Узагальнені когерентні стани та динаміка ядерних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут теоретичної фізики імені М.М. Боголюбова

Василевський Віктор Семенович

УДК 539.14

УЗАГАЛЬНЕНІ КОГЕРЕНТНІ СТАНИ ТА ДИНАМІКА ЯДЕРНИХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Київ 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова

Національної Академії наук України

Офіційні опоненти:

l доктор фіз.-мат. наук, професор Рудчик Адам Тихонович, науковий центр "Інститут ядерних досліджень" НАН України, завідувач відділу;

l доктор фіз.-мат. наук, професор Плюйко Володимир Андрійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор;

l доктор фіз.-мат. наук Гаврилик Олександр Михайлович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Інститут електронної фізики НАН України, м. Ужгород

Захист відбудеться 22.04.2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України за адресою: 03143, м. Київ, вул. Метрологічна, 14б.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України за адресою: 03143, м. Київ, вул. Метрологічна,14б

Автореферат розісланий 20.03.2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук Кузьмичев В.Є.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Мікроскопічна теорія атомних ядер відіграє величезну роль в аналізі існуючих експериментальних даних, в установленні загальних закономірностей ядерних систем. Великий за обсягом експериментальний матеріал і по структурі атомних ядер, і по ядерним реакціям потребує адекватного теоретичного аналізу та його однозначної інтерпретації. З цією метою створено чимало мікроскопічних та напівмікроскопічних методів, що базуються на нерелятивістському рівнянні Шредінгера з парним нуклон-нуклонним потенціалом. Ці методи (їх також називають моделями) можна поділити на дві групи. Моделі першої групи призначені тільки для опису структури ядер, а моделі другої групи розроблені для дослідження процесів пружного розсіяння, ядерних реакцій. Були зроблені спроби до об'єднання цих двох груп методів, але теоретичні та математичні труднощі, що виникають при цьому, не дали змоги отримати надійні результати. Тому проблема опису з єдиної точки зору і структури легких ядер, і ядерних реакцій з реалістичним або напівреалістичним NN-потенціалом залишається, як і раніше, актуальною.

Однією з цікавих тем досліджень експериментальними і теоретичними методами, що привертає увагу вчених багато років, є природа гігантських резонансів. Особливість цих резонансів полягає в тому, що вони лежать в неперервному спектрі, їх спостерігають у вигляді величезних піків у перерізах реакцій, індукованих електронами, протонами, б-частинками та іншими ядрами. Гігантські резонанси пов'язані з основним станом ядра великою ймовірністю електромагнітних переходів відповідної мультипольності (монопольної, дипольної, квадрупольної і т.д.). Мікроскопічні методи першої групи дозволяють розглядати гігантські резонанси як колективні збудження. Але вони не дають можливості досліджувати розпад гігантських резонансів, обчислювати ядерну складову їх ширин. Методи другої групи, як правило, непридатні для опису гігантських резонансів. Вони здатні вивчати резонанси, що породжуються відцентровим або кулонівським бар'єрами. Таким чином, розробка і застосування мікроскопічної теорії, яка об'єднує колективні збудження ядер і різні канали їхнього розпаду, викликає постійний інтерес. Використання мікроскопічних методів у ядерній фізиці є дуже актуальним, оскільки мікроскопічний підхід, що спирається на нуклон-нуклонний потенціал, і не зв'язаний ніякими модельними параметрами, дозволяє досліджувати велику різноманітність ядерних явищ і ядерних систем у широкому інтервалі енергії збудження та ядерних реакцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали зміст дисертації, проведено відповідно до таких державних науково-дослідних тем відділу структури атомних ядер Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України: ``Мікроскопічна теорія легких ядер та ядерних реакцій за їх участю'' (№ д.р. 0102U002328), ``Дослідження слабко зв'язаних ядерних систем'' (№ д.р. 0101U000329), ``Дослідження легких ядер з надлишком нейтронів'' (№ д.р. 0196U001606).

Мета і задачі дослідження. Основною метою роботи є розробка мікроскопічного підходу до теорії атомного ядра, що дозволяє з єдиної точки зору вивчати і структуру атомних ядер, і ядерні реакції, а також на його основі аналізувати численні експериментальні дані. Такий підхід повинен бути гнучким, тобто давати можливість описувати різні типи збуджень ядер і різноманітні канали їхнього розпаду. Розв'язання задач теорії ядра повинне бути надійним і стійким: алгоритми розв'язання динамічних рівнянь повинні бути простими, а їхня чисельна реалізація забезпечувала б прийнятну, контрольовану точність.

Методи дослідження. У роботі використані: методи нерелятивістської квантової механіки та теорії розсіяння, теорія груп.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації розвинутий мікроскопічний підхід, основу якого складають два ключових моменти. По-перше, підхід використовує багаточастинкові базиси осциляторних функцій для вивчення зв'язаних станів і станів неперервного спектру і, тим самим, реалізує матричну форму квантової теорії багаточастинкових систем, у якій коректно враховані відповідні граничні умови. По-друге, для побудови матричних елементів оператора Гамільтона і інших операторів, важливих з фізичної точки зору, залучаються узагальнені когерентні стани. Переваги матричної (або алгебраїчної) форми квантової механіки при вивченні станів неперервного спектру продемонстровані для модельної задачі - частинка під впливом гауссівского потенціалу. Введені нові величини, які отримали назву динамічних коефіцієнтів, що дозволяють визначати оптимальну область параметрів (тобто значення осциляторного радіуса, з якими необхідне мінімальне число базисних функцій (4-10) для отримання точних значень фаз розсіяння). У цій області осциляторний радіус співрозмірний з радіусом гауссівського потенціалу. Встановлено, що коефіцієнти розкладання хвильової функції по осциляторним функціям в певних умовах пропорційні початковій хвильовій функції в дискретних точках або координатного, або імпульсного простору. Якщо осциляторний радіус значно більший або значно менший радіуса потенціалу, то необхідно залучати велике число осциляторних функцій (50 і більше). Для поліпшення збіжності в цих випадках запропоновано два алгоритми (дві стратегії) -"короткодіюча" і "дальнодіюча". З їхньою допомогою вдається скоротити базис у 2-3 рази і із заданою точністю отримати фази розсіяння.

Практичне значення одержаних результатів. Розвинутий у дисертації підхід до теорії атомних ядер використовувався у різних наукових центрах, наприклад, НДІЯФ МДУ (м. Москва), МІФІ (м. Москва), Університетський центр м. Антверпена (Антверпен, Бельгія). Отримані результати можуть бути корисні в Інституті ядерних досліджень НАН України при постановці експериментів по пошуку і аналізу високозбуджених станів легких атомних ядер, що виникають при зіткненні атомних ядер і їхньої взаємодії з фотонами, електронами та іншими зарядженими частинками.

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботиодержані здобувачем особисто. Включені до дисертації результати, що були опубліковані в працях зі співавторами, також одержані автором. У роботах з Г.Ф. Філіпповим та Л.Л. Чоповським [1,2], присвяченим техніці узагальнених когерентних станів, автору належить побудова узагальнених когерентних станів для легких ядер, які дають змогу вивчати динаміку колективних та кластерних степенів вільності. У роботі з Г.Ф. Філіпповим та Ю.Ф. Смірновим [3] автор розрахував матричні елементи потенціальної енергії для магічних ядер у рамках колективної моделі Sp(6,R). У роботі з Г.Ф. Філіпповим, С.М. Бадаловим та іншими [5] автор побудував узагальнені когерентні стани, які генерують різноманітні колективні та внутрішні збудження ядер. У роботі з Г.Ф. Філіпповим [6], присвяченій ефективному гамільтоніану, автор вивів ефективний оператор потенціальної енергії для магічних ядер, а у роботі [7], присвяченій проектуванню кластерних хвильових функцій на стани з певною O(A - 1)-симетрією, він побудував проекційний оператор, який дає можливість виділяти стани з фіксованим внутрішнім рухом. У роботі з Г.Ф.Філіпповим та Л.Л. Чоповським [4], у якій розглянуто спектр внутрішніх та колективних збуджень у кластерній моделі, автор установив зв'язок між функціями кластерної моделі та методу узагальнених гіперсферичних функцій, у роботах [8,10], присвяченим взаємодії колективних та спінових степенів вільності, він побудував узагальнені когерентні стани для колективних збуджень легких ядер та визначив вплив спін-орбітальних сил на спектр колективних станів, а у роботі [12], присвяченій резонансам ядра 7Li, він розрахував матричні елементи гамільтоніану для б + t каналу та дослідив властивості хвильових функцій резонансних станів. У роботі з Г.Ф. Філіпповим, Ю.Ф. Смірновим та В.Г. Неудачіним [9] автору належить дослідження кластерної структури в легких ядрах p-оболонки та розрахунок резонансних станів, які породжуються відцентровим та кулонівським бар'єром. У роботах з Г.Ф.Філіпповим та Т.П. Коваленко [13,18,19,20] автор побудував твірні функції як для колективної, так і для кластерних мод у системі чотирьох нуклонів, а також провів теоретичний аналіз пружного розсіяння протонів на ядрі 3H, реакції перезарядки 3He(n,p)3H та реакції фоторозщеплення 4He(г ,n)3He. У роботі з Ф.Аріксом [15] автор дослідив асимптотику рівнянь алгебраїчної версії методу резонуючих груп та сформулював алгоритми, які значно прискорюють збіжність розв'язків цього методу для станів неперервного спектру. У роботах з І.Ю.Рибкіним [17,23] автор розрахував формфактори пружного та непружного розсіяння електронів та сформулював просту двокластерну модель для дослідження реакцій з вихідним трикластерним каналом. У роботах з Г.Ф. Філіпповим та І.Ю. Рибкіним [21,22] автор дослідив дзеркальні реакції d(d,n)3He і d(d,p)3H, та визначив вплив тензорних сил на переріз цих реакцій. У роботах з Г.Ф. Філіпповим, М. Бруно та іншими [24,25] автор дослідив найбільш оптимальні шляхи збудження та розпаду колективних резонансів у ядрі 4He. У роботах з Г.Ф.Філіпповим, Л.Л. Чоповським та С.П. Кручініним [26,27] автор установив закономірності, що визначають за яких умов колективні збудження під дією відкритих кластерних каналів перетворюються у вузькі резонансні стани, та коли вони розчиняються у кластерному континуумі. У роботі з Г.Ф. Філіпповим та А.В.Нестеровим [28] автор установив зв'язок між положенням зв'язаного стану відносно кластерного порогу та формою розподілу ймовірності монопольного переходу із зв'язаного стану в стани неперервного спектру. У роботах з Г.Ф. Філіпповим, Ф. Аріксом та іншими [29,32], які присвячені взаємодії різних мод у легких ядрах, автору належить дослідження неперервного спектру ядер 4He та 6Li, та встановлення ролі, яку відіграють монопольний та кластерні відкриті канали, на формування спектру колективних квадрупольних збуджень. У роботах з Г.Ф. Філіпповим та С.П. Кручініним [30,31] автор виявив домінуючі моди колективних збуджень у легких атомних ядрах, а також вивчив вплив внутрішніх збуджень на спектр колективних станів. У роботах з А.В.Нестеровим, Ф. Аріксом та П.Ван Лейвеном [33,34] він побудував узагальнені когерентні стани для трикластерних конфігурацій, дослідив явище нейтронного гало в 6He та розрахував параметри резонансних станів, котрі належать трикластерному континууму.

Апробація результатів дисертації. Дисертаційна робота Василевського В. С. має достатній рівень апробації. Основні її результати доповідалися на семінарах відділу структури атомних ядер та наукових сесіях Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України, на семінарах інших провідних наукових центрів України та колишнього СРСР (Інститут ядерної фізики НАН України, Ужгородський національний університет, Науково-дослідний інститут ядерної фізики МДУ, Інститут атомної енергії ім. І.В.Курчатова, Фізичний інститут РАН, Об'єднаний інститут ядерних досліджень м. Дубна), Італії (Університет м. Болонья), Бельгії (Університет м. Антверпен - RUCA, Брюссельський вільний університет - ULB). Крім того, результати неодноразово доповідались на щорічних Всесоюзних нарадах з ядерної спектроскопії та структури атомного ядра, Всесоюзних нарадах з мало-нуклонних та кварк-адроних систем, на Засіданнях Бельгійського фізичного товариства, а також на багатьох міжнародних наукових конференціях. Серед цих конференцій: Міжнародна конференція “Теоретико-групові методи в фізиці'' (м.Звенигород Московської обл., 1982 р.); Міжнародна школа “Теоретико-групові методи в фізиці'' (м. Юрмала, 22-24 травня1985 р.); Всесоюзна нарада ``Властивості мало-частинкових та кварк-адронних систем'' (м. Паланга, 30 вересня-9 жовтня 1986 р.); Міжнародна нарада з теорії мало-нуклонних та кварк-адронних систем (м. Дубна Московської обл., 16-20 червня 1987 р.); Міжнародна конференція по вибраним питанням структури ядра (м. Дубна Московської обл., 16-20 червня 1987 р.); XII Міжнародна конференція з фізики декількох частинок “Проблеми декількох частинок у фізиці частинок, ядерній, атомній та молекулярній фізиці'' (м. Ужгород, 1-5 червня 1990 р.); Міжнародний симпозіум ``Кластерні аспекти квантових багато-частинкових систем'' (м.Кіото, Японія, 1-3 серпня 2001 р.); Міжнародна нарада “Динамічні властивості ядер та скінчених Фермі систем'' (Барселона, Іспанія,13-17 вересня 1993); IV Міжнародний весняний семінар з ядерної фізики “Будівельні блоки для ядерної структури'' (м. Равело, Італія, 13-17 вересня 1993 р.); Міжнародна конференція “Системи декількох частинок XV'' (м. Пенішкола, Іспанія, 14-17 червня 1995 р.); V Міжнародний весняний семінар з ядерної фізики “Нові перспективи для ядерної структури'' (м. Равело, Італія, 25-29травня 1995 р.) та ін.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 34 наукові роботи, з них: 25 статей у фахових наукових журналах, 1 - узбірнику наукових праць, 8 - у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, одинадцяти розділів та висновків. Повний обсяг дисертації становить 345 сторінок. Дисертація містить 69 рисунків (з котрих 63 займають повну сторінку) та 19 таблиць. Список використаних бібліографічних джерел (245 найменувань) займає 26 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі стисло викладений матеріал дисертації та дано обгрунтування актуальності і важливості даних проблем для дослідження структури легких атомних ядер і ядерних реакцій, а також дослідження природи високозбуджених резонансних станів, що виникають при зіткненні легких ядер.

У 1 розділі проведена класифікація задач ядерної фізики. Ця класифікація побудована на тих модах, на тих степенях вільності, які домінують у тих чи інших ядерних процесах. Виділено три основні групи задач ядерної фізики. Перша група задач пов'язана із дослідженням структури ядер та різного типу колективних збуджень (обертових, монопольних, квадрупольних таін.). Для цього потрібно враховувати динаміку колективних збуджень. Як правило, колективні мікроскопічні моделі враховують один фіксований внутрішній стан або обмежену кількість внутрішніх станів. Цей набір внутрішніх станів та вибраний нуклон-нуклонний потенціал цілком і повністю визначають спектр колективних збуджень. Останні отримують при розв'язуванні багаточастинкового рівняння Шредінгера. Друга група задач - це дослідження кластерних систем. У слабко зв'язаних системах, які при невеликій енергії збудження розпадаються на два або більше фрагментів (кластерів), а також при дослідженні пружних процесів та реакцій, що генеруються при зіткненні легких ядер, домінуючими є кластері степені вільності. Для розв'язання третьої групи задач потрібно враховувати і колективні, і кластерні степені вільності. Це, наприклад, актуально для теоретичного аналізу гігантських резонансів різної мультипольності - монопольних, дипольних, квадрупольних та інших.

У 1 розділі також даний огляд різних методів знаходження розв'язків багаточастинкового рівняння Шредінгера. Серед цих методів присутні метод генераторних координат, метод резонуючих груп, метод гіперсферичних та узагальнених гіперсферичних функцій. Дуже часто для чисельної реалізації цих методів використовують перехід від неперервних змінних до дискретних. Так, наприклад, диференційний оператор замінюють на дискретний різницевий його аналог, а інтеграл по неперервній змінній замінюють сумою по скінченій множині дискретних точок. Такий перехід значно спрощує розв'язок багаточастинкового рівняння Шредінгера, зводить його дозручної матричної форми. Розв'язок матричних рівнянь є набагато простішим, ніж їх диференційний, інтегральний або інтегро-диференційні аналоги. І це завдяки тому, що існує низка чисельних алгоритмів, які забезпечують стійкі та збіжні розв'язки матричних рівнянь.

Одним із найбільш поширених методів зведення рівняння Шредінгера до матричної форми є метод розкладу хвильової функції Ш(x) по повному набору функцій

де узагальнені коефіцієнти Фур'є {Cn} задовольняють нескінченній системі лінійних рівнянь

Серед цих наборів чільне місце посідають осциляторні функції. І це відбувається з різних причин. Перш за все, функції осциляторної моделі оболонок є досить добрим наближенням до реальних функцій легких атомних ядер. А по-друге і найголовніше, за допомогою осциляторного базису, як було показано у роботах Філіппова та його співробітників, можливо сформулювати та ввести в динамічні рівняння коректні граничні умови для дискретних станів та станів неперервного спектру. У цих роботах було показано, що коефіцієнти Cn при великих значеннях n”1 з точністю до простого множника співпадають з асимптотичною частиною хвильової функції в координатному просторі і мають вигляд

для станів непервного спектру та

для зв'язаних станів. У цих рівняннях дL та Aк - це фаза розсіяння та константа, котрі потрібно визначити при розв'язувані рівняння Шредінгера, є класичний радіус повороту частинки з енергією у полі гармонійного осцилятора, r0-осциляторний радіус, а

(5)

Якщо припустити, що для n > N коефіцієнти Cn співпадають з їх асимптотичною формою (3) або (4) та підставити їх в (2), то отримаємо систему рівнянь для неперервного та дискретного спектру, яка повністю визначає хвильову функцію та інші важливі параметри (енергію дискретних рівнів, фазу розсіяння і таке інше). Дві головні проблем постають при реалізації матричної форми квантової механіки. Це, по-перше, побудова базисних функцій, котрі придатні описувати певну фізичну моду руху багаточастинкової системи, та, по-друге, розрахунок матричних елементів різних операторів між базисними функціями. Ці проблеми можна розв'язати за допомогою узагальнених когерентних станів. Основна властивість узагальнених когерентних станів Ц(в,x) (вони залежать від звичайних координат x та деякого числа генераторних параметрів в, у загальному випадку комплексних) полягає в тому, що вони є твірними функціями для повного базису функцій {|n, x|}:

Конструкцію в (6) можна розглядати як осциляторну функцію в просторі Фока-Баргманна або в просторі генераторних параметрів. Степінь n генераторного параметру в однозначно пов'язаний з номером базисної функції . Це дає можливість виділяти потрібну нам базисну функцію за допомогою проекційного оператора що має наступну властивість

Оскільки для реалізації матричної квантової механіки потрібно не самі базисні функції, а лише матричні елементи різних операторів (оператора Гамільтона та інших) між ними, то для цього нам потрібно розрахувати твірні матричні елементи , з яких легко отримати бажані матричні елементи:

Формули (6)-(9) справедливі для випадку коли домінує одна степінь вільності. У §1.6 та §1.7 показано, якого вигляду набуває осциляторна функція в просторі Фока-Баргманна та відповідний проекційний оператор у випадку кількох генераторних параметрів.

Показано, що узагальнені когерентні стани можна будувати у вигляді детермінантів Слетера із спеціально сконструйованих одночастинкових орбіталей

де x={r1, r2, …, rA}. Детермінантна форма узагальненених когерентних станів дозволяє, по-перше, точно врахувати принцип Паулі та будувати антисиметричні базисні функції , по-друге, легко виділяти рух центра мас та, по-третє, розраховувати матричні елементи (в багатьох випадках у простій аналітичній формі) одно- та двочастинкових операторів. Одночастинкові орбіталі , як і узагальнені когерентні стани, залежать від певної кількості генераторних координат . Явний вигляд орбіталей та кількість і фізичний зміст генераторних параметрів суттєво залежить від фізичної проблеми, яку потрібно розв'язувати.

Приведено в явному вигляді орбіталі, які потрібно використовувати для розв'язування проблем першої, другої та третьої груп. Вони називаються відповідно колективні, кластерні та резонансні орбіталі. Важливу роль у конструюванні цих орбіталей та відповідних узагальнених когерентних станів відіграє група динамічної симетрії.

У 2 розділі наведені основні аналітичні результати обчислення матричних елементів гамільтоніану та інших операторів на узагальнених когерентних станах. З їхньою допомогою можна досліджувати зіткнення s - кластерів (тобто кластерів, що складаються з 1?A?4 нуклонів) та динаміку колективних збуджень ядер s- та початку p-оболонки (5?A?8). Мікроскопічний гамільтоніан включає в себе крім центральних компонент NN-сил, спін-орбітальні компоненти, а також кулонівську взаємодію протонів. У цьому розділі на конкретних прикладах показано, як можна будувати рекурентні співвідношення для матричних елементів різних операторів, використовуючи твірні матричні елементи. Як показує досвід, рекурентні співвідношення дозволяють у 103-106 разів прискорити побудову матричних елементів у порівнянні з прямими обчисленнями. При цьому рекурентні співвідношення гарантують високу точність обчислень. У цьому розділі використані резонансні орбіталі для побудови узагальнених когерентних станів та для обчислення твірних матричних елементів. З їхньою допомогою виділено три різні блоки матричних елементів. Перший блок дозволяє досліджувати динаміку тільки колективної моди повздовжніх збуджень. Другий блок містить тільки кластерні степені вільності. Він призначений для вивчення пружного розсіяння, зв'язаних станів та резонансів, що породжуються відцентровим та (або) кулонівським бар'єрами. Третій блок визначає взаємодію колективних та кластерних степенів вільності.

У 3 розділі досліджено збіжність розв'язків алгебраїчної версії методу резонуючих груп (або коротко - алгебраїчної моделі). З цією метою було розглянуто модельну задачу - частинка в полі гауссівського потенціалу

Висновки, які зроблені в результаті аналізу модельної системи, мають загальний характер і можуть бути застосовані при вивченні більш складних реалістичних систем.

Для зручності аналізу збіжності коефіцієнти хвильової функції були представлені у вигляді

для всіх значень n. Коефіцієнти Cn(+) є Фур'є компонентами функції Бесселя яка представляє регулярний розв'язок рівняння Шредінгера для вільної частинки з моментом Коефіцієнти Cn(-) пов'язані з регуляризованою ``нерегулярною'' функцією . Остання задовольняє рівняння Шредінгера

та в асимптотичній області співпадає з функціями Неймана

Тут

осциляторна функція для n=0, b-осциляторний радіус, а

Коефіцієнти Cn(0) повинні бути рівні нулю в асимптотичній області, тобто Cn(0)=0 для всіх n, що більше деякого N. Для нових коефіцієнтів Cn(0) та для тангенсу фази розсіяння виведено систему рівнянь

Нові динамічні коефіцієнти

є ключовими елементами, які визначать збіжність розв'язків системита N границю між внутрішньою і асимптотичною областями. Причому аналіз збіжності можливо здійснити до того, як будуть розв'язані рівняння (16).

Проведений аналіз динамічних коефіцієнтів показав, що оптимальними значеннями b є осциляторні радіуси, що близькі до .В цьому випадку потрібно менше десяти функцій для того, щоб отримати точну фазу розсіяння. Але коли осциляторний радіус значно більший радіуса гауссівського потенціалу (така ситуація має місце для потенціалів з малим радіусом дії), або значно менший a (це реалізується для потенціалів з великим радіусом дії), то слід чекати повільної збіжності і для її досягнення потрібна велика кількість базисних функцій. Ці висновки було підтверджено чисельними розрахунками фаз розсіяння для потенціалу Гаусса.

Для прискорення збіжності у випадках великих та малих значень осциляторного радіуса (порівняно з радіусом потенціалу) було досліджено асимптотичну поведінку (справедливу для ) динамічних коефіцієнтів. Було показано, що, коли ,

А в другому граничному випадку домінує хвильова функція в імпульсному просторі

де - точка повороту для гармонійного осцилятора в імпульсному просторі, и -Фур'є-образ потенціалу та хвильової функції відповідно. Таким чином, при малих значеннях осциляторного радіуса хвильова функція в осциляторному просторі пропорційна хвильовій функції в координатному просторі, а при великих значеннях осциляторного радіуса хвильова функція з точністю до простого множника співпадає з хвильовою функцією в імпульсному просторі. Результати асимптотичного аналізу рівнянь алгебраїчної моделі було використано для формулювання двох стратегій -"дальнодіючої" та "короткодіючої". Ці стратегії дають можливість значно прискорити збіжність розв'язків алгебраїчної моделі для станів неперервного спектру та значно скоротити (в 2-3 рази) базис осциляторних функцій, котрі необхідні для отримання фази розсіяння з потрібною точністю.

4 розділ дисертації присвячений дослідженню природи першого збудженого 0+ стану ядра 4He. Довгий час ведеться дискусія про природу цього стану. Існує дві протилежні точки зору на те, які степені вільності домінують у цьому стані: колективні чи кластерні. Розрахунки енергії збудження та аналіз хвильових функцій не давали однозначної відповіді на це питання. Для більш адекватного аналізу ситуації нами було досліджено формфактор непружного розсіяння електронів на ядрі 4He, в результаті якого збуджується 0+ резонанс. Ці дослідження було виконано в рамках двох конкуруючих мікроскопічних моделей - колективної та кластерної. Для реалізації цих моделей було побудовано два повних базиси осциляторних функцій та Кластерний базис призначений для опису кластерної конфігурації p+3H (n+3He), а колективний базис здатний описувати поперечні квадрупольні збудження. Ця мода є домінуючою серед інших мод колективних збуджень легких ядер. В обох моделях був використаний один і той же напівреалістичний нуклон-нуклонний потенціал Волкова, який досить часто використовується при дослідженні колективних збуджень легких ядер та ядерних реакцій. Кулонівська взаємодія не враховувалась, тому повний ізоспін T=0 ядра 4He був інтегралом руху. В цьому випадку канали p+3H та n+3He були тотожними. В результаті діагоналізації матриць гамільтоніану та були отримані хвильові функції основного та першого збудженого станів 4He-|E0,cl>, |E1,cl>, |E0,col>, |E1,col>. За допомогою цих функцій було розраховано непружний електронний формфактор

де

Оскільки кулонівською взаємодією між протонами було знехтувано, то перший збуджений стан у кластерній моделі виявився зв'язаним станом, що на 16 кеВ нижче p+3H порогу. На рис. 1 показано залежність непружного формфактору |F| ядра 4He, розрахованого в колективній (Col) та кластерній (Clu) моделях, від квадрату переданого імпульсу. Крім того, на рис. 1 приведені існуючі експериментальні дані для |F|.

Як видно, формфактор, отриманий в кластерній моделі, добре узгоджується з існуючими експериментальними даними в усьому проміжку переданих імпульсів. У той же час в колективній моделі формактор значно перевищує експериментальний формфактор. Таким чином, зіставлення теоретичних даних з експериментальними дає однозначну відповідь про кластерну природу 0+ резонансу ядра 4He.

У 5 розділі багатоканальна мікроскопічна модель була застосована для вивчення неперервного стану ядра 4He. Ця модель враховує всі існуючі у 4He бінарні канали: p+3H, n+3He та d+d. Пробна хвильова функція була представлена у наступному вигляді

де коефіцієнти описують динаміку системи відповідно у протонному, нейтронному та дейтронному каналах. Вони задовольняють системі лінійних рівнянь

де с=p,n,d, та для n”1 мають асимптотичну форму

(23)

для відкритих каналів (коли повна енергія перевищує енергію порогу E?Eth(c) даного каналу с) або для закритих каналів (тобто коли E?Eth©). У формулах (23) - (24) використані наступні позначення: - імпульс, - параметр Зоммерфельда, vc - відносна швидкість кластерів, а Z1, Z2- заряд першого та другого кластерів. Функції описують вхідний (вихідний) потік частинок і пропорційні функціям Уіттекера.

Для моделювання NN-взаємодії та для вивчення впливу форми потенціалу на взаємодію кластерів було використано потенціал Волкова та модифікований потенціал Хасегави-Нагати. Показано, що взаємодія між кластерами, що породжується потенціалом Волкова, є надто слабкою для утворення резонансного стану. А взаємодія між кластерами, що зумовлюється модифікованим потенціалом Хасегави-Нагати, приводить до утворення резонансного стану з параметрами близькими до експериментальних. Крім цього установлено, що кулонівський бар'єр у каналі p+3H не здатний створити сприятливі умови для виникнення резонансу. Важливу роль у формуванні 0+ - резонансу відіграють закриті канали n+3He та d+d. Тільки всі три канали, враховані одночасно в розрахунку, дозволили відтворити положення (E-енергію) і ширину (Г) 0+-резонансу. Отримано узгодження розрахункових значень E і Г з експериментальними даними.

На рис. 2 порівняно теоретичні та експериментальні значення для диференційного роз-

Рис. 2 Диференційний переріз пружного розсіяння протонів на ядрі 3H під кутом 120 градусів в с.ц.м. Суцільна лінія - результат, отриманий для повного спіну S=0, а штрих-пунктирна відповідає розрахункам зі спіном S=0 та S=1.

сіяння протонів на ядрі 3H. Видно, що в енергетичному інтервалі 0?E?0.8 МеВ важливу роль відіграють стани зі спіном S=0 та S=1. Розрахунки, які представлено на рис. 2, були отримані з модифікованим потенціалом Хасегави-Нагати.

Крім цього, було розраховано дійсну та уявну частини довжини розсіяння an нейтронів на ядрі 3He, та повний переріз реакції перезарядки 3He(n, p)3H для теплових нейтронів. Всі ці величини добре узгоджуються з експериментальними даними (див. Таблицю 1.)

Таблиця 1.

Синглетна довжина розсіяння нейтронів на ядрі 3He та повний переріз реакції перезарядки для теплових нейтронів, розрахованих з потенціалом Хасегави-Нагати.

У 6 розділі досліджені дзеркальні реакції d(d,n)3He та d(d,p)3H. Особливий інтерес до цих реакцій виник через те, що відношення перерізів цих реакцій, які визначені експериментально, помітно перевершують модельні оцінки, що використовують зарядову незалежність ядерних сил. Це привело деяких дослідників до гіпотези про порушення одного із основних принципів ядерної фізики - зарядової незалежності ядерних сил. Для дослідження цієї проблеми ми знову звернулися до триканальної версії кластерної моделі, в якій враховувалася динаміка трьох каналів - p+3H, n+3He та d+d. Тепер центр уваги був зосереджений на станах неперервного спектру вище n+3He- порогу і, особливо, в області малих енергій над порогом d+d-каналу. Нуклон-нуклонна взаємодія моделювалося модифікованим потенціалом Хасегави-Нагати. Окрім центральних компонент NN-сил, були також враховані спін-орбітальна та тензорна компоненти.

Було розраховано астрофізичний S-фактор, який пов'язаний з повним перерізом реакції у наступним співвідношенням

(25)

де -параметр Зоммерфельда для кластерів вхідного каналу з зарядами Z1 і Z2 та їх відносною швидкістю v.

Показано, що коректне врахування ядерної і кулонівської взаємодії нуклонів дозволяє із задовільною точністю відтворити астрофізичні S - фактори і першої і другої реакцій, а також відношення їхніх перерізів. На рис.3 показано залежність S-фактора реакцій d(d,n)3He та d(d,p)3H від енергії. Пунктирна лінія відповідає розра- хункам тільки з центральними компонентами

NN-сил, а суцільна лінія демонструє результати, що отримані із врахуванням спін-орбітальної та тензорної компоненти. На рисунку показано вклад станів з орбітальним моментом L=0 та L=1, а також їх сумарний вклад (У). Видно, що при енергії E?100 кеВ в перерізі реакцій домінує s-хвиля, тобто реакції проходять при лобовому зіткненні дейтронів, а при більшій енергії починає домінувати p-хвиля. Теоретичне відношення перерізів реакцій d(d,n)3He та d(d,p)3H, яке рівне 1.21, узгоджується з експериментальними даними (1.46 та 1.39±0.04).

Таким чином, теорія, що заснована на принципі про зарядову незалежність ядерних сил здатна описати кількісну відмінність перерізів реакцій d(d,n)3He та d(d,p)3H.

У 7 розділі розглянуті процеси, що мають як фундаментальне, так і прикладне значення, зокрема, для астрофізики та керованого термоядерного синтезу. Йдеться про реакції термоядерного синтезу 3H(3H,2n)4He та 3He(3He,2p)4He. Остання реакція відіграє важливу роль в pp-циклі, що відбувається на Сонці, та визначає потік сонячних нейтрино. Із-за сильного кулонівського відштовхування ці реакції важкодоступні для експериментального вивчення в області низьких енергій, особливо в районі так званої гамівської енергії, тобто найвірогіднішої енергії відносного руху ядер 3He+3He, що реалізується на Сонці або в установках термоядерного синтезу. По суті, ці реакції - трикластерні, оскільки у вихідному каналі реакцій спостерігаються три кластери 4He+n+n та 4He+p+p. З цієї точки зору задача стає дуже громіздкою і важкореалізованою. Для спрощення, ми припустили, що два нейтрони (два протони) можуть об'єднуватися в один кластер і, отже, вихідний канал можна представити як бінарний - б-частинка та динейтрон (дипротон). Таке наближення, як показано в цьому розділі, є цілком обгрунтованим та дозволяє з задовільною точністю описувати реакції 3H(3H,2n)4He та 3He(3He,2p)4He в області малих енергій. Теоретичний аналіз реакцій синтезу 3H(3H,2n)4He та 3He(3He,2p)4He проводився з двома NN -потенціалами - потенціалом Волкова і Хасегави-Нагати. Кожний з цих потенціалів має один вільний параметр-інтенсивність обмінних сил Майорану. Він впливає лише на непарні компоненти NN-сил. Цей параметр не змінює внутрішньої енергії кожного з кластерів і вхідного, і вихідного каналів, він змінює взаємодію між кластерами, а також динамічний зв'язок каналів 3+3 та 4+2.

Рисунок 4 демострує чутливість S - фактору до параметру Майорани для обох потенціалів. Показано, що, використовуючи невелике варіювання параметра Майорану, можна досягти того, щоб астрофізичний S - фактор реакцій 3H(3H,2n)4He та 3He(3He,2p)4He з доброю точністю відтворював експериментальні дані. Детальний аналіз поведінки S - фактора, а також параметрів пружних і непружних процесів в області енергій 0?E?100 кеВ над порогом 3He+3He-каналу, не виявив ніяких резонансів, які могли б збільшити переріз реакції і тим самим допомогти в розв'язанні проблеми сонячних нейтрино. Встановлено, що взаємодія між кластерами в 3He+3He - каналі і в s - і в p - хвилі дуже слабка для створення сприятливих умов для існування вузьких резонансів з малою енергією E?20 кеВ.

У 8 розділі розглянуті резонанси ядра 4He, що можуть збуджуватись у пружному p+3H, n+3He та d+d - розсіянні. З цією метою була запропонована і реалізована модель, що включає кластерні та колективні степені вільності. Така модель дозволяє описувати процес, в якому, наприклад, при зіткненні протона з ядром 3H енергія відносного руху кластерів передається всім чотирьом нуклонам рівномірно і в ядрі 4He збуджуються резонансні стани. Пошук таких резонансів, визначення їхніх енергій і ширин, а також головних мод (каналів) їхнього розпаду складає головну мету цього розділу. Спочатку був обчислений спектр колективних збуджень, побудовані їх хвильові функції. Потім до колективного каналу був підключений кластерний канал 1+3 або p+3H (n+3He) - канал. (На першому етапі кулонівська взаємодія не враховувалася, тому ці два канали не розрізняються.) Виявилося, що кластерний 1+3 - канал поглинає два колективні збудження, а інші перетворює у вузькі резонанси. Ширина таких резонансів менше 25 кеВ. Якщо до колективного, квадрупольного каналу підключити d+d - канал, то перше збудження появляється під d+d - порогом, а друге розчиняється у неперервному спектрі. Інші колективні збудження стають вузькими резонансами. Максимальна ширина колективних резонансів складає 67 кеВ. Детально вивчено вплив колективної моди на фази пружного p+3H, (n+3He), d+d- розсіяння. Показано, що фази d+d - розсіяні істотно змінюються під впливом колективної моди. Підключення колективної моди призводить до того, що під порогом d+d - каналу з'являється ще один зв'язаний стан і відповідно до теореми Левінсона фаза розсіяння при нульовій енергії зсовується на р і стає рівною 2р. У кінці цього розділу розглянута чотириканальна модель, яка об'єднує всі бінарні канали ядра 4He: p+3H, n+3He та d+d , а також колективний квадрупольний канал. Підключення кулонівської взаємодії дозволило відрізнити канал p+3H відканалу n+3He. Три кластерні канали розчиняють у неперервному спектрі не тільки друге, але і третє колективне збудження. Колективні резонанси в цьому випадку стають більш широкими (в 4-5раз), проте залишаються вузькими станами, оскільки їхня ширина неперевищує 500 кеВ, що значно менше ширин резонансів, виявлених експериментально в цій області енергій.

У 9 розділі проведено дослідження взаємодії колективних та кластерних степенів вільності в ядрах початку p-оболонки, тобто ядер з числом нуклонів 5?A?8. Кластерна мода була представлена домінуючою кластерною конфігурацією A1+A2=б+A2, де A2=1,2,3,4 або p(n), d(2n), 3H(3He), 4He. Ця кластерна конфігурація має найнижчу енергію порогу розвалу ядра на два фрагменти. Колективна мода була також представлена домінуючою серед інших колективних збуджень квадрупольною модою.

Ця модель дозволяє досягнути дві мети. По-перше, колективний канал дає можливість ефективно враховувати поляризацію (тобто зміну форми) кластерів у процесі їх зіткнення. По-друге, кластерний канал здатний описати розпад колективних збуджень, в тому числі і гігантських резонансів.

Хвильова функція ядра була побудована у вигляді

де осциляторні функції складають базис незвідного представлення симплектичної групи Sp(2,R) і здатні описувати колективні збудження ядра, а кластерні функції мають структуру

де функції та описують внутрішню структуру кластерів, а - їх відносний рух. Коефіцієнти розкладу ш по осциляторним функціям {Cn(cl),Cn(col)} є розв'язками системи лінійних рівнянь

За допомогою формул, наведених у 2 розділі, були побудовані матричні елементи гамільтоніану для кластерного каналу та для гамільтоніану колективних збуджень, а також матричні елементи

що визначають динамічний зв'язок кластерної та колективної мод. Крім динамічного, існує кінематичний зв'язок, він визначається через інтеграл перекриття .

Розрахунки було виконано з потенціалом Бринка-Букера, котрий має тільки центральні компоненти. Для спрощення розрахунків кулонівською взаємодією між протонами було знехтувано. Враховуючи це та те, що парні та непарні компоненти потенціалу Бринка-Букера рівні між собою (V31=V13, V33=V11), результати, що отримані для 6Li (7Li) справедливі і для 6He(7Be).

На рис. 5 показано для ядер 7Li (7Be) та 8Be спектр колективних збуджень (Sp(2,R)), спектр резонансів форми (RGM), котрі розраховано в кластерній моделі, та спектр колективних резонансів (Coupl), що виникають у результаті взаємодії колективного та кластерного каналів. Видно, що колективна поляризація суттєво впливає на взаємодію кластерів. Вона приводить до того, що енергія відцентрових резонансів помітно зменшується, та збільшується їх ширина. Кластерний канал також суттєво впливає на спектр колективних збуджень. Частина цих збуджень розчиняється в неперервному спектрі, а останні перетворюються на вузькі резонанси. Аналіз показує, що в неперервному спектрі розчиняються ті колективні збудження, котрі мають малу амплітуду колективного руху і, отже, сильно перекриваються з хвильовими функціями кластерного каналу. Колективні збудження з великою амплітудою колективного руху слабко перекриваються з хвильовими функціями кластерного каналу і тому перетворюються у вузькі резонансні стани, ширина яких значно менша ширини відцентрових резонансів. Для кількісної міри амплітуди колективного руху було введено величину яка визначає домішок кластерного каналу у хвильовій функції б-того (б =0,1,...) колективного стану. Чим менша амплітуда колективного руху в даному б -тому колективному стані, тим більша величина Wб. І навпаки, чим більша амплітуда колективного руху, тим менший зв'язок колективного стану з кластерним каналом. Було визначено, що для ядер початку p-оболонки критичним значенням величини Wб є 0.37. Якщо в б-?тому колективному стані домішок кластерного каналу Wб перевищує 0.37, то такий стан розмивається неперервним спектром. А коли Wб менше 0.37, то таке колективне збудження перетворюється у вузький резонанс.

Детально досліджено ймовірність монопольних, дипольних та квадрупольних переходів із основного стану в стани неперервного спектру

де та хвильові функції основного стану та стану неперервного спектру з енергією відносного руху кластерів E, а -оператор електричного переходу мультипольності л = 0, 1,2. Хвильові функції початкового та кіненцевого станів нормовані слідуючим чином

Ймовірність дипольних та квадрупольних переходів із зв'язаного стану в неперервний спектр простим співвідношенням пов'язана з перерізом реакції фоторозщеплення ядра та радіаційного захвату.

Показано, що ймовірність Eл-переходу сконцентрована головним чином над порогом кластерного каналу. І чим ближче зв'язаний стан до цього порогу (тобто чим менше енергія його зв'язку), тим більша частина Eл-переходів припадає на навколопорогову область і тим гостріше пік розподілу по неперервномуспектру. Крім цього, має великі піки, що значно перевищують "фонові" значення, при енергіях відповідних колективних резонансів. Отже, колективні резонанси можна спостерігати в реакціях фоторозвалу або радіаційного захвату.

У ядер 6He, 6Li, 7Li та 7Be при енергії збудження 12-15 МеВ спостерігається пік у розподілі квадрупольного переходу, ширина якого приблизно 5 МеВ. Він вичерпує більше 15% квадрупольного правила сум з енергетичною вагою. Цей пік можна розглядати як гігантський квадрупольний резонанс, оскільки його енергія близька до енергії відповідного колективного збудження, розрахованого в колективній моделі. Гігантський квадрупольний резонанс не проявляє себе в пружному розсіянні (фаза та переріз пружного розсіяння не мають резонансної поведінки в енергетичному інтервалі шириною в 5 МеВ та з центром 15 МеВ), але його можна спостерігати в фотоядерних реакціях.

У 10 розділі дисертації досліджені високозбуджені стани ядра 4He. Мікроскопічна модель, що реалізована для цієї мети, залучає до розрахунку два колективних канали - монопольний і квадрупольний. На відміну від квадрупольного каналу, монопольний канал дає можливість вивчати не тільки збуджені стани монопольної природи, але й стани неперервного спектру, породжувані при розвалі 4He на чотири незв'язані нуклони. Збуджені монопольні і квадрупольні стани, а також стани неперервного спектру в монопольному каналі можуть виявляти себе при взаємодії ядра 4He з електронами та іншими зарядженими частинками, включаючи важкі іони. Аналіз збуджених станів 4He був обмежений енергієюзбудження 50 МеВ. Це трохи менше енергії порогу квадрупольного каналу і відповідає енергії приблизно 20 МеВ в неперервному спектрі монопольного каналу. В цьому енергетичному інтервалі розміщується основний і дев'ять збуджених станів квадрупольної моди. Монопольний канал породжує два зв'язаних стани (основний і перший збуджений 0+-стан), а також континуум станів неперервного спектру (він починається при енергії ?28 МеВ збудження ядра 4He. В цьому континуумі спостерігається резонанс, породжуваний відцентровим бар'єром монопольного каналу. Якщо врахувати динамічний зв'язок монопольного та квадрупольного каналів, то у системи залишиться два зв'язаних стани. Другий збуджений стан квадрупольного каналу при підключенні монопольного каналу, розчиняється в монопольному континуумі. Інші квадрупольні збудження перетворюються у вузькі резонансні стани. Їхня ширина неперевищує 20 кэВ, що значно менше ширини резонансу, породжуваноговідцентровим монопольним бар'єром. Для виявлення природи вузьких резонансів і їхнього зв'язку з квадрупольними збудженнями, були розраховані вага квадрупольних збуджень у хвильовій функції неперервного спектру і у резонансних станів. Показано, що в кожному із резонансних станів значно домінує той квадрупольний стан, енергія якого близька до енергії даного резонансу. Виняток становить перший вузький резонанс. У ньому домінує третій збуджений стан, але вага другого квадрупольного збудження також суттєва. Що стосується другого квадрупольного збудження, то воно дає істотний внесок в стани неперервного спектру, що тягнеться від порогу монопольного каналу до першого вузького резонансу. Грунтуючись на цих результатах можна стверджувати, що стани з малою амплітудою руху закритого каналу розчиняються в неперервному спектрі, а стани з великою амплітудою руху перетворюються на вузькі резонансні стани. Показано також, що у резонансних станів амплітуда квадрупольних рухів у десятки разів більша амплітуди монопольних рухів. Додаткове світло на природу вузьких резонансів проливають розрахунки ймовірності монопольного переходу з основного стану в збуджені стани і стани неперервного спектру, а також монопольні правила сум з енергетичною вагою. Ці розрахунки також вказують на тісний родинний зв'язок вузьких резонансів та відповідних квадрупольних збуджень.

В 11 розділі мікроскопічні методи розроблені для опису трикластерних конфігурацій у легких атомних ядер. Трикластерні канали відіграють важливу роль у формуванні основного та збуджених станів легких ядер. Для ряду ядер трикластерна конфігурація є домінуючою, вона визначає природу і зв'язаних станів, і резонансів. Так, наприклад, основний та збуджені стани ядра 6Be лежать вище трикластерного порогу б+p+p, а ядро 6He має один зв'язаний, а якщо його енергія збудження перевищує 0.975 МеВ, то відкриваються трикластерний канал б+n+n.

Пробна хвильова функція трикластерної конфігурації має форму

де - хвильова функція, що описує внутрішню структуру н-того кластера, а функція fL(q1,q2) описує відносний рух кластерів. Два вектори Якобі q1, q2 визначають положення трьох кластерів у просторі. Для знаходження функції шL, або те ж саме, що й функції fL(q1,q2), ми будемо використовувати базиси осциляторних функцій |{n}>

де {n} означає повний набір квантових чисел, які однозначно класифікують базисні функції. Три різних базиси (SU(3)-базис, біосциляторний та базис гіперсферичних функцій) були побудовані та залучені для дослідження динаміки трикластерної конфігурації в 6He та 6Li.

Рівняння Шредінгера для трикластерних конфігурацій набуває вигляду

де - матриця інтегралів перекриття базисних функцій. Як відомо, оператор антисиметризації призводить то того, що осциляторні функції трикластерних конфігурацій стають не ортогональними і лінійно залежними. Тому, перед тим, як розв'язувати рівняння Шредінгера (35), потрібно позбутися лінійно-залежних функцій. Їх називають забороненими принципом Паулі станами. Для цього потрібно знайти власні значення лб та власні функції матриці оператора антисиметризації .Заборонені принципом Паулі стани - це такі комбінації початкових базисних функцій, які мають нульові власні значення матриці . А ненульовим власним значенням відповідають дозволені принципом Паулі стани {|б>\}. Після переходу до дозволених принципом Паулі станів, рівняння Шредінгера (35) приймає вигляд

Для дослідження динаміки трикластерних конфігурацій б+N+N вядрах 6He та 6Li було використано два потенціали - Волкова та потенціал Міннесоти, який запропонував Тан з співробітниками. А для проведення чисельних розрахунків були залучені всі осциляторні функції, які належать осциляторним оболонкам Nsh з номерами Nsh = 0,1,...,15. Загальна кількість складає 428 функцій, здатних описувати різноманітне взаємне положення кластерів у просторі. Із цих функцій 398 є станами, що дозволені принципом Паулі. Перш за все було досліджено зв'язаний стан ядра 6He і встановлено, яка частина повного базису домінує в хвильовій функції 6He. Виявилось, наприклад, що в біосциляторному базисі домінує підпростір функцій |n1,l1=0;n2,l2=0>, який дає енергію зв'язку, що на 0.01% менша від енергії, яку отримано з повним базисом. При цьому домінуючий півпростір складає всього лиш 134 функції.

Таблиця 2.

Теоретичні та експериментальні дані для основного стану 6He. Результати розрахунків отримані з потенціалом Волкова.

У таблиці 2 наведені енергія зв'язку 6He (вона відраховується від трикластерного порогу б+n+n), масовий (RMSRm), протонний (RMSRp) та нейтронний (RMSRn) середньоквадратичні радіуси. Видно, що теоретичні дані добре узгоджуються з існуючими експериментальними даними. Співвідношення між протонним та нейтронним середньоквадратичними радіусами вказує на те, що в ядрі 6He дійсно існує нейтронне гало, тобто розмір нейтронної „хмарки”' значно більший ніж розмір протонної. Наявність нейтронного гало також підтверджується і розрахунками кореляційної функції P(q1,q2), яка визначає ймовірність розподілу трьохкластерів у просторі і дається співвідношенням

де інтегрування виконується по одиничним векторам та . Функція P(q1,q2) має два максимуми. Перший і головний максимум відповідає такій конфігурації, коли два нейтрони знаходяться досить близько один до одного, але вони значно віддалені від б-частинки. У другому максимумі функції P(q1,q2) домінує конфігурація, коли нейтрони віддалені один від одного, а між ними знаходиться б-частинка.