Детермінований хаос у нелінійних системах з розривами

Докладно досліджено динаміку більярду у вигляді кільця (рис. 8) в залежності від асиметрії . У симетричного більярду всі траєкторії інтегруються (рис. 9, уверху зліва). Серед можливих динамічних маршрутів руху присутні хаотичні. Але розбігання траєкторій у кожному з класів руху є лінійним, тому хаосу загалом не виникає. Крім того, діють топологічні правила заборони для деяких маршрутів, що гальмує появу хаосу. Асиметрія більярду призводить до експоненційного розбігання траєкторій. Більш того, цілком доступними стають всі маршрути, розвивається хаос маршрутів. Аналіз фазових портретів цього асиметричного більярду на різних листах розширеного фазового простору дозволив якісно виявити кілька фізичних ефектів. Один з них пов'язаний з геометричною асиметрією більярду, яка призводить до динамічного виштовхування траєкторій до зовнішнього середовища більярду. Хаотичні траєкторії бувають в обох середовищах, але більш часто у зовнішньому. Це призводить до появи квазілакун, що довго не заповнюються ітераціями на діагональному листі , який відповідає динаміці у внутрішньому більярді. Інший ефект запирання траєкторій обумовлений конкуренцією між явищами повного внутрішнього відбиття і динамічного хаосу. Якщо б траєкторії, які знаходяться в умовах повного внутрішнього відбиття, були регулярними, то вони б зовсім ніколи не покидали середовища з більшим показником оптичного заломлення. Саме вони відповідають появі “захопленого світла” в світлодіодах або в сцинтиляторах. Хаос має призводити до винищення захопленого світла, тому що такі промені згодом підлітають до внутрішньої границі під любими кутами (за винятком кругової границі). В асиметричному більярді діють обидва ефекти, але більш сильним виявляється ефект запирання. Серед хаотичних траєкторій менш вірогідними залишаються переходи із середовища з більшим показником заломлення до іншого середовища. Ця несиметричність переходів також виявляється у появі квазілакун на відповідних діагональних листах фазового простору. Обидва вказані ефекти посилюються з ростом асиметрії більярду або із збільшенням показника відносного заломлення.

П'ятий розділ присвячений дослідженню хаосу в більш простих, ніж більярди, системах - в одновимірних відображеннях з розривами. Відображення, більшою частиною гладкі, загалом є дуже популярними моделями хаотичної динаміки. Розривні відображення виникають при описі різноманітних механічних, електричних, електронних систем з такою поведінкою, яка має розриви (тертя, стрибки, зовнішні зв'язки, тощо). За певних умов -більярди теж пов'язані з -відображеннями з розривами. Це стосується і неперервних потоків, які теж можуть описуватись розривними відображеннями у відповідних перетинах Пуанкаре.

У підрозділі 5.1 запропоновано досить широке сімейство кусочно-лінійніх бімодальних відображень , де , з розривом (рис. 10), які зберігають властивості оборотності та розривності, що є типовими і для більярдів. До цього сімейства також відноситься відомий “зсув Бернуллі”. Важливою властивістю цих стандартних відображень з розривом є немонотонність (на ділянках 1-2 чи 3-4, рис. 10). Вона приводить до ускладнення і різноманіття динамічних режимів.

У підрозділі 5.2 досліджено загальну структуру періодичних орбіт (циклів) у введених відображеннях. Винайдено бімодальність сталих циклів. У них не буває більше двох точок на ділянках монотонності, які примикають до розриву. Обчислено границі сталості. Отримано аналітично і перевірено за допомогою комп'ютерних обчислень мапу динамічних режимів (рис. 11) на площині параметрів . Винайдено телескопічну структуру сталих циклів, відмічено її самоподібність. У випадку з нульовим мультиплікатором, де , побудовано біфуркаційні діаграми (рис. 12), які висвітлюють типові перебудови фазового портрету в усьому класі вивчених відображень, зокрема біфуркація з подвоєнням періоду циклу без зміни його симетрії і типу сталості та біфуркація зміни симетрії циклу без зміни періоду.

У підрозділі 5.3 для стандартного відображення з розривом винайдено загальний ефект виколювання періодичних орбіт. Він полягає у спонтанному виникненні чи винищенні деяких з можливих циклів за умови гладкої зміни керуючих параметрів динамічної системи. При цьому її динамічні властивості та характеристики (мультиплікатор, показник Ляпунова, інваріантна густина, тощо) також змінюються стрибком на відміну від гладких систем. Отриманий ефект має деяке відношення до відомого явища проріджування траєкторій у гладких системах. Але в даному випадку відсутність деяких траєкторій пов'язана саме з виколюванням циклів при плавній деформації самої динамічної системи, а не з топологічною забороною деяких маршрутів системи з фіксованими параметрами. Крім того, хоч ефект виколювання циклів підпорядковується нелінійним властивостям системи і пов'язаний з немонотонністю закону руху , загалом він відсутній у системах без розриву. Виколювання періодичних орбіт має значні наслідки і призводить до нового механізму хаосу в розривних системах. Це явище може виявитись важливим в фізичних додатках, тому що виколювання періодичних орбіт призводить до глобальної перебудови системи, тобто, супроводжується кардинальною зміною її руху.

В цьому підрозділі також запропоновано новий метод аналітичного обчислення границь виколювання циклів у розривних системах за допомогою особливих марківських розбивок фазового простору. Ці розбивки генеруються саме особливостями - екстремумами і розривами системи. Обчислено границі виколювання сталих циклів з різним топологічним маршрутом. За допомогою комп'ютерних обчислень виконано перевірку, яка повністю підтвердила високу спроможність вказаного методу. Відзначено, що його можна застосовувати не тільки для обчислення структури циклів з будь-яким маршрутом, але й для обчислення інваріантних розподілів у багатопараметричних відображеннях з розривами.

У підрозділі 5.4 розглянуто механізм спонтанного переходу від регулярної динаміки до хаосу, який обумовлений виколюванням сталих періодичних орбіт. На відміну від сценаріїв хаотизації у гладких динамічних системах (подвоєння періоду, перемежовування, поява дивного атрактору чи репелеру), які також присутні у розривних системах, новий сценарій спонтанної хаотизації супроводжується стрибкоподібною зміною мультиплікатора відображення з перескоком через одиничну окружність у комплексному просторі власних значень матриці Якобі для лінеарізованого поблизу циклу відображення. У гладких системах локальні біфуркації циклів відбуваються тільки за умови . Але розривний характер динамічної системи може призводити до фазової перебудови, що має розривний характер. Якщо при цьому після виколювання стійкого циклу з в системі немає іншого регулярного атрактору, то її рух становиться хаотичним. За відсутності розриву такий сценарій стає неможливим, тому що необхідною умовою втрати сталості динамічною системою є умова втрати сталості означеним циклом, що призводить тільки до звичних біфуркацій. У розривних системах сталість можна втратити не тільки за рахунок гладкого деформування циклу при гладкій зміні параметрів системи, але і внаслідок виколювання всього цього циклу разом. Поєднання біфуркації виколювання сталих циклів та звичних біфуркацій призводить до низки різноманітних шляхів переходу від регулярності до хаосу. Вони спостерігаються на біфуркаційних діаграмах стандартного відображення з розривом.

Іншим проявом виколювання періодичних орбіт є здібність системи з розривами на межі своєї сталості бути жорсткою до зовнішніх збурень. Атрибутом гладких систем є принцип “крихкості доброго”, коли більш ймовірним є нестійкий рух при збуренні системи. На мапі динамічних режимів цьому відповідає така картина, коли область сталості завжди вклинюється в область несталості. Для розривних систем у роботі винайдено цілком зворотний ефект, при якому область несталості може вклинюватись в область стійкого руху. Це має місце саме внаслідок розривів та відбувається при виколюванні циклів. Як результат, більш вірогідним є сталий стан системи, тобто виконується принцип “жорсткості доброго”. Вочевидь, що наявність та добір розривів може виявитись принципово новим методом стабілізації фізичних систем, що важливо у практичних застосуваннях.

Шостий розділ присвячений розробці теорії динамічного світлозбирання в оптичних системах і теорії мульти-енергетичної радіографії, які мають важливе практичне значення.

У підрозділі 6.1 запропоновано динамічну модель для опису світлозбирання в оптичних системах, у тому числі в сцинтиляторах, світловодах і світлодіодах. Згідно з нею розповсюдження світлових променів та променева картина в цілому розглядаються з точки зору динаміки траєкторій більярду, форма якого повторює геометрію відповідної оптичної системи. При цьому було отримано загальні вирази для найбільш суттєвих енергетичних характеристик світлозбирання - коефіцієнту світлозбирання та його дисперсії . Якщо вимірює інтегральний розподіл світла у системі за достатньо великий час, то характеризує неоднорідність світлозбирання для променів, які можуть висвітлюватись в різних місцях оптичної системи. Використання саме фазового простору, в якому більш наочною є динаміка променів, поліпшує дослідження законів світлозбирання в цілому. Важливо, що особливості фазового простору чи фазового портрету, наприклад, хаотичний чи регулярний тип динаміки променів, впливають на фізичні параметри світлозбирання. Як відомо, навіть незначні зміни у геометрії більярду можуть призводити до суттєвої перебудови його фазового портрету. Внаслідок цього можуть суттєво змінюватись оптичні характеристики системи. Тому використання динамічної моделі є доречним засобом для віртуального моделювання й оптимізації оптичних систем з очікуваними параметрами.

У межах динамічної моделі отримано формулу для хаотичного світлозбирання в оптичних більярдах з хаотичною динамікою світлових променів. Ця формула є узагальненим виразом для відомої фотометричної “формули світлового шару”, яка має емпіричне підґрунтя. З'ясовано фізичні причини, які призводять до універсальної залежності світлового виходу від параметрів хаотичного більярду. Це пов'язано саме з хаотичною динамікою його світлових променів та майже сталим спаданням парціальних апертур виходу, завдяки чому з кожного нового покоління (у дискретному часі більярду) до виходу попадає майже одна й та ж частка світлових променів. У наближенні , де - середня довжина вільного пробігу в більярді, - об'ємна довжина оптичного поглинання, із загальної формули отримано вираз для коефіцієнту світлозбирання оптично прозорої системи з косинусною індикатрисою розсіювання, типовою у випадку сильного променевого хаосу:

, (9)

де є геометрична апертура розсіювання, - відносний показник заломлення. Формулу (9) можна використовувати для оцінки коефіцієнту корисної дії світлодіодів, у яких . Нелінійна залежність від спричиняє різкий спад . Тому для поліпшення світлового виходу слід суттєво зменшувати розмір системи, або покращити її прозорість.

У випадку регулярного й змішаного світлозбирання немає універсальної залежності світлового виходу від параметрів оптичної системи, тому що аналітично це залежить від особливостей будови і різноманіття фазових портретів. На відміну від цього фазовий портрет хаотичних більярдів має однаковий вигляд, окрім можливих неоднорідностей, які пов'язані з відмінністю більш точних динамічних характеристик хаосу. Останнє призводить до того, що саме флуктуації хаотичного світлозбирання не мають універсального характеру. Навпаки, фазовий портрет інтегрованого більярду з регулярною динамікою світлових променів локально має завжди однаковий вигляд. У певних координатах його фазові траєкторії випрямляються (див. рис. 2-3) і він зводиться до фазового портрету більярду в колі. Тому можна очікувати універсальної залежності для . За допомогою розкладу по ступеням оптичної прозорості отримано формулу для неоднорідностей регулярного світлозбирання

(10)

в залежності від уведеного в теорію дисипативного фактору , де позначає дисперсію коефіцієнту світлозбирання , а визначає його максимальне значення за відсутності світлових втрат. Константа приблизно дорівнює .

Отриману залежність порівняно з відомими експериментальними даними та даними комп'ютерних обчислень (за іншими методами) для різних сцинтиляторів (NaI(Tl), CsI(Tl), BWO, CWO) різної форми (циліндр, паралелепіпед) і розмірів. Експериментальні дані підтверджують висунуту закономірність (рис. 13). Це дає зручний засіб прогнозування спектрометричних властивостей детекторів.

Важливим також є інший теоретичний висновок, який полягає в тому, що дисперсія світлозбирання відсутня за умови повної оптичної прозорості системи. Ця компонента флуктуацій пов'язана лише з геометро-оптичними властивостями системи і тому зберігається у складі енергетичного розрізнення детекторів за умови виключення інших факторів. Наближення , коли вказана компонента є подавленою, означає можливість суттєвого поліпшення (до кількох одиниць процентів) енергетичного розрізнення детекторів з поліпшеним світловим виходом і максимальною конверсійною ефективністю.

У підрозділі 6.2 побудовано послідовну теорію двох-енергетичної радіографії, яку можна поширити на більш загальний випадок мульти-енергетичної радіографії. Радіографічний метод контролю та діагностики матеріалів, виробів, фізичних і біологічних об'єктів є одним з найбільш вдалих сучасних методів неруйнівного контролю. Для реєстрації іонізуючого випромінювання, яким просвічується об'єкт контролю, частіше всього використовують сцинтиляційні детектори, в яких світлозбирання можна розглядати як більярдну проблему. Від поліпшення корисних характеристик цих детекторів залежить точність контролю. Але для відновлення атомної та хімічної структури матеріалу об'єкту цього замало. Треба використовувати більш складну, але й більш інформаційну мульти-енергетичну радіографію, де роздільно реєструються сигнали при різних енергіях випромінювання або з різних ділянок енергетичного спектру.

Принциповим питанням є задача відновлення структури та складу матеріалу з цих даних. Для цього в роботі побудована теорія, яка відрізняється більш послідовним використанням відповідних рівнянь для опису поглинання випромінювання, ніж у наближеному та розповсюдженому методі “базисних матеріалів”. Отримано аналітичні вирази для відновлення ефективного атомного номеру , поверхневої густини об'єкту в напрямку опромінювання, а також формули для відновлення парціального хімічного складу в межах двох-енергетичної радіографії. З'ясовано, що для визначення хімічного складу багатокомпонентних речовин потрібна мульти-енергетична радіографія того ж самого порядку, що відповідає кількості простих складових. Доведено, що ніякими модифікаціями звичайної радіографії неможливо отримати . Відкрито універсальну залежність між ефективним атомним номером матеріалу та його відносним радіографічним відгуком (відношення нормованих й лагарифмованих сигналів). Цю закономірність перевірено та добре підтверджено за допомогою відомих експериментальних даних з поглинання рентгенівського випромінювання у простих речовинах від вуглероду до урану та в різних діапазонах енергетичного спектру (рис. 14). Розроблений метод дозволяє досягти точності визначення до 90-95%. Передбачається, що побудована теорія буде корисною для створення нового покоління рентгенівських сканерів для антитерористичної оглядової техніки (детектування вибухівки, наркотиків, захованих радіоактивних матеріалів, тощо) і для медичної томографії.

В Висновках наведено головні висновки роботи. У Додатках зібраний допоміжний матеріал щодо диференційної геометрії кривих та теорії одновимірних інволюцій.

ВИСНОВКИ

У роботі вирішено проблему геометро-динамічного (альтернативного) опису фізичних більярдів як типових динамічних систем з розривами, що дозволило отримати низку нових результатів і ефектів, в тому числі для недосліджуваних раніше поліморфних більярдів і більярдів з розщепленням променів. Винайдено витоки походження динамічного хаосу для нових моделей хаотичної динаміки - багатопараметричних немонотонних відображень з розривом, які з'являються в багатьох фізичних додатках і для яких відкрито новий універсальний сценарій спонтанного переходу від регулярного руху до хаосу. Продовжуючи розвиток загальної теорії, створено теорію динамічного світлозбирання і теорію мульти-енергетичної радіографії, у межах яких теоретично відкрито фізичні закономірності, які добре співпадають з відомими експериментальними даними, що гарантує подальшу затребуваність отриманих в роботі результатів.

Головні наукові і практичні результати роботи полягають в такому.

1. Для опису довільних більярдних систем запропонований геометро-динамічний підхід, що є альтернативою гамільтонівському. Цей підхід краще викриває найбільш суттєві симетрії та геометричні особливості більярдів як динамічних систем з розривами. Для опису фізичного стану променів уведено новий фазовий простір, координати якого, на відміну від гамільтонівських, є симетричними й нелокальними. В цьому просторі побудовано спеціальну динамічну систему для опису фазових траєкторій більярду, за рух яких відповідає нова універсальна характеристика - інволюція більярду.

2. Побудовано топологічну теорію більярдів у симетричному фазовому просторі, тільки в якому висвітлюються топологічні дефекти - лакуни або дискримінанти, що відповідають фізичному стану траєкторій у геометричному сутінку (більярди з негативною кривизною) або виродженим траєкторіям (більярди з нульовою кривизною). Встановлено загальну геометричну структуру симетричного фазового простору для двох- та багатовимірних більярдів, а також більярдів з багатозв'язною границею та більярдів із розщепленням променів. Досліджено загальну структуру лакун та дискримінант. Запропоновано повну топологічну класифікацію невироджених планарних більярдів, яка пов'язана з повною топологічною класифікацією двовимірних замкнутих поверхонь. Висловлено гіпотезу щодо зв'язку топологічного типу більярду з його хаотичними властивостями.

3. Побудовано теорію більярдних інволюцій. Отримано загальні рівняння (у різній формі) для інволюцій двох- та трьохвимірних більярдів. Сформульовано та вирішено пряму і зворотну задачу для інволюцій більярдів. Обчислено інволюції деяких більярдів, у тому числі в еліпсоїдах. Встановлено загальні властивості інволюцій, що пов'язані з новою фундаментальною ознакою - проективністю більярдів. Досліджено групові властивості більярдів, що буде корисним при вивченні багатовимірних більярдів.

4. Побудовано теорію локальних законів руху фазових траєкторій більярдів у симетричному фазовому просторі. Обчислено нормальні форми інволюцій та типи періодичних орбіт більярдів. Обчислено нормальні форми більярдів поблизу регулярних точок, особливої лінії нерухомих точок (фазової діагоналі) і поблизу періодичних траєкторій довільного періоду. Окреслено типи динамічного руху в більярдах. За допомогою розробленої теорії відкрито ефект випрямлення або еквівалентності траєкторіям більярду в колі для фазових траєкторій типу “галерей, що шепотять” поблизу границі опуклого більярду та ефект їх повного руйнування при виникненні топологічних перешкод - лакун чи дискримінант.

5. Побудовано теорію інваріантних (статистичних) розподілів більярдів у симетричному фазовому просторі. Останні, на відміну від традиційних, пов'язані з інволюцією, тобто з геометрією більярду, що дозволяє вперше зв'язати статистичні й геометричні властивості більярду. Запропоновано нові метричні характеристики - симетричну двохточкову міру, редуковані одноточкові розподілі, в тому числі функцію розподілу відбитків на границі більярду. Отримано функціональні рівняння для густини симетричної інваріантної міри та нелінійне кінетичне рівняння для густини розподілу відбитків. У межах анонсованого принципу факторизації обчислено симетричну міру через інволюцію більярду, у тому числі для еліптичного більярду. Відкрито кореляційний ефект між розподілом відбитків опуклого більярду і кривизною границі, що може використовуватись для керування променевою картиною в оптичних системах.

6. Запропоновано новий тип хаотичних більярдів, які мають границю з періодичною зміною знаку постійної за модулем кривизни. Ці поліморфні більярди відрізняються від відомих хаотичних більярдів Синая й Бунімовича наявністю змішаного типу хаосу променів, які одночасно розсіюються та дефокусуються. Доведено хаотичну поведінку траєкторій у сімействі поліморфних більярдів найнижчого порядку у вигляді гантелі. Доведено незалежність знаку показника Ляпунова від вибору координат в більярдах. Обчислено інваріантну густину відбитків для більярду в гантелі. Відкрито динамічний ефект зміни типу монотонності показника Ляпунова, що виникає при зміні топологічного типу дуального поліморфного більярду і який можна інтерпретувати як фазовий перехід.

7. У межах геометро-динамічного підходу розроблено динамічний опис оптичних більярдів з розщепленням та заломленням променів. Для цих більярдів також використано методи символічної динаміки і побудовано розширений симетричний фазовий простір, в якому враховано різноманітність можливих топологічних типів руху. Відповідна динамічна система визначається не одним, а набором елементарних відображень. З'ясовано нові механізми переходу до хаосу в таких більярдах. Досліджено динаміку більярду з розщепленням променів у вигляді кільця. На діагональних і недіагональних листах розширеного фазового простору вивчено фазові перебудови останнього в залежності від зміни його асиметрії, за допомогою чого винайдено геометро-динамічні ефекти виштовхування та запирання хаотичних траєкторій в певній частині більярду.

8. Запропоновано нову модель хаотичної динаміки - стандартне відображення з розривом, яка є сімейством оборотних бімодальних кусочно-лінійних відображень з розривом. Розроблено новий аналітичний метод обчислення структури циклів у відображеннях з розривами, що використовує спеціальні марківські розбивки фазового простору, які породжуються особливостями системи - розривами та екстремумами. Отримано загальні рівняння для аналітичного обчислення зон існування циклів довільно високого періоду. Теоретично обчислено границі виколювання деяких циклів, які повністю співпадають з даними незалежних комп'ютерних обчислень. Отримано карту динамічних режимів стандартного відображення з розривом та встановлено її типову телескопічну структуру.

9. Відкрито динамічний ефект виколювання періодичних орбіт (циклів) у відображеннях з розривами при плавній зміні керуючих параметрів. Передбачається, що він буде типовою особливістю нелінійних систем з розривами. Запропоновано новий універсальний сценарій переходу від регулярного руху до хаосу, який пов'язаний з виколюванням сталих циклів передчасно до їх повної втрати сталості. З'ясовано незвичне для гладких систем явище динамічної жорсткості у поведінці розривних систем відносно зовнішніх збурень, яке гарантує стабільність системи на межі сталості у певній області її параметрів, що може бути вельми корисним у фізичних застосуваннях, в тому числі в електроніці.

10. Запропоновано динамічну модель світлозбирання в оптичних більярдах, до складу яких відносяться сцинтиляційні детектори і світловоди, напівпровідникові світлодіоди, лазерні порожнини, тощо. Досліджено фазовий портрет світлозбирання та отримано загальні вирази для коефіцієнту світлозбирання та дисперсії його неоднорідностей (флуктуацій). Отримано формулу для коефіцієнту хаотичного світлозбирання, яка є узагальненням відомої емпіричної формули фотометричного світлового шару. З'ясовано динамічні витоки останньої. Запропоновано метод підвищення енергетичної ефективності оптичних систем за допомогою вибору геометрії хаотичного більярду. Винайдено спектрометричну універсальність для регулярного світлозбирання, яку добре підтверджено незалежними експериментальними даними. Спектрометричний закон для флуктуацій світлозбирання визначає важливу складову енергетичного розрізнення сцинтиляційних детекторів, від якої залежить прогнозована ефективність їх роботи.

11. Побудовано послідовну теорію двох-енергетичної радіографії, яка допускає узагальнення на випадок мульти-енергетичної радіографії. Окрім поліпшення ефективності детекторів-більярдів запропоновано мульти-енергетичний підхід для принципового покращення точності неруйнівного контролю та детектування не лише просторової, але також атомної (хімічної) структури матеріалів. Отримано загальні вирази для відновлення ефективного атомного номеру, густини та складу простих хімічних елементів або складових для двох-енергетичної радіографії. Доведено неможливість детектування атомного складу в рамках звичайної радіографії. Винайдено універсальну залежність між ефективним атомним номером та відносним рефлексом двох-енергетичної радіографії, яку добре підтверджено експериментальними даними з поглинання випромінювання у широкому колі простих матеріалів від вуглероду до урану, при чому в різних ділянках енергетичного спектру. Ці результати закладають теоретичні принципи для створення нового покоління антитерористичних сканерів і медичних томографів з підвищеною точністю контролю.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Найденов С.В., Яновский В.В. Перспективы сцинтилляционного детектора с хаотической динамикой световых лучей // Сборник статей “Функциональные материалы для науки и техники”. - Харьков: Институт монокристаллов, 2001. - С. 132-166.

2. Ryzhikov V.D., Naydenov S.V., Opolonin O.D., Lysetska O.K., Pashko P.V. AIIBVI scintillator crystals and detectors for computer tomography application // Диэлектрики и полупроводники в детекторах излучений. - Харьков: НТК “Институт монокристаллов”, 2006. - С. 311-336.

3. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометро-динамический подход к бильярдным системам. I. Проективная инволюция бильярда. Прямая и обратная задача // Теоретическая и Математическая Физика. - 2001. - Т. 126, № 1. - С. 110-124.

4. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометро-динамический подход к биллиардным системам. II. Геометрические особенности инволюций // Теоретическая и Математическая Физика. - 2001. - Т. 129, № 1. - С. 116-130.

5. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометро-динамическая унификация биллиардов // Доповіді НАН України. - 2001. - № 9. - С. 79-84.

6. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. I. Detectors and billiards // Functional Materials. - 2000. - Vol. 7, No. 4 (2). - P. 743-752.

7. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. II. Projective geometry and invariant distribution function of a billiard // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 1. - P. 27-35.

8. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. III. Dynamical portrait of light collection // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 2. - P. 226-233.

9. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. IV. Geometric-dynamic features of light collection in real detectors // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 3. - P. 423-427.

10. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D. A multi-energy approach for radiography of the functional materials // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 4. - P. 604-608.

11. Найденов С.В., Яновский В.В. Инвариантные распределения в системах с упругими отражениями // Теоретическая и Математ. Физика. - 2002. - Т. 130, № 2. - С. 301-319.

12. Найденов С.В., Яновский В.В. Нормальные формы в теории биллиардов // Доповіді НАН України. - 2002. - № 12. - С. 58-65.

13. Найденов С.В., Рыжиков В.Д. Об определении химического состава методом мульти-энергетической радиографии // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28, вып. 9. - С. 6-13.

14. Найденов С.В., Яновский В.В., Тур А.В. Биллиардная проблема в симметричных координатах // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 75, вып. 8. - С. 499-504.

15. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометрические особенности нелинейной динамики систем с упругими отражениями. Биллиард и его инволюция // Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - Т. 10, вып. 1-2. - С. 113-126.

16. Найденов С.В. Динамическая модель светосбора в детекторах и световодах // Журнал прикладной спектроскопии. - 2002. - Т. 69, № 4. - С. 529-536.

17. Найденов С.В., Рыжиков В.Д., Семиноженко В.П. Мульти-энергетический подход в неразрушающем контроле функциональных материалов // Доповіді НАН України. - 2002.- № 11. - С. 95-100.

18. Naydenov S.V. Photometric light collection shapes // Functional Materials. - 2002. - Vol. 9, No. 4. - P. 617-623.

19. Найденов С.В., Яновский В.В. Нормальные формы биллиардов // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. - 2002. - Т. 9. - С. 663-685.

20. Гринев Б.В., Найденов С.В., Яновский В.В. О спектрометрических закономерностях светособирания в сцинтилляционных детекторах // Доповіді НАН України. - 2003. - № 4. - С. 88-95.

21. Naydenov S.V., Tur A.V., Yanovsky A.V., Yanovsky V.V. Stability of dynamical systems with discontinuties // Functional Materials. - 2003. - Vol. 10, No. 1. - P. 14-16.

22. Gavrylyuk V., Gal'chinetskii L., Katrunov K., Naydenov S., Ryzhikov V., Starzhinskiy N., Yanovsky V. On the use of chaotic billiard geometry to improve the light output of a scintillator // Functional Materials. - 2003. - Vol. 10, No. 4. - P. 744-746.

23. Naydenov S.V., Tur A.V., Yanovsky A.V., Yanovsky V.V. New scenario to chaos transition in the mappings with discontinuities // Phys. Lett. A. - 2003. - Vol. 320, issues 2-3. - P. 160-168.

24. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D., Smith C.F. Direct reconstruction of the effective atomic number of materials by the method of multi-energy radiography // Nucl. Instrum. and Meth. B. - 2004. - Vol. B215. - P. 552-560.

25. Bar'yahtar V.G., Yanovsky V.V., Naydenov S.V., Kurilo A.V. Mechanisms of ray chaotization in composite detectors // Functional Materials. - 2004. - Vol. 11, No. 4. - P. 648-660.

26. Найденов С.В. Влияние детерминированного хаоса на светосбор в оптических системах // Журнал Технической Физики. - 2004. - Т. 74, вып. 8. - С. 136-139.

27. Naydenov S.V., Maslovsky Yu.N., Yanovsky V.V. Polymorphous billiard with chaotic beams dynamics // Functional Materials. - 2006. - Vol. 13. - P. 280-282.

28. Баръяхтар В.Г., Яновский В.В., Найденов С.В., Курило А.В. Хаос в композитных биллиардах // ЖЭТФ. - 2006. - Т. 130, № 2. - С. 335-346.

29. Яновский В.В., Найденов С.В., Курило А.В. Хаотические режимы асимметричного кольцевого биллиарда с отражением и преломлением лучей // Прикладная нелинейная динамика. - 2007. - Т. 15, вып. 1. - С. 42-60.

30. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Geometric models of statistic physics: billiard in symmetric phase space // Problems of Atomic Science and Technology. - 2001. - № 6 (2). - P. 218-222.

31. Katrunov K., Naydenov S., Ryzhikov V., Starzhinskiy N., Gal'chinetskii L., Gavril'uk V., Yanovsky V. On the optimum geometric shapes of ZnSe-based scintillation elements // Problems of Atomic Science and Technology. - 2004. - Vol. 43, № 2. - P. 174-176.

32. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D. Theoretical analysis of physical limits of energy resolution for detectors of scintillator-photodiode type and ways to improve their spectrometric characteristics // Proc. SPIE. - 2004. - Vol. 5198. - P. 261-270.

33. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D. Spectrometric universality and reduction of non-statistical noises in detectors with regular light collection // Proc. SPIE. - 2004. - Vol. 5540. - P. 241-247.

34. Naydenov S.V. Spectrometric properties of detectors with regular and chaotic light collection and improvement of its intrinsic energy resolution // Nucl. Instrum. and Meth. A. - 2005. - Vol. A537. - P. 397-401.

35. Ryzhikov V.D., Naydenov S.V., Opolonin O.D., Kozin D.N., Lisetsaya E.K., Danilenko V.L. Studies of two-energy linear detector matrix for X-ray osteodensitometry // Biomedical Engineering. - 2005. - Vol. 39, No. 2. - P. 65-68.

36. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D., Smith C.F., Wood D., Kostioukevitch S., Lisetska E. Multi-energy ZnSe-based radiography against terrorism: theory and experiments // Proc. of SPIE. - 2006. - Vol. 6319. - P. 63191A-1-8.

37. Grinyov B., Ryzhikov V., Lecoq P., Naydenov S., Opolonin A., Lisetskaya E., Galkin S., Shumeiko N. Dual-energy radiography of bone tissues using ZnSe-based scintielectronic detectors // NIM A. - 2006. - Vol. A571. - P. 399-403.

38. Naydenov S.V., Maslovsky Yu.N., Yanovsky V.V. Polymorphous billiard as a new type of billiards with chaotic ray dynamics // Problems of Atomic Science and Technology. - 2007. - № 3 (2). - P. 285-288.

АНОТАЦІЯ

Найдьонов С.В. Детермінований хаос у нелінійних системах з розривами. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. Інститут монокристалів НАН України, Харків, 2007.

Досліджено проблему динамічного хаосу в нелінійних системах з розривами, до яких відносяться більярди та інші фізичні системи, які описуються відображеннями з розривами. Запропоновано універсальний геометро-динамічний підхід для опису більярдів. Уведено нові категорії - симетричний фазовий простір, інволюція, “лакуни” і “дискримінанти” більярду, тощо. Побудовано топологічну теорію, теорію інволюцій, нормальних форм та інваріантних розподілів більярдів. Відкрито ефекти, що пов'язані з впливом топології фазового простору на динаміку більярду. Передбачено кореляційний ефект між інваріантним розподілом і кривизною більярду. Відкрито новий тип хаотичних більярдів - поліморфні більярди. Вивчено особливості хаосу в більярдах з розщепленням променів. На прикладі розривних відображень відкрито ефект виколювання періодичних орбіт і запропоновано пов'язаний з ним універсальний сценарій спонтанного переходу від регулярного руху до хаосу. Розроблено динамічну модель для оптичних систем, де передбачено фотометричний закон у випадку хаотичного світлозбирання та спектрометричний закон для регулярного світлозбирання. Побудовано теорію двох-енергетичної радіографії та встановлено універсальну залежність між ефективним атомним номером матеріалу і його радіографічним рефлексом. Означені результати добре співпадають з відомими експериментальними даними та закладають принципи створення нових фізичних пристроїв.

Ключові слова: детермінований хаос, динамічні системи, більярди, відображення з розривом, сцинтиляційні детектори, мульти-енергетична радіографія, геометричні методи фізики.

ANNOTATION

Naydenov S.V. Deterministic chaos in nonlinear systems with discontinuities. Manuscript. Thesis for the degree of Doctor of Physics and Mathematics by specialty 01.04.02 - Theoretical Physics. Institute for Single Crystals of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2007.

АННОТАЦИЯ

Найденов С.В. Детерминированный хаос в нелинейных системах с разрывами. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 2007.

Исследована проблема динамического хаоса в нелинейных системах с разрывами, к которым относятся биллиарды. Предложен новый универсальный геометро-динамический подход для описания биллиардов. В теорию введены новые понятия - симметричное фазовое пространство, инволюции, “лакуны” и “дискриминанты” биллиардов, симметричная инвариантная плотность и плотность распределения отражений, др. Биллиарды выделены в отдельный класс специальных динамических систем с проективной инволюцией.

Построена теория биллиардных инволюций. Каждая из них выступает единой геометро-динамической характеристикой биллиарда. В традиционном подходе ее аналоги отсутствуют. Сформулированы и решены в общем виде прямая и обратная задачи биллиарда. Для прямой задачи получены уравнения для вычисления инволюций планарных и пространственных биллиардов. Изучены инволюции и фазовые портреты типичных биллиардов. Для обратной задачи получена полная система уравнений для восстановления формы биллиарда по заданной инволюции. Сформулирован принцип ковариантности биллиардов и установлены свойства биллиардных инволюций и отображений. Отмечена однозначная связь между вращательной симметрией границы биллиарда и трансляционной симметрией его фазового портрета (на торе).

Предложена топологическая теория биллиардов. Введены симметричные (равноправные) фазовые координаты. Для биллиардов разных типов построено симметричное фазовое пространство - пространство лучей (сегментов) биллиардных траекторий. В нем обнаружены и классифицированы допустимые топологические сингулярности - лакуны и дискриминанты биллиардов. Лакуны физически соответствуют запрещенным лучам, попадающим в область геометрической тени, а дискриминанты - множеству вырожденных и особых лучей, прилипающих к участкам нулевой кривизны или попадающих в особые точки границы. На границах лакун и дискриминант всегда терпит разрыв биллиардная инволюция. Для биллиардов с границей ненулевой кривизны предложена топологическая классификация. После разрешения особенностей в симметричном фазовом пространстве их топологический тип сводится к римановым поверхностям и/или к сферам с четным числом вклеенных листов Мебиуса.

Построена теория симметричных нормальных форм биллиардов. Получены нормальные формы для биллиардных отображений вблизи регулярных и неподвижных точек, а также в окрестности периодических орбит произвольного периода. Классифицированы типы периодических орбит в симметричном фазовом пространстве. Доказана регуляризация нормальной формы (устранение резонансов сколь угодно высокого порядка) вблизи фазовой диагонали, что объясняет с новых позиций эффект существования траекторий типа “шепчущих галерей” вблизи границ выпуклых биллиардов с достаточно гладкой границей.

Построена теория инвариантных распределений биллиардов. Введены и изучены симметричная инвариантная мера и ее усеченные характеристики. Получены общие уравнения для симметричной инвариантной плотности и инвариантной плотности отражений. В отличие от известной меры Биркгофа симметричная мера взаимно-однозначно связана с инволюцией (геометрией) заданного биллиарда. Предложен принцип факторизации для вычисления инвариантной меры. Предсказан корреляционный эффект между инвариантным распределением отражений и кривизной границы биллиарда, который подтверждается в компьютерных экспериментах и может иметь практическое применение, например, для контроля световыхода в оптических системах.

Открыт тип хаотических “полиморфных” биллиардов, граница которых содержит чередующиеся компоненты положительной и отрицательной кривизны. Исследованы их типичные фазовые перестройки на примере семейства биллиардов в форме “гантели”. Обнаружено, что эти биллиарды имеют постоянную плотность отражений лучей от границы и немонотонный ход показателя Ляпунова в зависимости от управляющего параметра. Объяснен динамический эффект, при котором показатель Ляпунова достигает экстремума во время изменения взаимной топологии пары дуальных биллиардов.

Изучены биллиарды с расщеплением лучей. Предложен новый механизм хаотизации, связанный со сложностью допустимых маршрутов при многократном расщеплении лучей на внутренней границе оптически разных сред. Рассмотрены особенности развития хаоса на примере симметричного и асимметричного кольцевого биллиарда с отражением и преломлением лучей. Для хаотической компоненты движения обнаружены эффекты выталкивания траекторий во внешнюю среду из-за геометрической асимметрии системы и оптического запирания траекторий лучей, испытывающих явление полного внутреннего отражения.

В качестве стандартной модели хаотической динамики предложено многопараметрическое отображение с разрывом. Изучена структура и устойчивость его циклов. Построена карта динамических режимов на плоскости управляющих параметров. Изучены бифуркационные диаграммы системы и перестройки суперустойчивых циклов. Открыт эффект выкалывания циклов и обусловленный им универсальный сценарий спонтанного перехода к хаосу. Предложен аналитический метод определения границ выкалывания циклов. Изучены другие механизмы хаотизации, в том числе каскад удвоений периода с периодическим изменением симметрии цикла.

Разработана динамическая модель светосбора. В ее рамках предсказан фотометрический закон для хаотического светосбора и спектрометрический закон для регулярного светосбора. Полученные зависимости подтверждаются экспериментальными данными и могут использоваться для оптимизации таких оптических систем как световоды, светодиоды или сцинтилляционные детекторы. Построена теория двух-энергетической радиографии, с помощью которой установлена универсальная зависимость между эффективным атомным номером материала и мульти-радиографическим откликом. Полученные теоретические результаты совпадают с известными экспериментальными данными и закладывают физические принципы для создания нового поколения радиационных приборов, включая рентгеновские сканеры для безопасности и медицины.

Ключевые слова: детерминированный хаос, динамические системы, биллиарды, отображения с разрывом, сцинтилляционные детекторы, мульти-энергетическая радиография, геометрические методы физики.

Размещено на Allbest.ru