звужені умовою канонічних замін у традиційному підході. Це дозволяє отримати найбільш універсальні нормальні форми. Їх можна використовувати для дослідження не тільки опуклих більярдів, але й більярдів з довільною формою границі.

У підрозділі обчислено нормальні форми інволюцій більярдів. По-друге, вивчено улаштування та умови сталості періодичних орбіт (циклів), поблизу яких зазвичай будуються нормальні форми більярдів. Перевірено, що поблизу циклів більярдне відображення завжди є локально консервативним, що відповідає загальній умові для оборотних систем, які зберігають міру і до яких відносяться більярди. Отримано і досліджено нормальні форми більярдів поблизу регулярних точок, де фазові траєкторії локально спрямляються як і в інтегрованих більярдах, а також поблизу особливої лінії нерухомих точок, яка є діагоналлю симетричного фазового простору. Біля цієї діагоналі фазові траєкторії також спрямляються за умови відсутності лакун або дискримінант. Цей тип руху відповідає траєкторіям “галерей, які шепотять”. Випрямлення означає, що рух цих траєкторій еквівалентний динаміці кругового більярду. Внаслідок чого, наприклад, поблизу границі існують періодичні траєкторії якого завгодно високого періоду та квазіперіодичні траєкторії, що узгоджується з результатами Дж. Біркгофа та В.Ф. Лазуткіна. Наявність топологічних сингулярностей призводить до іншого ефекту. Регулярні пограничні траєкторії при цьому відразу глобально руйнуються, перетворюючись в хаотичні. Цей ефект спостерігається для відомих двовимірних більярдів та, напевно, зберігається для багатовимірних більярдів.

Обчислено нормальні форми більярдів поблизу довільних періодичних орбіт. Ці рівняння відповідають за можливу складну поведінку більярдних траєкторій та за перебудови фазового портрету. Поблизу -періодичних орбіт нормальна форма має вигляд

, (5)

де є новими координатами, у яких спрощуються рівняння фазового руху; коефіцієнти лінійної частини визначаються через похідні інволюції більярду в точках циклу. При цьому . Нелінійна частина визначається поліномами та (довільного порядку) без вільного члена, . Їх вид залежить від інволюції обраного більярду та обраної періодичної орбіти. Як частковий випадок розглянуто нормальну форму поблизу 2-періодичних орбіт. Пов'язані з цим типи руху мають відношення до так званих орбіт “м'ячик, що плигає”. Останні, як і траєкторії типу “галерей, які шепотять”, мають важливе значення в задачах механіці, оптиці, акустиці. Крім того, отримана загальна класифікація типів більярдного руху поблизу циклів (рис. 3). Існує три типи: 1) параболічний рух або випрямлення траєкторій біля регулярних і нерухомих точок, а також біля нейтральних циклів у біфуркаційному стані; 2) еліптичний рух навколо сталих центрів (еліптичних циклів); 3) гіперболічний рух біля сідел (гіперболічних циклів). Кожен фазовий портрет локально складається з означених елементів.

У підрозділі 3.3 побудовано теорію інваріантних розподілів більярдів у симетричному фазовому просторі. У хаотичних більярдах існує лише одна інваріантна міра, яка набуває імовірнісний зміст статистичної функції розподілу. Для інтегрованих більярдів або більярдів із змішаною динамікою сукупність інваріантних розподілів визначає метричні властивості динамічної системи. Внаслідок інваріантності відносно більярдного каскаду ці розподіли можуть використовуватись для визначення фазової міри регулярного та хаотичного руху, тощо. В традиційному підході кожен більярд має одну і ту ж інваріанту міру Біркгофа, що є простим наслідком зберігання об'єму Луівілля для консервативних систем. Ця міра ніяким чином не пов'язана з формою більярда, а зобов'язана своїм існуванням лише наявності гамільтонівської симетрії (зберігання енергії). На відміну від цього в новому підході з'являється симетрична інваріантна міра, яка, в загальному випадку, залежить від інволюції, тобто від геометрії більярду. Відбувається персоніфікація більярдів за їхньою інваріантною мірою. Це може бути корисним в численних задачах, де важливий статистичний опис систем з регулярною та хаотичною динамікою і до яких складно застосувати звичайні статистичні методи. Деякі важливі фізичні характеристики більярдних систем можна зв'язати саме з цією мірою або з її спрощеними різновидами, які уведено в роботі. Густина симетричної інваріантної міри визначається функціональним рівнянням

(6)

з -компонентними координатами в багатовимірному фазовому просторі розмірності (геометрична розмірність більярду є ), коли похідна від інволюції означає відповідний якобіан . Повний спектр інваріантних мір більярду, який має регулярну компоненту руху, такий:

, (7)

де функція є довільною, а утворюють повний набір інтегралів руху, . Густина є частковим рішенням (6) і майже нічим не виділена. Коли всі інтеграли руху, крім тривіального , руйнуються, інваріантна міра ергодичного більярду становиться одинокою, . За певних умов можна виділити одну з мір . Для цього запропоновано принцип факторизації у якості методу редукції та обчислення симетричної двохточкової міри за допомогою більш простих одноточкових розподілів. Густина має фізичний зміст густини розподілу (вірогідності) відбиттів променів від границі більярду. Отримано загальне рішення для , яке залежить від інволюції. З'ясовано умови факторизації та її відношення до відомої теореми Колмогорова щодо суперпозиції функцій від кількох аргументів. Підкреслено, що у хаотичному більярді факторизація відповідає відомому статистичному принципу розчеплення кореляцій. Для інтегрованого більярду така редукція теж має хист. Для еліптичного більярду доведено, що одноточковий розподіл співпадає з кривизною більярду, . Виходячи з цього та інших фактів (рис. 4), висунуто загальну гіпотезу про існування подібної кореляції у випадку опуклого більярду. Доречно, що до спрощених та інваріантних (у певному сенсі) розподілів можна прийти незалежно від факторизації повної міри, сформулювавши нові рівняння замість рівнянь Фробеніуса-Перона. Доведено, що після деяких перетворень остаточне рівняння для густини стаціонарного розподілу за обома визначеннями є однаковим:

(8)

де є якобіан більярдного відображення і при інтегруванні слід враховувати можливі розриві інволюції більярду. Важливо, що рівняння (8) є нелінійним. Воно має зміст кінетичного рівняння для скороченого статистичного опису динаміки більярду. Нелінійність пов'язана саме з переходом до скороченого опису. Виявляється, що на відміну від звичних кінетичних функцій розподілу, що входять до лінійних кінетичних рівнянь, ця інваріантна густина вже є нормованою . Інваріантність полягає в тому, що цей розподіл не змінюється під впливом руху променів. У якості перевірки для кругового більярду отримано рішення (8). Як і належить, його розподіл є рівномірним, .

Розподіл відбитків добре обчислюється у комп'ютерних експериментах. Його було порівняно з розподілом кривизни для більярдів в овалах 4-го порядку, опуклих овалах Касині та у равликах Паскаля. На рис. 4 наведено декілька прикладів, які відповідають більярдам певної форми (більш тонкою лінією позначений розподіл кривизни, коли вибирається натуральна параметризація границі). Вочевидь, що густина відбиттів тим більше, чим більше кривизна границі більярду. Подекуди це явище зберігається навіть у неопуклих більярдах, наприклад, у равликах Паскаля чи вигнутих овалах Касині. Цей ефект може мати важливе практичне значення. Наприклад, більша інтенсивність виходу світла в оптичних більярдах (лазерні резонатори, сцинтиляційні детектори, тощо) повинна припадати на ділянки з більшим скривленням, що можна використовувати для керування та оптимізації світлозбирання і поліпшення параметрів оптичних або радіаційних приладів.

У четвертому розділі геометро-динамічний підхід застосовується для дослідження нових типів більярдів - вперше запропонованих поліморфних більярдів і більш детально для більярдів в формі гантелі та більярдів з розщепленням (відбиттям і заломленням) променів.

У підрозділі 4.1 відкрито новий тип хаотичних більярдів, границя яких побудована з тотожних екземплярів однієї чи декількох окружностей та при цьому повинна мати неперервну зміну дотичної. Це призводить до періодичного чергування ділянок позитивної та негативної кривизни. Ці більярди одночасно фокусують і розсіюють промені. Цим вони відрізняються від відомих хаотичних більярдів, відкритих Я.Г. Синаєм та Л.А. Бунімовичем. Для дослідження обрано найпростішого представника цих поліморфних більярдів - більярди в формі гантелі (рис. 5-6). Доведено, що вони відносяться до цілком хаотичних більярдів. У фазовому просторі завжди відсутні сліди регулярного руху. В сімействі цих більярдів, починаючи від більярду в колі та закінчуючи більярдом у формі “краплі”, досліджено перебудови фазового портрету в залежності від зміни кута перетину (рис. 6).

Визначено чисельно показник Ляпунова (рис. 7), який завжди є позитивним, що підтверджує хаотичність руху у цих більярдах. Водночас доведено, що в симетричному фазовому просторі для спектру показників локального розходження траєкторій виконується рівняння , де означають позитивні та негативні показники спектру. Це співпадає з аналогічною властивістю для гамільтонівських систем. Звідти випливає, що знак показника Ляпунова не залежить від вибору фазових координат більярду, що свідчить про узгодженість запропонованого і традиційного підходу. Підтверджено також окреслений в другому розділі топологічний ефект впливу конфігурації лакун на вид показника Ляпунова. Із-за наявності двох лакун має один максимум, який виникає під час динамічної рівноваги між розсіюванням та дефокусуванням. Зміну монотонності можна розглядати як своєрідний фазовий перехід. Він відбувається, коли змінюється геометрія дуального до обраного поліморфного більярду, у якого всі опуклі дуги замінені на випуклі, під час його повного перетину (див. позначку на рис. 7). У його фазовому просторі при цьому замість двох лакун залишається лише одна.

Порівняно статистичні властивості хаотичних більярдів і обчислено інваріантну густину відбитків для більярду в гантелі. Остання виявилась рівномірною, , як і в круговому більярді. Загалом, поліморфні більярди можуть виявитись корисними, наприклад, при описі атомних чи мікрохвильових пасток, або багатокластерної кераміки з тотожних сферичних часток, оптичні чи інші властивості яких будуть сильно залежати від динамічного хаосу.

У підрозділі 4.2 досліджено динаміку в оптичних більярдах з розщепленням променів, де промені розповсюджуються крізь декілька середовищ з різними оптичними показниками (рис. 8). Крім звичайних траєкторій лише з відбиттям променів у них присутні траєкторії з заломленням. Ускладнення руху через можливе довільне чергування відбиття та заломлення призводить до нових ефектів. З динамічних симетрій у таких більярдах зберігається лише оборотність руху, тому геометро-динамічний підхід для їх опису є вельми адекватним. Для їх дослідження також корисно використовувати методи символічної динаміки. Доведено, що серед маршрутів прямування у таких більярдах завжди присутні такі, що відповідають складним за Колмогоровим послідовностям. Це означає, що з'являється новий механізм хаосу, пов'язаний зі складністю самих законів руху. Для повного опису динаміки побудовано розширений симетричний фазовий простір . Він зводиться до прямого добутку багатолистного фазового простору , де , що відповідає більярду з багатозв'язною границею , та простору динамічних маршрутів траєкторій, які розповсюджуються з-поміж фазовими листами (середовищами). Досліджено топологічну структуру та побудовано динамічну систему (повний набір відображень), що описує більярд такого типу.