Динамічні задачі теорії пружності для тіл з тонкими пружними включеннями

КУНЕЦЬ Ярослав Іванович

УДК 539.3

ДИНАМІЧНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТІЛ З ТОНКИМИ ПРУЖНИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Львів - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант - член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Кіт Григорій Семенович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Попов Геннадій Якович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова МОН України, завідувач кафедри методів математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор Бабаєв Арташес Едуардович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник відділу теорії коливань;

доктор фізико-математичних наук, професор Сулим Георгій Теодорович, Львівський національний університет ім. Івана Франка МОН України, завідувач кафедри механіки;

Провідна установа Донецький національний університет, кафедра прикладної механіки і комп'ютерних технологій, Міністерство освіти і науки України, Донецьк. Захист відбудеться “8” лютого 2006 року о “15” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий “30” грудня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук Р.М. Мартиняк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

хвильовий тіло динамічний навантаження

Актуальність теми. Розвиток технологій отримання композитних матеріалів, вдосконалення засобів неруйнівного контролю та дефектоскопії, сучасні проблеми динамічної механіки руйнування, медицини, геофізики, сейсмології, океанології значно розширили сферу вивчення контактної взаємодії тонких деформівних тіл з оточуючим середовищем. Тонкі пружні неоднорідності є не тільки концентраторами напружень, але й широко використовуються як наповнювачі композитів, резонатори, хвилеводи, розсіювачі звуку, вузли систем вимірювальної техніки. В цих випадках, окрім вирішення традиційних проблем оцінки міцності та деформативності структур, важливого значення набуває дослідження спектральних характеристик розсіяних полів, чутливості пружних систем до динамічного збурення, в тому числі й нестаціонарного. Стають також більш різноманітними режими експлуатації конструкцій з тонкостінними елементами, модифікуються умови контакту фаз неоднорідної пружної системи та ускладнюється їх топологія тощо.

Актуальною, як з точки зору багатьох застосувань, так і в теоретичному плані є проблема дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонкостінних неоднорідностей в ізотропному пружному середовищі за допомогою розсіяних пружних полів. Вирішення цієї проблеми складається із двох етапів: на першому етапі розробляються методи дослідження прямих контактних задач динамічної теорії пружності, а на другому будуються алгоритми розв'язання відповідних обернених задач. Однак побудова останніх наштовхується на принципові труднощі теоретичного та обчислювального характеру, зумовлені нелінійністю та некоректністю обернених задач, а також недостатнім вивченням відповідних прямих задач. Це спонукає до вдосконалення відомих та розробки нових алгоритмів вирішення таких проблем.

Що стосується прямих задач динамічної взаємодії тонкостінних пружних включень з оточуючим середовищем, то проблема їх розв'язання актуальна з точки зору механіки руйнування, конструювання нових композитних матеріалів тощо. Теоретична сторона цієї проблеми передбачає математичне моделювання динамічної взаємодії складових композиту, а також розробку нових числово-аналітичних алгоритмів дослідження механічних явищ, які при цьому виникають. Передумови для проведення таких досліджень закладені сучасними здобутками різних наукових центрів і шкіл в області математичних методів мішаних задач механіки суцільного середовища та моделей деформування тонкостінних елементів, проміжкових шарів та покрить з урахуванням впливу на них полів різної природи. Зокрема, розроблено різні підходи для отримання ефективних граничних умов, що визначають взаємодію тонкостінної пружної неоднорідності з матрицею. Проте математично обґрунтованішим для механіки тонких тіл є асимптотичний підхід, який ґрунтується на використанні малого параметра, що характеризує відношення товщини до характерного лінійного розміру об'єкту. Використання такого підходу часто дозволяє спростити не тільки умови контакту, але і скоротити та полегшити шляхи їх отримання. Більшість робіт в цьому напрямку відноситься до випадку статичних задач теорії пружності, а також до досліджень напружено-деформованого стану тонких пластин та оболонок при статичних та динамічних навантаженнях. Слід зазначити, що кількість наукових праць, спрямованих на використання асимптотичних методів при описі динамічної поведінки композитів з тонкими неоднорідностями, порівняно нечисленна. Розширення класу задач пружно-динамічної взаємодії тіл з тонкими пружними включеннями в свою чергу стимулює розвиток числово-аналітичних алгоритмів дослідження хвильових явищ в таких структурах. Усе сказане свідчить про недостатню вивченість означених вище проблем та їх актуальність з огляду на сучасні потреби науки і техніки.

Метою дисертації є розробка моделей пружно-динамічної взаємодії тонкостінних пружних включень з матрицею та встановлення якісних та кількісних закономірностей поведінки таких композитів як під усталеними, так і нестаціонарними навантаженнями. Досягнення вибраної мети передбачає вирішення такого комплексу питань:

отримання ефективних граничних умов взаємодії тонких неоднорідностей з матрицею як за ідеального, так і неідеального (випадки одностороннього відшарування чи жорсткого підкріплення включення) контакту при різних співвідношеннях їх жорсткостей за дії усталених динамічних навантажень;

розробка нових та розвиток існуючих математичних методів розв'язання сформульованих динамічних мішаних задач механіки суцільного середовища;

виявлення закономірностей розподілів полів, дифрагованих тонкою пружною неоднорідністю, як у її околі, так і в дальній зоні (зоні Фраунгофера), а також полів, розсіяних у рідину тонкими пружними сферичними оболонками з отвором;

створення на основі отриманих розв'язків прямих задач алгоритмів дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонкостінних включень певної жорсткості в однорідному ізотропному необмеженому пружному середовищі.

Об'єктами дослідження є динамічний напружено-деформований стан тіл, що містять тонкі неоднорідності, а також хвильове поле, розсіяне в рідині тонкостінним пружним сферичним резонатором з отвором.

Предметом досліджень є динамічні задачі теорії пружності для тіл з тонкими пружними включеннями за різних умов контактної взаємодії між матрицею та неоднорідністю. Розроблені в дисертації моделі, математичні методи та проведений теоретичний і числовий аналіз націлені на всебічне вивчення хвильових процесів в середовищах з тонкими неоднорідностями у рамках лінійної теорії пружності, а також на застосування запропонованих в роботі методів до розв'язання окремих задач гідропружності.

Методи досліджень. Для загального аналізу перехідних та усталених процесів у дво- та тривимірних композитах в дисертаційній роботі використовувалась низка методів. Зокрема, під час вивчення перехідних процесів в структурах з тонкими неоднорідностями застосовувався метод інтегрального перетворення Фур'є за часом, в результаті чого отримані відповідні стаціонарні задачі. Наближені моделі динамічної взаємодії між складовими композиту побудовані в рамках теорії сингулярних збурень. При дослідженні дифракційних полів в пружних структурах для двовимірних задач теорії пружності застосовувалась теорія сингулярних інтегральних рівнянь з подальшим використанням методів ортогональних многочленів та механічних квадратур. Крім цього, наближені розв'язки інтегральних рівнянь у високочастотній області будувались за допомогою методу складених асимптотичних розкладів на основі розв'язків відповідних інтегральних рівнянь типу Вінера-Хопфа. Для визначення хвильових полів у дальній зоні Фраунгофера модифіковано ефективний у цьому випадку метод нульового поля (метод Т-матриць), а також частковий його випадок - метод напівобернення (при розгляді відповідних задач гідропужності). Дослідження динамічного напружено-деформованого стану необмеженого тіла, що містить тонке просторове включення низької жорсткості, проводилось шляхом зведення, за допомогою методу потенціалів, відповідної контактної задачі до системи граничних інтегральних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюджетних наукових тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за відомчими замовленнями НАН України (1993-1996 рр.: „Розробка методу акустодіагностики пружно-деформованого стану і внутрішньої структури твердих тіл в рідині або газі з використанням ефекту недзеркального відбиття обмеженого звукового пучка”, № державної реєстрації 0193U033343, дисертант - виконавець; 1997-2001 рр.: „Дослідження методом граничних інтегральних рівнянь впливу геометричних параметрів дефектів типу тріщин на пружно-деформований стан тіл під дією статичних та динамічних силових і теплових навантажень”, № державної реєстрації 0197U008954, дисертант - відповідальний виконавець; 1997-2002 рр.: „Розробка методів і алгоритмів побудови розв'язків прямих і обернених задач термопружності та гідропружності стосовно до оптимізації та відтворення напруженого стану в неоднорідних тілах”, № державної реєстрації 0197U017671, дисертант - відповідальний виконавець); 2002-2005 рр.: „Дослідження дифракції пружних хвиль та концентрації напружень на тріщинах і тонких включеннях у тривимірних та кусково-однорідних тілах на основі гранично-інтегрального формулювання відповідних задач механіки”, № державної реєстрації 0102U000450, дисертант співавтор проекту і відповідальний виконавець), проектів Державного фонду фундаментальних досліджень (1992-1993 рр.: „Розробка методів аналізу ехо-сигналів від тіл неканонічної форми в рідині чи пружному середовищі”, № 1/174, дисертант - відповідальний виконавець; 2001-2005 рр.: „Розробка методів дослідження динамічних процесів у тривимірних пружних тілах з дефектами типу тріщин і тонких включень”, № державної реєстрації 0103U006116, дисертант - співавтор проекту і відповідальний виконавець), пошукової науково-дослідної теми „Дослідження напружено-деформованого стану пружних тіл з тонкими пружними включеннями при статичних та динамічних навантаженнях” (1992, № 21/152, дисертант - керівник теми), цільових наукових програм НАН України (2002-2004 рр.: „Математичне моделювання динамічного деформування і термомеханічної взаємодії неоднорідних структур з тріщинами, тонкостінними включеннями та контактними недосконалостями”, № державної реєстрації 0102U001617, дисертант - відповідальний виконавець; 2005 р.: „Розробка аналітично-числових методів дослідження неоднорідностей структури пружних тіл на основі вивчення їх взаємодії з акустичними полями”, № державної реєстрації 0105U000232, дисертант - відповідальний виконавець), науково-технічного інноваційного проекту НАН України „Прогнозування нафтогазоносності гірських порід за комплексом їх геофізичних параметрів” (2005 р., № державної реєстрації 0105U006544, дисертант - виконавець), а також у рамках науково-дослідних договорів ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України з різними зацікавленими організаціями.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

запропоновано новий підхід для дослідження пружно-динамічної взаємодії тонкостінних пружних включень з оточуючим середовищем (як при ідеальному механічному контакті компонент пружної системи, так і при односторонньому відшаруванні чи жорсткому підкріплені неоднорідності), який передбачає вирішення такого комплексу задач:

- розробку нових та розвиток існуючих асимптотично наближених (за малий параметр приймається відношення товщини дефекту до характерного лінійного розміру його серединної поверхні (лінії)) моделей контакту тонкої неоднорідності з матрицею, що справедливі в окремих діапазонах відношень між пружними сталими складових композиту, але які у сукупності охоплюють всю область зміни механічних параметрів компонент;

- створення на цій основі об'єднаної моделі контакту складових пружного середовища, справедливої при довільних пружних властивостях цих складових;

- постановку та розв'язання відповідних еталонних статичних задач теорії пружності, що дозволяють описати поведінку напружено-деформованого стану композиту безпосередньо поблизу краю включення в залежності від форми цього краю;

сформульовано новий та розширено існуючі класи задач динаміки тіл з тонкими неоднорідностями за різних умов механічного контакту між компонентами пружних систем та розроблено підходи до їх дослідження, основні положення яких полягають у:

- детальному математичному вивченні особливостей поведінки полів зміщень та напружень у композиті, передовсім у околі краю тонкого включення;

- поданні полів дифрагованих хвиль через стрибки зміщень та напружень в матриці на серединній поверхні неоднорідності;

- зведенні задач до систем граничних інтегро-диференціальних рівнянь відносно цих стрибків;

вперше отримано низку числово-аналітичних розв'язків нових двовимірних та просторових задач еластодинаміки для тіл, що містять тонкостінні включення, та проведено комплекс досліджень закономірностей розподілу хвильових полів, дифрагованих тонкими неоднорідностями в оточуюче середовище, зокрема:

- досліджено динамічну концентрацію напружень поблизу краю тонких плоских неоднорідностей низької жорсткості в залежності від механічних властивостей складових композиту, форми включень та вигляду імпульсних навантажень пружної системи;

- виявлено основні властивості усталених та нестаціонарних хвильових полів, дифрагованих тонкими криволінійними тунельними пружними включеннями змінної товщини у дальню зону (зону Фраунгофера) при ідеальному механічному контакті складових композиту та при односторонньому жорсткому підкріпленні неоднорідності;

- вивчено явище різкої зміни розподілу напружень поблизу вершини гострокінцевого тонкого дефекту при прямуванні його жорсткості до нуля;

- досліджено структуру ехо-сигналів, перевипромінених в рідину тонкими сферичними пружними оболонками з отвором в залежності від механічних та геометричних параметрів розсіювача,

вперше сформульовано та розв'язано обернені задачі розсіяння усталених пружних хвиль - визначення форми та механічних властивостей тонкостінних плоских включень для широкого діапазону зміни пружних сталих складових композиту.

Вірогідність основних наукових положень та отриманих результатів забезпечується: використанням достовірних моделей механічних процесів у деформівних тілах; строгістю математичної постановки задач та методів їх розв'язання; оперуванням із класом розв'язків, що мають фізичне трактування і забезпечують математичні умови обернення рівнянь; переходом динамічних розв'язків під час стабілізації процесу в статичні; збігом числових результатів, отриманих в роботі різними методами; узгодженням часткових результатів із відомими в літературі; відповідністю висновків та результатів фізичній суті досліджуваних явищ.

Практичне значення отриманих результатів полягає у створенні комплексу методів для розрахунку та дослідження хвильових полів (як усталених, так і нестаціонарних), розсіяних тонкостінними пружними оболонковими включеннями в навколишнє середовище. Запропонований комплекс дає змогу: вивчати концентрацію напружень поблизу неоднорідностей, що важливо при розрахунку, проектуванні та оцінці міцності пружних систем з тонкими пружними елементами; аналізувати ехо-сигнали від цих неоднорідностей, що створює підґрунтя для розв'язання відповідних обернених задач дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонких об'єктів. Запропоновані в дисертації результати можуть використовуватись як базові при розв'язуванні більш складних задач (наприклад, для включень ускладненої топології за інших умов контакту з матрицею), а також бути корисними при тестуванні результатів розрахунків, отриманих за допомогою інших методів. Вони можуть знайти застосування у машинобудуванні, будівельній індустрії, енергетиці, при вирішенні проблем дефектоскопії, гідропружності тощо.

Окремі теоретичні і прикладні результати, викладені в дисертації, були використані при виконанні низки госпдоговорів практичного спрямування.

Апробація результатів роботи. Результати досліджень доповідались і обговорювались на 2-ій та 3-ій Всесоюзних конференціях “Механіка неоднорідних структур” (Львів, 1987, 1991), 4-ій Всесоюзній науково-технічній конференції “Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности” (Миколаїв, 1988), Всесоюзному симпозіумі “Взаимодействие акустических волн с упругими телами” (Таллінн, 1989), 4-ій Всесоюзній конференції “Смешанные задачи механики деформируемого тела” (Одеса, 1989), 4-ій Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), 3-ому, 4-ому, 6 - 9-их Міжнародних семінарах “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Львів-Тбілісі, 1998, 1999, 2001-2004), 2-ому міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів” (Львів, 1996), Міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), 4-ому, 5-ому, 6-ому Міжнародних симпозіумах Українських інженерів-механіків (Львів, 1999, 2001, 2003), 3-ій, 5-ій та 6-ій Міжнародних наукових школах-семінарах “Импульсные процессы в механике сплошных сред” (Коблево, 1999, 2003, 2005), Міжнародних конференціях “Dynamical system modeling and stability investigation” (Київ, 1999, 2003), Міжнародних конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000; Львів, 2003), 10-ій Міжнародній конференції “System modeling control” (Закопане, Польща, 2001), Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 2004).

У повному обсязі робота доповідалася на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування і контактних явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С. Кіта; на науковому семінарі відділу теорії коливань Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка під керівництвом академіка НАН України В.Д. Кубенка; на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки” Одеського національного університету ім. І.І. Мечнікова МОН України під керівництвом професора Г.Я. Попова; на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка МОН України під керівництвом професора Г.Т. Сулима; на об'єднаному науковому семінарі кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій та кафедри теорії пружності й обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом професора С.О. Калоєрова.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані у 36 наукових роботах, в тому числі у 24 статтях [1-24] у журналах і збірниках, які відповідають вимогам ВАК України до фахових видань. Всього за темою дисертації опубліковано 56 наукових праць.

Основні результати роботи отримані автором самостійно. У всіх працях, опублікованих у співавторстві, автору належать постановки задач, розвиток і реалізація підходів до їх розв'язання, інтерпретація отриманих результатів. Зокрема, у статті [4] автор брав участь у математичному моделюванні розглядуваного явища та розробці комплексу методів його дослідження у тій частині, де використовувалась теорія сингулярних збурень; у працях [2, 3, 5, 17, 27] автор приймав участь у створенні числово-аналітичних методів дослідження розглядуваних проблем та інтерпретації отриманих результатів; в статтях [8-11, 18-21, 23, 30-32, 34, 35] - у формулюванні проблеми, її аналітичній і числовій реалізації. В роботах [6, 12-16, 22, 25, 26, 28, 33, 36] автору належить ідея дослідження, її аналітична реалізація та участь в інтерпретації отриманих результатів.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, які містять 93 рисунки та одну таблицю, висновків, списку використаних джерел із 369 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 288 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, висвітлено новизну отриманих результатів та їх практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи.

У першому розділі на підставі аналізу літературних джерел висвітлено передумови виникнення та сучасний стан розглянутих в дисертації проблем, які з одного боку є теоретичним відображенням потреб практики, а з іншого постають як закономірний етап розвитку механіки пружних тіл з тонкими неоднорідностями; обґрунтовано необхідність їх подальшого вивчення. Вирішення в дисертаційній роботі цих проблем базувалось на використанні методів механіки суцільного середовища, в тому числі методів динамічної теорії пружності, значний вклад в розвиток яких внесли Дж. Ахенбах, А.Е. Бабаєв, В.А. Бабешко, Я.Й. Бурак, Й.І. Ворович, О.Р. Гачкевич, В.Т. Головчан, О.Л. Гольденвейзер, Я.М. Григоренко, О.Я. Григоренко, В.Т. Грінченко, О.М. Гузь, О.Ю. Жарій, С.О. Калоєров, Г.С. Кіт, О.С. Космодаміанский, В.С. Крутіков, В.Д. Кубенко, В.Д. Купрадзе, В.В. Мелешко, С. Мов, Ю.М. Неміш, В.І. Сторожев, Й. Пао, В.З. Партон, О.П. Піддубняк, Я.С. Підстригач, Ю.М. Подільчук, Г.Я. Попов, В.М. Сеймов, І.Т. Селєзов, Г.Т. Сулим, А.Ф. Улітко, М.А. Черевко, М.О. Шульга, Є.Г. Янютін та інші вчені. Проблема визначення напружено-деформованого стану тіл з тонкостінними включеннями належить до класу контактних задач теорії пружності і вимагає розвитку специфічних математичних методів, пов'язаних зі змішаними граничними умовами, що виникають при наближеному моделюванні контакту тонких тіл з оточуючим середовищем (в загальному випадку це можуть бути тонкі вирізи, пружні та абсолютно жорсткі включення, прошарки, плівки, підкріплення тощо). Математичні моделі та методи розв'язання контактних задач теорії пружності, термопружності, електропружності викладені в працях В.М. Александрова, М. Аліабаді, О.Є. Андрейківа, В.А. Бабешка, М.М. Бородачова, А. Бострьома, Є.В. Глушкова, Н.В. Глушкової, Р.В. Гольдштейна, А.Г. Горшкова, Е.І. Григолюка, Д.В. Гриліцького, О.М. Гузя, Ф.Е. Ердогана, О.О. Євтушенка, В.Ф. Ємця, Ч. Жанга, В.В. Зозулі, А.О. Камінського, Б.Я. Кантора, Г.С. Кіта, Ю.М. Коляно, В.Д. Кубенка, Р.М. Кушніра, В.В. Лободи, М.Д. Мартиненка, Р.М. Мартиняка, В.В. Михаськіва, М.Ф. Морозова, В.І. Моссаковського, С.М. Мхітаряна, З.Т. Назарчука, М.М. Николишина, Р. Олсона, В.А. Осадчука, В.К. Опанасовича, В.В. Панасюка, Б.Л. Пелеха, Я.С. Підстригача, Ю.З. Повстенка, Г.Я. Попова, В.Г. Попова, М.П. Саврука, В.П. Силованюка, В. Сладека, Я. Сладека, Л.І. Слєпяна, М.Г. Стащука, С.А. Смирнова, Г.Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, А.Ф. Улітка, М.В. Хая, Р.М. Швеця, В.П. Шевченка, П.Р. Шевчука, Г.П. Черепанова та інших дослідників.

При розгляді контактних задач для середовищ з тонкостінними неоднорідностями важливе значення посідає проблема математичного моделювання механічної взаємодії тонкого включення з оточуючим середовищем. На даний час для вирішення цієї проблеми найбільш поширеними є два підходи, які часто доповнюють один одного. Згідно з першим поведінка включення моделюється з використанням математичних чи механічних припущень, або відомих співвідношень теорії пластин та оболонок. В розвиток цього підходу значний вклад внесли вчені В.М. Алєксандров, О.Є. Андрейків, С. Аткінсон, Р. Вестман, Д.В. Гриліцький, Г. Гупта, Ф. Ердоган, А.І. Каландія, Г.С. Кіт, Е. Мелан, Г.А. Морарь, С.М. Мхітарян, Т. Мура, В.К. Опанасович, О.П. Піддубняк, Я.С. Підстригач, Г.Я. Попов, В.Г. Попов, М.В. Радіолло, В.С. Саркісян, Ш. Секіне, О.В. Соткілава, М.М. Стадник, І.Д. Суздальницький, Г.Т. Сулим, А.А. Сяський, Р. Томпсон, Л.Ф. Фільштинський, Г.П. Черепанов, К.С. Чобанян, М.В. Хай, А.С. Хачикян та інші. Такий підхід, зокрема, застосовувався при вивченні гідропружної взаємодії тонких пружних оболонок з рідиною, в розвиток якого суттєвий вклад внесли І.Я. Аміро, А.Е. Бабаєв, Н.Д. Векслер, В.Т. Грінченко, А.Г. Горшков, Е.І. Григолюк, О.М. Гузь, В.О. Заруцький, В.Д. Кубенко, Я.Л. Метсавеер, О.П. Піддубняк, Я.С. Підстригач та інші. В основу другого, асимптотичного підходу покладено методи теорії сингулярних збурень, згідно з якими розв'язки задач подаються у вигляді асимптотичних (зовнішніх) розкладів з подальшим додатковим їх вивченням (побудовою пограничних шарів, внутрішніх асимптотичних розкладів) в областях швидкої зміни розглядуваних механічних процесів. Цей підхід започатковано та розвинуто в працях В.Ф. Бутузова, М.Д. Ван-Дайка, Й.І. Воровича, А.Л. Гольденвейзера, Р.Дреслера, І.Є. Зино, І.С. Зоріна, А.М. Ільїна, Д. Калеріе, С.К. Канауна, Ю.Д. Каплунова, Г.С. Кіта, В.Г. Мазьї, О.Б. Мовчана, С.А. Назарова, В.Ю. Новокшенова, О.П. Піддубняка, Б.О. Пламєнєвского, Е. Санчес-Паленсії, І.Б. Симоненко, І.В. Симонова, Д.Ф. Сімонса, Е.А. Тропа, К.О. Фрідріхса, Г.П. Черепанова та інших вчених.

Для розв'язання змодельованих динамічних задач теорії пружності для тіл з кінцевими тонкими дефектами та аналізу дифракційних явищ, що виникають в них, в даний час є низка потужних та ефективних числово-аналітичних методів, зокрема, методи граничних інтегральних рівнянь, сингулярних інтегральних рівнянь, розривних розв'язків, функцій стрибка, нульового поля (метод Т-матриць), інтегральних перетворень та інші методи. У становлення та розвиток цих підходів суттєвий вклад внесли згадані вище вчені. Що стосується обернених задач дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонких неоднорідностей та аналогічних споріднених питань, то тут кількість вирішених проблем, в порівнянні з відповідними прямими задачами, суттєво менша. В цьому зв'язку слід відзначити праці О.Є Андрейківа, І.В. Баранова, Н.Д. Векслера, В.Ф. Ємця, Д. Колтона, Р. Кресса, М.В. Лисака, З.Т. Назарчука, В.Р. Скальского, А.Н. Соловйова, В.Ф. Чекуріна та інших вчених.

З огляду літератури, наведеного в розділі, видно, що на сьогодні дослідженнями не охоплено низки важливих аспектів явища дифракції хвиль тонкими пружними об'єктами. Зокрема, відсутній загальний підхід до моделювання пружно-динамічної взаємодії тонкостінного включення з навколишнім середовищем незалежно від їх механічних властивостей та форми неоднорідності. Недостатньо вивчено особливості полів, дифрагованих включеннями різних форм з довільними механічними характеристиками. Розробка методів розв'язання обернених задач дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонких недосконалостей перебуває, практично, на початковому етапі. Цим і був зумовлений вибір теми дисертаційного дослідження.

В другому розділі зроблено математичну постановку динамічних і відповідних стаціонарних задач теорії пружності для тіл з тонкими неоднорідностями, що розглядаються в роботі, та подано загальну схему методу зрощування асимптотичних розкладів, за допомогою якого досліджуються ці задачі. Отримано моделі динамічної взаємодії тонкого пружного просторового включення з матрицею при ідеальному контакті складових композиту.

Нехай в однорідному пружному середовищі з модулями Ляме, і густиною знаходиться тонкостінне пружне включення змінної товщини з відповідними параметрами, що займає область.

Переміщення в пружній системі задовольняють динамічні рівняння Ляме. В роботі розглянуто три випадки умов механічного контакту неоднорідності з оточуючим середовищем.

Для повної постановки задач слід враховувати також нульові початкові умови.

Для розв'язання поставлених вище задач використано інтегральне перетворення Фур'є за часом, в результаті чого у другому підрозділі отримуються відповідні стаціонарні постановки. Тоді спектри зміщень в композиті та (- параметр перетворення Фур'є) задовольняють відповідні стаціонарні рівняння Ламе, умови спряження та умови випромінювання на безмежності.

В наступному підрозділі для моделювання пружно-динамічної взаємодії включення і матриці при ідеальному їх контакті у випадку усталених коливань тіла викладена загальна схема методу зрощування асимптотичних розкладів. Основна ідея цього методу полягає в тому, що розв'язки задач шукаються у вигляді асимптотичних (зовнішніх) розвинень за малим параметром у всьому композиті з подальшим їх вивченням (побудовою пограничних шарів, внутрішніх асимптотичних розкладів) поблизу країв тонкого включення. Схема пояснена на прикладі задачі поздовжнього зсуву при ідеальному контакті складових композиту. У цьому випадку форму включення (1) можна подати у вигляді (- ортогональна система координат, зв'язана із серединною лінією включення).

Відмінні від нуля компоненти векторів зміщень у матриці та у включенні та задовольняють рівняння Гельмгольца, умову випромінювання Зоммерфельда та умови спряження складових композиту.

Підставивши ряди в рівняння руху і умови (6) та прирівнявши вирази при однакових степенях, отримаємо спрощені умови контакту складових пружної системи, знесені на серединну лінію включення, для знаходження головних членів розкладів. Форма цих умов визначається співвідношенням між параметром механічної контрастності неоднорідності та величиною.

Таким чином, за ідеального механічного контакту тонких пружних неоднорідностей з оточуючим середовищем виділяються три діапазони співвідношень між пружними властивостями складових композиту, які приводять до різних класів контактних задач з відповідними типами граничних умов, записаних на серединній поверхні недосконалості.

Це включення малої жорсткості, які характеризуються стрибком зміщень та неперервністю напружень на серединній поверхні; включення великої жорсткості, коли неперервні зміщення та наявний стрибок напружень; включення слабої контрастності, що характеризуються відомими стрибками зміщень і напружень, визначеними через прикладені до композиту навантаження.

Співвідношення з точністю до величин порядку визначають розв'язок задачі всюди, за винятком малих околів кінців включення, де виникають пограничні шари внаслідок знесення умов контакту на серединну лінію неоднорідності. Для врахування форми краю дефекту в цих околах розв'язок шукаємо у вигляді внутрішніх асимптотичних розкладів, що узгоджуються із зовнішніми розкладами за допомогою принципу узгодження. Зауважимо, що у випадку пограничних шарів не виникає. Внутрішні поправки при визначаються поведінкою зовнішнього розв'язку в околі краю неоднорідності. Для прикладу розглянемо випадок включення малої жорсткості із затупленим кінцем. У цьому випадку володіє асимптотикою (- сталі, що визначаються в процесі розв'язання зовнішніх задач, а у випадку тріщини коефіцієнт безпосередньо зв'язаний із коефіцієнтом інтенсивності напружень).

Ввівши внутрішні змінні, спрямувавши та скориставшись принципом зрощування асимптотичних розкладів, бачимо (із врахуванням (14)), що кінець неоднорідності трансформується в напівбезмежну прямокутну область.

Таким чином, напружено - деформований стан тіла в малій прикінцевій області включення визначається відповідними статичними задачами з однорідними умовами контакту складових композиту на границі їх розділу, навантаження в яких задаються умовами на безмежності.

У четвертому підрозділі з метою ілюстрації достовірності наведених вище моделей розглянуто тестову задачу розсіяння плоских SH - хвиль на пружному шарі сталої товщини між двома півпросторами при ідеальному механічному контакті між ними. Точний розв'язок такої задачі відомий в літературі (див. наприклад монографії Л.М. Бреховских, І.А. Вікторова).

Однак слід зазначити, що наведені нижче розв'язки, отримані за допомогою граничних умов, знесених на серединну лінію неоднорідності, полегшують процес аналізу явища розсіяння пружних хвиль на тонких прошарках і тому мають самостійне значення.

Оскільки в цьому випадку характерний розмір неоднорідності, за малий безрозмірний параметр можна прийняти відношення, - довжина падаючої на шар хвилі. Тобто, проміжковий шар вважається тонким у тому розумінні, що його хвильовий розмір (відношення його товщини до довжини падаючої хвилі) малий.

Аналіз наведених закономірностей показує хороший збіг між точними значеннями коефіцієнта відбиття та результатами, отриманими за допомогою асимптотично наближених умов поведінки тонкого включення у відповідному діапазоні.

В інших підрозділах даного розділу з допомогою запропонованого вище підходу змодельовано пружно-динамічну взаємодію просторових тонких оболонкових включень змінної товщини з оточуючим середовищем. Розглянуто випадки неоднорідностей слабої контрастності, малої та великої жорсткості і в кожному випадку побудовано пограншарові поправки, що уточнюють характер поведінки зміщень та напружень в околі краю включення в залежності від геометричної структури цього краю.

В третьому розділі метод асимптотичного моделювання поширено на випадок неідеального контакту складових композиту. Запропоновано моделі взаємодії односторонньо жорстко підкріпленого контакту або відшарованого тонких пружних включень з матрицею у випадку динамічної задачі поздовжнього зсуву.

Як і у випадку ідеального контакту окремо розглянуто три діапазони зміни параметра контрастності. Зокрема, при односторонньому жорсткому підкріпленні у випадку неоднорідності слабої контрастності чи високої жорсткості з точністю до головних членів зовнішніх розкладів.

Таким чином, жорсткість тонкостінного включення у випадку діапазонів слабо впливає на напружено-деформований стан композиту, за винятком малих околів кінців дефекту, де необхідно будувати відповідні внутрішні розклади. Головний член зовнішнього асимптотичного розкладу можна трактувати як розв'язок задачі для необмеженого тіла з абсолютно жорстким включенням при дії на нього збуджуючого навантаження. У випадку неоднорідності низької жорсткості її динамічна поведінка асимптотично наближено моделюється співвідношеннями з відповідними пограншаровими поправками в прикінцевій зоні включення. З допомогою цих умов також наближено визначається напружено-деформований стан композиту при довільних значеннях параметра.

Аналогічним чином в роботі розглянуто випадок одностороннього відшарування включення. З метою проілюструвати достовірність отриманих результатів та показати межі застосування запропонованих моделей розглянуто задачу розсіяння плоских SH - хвиль на пружному жорстко підкріпленому шарі постійної товщини, що покриває півпростір, при ідеальному механічному контакті між ним та шаром. Спостерігається хороше співпадіння розв'язку такої задачі із відповідними результатами, отриманими за допомогою моделей взаємодії тонкого пружного односторонньо жорстко підкріпленого включення з оточуючим середовищем.

В цьому ж розділі показана можливість застосування методу зрощування асимптотичних розкладів при дослідженні задачі віброакустичного збудження двошарового пакету, ослабленого горизонтальною тріщиною. Вивченню напружено-деформованого стану багатошарових пластин з розшаруванням присвячено багато публікацій.

Однак, викладена методика в деяких випадках суттєво спрощує дослідження задач такого класу. Зокрема, розглянуто випадок, коли жорсткість однієї складової двошарової пластини (покриття) набагато менша від іншої, в ній знаходиться розшарування (або на границі розділу матеріалів) і границя якої над областю розшарування перебуває під дією усталеної в часі зосередженої нормальної сили. Показано, що в цьому випадку амплітуда коливань пакету найбільш суттєва в області покриття, розміщеній над розшаруванням, і з достатньою для практики точністю визначається рівнянням згинних коливань цієї області при умові жорсткого закріплення її контуру. Запропонована методика та отримані висновки спрямовані на теоретичне обґрунтування застосування резонансного віброакустичного методу контролю дефектів типу відшарувань у покриттях із пінополіуританових матеріалів.

В наступних розділах на основі запропонованих вище моделей досліджено ряд нових двовимірних та просторових динамічних задач теорії пружності для тіл з тонкостінними пружними включеннями. В четвертому розділі метод нульового поля (метод Т-матриць) розвинуто щодо стаціонарних та нестаціонарних задач розсіяння пружних хвиль на тонкостінних криволінійних включеннях змінної товщини, коли пружна система перебуває в умовах плоскої деформації або поздовжнього зсуву. Розглядаються випадок ідеального контакту включення та матриці, або випадок односторонньо жорстко підкріпленого включення. Суть запропонованого числово-аналітичного алгоритму пояснимо на прикладі стаціонарної задачі поздовжнього зсуву та включення низької жорсткості.

Припускається, що на тонкостінну неоднорідність низької жорсткості, яка знаходиться в необмеженому середовищі, набігає під кутом плоска хвиля. Нехай - доповнення серединної лінії включення до замкнутої лінії; область розміщена зовні, область обмежена нею. Як відомо із загальних положень методу нульового поля (див. роботи таких авторів як P.C. Waterman, P. Olsson, V.V. Varadan, V.K. Varadan та інших) граничні значення шуканих функцій та їх нормальних похідних.

Вибір форми подань продиктований структурою граничних умов. З урахуванням розкладів, умов неперервності зміщень та напружень отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь безмежного порядку для визначення коефіцієнтів, яку розв'язуємо методом редукції.

Зазначимо, що суттєвим недоліком запропонованого підходу є те, що за його допомогою трудно визначити напружено-деформований стан в околі пружного включення. Однак, при визначенні хвильових полів в дальній зоні, що важливо для задач неруйнівного контролю, його переваги незаперечні завдяки простішим математичним викладкам та значно більшій швидкості розрахунків значень досліджуваних механічних величин в порівняння з іншими методами.

В другому підрозділі за допомогою запропонованого алгоритму у випадку задачі поздовжнього зсуву досліджено закономірності поведінки стаціонарних та нестаціонарних хвильових полів, дифрагованих тонкими криволінійними включеннями малої жорсткості та змінної товщини в дальню зону, де розподіл зміщень згідно з умовою випромінювання.

Аналогічні закономірності для амплітуд розсіяння спостерігаються також при розсіянні плоских хвиль на криволінійних включеннях (серединна лінія яких дуга кола, еліпса тощо), а також у випадку нестаціонарних задач розсіяння імпульсів плоских хвиль різної форми (монохроматичні, квазімонохроматичні, вибухоподібні сигнали тощо) тонкими неоднорідностями. Крім цього показано, що хвильовий пакет відклику від тонкого розсіювача можна проаналізувати за геометричними часами затримки приходу в довільну точку матриці падаючого, дзеркально відбитого від розсіювача імпульсів, та хвиль, дифрагованих краями включення. Ці складові вносять головний вклад в структуру відклику, а аналіз їх затримок використовується для оцінки достовірності отриманих в роботі результатів.

У наступному підрозділі запропонований підхід поширюється на випадок одностороннього жорсткого підкріплення включення, коли пружна система перебуває в умовах поздовжнього зсуву.

Досліджено особливості поведінки спектральних та часових залежностей амплітуди розсіяння при різних пружних властивостях складових композиту, форми розсіювача та форми зондуючого імпульсу. Відзначимо, що збільшення жорсткості матеріалу включення або зменшення площі його поперечного перерізу зумовлює зменшення рівня амплітуди розсіяння. Однак ці фактори суттєво впливають на поведінку спектрів розсіяння лише при невисоких частотах.

У четвертому підрозділі аналізуються особливості гідроакустичного осесиметричного розсіяння звуку тонкою сферичною пружною оболонкою з круговим отвором як в гармонічному, так і нестаціонарному режимах, в припущенні, що на розсіювач набігає звуковий імпульс, який генерується точковим джерелом, зосередженим на його осі симетрії зі сторони отвору. Тиски в акустичному середовищі як зовні, так і в середині пружного резонатора задовольняють хвильове рівняння, а динамічні процеси в ньому визначаються рівняннями руху оболонок типу Кірхгофа-Лява при жорсткому закріплені його країв. Для розв'язання цієї задачі розвинуто метод напівобернення, яким раніше досліджувалися аналогічні задачі розсіяння для акустично м'яких чи жорстких резонаторів (див. роботи В.П. Шестопалова, С.С. Виноградова, А.М. Радіна, В.А. Резуненко та інших авторів), і який можна вважати поширенням методу Т-матриць. Відмінність запропонованого тут підходу полягає в тому, що зміщення в пружній оболонці подаються у сумі двох доданків: перший з них відповідає руху замкнутої сферичної оболонки в акустичному середовищі при заданих навантаженнях, другий задовольняє однорідні рівняння руху оболонки і служить для задоволення граничних умов на краю резонатора.

В результаті отримано квазірегулярну систему лінійних алгебраїчних рівнянь безмежного порядку для визначення коефіцієнтів розкладу фур'є-густин акустичних тисків у розсіяному оболонкою хвильовому полі за парціальними сферичними хвилями.

Аналіз числових розрахунків показав, що при невеликих отворах в оболонці в спектрі амплітуди розсіяння з'являються додаткові високодобротні резонанси в області низьких частот. Причому зміна в розмірі розхилу резонатора проявляється в більшій мірі на амплітуді спектральних ліній, ніж на їх зсуві в частотній області. Аналіз ехо-імпульсів за геометричними часами затримки показав, що хвильовий пакет утворюється внаслідок суперпозиції імпульсу (з протилежною фазою), дзеркально відбитого від тильної поверхні всередині резонатора, та імпульсів, перевипромінених поверхневими хвилями (безмоментного типу) оболонки. Крім цього, значний внесок дають слабо згасаючі хвилі, перевідбиті на стінках всередині резонатора. Найбільш інтенсивний ехо-імпульс доповнюється передвісником, перевипроміненим на защемленому краю отвору. Слід зазначити, що із збільшенням жорсткості резонатора відгук від нього стає інтенсивнішим.

В заключному п'ятому підрозділі показано можливість застосування методу нульового поля для дослідження полів напружень у півплощині з опуклим отвором неканонічної форми, при дії на нього внутрішнього змінного за часом тиску. Такі задачі можуть знайти застосування при дослідження явища акустичної емісії в процесі руйнування пружних матеріалів.

В п'ятому розділі розвинуто метод сингулярних інтегральних рівнянь стосовно вивчення динамічного напружено-деформованого стану необмеженого тіла з тонким пружним прямолінійним включенням малої жорсткості та змінної товщини, коли композит перебуває в умовах плоского деформованого стану або поздовжнього зсуву.

Запропонований підхід, в порівнянні із алгоритмом методу нульового поля, дозволяє обчислювати поля напружень поблизу тонкого включення, зокрема, коефіцієнти інтенсивності напружень. Однак час розрахунку механічних величин, наприклад амплітуд розсіяння, при цьому суттєво зростає. Залучення в роботі цих двох методів дозволяє провести аналіз точності результатів через їх співставлення в області застосовності обох підходів.

Ключовим елементом запропонованих процедур є подання розв'язків динамічних задач з допомогою формули Бетті та відповідних фундаментальних розв'язків у вигляді інтегральних співвідношень через стрибки зміщень. При задоволенні ними наближених умови контакту та отримано сингулярні інтегральні рівняння для визначення.

Подаючи шукані функції у вигляді розкладу за поліномами Якобі, з використанням методу ортогональних многочленів, отримуємо квазірегулярну систему лінійних алгебраїчних рівнянь безмежного порядку відносно коефіцієнтів розкладу розв'язку рівняння. Аналогічний алгоритм наведений також для випадку плоскої деформації композиту.

В другому підрозділі цього розділу за допомогою запропонованих алгоритмів аналізуються основні властивості напружень в необмеженому середовищі, що містить тонке пружне тунельне прямолінійне включення змінної товщини та низької жорсткості. Досліджено поведінку дифрагованих включенням полів в композиті поблизу краю неоднорідності та в дальній зоні (зоні Фраунгофера) в залежності від форми дефекту та його механічних властивостей.

Аналіз поведінки спектрів амплітуд розсіяння гармонічних хвиль плоскими неоднорідностями різних форм та матеріальних властивостей у випадку плоскої деформації показує якісну її подібність з аналогічними частотними залежностями для задач поздовжнього зсуву.

Такий же висновок отриманий при дослідженні поведінки коефіцієнтів інтенсивності напружень для двовимірних задач теорії пружності в околі краю дефекту. Зокрема, збільшення жорсткості матеріалу включення або зменшення площі його поперечного перерізу зумовлює пониження рівня напружень в композиті. У короткохвильовій області вплив жорсткості матеріалу включення на спектри амплітуд механічних величин незначний; зокрема основний вклад у розсіяне біля краю дефекту поле вносить крайова хвиля, що не залежить від пружних властивостей розсіювача.

На рис. 6 показано часові залежності нормованих коефіцієнтів інтенсивності напружень, (- швидкість поперечних хвиль в матриці) в околі країв неоднорідності товщини у випадку задачі поздовжнього зсуву при різних значеннях параметра. На дефект нормально до нього набігає квазімонохроматичний імпульс плоских хвиль.

Відлік часу ведеться з моменту приходу падаючого імпульсу в початок системи координат. З наведених результатів випливає, що істотні значення амплітуд спостерігаються на визначених проміжках часу, початки яких збігаються з часами приходу на край включення падаючого чи відповідного дифрагованого імпульсів. Так, перше збільшення амплітуди відповідає приходу на край включення падаючого імпульсу, друге - приходу сигналу, дифрагованого протилежним краєм включення. Причому рівень амплітуд обох складових зменшується при збільшенні жорсткості матеріалу неоднорідності. Подібні закономірності спостерігаються при інших формах та кутах падіння імпульсів.

У третьому підрозділі побудовано асимптотичні короткохвильові наближення розв'язку стаціонарної задачі поздовжнього зсуву (розв'язку інтегрального рівняння) у випадку, коли в необмеженому середовищі знаходиться тонке прямолінійне включення постійної товщини та низької жорсткості. Отримані зручні для користування наближені вирази обчислення узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень поблизу краю дефекту суттєво скорочують час розрахунку цих величин.

Наближені розв'язки рівнянь будуються за допомогою методу складених асимптотичних розкладів на основі розв'язків відповідних інтегральних рівнянь Вінера-Хопфа. Зазначимо, що ця процедура добре відома в контактних задачах теорії пружності при розв'язуванні інтегральних рівнянь типу згортки, що володіють логарифмічною особливістю в ядрах (Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974). Порівняння значень коефіцієнтів інтенсивності напружень, розрахованих за допомогою високочастотних наближень із відповідними результатами, отриманими на основі викладеного у другому підрозділі алгоритму розв'язання рівняння, показує їх хороше співпадіння при.

В цьому ж підрозділі для розглянутої задачі з допомогою методу конформних відображень отримано числовий алгоритм побудови пограншарових поправок для уточнення напружено-деформованого стану тіла поблизу країв неоднорідності в залежності від їх геометричної структури.

В четвертому підрозділі обґрунтовано різку зміну характеру напружень в кінці гострої вершини тонкого включення при прямуванні жорсткості його матеріалу до нуля та запропоновано алгоритм дослідження пограничних шарів, які при цьому виникають, у випадку поздовжнього зсуву пружної системи. Відомо, що поблизу вершини гострого пружного включення, яке знаходиться з матрицею в умовах ідеального контакту, напруження обмежені. При прямуванні жорсткості матеріалу неоднорідності до нуля (тріщина в пружному тілі) спостерігається ефект формування кореневої особливості напружень поблизу її краю. При поясненні цього явища використовувався метод зрощування асимптотичних розкладів. Припускалося, що поведінка включення моделюється умовами, за малий параметр взято величину. Показано, що поведінка зміщень та напружень в матриці визначається розв'язком відповідної задачі теорії пружності для тіла з тріщиною із відповідними пограншаровими поправками в невеликому околі кінця неоднорідності. Для їх визначення запропоновано алгоритм, в основу якого покладено метод сингулярних інтегральних рівнянь та метод колокацій. В підрозділі наведено також схему поширення запропонованого підходу для пояснення подібних явищ у випадку тонких неоднорідностей великої жорсткості, а також у випадку неідеального контакту матриці та включення.

В шостому розділі досліджуються дифракційні процеси у тривимірних необмежених пружних тілах з тонкими неоднорідностями низької жорсткості або слабої контрастності. Розглянуто кругові в плані включення змінної товщини, що займають область, - круг радіуса.

У випадку дефектів низької жорсткості механічний контакт складових композиту моделюється тривимірними аналогами спрощених умов.

Тоді стрибки зміщень на серединній лінії включення мають асимптотику, причому при, при; - достатньо гладкі в області функції. Як і у випадку аналогічних двовимірних задач теорії пружності зміщення в матриці подаються у вигляді інтегральних співвідношень через стрибки зміщень на серединній поверхні включення. При задоволені ними наближених умов контакту неоднорідності з оточуючим середовищем отримуємо систему граничних інтегральних рівнянь для визначення цих стрибків.