Непертурбативна динаміка калібрувальних полів на ґратці

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова

УДК 539.121.7+539.128

Непертурбативна динаміка калібрувальних полів на ґратці

01.04.02 - теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Борисенко Олег Анатолійович

КИЇВ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова Національної академії наук України

Офіційні опоненти: 1. доктор фізико-математичних наук, професор Приєзжев Вячеслав Борисович - Об'єднаний інститут ядерних досліджень, м. Дубна, Росія, начальник сектору математичних методів в теоретичній фізиці.

2. доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Ситенко Юрій Олексійович - Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України, м. Київ, завідувач відділу теорії ядра і квантової теорії поля.

3. доктор фізико-математичних наук, професор Скалозуб Володимир Васильович - Дніпропетровський національний університет, м. Дніпропетровськ, завідувач кафедри квантової макрофізики.

Провідна установа: Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут” Міністерства освіти і науки України, м. Харків.

Захист дисертації відбудеться 24.06.2003 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 по захисту дисертацій на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук в Інституті теоретичної фізики НАН України (03143, м. Київ, вул. Метрологічна 14б, ауд. 321).

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту теоретичної фізики НАН України.

Автореферат розісланий 22.05.2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фіз.-мат. наук Кузьмичев В.Є.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Проблеми, пов'язані з глибоким проникненням у фізику непертурбативних явищ у різних сильновзаємодіючих системах, знаходяться в центрі уваги теоретиків протягом останніх тридцяти років. До числа таких явищ відносяться, в першу чергу, конфайнмент кварків, порушення киральної симетрії і фазові переходи в сильновзаємодіючий матерії при скінченних температурах і/або баріонних густинах. Сьогодні загальноприйнято, що сильні взаємодії описуються квантовою хромодинамікою (КХД) - квантовою теорією поля (КТП) взаємодіючих кварків і глюонів. Останні описуються неабелевими калібрувальними полями з локальною групою симетрії SU(3). Основна проблема при використанні КХД полягає в тому, що найбільш важлива частина динаміки неабелевих калібрувальних полів не може бути описана стандартними пертурбативними методами і вимагає розвитку цілком непертурбативних підходів. Те ж саме стосується інших сильновзаємодіючих систем, таких, як двовимірні неабелеві моделі з безперервною глобальною симетрією. Тому опис непертурбативної динаміки неабелевих полів, можна без перебільшення сказати, залишається чи не найактуальнішою задачею сучасної теоретичної фізики. Особливо важливим це стало в останні роки, у зв'язку з гігантським прогресом в експериментальних пошуках кварк-глюонної плазми в зіткненнях ультрарелятивістських ядер, істотно просунутих у ЦЕРНі й інших експериментальних центрах. Практично всі значні теоретичні успіхи, що досягнуті при вивченні квантових калібрувальних полів, пов'язані з дослідженнями гратчатих калібрувальних теорій (ГКТ). Квантування полів на ґратці являє собою істотно непертурбативний алгоритм побудови континуальної КТП, що зберігає калібрувальну інваріантість і дає можливість визначити квантову теорію при всіх значеннях константи зв'язку. У рамках ГКТ можна використовувати математичні методи, відмінні від пертурбативних методів, такі, як розкладання сильного зв'язку і Монте-Карловскі (МК) симуляції. Серед найбільш важливих результатів, отриманих при використанні ГКТ - доказ конфайнменту в області сильного зв'язку, передбачення й опис фазових переходів деконфайнменту і відновлення киральної симетрії при високих температурах. Проте ряд найважливіших і злободенних проблем, таких, як усвідомлення механізму конфайнменту в області слабкої голої константи зв'язку, виявлення фазової структури калібрувальних моделей з динамічними полями матерії, як при нульових, так і при скінченних температурах, опис високотемпературної фази кварк-глюонної плазми в КХД, залишаються невирішеними. З математичної точки зору в значній мірі це пов'язано з тим, що не існує надійних аналітичних методів, що дозволяють досліджувати ГКТ на великих відстанях в області слабкого зв'язку, тобто в області, де здійснюється перехід до континуальної границі. Вирішення вищезгаданих проблем і розвиток відповідних математичних методів тісно пов'язані з дослідженням вакууму калібрувальних моделей. Так, дотепер відсутнє ясне фізичне розуміння того, що є основним станом у системах, що описуються неабелевими полями. В даний час практично не існує сумнівів у тому, що деякі конденсати калібрувальних полів, пов'язані з нетривіальною топологією, можуть бути відповідальні за формування такого основного стану. Деякі конденсати є дуже важливими у високотемпературній області, наприклад, конденсат A0(x) калібрувального поля, середнє значення петлі Полякова і т.д. Недостатність аналітичних методів для вивчення таких явищ конденсації робить це дослідження особливо важливим. Таким чином, актуальність теми дисертації пов'язана з наступними фактами. По-перше, необхідність розвитку непертурбативних аналітичних методів для вивчення сильновзаємодіючих систем. По-друге, непертурбативний опис фізики калібрувальних взаємодій у термінах фазової структури при нульовій і скінченних температурах, вакуумних конденсатів і т.п.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі фізики високих густин енергії Інституту теоретичної фізики ім. Н.Н.Боголюбова Академії наук України. У головній своїй частині ця робота - складова загальних досліджень фізики сильних взаємодій при екстремальних умовах (високі температури і щільності), проведених у відділі в рамках державних програм, таких, як:

1989-1993: Дослідження ядерної матерії в екстремальних умовах. Номер державної реєстрації - 01900010714, шифр - 9.03.

1994-1998: Вивчення сильновзаємодіючої матерії в зіткненнях частинок і ядер. Номер державної реєстрації - 0194U025942, шифр - 1.4.7.5.

1999-2001: Дослідження сильновзаємодіючої матерії в умовах високих густин енергії і баріонного заряду. Номер державної реєстрації - 0100U000215, шифр - 1.4.7.7.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток аналітичних методів дослідження гратчатих неабелевих калібрувальних квантових теорій і вивчення на основі цих методів фізичних властивостей сильновзаємодіючих систем. Об'єктом дослідження є динаміка систем, що не можуть бути описані пертурбативними методами, принаймні в деяких областях констант зв'язку. Найбільш відомі приклади, розглянуті в дисертації, - неабелеві калібрувальні моделі і двовимірні неабелеві спінові моделі. Під непертурбативною динамікою тут мається на увазі наступне: 1) далекорадіусна чи інфрачервона структура моделі, відповідальна за ряд непертурбативних явищ, подібних невилітанню кварків, порушенню киральної симетрії і т.д., 2) фазова структура моделі при скінченних температурах і 3) властивості моделі при великих значеннях констант зв'язку.

Предметом дослідження є теорія поля, непертурбативно проквантована на ґратці. Найбільша увага приділяється неабелевим калібрувальним полям, але також розглядаються деякі спінові моделі, що належать тому ж класу універсальності, що й калібрувальні моделі, і/чи володіють подібною до калібрувальних полів непертурбативною динамікою. Конкретні проблеми, розглянуті в дисертації, наступні:

1. Фазова структура калібрувальних моделей при скінченній температурі. Вона включає фазові переходи деконфайнменту в теорії з динамічними полями матерії, відновлення киральної симетрії та інші. Особливо підкреслюється роль триальності кварків при скінченній температурі, механізми екранування триальності і т.д.

2. Вакуум калібрувальних моделей при високих температурах. Проблема охоплює генерацію різних конденсатів у високотемпературній фазі, нетривіальні топологічні ефекти, опис інфрачервоного сектора теорії.

3. Некомпактні калібрувальні моделі на ґратці, властивості конфайнменту і їхня фазова структура при скінченних температурах.

4. Структура чисто калібрувальних моделей на великих відстанях і роль симетрії центру в явищі конфайнменту. Як більш простий аналог, ця проблема включає опис далекорадіусної структури двох- і тривимірних неабелевих спінових моделей і механізму генерації масової щілини в цих моделях.

5. Низькотемпературна фаза двовимірних SU(N) принципових киральних гратчатих моделей, розкладання слабкого зв'язку і поведінка кореляційних функцій.

Для вирішення перерахованих проблем використовується як стандартна техніка ГКТ, така, як низько- і високотемпературні розкладання, метод середнього поля і т.д., так і деякі нові методи, розвинуті в ході досліджень. Так, при вивченні триальності при скінченних температурах введене поняття ансамблю, канонічного по відношенню до триальності. При дослідженні фазової структури калібрувальних і спінових моделей використовуються різні параметри порядку, деякі з яких запропоновані і вивчені вперше. Так, для моделей, що не допускають існування звичайних локальних параметрів порядку, уведений клас нелокальних параметрів порядку, дія яких заснована на ефекті Ааронова-Бома. Виявляється, що такі параметри порядку складають основу для зовсім нового методу дослідження фазових переходів у тих випадках, коли вони не супроводжуються спонтанним порушенням симетрії, як, наприклад, фазовий перехід у двомірної XY моделі. Розроблено новий метод редукції, заснований на Фур'є перетворенні компактних калібрувальних полів, що використовується в ході обчислення ефективної статичної моделі у високотемпературній фазі SU(N) калібрувальних моделей як з динамічними кварками, так і в чисто глюонній теорії. При дослідженні низькотемпературної фази двовимірних моделей з безперервною глобальною симетрією був розвинутий новий метод обчислення розкладання слабкого зв'язку. Він має дуже серйозні переваги в порівнянні зі стандартними методами, що полягають у тому, що метод не порушує глобальну симетрію моделі і може також використовуватися для дослідження структури моделей на великих відстанях. Методи дуальних перетворень були узагальнені на неабелеві калібрувальні і спінові моделі при нульових і скінченних температурах. Такі методи, як відомо, є по своїй суті непертурбативними і забезпечують більш глибоке розуміння непертурбативної динаміки відповідних систем.

Наукова новизна отриманих результатів. Найбільш важливі і цілком нові результати, отримані в дисертації, наступні:

1. Уперше сформульовано гіпотезу про те, що фазовий перехід деконфайнменту в моделях з фундаментальними полями матерії може бути пов'язаний зі зміною механізму екранування триальності полів матерії. У фазі конфайнменту домінує динамічне екранування триальності, що виникає з вакуумних кваркових петель. У фазі деконфайнменту більш сильним є глюонне екранування. На основі опису високотемпературної КХД у канонічному ансамблі по відношенню до триальності отримані нові уявлення про властивості фази кварк-глюонної плазми, так, наприклад, доведена відсутність метастабільних фаз вище точки фазового переходу деконфайнменту і відновлення киральної симетрії у всіх Z(N) секторах теорії. Вперше аналітично показане існування критичної поведінки в теорії з динамічними кварками, що може бути асоційоване зі зміною механізму екранування триальності в магнітному секторі теорії.

2. У дисертації отримані найбільш загальні умови на генерацію -члена і члена Черна-Саймонса ферміонним детермінантом на ґратці при скінченній температурі. Умови включають широкий спектр гратчатих ферміонних дій, різні хімічні потенціали, деякі вакуумні поля і конденсати. На підставі цього найбільш повно досліджена проблема універсальності гратчатих ферміонних дій. Доведено, що генерація члена Черна-Саймонса вимагає, щоб КХД належала до нетривіального класу універсальності. Такі класи знайдені для ферміонів Вільсона і ферміонів Когута-Сасскінда.

3. Уперше висловлено ідею про те, що вакуум КХД при високих температурах може являти собою діелектричний вакуум. Обчислена і детально вивчена ефективна діелектрична теорія. У рамках такої теорії можливе вирішення інфрачервоної проблеми скінченно-температурних калібрувальних моделей. Використовуючи ефективну модель, строго доведено, що ненульове діелектричне поле веде до конфайнменту магнітних мод у фундаментальному представленні при яких завгодно високих температурах і до екранування глюонних магнітних мод. калібрувальний температура модель фазовий

4. Уперше вивчене явище конденсації А0 поля в канонічному ансамблі по відношенню до триальності та в теорії з SO(3) калібрувальною групою з динамічними ферміонами і доведене існування відповідного конденсату у високотемпературній фазі деконфайнменту. Досліджено властивості інваріантної міри для А0 калібрувального поля при скінченних температурах і обчислений внесок міри в ефективний потенціал. Уперше доведено, що цей внесок скорочується певними конфігураціями просторових потенціалів. Побудований найбільш загальний з відомих ефективний потенціал для А0 поля, що враховує внески хромо-магнітної частини дії і показано, що немає скорочення внеску інваріантної міри, що розуміється як Z(N) симетричний розподіл конфігурацій калібрувального поля. Доведено, що спонтанне порушення Z(N) глобальної симетрії обумовлено винятково потенційною енергією глюонної взаємодії в ефективному потенціалі.

5. Метод абелевої проекції був розширений на моделі з глобальною симетрією. Вивчено тривимірні SU(N) спінові моделі в максимальній абелевій калібровці. Уперше показано, що механізм генерації масової щілини в цих моделях у заданому калібруванні той же, що й в абелевій XY моделі: конденсація абелевих вихорів у високотемпературній фазі веде до утворення ненульової масової щілини.

6. Запропоновано і розроблено у деталях механізм, що забезпечує утворення ненульової масової щілини в двовимірних SU(N) принципових киральних моделях і може працювати при довільно малих константах зв'язку. Механізм заснований на конденсації так званих “товстих” Z(N) вихорів - повільно обертових конфігурацій неабелевих спінів, що несуть значну ентропію і фактично вироджені з тривіальним вакуумом по енергії. Побудована строга верхня границя на двохточкову кореляційну функцію в присутності таких конфігурацій.

7. Вивчено некомпактні гратчаті моделі в різних режимах як при нульових, так і при скінченних температурах. Вперше аналітично показано, що наївні некомпактні моделі не мають властивості конфайнменту, принаймні в сенсі Вільсона. Побудовано процедуру включення Z(N) конфігурацій і інваріантної міри в некомпактні теорії. Уперше з перших принципів отримана ефективна конфайнуюча некомпактна модель з компактної моделі Вільсона. Вона має деякі істотні риси компактних моделей, зокрема в ній присутні Z(N) вихорові конфігурації, що виступають як механізм конфайнменту в некомпактних моделях. Уперше підкреслена важливість калібровки, що робить усі неабелеві матриці калібрувального поля настільки близькими до елементів центру, наскільки можливо.

8. Сформульовано і детально розроблено новий метод побудови асимптотичних низькотемпературних розкладань у двовимірних неабелевих спінових моделях. Він принципово відрізняється від всіх існуючих методів тим, що не порушує глобальну симетрію дії і може застосовуватися для вивчення властивостей моделей на великих відстанях. Уперше показано, що низькотемпературне асимптотичне розкладання в неабелевих моделях є неоднорідним по об'єму, принаймні в експонеційному залишковому члені до розкладання, якщо в моделі не генерується масова щілина. Вперше в області слабкого зв'язку аналітично обчислена кореляційна функція з перших принципів в класичній границі і показано, що ця кореляція спадає ступеневим чином.

9. Уперше дуальні перетворення, відомі раніше для класу абелевих спінових і калібрувальних моделей, були поширені на неабелеві моделі. Дуальні представлення були отримані для генеруючого функціоналу і деяких спостережних в тривимірній SU(2) калібрувальній моделі при скінченній температурі і двовимірних SU(N) принципових киральних моделях.

Практичне значення отриманих результатів. Результати, отримані в дисертації, можуть мати широке практичне застосування для дослідження властивостей сильновзаємодіючих систем. Нелокальні параметри порядку, запропоновані в роботі і засновані на ефекті Ааронова-Бома, можуть використовуватися для виявлення і вивчення фазового переходу деконфайнменту в повній КХД. Ті ж самі параметри порядку можуть застосовуватися для виявлення фазових переходів у моделях, у яких неможливе спонтанне порушення симетрії, як, наприклад, фазовий перехід у двовимірній XY моделі. Різні механізми екранування і діелектричний вакуум, виявлений у калібрувальних моделях при високих температурах, окреслюють нові рамки для обговорення можливих сигналів кварк-глюонної плазми. Вони можуть бути також корисні для вирішення деяких космологічних проблем. Оцінки параметрів фазових переходів можуть служити провідними вказівками для експериментів, виконуваних у БНЛ і ЦЕРНі, а також майбутніх експериментів з детектором ALICE LHC. Результати, що стосуються діелектричного вакууму і генерації члена Черна-Саймонса, мають велике теоретичне значення. Діелектричний вакуум автоматично усуває інфрачервоні розбіжності із скінченно-температурних калібрувальних моделей, що дає можливість вирішити давно існуючу проблему КТП. Генерація члена Черна-Саймонса при високих температурах може допомогти вирішити проблему, до якого класу універсальності належить ферміонний сектор КХД. Ефективні Z(N) моделі, отримані для спінових і калібрувальних теорій, демонструють генерацію масової щілини і натяг струни, відповідно, в області слабкого зв'язку і, таким чином, можуть використовуватися для побудови нетривіальної конфайнуючої теорії в континуальній границі. Новий метод асимптотичного розкладання, розвинутий для двовимірних моделей, може бути розповсюджено на калібрувальні моделі в так званому плакетному представленні. Це дало б можливість зрозуміти властивості розкладання слабкого зв'язку в неабелевих калібрувальних моделях і забезпечило б математичні підстави для будь-якого розкладання. Також метод дуальних перетворень, розвинутий у дисертації, може привести до одержання нових строгих результатів, що відносяться до динаміки калібрувальних полів в області слабкої голої константи зв'язку.

Особистий внесок здобувача. Внесок здобувача в одержання результатів 1-9, перерахованих вище, є критично важливим для розвитку головних ідей, основних підходів і стратегії досліджень. А саме:

1. У циклі робіт, присвячених вивченню квантової хромодинаміки при скінченних температурах у канонічному ансамблі (у співавторстві з Г.М. Зинов'євим і М. Фабером), здобувачу належить принципова ідея про використання і побудову нелокальних параметрів порядку фазового переходу деконфайнменту. Ним також запропонована фізична інтерпретація найбільш важливих результатів, пов'язаних з поведінкою параметрів порядку.

2. При вивченні високотемпературної фази калібрувальних теорій (цикл робіт у співавторстві з Г.М. Зинов'євим, М. Фабером і В.К. Петровим) здобувачем запропонований і розроблений новий метод редукції при скінченних температурах, цілком проведені розрахунки з ферміонами Вільсона і дана інтерпретація отриманим результатам у термінах ефективної діелектричної моделі. Також ним запропоноване оригінальне визначення конденсату А0 калібрувального поля в канонічному ансамблі і проведені розрахунки ефективного потенціалу для цього поля на ґратці (роботи в співавторстві з Г.М. Зинов'євим, В.К. Петровим і Ю. Богачіком).

3. У циклі робіт, присвячених некомпактним калібрувальним теоріям (у співавторстві з Г.М. Зинов'євим, В.К. Петровим і Ю. Богачіком), здобувачу належить центральна ідея про метод побудови некомпактних теорій і внесок конфігурацій центра групи в натяг струни, цілком виконані аналітичні дослідження отриманих ефективних спінових моделей.

4. При дослідженні масової щілини в дво- і тривимірних спінових моделях (у співавторстві з М. Чернодубом, Ф. Губарєвим і П. Скалою) здобувач запропонував використати метод абелевої проекції для вивчення даних моделей, побудував ефективну Z(N) теорію генерації масової щілини й одержав точну верхню границю на двохточкову кореляційну функцію.

5. При вивченні низькотемпературної області двовимірних киральних моделей (у співавторстві з В.А. Кушніром, А. Велицьким і П. Скалою) здобувач сформулював і побудував новий метод низькотемпературних асимптотичних розкладань. Ним отримане нове дуальне формулювання цих моделей, у рамках якого були обчислені різні кореляційні функції.

Апробація результатів дисертації. Усі результати дисертації були представлені здобувачем на більш ніж 25 провідних міжнародних конференціях по гратчатій калібрувальній теорії і близьких темах, на численних семінарах в Інституті теоретичної фізики Академії наук України і багатьох закордонних інститутах, таких, як Інститут ядерної фізики Віденського технологічного університету, факультет фізики Страсбургського університету, Інститут фізики Словацької Академії наук і інших.

Серед найбільш важливих міжнародних конференцій, на яких представлялися результати, викладені в дисертації, можна відзначити наступні:

Міжнародні конференції “Hadrons'91” (Стара Лесна, 1991, Чехословакія) і “Hadrons'92” (Стара Лесна, 1992, Чехословакія);

Міжнародні конференції”Quarks'92” (Звенигород, 1992, Росія), “Quarks'94” (Володимир, 1994, Росія) і “Quarks'02” (Новгород, 2002, Росія);

Міжнародні симпозіуми “Lattice'94” (Білефельд, 1994, Німеччина), “Lattice'96” (Сант-Луіс, 1996, США), “Lattice'97” (Единбург, 1997, Шотландія), “Lattice'98” (Боульдер, 1998, США), “Lattice'99” (Піза, 2000, Італія);

Міжнародні конференції “Проблеми квантової теорії поля” (Дубна, 1990, Росія й Алушта, 1996, Україна);

Міжнародні конференції “Нові тенденції у фізиці високих енергій” (Ялта, 2000 і 2001, Україна);

Міжнародна конференція “Quark confinement-IV” (Відень, 2000, Австрія);

Міжнародна конференція “Supersymmetry and quantum field theory” (Харків, 2000, Україна);

NATO Advanced Research Workshops “Lattice fermions and Structure of the vacuum” (Дубна, 1999, Росія), “Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory” (Київ, 2001, Україна) і “Confinement and Topology” (Стара Лесна, 2002, Словаччина);

Щорічні граткові конференції “Lattice gauge theory” (Відень, 1994-2002, Австрія).

Публікації. Результати дисертації представлені в 40 роботах, опублікованих у провідних фізичних журналах, у збірниках наукових праць міжнародних конференцій і як препринти. А саме: 26 з них видані в журналах, 8 - у працях конференцій і 6 - як препринти. У трьох публікаціях О.Борисенко виступає як один автор.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, п'яти глав, висновків і бібліографії, що включає 293 посилання. Дисертація містить 19 малюнків і 4 таблиці. Загальний обсяг дисертації - 329 сторінок друкованого тексту.

Короткий зміст дисертації

У вступі обґрунтована актуальність теми і важливість розглянутих проблем, викладені мета і задачі дисертації. Наведено основні наукові результати, отримані в дисертації, обговорюється їхня наукова новизна і можливі практичні застосування.

У першому розділі дається короткий вступ в КХД як теорію сильних взаємодій, перелічено основні труднощі, що виникають при її вивченні, і обґрунтовується необхідність непертурбативного квантування калібрувальних теорій. Необхідність непертурбативної регуляризації випливає з двох фактів. По-перше, наявність непертурбативного визначення КТП дозволяє вивчати процеси, що відбуваються при низьких енергіях і є характерними для фази конфайнменту; фазову структуру теорії при нульових і скінченних температурах; вакуум калібрувальних моделей. По-друге, тільки таке непертурбативне визначення дозволяє додати строгий математичний зміст усім пертурбативним і іншим наближеним методам, використовуваним у континуальній КХД. Далі наводиться коротке введення в ГКТ і формулюються основні принципи непертурбативного квантування на ґратці. Пояснюється побудова континуальної границі як класичної, так і квантової і вводяться основні фізичні спостережні, використовувані надалі. Дається короткий огляд проблем, досліджуваних у дисертації, - проблеми конфайнменту кварків, фазових переходів при скінченній температурі та основних досягнень, отриманих у рамках ГКТ при їх вивченні.

У другому розділі вивчаються дискретні Z(N) симетрії і відповідні конфігурації калібрувальних полів, важливі з погляду динаміки і фазової структури калібрувальних моделей при скінченній температурі. Звичайно, такі симетрії з'являються як комутуючий центр більшої калібрувальної групи SU(N). У першому підрозділі розглядається стандартний підхід до дослідження таких симетрій у великому канонічному ансамблі (КА). У стандартному підході фазовий перехід деконфайнменту в чисто калібрувальних теоріях асоціюється зі спонтанним порушенням глобальної Z(N) симетрії дії. Відомо, однак, що динамічні поля матерії явно порушують симетрію центра групи, тому виникають труднощі при опису деконфайнменту в повній теорії. Більш того, такий підхід не є цілком задовільним з тієї причини, що він передбачає існування у теорії станів з нефізичними властивостями, такими, як комплексна вільна енергія. З метою подолання цих труднощів і для опису фазового переходу в повній теорії в другому підрозділі вводиться ансамбль, канонічний по відношенню до триальності. Насамперед обґрунтовується те, що Z(N) глобальна симетрія при скінченній температурі має фізичну інтерпретацію в термінах заряду фізичних станів. У нашому випадку це - заряд триальності фундаментальних кварків. Z(N) глобальні перетворення кваркових полів у КХД при нульовій температурі разом з підстановкою для ферміоних полів визначають триальність кваркових станів при скінченній температурі. У цьому сенсі Z(N) симетрія є фізичною симетрією. У КА виконується проектування на стани з нульовою триальністю. КА гарантує, що 1) будь-які два стани, що переходять один в інший при вищезгаданих перетвореннях, дають рівні внески у генеруючий функціонал і 2) у симетричній фазі дозволені тільки стани з нульовою триальністю. КА будується за допомогою введення наступного проекційного оператора в статистичну суму

P = , (1)

де, наприклад, для SU(3) . Після цього статистична сума приймає вигляд

, (2)

де Sq - ферміонна дія і Sg - чисто калібрувальна дія. Саме сумування по k в останній формулі здійснює проектування на стани з нульовою триальністю, що доведено в підрозділі 2.

У підрозділах 2.3-2.5 вивчається фазова структура гратчатої КХД у КА. Доведено, що Z(N) глобальна симетрія не порушена явно в присутності динамічних кварків, що дає принципову можливість описати фазовий перехід деконфайнменту в термінах спонтанного порушення Z(N) симетрії. Запропоновано якісну картину фазової структури гратчатої КХД із динамічними полями матерії. У наближенні сильного зв'язку вивчені фазові переходи деконфайнменту і відновлення киральної симетрії в тривимірній SU(2) КХД. Побудовано ефективний потенціал для параметрів порядку відповідних фазових переходів - петлі Полякова і кирального конденсату. Показано, що перехід деконфайнменту відбувається одночасно з відновленням киральної симетрії. При цьому киральна симетрія відновлюється у всіх Z(N) фазах. Виявлено критичну поведінку, що відповідає фазовому переходу першого роду. Доведено відсутність метастабільних станів з нефізичними властивостями.

У підрозділі 2.6 вивчається екранування триальності при наявності динамічних полів матерії. Пропонується нелокальний параметр порядку, що дозволяє детектувати нетривіальний заряд центра у фазі дебаївського екранування, і який може бути представлений Z(N) інваріантним оператором у наступному вигляді

, (3)

де Lx - петля Полякова, а F( ) - оператор, що виконує сингулярні калібрувальні перетворення на замкненій поверхні, намотаній навколо петлі Полякова. Дія цього параметра порядку заснована на ефекті Ааронова-Бома: незважаючи на відсутність електричних полів, сингулярний потенціал впливає на частинки на довільно великих відстанях, додаючи їм нетривіальну фазу при обході навколо соленоїда. Роль такого соленоїда виконує петля Полякова. Подібний оператор можна ввести також для просторової петлі Вільсона. Легко довести, що оператор А може приймати тільки дискретні значення на центрі групи. Найбільш істотна властивість оператора А полягає в тому, що він вимірює ефекти екранування динамічних ферміонних полів, а також ефекти чисто глюонного екранування і показує, яке з них є більш сильним. Нетривіальні значення оператора можливі лише в тому випадку, коли глюонне екранування триальності сильніше за динамічне. Вивчені Z(N) фази при високих температурах у теорії з динамічними кварками і показано, що всі вони є виродженими в КА. Була розглянута проблема стабільності інтерфейсів між Z(N) фазами з використанням оператора A і продемонстровано, що інтерфейси стають нестабільними в термодинамічній границі. Таким чином, у границі великого об'єму може існувати лише одна з Z(N) фаз.

Такі ж результати були отримані при вивченні тривимірної моделі Ізінга методом Монте-Карло в підрозділі 2.7. Далі в підрозділі 2.7 побудовано нелокальний параметр порядку, що може детектувати фазовий перехід Березинського-Костерлітца-Таулесса (БКТ) у двовимірних моделях з безперервною симетрією і який є аналогічним оператору A у калібрувальних теоріях, тобто його дія також заснована на аналогу ефекту Ааронова-Бома в спінових системах. Дія оператора перевірена на прикладі XY моделі, де існування БКТ переходу строго доведено. Отримано доказ того, що у будь-який неабелевій SU(N) спіновій моделі запропонований параметр порядку також може приймати нетривіальні дискретні значення лише в безмасовій фазі.

У підрозділі 2.8 запропоновано якісно нову картину фазового переходу деконфайнменту в моделях з полями матерії. Фаза деконфайнменту в цьому підході визначається як фаза, у якій глюонне екранування триальності домінує над динамічним. Строге визначення глюонного і динамічного екранувань також приведено в даному підрозділі. Роль відповідного параметра порядку відіграє оператор А, введений вище. Дано детальний опис фазової структури КХД у термінах процесів екранування. Кількісно вивчена поведінка запропонованого параметра порядку в Z(2) калібрувальній теорії з полями Хігса. Показано існування фазового переходу, пов'язаного зі зміною механізму екранування триальності, і приблизно обчислена критична лінія фазового переходу.

Третій розділ присвячений дослідженню ряду властивостей високотемпературної фази гратчатих калібрувальних теорій, принципових як з погляду більш глибокого розуміння фізики фази деконфайнменту, так і з погляду адекватного математичного опису цієї фази. У підрозділі 3.1 вивчається явище конденсації A0 калібрувального поля, що пов'язано зі спонтанним порушенням SU(N) глобальної симетрії. Уперше це зроблено в КА по відношенню до триальності. На ґратці A0 конденсат визначається як сідлова точка для інваріантних інтегралів по нульовій компоненті калібрувального потенціалу і приймаюча нетривіальні значення в SU(N)/Z(N) підгрупі SU(N). Таке визначення конденсату не відчутно до Z(N) симетрії і тому може використовуватися і в теорії з динамічними ферміонами. Обчислення виконані для SU(2) та SO(3) калібрувальних груп з ферміонами Когута-Саскінда в наближенні сильного зв'язку. У КА кварковий внесок в ефективний потенціал для A0 поля приймає вигляд

, (4)

де і m - маса кварків. Виконані чисельні розрахунки ефективного потенціалу показують існування нетривіального розв'язку для при досить високих температурах. У цій же області петля Полякова відмінна від нуля. У низькотемпературній фазі конфайнменту . Ці результати вказують на те, що явище конденсації дійсно має місце у фазі деконфайнменту, а A0 конденсат можна використовувати як параметр порядку фазового переходу, пов'язаного з порушенням SU(2) симетрії. Далі в цьому підрозділі вивчається роль інваріантної міри для A0 калібрувального поля і її вплив на такі явища, як спонтанне порушення глобальної симетрії центру і A0 конденсацію. Доведено, що інваріантна міра скорочується внеском просторових калібрувальних полів у генеруючий функціонал. В той же час інваріантна міра скорочує частину внеску від кінетичної енергії глюонів, що має тенденцію упорядковувати систему при будь-якій температурі. Саме це скорочення веде до можливості появи A0 конденсату, тому що воно не впливає на інваріантний розподіл конфігурацій петлі Полякова, що залишаються Z(2) симетричними. Побудований найбільш загальний ефективний потенціал для петлі Полякова в SU(2) глюодинамиці з урахуванням внеску хромомагнітної частини і доведено що незважаючи на скорочення інваріантної міри, ефективний потенціал залишається Z(2) симетричним. Спонтанне порушення Z(2) симетрії і явище конденсації описане в єдиних рамках за допомогою використання отриманого потенціалу

У підрозділі 3.2 уперше вивчено діелектричні калібрувальні моделі при скінченних температурах, генеруюча функція яких має наступний вигляд (для SU(2) групи)

, (5)

де дія задається як

(6)

Тут перший доданок являє собою стандартну плакеточну дію ГКТ у зовнішньому діелектричному полі , m - маса діелектричного поля. У наближенні сильного зв'язку доведене існування фазового переходу деконфайнменту, який пов'язаний зі спонтанним порушенням симетрії центра так само, як і в звичайних моделях. Інтерес до діелектричних моделей викликаний тим, що ці моделі виникають природним чином як ефективні моделі при високих температурах у процесі редукції стандартних калібрувальних моделей. Далі в підрозділі розроблений новий метод редукції високотемпературних (D+1) - мірних компактних гратчатих теорій до статичних D - мірних моделей. Два істотних моменти відрізняють запропонований метод від стандартного. По-перше, тому що виконується редукція компактних гратчатих полів, статичний сектор генерує компактне діелектричне поле. По-друге, тому що в цьому випадку Фур'є-перетворення не є простою лінійною підстановкою, якобіан цього перетворення нетривіальний, і, більш того, він генерує масу діелектричного поля. Нестатичні моди виявляються масивними з масою, пропорційною температурі, що дає можливість побудувати надійне пертурбативне розкладання для масивних мод. Обчислено ефективну статичну теорію і враховано внесок динамічних кварків. Ведучий порядок ефективної теорії збігається з діелектричною моделлю з точністю до доданка, що враховує взаємодію між діелектричним полем і петлями Полякова. Вивчено хромо-магнітний сектор теорії при високих температурах з використанням ефективної діелектричної моделі. Головні результати стосуються поведінки просторово-подібних петель Вільсона. Показано, що така петля у фундаментальному представленні калібрувальної групи спадає за законом площі при будь-яких температурах з натягом струни, рівним

(7)

Петля Вільсона в приєднаному представленні спадає за законом периметра як

, (8)

де L і T - розміри прямокутної петлі. Індукована в такий спосіб діелектрична модель вільна від інфрачервоних розбіжностей, тому що маса діелектричного поля відіграє роль інфрачервоного обрізання.

У підрозділі 3.3 досліджено властивості неуніверсальності гратчатих ферміонних моделей при скінченній температурі, пов'язані з топологічними властивостями вакууму калібрувальних полів, такими, як генерація - члена, дії Черна-Саймонса. Останнє визначається в тривимірній теорії як

(9)

При наявності ферміонів генеруючий функціонал може бути записаний як

, (10)

де - логарифм детермінанта оператора Дірака. У деяких випадках ця ефективна дія може включати дію Черна-Саймонса, що пов'язана з наступними властивостями теорії. По-перше, відомо, що при високих температурах теорія стає ефективно тривимірною. По-друге, гратчата регуляризація ферміонної дії може бути обрана таким чином, що вона порушує CP-симетрію класичної дії. Ці два факти ведуть до можливості індукування дії Черна-Саймонса в квантовій теорії. У даному підрозділі виконане як пертурбативне, так і непертурбативне вивчення . Доведено, що дія Черна-Саймонса може бути пертурбативно генерована ферміонним детермінантом, якщо використовувати узагальнені ферміони Вільсона на ґратці. Це відбувається у випадку, коли параметр Вільсона r=1 і мається баріонний хімічний потенціал виду , що відповідає різним хімічним потенціалам для лівосторонніх і правосторонніх ферміонов. Ці обчислення були узагальнені на випадок, коли параметр Вільсона приймає вигляд з довільним баріонним хімічним потенціалом, включаючи випадок . Такий вибір r порушує CP симетрію, однак класична границя збігається зі стандартною континуальною теорією. Неуніверсальний внесок з'являється знову у вигляді члена Черна-Саймонса з ефективним коефіцієнтом k у формулі (9), рівним

, , (11)

Де

. (12)

Для ферміонів Когута-Саскінда виконане непертурбативне розкладання ферміонного детермінанта по петлях Вільсона. У цьому випадку -член генерується вибором граничних умов на торі або сінгулярними потенціалами, пов'язаними з центром калібрувальної групи. При високих температурах, коли виникає A0 конденсат, -член зводиться до дії Черна-Саймонса. У SU(3) калібрувальній теорії статична тривимірна модель описується діелектричним вакуумом. У цьому випадку дія Черна-Саймонса генерується, коли середнє значення уявної частини петлі Полякова відмінне від нуля або при наявності баріонного хімічного потенціалу. Це має місце, коли і відмінні від нуля у фазі деконфайнменту або коли середнє значення петлі Полякова концентрується навколо . Для кожного з останніх двох випадків для існування цих внесків необхідні особливі - символи для ферміонів Когута-Саскінда, отримані й описані в цьому підрозділі.

У підрозділі 3.4 побудоване дуальне представлення SU(2) ГКТ у трьох вимірах при скінченних температурах. Зокрема, отримані дуальні представлення для петлі Вільсона, для оператора 'т Хуфта і для петлі Полякова. Також запропоновано нове плакетне формулювання, відмінне від відомих у літературі. З використанням дуального формулювання вивчено скінченно-температурну модель в області сильного зв'язку, тобто у непертурбативному режимі. У цьому наближенні обчислені генеруючий функціонал та корелятори довільного числа петель Полякова. Показано, що при високих температурах цей корелятор прямує до постійного значення, якщо відстань між статичними кварками прямує до нескінченності. Ця властивість означає, що статичні кварки не конфайнуються в цьому режимі.

Четвертий розділ присвячений дослідженню механізмів генерації масової щілини в спінових моделях і натягу струни в калібрувальних теоріях. При цьому досліджуються як теорії, в яких відбувається фазовий перехід до безмасової фази при низьких температурах, так і асимптотично вільні теорії. Останні, як очікується, знаходяться в масивній фазі при всіх значеннях константи зв'язку. Саме це робить проблему дуже складною для вивчення.

У першому підрозділі вивчається масова щілина в тривимірних неабелевих SU(N) спінових моделях, чия статистична сума задається виразом

. (13)

Масова щілина m визначається з експоненційного спадання кореляційної функції

, . (14)

Метод дослідження заснований на аналогії з абелевою U(1) ГКТ, де, як добре відомо, деякі топологічно нетривіальні конфігурації, які називають монополями, забезпечують спадання петлі Вільсона за законом площі, ведучи, таким чином, до конфайнменту статичних зарядів, якщо не занадто велика. У неабелевих моделях можна розглянути часткову фіксацію калібровки SU(N) калібрувальних ступенів свободи до абелевої підгрупи, такої, що максимальна група тора залишається нефіксованою. У такій калібровці абелеві монополі з'являються через компактність залишкової абелевої калібрувальної групи. У випадку спінових моделей аналогом абелевих монополів виступають вихори спінової моделі. Тому за аналогією з калібрувальними теоріями можна спробувати побудувати вихорові конфігурації в SU(N) моделях, аналогічні вихорам абелевої XY моделі. Для цього в статистичну суму (13) вводиться одиниця Фаддєєва-Попова з наступним функціоналом, що фіксує глобальну калібровку ( для SU(2) групи)

. (15)

Цей функціонал має глобальний максимум, якщо всі поля U(x) належать до абелевої підгрупи SU(2). Методом МК було проведено чисельні розрахунки масової щілини в цій калібровці, причому були обчислені повна масова щілина, абелева масова щілина і внесок вихорів в останню. Ці розрахунки показують, що, по-перше, у межах чисельних помилок повна масова щілина збігається з абелевою щілиною і, по-друге, внесок вихорів в абелеву щілину складає 95%. Також вивчені властивості перколяції вихорів і показано, що в масовій фазі вихори перколюють, а в безмасовій фазі утворюють розріджений газ. Продемонстровано, як, використовуючи абелеву проекцію, можна побудувати вихорові конфігурації в SU(N) моделях з N>2.

У другому підрозділі вивчається та ж проблема генерації масової щілини в двовимірних неабелевих моделях, що є асимптотично вільними в пертурбативній теорії. Головна ідея дослідження полягає в тому, що в основі механізму генерації лежить явище конденсації вихорів довільної товщини. Істотно, що цей механізм заснований на аналогії з Z(N) ГКТ, у якій петля Вільсона задовольняє закону площі в області сильного зв'язку через конденсацію вихорів. Тому що Z(N) формує центр SU(N) групи було припущено, що визначена модифікація Z(N) вихорів, так звані “товсті” вихори, може також бути присутня у більш складній SU(N) теорії і відігравати істотну роль у генерації ненульового натягу струни. У цьому підрозділі побудований механізм генерації масової щілини, заснований на конденсації Z(N) вихорів довільної товщини. Доведена строга верхня границя для кореляційної функції

, (16)

де qi вимірює зміну вільної енергії системи при внесенні в неї Z(N) вихоря визначеної товщини, траєкторія якого замкнута навколо точки R. Ця границя показує, що існування конденсату таких вихорів є достатньою умовою для генерації масової щілини при довільних константах зв'язку. Цей механізм перевірений на прикладі точно розв'язуваних одномірних моделей, де вдалося обчислити вільну енергію вихорів довільної товщини. Важливим елементом даного механізму є той факт, що у випадку кореляційної функції на великих відстанях основні флуктуації, що забезпечують експоненційне спадання, відбуваються в конфігураціях елементів центру. Побудована ефективна Z(2) модель, що описує поведінку теорії на великих відстанях. У рамках цієї теорії обчислено масову щілину й ефективну константу зв'язку. Виконано МК обчислення повної масової щілини і щілини, визначеної на Z(2) конфігураціях, як у стандартній SU(2) моделі, так і в SU(2) моделі позитивних ребер. В обох випадках повна масова щілина збігається з Z(2) щілиною в межах чисельних помилок.

У наступному підрозділі аналізується некомпактна SU(2) гратчата модель Янга-Мілса. Такі моделі отримуються із континуальних теорій Янга-Мілса шляхом заміни похідних на скінченні різниці й інтегралів на суми. Генеруючий функціонал моделі визначається як

, (17)

де - крок ґратки. Такі моделі є асимптотично вільними в пертурбативній теорії, однак передбачається, що вони не мають властивості конфайнменту. Було вивчено некомпактну модель при скінченних температурах в області сильного зв'язку з компактним A0 полем. Обчислено генеруючий функціонал такої моделі і показано, що модель дійсно не є конфайнуючою навіть у границі сильного зв'язку. З метою побудови конфайнуючої теорії була запропонована модифікована модель, що включає внесок інваріантної міри компактних теорій у вигляді локального потенціалу, що має необхідні симетрійні властивості. Властивості симетрії інваріантної міри підказують, що дія конфайнуючої SU(2) некомпактної моделі включає неполіноміальний періодичний доданок, що залежить від А0 калібрувального поля:

. (18)

Істотним припущенням є те, що крок ґратки перенормуються і залишається кінцевим у континуумі. Якщо це так, то ренормований лагранжіан стає лагранжіаном типу синус-гордона. Якщо припустити далі, що динаміка просторових калібрувальних полів не істотна для конфайнменту, одержуємо наступну ефективну некомпактну модель

, (19)

де - довільні коефіцієнти моделі. При різних значеннях константи зв'язку і температури вивчена кореляція петель Полякова в ефективній моделі, з якої можна отримати потенціал між статичними кварками. При всіх значеннях ефективної константи в границі отриманий результат для потенціалу має кулонівський вигляд. Таким чином, включення інваріантної міри в дію некомпактної калібрувальної теорії не є достатньою умовою для конфайнменту.

У підрозділі 4 побудовано ефективну Z(N) модель конфайнменту в калібровці, в якій всі просторові матриці калібрувального поля стають близькими до елементів центра групи. Ця модель є аналогом ефективної моделі, побудованої в підрозділі 2 для двовимірних спінових моделей. В основі моделі лежить припущення про те, що основними конфігураціями, що забезпечують конфайнмент, є Z(N) вихори довільної товщини, траєкторії яких утворюють замкнені двовимірні поверхні. У рамках цього припущення і у даній калібровці основні конфігурації, що дають внесок у генеруючий функціонал, - конфігурації центра групи. Калібровка фіксується тільки для просторових матриць калібрувального поля і зберігається повне компактне інтегрування для А0 поля. У континуальній границі інваріантна міра може бути включена у вигляді потенціалу синус-гордона, як описано в попередньому підрозділі. Таким чином, необхідно виконати точне сумування по всіх елементах центра групи. У припущенні, що плавні конфігурації просторових калібрувальних полів не істотні для конфайнменту, отримана наступна ефективна статистична сума тривимірної SU(2) ГКТ (з точністю до константи):

), (20)

де сума по означає суму по всіх замкнених поверхнях тривимірної ґратки, позначає часоподібні плакетки і - число вузлів гратки у часовому напрямку. Статистична сума

(21)

називається статистичною сумою двовимірної XYL моделі, тобто XY моделі з локальною симетрією. Тут означає інтегрування по SU(2)/Z(2) підгрупі. Далі детально вивчена XYL модель при різних значеннях константи зв'язку. Побудовано її дуальне формулювання й обчислені кореляційні функції в різних представленнях, що дало можливість описати фазову структуру цієї моделі. Кореляційні функції XYL моделі можуть бути пов'язані з петлями Вільсона повної теорії у відповідних представленнях. Обчислено некомпактне формулювання XYL моделі, що має ті ж якісні особливості, що й компактна модель (21). Показано, що модель (20) має конфайнуючу некомпактну границю, для чого обчислені петлі Вільсона в різних представленнях у наближенні сильного зв'язку. Фундаментальна петля Вільсона спадає за законом площі з натягом струни експоненційно маленьким по константі зв'язку, що узгоджується з очікуваним асимптотичним скейлінгом. Також показано, що приєднана петля Вільсона спадає за законом периметра, що означає екранування статичних кварків у цьому представленні. Приведено якісні і кількісні аргументи на користь того, що виявлена поведінка петель Вільсона зберігається також у границі слабкого зв'язку.

У п'ятому розділі вивчаються деякі проблеми, пов'язані з побудовою континуальної границі двовимірних неабелевих гратчатих моделей з безперервною глобальною симетрією, що називаються SU(N) принциповими киральними моделями. Загальноприйнято, що моделі знаходяться в масивній фазі при всіх значеннях константи зв'язку, фаза слабкого зв'язку описується стандартною теорією збурень (ТЗ) і ренормована континуальна теорія є асимптотично вільною. Незважаючи на те, що цій картині більш ніж 20 років, вона залишається не доведеною строго через наступні математичні проблеми. По-перше, асимптотична свобода втановлена винятково в рамках стандартної ТЗ і не існує ніякого непертурбативного доказу. Крім того, математичний статус ряду ТЗ залишається нез'ясованим. У скінченному ящику довжини L ТЗ проводить наступне асимптотичне розкладання для двухточкової функції

. (22)

Тут L відіграє роль інфрачервоного регулятора. Коли L фіксована, ряд у правій частині останнього рівняння є асимптотичним у всіх порядках по . Невідомо, чи обмежений залишок до порядку 1/ як рівномірно по L, як потребує асимптотичне розкладання. По-друге, не існує добре контрольованого і регулярного методу обчислення кореляційних функцій на великих відстанях в області слабкого зв'язку. Зокрема, залишається постулатом той факт, що кореляційна функція в неабелевих моделях спадає експоненційно з відстанню, коли . Такі ж проблеми існують у неабелевих калібрувальних теоріях. В даний час, однак, не існує математичного апарату, що дозволив би вирішити ці проблеми у випадку ГКТ. У цій главі розвивається новий підхід до дослідження низькотемпературних властивостей неабелевих двовимірних моделей.

У першому підрозділі розглянуті моделі переформулюються в термінах нових лінкових змінних. Статистична сума в термінах цих змінних приймає вигляд

. (23)

Тут - добуток по всім плакеткам 2D ґратки, сума по r - сума по всіх представленнях SU(N), - розмірність r-го представлення і - характер представлення r. Вираз під добутком по всіх плакетках являє собою SU(N) дельта-функцію, що вводить зв'язки на лінкові змінні, які називають тотожностями Б'янки. Це формулювання використовується для дослідження деяких властивостей 2D моделей в області слабкого зв'язку. Показано, що цей підхід більш математично обґрунтований для побудови асимптотичних розкладань інваріантних функцій у випадках, коли теорема Мерміна-Вагнера забороняє спонтанне порушення симетрії в термодинамічній границі. Остання властивість означає, що флуктуації початкових ступенів свободи не обмежені в цій границі при яких завгодно великих . З іншого боку, можна строго довести, що флуктуації лінкових змінних сильно обмежені при великих навіть у границі нескінченного об'єму. Ця властивість є основою для побудови надійного низькотемпературного розкладання. Більше того, ця властивість не залежить від обчислюваної спостережної, що дає можливість вивчати кореляційні функції на великих відстанях. Таке низькотемпературне розкладання побудоване в першому підрозділі для всіх SU(N) моделей. З його допомогою обчислені перші коефіцієнти в розкладанні вільної енергії і двохточковій кореляційній функції. Показано, що як у XY моделі, так і в неабелевих SU(N) моделях, результати для цих коефіцієнтів узгоджуються зі стандартною ТЗ у термодинамічній границі. Доведено незалежність кореляційної функції від обраного шляху і продемонстрована інфрачервона кінцевість розкладання в нижчих порядках. Також пояснена причина нерівномірності ни-зькотемпературного розкладання в одновимірних неабелевих моделях: внески операторів голономії залишаються скінченними в термодинамічній границі. Доведено, що в двовимірних моделях такі внески скорочуються в термодинамічній границі.