Кореляційні ефекти у процесі самоорганізації самоподібних стохастичних систем

Наведений формалізм застосовано до узагальненої системи, яка зазнає дії адитивного та мультиплікативного шумів: g_a(x)=_a, g_m(x)=_msign(x)|x|^a із масштабами автокореляції _a, _m і крос-кореляції _c. Питомий потенціал задається стандартною моделлю x⁴. Кінетичний коефіцієнт вибрано у формі (x)=|x²-1|^-, де показник > 0 є мірою сингулярності дисипації в околі стану x=1.

Аналіз впливу кореляцій на поведінку параметра порядку показав таке: у разі відсутності крос-кореляційного зв'язку між шумами параметр порядку симетрично зростає при збільшенні керуючого параметра (штрихова крива на; включення незначних кореляцій між шумами призводить до порушення симетрії функції розподілу з появою негативного значення параметра порядку на границі короткочасової крос-кореляції). Комбінований ефект дії скорельованих шумів, нелінійності системи та просторової взаємодії приводить до зміни знака параметра порядку при малих . При збільшенні _c параметр порядку стає позитивним, приводячи до переорієнтаційного переходу при =_r. Окрім того, при =_c за механізмом переходу першого роду з'являються додаткові розв'язки, які позначають виникнення метастабільної та нестабільної фаз. Вони зникають при критичному значенні =^c. Подальше збільшення часу крос-кореляції приводить до сполучення областей стабільної і нестабільної фаз та формування гістерезисної петлі. Аналіз відповідних фазових діаграм показав, що порушення симетрії простежується навіть за умови відсутності просторової взаємодії. Встановлено, що зміна показника сингулярності кінетичного коефіцієнта відіграє ту саму роль, як і зміна часу крос-кореляції. Виявлено клас стохастичних систем з адитивним і мультиплікативним шумами, які зазнають нерівноважних фазових переходів (рис.5в). У рамках феноменологічного підходу, усередненням рівнянням Ланжевена, що відповідає одержаному рівнянню Фоккера-Планка із коефіцієнтами (16), отримано рівняння еволюції першого моменту x у вигляді рівняння Ландау-Халатнікова

. (18)

У простішому випадку а=1.0, =0.0 ефективний потенціал F() та поле h в (18)задаються виразами

. (19)

Із наведеного випливає, що крос-кореляції виступають у ролі поля, що порушує симетрію ефективного термодинамічного потенціалу. Вирази для потенціалу типу вільної енергії та відповідного поля h на випадок довільного показника амплітуди шуму показують, що крос-кореляції та сингулярність коефіцієнта тертя приводять до виникнення складових розвинення F у ряд, що порушують його симетрію.

У розділі „Індуковані шумом фазові переходи у синергетичній системі” розглядається вплив кореляцій на характер упорядкування три-параметричної синергетичної системи, поданої амплітудою гідродинамічної моди x, спряженим полем h та керуючим параметром у вигляді моделі Лоренца-Хакена:

(20)

Вона враховує неоднорідності з коефіцієнтами D_x, D_h та D і флуктуації Орнштайна-Уленбека з відповідними амплітудами та часами автокореляції , де ={x,h,}. Величини t задають релаксаційні масштаби відповідних змінних, набір a інтенсивності зворотних зв'язків, ₀ - параметр зовнішнього впливу. Окремо досліджено випадки однієї та двох повільних мод за відсутності та наявності крос-кореляцій між шумами.

У припущенні t_x>> t_{h ,}t система (20) стає однопараметричною. За умови D_h,D<<1 відповідне рівняння Ланжевена для повільної моди x

(21)

містить адитивний шум _x та мультиплікативні шуми спряженого поля _h та керуючого параметра з амплітудами g_x(x)=_x, g_h(x)=_h/(1+x²) та g_h(x)=_hx/(1+x²) відповідно; детерміністична сила f(x)=-x+₀x/(1+x²); D=D_x.

Розглядаючи вплив кореляцій кожного окремого шуму на характер упорядкування у розділі розвинуто метод уніфікованої апроксимації кольорового шуму для просторово розподілених систем у наближенні середнього поля. Встановлено, що адитивні кольорові флуктуації у синергетичній системі спричиняють реверсивне проходження процесу упорядкування при зміні часу автокореляції _x. Одержані розв'язки рівняння самоузгодження для параметра дальнього порядку та фазові діаграми упорядкування узгоджуються з результатами чисельного моделювання рівняння (21). При аналізі впливу автокореляцій спряженого поля виявлено, що його мультиплікативні флуктуації приводять до виникнення упорядкованої фази у фіксованих областях керуючого параметра ₀ та коефіцієнта неоднорідності D. Флуктуації керуючого параметра приводять до виникнення поглинального стану при великих інтенсивностях та індукованого шумом фазового переходу, який стає реверсивним при варіації D.

Дослідження впливу кореляцій адитивного _x та мультиплікативного шумів у системі з однією повільною модою показало, що нескорельовані флуктуації приводять до неперервного фазового переходу (рис.7а). У випадку скорельованих шумів зростання часу крос-кореляції приводить до реверсивного проходження упорядкування при зміні інтенсивності мультиплікативного шуму із виникненням метастабільної фази (рис.7б,в). Одержані результати знайшли підтвердження використанням феноменологічного підходу, в рамках якого виявлено, що автокореляції спричиняють реверсивне упорядкування, а крос-кореляції порушують симетрію ефективного потенціалу F().

При дослідженні властивостей упорядкування у системі з двома повільними модами використано таке наближення між масштабами релаксації: t_x,t_h<<t; D_h>>D_x,D. Тоді рівняння еволюції моди x при _x<<1 набуває вигляду (15) з кінетичним коефіцієнтом (x)=t_h[1+(t_x/t_h)(1+x²)] та силою f(x)=(₀-1)x-x³, а амплітуди шумів стають такими: g_h=_h, g=x. Використання розвинутого формалізму дозволило провести детальне дослідження картини упорядкування. Одержані результати узгоджуються з відповідними розрахунками феноменологічної теорії.

Розвинуту схему застосовано для пояснення перебудови структури дислокаційно-вакансійного ансамблю дефектів надміцних сплавів при інтенсивному зовнішньому навантаженні. Встановлено, що виникнення метастабільних станів при самоорганізації дефектів може бути подано флуктуаційними механізмами.

Розділ „Синергетичне подання критичності, що самоорганізується” присвячений виявленню ролі флуктуаційних джерел у процесі формування лавин на прикладі моделі гірки піску. На основі механічної моделі руху частинок середовища встановлено, що формування поодинокої лавини задається використанням самоузгодженої схеми за рахунок введення у розгляд горизонтальної u і вертикальної v компонент швидкості руху по поверхні нахилу S. Зміни у часі u, v та S самоузгодженим чином можуть бути подані використанням найпростішої моделі (20), де x, h та замінюються відповідно на u, v та S.

Дослідження такої системи у адіабатичному наближенні, де колективний рух задається горизонтальною компонентою швидкості, за умови спонтанного виникнення лавини (S₀=0) виявило, що принципову роль відіграють флуктуації нахилу поверхні. При цьому зворотні зв'язки рівнянь для вертикальної швидкості v та нахилу S мають бути узагальнені у вигляді a_vu^aS та a_Su^av відповідно. Одержано фазові та біфуркаційні діаграми, які дозволяють з'ясувати умови виникнення лавини та критичні значення інтенсивності шуму нахилу поверхні плинності. Виявлено (рис. 8а), що збільшення інтенсивності шуму вертикальної швидкості переводить систему в потоковий стан та режим самоорганізованої критичності. При малих інтенсивностях флуктуацій нахилу система перебуває у стані спокою, а зростання таких флуктуацій сприяє виникненню лавини. Подібним чином впливає зменшення показника a фрактального зворотного зв'язку (рис. 8б).

Розвинутий формалізм дозволив подати еволюцію неадитивного статистичного ансамблю лавин синергетичною схемою, що параметризується такими динамічними змінними: розміром лавини s; неадитивною ентропією Цаліса (складністю ансамблю) =-(q-1)^-1(_ip_i^q-1); неадитивною кінетичною енергією =_iip_i^q, де сума береться за станами i, що задані мікроскопічними ймовірностями p_i. Вважаючи, що в автономному режимі як s, так і релаксують до нульових значень, а енергія спадає до кінцевого ⁰ із відповідними часами релаксації t, ={s,,}, та враховуючи механізми збудження системи і умови стійкості, які задані відповідними інтенсивностями a, самоузгоджена схема формування самоподібного ансамблю лавин подається такою системою рівнянь

(22)

Флуктуації вважаються білими з інтенсивностями I та нескорельованими, - параметр теорії. В умовах адіабатичного наближення повільної зміни s встановлено, що ключову роль у процесі спонтанного формування лавин відіграють флуктуації кінетичної енергії. У стаціонарному режимі одержано відповідні фазові діаграми, що встановлюють залежність інтенсивності шуму I від параметра , який задає розподіл за розмірами лавин у стандартному вигляді P(s)=s^-(s), причому часова залежність s(t) представляє процес аномальної дифузії. Дослідження впливу інтенсивності шуму I на характер скейлінгового розподілу показало, що при збільшенні I на один порядок величина змінюється не більше ніж на 10%.

Дослідження аномальних властивостей неадитивного ансамблю лавин досягалося використанням теорії аномальної дифузії, де відповідне рівняння Фоккера-Планка для розподілу P(s,t) формулювалося у вигляді

(23)

Дослідження відповідних статистичних характеристик дозволило встановити зв'язки z=/, =2-z/2, q==z між динамічним показником z, параметром , фрактальною вимірністю функціонального простору D та індексом неадитивності q.

Окремо розглянуто кінетику формування лавин методами польової теорії за наявності кольорових флуктуацій енергії. Виявилося, що зростання часу автокореляції шуму приводить до підвищення критичних значень інтенсивності I . Встановлено умови виникнення в системі поглинаючого стану. На основі комп'ютерного моделювання з'ясовано, що просторова неоднорідність пригнічує процес переходу в поглинаючий стан.

Одержані результати використані для пояснення лавиноподібного процесу вибухової кристалізації у тонких аморфних плівках. Показано, що такий процес зводиться до аномальної дифузії по ієрархічному дереву, рівні якого відповідають структурним кластерам різного розміру. Стаціонарний розподіл за ієрархічними рівнями визначається розподілом Цаліса.

ВИСНОВКИ

У роботі розвинуто теорію самоорганізації самоподібних стохастичних систем. Установлені в роботі взаємозв'язки між зовнішнім впливом та параметрами самоорганізації складної системи дозволяють розширити уявлення про механізми, статистичну картину та кінетику фазових перетворень. Основні результати дисертації подаються такими висновками.

1. Самоподібні стохастичні системи з мультиплікативним шумом проявляють режим супердифузії, у якому динамічний показник зводиться до фрактальної вимірності фазового простору. При субдифузії динамічний показник зростає. Еволюція неадитивної стохастичної системи проходить у режимі аномальної дифузії, динамічний показник якої визначається параметром неадитивності та показником мультиплікативного шуму. Зростання їх значень сприяє переходу до режиму супердифузії.

2. Часові залежності найбільш імовірних значень стохастичної змінної x та амплітуди її флуктуацій, що представляють спряжений імпульс, визначаються початковим значенням x на фазовій площині. При докритичних показниках інтенсивності шуму та малих початкових значеннях параметра порядку стани системи реалізуються із кінцевою ймовірністю. Перехід, індукований мультиплікативним шумом, реалізується при закритичних початкових значеннях параметра порядку. Проходженню такого переходу сприяють зменшення керуючого параметра, послаблення просторової неоднорідності та зростання часу автокореляції шуму. При закритичних значеннях показника інтенсивності шуму в системі утворюється поглинальний стан, який відповідає нульовому значенню стохастичної змінної та нескінченно великим флуктуаціям, що пригнічується просторовою неоднорідністю.

3. Еволюція параметра порядку та автокорелятора у самоподібній стохастичній системі проходить аномальним чином. У системі із кольоровим шумом упорядкування реалізується у фіксованій області значень керуючого параметру. Збільшення показника неадитивності приводить до зменшення граничного значення інтенсивності шуму, нижче якого відбувається упорядкування.

4. Сумісна дія адитивного та мультиплікативного шумів, що корелюють, позначається на упорядкуванні подвійно: при малих інтенсивностях мультиплікативного шуму його кореляції з адитивною складовою сприяє фазовому перетворенню, а при великих - шум пригнічує процес упорядкування. Крос-кореляції адитивного та мультиплікативного шумів спричиняють дію, аналогічну до зовнішнього поля, величина якого визначається інтенсивностями та часом кореляції цих шумів. Вмикання шумів приводить до переорієнтації параметра порядку, реверсивного фазового переходу та трансформації неперервного фазового переходу у переривчастий.

5. Зміна часу автокореляції кольорового адитивного шуму амплітуди гідродинамічної моди приводить до реверсивного фазового переходу, при якому упорядкований стан обмежено як нижнім, так і верхнім його значенням. Мультиплікативні зафарбовані флуктуації спряженого поля індукують реверсивне упорядкування при зміні зовнішнього навантаження та просторової неоднорідності. Зростання кореляцій мультиплікативного шуму, швидкості зростання його інтенсивності, просторової неоднорідності та нелінійності системи сприяють реверсивному фазовому переходу.

6. У розподіленій дисипативній системі із однією повільною модою та двома флуктуаційними джерелами, що корелюють, нескорельовані шуми приводять до неперервного фазового переходу, індукованого зовнішнім впливом та просторовою неоднорідністю. Вмикання крос-кореляцій сприяє переорієнтаційному та реверсивному переходам. Із зростанням часу крос-кореляції реверсивний перехід, що приводить до виникнення метастабільної фази, трансформується у переривчастий фазовий перехід із петлею гістерезису. Дослідження синергетичної системи, що має пару повільних мод із флуктуаціями, підтверджує конструктивну роль крос-кореляцій.

7. Спонтанне формування лавини у процесі самоорганізовуваної критичності подається моделлю гірки піску, плинність якого параметризується вертикальною і горизонтальною компонентами швидкості та нахилом поверхні обсипання. Режим критичності досягається в умовах адіабатичної зміни швидкості, за якою йдуть зміни нахилу, що фіксується зовнішнім впливом. Стохастичне формування лавини визначається адитивними шумами вертикальної компоненти швидкості та нахилу поверхні, у той час як флуктуації горизонтальної компоненти є несуттєвими. Зростання інтенсивності флуктуацій вертикальної компоненти сприяє переходу в потоковий стан та режим критичності, що самоорганізується. При малих інтенсивностях флуктуацій нахилу система перебуває у стані спокою, а зростання таких флуктуацій сприяє режиму самоорганізовуваної критичності. Подібним чином впливає зменшення показника фрактального зворотного зв'язку.

8. Самоузгоджена поведінка неадитивного ансамблю лавин подається еволюцією їх розмірів, ентропії та енергії, мультиплікативні флуктуації якої визна-чають самоподібну картину критичності, що самоорганізується. Показник степеневого розподілу лавин за розмірами задається динамічним показником, фрактальною вимірністю простору станів, показником аномальної дифузії, параметром неадитивності. Флуктуації кінетичної енергії сприяють переходу системи в режим критичності, що самоорганізується із виникненням поглинаючого стану. Зростання часу кореляції таких флуктуацій приводить до збільшення критичного значення інтенсивності шуму, при якому виникає такий режим.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ У ПРАЦЯХ

1. Olemskoi A.I., Kharchenko D.O., Knyaz' I.A. Phase transitions induced by noise cross-correlations // Phys.Rev.E. - 2005. - V.71. - P.041101(12).

2. Kharchenko D.O., Kharchenko V.O.. Evolution of stochastic system within the framework of Tsallis statistics // Physica A. - 2005. - V.354. - P.262-280.

3. Olemskoi A.I., Kharchenko D.O. Self-organized criticality within the framework of the variational Principles // In: Variational and Extremum Principles in Macroscopic Systems (Edt by S.Sieniutycz, H.Farkas). - Elsevier, 2005. - P.695-715.

4. Kharchenko D.O. Self-organization of condensed matter in fluctuating environment// Усп.Физ.Мет. - 2005. - Т.6. - C.1-54.

5. Харченко Д.О., Харченко В.О. Режими поведінки статистичних моментів у неадитивній статистиці // Вісник СумДУ. - 2005. - №.8(67). - C.15-30.

6. Харченко Д.О., Князь І.О. Термодинамічна концепція індукованого шумом фазового переходу // Вісник СумДУ. - 2004. - №10. - C.231-237.

7. Kharchenko D.O., Knyaz I.A. Fluctuation-induced reconstruction of defect structure // In: Proc. of SPIE. (Ed. by G.O.Puchkovska, T.A.Gavrilko, O.I.Lizengevich). - 2004. - V.5507. - P.17-25.

8. Харченко Д.О., Князь І.О. Флюктуаційні фазові переходи в синергетичній системі дефектів// Журн.Фіз.Досл. - 2004. - Т.8. - №4. - С.299-307.

9. Khomenko А., Kharchenko D., Yuschenko O. Jamming transition within fluctuations of characteristic acceleration/breaking time // Вісник ЛДУ (“Львівська політехніка”). - 2004. - Вып.37. - С.44-56.

10. Kharchenko D.O., Knyaz' I.A. Fluctuation induced reconstruction of phase transition// Eur.Phys.J.B. - 2003. - V.32. - P.375-382.

11. Olemskoi A.I., Khomenko A.V., Kharchenko D.O. Self-organized criticality within fractional Lorenz scheme // Physica A. - 2003. - V.323. - P.263-293.

12. Олємской O.I., Харченко Д.О. Теорія самоподібних стохастичних систем (Частина ІІ) // Журн.Фіз.Досл. - 2003. -Т.7. - №1. - С.1-26.

13. Олємской O.I., Харченко Д.О. Теорія самоподібних стохастичних систем (Частина І) // Журн.Фіз.Досл. - 2002. - Т.6. - №3. - С.253-288.

14. Kharchenko D.O., Kohan S.V. Coloured noise influence on system evolution // Eur.Phys.J.B. - 2002. - V.29. - P.97-103.

15. Kharchenko D.O. Scaling laws in stochastic system with anomalous diffusion // Fluct.and Noise Lett. - 2002. - V.2. - №4. - P.L273-278.

16. Kharchenko D.O. Path integral solution of the system with coloured multiplicative noise // Physica A. - 2002. - V.308. - P.113-124.

17. Харченко Д.О., Князь И.А. Фазовые переходы с нарушением симметрии в синергетической системе с флуктуационным воздействием // Металлофизика. - 2002. - Т.24. - №3. - С.389-405.

18. Olemskoi A.I., Kharchenko D.O. Evolution of the system with multiplicative noise // Physica A. - 2001. - V.293. - P.178-188.

19. Харченко Д.О. Режим аномальної дифузії в стохастичних системах // Журн.Фіз.Досл. - 2001. - Т.5. - №1. - C.14-18.

20. Харченко Д.О., Князь И.А. Индуцированные шумом переходы в синергетической системе: приближение среднего поля // Вісник СумДУ. - 2001. - №3-4. - C.33-37.

21. Олемской А.И., Харченко Д.О. Кинетика фазового перехода с сингулярным мультипликативным шумом // ФТТ. - 2000. - Т.42. - №~3. - С.520-526.

22. Харченко Д.О. Польове представлення стохастичної системи з поглинаючими станами // Журн.Фіз.Досл. - 1999. -Т.3. - №4. - С.415-421.

23. Харченко Д.О. Зміна фрактальної вимірності стохастичної системи з кольоровим мультиплікативним шумом // Журн.Фіз.Досл. - 1999. - Т.3. - №1. - С.37-41.

24. Харченко Д.О. Фазові переходи у стохастичній системі з реактивно-дисипативним режимом // УФЖ. - 1999. - Т.44. - №~5. - С.647-654.

25. Харченко Д.О. Фазові переходи у системі стохастичного модульованого осциллятора // Вісник ЛДУ (“Львівська політехніка”). - 1998. - №337. - С.280-282.

Размещено на Allbest.ru