Про стійкість і стабілізацію руху твердого тіла та системи зв'язаних твердих тіл з порожнинами, які містять багатошарову рідину і пружні включення

9 Tagung “Uber Probleme und Methoden der Mathematischen Physik” (9. TMP, Karl-Marks-Stadt, DDR, 1988); Всесоюзная конференция “Волновые и вибрационные процессы в машиностроении” (г.Горький, 1989г.); Республиканская конференция “Динамика твердого тела и устойчивость движения” (г.Донецк, 1990г.); II Всесоюзная конференция “Нелинейные колебания механических систем” (г.Горький, 1990г.); Международная математическая конференция “Ляпуновские чтения” (г.Харьков, 1992г.); Украинская конференция “Моделирование и исследование устойчивости систем” ( г.Киев, 1996г.); VI-IX Международные конференции “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (г.Донецк, 1996, 1999, 2002, 2005гг.); 9th Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry (Copenhagen, Denmark, 1996); Sixth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KPOMSH-VI) “Spectral and evolutional problems” (Simferopol, Ukraine, 1996); XIII-XIV Polish conference on Computer Methods in Mechanics (Poland, 1997, 1999); 15th World Congress on Scientific Computation Modelling and Applied Mathematics, IMACS 97 (Berlin, Germany, 1997); 3rd European Fluid Mechanics Conference (Gottingen, Germany, 1997); III-V, VII-IX Международные конференции “Современные проблемы механики сплошной среды” (г.Ростов-на-Дону, 1997, 1998, 1999, 2001, 2002, 2005гг.); Международная конференция “Математика в индустрии” (г.Таганрог, 1998г.); Международная научная конференция “Современные проблемы концентрации напряжений” (г.Донецк, 1998г.); 5-я Международная конференция “Математические модели физических процессов и их свойства” (г.Таганрог, 1999г.); I-III Международные научно-практические конференции “Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (г.Донецк, 2001, 2003, 2005гг.); Международная конференция “Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике” (г.Ростов-на-Дону, 2001г.); IX Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов-2002” (г.Москва, 2002); Международная научная конференция “Актуальные проблемы механики сплошных сред” ( г.Донецк, 2002г.); X Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов-2003” (г.Москва, 2003); III Всероссийская конференция по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону-Азов, 2003г.); Международная конференция памяти чл.-корр. НАНУ П.В. Харламова “Классические задачи динамики твердого тела” (г.Донецк, 2004г.); семінари відділів прикладної та технічної механіки ІПММ НАНУ (1985-2005р., керівники член-кор. НАНУ П.В. Харламов і член-кор. НАНУ О.М.Ковальов); об'єднані семінари кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій та кафедри теорії пружності й обчислювальної математики Донецького національного університету (1992-2005р., керівники акад. НАНУ О.С. Космодаміанський та акад. НАНУ В.П. Шевченко).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася й обговорювалася на семінарі відділу динаміки багатовимірних систем Інституту математики НАНУ (керівник акад. НАНУ І.О.Луковський, м.Київ, 2003, 2006р.), на семінарі кафедр математичного та функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (керівник доктор фіз.-мат. наук, проф. М.Д. Копачевський, м.Сімферополь, 2003р.), на семінарі відділів прикладної та технічної механіки ІПММ НАНУ (керівник член-кор. НАНУ О.М. Ковальов, м.Донецьк, 2005р.) та на об'єднаному науковому семінарі кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій та кафедри теорії пружності й обчислювальної математики Донецького національного університету (керівник акад. НАНУ В.П. Шевченко, м. Донецьк, 2005р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 32 статтях у наукових журналах [1-32], у 15 збірниках праць міжнародних конференцій та препринтах [33-47]. 28 статей [1-28] опубліковані в журналах, затверджених ВАК України.

Структура роботи. Дисертація складається з вступу, восьми розділів, списку використаної літератури, який включає 650 назв і 74 малюнка. Загальний обсяг роботи 442 сторінки.

гіроскоп лагранж коливання обертання

У першому розділі дано огляд літератури по темі дисертаційної роботи. Він складається з аналізу робіт по динаміці тіл з порожнинами, які містять рідину, системі зв'язаних твердих тіл (СЗТТ), хвильових процесах у стратифікованій рідині, задачах гідропружності та динаміки твердого тіла з рідиною змінного складу. Цим і пояснюється велика кількість цитованої літератури.

Другий розділ присвячений основним методам дослідження динаміки і стійкості руху тіл з порожнинами, які містять рідину, СЗТТ, хвильових процесів у стратифікованій рідині, задач гідропружності та динаміки тіл змінного складу, що були використані та розвинуті в даній роботі.

У третьому розділі досліджена стійкість рівномірного обертання гіроскопа Лагранжа з порожнинами, цілком заповненими ідеальною рідиною. Докладно досліджені необхідні умови стійкості рівномірного обертання гіроскопа Лагранжа з еліпсоїдальними і циліндричними порожнинами. В основу виведення рівнянь збуреного обертання гіроскопа Лагранжа з порожнинами, які містять ідеальну рідину, покладено роботу Л.В. Докучаєва та Р.В. Рвалова Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1973. - № 2. - C. 6-14..

Показано, що якщо серед порожнин є подібні, тобто такі що мають однакові власні частоти, то ці частоти належать до спектру частот тверде тіло-рідина і їх кратність на одиницю менше кількості подібних порожнин. Дане твердження узагальнює на випадок вихрового руху рідини аналогічні твердження для потенціального руху рідин у порожнинах.

Для еліпсоїдальних порожнин та порожнин, утворених софокусними еліпсоїдами обертання, характеристичне рівняння при записується у вигляді полінома степеня, а при - степеня ( - перекидаючий момент). Якщо серед m еліпсоїдальних порожнин є подібних, то степінь основного рівняння буде .

У підрозділі 3.6 розглянута задача про стабілізацію нестійкого обертання гіроскопа Лагранжа з коаксіальною циліндричною порожниною за допомогою безмасових абсолютно твердих поперечних та коаксіальних перегородок. Показано, що введення поперечних перегородок у циліндричну порожнину приводить до загасання впливу відносного руху рідини на рух твердого тіла. Степінь цього загасання визначається як ( - число перегородок).

Вплив поперечних перегородок, що поділяють порожнину на конгруентні частини, на області нестійкості, показано на рис. 3.3. При область нестійкості в межах () і () вже не існує.

Таким чином, введення поперечних та коаксіальних перегородок у циліндричну порожнину приводить до зменшення області нестійкості, тобто до стабілізації обертального руху твердого тіла з рідиною. Як правило, для істотного зменшення області нестійкості досить 2-3 поперечних або 3-4 циліндричних перегородок, а при дії моменту, що відновлює (), область нестійкості при введенні таких перегородок практично зникає.

Проведені пошуки оптимального розташування однієї чи двох перегородок показали, що найбільший ефект досягається при розподілі порожнини на конгруентні частини у випадку поперечних перегородок і розподілом порожнини на рівні об'єми у випадку циліндричних перегородок.

Слід зазначити, що розроблений алгоритм стабілізації нестійкого обертання твердого тіла з циліндричною порожниною може бути застосований для еліпсоїдальної, софокусно еліпсоїдальної, конічної та багатьох інших порожнин.

У четвертому розділі для вивчення питання стабілізації нестійкого обертання твердого тіла з рідиною та системи зв'язаних твердих тіл з рідиною, виведені рівняння руху СЗТТР. Розглянуто випадок, коли одне з твердих тіл має нерухому точку (невільна СЗТТР) та випадок вільного руху системи.

У підрозділі 4.1. виведені рівняння руху невільної СЗТТР. Через позначене тіло, що складається з твердого тіла , що має порожнину , цілком заповнену однорідною ідеальною або в'язкою нестисливою рідиною з густиною і кінематичною в'язкістю (). Тверді тіла і ) мають одну загальну точку . Точка твердого тіла нерухома (рис. 4.1). Позначимо через абсолютну кутову швидкість твердого тіла ; ; ( - центр мас тіла ).

Тверде тіло з порожниною, цілком заповненою однорідною ідеальною або в'язкою нестисливою рідиною, є гіростатом. Тому розглянута механічна система є системою гіростатів. При одержанні рівнянь руху СЗТТР використані відомі рівняння П.В. Харламова Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. - 1972.- Вып.4.-С. 52-73. руху гіростатів.

Як приклад розглянуто випадок, коли тверді тіла в системі з'єднані ідеальними пружними сферичними шарнірами і зовнішньою силою є сила ваги. У цьому випадку рівняння руху невільної

СЗТТР мають вигляд

() (4.1)

Тут - тензор інерції тіла відносно точки ; - маса тіла ; - гіростатичний момент, що не залежить від вибору полюса і тому може бути підрахований відносно центра порожнини ; - вектор відносної швидкості рідини в порожнині ; .

Характеристичне рівняння збуреного обертання невільної системи гіроскопів Лагранжа з ідеальною рідиною має вигляд [9]

. (4.2)

Тут , , , , , (), , . Коефіцієнти , визначаються тільки геометрією порожнини . Їх величини для еліпсоїдальної, циліндричної та канонічної порожнини наведено в роботі Л.В.Докучаєва та Р.В. Рвалова1.

На підставі отриманого характеристичного рівняння (4.2) розглянута задача про можливість стабілізації нестійкого обертання твердого тіла з рідиною одним чи двома твердими тілами, які обертаються [24-25, 32, 46].

У пункті 4.4.1. досліджено рівняння (4.2) для . Наприклад, при його можна записати так [9]

(4.3)

Тут , , , , , , ,

. (4.4)

Рівняння (4.3) () з урахуванням основного тону коливання рідини () є поліномом 9-го степеня. При воно записується у вигляді полінома 6-го степеня [4, 45]

. (4.5)

Тут , , , , , , , ,

,

(4.6)

,, , , , ,

Якщо тільки -те тверде тіло не містить рідину, то порядок рівняння (4.5) знижується на одиницю, а в коефіцієнтах () треба покласти і , а якщо рідина відсутня і в другому твердому тілі, то порядок цього рівняння знижується на дві одиниці.

У підрозділі 4.5 досліджені необхідні умови стійкості рівномірних обертань вільної системи гіроскопів Лагранжа, які містять ідеальну рідину. Характеристичне рівняння збуреного руху вільної системи гіроскопів Лагранжа з ідеальною рідиною має вигляд (4.2). Необхідно тільки покласти та зробити перерахування тензора інерції відносно центра мас тіла . Показано, що у випадку однакових гіроскопів Лагранжа () з нестійкості обертання навколо центра мас одного твердого тіла з рідиною випливає нестійкість обертання всієї системи.

Характеристичне рівняння збуреного руху вільної системи при має вигляд (4.3). Необхідно тільки величини , обчислювати за формулами

 (4.7)

З урахуванням основного тону коливань рідини () характеристичне рівняння у випадку вільної системи має 8-ий степінь ()

. (4.8)

Коефіцієнти () обчислюються за раніше отриманими формулами, в яких треба покласти , а параметри обчислювати за формулами (4.7).

У підрозділі 4.6 досліджена стабілізація нестійкого обертання твердого тіла з рідиною твердими тілами, які обертаються.

Для проведення аналітичних досліджень поставлена задача спрощена і розглянута стабілізація нестійкого обертання твердого тіла з рідиною другим твердим тілом, яке обертається. Характеристичне рівняння з урахуванням тільки основного тону коливань рідини () представлено поліномом 5-го степеня [24-25, 32, 46].

Виходячи з умов дійсності коренів рівняння п'ятого степеня, досліджена можливість стабілізації нестійкого обертання твердого тіла з рідиною за допомогою параметрів другого твердого тіла, яке обертається, та величини пружного моменту .

Дослідження впливу основних параметрів () та на можливість стабілізації приводить до вимоги виконання чотирьох нерівностей 2, 4, 6 та 8 степеня відносно або 1, 3, 5 та 7 степеня відносно , старші коефіцієнти яких додатні.

Таким чином, при досить великих значеннях і можлива стабілізація нестійкого обертання твердого тіла з рідиною. Більш тонкий вплив величин і на ефект стабілізації отримано на підставі чисельних розрахунків.

У пункті 4.6.2 проведені аналогічні дослідження стабілізації нестійкого обертання вільного гіроскопа Лагранжа з рідиною твердими тілами, які обертаються. Якщо розглядати стабілізацію тільки одним твердим тілом, то характеристичне рівняння має четвертий порядок і система нерівностей буде складатися з трьох нерівностей відповідно 2, 4 і 6 степеня відносно і 1, 2 і 5 степеня відносно . Слід зауважити, що старші коефіцієнти цих нерівностей додатні. Таким чином, як і у випадку невільної системи, при досить великих і , існує можливість стабілізації нестійкого обертання вільного твердого тіла з рідиною, твердим тілом, яке обертається.

Так, наприклад, для еліпсоїдальної оболонки, масою якої можна знехтувати, зменшення відомого інтервалу нестійкості () за допомогою одного () та двох () твердих тіл, які обертаються, буде наступним [24-25]:

де - безрозмірна маса твердих тіл, які обертаються.

При чисельних розрахунках друге тверде тіло, яке обертається, вибиралось у вигляді злегка увігнутого, випуклого або плоского тонкого кругового диска. Результати чисельних розрахунків для невільної системи представлені на рис.4.1-4.3. Області стійкості заштриховані.

П'ятий розділ складається з двох частин: перша частина - підрозділи 5.1-5.3, друга - 5.4. У першій частині розглянута в лінійній постановці задача про вільні коливання ідеальних нестисливих рідин, що не змішуються і частково або цілком заповнюють порожнину в твердому тілі, яке обертається, в полі масових сил. За незбурений рух приймається обертання всієї системи як одного твердого тіла з постійною кутовою швидкістю . Задача знаходження спектра частот коливань - шарової стратифікованої рідини, яка обертається, зведена до розв'язання граничної задачі на власні числа, що може бути зроблено аналітично або чисельно. Отримано точні розв'язки граничної задачі для циліндричної порожнини у випадку швидкого та повільного обертань.

В другій частині розділу досліджена стійкість рівномірного обертання гіроскопа Лагранжа, що має коаксіальну циліндричну порожнину, заповнену важкою багатошаровою ідеальною рідиною [30]. В основу цієї частини розділу покладена відома робота K. Stewartson Stewartson K. On the stability of a spinning top containing liquid // J. Fluid Mech. - 1959. - Vol. 5, pt. 4. - P. 577-592..

У підрозділі 5.1 розглянута наступна гранична задача про вільні коливання важкої багатошарової ідеальної рідини, яка рівномірно обертається [7, 17, 31]:

на , на ( ), на ( ) (5.1)

де ; - орт осі ; ; ; ; ( );

- незбурені вільна або внутрішня поверхні ( ); - поверхня порожнини, що змочується; - орт зовнішньої нормалі до поверхні області.

Показано, що поява в цілком заповненому циліндрі довільної висоти внутрішньої поверхні з нескінченно малим радіусом приводить до того, що в багатошаровій ідеальній стратифікованій рідині, яка обертається, виникають коливання з частотою, яка відповідає власному числу . Інші частоти не змінюються і співпадають з частотами коливань -шарової рідини, яка цілком заповнює циліндричну порожнину.

У підрозділі 5.3 проаналізований випадок повільного обертання ( ). Показано, що з точністю до відбувається розщеплення частот тільки антисиметричних коливань багатошарової рідини. Розщеплення частот осесиметричних коливань має порядок .

У підрозділі 5.4 досліджена стійкість рівномірного обертання гіроскопа Лагранжа, який має циліндричну порожнину, заповнену важкою багатошаровою ідеальною рідиною, в припущенні, що в незбуреному русі вільна та внутрішня поверхні є циліндричними. Дане припущення можна вважати цілком виправданим при досить великій величині кутової швидкості обертання твердого тіла. Аналогічне припущення щодо вільної поверхні для однорідної рідини було зроблено багатьма авторами. Спектр власних частот малих коливань описаний у припущенні малості маси багатошарової рідини.

У шостому розділі розглянута в лінійній постановці задача про рух твердого тіла з порожниною, яка містить важку багатошарову ідеальну рідину.

У підрозділі 6.1 досліджені власні коливання багатошарової рідини. Отримане і докладно досліджене рівняння власних частот коливань багатошарової рідини, що знаходиться в циліндричній судині довільного поперечного перерізу . Для багатошарової рідини, яка складається з однакових шарів, виписаний аналітичний розв'язок. Розглянуто задачу про власні коливання багатошарової рідини на випадок необмежених шарів.

Показано, що потенціальна енергія багатошарової рідини буде додатно визначеною при природній стратифікації (), тобто коли більш важка рідина знаходиться нижче менш важкої. З варіаційної задачі показано, що введення ”кришки” на вільну поверхню багатошарової рідини приводить до збільшення першої власної частоти.

Система лінійних диференціальних рівнянь малих коливань вільної і внутрішньої поверхонь багатошарової рідини в циліндричній судині має вигляд [5, 10]

. (6.1)

Тут - коефіцієнти розкладання форм вільної () і внутрішніх поверхонь в узагальнений ряд Фур'є на власні функції , а - відповідні їм власні числа; - глибина заповнення -ой рідини; , ; , , .

Структура системи диференціальних рівнянь (6.1) визначається тим, що -ий шар рідини взаємодіє тільки з і шарами (за винятком першого й останнього шарів рідини). Рівняння (6.1) описують також коливання багатошарової ідеальної рідини в судині, що рухається поступально з деяким прискоренням паралельно лінії дії сили ваги.

Власні частоти коливань важкої багатошарової ідеальної рідини знаходяться з рівняння [26]

, (6.2)

де - симетрична трьохдіагональна матриця, , , .

Показано, що частотний спектр власних коливань важкої - шарової ідеальної рідини складається з наборів власних частот, які відповідають коливанням вільної і внутрішніх поверхонь. Для нескінченно глибокого -го шару (, ) частотне рівняння розпадається на два рівняння, які описують коливання - шарової рідини з ”твердим” дном і - шарової рідини з ”твердою” кришкою на вільній поверхні. Додавання другої рідини до однорідної нескінченно глибокої рідини приводить до появи нової частоти при збереженні колишньої частоти, де нова частота менше колишньої. Частота коливань однорідної рідини з ”твердим” дном вище частоти коливань цієї ж рідини на поверхні другої рідини, тобто заміна ”твердого” дна ”м'яким” приводить до зменшення частот коливань. При досить великих глибинах заповнення власні частоти коливань багатошарової рідини визначаються за формулою .

У підрозділі 6.2 досліджені вимушені коливання багатошарової рідини в судині, яка здійснює заданий рух у просторі.

Зліченна система звичайних лінійних диференціальних рівнянь вимушених коливань вільної та внутрішніх поверхонь багатошарової рідини має вигляд [8, 10]

. (6.3)

Тут , , , , , , , , , ( ), , , .

У підрозділі 6.3 отримані в лінійній постановці рівняння руху твердого тіла, яке містить важку багатошарову ідеальну рідину.

Рівняння поступального руху твердого тіла з багатошаровою рідиною записуються так [5, 10]

(6.4)

Для замкненості системи рівнянь (6.4) до них треба додати рівняння (6.3) при .

Рівняння малих коливань твердого тіла навколо нерухомої осі (фізичний маятник) мають вигляд [8, 10]

, (6.5)

де - кут відхилення твердого тіла від стану рівноваги; , і - відстань відповідно від незбуреної вільної поверхні і центру мас твердого тіла до осі обертання, , ; , - осьовий момент інерції твердого тіла, .

Для замкненості рівняння (6.5) до нього треба додати рівняння (6.3) при , , , , , .

У підрозділі 6.4 розглянута задача про поперечні коливання під дією пружної сили твердого тіла, яке має довільну порожнину, що містить багатошарову ідеальну рідину (задача Л.М.Сретенського) [5, 10]. З додатної визначеності потенціальної енергії отримані достатні умови стійкості стану рівноваги системи, які зводяться до природної стратифікації багатошарової рідини і відмінному від нуля коефіцієнту пружності пружини. У пункті 6.4.1 для циліндричної порожнини отримане рівняння частот (, - корінь рівняння, - невідома частота). Проведені аналітичні дослідження показали відсутність у цього рівняння від'ємних коренів при . Таким чином, необхідні умови стійкості, отримані з умов відсутності від'ємних коренів у характеристичного рівняння, і достатні умови, отримані з додатної визначеності потенціальної енергії, співпадали.

У підрозділі 6.5 з варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського виведені рівняння малих плоских коливань фізичного маятника, який має довільну порожнину, що містить багатошарову ідеальну рідину. З додатної визначеності потенціальної енергії отримані умови стійкості стану рівноваги фізичного маятника, які зводяться до природної стратифікації багатошарової рідини і нерівності [8]

. (6.6)

Тут , .

Умова (6.6) визначається в основному різницею густини та величиною дзеркала вільної та внутрішніх поверхонь. У випадку повного заповнення підсумовування у формулі (6.6) варто починати з .

Для циліндричної порожнини () нерівність (6.6) приймає вигляд

, (6.7)

а у випадку повного заповнення -

 . (6.8)

Для однорідної рідини () умови (6.7) збігаються з відомою умовою, яка добре знайома фахівцям з теорії корабля, що перевозить рідкі вантажі.

Таким чином, узагальнені відомі умови стійкості для однорідної рідини на випадок багатошарової рідини. Як приклад розглянуто співвідношення (6.6) для порожнини у вигляді прямокутного паралелепіпеда. Показано, що в результаті навіть малої стратифікації відбувається зменшення інтервалу стійкості, що мав місце для однорідної рідини. Однак якщо відбулася мала стратифікація з малою товщиною шару, то в першому наближенні впливом цієї стратифікації на стійкість стану рівноваги фізичного маятника можна знехтувати.

У підрозділі 6.6 подано узагальнення задачі Л.М. Сретенського на систему твердих тіл, зв'язаних пружинами і здійснюючих рівномірний прямолінійний рух [3].

У сьомому розділі в лінійній постановці розглянута задача про рух твердого тіла з порожниною, яка містить важку багатошарову ідеальну рідину з пружними пластинками або мембранами на вільній та внутрішніх поверхнях багатошарової рідини [11-15, 18-22, 26-29, 36-42, 47]. До виведення основних рівнянь цього розділу покладено роботу Л.В. Докучаєва Докучаев Л.В. О колебаниях резервуара с жидкостью, на свободной поверхности которой расположена мембрана // Строительная механика и расчет сооружений. - 1972. - № 1. - C. 49-54..

У підрозділі 7.1 досліджені власні частоти коливань багатошарової рідини, яка знаходиться в циліндричній судині і розділена пружними пластинками густини , товщиною , з розтягуючими зусиллями в серединній площині. Пластинки жорстко закріплені по краю, вважаються ізотропними і мають циліндричну жорсткість .

Частотне рівняння вільних коливань важкої - шарової ідеальної рідини, яка знаходиться в циліндричній судині і розділена пружними пластинками, має вигляд [19 , 28, 38]

(7.1)

Тут , , , , і - діагональні матриці з елементами , , , , , , ; , , , , , , , , , , , .

У випадку пружних мембран рівняння (7.1) запишеться так

. (7.2)

Показано, що якщо -ий шар рідини має нескінченну глибину, то частотні рівняння (7.1) і (7.2) розпадаються на два рівняння. Перше рівняння описує власні частоти коливань - шарової рідини, розділеної пружними пластинками з абсолютно твердим дном, а друге - - шарової рідини з абсолютно твердою “кришкою”. Якщо ж усі , то рівняння (7.1) і (7.2) розпадаються відповідно на рівнянь.

З аналізу першого наближення ( ) частотного рівняння (7.1) для двошарової рідини () випливає, що для додатності коренів цього рівняння досить зажадати, щоб

. (7.3)

При невиконанні умови (7.3) можлива втрата стійкості плоскої форми рівноваги пружної пластинки, яка розділяє рідину різної густини.

Докладні аналітичні і чисельні дослідження рівнянь (7.1)-(7.2) були проведені для порожнин у вигляді прямокутного каналу [19-21, 38] і прямого кругового циліндра [15, 18, 22, 26-27, 40-41, 47].

Для прямокутного каналу шириною формула (7.3) була уточнена з урахуванням двох членів ряду [19]

( ). (7.4)

Для прямого кругового циліндра радіуса з пружними мембранами формула (7.3) також була уточнена з урахуванням двох, трьох і чотирьох членів ряду [22]

( ). (7.5)

На рис.7.1-7.2. представлено графіки залежності першої безрозмірної власної частоти від перевантаження ( ) ( , , ) для двошарової рідини ( ), яка знаходиться в циліндричній судині радіуса і, розділена пружною мембраною.

Криві 1 - 3 на рис.7.1 відповідають значенням (), а на рис.7.2 - значенням .

Рис. 7.1 Рис. 7.2

Чисельні дослідження показали, що якщо більш важка рідина знаходиться внизу судини (), то перша власна частота зростає із зростанням перевантаження, а при вона спадає, починаючи з деякого значення Інерційність мембран приводить до зменшення першої власної частоти [22]. Додавання другої рідини на поверхню пластинки, що знаходиться на вільній поверхні однорідної рідини, приводить до зменшення власних частот. Зменшення частот буде найбільш істотним, якщо додається рідина більшої густини. Однак при невиконанні умов (7.3)-(7.5) відбувається втрата стійкості плоского рівноважного стану пружної пластинки.

Проаналізовано частотне рівняння власних частот коливань важкої необмеженої багатошарової ідеальної рідини, розділеної пружними пластинками.

У підрозділі 7.2 на підставі модального аналізу виведена наступна зліченна система лінійних диференціальних рівнянь збуреного руху пружних пластинок і багатошарової рідини в циліндричній судині, що виконує заданий рух у просторі

. (7.6)

Тут, , , , , , , .

У підрозділі 7.3 у рамках лінійної теорії виведені рівняння руху твердого тіла, яке містить багатошарову рідину, розділену пружними пластинками.

Рівняння поступального () руху твердого тіла з багатошаровою рідиною і пружними пластинками мають вигляд

(7.7)

Тут , , .

Для замкненості рівнянь (7.7) до них треба додати рівняння (7.6) при .

У підрозділі 7.3 узагальнена задача Л.М.Сретенського на випадок, коли на вільній і внутрішніх поверхнях багатошарової рідини знаходяться пружні пластинки. З додатної визначеності потенціальної енергії отримані достатні умови стійкості стану рівноваги, що зводиться до нерівності

, (7.8)

де -двовимірний оператор Лапласа.

З нерівності (7.8) випливає, що при природній стратифікації () ця нерівність завжди виконана. Стійкість може бути порушеною, якщо . Однак, як видно з нерівності (7.8), за допомогою збільшення циліндричної жорсткості або попереднього натягу завжди можна домогтися виконання цієї умови і стабілізувати нестійкий стан рівноваги твердого тіла з багатошаровою рідиною.

Для циліндричної порожнини ( , , , ) співвідношення (7.9) запишеться так [28]

. (7.9)

Для виконання нерівності (7.8) досить вимагати, щоб

(7.10)

або

. (7.11)

Таким чином, умова стійкості стану рівноваги в задачі Л.М. Сретенського визначається умовою стійкості стану рівноваги багатошарової рідини і пружних пластинок у нерухомому твердому тілі. Це означає, що збурений рух твердого тіла з багатошаровою рідиною і пружними пластинками розглядається відносно стійкого стану рівноваги.

Нерівність (7.11) не залежить від глибин заповнення рідин і від масових характеристик пластинок . З цієї нерівності випливає, що якщо пружна пластинка чи мембрана знаходиться тільки на вільній поверхні ( , при , ), то при природній стратифікації багатошарової рідини стан рівноваги даної системи буде стійким.

Отримано і проаналізовано частотне рівняння для задачі Л.М. Сретенського [11, 13, 29, 42].

У підрозділі 7.5 виведені рівняння малих коливань фізичного маятника з циліндричною порожниною, яка містить багатошарову ідеальну рідину та пружні пластинки

Тут , , .

З додатної визначеності потенціальної енергії отримана наступна достатня умова стійкості стану рівноваги фізичного маятника з довільною порожниною, яка містить багатошарову ідеальну рідину, розділену пружними пластинками [12, 14, 29]

та . (7.12)

Тут, ,

, , .

Друга нерівність у (7.12) визначає умову стійкості стану рівноваги багатошарової рідини і пружних пластинок у нерухомій судині. Для виконання цієї нерівності досить зажадати виконання умов (7.10)-(7.11). При природній стратифікації друга нерівність у (7.12) завжди виконується.

Перша нерівність у (7.12) має вигляд

. (7.13)

З умови (7.13) випливає, що при чи величина і права частина нерівності (7.13) прямує до нуля. Отже, величинами і можна домогтися виконання цієї нерівності для будь-яких значень параметрів фізичного маятника, багатошарової рідини і пружних пластинок (за умови, що ), і тим самим стабілізувати нестійкий стан рівноваги фізичного маятника.

Отже, попереднім натягом та величиною циліндричної жорсткості можна стабілізувати нестійкий стан рівноваги фізичного маятника з багатошаровою рідиною, розділеною пружними пластинками.

Співвідношення (7.13) містять у собі як окремий випадок задачу про стабілізацію нестійкого стану рівноваги фізичного маятника з багатошаровою рідиною за допомогою пружної пластинки, розташованої на вільній поверхні. У цьому випадку в умові (7.13) варто покласти при . Отримана в такий спосіб нерівність, дозволяє оцінити вплив стратифікації, що відбулася в однорідній рідині з пружною пластинкою на вільній поверхні, на стійкість стану рівноваги фізичного маятника.

У випадку циліндричної порожнини в нерівностях (7.12) треба покласти і обчислювати по формулі (7.9).

Отримано та досліджено частотне рівняння малих коливань фізичного маятника, який містить багатошарову рідину, розділену пружними пластинками.

У восьмому розділі узагальнені основні рівняння і результати 6 розділу на випадок змінного складу -ої рідини. Передбачається, що в плоскому дні циліндричної порожнини є отвори ( ), через які відбувається подача чи злив -ої рідини з заданою нормальною швидкістю . Виведено зліченну систему лінійних диференціальних рівнянь малих коливань багатошарової рідини в циліндричній судині, яка здійснює заданий рух у просторі. Отримано рівняння руху твердого тіла, яке містить багатошарову рідину змінного складу. Розглянуто задачу Л.М. Сретенського для випадку багатошарової рідини змінного складу та задачу про малі коливання фізичного маятника.

Проведені чисельні дослідження задачі Л.М. Сретенського для порожнини у вигляді прямокутного паралелепіпеда та прямого кругового циліндра показали, що при вливанні рідини амплітуда і період коливань твердого тіла з часом зростають, а при витіканні спадають. При вливанні рідини коливання твердого тіла носять більш плавний характер, ніж при витіканні або при постійній масі багатошарової рідини. Незважаючи на те, що амплітуда коливань твердого тіла при вливанні рідини зростає - хвилі на вільній і внутрішніх поверхнях залишаються обмеженими.

Чисельні дослідження рівнянь малих коливань фізичного маятника, який містить багатошарову рідину змінного складу, показали, що як при вливанні, так і при витіканні рідини, відбувається зростання амплітуди коливань твердого тіла. При вливанні рідини амплітуда коливань фізичного маятника починає різко зростати, коли центр мас багатошарової рідини наближається до осі обертання, а при витіканні спостерігається значне зростання, що можна пояснити нестійкістю процесу коливань фізичного маятника при витіканні рідини.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі уперше розглянута задача стабілізації нестійкого руху твердого тіла з порожнинами, які містять рідину, задача про рух системи зв'язаних твердих тіл з рідиною (СЗТТР), задача про вплив стратифікації рідини та пружних включень на динаміку і стійкість руху твердого тіла.

Отримано наступні нові результати:

Досліджено необхідні умови стійкості рівномірного обертання гіроскопа Лагранжа з порожнинами, які містять ідеальну рідину. Показано, що якщо є подібні порожнини, то виникаючі кратні власні частоти належать до спектра частот тверде тіло - рідина і їх кратність на одиницю менше кількості подібних порожнин. Дане твердження узагальнює на випадок вихрового руху рідин відоме твердження для випадку потенціального руху рідин.

На прикладі коаксіальної циліндричної порожнини показана можливість стабілізації нестійкого обертання твердого тіла з рідиною за допомогою поперечних і коаксіальних перегородок. Знайдено оптимальне розташування перегородок і їх кількість. Як правило, для істотного зменшення області нестійкості досить 2-3 поперечних або 3-4 коаксіальних циліндричних перегородок, а при дії моменту, що відновлює, область нестійкості при введенні цих перегородок практично зникає. Оптимальне розташування перегородок визначається розподілом порожнини на рівні об'єми.

Показано, що сплюснені уздовж осі обертання еліпсоїдальні порожнини приводять до стійкого обертання твердого тіла з рідиною, а злегка витягнуті - нестійкого обертання при будь-якій кутовій швидкості.

Виведено рівняння руху системи зв'язаних твердих тіл з порожнинами, цілком заповненими ідеальною або в'язкою однорідною нестисливою рідиною (СЗТТР). Розглянуто випадок, коли одне з твердих тіл має нерухому точку, та випадок вільного руху системи. Отримано необхідні умови стійкості рівномірного обертання системи гіроскопів Лагранжа, які містять ідеальну рідину і зв'язані сферичними шарнірами з пружними моментами, що відновлюють. У випадку вільного руху однакових гіроскопів Лагранжа необхідною умовою стійкості є стійкість обертання одного твердого тіла з рідиною навколо його центра мас.

Показано можливість стабілізації нестійкого обертання твердого тіла з рідиною твердими тілами, які обертаються. Стабілізація стає неможливою, якщо відсутній пружний момент, що відновлює, і центри мас твердих тіл, які обертаються, співпадають з їх спільними точками з твердим тілом, яке містить рідину. При великих кутових швидкостях обертання твердих тіл і великому пружному моменті спостерігається ефект, аналогічний дії моменту, що відновлює, на розглянуту систему зв'язаних твердих тіл з рідиною. Ефект стабілізації зростає, якщо тверді тіла, які обертаються, є зрівноваженими.

Задача визначення спектра частот вільних коливань важкої багатошарової ідеальної рідини, яка рівномірно обертається, зведена до розв'язання граничної задачі на власні значення, що може бути розв'язана аналітично або чисельно. Отримано точні розв'язки цієї граничної задачі для коаксіальної циліндричної порожнини у випадку швидкого та повільного обертань.

Якщо в однорідній ідеальній рідині, яка обертається, відбулася кусково-постійна по густині стратифікація, то це приводить до зменшення власних частот коливань. Поява в цілком заповненому циліндрі довільної висоти нескінченно малої внутрішньої поверхні приводить до того, що в багатошаровій рідині виникають коливання з частотою, яка відповідає власному числу . Інші частоти не змінюються і співпадають з частотами коливань -шарової рідини, яка цілком заповнює циліндричну порожнину. При чималих значеннях внутрішнього циліндра з появою внутрішніх поверхонь з'являються нові частоти, які наближаються до деякої межі для нескінченно довгого циліндра, інші частоти незначно змінюються в області малих значень висоти циліндричної порожнини.

Частотний спектр власних коливань важкої - шарової ідеальної рідини, яка обертається, складається з наборів власних частот коливань поверхневих хвиль, що відповідають коливанням вільної і внутрішніх поверхонь. Спектр кожного набору зліченний і має єдину граничну точку на нескінченності. Поверхневі хвилі, зосереджені біля вільної та внутрішніх поверхонь, пояснюються дією гравітаційних сил і експоненціально загасають при віддаленні від цих поверхонь у глиб кожної з рідин. Через наявність обертання до цього набору додаються -наборів власних частот коливань інерційних хвиль, що відповідають внутрішнім хвилям в областях. Вплив коливань - го набору слабко виявляється в областях при .