Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.04.02 - Теоретична фізика

01.04.14 - Теплофізика та молекулярна фізика

УДК 536.75

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ЧАС ЖИТТЯ ТА СТОХАСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТАТИСТИЧНИХ СИСТЕМ

РЯЗАНОВ ВАСИЛЬ ВАСИЛЬОВИЧ

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті ядерних досліджень НАН України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Токарчук Михайло Васильович, Інститут фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів, завідувач відділу теорії нерівноважних процесів; доктор фізико-математичних наук, професор

Чалий Олександр Васильович, Національний медичний університет ім. О.О. Богомольця, м. Київ, завідувач кафедри медичної та біологічної фізики; доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Габович Олександр Маркович, Інститут фізики НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник відділу фізики кристалів.

Провідна установа:

Інститут теоретичної фізики імені М.М. Боголюбова НАН України, м. Київ, відділ математичного моделювання.

Захист відбудеться “28“ січня 2003 р. о 1430 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.08 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корп.1, фізичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “12“ грудня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26. 001.08, кандидат фізико-математичних наук Свечнікова О.С.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено загальну характеристику роботи, інформацію про час життя як фізичну величину, обгрунтовано актуальність теми, показано зв'язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами й темами, сформульовані мета та задачі дослідження, визначено об'єкти, предмети та методи досліджень, розкриті наукова новизна та практичне значення роботи й отриманих результатів. Викладено основні положення, які виносяться на захист, приведені дані про об'єм і структуру дисертації, про публікації та апробацію її результатів, про особистий внесок здобувача.

Перший розділ дисертації присвячено побудові та вивченню стохастичної нерівноважної термодинаміки зі скінченим часом життя, яка актуальна для мезоскопічних систем скінчених розмірів. Викладаються два напрямки до цієї проблеми. Перший базується на введенні термодинамічного параметра часу життя. Цей напрямок порівнюється з уведенням нескінченої множини потоків, як термодинамічних параметрів, що було зроблено вченими південноамериканської школи. Випадковість часу життя дозволяє також зіставляти отриманий за допомогою принципу максимуму ентропії статистичний розподіл із нерівноважним статистичним оператором Д.М. Зубарєва. Узагальнена термодинаміка з часом життя будується для розподілів експоненціального вигляду часів життя Г: P(Г<y)=0-1exp{-y/0}, де 0 - середній час життя системи без збурень. Побудова гібсовського мікроканонічного розподілу відповідає умові рівноймовірності усіх можливих мікроскопічних станів. Вводиться новий термодинамічний параметр часу життя та рівноймовірність використовується вже для нового розширеного фазового простору. Тоді розподіл у ньому (z; Е, ) має вигляд

(z; Е, ) = ехp{-Е-}/Z(, ), (1)

де

Z(, ) = exp{-E-}dz = dEd (E, ) exp{-E-}; (2)

(Е, )=d2(Е, )/dЕd, (Е, ) - число станів у фазовому просторі з параметрами, менше ніж Е і , z=(q, p)=(q1,...,qn; p1,...,pn) - сукупність координат q та імпульсів p. Для обраного розподілу для часів життя

(E, ) = (E)0 -1 exp{- /0}; Z(, ) = Z() /(1 + 0 ). (3)

Припущення про можливість вимірювання часу життя на макроскопічному рівні дозволяє ввести нерівноважну ентропію S , визначити множники Лагранжа , ,

S /k=-<ln(z; E,)>=<E>+ < >+lnZ(,); < >=- lnZ/ , <Е>=- lnZ/ , (4)

і отримати повний термодинамічний опис нерівноважної системи. Отримані наближення для x=0. Опис нерівноважних станів ілюструється прикладами теплопровідності і хімічних реакцій. У випадку теплопровідності нерівноважна температура , виробництво ентропії S, і рівняння для потоку тепла мають вигляд

-1 = S / E q,R = kB[ + x 2/E(1+ x)2] = 1/T + q 2q / u[1 + q(qV/kB)1/2] 2 ; (5)

S = -1 - qq (dq /dt)/(1+ x)2 + (dR/dt) [3uT -1 + q 2q (1+ x)-2 ]/R ; (6)

(d/dt)q (1+ x)-2 += T 2 -1 + (dR/dt)[3u T /+ q (1+ x)-2]/R , (7)

де q =q / T 2, kB - постійна Больцмана, T - абсолютна температура, q - час кореляції потоків тепла, = M/V - густина маси, u - питома внутрішня енергія, повна енергія Е = V udV, - коефіцієнт теплопровідності, R - розмір системи, V - об'єм системи. Ці вирази співпадають із відповідними значеннями -1, S розширеної нерівноважної термодинаміки, і з рівнянням Максвела-Каттанео для при dR/dt=0 і малих (коли -1 k , (1+х)-2 1).

Відзначаються зв'язок методу з розширеною нерівноважною термодинамікою, застосовність отриманих результатів до довільних нерівноважних станів, та можливості отримання фізично важливих характеристик часу життя мезоскопічних систем із термодинамічного опису. Розглядаються термодинамічна стійкість систем із скінченим часом життя, коли x (1+kBT 2c/E 2) -1/2 (де x=0 , c - теплоємність), та можливості опису систем за допомогою стохастичних моделей марковського вигляду.

Інший напрямок базується на новій інтерпретації нерівноважного статистичного оператора (НСО) Д.М.Зубарєва, який трактується, як результат усереднення квазірівноважного статистичного оператора q по розподілу часу життя нерівноважної системи. Фізичний зміст усереднення по розподілу часу життя системи складається в явному урахуванні порушення часової симетрії та втраті (скороченні доступної) інформації, яка пов'язана з цим порушенням. НСО в загальному випадку дорівнює

ln (t) = 0 pq(y)lnq(t-y, -y)dy = lnq(t, 0) - 0 ( pq(y)dy)(dlnq(t-y, -y)/dy)dy, (8)

де pq(y) - густина функції розподілу для t-t0 - часу минулого життя системи.

Указується на зв'язки нерівноважної термодинаміки з теорією інформації та теорією оптимальних статистичних рішень. Отримано вираз для середнього часу життя нерівноважної системи вигляду

< >= -1=0 exp{- y} q (t, -0)dz[lnq (t-y, -y)-lnq (t, 0)](dlnq (t-y, -y)/dy) y=0 dy, (9)

[0 exp{- y} q (t, -0)d z (dlnq (t-y, -y)/dy)(dlnq(t-y, -y) /dy) y=0 dy] -1 , (10)

де -lnq(t-u, -u) = S(t-u, -u) - оператор ентропії, lnq(t-u,-u)/ u u=0 = - lnq(t, 0)/ t - оператор виробництва ентропії. Це співвідношення являє собою рівняння для середнього часу життя, і дозволяє виразити цю величину через виробництво ентропії у системі та потоки ентропії, тобто через вплив середовища на відкриту термодинамічну систему. Отримані співвідношення можна розглядати як самоузгоджене визначення нерівноважної системи, що включає виробництво ентропії, і її часу життя. Нова інтерпретація нерівноважного статистичного оператора дає можливість будувати сімейство НСО, що відрізняються завданням густини розподілу для часу життя системи. При цьому розрізняються джерела в рівнянні Ліувілля і самі вирази для НСО. Отримані за допомогою цих НСО співвідношення для узагальнених кінетичних рівнянь, узагальнених рівнянь переносу, кінетичних коефіцієнтів і т.п., будуть відрізнятися від цих же виразів, що отримані за допомогою НСО у формі Зубарєва. Ця відмінність не перевищує зворотний час життя системи й у термодинамічній границі прагне до нуля. Однак отримані добавки можуть виявитися важливими для систем із малими часами життя і при дослідженні ранньої стадії еволюції системи. Експоненціальний розподіл часу життя в НСО Зубарєва враховує тільки вік системи. Інші розподіли для часу життя системи, які використані у сімействі НСО, можуть враховувати інші особливості минулого системи. Наприклад, гамма-розподіл описує системи з декількома етапами еволюції, що характерно для нерівноважних систем (кінетична стадія, гідродинамічна і т.п.). Загальний розподіл Ерланга може описувати системи, в яких співіснують декілька фаз. Отримані також вирази для нерівноважного статистичного оператора з урахуванням тривалості теперішнього моменту часу, тривалість якого, відповідно до результатів І. Пригожина, дорівнює часу Ляпунова.

Для методу, що розвивається, формально є суттєвим зв'язок величини часу життя, як підпорядкованого процесу, з основним випадковим процесом. Математичний бік уведення часу життя складається в отриманні додаткової інформації про стохастичний процес, крім знання його стаціонарного розподілу, про стаціонарні властивості підпорядкованого процесу, що виділений з нього. Але концепція часу життя має також і глибокий фізичний зміст, тому що об'єднує підхід Ньютона до абсолютного часу та ідеї про матерію, що породжує час. Параметр часу життя з'єднує в собі риси, які властиві звичайним динамічним змінним (енергія, число частинок), і координатним змінним типу часу. Уведення часу життя в якості термодинамічного параметра пояснюється тим, що реальні системи мають скінчений час життя, що суттєво впливає на їхні властивості й властивості їхнього оточення. Час життя системи - це фундаментальна величина, що має двоїсту природу, пов'язану як із течією зовнішнього часу, так і з властивостями системи.

У другому розділі на прикладі стохастичної моделі зберігання розглядається стохастичне моделювання статистичних систем. Мезоскопічний опис неминуче сполучений зі стохастичним моделюванням поведінки складних статистичних систем. Багато проблем статистичної термодинаміки зводяться до задач теорії випадкових процесів. Термодинамічні стани розглядаються як результат процесу, його стаціонарний (або деякий миттєвий, віртуальний) стан. Визначається зв'язок часу життя з термодинамічними характеристиками системи і з впливами на неї. Фізичний зміст стохастичної теорії зберігання, який використовувався, наприклад, у загальній теорії систем, складається в тому, що в систему надходять елементи й ідуть із неї. Стохастичне рівняння для випадкових величин Z має вигляд

dZ(t)/dt = -r[Z(t)] + dA(t)/dt, (11)

де A(t) - випадкова функція входу, r[Z(t)] - швидкість виходу.

Феноменологічні рівняння для середніх величин записуються за допомогою усереднення по розподілах, що містить віртуальні (або реальні) термодинамічні сили, які відповідають варіаційним принципам. Вводиться сімейство стохастичних кінетичних потенціалів (, y) = V( /, y) (V - кінетичний потенціал), що залежать від малого параметра -1, який характеризує рівень шумів у системі та відношення мікро- й макроскопічних масштабів. Використання конкретної стохастичної моделі зберігання дає можливість отримати явні вирази для термодинамічних характеристик рівноважних, стаціонарних та нестаціонарних станів.

На противагу, наприклад, дифузійній моделі, модель зберігання містить такі фізичні передумови, як обмеження позитивним простором станів, величини стрибків, що не треба вважати малими, і у деяких випадках, можливо, є ближчою до реальних фізичних систем, ніж, наприклад, моделі загибелі й народження. Процесами зберігання можна описувати, наприклад, реальні потоки у фізичних системах. Процеси зберігання в якомусь смислі альтернативні дифузійним процесам, хоча і ті і другі можуть розглядатися як деякі концепти, універсальні моделі. Використання конкретної моделі (зберігання) дозволяє в явному вигляді проаналізувати поведінку системи. Крім цього, стохастичні процеси зберігання дають можливість природним фізичним і математичним способом ввести поняття часу життя системи. Розглядаються також питання різноманітних впливів на систему в тих областях діючих сил, для яких можливі стаціонарні стани.

Записано вирази для кінетичних потенціалів, що представляють собою твірні функції для кінетичних коефіцієнтів, і їхніх зображень. Фазові переходи розглядаються в загальному випадку. Показано, що коли функція розподілу числа частинок, які надходять у систему, притягається до стійкого розподілу з деяким показником , через цей показник виражаються скейлінгові критичні індекси. Наприклад, значення критичного показника у скейлінговому співвідношенні < N > (1-)- (де N - випадкове число частинок у системі, - середнє надходження частинок у систему) при 1 дорівнює = (3 - ) /( - 1). Знайдено зв'язки фазових переходів, які виникають у стохастичної моделі зберігання, із переходами, що індуковані зовнішнім шумом, коли під впливом випадкових зовнішніх впливів якісно змінюється макроповедінка системи. Вибір простих функцій виходу дозволяє отримати відомі та отримані із застосуванням дифузійної моделі результати.

У роботах Р.Л.Стратоновича викладено узагальнення підходу, який складається в нехтуванні (за умови їхньої малості) кінетичними коефіцієнтами вищих порядків, що фізично означає припущення малості стрибків випадкового процесу (гаусовська схема). У цьому випадку зображення (перетворення Лапласа) кінетичного потенціалу дорівнює

Rg (y, x) = y 1 (x) [1 - y / x] , (12)

де 1 - зображення першого кінетичного коефіцієнта. У роботі пропонується інший підхід, у визначеному смислі додатковий до гаусовської схеми, коли

RS (y, x) = y 1 (x)[1 - 1 (y) / 1 (x)] - m=1 m (y) (<Am(x)> - <Am(y)>)/m! , (13)

де <Am(x)> = B mst(B)exp{xB}dB; -m(y) n=2 yn n,m /n!, n,m - коефіцієнти у розкладі Kn(B)=kn,0+ kn,1 B+ kn,2 B2/2+, Kn - кінетичний коефіцієнт n-го порядку, B - випадкова змінна, st(B) - стаціонарний розподіл величини B. Розглянутий підхід покликаний розширити рамки придатності класу подібних моделей для опису складних динамічних систем.

При моделюванні твірної функції числа елементів у системі випадковим процесом загибелі й народження розглянута задача впливу іонізуючого випромінювання на тривалість людського життя. Отримано криву, що відповідає відомій залежності доза-ефект. Розглянута класифікація станів фізичних систем і їхньої еволюції як переходів між цими станами, досліджується зв'язок умов стаціонарності із скінченністю часу життя. Математичний апарат стохастичної теорії зберігання дозволяє встановити співвідношення між визначеними класами станів. Отримано зв'язок статистичної суми Q із середнім часом життя <(x)> у вигляді

Q = 1 + 0 <(x)> (dx) , (14)

де (dx) = b(x)dx - імовірнісна міра, яка описує надходження у систему, - інтенсивність надходжень, b(x) описує стрибки процесу надходжень.

Третій розділ починається із застосування моделей теорії масового обслуговування, що стохастично еквівалентна теорії зберігання запасів, до задач молекулярної фізики. Знаходяться вирази для твірних функціоналів числа частинок гібсовської системи, із яких визначаються рівняння стану, кореляційні функції, термодинамічні потенціали.

Установлюється відповідність між основними поняттями теорії масового обслуговування і статистичної фізики. Для системи, що знаходиться в стані динамічної рівноваги, коли виконується баланс між вхідними та вихідними із системи частинками (випадкові потоки), припускаємо справедливість рівняння Полячека-Хінчина теорії масового обслуговування, згідно якому

f(s) = V(s)(1 - )(s -1) /[s -V(s)] = B*( - s)(1 - )(1 - s) /[B*( - s) - s] , (15)

де f(s) - твірна функція для числа частинок у системі, - інтенсивність потоку, що входить до системи, =1-exp{-P/kBT}, P - тиск; < 1 при P/kBT > 0, B*(s)= exp{-sx}b(x)dx - перетворення Лапласу густини розподілу часу обслуговування b(x), V(s)=B*(-s). Показано, як моделюючи твірну функцію V(s) випадкової величини числа вимог, що надходять за час обслуговування однієї вимоги (або за час виходу з елемента об'єму однієї частинки), можна отримати значення термодинамічного потенціалу, рівняння стану, кореляційні функції, тобто повний опис статистико-механічної системи. Приведено ряд прикладів завдання цієї функції, що відповідає фізичним особливостям досліджуваної системи. Побудова такого роду моделей дозволяє конструктивним чином задавати особливості поведінки системи.

На основі функціональних співвідношень між твірними функціоналами отримане рівняння стану для системи, вхід у яку описується експоненціальним розподілом, а розподіл обслуговування довільний. Отримано зв'язок між , , z, 2b2 (z - активність; bk , k=2, 3, - групові майєровські інтеграли) у вигляді /(1-)=exp{P(z)/kBT} - 1 = [1+z(1-2b2)/2], рівняння третього ступеня для термодинамічного потенціалу, та загальний вираз для відгуку на довільне збурення s; f(s, 1) = < s1 > = Q(sz, 1)/Q(z,1) = exp{[P1(sz) - P1(z)]/kBT} ;

s1 lnF(s)/ s1 = (1)1 (sz) = 1 [f(s, 1) - (1-1)] / 1 [s1 - (s1 - 1)1 (1-1 ) /1] ; (16)

(exp{P(sz)/kBT} - 1) / (sz) = s [(exp{P(z)/kBT} - 1) / (z)] - (s - 1), (17)

що дає зв'язок між тиском та густиною P(sz), (sz) при довільному зовнішньому полі s(r)=exp{U(r)/kBT} з ціми ж параметрами P(z) и (z) без зовнішнього поля.

Якщо відомий термодинамічний потенціал, можна одержати повну термодинаміку системи. Особливе місце в гібсовській статистичній фізиці займають узагальнені пуасонівські розподіли. Тому отримана та досліджується виробляюча рівність для твірного функціонала F(s) узагальненого пуасонівського розподілу, яка має вигляд (yj=exp{- jr /kBT}; ij = ( ri - rj ) - потенціал парної взаємодії між частинками у точках ri та rj; - довільна змінна)

G1(s+)F(s) - G1()F(sy1) + F(sy1)[ lnF(s+) - lnF(sy1+)] = s3 z3 F(sy1 y3 )[G13(), (18)

(y13 - 1) (G1() + G3())]dr3 ; G1(s) = F(sy1) /F(s); G12(s) = G1(s) / s2. (19)

Можливості опису фізичних систем поблизу фазових переходів функціями розподілу з двома максимумами застосовуються до стохастичного моделювання явищ в області фазового переходу рідина-пара. Отримано вирази для термодинамічного потенціалу та густини перенасиченої пари. Використання загальних виразів для флуктуацій узагальненого пуасонівського процесу в розгляді флуктуацій числа частинок дозволяє досліджувати вираз для можливості флуктуації й одержувати рівняння стану перенасиченої пари. Задача визначення тиску перенасиченої пари та залежності цієї величини від радіуса зародкової краплі тісно пов'язані з проблемою рівняння стану пари з великою густиною. Розглядаються рівняння стану перенасиченої пари, засновані не на різноманітних засобах продовження ізотерм в область перенасиченої пари, а на аналізі поведінки тих випадкових процесів, що можна зіставити процесу зміни числа частинок у перенасиченої парі. Поведінка флуктуацій, їхній вплив на властивості системи, стають істотними саме в метастабільної області, де і проводиться розгляд. За допомогою запропонованих алгоритмів отримано декілька рівнянь стану перенасиченої пари, наприклад, рівняння вигляду

(Sж kBT)-1(2 /r+Pпп-PS )=ln{1-[ 2(b2/z-b3 )+b3 (Pпп - PS )/kBT (-/+) ]/2 z(b22-b3 )}, (20)

2 = [ 2(b2 /z - b3) + b3 (Pпп - PS )/kBT] 2 + 4 2 z (b2 2 - b3)(b2 /z - b3)(Pпп - PS )/ kBT , (21)

що зв'язує Sж - густину рідини на лінії насичення з Pпп - тиском перенасиченої пари, PS - тиском на лінії насичення (або інший вираз (Sж kBT)-1(2 /r+Pпп - PS)=ln{[exp{2B2Pпп / kBT}-1]/[exp{2B2PS /kBT} - 1]}; B2 - другий віріальний коефіцієнт, - поверхневий натяг, r - радіус зародків рідини). термодинаміка статистичний ядерний реактор

Показано, що надзвичайно широкі можливості для стохастичного дослідження рівнянь стану рідини надає завдання імовірнісної міри Леві узагальненого пуасонівського розподілу, що описує число частинок у системі. Визначена міра Леві, що призводить до рівняння Ван-дер-Ваальса. Збільшуючи число доданків у виразі для цієї міри Леві, ми будемо підвищувати точність опису, припускаючи можливості одержання при цьому уточнених рівнянь типу Ван-дер-Ваальса, наприклад:

P/kBT=(1+2b2)/[1+2b2+(2b22-b3) 2], (22)

або P/kBT=z{1-2b2z+[3`+1`(3b2-1`)]z2/3}/B; = zA/3B2; B=1-3b2z+[3`+1`(3b2-1`)]z2-3`(3b2-1`)z 3; A=3-12b2 z+2(3b2)2 z2-2[1`(3b2 -1`)(3b2 -21`)+3`(31`-6b2)]z3+[(3`)2+(3b3 -1`)2((1`)2 -23`)]z 4, де 1`=2(9b23- b4)/3(b22 - b3); 3`=3(3b22 -b3)/2-1`(3b2 -1`), aбо P/kBT = z(4-31``+2 2``-3``)/4(1-1``+ 2``-3``+ 4``); (23)

=z[(4-31``+2 2``-3``)2-2(6 -31``+ 2``)(1-1``+ 2``- 3``+4``)]/4(1-1``+ 2``-3``+ 4``)4; 1``=4b2 z; 2``= 2(4b22 - b3)z2; (24)

3``=4(b4 +8b22 - 6b2b3)z3/3; 4``=(32b24/3 - 16b2 2 b3 + 2b32 + 16b2 b4 /3 - b5 )z4. (25)

В загальному випадку завдання n параметрів отримуємо алгебраїчну систему для їх визначення. Крім рівняння стану записуються кореляційні функції будь-якого порядку, а також із відомого термодинамічного потенціалу визначаються довільні термодинамічні величини за допомогою стандартних процедур. Ці ж алгоритми застосовуються до опису сумішей.

Багато задач теорії рідкого стану пов'язані з метастабільною фазою. Рушійною силою фазового переходу служить різниця хімічних потенціалів молекул у різних фазах. Ступінь або міра метастабільності визначається відношенням /kBT. Цією величиною визначається робота утворення зародка й швидкість утворення зародків. Строгий розгляд флуктуацій і стійкості станів призводить до необхідності аналізу поведінки не окремо узятого зародка нової фази, а системи в цілому, - перенасиченої пари при нуклеації з кластерами, що знаходяться у ньому, і зародками рідини. Для фінальної стадії нуклеації за допомогою складного твірного функціонала з декількома аргументами отриманий загальний вираз для міри метастабільності /kBT у випадку гібсовських систем, справедливий не тільки для процесів нуклеації, але і для інших метастабільних явищ.

В останньому підрозділі проводиться моделювання кореляційних функцій гібсовської системи за допомогою використання співвідношень імовірнісної теорії відновлення й завдання функції розподілу відстані між частинками. Отримані вирази для парної кореляційної функції h(r)=(2)/ 2 - 1 однорідної рідини вигляду h(r) = zexp{-[P/kBT - z]r}/ - 1 (і також більш складного вигляду). Розглядаються також частинки у вигляді твердих сфер, що відповідають потенціалу взаємодії з твердою серцевиною.

У четвертому розділі представлено результати досліджень стохастичних властивостей нейтронних процесів у ядерному реакторі. Мікроскопічні процеси розсіювання, розмноження та поглинання нейтронів у ядерному реакторі носять стохастичний характер. У першому підрозділі використовується модель випадкових процесів, які гілляться, із перемінним режимом, що відрізняються від раніше використаних у теорії ядерних реакторів класичних випадкових процесів, які гілляться, урахуванням ефективної взаємодії між різноманітними ланцюжками поділу. Це дозволяє досліджувати ефекти керування і зворотних зв'язків. Обмеження, які закладені в класичній теорії випадкових процесів, що гілляться, зокрема, припущення про незалежність еволюції різноманітних частинок, не дозволяють детально описувати найбільш важливі режими роботи реакторів. Застосування випадкових процесів, що гілляться, із перемінним режимом, до опису поведінки нейтронів у реакторі дозволяє провести строгий опис критичного режиму, і показує складність цього режиму. Реактивність приймає динамічний вигляд і складається з доданка `(1)=0k/l, де 0 - реактивність реактора нульової потужності, k - ефективний коефіцієнт розмноження нейтронів, l - час життя нейтронів, - реактивність, N - випадкове число нейтронів у реакторі, і динамічної складової `(1)/N: k/l=0k/l+`(1)/N, де `(1) залежить від керуючих впливів і зворотних зв'язків. У критичному стані, коли `(1)=0, поведінка процесу залежить від керуючих збурень. Виявлено три режими критичної поведінки реакторів, що залежать від знаку керуючих впливів і зворотних зв'язків. Виявлено вплив різноманітних параметрів на режими роботи реактора. У “подвійному критичному випадку”, коли дорівнює нулеві реактивність реактора нульової потужності, а також інтенсивність надходження нейтронів врівноважується інтенсивністю керування, при великих значеннях часу вираз для ймовірностей траєкторій процесу (t), де 0 1, має вигляд

Отримана поведінка процесу характерна для скейлінгових закономірностей при фазових переходах у різноманітних фізичних системах. Записано явні вирази для статистичних характеристик різних режимів, визначені межі між ними, що має істотне значення для забезпечення безпеки реактора.

Розвивається також теорія кореляційної поведінки нейтронів у критичній області, виходячи з аналогій із загальними статистичними методами, що були застосовані у теорії рідкого стану. Основним і найбільш важливим фізичним процесом у реакторі є ланцюгова ядерна реакція. Оптимальним робочим режимом реактора є критичний. Для прогнозування поведінки реактора в критичному режимі необхідно виявити ті особливості нейтронних закономірностей, що є в деякому роді універсальними, тобто не залежать від деталей окремих актів руху та перетворення нейтронів, що відбуваються в реакторах різноманітного типу. На мові теорії ядерних реакторів інтерпретуються складові частини прямої та оберненої кореляційних функцій. Отримано рівняння для кореляційної функції нейтронів g(r, t) з урахуванням довільних збурень вигляду

g(r,t)/ t=k( - )l-1g(r,t)+Dv 2g(r,t)+V dr`0 t dt`[ 2(r`) (t`)+g(r`,t`)] (r-r`, t-t`)/l, (26)

де (r-r`, t-t`)= l(r, t)/ n(r`, t`)n=0, l - додаткова реактивність, що обумовлена збуренням, l - середній час життя нейтронів, D - коефіцієнт дифузії нейтронів, 2 - густина дисперсії числа нейтронів, v - швидкість нейтрона, - частка нейтронів, що запізнюються. Отримані результати проілюстровані випадками нейтронів, що запізнюються, введенням борного поглинача в надкритичний реактор, і модельним прикладом.

В останньому підрозділі результати першого розділу для нерівноважного часу життя застосовуються до вивчення часу життя нейтронів у тепловому ядерному реакторі. Показано, що колективний нерівноважний час життя нейтронів у працюючому реакторі, нейтрони якого взаємодіють із паливом, сповільнювачем і теплоносієм, суттєво відрізняється від квазірівноважних часів життя окремих нейтронів, і прямує до періоду реактора.

П'ятий розділ присвячено стохастичним аспектам моделювання аерозольних систем, що коагулюють. Стохастичний опис застосовується до таких мезоскопічних величин, як число аерозольних кластерів, їхній розмір. Розвивається також загальний стохастичний підхід до опису довільних випадкових величин, що характеризують аерозольну систему. Окремий випадок використання стохастичної моделі зберігання запасів дозволяє одержати кінетичне рівняння Смолуховського для аерозольних частинок, що коагулюють. Наведені також результати для розширеної моделі зберігання з рівнянням

F(x, t) / t = -x r(d/dx) F - 0 (x) F - k=1 k k (x)(d/dx)k F / k!, (27)

(де F(x, t) - перетворення Лапласа функції розподілу величини частинки аерозолю, параметри r, , 0, k - із стохастичної моделі зберігання, 2-й розділ), що дозволяє одержувати узагальнення й уточнення рівняння Смолуховського.

Записуючи кінетичний потенціал у вигляді

(v,X)=ij (exp{vij}-1)W(i, j)[<Xi><Xj>+i (<Xj>- (i, j))- (i, j)<Xi>+j<Xi>+i j]; (28)

i=Xi -<Xi>, vij = vi+j -vi -vj , Xi - число частинок аерозолю i-го розміру, замість кінетичного потенціалу для рівняння Смолуховського Sm(v, X)=ij [(exp{vij} - 1)/2]W(i, j)<Xi><Xj> (W(i, j) - ймовірність того, що за одиницю часу прокоагулюють частинки розміру i та j), отримуємо добавки до рівняння Смолуховського. Розглядаються й інші можливості узагальнення рівняння Смолуховського (оцінка впливу малих збурень на детерміноване рівняння Смолуховського, урахування відхилень від однорідності в системі після одиничного акта коагуляції). В останньому випадку уточнене рівняння Смолуховського має вигляд

 F(exp{- }, t)/ t = o (exp{-u } -1) (u, - / ) n(u)du F/2 - 1( )F ; (29)

1( ) = o (1-exp{- u})1 b1(u)du; b1(x) = Po(t) (x) (30)

(Po - ймовірність виродження кластера; (m, x) = W(m, x)L3 - коефіцієнт коагуляції, ядро кінетичного рівняння коагуляції; L - розмір системи; 1 ; n(m, t)=<Xm>/L3). Результати, що отримані для кінетичного рівняння і різних ядер коагуляції, зіставляються з відомими результатами для рівняння Смолуховського. Імовірність спектра коагуляції записується як суперпозиція багатовимірних некорельованих пуасонівських розподілів. Доданки до рівняння Смолуховського залежать від об'єму системи. Досліджено вираз для відносної зміни тривалості життя аерозольної системи (середнього часу життя <(s)>) під впливом зовнішнього поля U ;

s=exp{-U/kBT}; <(s)>/<(s=0)>=([F(s)]1/c - [P0 ]1/c)/(1 - [P0 ]1/c); <(s=0)>=< >, (31)

де F(s) - виробляюча функція для числа частинок аерозолю у деякому об'ємі, P0=F(s=0) - ймовірність виродження, значення параметра с пов'язані з густиною частинок аерозолю. Розрахунок по отриманих виразах для випадку дії електричного поля збігається з результатами класичних робіт М.А.Фукса, і дає прогноз поведінки системи при збільшенні поля, якого немає в класичних роботах.

Розглядаються також стаціонарний розподіл розмірів кластерів, що коагулюють, у самоузгодженій моделі зберігання, і зв'язки між числом аерозольних кластерів і розподілом їхніх розмірів за допомогою тотожності Вальда. З огляду на те, що реальні аерозолі знаходяться в різноманітних зовнішніх полях (гравітаційному, електромагнітному і т.п.), проводиться загальний розгляд впливу зовнішніх полів на процеси коагуляції аерозолів. Вплив зовнішніх полів U на процес чистої коагуляції створює передумови для існування нетривіальних стаціонарних станів. Це розширює можливості еволюції системи, що коагулює. Крім злипання всіх аерозольних кластерів в один фінальний кластер, характерного для чистої (без впливів) коагуляції, система може еволюціонувати в стаціонарних станах, зазнаючи фазові переходи.

Важливою властивістю стаціонарності є також можливий зв'язок стохастичного опису з термодинамічним. Істотним є вплив зовнішніх сил на швидкість реакції, що служить параметром порядку. Такого роду збурення призводять до складних співвідношень між впливами дифузії, зовнішніх сил і швидкості реакції. При визначеній критичній інтенсивності зовнішнього шуму (якою можна вважати вплив зовнішніх сил на швидкість реакції) наступає ефект переміжності, чергування піків високої густоти й областей великої протяжності з малою густотою. До подібних ефектів призводить і урахування впливу локальних мікрофлуктуацій. У залежності від величини аналога хімічної спорідненості можна виділити чотири різноманітні кінетичні режими. Загальна картина еволюції аерозолів, що коагулюють, у зовнішніх полях виглядає в такий спосіб. Немонодисперсна коагуляція із зіткненнями кластерів різноманітного розміру відбувається тільки у флуктуаційно-обмеженому режимі (а), що близький до чистої коагуляції, у відсутності поля. Для монодисперсної коагуляції кластерів однакового розміру можливі інші кінетичні режими й досягнення стаціонарних станів, але процеси залежать від величини зовнішнього поля. При позитивних значеннях напруженості зовнішнього поля можливі стаціонарні стани. При малих значеннях зовнішнього поля Ui і величини Ui/kBT можливі всі чотири режими. В міру зростання кластерів у системі зберігається два режими (в) і (г). Потім у системі залишається один лінійний, близький до стаціонарного, режим, що переходить у стаціонарний стохастичний режим із флуктуаціями. Визначено умови, при яких у зовнішніх полях виконується рівняння Смолуховського, і коли до нього додаються певні доданки.