Ткачук В. М. Cуперсиметрія та точно розв'язувані задачі у квантовій механіці.-- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика, Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2005.

У дисертаційній роботі досліджувались суперсиметрія електрона в стаціонарних тривимірних магнітних полях і нестаціонарних електромагнітних полях у двовимірному випадку та частинки зі спіном Ѕ в потенціальному і магнітному полях в одновимірному випадку. Також суперсиметрія була розвинута як метод для побудови квазі-точно та умовно-точно розв'язуваних задач квантової механіки та знайдено нові точно розв'язувані потенціали. Метод суперсиметрії з форм-інваріантністю узагальнено на випадок квантової механіки з деформованою алґеброю Гайзенберґа та знайдено точні розв'язки для енерґетичних рівнів та хвильових функцій гармонічного осцилятора та релятивіського осцилятора Дірака у цому випадку. Встановлено зв'язок між рухом частинки у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа, рухом частинки у кривому просторі та у плоскому просторі, але з масою, залежною від координат, і як приклад приведена точно розв'язувана кулонівська задача з певною залежністю маси від координати. Знайдено три класи потенціалів і відповідних функцій деформацій (мас, залежних від координат), для яких задача на власні значення та власні функції розв'язується точно. Досліджено рух нейтральних атомів з магнітним моментом в магнітному полі феромагнітної нитки з різними конфіґураціями намагніченості і виявлено, що атоми можуть бути захоплені цією ниткою. Показано, що при русі поляризованого атома (електричного диполя) навколо прямої феромагнітної нитки з намагніченістю, яка лінійно змінюється вздовж неї, виникає квантова топологічна фаза. Запропоновано експериментальну схему для виявлення цього ефекту. осцилятор електронний магнітний хвильовий

Ключові слова: суперсиметрична квантова механіка, рівняння на власні значення та власні функції, Рівняння Паулі, Рівняння Дірака, квазі-точно та умовно-точно розв'язувані задачі, ефективна маса, деформована алгебра Гайзенберґа, гармонічний осцилятор, квантова топологічна фаза.

АННОТАЦИЯ

Ткачук В. М. Cуперсимметрия и точно решаемые задачи в квантовой механике.-- Рукопись.

Дисертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 теоретическая физика, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2005.

В дисертационной работе исследована суперсимметрия электрона в стационарных трехмерных магнитных полях и нестационарных электромагнитных полях в двухмерном случае и частицы со спином Ѕ в потенциальном и магнитном полях в одномерном случае. Также суперсимметрия была разработана как метод для построения квази-точно и условно-точно решаемых задач квантовой механики и найдены новые точно решаемые потенциалы. Метод суперсиметрии с форм-инвариантностью обощен на случай квантовой механики с деформированной алгеброю Гайзенберга и найдены точные решения для энергетических уровней и волновых функций гармонического осцилятора и релятивистского осцилятора Дирака в этом случае. Установлена связь между движением частицы в пространстве с деформированной алгеброй Гайзенберга, движением частицы в искривленном пространстве и в плоском пространстве, но с массой, зависящей от координат, и как пример, приведена точно решаемая кулоновская задача с некоторой зависимостью массы от координаты. Найдены три класса потенциалов и соответствующих функций деформаций (масс, зависящих от координат), для которых задача на собственные значения и собстенные функции решается точно. Исследовано движение нейтральних атомов с магнитным моментом в магнитном поле ферромагнитной нитки с разными конфигурациями намагниченности и обнаружено, что атомы могут быть захвачены этой нитью. Показано, что при движении поляризированного атома (электрического диполя) вокруг прямой феромагнитной нити с намаганиченностью, которая изменяется линейно вдоль нее, возникает квантовая топологическая фаза. Предложена эксперементальная схема для обнаружения этого эффекта.

Ключевые слова: суперсимметрическая квантовая механика, уравнение на собственные значения и собственные функции, уравнение Паули, уравнения Дирака, квази-точно и условно-точно решаемые задачи, эффективная масса, деформированная алгебра Гайзенберга, гармонический осциллятор, квантовая топологическая фаза.

ABSTRACT

V. M. Tkachuk. Supersymmetry and exactly solvable problems in quantum mechanics.-- A Manuscript.

Thesis for the Degree of Doctor of Sciences in physics and mathematics, speciality 01.04.02 - theoretical physics, Ivan Franko National University of Lviv, 2005.

The thesis concerns the study of supersymmetry in quantum mechanical problems and the use of supersymmetry as a method for finding exact solution of the eigenvalue problems.

The supersymmetry of the electron in three dimensional stationary magnetic fields was considered. It is shown that supersymmetry with two, three and four supercharges can be realized in this case. We also studied the supersymmetry of the electron in both nonstationary magnetic and electric fields in a two-dimensional case. The supercharges that are the integrals of motion as well as their algebra are established. Using the obtained algebra the solutions of the nonstationary Pauli equation are generated.

The Witten model of the supersymmetric quantum mechanics is generalized for the case when supersymmetric partners describe the mothin of the spin Ѕ particle moving in magnetic field and scalar potential. We introduce the concept of shape invariant scalar and magnetic fields and it is shown that the eigenvalue problem admits exact analytical solutions when such fields are considered.

We developed a new supersymmetric method for constructing quasi-exactly solvable potentials with two and three eigenstates. This method is extended for constructing conditionally-exactly solvable potentials. We also developed a systematic procedure generating a new exactly-solvable potentials which are a lower supersymmetric partners to the known exactly-solvable potentials.

In the context of a two-parameter deformation of the Heisenberg algebra leading to non-zero minimal uncertainties in both position and momentum, the harmonic oscillator spectrum and eigenvectors are determined by using an extension of the techniques of conventional supersymmetric quantum mechanics combined with shape invariance under parameter scaling. Using supersymmetric quantum mechanics and shape invariance method we found exact solution of the eigenvalue problem for the relativistic Dirac oscillator with deformed Heisenberg algebra leading to isotropic nonzero minimal uncertainties in position.

We show that there exists some intimate connection between three unconventional the Schrodinger equations based on the use of deformed canonical commutation relation, of a position-dependent effective mass or of a curved space. This occurs whenever a specific relation between the deforming function, the position-dependent mass and the (diagonal) metric tensor holds true. We illustrate these three equivalent approaches by considering a new Coulomb problem and solving it by means of supersymmetric quantum mechanics and shape invariance techniques.

The supersymmetric quantum mechanics with shape invariance technique is extended for the case of the Schrхdinger equation with position-dependent mass or deformed Heisender algebra. We found three classes of potentials and corresponding functions of deformation (position-dependent mass) for which the respective eigenvalue problems can be solved exactly.

We also studied quantum motion of the neutral atoms in the field of ferromagnetic wire with different types of magnetization. It is shown that ferromagnetic wire can be used for trapping and guiding neutral atoms. The possibility of experimental realization of binding sodium atoms is discussed.

The quantum topological phase of electric dipole circulating around the line of magnetic charges (monopoles) is discussed. We propose to mimic the line of magnetic monopoles using a ferromagnetic wire in which magnetization is parallel to the wire and magnitude of magnetization changes linearly along the wire. The phase shift in the proposed scheme is within the reach of present-day experimental techniques and may by observed in atomic or molecular interferometry.

Key words: supersymmetric quantum mechanics, eigenvalue problem, Pauli equation, Dirac equation, quasi-exactly and conditionally-exactly solvable problems, effective position-dependent mass, deformed Heisenberg algebra, harmonic oscillator, quantum topological phase.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Квантова механіка, яка виникла на початку минулого століття, постійно привертає до себе підвищений інтерес, який за останні роки суттєво зріс. Виникли нові області досліджень, такі, як суперсиметрична квантова механіка, квантова механіка з деформованою алґеброю Гайзенберґа, квантова інформація.

Так ідея суперсиметрії, яка виникла в квантовій теорії поля, дуже швидко проникла в різні області фізики та математики. У 1974 році Ніколаі показав, що суперсиметрія може бути успішно використана для дослідження нерелятивістських квантових систем [Nicolai H., J. Phys. A. 9, 1497 (1976)]. Через п'ять років Віттен запропонував суперсиметричну квантову механіку як лабораторію для вивчення основних властивостей суперсиметричних моделей [Witten E., Nucl. Phys. B 188, 513 (1981)]. Саме ця робота спричинила потік досліджень на дану тему, і дуже швидко було виявлено, що суперсиметрія в квантовій механіці є цікавою сама по собі і може бути успішно застосована для вивчення багатьох квантово-механічних систем, а також дала можливість по-новому глянути на традиційні задачі квантової механіки. Виникла нова область досліджень -- суперсиметрична квантова механіка, в рамках якої було отримано багато цікавих нових результатів, наприклад, стосовно руху електрона в магнітних полях, точно розв'язуваних задач. Зауважимо, що хоча суперсиметрія не відкрита експериментально на рівні елементарних частинок, існують квантово-механічні системи, які можна описати за допомогою алґебри суперсиметрії, і для яких суперсиметрія є фізичною симетрією задачі. Прикладом такої системи є рух електрона в довільному двовимірному магнітному полі. Актуальною залишається задача пошуку нових систем, для яких суперсиметрія є фізичною симетрією.

Останнім часом інтенсивно досліджуються квантові системи з деформованою алґеброю Гайзенберґа. Такі задачі виникають в багатьох областях фізики. Одна з них -- це некомутативний, чи квантовий, простір. Фізика квантового простору має довгу історію, і перша робота на цю тему була опублікована ще у 1947 році (Snyder H. S., Phys. Rev. 71, No 1, 38 (1947)). Зацікавленість цією проблемою була відновлена дослідженнями на малих віддалях у квантовій теорії струн в квантовій гравітації, які передбачають існування ненульової мінімальної невизначеності координат. З іншого боку, дослідження на великих віддалях у кривому просторі ведуть до припущення про існування ненульової мінімальної невизначеності імпульсу. Було показано, що мінімальна невизначеність координати та імпульсу може бути описана в рамках малих деформацій канонічних комутаційних співвідношень (алґебри Гайзенберґа) (див. наприклад, Kempf A., Mangano G., Mann R. B., Phys. Rev. D 52, Iss. 2, 1108 (1995)). Саме роботи Кемпфа стимулювали дослідження традиційних квантово-механічних задач у просторах з мінімальною невизначеністю координати та імпульсу. Ці задачі дають можливість виявити, як впливає квантування простору на спектри та хвильові функції квантових систем. Ще одна цікава задача, яка пов'язана з деформованими алґебрами Гайзенберґа -- це квантовий рух частинок, ефективна маса яких залежить від координат. Такі задачі є цікавими й актуальними з огляду на широке застосування концепції ефективної маси у фізиці конденсованої матерії для вивчення домішок кристалу, електронних властивостей напівпровідників, квантових точок тощо. Зауважимо, що алґебра Гайзенберґа лежить в основі квантової механіки. Тому дослідження впливу деформації алґебри Гайзенберґа на поведінку квантових систем є цікавими і дають можливість вивчати фундамент квантової механіки.

Також звернемо увагу на те, що фундаментальні основи квантової механіки завжди викликали значний інтерес. Експериментальна техніка останніх кількох десятків років суттєво розширила свій арсенал і дала можливість проводити експерименти над індивідуальними квантовими системами. Виникла нова область -- квантова інформація, яка зараз бурхливо розвивається. Не торкаючись деталей цієї проблематики, зауважимо, що однією з цікавих задач в цій області є утримування лазерно-охолоджених атомів, ізольованих від зовнішнього оточення та дослідження їхніх квантових властивостей при русі в електромагнітних полях. З цієї точки зору важливим є знаходження нових способів утримування лазерно-охолоджених атомів, а також дослідження квантових топологічних фаз, які виникають при русі атома як цілого в електромагнітному полі.

Для глибокого розуміння квантово-механічних проблем завжди важливу роль відігравали точно розв'язувані задачі. Ще від появи квантової механіки існує значна зацікавленість моделями, для яких відповідне рівняння Шредінґера може бути розв'язане точно. Розрізняють три класи потенціалів стосовно розв'язуваності рівняння Шредінґера. Перший клас -- це точно розв'язувані потенціали, для яких можна в явному вигляді знайти всі енерґетичні рівні і відповідні хвильові функції. Для знаходження точних розв'яків рівнянь на власні значення та власні функції Шредінгером та Інфельдом і Хіллом був розвинутий метод факторизації. Атом водню та гармонічний осцилятор -- найбільш відомі приклади цього типу. Другий клас -- так звані квазі-точно розв'язувані (КТР) потенціали, для яких можна в явному вигляді знайти кілька енерґетичних рівнів та відповідних хвильових функцій. Третій клас -- умовно-точно розв'язувані (УТР) потенціали, для яких рівняння на власні значення можна розв'язати точно, коли параметри потенціалу задовольняють певні умови. Тому пошук нових точно розв'язуваних, квазі-точно чи умовно-точно розв'язуваних задач у деформованому чи недеформованому просторі є актуальною задачею. І саме суперсиметрична квантова механіка є зручним і потужним знаряддям для цього. В рамках суперсиметричної квантової механіки були відкриті точно розв'язувані формінваріантні потенціали. Пізніше було показано, що метод суперсиметрії з формінваріантністю є еквівалентний методу факторизації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка та згідно держбюджетних тем Фф-289Б “Структура та термодинамічні властивості конденсованих систем з різними типами невпорядкованості (аморфні тіла, кристали з домішками, плазмоподібні фермі-системи)” (1997-1999 рр), Фф-38Б “Квантова теорія конденсованих систем з різними типами невпорядкованості” (2000-2001 рр, номер держреєстрації № 0100U001446), Фф-39Б “Нелінійні флюктуації в квантових рідинах” (2001-2002 рр, номер держреєстрації № 0100U001447), Фф-150Ф “Розробка нових математичних методів дослідження квантових систем” (2003--2005 рр, номер держреєстрації № 0100U001446), а також в межах проекту ДФФД 2.7/00152 “Кооперативні ефекти в ґраткових спінових та квантово-польових моделях з локальними та протяженими дефектами у просторово-часовому многовиді” (2001-2005 рр, договір Ф7/385-2001).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є виявлення нових квантово-механічних систем, які володіють суперсиметрією, а також розвиток суперсиметрії як методу для знаходження точних енерґетичних спектрів та відповідних хвильових функцій квантових систем. При цьому увага приділялася застосуванню методу суперсиметрії для побудови нових точно, квазі-точно та умовно-точно розв'язуваних одночастинкових задач квантової механіки та розширенню методу суперсиметрії на випадок квантово-механічних задач з деформованою алґеброю Гайзенберґа. Метою роботи було також дослідження квантового руху нейтральних атомів в магнітному полі феромагнітної нитки.

Об'єктом досліджень суперсиметрія в одночастинкових задачах квантової механіки та точно розв'язувані задачі квантової механіки. Предметом досліджень є алґебра суперсиметрії задач квантової механіки, для яких суперсиметрія є фізичною симетрією, та точні розв'язки для енерґетичних рівнів та хвильових функцій одночастинкових задач квантової механіки з недеформованою та деформованою алґеброю Гайзенберґа. Для досягнення цілей досліджень ми використовували: різні представлення алґебри суперсиметрії, метод суперсиметрії з форм-інваріантністю (метод факторизації), узагальнене представлення Фока або еквівалентне представлення Берґмана, q-диференціальні похідні.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі знайдено нові квантово-механічні системи, для яких реалізується суперсиметрія з двома, трьома і чотирма суперзарядами, і для яких суперсиметрія є фізичною симетрією задач. Досліджено суперсиметрію електрона при русі нестаціонарному електромагнітному полі, знайдено суперзаряди та алгебру, яку вони задовольняють в цьому випадку.

Запропоновано новий суперсиметричний метод для дослідження квазі-точно та умовно-точно розв'язуваних задач квантової механіки та побудовано нові квазі-точно розв'язувані потенціали, для яких у явному вигляді знайдено кілька енерґетичних рівнів та відповідних хвильових функцій. Запропоновано послідовну процедуру знаходження нових точно роз'язуваних потенціалів, які є нижніми сурерсиметричними партнерами до відомих відомих точно роз'язуваних потенціалів.

Суперсиметрична квантова механіка Віттена узагальнена на випадок, коли суперсиметричні партнери описують рух частинки зі спіном Ѕ у потенціальному і магнітному полях. Узагальнивши також умову форм-інваріантності на цей випадок, знайшли потенціальні та магнітні поля, для яких задача на власні значення та власні функції розв'язується точно.

Поширивши метод суперсиметричної квантової механіки і форм-інваріантності на випадок квантових систем з деформованою алґеброю Гайзенберґа, вперше точно знайдено стаціонарні стани гармонічного осцилятора у просторі з мінімальною невизначеністю як координати, так й імпульсу. Вперше точно розв'язано рівняння на власні стани релятивістського осцилятора Дірака в просторі з мінімальною невизначеністю координат.

Встановлено зв'язок між рухом частинки у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа, рухом у кривому просторі та рухом у плоскому просторі з масою залежною від координат. Вперше знайдено точний енерґетичний спектр та відповідні хвильові функції кулонівської задачі для частинки з певною спеціальною залежністю маси від координат.

Метод суперсиметрії з форм-інваріантністю узагальнено для знаходження точних розв'язків рівнянь на власні значення та власні функції для частинок з масою, залежною від координат. Вперше знайдено три класи потенціалів та відповідних деформаційних функцій, пов'язаних з масою, для яких виконується умова форм-інваріантності. У цьому випадку енерґетичні рівні та власні функції можна знайти точно.

Показана можливість утримання лазерно-охолоджених атомів з допомогою феромагнітної нитки. Вперше показано, що феромагнітна нитка з намагніченістю, паралельною до неї, яка лінійно змінюється вздовж нитки, моделює лінію магнітних зарядів і може бути використана для виявлення квантової топологічної фази електрично-поляризованого атома, що циркулює навколо нитки. Запропоновано експериментальну схему для виявлення цієї квантової топологічної фази.

Практичне значення одержаних результатів. Результати представлених в дисертації досліджень, крім самостійного інтересу, можуть бути використані для пояснення експериментальних результатів. Так, результати Розділів 1 і 2 можна використати для пояснення енерґетичних спектрів електронів в магнітних полях. Двоямні квазі-точно розв'язувані потенціали (Розділ 3) можна застосувати для розрахунку енерґетичних рівнів та хвильових функцій дворівневих систем, які виникають в невпорядкованих тілах. Результати Розділу 4 можна використати для оцінки можливої величини мінімальної невизначеності координат простору. Результати досліджень рівняння Шредінґера з масою, залежною від координат (Розділ 5), можна застосувати у фізиці напівпровідників та наносистем, де ефективна маса електрона залежить від координат. У Розділі 6 запропоновано спосіб утримування лазерно-охолоджених атомів за допомогою феромагнітної нитки, який, на нашу думку, міг би бути реалізований експериментально. Також у цьому розділі виявлено, що для поляризованого атома (електричного диполя), який рухається навколо феромагнітної нитки, з намагніченістю, що лінійно змінюється вздовж неї, набігає квантова топологічна фаза. Запропоновано експериментальну схему для виявлення цієї фази. Методи та ідеї, запропоновані в наших роботах, знайшли своє продовження в роботах інших авторів. Так, наприклад, наші результати стосовно квазі-точно розв'язуваних задач квантової механіки були використані в роботах: B. Bagchi, C. Quesne, Mod. Phys. Lett. A 17, 463 (2002); N. Debergh, J. Ndimubandi, B. Van Den Bossche, Annals of Physics 298, 361 (2002); N. Debergh, J. Ndimubandi, B. Van Den Bossche, Int. J. Mod. Phys. A 18, 5421 (2003). Наші результати стосовно квантової топологічної фази використовувались в роботах: G. Spavieri, Phys. Lett. A 310, 13 (2003); C. Furtado, C. A. de Lima Ribeiro, Phys. Rev. A 69, 064104 (2004).

Особистий внесок здобувача. Всі викладені в дисертації оригінальні результати отримано автором самостійно або при його безпосередній участі. У спільних публікаціях авторові дисертації належить постановка задач та вибір методів дослідження. Цілу низку результатів дисертант отримав самостійно: метод для побудови квазі-точно розв'язуваних задач з двома енерґетичними рівнями; суперсиметрія нестаціонарного рівняння Паулі; узагальнення віттенівської квантової механіки на випадок руху частинки зі спіном 1/2 як у скалярному, так і в магнітному полях; розширення методу суперсиметрії для знаходження точних розв'язків рівняння Шредінґера у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа; точні розв'язки гармонічного осцилятора та релятивістського осцилятора Дірака у деформованому просторі; метод суперсиметрії та форм-інваріантності розширено на випадок частинок з масою, залежною від координат; знайдено класи потенціалів та відповідні маси, залежні від координат, для яких задача на власні значення розв'язується точно; знайдено точний розв'язок кулонівської задачі з певною спеціальною залежністю маси від координат.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких конференціях:

Ё Physics in Ukraine, International Conference, Kiev, 22-27 June, 1993;

Ё Mathematical Result in Quantum Mechanics, Ascona, Switzerland, June 23-28, 1996;

Ё Науковий Семінар з статистичної теорії конденсованих систем, Львів, Україна 14-15 березня, 1997;

Ё The 10-th Max Born Symposium “Quantum Future”, Wroclaw, Poland, Sept 24-27, 1997;

Ё INTAS Workshop on Condensed Matter Physics, Lviv, Ukraine, May 21-24, 1998;

Ё EPS-11: Trends in Physics, London, 6-10 September 1999;

Ё Workshop: Modern problems of soft matter theory, Lviv, Ukraine, 27-31 August, 2000;

Ё Різдвяні дискусії 2001, Львів, 3-4 січня 2001;

Ё The Second ESF QIT Conference Quantum Information: Theory, Experiment and Perspectives, Gdansk, Poland, July 10-18, 2001;

Ё Різдвяні дискусії 2002, Львів, 4-5 січня 2002;

Ё 9 International Seminar on Physics and Chemistry of Solids, ISPCS '03, Zloty Potok, k/Czкstochowy, Poland, 28-31 Maja 2003;

Ё 8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. Puebla, Mexico. June 9-13, 2003;

Ё 5-th International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics”, Kyiv, Institute of Mathematics, June 23-29, 2003;

Ё “Сучасні проблеми квантової теорії” приcвячена 100-річчю від дня народження Зіновія Храпливого, Тернопіль, 15-16 березня 2004;

Ё Різдвяні дискусії 2005, присвячені 100-річчю від дня народження професора Василя Міліянчука, Львів, 13-14 січня 2005;

Ё 6-th International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics”, Kyiv, Institute of Mathematics, June 20-26, 2005.

Окремі результати були темами семінарів, проведених автором в університетах Львова, Відня, Брюсселя, Вроцлава та неодноразово обговорювались на семінарах кафедри теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка та Інституту фізики конденсованих систем НАНУ.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано у 30 статтях у фахових виданнях, визначених переліком ВАК України, та у 2 матеріалах конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 312 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 312 найменувань. У роботі міститься 1 рисунок.

Основний зміст роботи