Кореляційні ефекти у процесі самоорганізації самоподібних стохастичних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

КОРЕЛЯЦІЙНІ ЕФЕКТИ У ПРОЦЕСІ САМООРГАНІЗАЦІЇ САМОПОДІБНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретична фізика

ХАРЧЕНКО ДМИТРО ОЛЕГОВИЧ

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Сумському державному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант - заслужений діяч науки і техніки України, доктор фізико-математичних наук, професор Олємской Олександр Іванович, Сумський державний університет.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділу теоретичної фізики Білоколос Євген Дмитрович, Інститут магнетизму НАН України

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Філь Дмитро Вячеславович, Інститут монокристалів НАН України

доктор фізико-математичних наук, професор Слюсаренко Юрій Вікторович, начальник відділу статистичної фізики та квантової теорії поля Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут”

Провідна установа - Інститут фізики конденсованих систем НАН України, відділ квантово-статистичної теорії процесів каталізу, м.Львів.

Захист відбудеться “ 17.05” 2006 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 при Інституті монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.

Автореферат розісланий “ 5.04 ” 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук М.В.Добротворська

АНОТАЦІЯ

Харченко Д.О. Кореляційні ефекти у процесі самоорганізації самоподібних стохастичних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут монокристалів НАН України, Харків, 2006.

Розвинуто теорію самоорганізації просторово розподілених стохастичних систем із самоподібним фазовим простором. Застосовано формалізм, який ґрунтується на використанні рівняння Ланжевена та Фоккера-Планка, що містять нелінійні складові та похідні дробового порядку.

Встановлено зв'язок між фрактальною вимірністю фазового простору, показником мультиплікативного шуму, параметром неадитивності та динамічним показником аномальної дифузії. У рамках польового формалізму показано, що часові залежності найбільш імовірних значень стохастичної змінної x та амплітуди флуктуацій спряженої сили визначаються початковим значенням x на фазовій площині. З'ясовано, що при зростанні показника інтенсивності шуму утворюється поглинаючий стан, який відповідає нульовому значенню параметра порядку та нескінченно великим флуктуаціям. Індукований мультиплікативним шумом перехід реалізується при закритичних початкових значеннях x; його проходженню сприяють зменшення керуючого параметра, послаблення просторової неоднорідності та зростання часу автокореляції. Показано, що характер часових асимптот параметра порядку та автокорелятора не залежать від ступеня забарвлення та показника мультиплікативного шуму. Встановлено, що сумісна дія адитивного та мультиплікативного скорельованих шумів позначається на упорядкуванні системи подвійно: при малих інтенсивностях мультиплікативного шуму його кореляції з адитивною складовою сприяють фазовому перетворенню, а при великих - шум пригнічує процес упорядкування. Крос-кореляції адитивного та мультиплікативного шумів впливають аналогічно зовнішнього поля, величина якого задається інтенсивностями та часом крос-кореляції шумів. Показано, що включення шумів приводить до переорієнтації параметра порядку, реверсивного фазового переходу і трансформації неперервного перетворення у переривчасте. Для системи, що самоорганізується, досліджено ефекти кореляцій флуктуацій амплітуди гідродинамічної моди, спряженого поля та керуючого параметра.

У рамках стохастичної моделі гірки піску проведено аналітичні та чисельні розрахунки для режиму самоорганізовуваної критичності. Поведінка поодинокої лавини параметризується вертикальною та горизонтальною компонентами швидкості та нахилом поверхні плинності. Стохастична еволюція ансамблю лавин подається самоузгодженою зміною розмірів лавин, ентропії та кінетичної енергії. Установлено, що самоподібна поведінка такого ансамблю спричиняється флуктуаціями кінетичної енергії.

Ключові слова: стохастична змінна, фазовий простір, самоподібність, адитивний та мультиплікативний шуми, кореляція, рівняння Ланжевена та Фоккера-Планка, неадитивність, самоорганізація, фазовий перехід, параметр порядку.

АННОТАЦИЯ

Харченко Д.О. Корреляционные эффекты в процессе самоорганизации самоподобных стохастических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая фізика. - Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 2006.

Развита теория самоорганизации пространственно распределенных стохастических систем, обладающих самоподобным фазовым пространством. Использован формализм, основанный на адиабатическом приближении, теории среднего поля и соответствующей феноменологической схеме, эвклидовой теории поля, кумулянтном разложении корреляторов высшего порядка, методе унифицированной аппроксимации цветного шума, а также на использовании уравнения Ланжевена с мультипликативными цветными шумами и уравнения Фоккера-Планка, содержащего нелинейные слагаемые и производные дробного порядка.

Установлена связь между фрактальной размерностью фазового пространства, показателем мультипликативного шума, параметром неаддитивности и динамическим показателем аномальной диффузии. В рамках полевого формализма показано, что временные зависимости наиболее вероятных значений стохастической переменной и амплитуды ее флуктуаций определяются начальным значением на фазовой плоскости. Выяснено, что с ростом показателя интенсивности шума образуется поглощающее состояние, отвечающее нулевому значению параметра порядка и бесконечно большим флуктуациям сопряженной силы. Переход, индуцированный мультипликативным шумом, реализуется при закритических начальных значениях ; его течению способствует уменьшение управляющего параметра, ослабление пространственной неоднородности и рост времени автокорреляции. Показано, что характер временных ассимптотик параметра порядка и автокоррелятора не зависит от степени окрашивания и показателя мультипликативного шума. Увеличение показателя неаддитивности приводит к уменьшению предельного значения интенсивности мультипликативного шума, ниже которого происходит упорядочение. Установлено, что совместное действие аддитивного и мультипликативного коррелирующих шумов сказывается на упорядочении стохастической системы двояким образом: при малых интенсивностях мультипликативного шума его корреляции с аддитивной составляющей способствуют фазовому превращению, а при больших шум подавляет процесс упорядочения. Кросс-корреляции аддитивного и мультипликативного шумов оказывают действие, подобное внешнему полю, величина которого определяется интенсивностями и временем корреляции этих шумов. Показано, что включение шумов приводит к переориентации параметра порядка, реверсивному фазовому переходу и трансформации непрерывного фазового превращения в прерывистое.

Установлено, что аддитивные флуктуации гидродинамической моды не сказываются на устойчивости неупорядоченной фазы, шум сопряженного поля стабилизирует ее, а флуктуации управляющего параметра действуют в обратном направлении, приводя к упорядочению в ограниченной области его значений и поглощающему состоянию. При этом изменение времени автокорреляции цветного аддитивного шума гидродинамической моды приводит к реверсивному переходу, при котором упорядоченное состояние ограничено как нижним, так и верхним значениями времени автокорреляции. Мультипликативные окрашенные флуктуации сопряженного поля индуцируют реверсивное упорядочение при изменении внешнего воздействия и пространственной неоднородности. В общем случае рост корреляций мультипликативного шума, увеличение скорости нарастания его интенсивности, пространственная неднородность и нелинейность системы способствуют реверсивному фазовому переходу.

Спонтанное формирование лавины в процессе самоорганизуемой критичности представляется моделью горки песка, течение которого параметризуется вертикальной и горизонтальной компонентами скорости и наклоном поверхности осыпания. Показано, что стохастическое формирование лавины определяется аддитивными шумами вертикальной компоненты скорости и наклона поверхности. При малых интенсивностях флуктуаций наклона система находится в покое, а рост этих флуктуаций способствует режиму самоорганизуемой критичности. Самосогласованное поведение неаддитивного ансамбля лавин представлено эволюцией их размеров, энтропии и энергии, мультипликативные флуктуации которой определяют самоподобную картину самоорганизуемой критичности. Установлено, что показатель степенного распределения лавин по размерам задается динамическим показателем, фрактальной размерностью пространства состояний, показателем аномальной диффузии, параметром неаддитивности и числом степеней свободы. Флуктуации кинетической энергии способствуют переходу системы в режим самоорганизуемой критичности с появлением поглощающего состояния. Рост времени корреляции этих флуктуаций приводит к увеличению критического значения интенсивности шума, при котором возникает режим самоорганизуемой критичности. Пространственная неоднородность системы способствует подавлению поглощающего состояния и переходу в режим самоорганизуемой критичности.

Ключевые слова: стохастическая переменная, фазовое пространство, самоподобие, аддитивный и мультипликативный шумы, корреляция, уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка, неаддитивность, самоорганизация, фазовый переход, параметр порядка.

ABSTRACT

D.O. Kharchenko. Correlation effects in self-organization process of self-similar stochastic systems, - Manuscript.

Thesis for the Degree of Doctor of Sciences in physics and mathematics, speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute for Single Crystals NAS of Ukraine, Kharkov, 2006.

The theory of self-organization of space expended stochastic systems with self-similar phase space is developed. The consideration is based on using both Langevin and Fokker-Planck non-linear equations with fractional derivatives.

Relations between fractal dimension of the phase space, exponent of the multiplicative noise, non-additivity parameter and dynamic exponent of the anomalous diffusion are stated. Within the framework of the field scheme, temporal dependencies of the most probable values of both stochastic variable and amplitude of fluctuations of conjugated force are shown to be determined by initial magnitude of the value on the phase plane. Absorbing state is appeared with an increase in the multiplicative noise exponent to be corresponded to zero value of the stochastic variable and infinitely large fluctuations. Noise induced phase transition is shown to realize at overcritical initial magnitude of the value, being stimulated with a decrease in control parameter, weakening of the space heterogeneity and increase of the correlation time. Combined effect of correlated additive and multiplicative noises is stated to influence into ordering process as follows: at small intensities of the multiplicative noise, its correlations with additive component promotes to phase transition, whereas at large ones the noise stresses ordering process. It is appeared, cross-correlations of additive and multiplicative noises effect as an external field, whose value is proportional to noise amplitudes and cross-correlation time. In general case, combined influence of above noises arrives at reorientation of the order parameter, reentrance phase transition and transformation of continues transition into discontinues one. The effect of correlated fluctuations of hydrodynamic mode, conjugate field and control parameter is studied for self-organized system.

Within stochastic sandpile model, both analytical and numerical considerations are performed for self-organized criticality. Single avalanche behavior is parameterized with both vertical and horizontal components of sand flow velocity and pile slope. Stochastic evolution of the avalanche ensemble is presented with self-consistent variation of the avalanche size, system complexity and kinetic energy. Self-similar behavior is shown to be determined with fluctuations of the energy.

Key words: stochastic variable, phase space, self-similarity, additive and multiplicative noises, correlations, Langevin and Fokker-Planck equations, non-additivity, self-organization, phase transition, order parameter.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

кореляційний стохастичний фазовий простір

Актуальність теми. Симетрія представляє одну з найважливіших властивостей фізичної системи, яка суттєвим чином визначає їх поведінку. Це відбивається наявністю законів збереження, виконання яких значно розширює фізичну картину симетричного об'єкта. Найважливіші приклади такого роду дають властивості однорідності та ізотропності простору-часу, наслідком яких є закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Використання теореми Нетер дозволяє узагальнити такі властивості для опису простору станів фізичної системи, симетрія якого приводить до законів збереження узагальнених зарядів.

Дослідження систем, які проявляють фазові переходи, свідчить, що вони володіють особливим типом симетрії - відносно зміни масштабу. Це віддзеркалюється у самоподібності стохастичних систем, що приводить до автомодельного характеру процесів, які проходять у них. Завдяки цьому уведення масштабів, які необхідним чином змінюються у часі, приводить до універсальних скейлінгових законів залежності функції розподілу стохастичної системи. Із геометричної точки зору такі об'єкти подаються самоподібними просторово-часовими множинами дробової вимірності (фракталами).

Із формальної точки зору властивість самоподібності віддзеркалюється використанням однорідних функцій, визначених у такий спосіб, що дилатація їх аргументів подається степеневим множником із дробовим показником. Як свідчить теорія критичних явищ, таку поведінку виявляють макроскопічні величини типу густини ймовірності, статистичних моментів, кореляційних функцій, сприйнятливостей та ін. Послідовна картина еволюції такого роду систем досягається використанням формалізму дробових інтегралів та похідних, нелінійних рівнянь Фоккера-Планка.

Найважливіша властивість стохастичних систем, що підвладні флуктуаційному впливу зовнішнього середовища, полягає у їх самоорганізації. При цьому самоподібність віддзеркалюється мультиплікативним характером шуму, інтенсивність якого змінюється степеневим чином. Застосування польового формалізму дозволяє знайти поведінку найбільш імовірних значень стохастичної змінної та спряженого з нею імпульсу. Однак повна картина еволюції стохастичної системи із мультиплікативним шумом потребує дослідження статистичних моментів, які загалом можуть мати дробовий порядок.

Дослідження феноменологічної картини процесу самоорганізації, що подає фазовий перехід, індукований шумом, досягається у рамках синергетичного підходу. Його використання дозволяє подати нелінійні властивості стохастичної системи, наявність позитивних та негативних зворотних зв'язків, дію корельованих шумів та просторову неоднорідність системи. Характерна особливість систем, що самоорганізуються, полягає в тому, що сумісна дія нелінійності, просторової неоднорідності та корельованих шумів може приводити до реверсивних переходів, при яких упорядкований стан спостерігається у замкненій області зміни керуючого параметра.

Останнім часом зростає інтерес дослідження самоорганізовуваної критичності, процес якої подається випадковою послідовністю лавиноподібних переходів стохастичної системи у самоподібний критичний режим. На відміну від звичайного процесу самоорганізації тут критичний стан досягається не в єдиній точці, що відповідає фазовому переходу, а у кінцевому інтервалі зміни параметрів системи. Незважаючи на інтенсивне розвинення відповідної теорії, до останнього часу не були виявлені причини скейлінгової поведінки системи, а картина лавиноутворення досліджувалася лише чисельними методами та у наближенні середнього поля.

До моменту виконання даної роботи існували й інші проблеми теорії самоорганізації стохастичних систем. Перша з них полягає у встановленні зв'язку фрактальної вимірності фазового простору з показниками, які характеризують часову поведінку системи, її неадитивність та інтенсивність шумів. Остаточно не з'ясовано картину упорядкування стохастичних систем, зокрема, причини реверсивних переходів, індукованих шумом. Практично не досліджувався вплив крос-кореляційних зв'язків між різними стохастичними джерелами на картину упорядкування.

У колі сучасних проблем теоретичної фізики особливої актуальності набули дослідження стохастичних систем, які виявляють поведінку, властиву фазовим переходам. Теоретична схема, що дозволяє всебічно подати особливості поведінки таких систем, ґрунтується на використанні синергетичної концепції. Розвинення теорії стохастичних систем, що самоорганізуються, потребує: дослідження фрактальної картини фазового простору, у якому проходять процеси аномального перенесення; дослідження впливу скорельованих флуктуаційних джерел на картину нерівноважних фазових переходів, індукованих шумом; дослідження особливостей процесу упорядкування стохастичних систем, що виявляють реверсивну поведінку та поглинаючий стан; самоузгодженого опису стаціонарних станів, які виникають у процесі самоорганізовуваної критичності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота пов'язана із виконанням держбюджетних тем “Синергетична теорія конденсованих середовищ” (номер державної реєстрації 0103U000772, термін виконання 2003-2005рр.) та “Дослідження впливу флуктуаційного середовища на процеси упорядкування в стохастичних системах” (номер державної реєстрації 0104U002435, термін виконання 2004-2005рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою є розвинення теоретичних методів, які дозволяють описати самоорганізацію самоподібних стохастичних систем, що підвладні дії скорельованих флуктуаційних джерел. Для цього необхідно вирішити такі завдання:

встановити зв'язок параметрів аномальної дифузії із фрактальною вимірністю фазового простору, динамічним показником та показником інтенсивності мультиплікативного шуму;

описати процес еволюції неадитивної стохастичної системи залежно від параметра неадитивності та показника потужності мультиплікативного шуму;

розробити польовий формалізм, що дозволяє описати фазові траєкторії у площині найбільш імовірних значень стохастичної змінної та амплітуди флуктуацій спряженої сили;

описати процес упорядкування просторово розподілених систем з мультиплікативними шумами залежно від інтенсивності флуктуацій, параметра неоднорідності, керуючого параметра та ступеня кореляції шумів;

розробити метод визначення моментів дробового порядку і на його основі описати поведінку параметра порядку та корелятора залежно від параметра неадитивності, ступеня забарвлення та показника мультиплікативного шуму;

розвинути метод опису системи, що самоорганізується, залежно від дії стохастичного джерела з кінцевим часом кореляції;

розробити картину нерівноважних фазових переходів, індукованих дією скорельованих стохастичних джерел у сильно- та слабкодисипативних системах;

описати процес упорядкування стохастичної системи із скорельованими шумами залежно від характеру дисипації, ступеня крос-кореляції, параметра неоднорідності та керуючого параметра;

розробити самоузгоджену модель формування лавини у процесі само-організованої критичності;

описати неадитивний ансамбль лавин та встановити зв'язок показника їх розподілу за розмірами із динамічним показником, фрактальною вимірністю простору станів, показником аномальної дифузії, параметром неадитивності та числом степенів вільності системи, що самоорганізується.

Методи дослідження. Розвинутий у роботі формалізм ґрунтується на адіабатичному наближенні, теорії середнього поля та відповідній феноменологічній схемі, евклідовій теорії поля, розвиненні за кумулянтами, методі уніфікованої апроксимації кольорового шуму, а також на використанні теорії марковських процесів, нелінійних рівнянь Ланжевена та Фоккера-Планка із похідними дробового порядку. Також розроблено та використано методи і алгоритми чисельних експериментів, що моделюють поведінку стохастичних систем.

Об'єктом дослідження є процес самоорганізації стохастичних систем, який проявляється в універсальній поведінці статистичних характеристик залежно від параметрів флуктуаційних джерел.

Предмет дослідження становить нелінійна динаміка систем із ієрархічною будовою у нерівноважних умовах та самоорганізація, обумовлена зовнішнім впливом і корельованими шумами.

Наукова новизна одержаних результатів

Доведено, що картина аномальної дифузії визначається ступенем неадитивності стохастичної системи, показником амплітуди мультиплікативного шуму та фрактальною вимірністю фазового простору, зростання якої приводить до спадання динамічного показника.

Опис поведінки найбільш імовірних значень параметра порядку та амплітуди флуктуацій спряженої сили досягається використанням польового формалізму. Встановлено, що перехід, індукований шумом, реалізується при докритичних значеннях показника його інтенсивності. Проходженню такого переходу сприяють зменшення керуючого параметра та зростання часу автокореляції шуму. При закритичних значеннях показника інтенсивності шуму утворюється поглинаючий стан.

Для самоподібної стохастичної системи розвинуто підхід, що дозволяє описати часову поведінку параметра порядку, одно- та двочасового кореляторів. Автокореляції мультиплікативного шуму приводять до реверсивного фазового переходу. Неадитивність стохастичної системи сприяє пониженню інтенсивності шуму, при якій відбувається упорядкування.

Встановлено, що крос-кореляції адитивного та мультиплікативного шумів впливають подібно зовнішньому полю, величина якого визначається амплітудами та часом кореляції цих шумів. Показано, що кореляції флуктуацій приводять до переорієнтації параметра порядку, реверсивного фазового переходу і трансформації неперервного фазового перетворення у переривчасте.

Встановлено, що зміна часу автокореляції флуктуацій амплітуди гідродинамічної моди приводить до реверсивного фазового переходу, шум спряженого поля забезпечує упорядкування в обмеженій області значень керуючого параметра, флуктуації якого індукують поглинаючий стан.

Встановлено, що нескорельовані шуми у системах, які самоорганізуються, приводять до неперервного фазового переходу, а крос-кореляції флуктуацій сприяють переорієнтаційному та реверсивному переходам. Зростання часу крос-кореляцій приводить до реалізації переривчастого фазового переходу.

Для опису формування лавини у процесі самоорганізовуваної критичності запропоновано синергетичну модель, що параметризується компонентами швидкості та нахилом поверхні руху. Показано, що такий режим досягається в умовах адіабатичної зміни швидкості лавини та прискореної зміни нахилу поверхні; переходу до такого режиму сприяють зростання флуктуацій вертикальної компоненти швидкості та нахилу.

Запропоновано статистичну картину ансамблю лавин, поведінка якого подається самоузгодженою зміною їх розмірів, ентропії та енергії. Степеневий розподіл лавин за розмірами задається динамічним показником, фрактальною вимірністю простору станів, показником аномальної дифузії, параметром неадитивності. Встановлено, що флуктуації кінетичної енергії сприяють переходу системи в режим критичності, що самоорганізується, а зростання часу їх автокореляції приводить до збільшення критичної інтенсивності шуму.

Наукове та практичне значення одержаних результатів

Розвинуті підходи аналізу рівняння Ланжевена з мультиплікативним шумом та нелінійного рівняння Фоккера-Планка дозволяють послідовно пояснити особливості аномального масоперенесення у конденсованих середовищах (наприклад, перенесення заряду в аморфних тілах).

Розвинуті польові та статистичні підходи дозволяють виявити кінетичні особливості фазових переходів, викликаних мультиплікативною дією зовнішнього шуму в лазерах, електронних приладах, біологічних системах та ін.

Показано, що вплив кореляцій шумів приводить до реверсивних, переорієнтаційних, неперервних та переривчастих фазових переходів, які спостерігаються в магнетиках, сегнетоелектриках, полімерних розчинах та біологічних системах (ансамблях молекул ДНК).

Розвинута картина пояснює особливості перебудови дефектних структур у процесі пластичної деформації надміцних сплавів та процесу вибухової кристалізації у тонких плівках напівпровідників, та поведінки сипких середовищ.

Особистий внесок здобувача. У працях [1-3,5-13,17,18,20,21], виконаних сумісно із співавторами, здобувач брав участь у поставленні задач, аналітичних викладках, проводив чисельні розрахунки, а також обговоренні отриманих результатів. Зокрема:

У праці [1] автор брав участь у поставленні задач, розробленні методів статистичного подання впливу крос-кореляцій та процедури чисельного моделювання, одержував біфуркаційні та фазові діаграми у випадку диспергуючого коефіцієнта тертя. У праці [2] автору належать поставлення задачі та аналітичні розрахунки стаціонарної поведінки статистичних моментів. У праці [3] здобувач брав участь у поставленні задачі, особисто розвинув польову схему, одержав біфуркаційні та фазові діаграми, що ілюструють вплив кореляцій флуктуацій на характер утворення лавин, провів дослідження часових залежностей розміру лавин та спряженого імпульсу. У працях [5-7,9] автору належать поставлення задачі і аналітичні обчислення. Поставлення задачі, аналітичні обчислення та опис перебудови дефектної структури у полі пластичної деформації, одержання фазових діаграм автором проводилось у роботі [8]. У праці [10] здобувачу належать поставлення задачі, розвинення статистичного підходу врахування крос-кореляцій флуктуаційна на картину фазового переходу, чисельне розв'язання рівняння станів. У роботі [11] автору належать чисельне дослідження умов виникнення одинокої лавини у флуктуаційному середовищі, розробка картини поведінки ансамблю лавин (одержання фазових діаграм, моделювання степеневих розподілів за розмірами лавин), аналітичне дослідження аномальних режимів формування лавин. У працях [12,13] дисертант брав участь у поставленні задачі та узагальненні задач опису аномальної дифузії, еволюції найбільш імовірних величин і статистичних моментів, узагальнення та подання самоорганізовуваної критичності, проводив чисельні розрахунки щодо ієрархічного опису аномальної дифузії. У праці [14] здобувачу належать поставлення задачі та розвинення статистичної картини поведінки параметра порядку та автокорелятора, одержання фазової діаграми. У працях [17,20] здобувачем проводилися: поставлення задачі; аналітичні обчислення для одержання статичної схеми; чисельне розв'язання рівнянь станів; розроблення програмного забезпечення для проведення чисельного експерименту. У роботі [18] автор брав участь у поставленні задачі, одержанні стаціонарних рівнянь для параметра порядку та автокорелятора, обчисленні часових асимптотик та чисельному розв'язанні еволюційних рівнянь. У праці [21] дисертант виконував аналітичні обчислення щодо одержання польового лагранжіана, чисельні розрахунки стаціонарних станів та фазових діаграм, проводив чисельний експеримент.

Роботи [4,15,16,19,22-25] виконано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації

Основні результати дисертаційної роботи обговорювалися на наукових семінарах Сумського державного університету, Інституту монокристалів НАН України, Інституту металофізики НАН України, Інституту конденсованих середовищ НАН України, Університету Карла (Прага, Чехія), а також на таких конференціях: Симпозіумі “Порядок у металах та сплавах” (Київ, 1998), International Workshop “Nonequilibrium Physics at Short Time Scales” (Дрезден, Німеччина, 2000); Міжнародній науковій конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001); International School-Seminar “Coherent Evolution in Noisy Environments” (Дрезден, Німеччина, 2001); Міжнародній науковій конференції “Фізика і технологія тонких плівок” (Івано-Франківськ, 2003); XVI Міжнародній школі-семінарі “Spectrocsopy of Molecules and Crystals” (Севастополь, 2003); Міжнародній науковій конференції “Statistical Physics 2005: Modern Problems and New Applications” (Львів, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 25 статтях. Роботи [12,13] є оглядовими, стаття [4] є монооглядом, а робота [3] видана як розділ колективної монографії.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 342 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 348 найменування. У роботі міститься 98 рисунків (подано у тексті).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлено актуальність теми досліджень, сформульовано мету роботи та визначено її наукову новизну і практичне значення. Окреслено зв'язок роботи з науково-дослідницькими роботами, визначено особистий внесок автора у спільних публікаціях.

Розділ „Ефекти самоорганізації стохастичних систем” має оглядовий характер і містить матеріал, який стосується опису ефектів самоорганізації у стохастичних системах та методів їх дослідження. Показано, що нелінійні системи здатні активно реагувати на стохастичний вплив середовища, змінюючи не лише простір своїх станів, але й властивості середовища. Серед найактуальніших питань щодо самоорганізації динамічних систем у розділі виділяються: аномальна дифузія, що супроводжується уповільненням або прискоренням процесів перенесення із скейлінговими залежностями статистичних характеристик у часі та просторі; індуковані шумом фазові переходи; критичність, що самоорганізується за відсутності сталого впливу зовнішнього середовища. Показано, що системи із такою поведінкою характеризуються самоподібним фазовим простором. У розділі висвітлено, що наведені ефекти виникають унаслідок дії флуктуаційних джерел, які у багатьох випадках можуть бути корельованими.

Існуючі методи опису картини самоорганізації стохастичних систем загалом, потребують розвитку, оскільки не дозволяють адекватним чином не лише подати аномальні властивості прискореного та уповільненого процесів перенесення, але й виявити їх вплив на картину виникнення упорядкованих станів. Виявлено, що у рамках однопараметричних моделей систем, що зазнають реверсивні фазові переходи не вдається встановити вплив спряжених полів до амплітуди гідродинамічниї моди, що суттєво обмежує інформацію про характер упорядкування. У розділі показано, що реверсивні фазові переходи, які спостерігаються експериментально у сегнетоелектриках, розчинах полімерів та хімічних реакціях для пояснення дозволяють використання рівноважних теорій та комп'ютерного моделювання. Показано, що суттєвим недоліком існуючих теорій опису індукованого флуктуаціями упорядкування є нехтування крос-кореляційними властивостями стохастичних джерел, що суттєво звужує уявлення про статистичну картину самоорганізації. Акумулюючим ефектом самоорганізації у стохастичному середовищі є самоорганізована критичність, оскільки вона містить всі наведені характеристики складності поведінки, однак відповідної самоузгодженої теорії формування одиночної лавини або цілого ансамблю не запропоновано і не виявлено роль випадкових чинників при утворенні лавин. У висновках розділу докладно обґрунтовується необхідність розв'язання наведених задач, що у даній дисертаційній роботі об'єднуються в рамках однієї проблеми опису самоорганізації складних систем.

У зв'язку із поставленими задачами у розділі „Аномальна дифузія у системах із мультиплікативним шумом” доводиться, що перехід від звичайної броунівської до узагальненої дифузії із законами для середнього зміщення x(t)=0 та дисперсії x²(t)t^2H, H - показник Герста, при 0<H<1/2 відбувається уповільнення дифузії, а при H>1/2 - прискорення. Опис таких процесів досягається введенням ймовірностей стрибків у просторі W(r-r') та ймовірностей очікування частинки у даний момент часу (t-t'). Тоді еволюція густини ймовірності P(r,t) знайти частинку у точці r у момент часу t задається інтегральним рівнянням

(1)

формальний розв'язок якого досягається використанням перетворень Фур'є-Лапласа і набуває вигляду P_k(u)=(1-(u))(u[1-(u)W_k])^-1. При цьому ймовірності переходів та очікування набирають неаналітичного вигляду:

(2)

Відповідні асимптоти у прямому d-вимірному просторі є такими: W(s)|s|^-(d+), (t)t^-(1+), t,s=r-r'. Вирази (2) дозволяють встановити, що у кінетичному рівнянні для P(r,t) процес прискореної дифузії задається дробовою похідною за простором порядку >0, а відповідно уповільнена дифузія - дробовою похідною за часом порядку 0<<1. Загальний вираз для показника Герста стає таким: H=/.

Використання стандартної теорії у випадку d=1 дозволяє подати узагальнений тип дифузії за рахунок переходу до самоподібних систем із мультиплікативним шумом, інтенсивність якого D₂(x)=x^2-, а дрейфова компонента D₁(x)x^1-, де . Відповідне рівняння Фоккера-Планка для густини ймовірності P(x,t) задається рядом Крамерса-Мойала

(3)

Відповідне рівняння Ланжевена для процесу x(t), що відповідає (3), має вигляд

(4)

Як показали аналітичні та чисельні розрахунки (рис.1) для мультиплікативного шуму з інтенсивністю D₂(x)=x^2a, де 0a1, показник Герста задається виразом

H^-1==2(1-a), а внутрішня фрактальна вимірність фазового простору складає величину D=2(1-a). Натомість динамічний показник z=H^-1 визначається у такий спосіб: z= при <2 і z=2 при 2. Узагальнення одержаних виразів на випадок субдифузії дозволяє подати рівняння руху перших двох моментів у вигляді _tx=D₁(x), _tx²=D₂(x). Оскільки система є самоподібною, то динамічний показник обчислюється безпосередньо і виражається відношенням фрактальної вимірності до порядку похідної за часом: z=D/. Дослідження ефекту пам'яті у процесах аномального перенесення проводилося використанням дробово-диференціальних рівнянь еволюції та застосуванням формалізму функції пам'яті. Виявилося, що фрактальна вимірність фазового простору прямо пропорційно залежить від частки механічних каналів, у яких пам'ять частково зберігається.

При описі ієрархічної картини аномальної дифузії відповідне рівняння для густини ймовірності стає нелінійним:

. (5)

Його розв'язок задається функцією ієрархічного зв'язку (P) мікро- та макроскопічного рівнів. Показано, що ієрархічні системи описуються узагальненою статистикою Цаліса. Це потребує здійснення переходу від звичайного до узагальненого логарифма lnln_q=(q-1)^-1(^q-1-1), який при параметрі неадитивності q1 зводиться до стандартного. Статистиці Цаліса відповідає вибір (P)=P і (P)=P^1/q. Дослідження поведінки самоподібної системи у автомодельному режимі при D₂(x)=[x_c(t)]^2a(x/x_c) та P(x,t)=[x_c(t)]^-1(x/x_c) з x_c(t)t^H і зазначеному виборі функцій ієрархічного зв'язку дозволило встановити залежність показника Герста від показника a амплітуди мультиплікативного шуму та параметра статистики q у вигляді

(6)

Виявлено, що зростання q переводить систему із субдифузійного режиму у супердифузійний із аномальною кореляційною функцією x(t)x(t')|t-t'|^2H(q). Отже, аномальні властивості дифузії можуть бути враховані мультиплікативним шумом із степеневим законом зміни його амплітуди.

У розділі „Кінетика стохастичної системи з мультиплікативним шумом” за встановленою моделлю флуктуацій у рамках польового формалізму досліджується вплив властивості самоподібності стохастичної системи та флуктуаційних кореляцій на кінетику індукованого шумом переходу. Основним об'єктом є система, що параметризується скалярним полем x(r,t), яке підпорядковується рівнянню Ланжевена

(7)

із детерміністичною силою f(x)=-dV/dx, визначеною потенціалом Ландау V(x)=x²/2+x⁴/4, де керуючий параметр відіграє роль знерозміреної температури, та амплітудою мультиплікативного шуму g(x)=|x|^a, інтенсивність якого визначається показником 0a1. Стохастична сила (r,t) подається гаусівським шумом із середнім значенням (r,t)=0 і кореляційною функцією (r,t)(r',t')=(r-r')C(t-t').

Дослідження кінетики індукованого шумом переходу досягається на основі евклідової теорії поля, підґрунтям якої є функціонал статистичної суми Z[x]=_t(_tx-f(x)-x-g(x)(r,t)), що дозволяє записати ймовірність реалізації значень стохастичного поля та спряженого імпульсу у вигляді функціонала P[x]exp(-S[x,]), де евклідова дія S[x,] задається лагранжіаном L(x,). Динамічні властивості системи досліджуються мінімізацією дії та використанням рівнянь Ейлера-Лагранжа. Відповідні фазові траєкторії, що задають імовірність реалізації оптимальних шляхів еволюції системи, розміщуються у площині найбільш імовірних значень стохастичного поля x та спряженого імпульсу, що дає флуктуації спряженої сили . Оскільки польова теорія розвинута для систем із адитивним шумом, то у випадку білого мультиплікативного шуму, де C(t-t')=(t-t'), процедура знаходження польового лагранжіана ґрунтується на використанні стохастичного диференціала Іто. Це дозволяє подати L(x,) у вигляді

(8)

Для кольорового шуму із кореляційною функцією C(t-t')=^-1exp(-|t-t'|/), де - час автокореляції флуктуацій, а процес (t) задовольняє рівняння еволюції з білим шумом (t) у вигляді

(9)

розвинення формалізму уніфікованої апроксимації кольорового шуму і застосування диференціала Іто дозволяє встановити для однорідної системи форму лагранжіану у вигляді:

(10)

У той час як лагранжіани (8), (10) узгоджуються з відомими, одержаними у випадку адитивних шумів, вони містять складові типу (1/2)g(x)dg(x)/dx, які пов'язані із використанням властивостей марковості для білого шуму (t). Окрім того у випадку =0, що відповідає білому шуму лагранжіан (10) набирає вигляду (8).

Відповідні рівняння Ейлера-Лагранжа у випадку білого шуму при врахуванні дисипативної функції стають такими

(11)

Виявилося, що на характер упорядкування суттєво впливають зміни керуючого параметра , інтенсивності просторової неоднорідності розподілу параметра порядку і спряженого імпульсу та показник амплітуди мультиплікативного шуму. За умови подання x ^-2x, ^-2, де масштаби і визначають порядок сталих просторової неоднорідності, виявлено, що із зниженням температури система упорядковується, а при підвищенні інтенсивності шуму зазнає розупорядкування. Варіація параметра неоднорідності спряженого імпульсу може привести до реалізації рівноважного або нестійкого до упорядкування стану. Характер рівноважності досліджувався встановленням розбіжності узагальненої сприйнятливості на границі адитивного шуму (a=0), що відповідає випадку теплових флуктуацій. Картина упорядкування була проаналізована також у випадку сумірності просторових масштабів. Виявилося, що упорядкування стає можливим лише на довгохвильовій границі.

Дослідження забарвлених флуктуацій, поданих процесом (9), показує, що звуження частотного спектра шуму приводить до упорядкування однорідної системи. Згідно неупорядкований стан реалізується у фіксованому інтервалі значень показника мультиплікативного шуму.

При дослідженні кінетичних особливостей поведінки системи методом фазової площини виявлено, що упорядкування супроводжується виникненням двох сідлових точок на площині -x. Незалежно від критичного значення керуючого параметра, параметрів просторової неоднорідності або часу автокореляції шуму при значеннях показника a<1/2 і малих початкових значеннях x(0) фазові траєкторії збігаються до вузла у точці x=0, =0. У протилежному разі a1/2 при малих x(0) притягуючий вузол миттєво переміщується на безмежне значення спряженого імпульсу. Така перебудова фазового портрета відповідає формуванню поглинаючого стану при a1/2, у якому параметр порядку стає тривіальним, а амплітуда флуктуації спряженої сили - нескінченною.

Імовірність реалізації оптимальних траєкторій P[x] визначається підстановкою розв'язків рівнянь Ейлера-Лагранжа у функціонал евклідової дії S[x,]. Суттєво, що часові асимптотики поведінки параметра порядку та спряженого імпульсу не зазнають суттєвих змін при переході від білого до кольорового шуму. Аналітичні розрахунки асимптотик дії, визначеної оптимальними траєкторіями та чисельним інтегруванням за фазовими траєкторіями, дозволили встановити, що неупорядкований стан при a<1/2 реалізується із кінцевою імовірністю, а поглинаючий - за рахунок швидкого зростання спряженого імпульсу відповідає нульовим значенням P(x(0))0. При цьому область на площині -x, що визначає утворення нових стаціонарних станів, пролягає між сепаратрисами новоутворених сідлових точок.

У розділі „Еволюція стохастичної системи з мультиплікативним шумом” подано статистичну картину поведінки самоподібної системи, поданої потенціалом Ландау з білим та кольоровим мультиплікативними шумами. Опис ґрунтується на розгляданні рівнянь руху основних статистичних моментів процесу x(t), що задовольняє рівняння Ланжевена (7), де флуктуації визначені процесом (9). Визначаючи параметр порядку першим статистичним моментом (t)x(t), замкнений опис еволюції досягається використанням відповідних дисперсії S(t)[x(t)-(t)]² та двочасової функції Гріна G(t,t')[x(t)-(t)][x(t')-(t')]. Показано, що властивість самоподібності приводить до виникнення у рівняннях руху дробових моментів, порядок яких задається показником a мультиплікативного шуму. Суттєве спрощення виразів зміни у часі величин , S та G, одержаних використанням теореми Новікова, досягається розгляданням випадку білого шуму із використанням стохастичного диференціала Іто. У такому разі еволюція системи буде описуватися системою рівнянь:

(12)

У випадку кольорового шуму застосовується розвинутий у попередньому розділі метод уніфікованої апроксимації кольорового шуму. Загальний вигляд рівнянь руху параметра порядку та автокорелятора є таким:

(13)

де , . Властивість самоподібності дозволяє виразити момент дробового порядку через моменти цілого порядку, оскільки стаціонарний розподіл величини x для самоподібної системи набирає вигляду P(x)Ax^-2a, де A - нормуюча стала. Показано, що у випадках систем, яка упорядковуються (a<1/2, фрактальна вимірність D>1) або неупорядковуються (a1/2, D<1), для моменту дробового порядку маємо:

(14)

Дослідження властивостей неупорядкованої системи для білих і кольорових флуктуацій показало, що автокорелятор упродовж часу досягає свого стаціонарного значення, причому при малому часі він поводиться степеневим чином , а при досяганні стаціонарного значення змінюється експоненціально.

При аналізі процесів упорядкування встановлено, що у системі з білим шумом показник його амплітуди a знижує температуру упорядкування, підвищуючи , так що при a1/2 реалізація упорядкованого стану унеможливлюється, оскільки . При включенні автокореляції шуму з часом система, що упорядковується, зазнає суттєвих змін у стаціонарному режимі. У той час як залежність від a зберігає свій вигляд, наявність забарвлених флуктуацій спричиняє реверсивне проходження процесу упорядкування. Тут при фіксованих значеннях часу автокореляції упорядкований стан існує лише в певній області температур. Установлено, що в обох ситуаціях індукований шумом перехід супроводжується стрибкоподібною зміною параметра порядку завдяки кореляціям S. Дослідження часових залежностей параметра порядку та автокорелятора в області неупорядкованого стану досягається застосуванням узагальненої експоненти Цаліса, яка приводить до степеневої поведінки параметра порядку та гіперболічної для автокорелятора. В околі упорядкованого стану дослідження часових залежностей досягається використанням перетворень Меліна, у рамках яких поведінка параметра порядку та автокорелятору описується стиснутою експонентою. Характер наведених асимптот залишається незмінним як для білого, так і для кольорового шумів.

Окремо у розділі досліджено еволюцію неадитивної системи, поданої рівнянням Фоккера-Планка (5) із адитивним шумом та x⁴-моделлю синергетичного потенціалу. Встановлено, що збільшення показника неадитивності q приводить до зменшення граничного значення інтенсивності шуму, нижче якого відбувається упорядкування. В околі стаціонарних значень параметр порядку та автокорелятор змінюються експоненціальним чином з показником, значення якого спадає із зростанням параметра неадитивності.

На відміну від попередніх у розділі „Фазові переходи у самоподібній системі з корельованими шумами” досліджується стаціонарна картина самоорганізації просторово розподіленої стохастичної системи за наявності двох скорельованих шумів. Без втрати загальності модель системи з декількома шумами вибрана у вигляді

(15)

де m - маса ефективної частинки; (x)- кінетичний коефіцієнт; D - стала неоднорідності; g(x )- амплітуда -го шуму із випадковою гаусівською функцією , яка підпорядковується процесу Орнштайна-Уленбека (9) з корелятором (r,t)(r',t')=(r-r')C(t-t'); C - матриця експоненціально спадних кореляційних функцій.

Дослідження стаціонарної поведінки ґрунтується на переході до d-вимірної моделі та використанні кінетичного рівняння для густини ймовірності i-го вузла ґратки P(x_i,p_i,t), методу розвинення за кумулянтами та теорії середнього поля. У рамках розвинутого формалізму показано, що як сильно-, так і слабкодисипативна системи можуть бути ефективно описані кінетичним рівнянням _tP=(L+C)P, де L - детерміністичний оператор еволюції; C - оператор, визначений флуктуаційними внесками, заданими авто- та крос-кореляціями шумів. Застосуванням методу розвинення за кумулянтами Ван Кампена та використанням моментів , які дозволяють рекурсивно подати шуканий розподіл P(x_i,t)=P₀(x_i,t), одержано ефективне рівняння для P(x_i,t). Використовуючи ієрархію дисипативних, детерміністичних і стохастичних складових (, , , , ; позначення з індексом s задають відповідні масштаби, - крок на просторовій ґратці), при знерозмірюванні змінних з точністю до таке рівняння набирає вигляду ряду Крамерса-Мойала (3), де дрейфовий та дифузійний коефіцієнти для слабкодисипативної системи задаються виразами

(16)

поданими через моменти кореляційної матриці , -ґраткове подання оператора Лапласа.

У випадку сильнодисипативної системи, коли флуктуючою величиною є поле x(r,t) і реактивною складовою у (15) можна знехтувати, при =const коефіцієнти дрейфу і дифузії відрізняються від наближених (16) і набувають точного вигляду

(17)

У рамках середньопольового формалізму здійснюється перехід DxD(-x), де x - середнє поле взаємодії найближчих вузлів ґратки, є параметром порядку, який визначається умовою самоузгодження , де P_st(x, )- стаціонарний розв'язок рівняння Фоккера-Планка (3). Фазова діаграма системи задається розв'язком рівняння . Отже, розвинутий формалізм дає можливість врахувати ефект крос-кореляції між флуктуаційними джерелами та виявити роль диспергувального кінетичного коефіцієнта.