Оптичні сингулярності та структура випадкових оптичних полів. Відновлення їх характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький державний університет

ім. ЮРІЯ Федьковича

УДК 535.2

Оптичні сингулярності та структура випадкових оптичних полів. Відновлення їх характеристик

01.04.05 - оптика, лазерна фізика

автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Мохунь Ігор Іванович

Чернівці - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Чернівецькому державному університеті ім. Юрія Федьковича.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор, Ангельський Олег В'ячеславович, Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича, завідувач кафедри кореляційної оптики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член кореспондент НАН України, Одулов Сергій Георгійович, Інститут Фізики НАНУ, головний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор, Воляр Олександр Володимирович, Національний Таврійський університет ім. В.Вернадського, завідувач кафедри загальної фізики.

доктор фізико-математичних наук, професор, Казарян Мішик Айразатович, ФІАН Росії ім. П.Лебєдєва, старший науковий співробітник.

Провідна організація Київський національний університет імені Тараса Шевченка, радіофізичний факультет, м. Київ.

Захист дисертації відбудеться “23” червня 2000 р. о 15.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.76.051.01 при Чернівецькому державному університеті ім. Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського, 2.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького державного університету ім. Юрія Федьковича, вул. Лесі Українки, 23

Автореферат розісланий 20 травня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Курганецький М.В.

Мохунь І.І. Оптичні сингулярності та структура випадкових оптичних полів. Відновлення їх характеристик. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.05 - оптика, лазерна фізика. - Чернівецький державний університет, Чернівці, 2000.

У роботі на основі методів сингулярної оптики досліджуються загальні закономірності формування скалярних випадкових полів. Наведено результати дослідження топологічними методами структури поля інтенсивності. Досліджено кореляцію поведінки фази й інтенсивності. Запропоновано фізичний механізм утворення вихорів фази. Аналізуються закономірності формування нулів амплітуди в випадкових полях, які утворюються внаслідок інтерференції спекл-полів. Приведені результати досліджень векторних сингулярностей. Розроблено принципи вихрового аналізу векторних полів, який побудовано на основі аналізу сіток вихорів нового типу - вихорів різниці фаз. Установлюються зв'язки між сукупністю таких вихорів та поляризаційними сингулярностями, дисклінаціями, точками їх появи і зникнення. Досліджено кореляцію між поведінкою поляризації поля і поведінкою його інтенсивності. Розглянуто характеристики зображень, що відновлені із безопорних голограм. Проаналізовано їх передаючі властивості, відношення сигнал-шум у фантомному зображенні. Розроблено новий неасоціативний метод відновлення амплітуди та фази оптичного поля. Розглянуто вплив декорелюючих факторів на характеристики фантомних зображень, які відновлені з безопорної голограми.

Ключові слова: випадкове поле, скалярне поле, векторне поле, сингулярність, дислокація, дисклінація, вихор, поляризація, інтенсивність, градієнт, безопорна голограма, кореляція, відношення сигнал-шум.

Mokhun I.I. Optical singularities and structure of statistical optical fields. Restoration of their characteristics. - Manuscript.

Thesis for a Doctor's Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.04.05 - optics, laser physics. - Chernivtsy state university, Chernivtsy, 2000.

The general feathers of scalar statistical field formation are investigated by methods of singular optics. The results of investigation by topological methods of structure of an intensity field are given. The correlation between behavior of a phase and intensity one is investigated. The physical mechanism of vortex birth is stated. The results of researches of amplitude zeroes of statistical fields of complex structure formed by interference of speckle fields are presented. The results of investigation of vector singularities are given. The principles of the vortex analysis of vector fields are developed on the basis of the concept of a vortex of a new type - vortex of a phase difference. The relationship between the set of such vortices and the polarization singularities, disclinations, their birth and annihilation points are established. The correlation between behavior of a field polarization and intensity is considered. The characteristics of the images restored from referenceless holograms are considered. The transmitting properties, signal-noise ratio of such images are analyzed. The new nonassociative method of field amplitude and phase restoration is elaborated. The relations for estimation of influence of original image changes (orientation and scale changes) are presented.

Keywords: statistical field, scalar field, vector field, singularity, dislocation, disclination, vortex, polarization, intensity, gradient, referenceless hologram, correlation, signal to noise ratio.

Мохунь И.И. Оптические сингулярности и структура случайных оптических полей. Восстановление их характеристик. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.05 - оптика, лазерная физика. - Черновицкий государственный университет, Черновцы, 2000.

В роботе исследуются общие закономерности формирования скалярных случайных полей. Анализируются характеристики фазовых вихрей, ответственных за построение структуры поля фазы. Представлены результаты исследования структуры поля интенсивности топологическими методами. Приведены соответствующие топологические инварианты. Выявлена корреляция между поведением фазы и интенсивности случайного скалярного поля. Предложен физический механизм возникновения вихрей фазы на основе интерференции ограниченного количества относительно гладких в фазовом отношении пучков с близкими интенсивностями. Сформулированы условия возникновения вихрей. Рассмотрена возможность построения интерференционных преобразователей - гладкий - вихревой пучок. Приведены результаты исследований нулей амплитуды в случайных полях сложной структуры, формирующихся за счет интерференции спекл-полей. Приводятся результаты исследований рассеивания света волноводной структурой с синусоидально модулированной стенкою, которая дополнительно искажена случайными дефектами. Разработан аналитический метод описания рассеянного такими системами поля. Показано, что результирующее поле является многопараметрической функцией, как характеристик волноводной структуры, так и характеристик освещающего пучка. Приведены результаты разработки методов анализа тенеграмм и интерферограмм турбулентных полей. Разработаны принципы вихревого анализа векторных полей, в основу которых положено понятие вихря нового типа - вихря разницы фаз. Сформулирован обобщенный знаковый принцип, которому подчиняются такие вихри при различных типах разложения поля на ортогональные по поляризации компоненты. Анализируются следствия, которые вытекают из анализа сеток вихрей разницы фаз, как при разложении поля на линейно-поляризованные, так и при разложении на циркулярно-поляризованные составляющие. Устанавливаются связи между совокупностью таких вихрей, поведением поля вдоль линий, на которых поле поляризовано линейно и поляризационными сингулярностями, дисклинациями, точками их появления и исчезновения. Выявлены особенности формирования поля азимутов поляризации. Разработана методика экспериментального исследования поляризационных сингулярностей и дисклинаций. Рассмотрена корреляция между поведением поляризационных характеристик поля и поведением интенсивности. Рассмотрены также элементарные поляризационные структуры векторных полей. Полученные результаты распространены на случай квазиоднородно-поляризованных полей. Анализируются методические основы сингулярной оптики. Проведено обсуждение вопросов непрерывности и определенности поля на сингулярных множествах. Показано, что при любых условиях поле в “сингулярной” точке определено и не принимает нулевого значения. Обоснована концепция модели оптической сингулярности. Приведены конкретные модели векторных сингулярностей и проводится их анализ. Рассмотрено поведение поляризации в окрестности “абсолютного” нуля амплитуды - модели стационарной дисклинации. Рассмотрена проблема восстановления характеристик оптических полей по их квадрату модуля амплитуды. Проанализировані характеристики изображений, восстановленных из безопорных голограмм. Исследованы их передающие свойства. Сформулированы требования к голографируемым объектам, при выполнении которых восстанавливаются изображения высокого качества. Приведены результаты теоретического рассмотрения отношения сигнал-шум в изображениях, восстановленных из безопорной голограммы. Отношение сигнал-шум проанализировано для разных типов (амплитудная, фазовая, тонкая, толстая) безопорных голограмм. Приведены результаты разработки и проверки нового неассоциативного метода восстановления амплитуды и фазы оптического поля при отсутствии голографируемого объекта. Показано, что качественные характеристики изображений, восстановленных таким способом, не хуже чем характеристики фантомных изображений, восстановленных традиционным методом. Проанализированы корреляционно-фильтрующие свойства безопорной голограммы. Рассмотрено влияние декореллирующих факторов на характеристики фантомных изображений, восстановленных из безопорной голограммы. Получены соотношения для оценки величины отношения сигнал-шум в системах с безопорной голограмой при изменении размеров и повороте исходного изображения.

Ключевые слова: случайное поле, скалярное поле, векторное поле, сингулярность, дислокация, дисклинация, вихрь, поляризация, интенсивность, градиент, безопорная голограмма, корреляция, отношение сигнал-шум.

Загальна характеристика роботи

Останнім часом дослідження випадкових полів усе частіше пов'язується з дослідженням їх особливих (сингулярних, стаціонарних) точок [1-7]. Цей напрямок сучасної оптики отримав назву “сингулярної оптики” [1]. Наявність особливостей фізичних величин дозволяє при їх дослідженні застосовувати потужні, нетрадиційні для оптики, топологічні методі, об'єктом дослідження яких і є особливі точки та їх множини. Дослідження цих множин дає змогу на якісному рівні оцінити поведінку фізичної величини і встановити найбільш загальні закономірності формування її просторового розподілу.

У випадку скалярного поля такими особливими точками є, насамперед, точки, в яких амплітуда приймає нульове значення. Такі точки - сингулярності фази, що одержали назву дислокацій хвилевого фронту, або фазових вихорів [1,2]. Як показано в [1,3], саме сітки вихорів великою мірою визначають поведінку фази всього поля. Більш того, нещодавно зроблено спробу, спираючись на методи сингулярної оптики, встановити відповідність між поведінкою фази та інтенсивності поля [3]. Проте, з погляду авторів [3], кореляція між цими характеристиками поля невелика. Такий висновок не може не викликати сумнівів, оскільки множини особливих точок фази та інтенсивності пов'язані між собою. Цей зв'язок випливає з того факту, що фазові вихорі водночас є абсолютними мінімумами поля інтенсивності, а середня відстань між нулями амплітуди збігається із довжиною кореляції [4]. Отже, на нашу думку, зв'язок між поведінкою фази та інтенсивності, навіть у межах одного або декількох спеклів, повинен бути більш жорсткий, ніж стверджують автори [3]. При цьому, залишається незрозумілим, чим визначається співвідношення між стаціонарними та сингулярними точками фази поля. Співвідношення між особливими точками інтенсивності теж невизначені.

Отже, можна стверджувати, що закономірності, за якими формується структура скалярного поля, зв'язок між його окремими елементами ще недостатньо досліджені.

Для монохроматичного векторного поля аналогом дислокацій є дисклінації - множини точок, на яких поперечні компоненти поля досягають нульового значення в деякий момент часу [1]. Параметри поляризаційних еліпсів як функції просторових координат теж можуть мати “поляризаційні” сингулярності [1]. Поляризаційні сингулярності - стаціонарні структури, які, в принципі, можуть бути вивчені традиційними для оптики методами. Проте дані, які отримані традиційними методами, не дають можливості однозначно розрізнити сингулярні множини та точки поля з поляризаційними характеристиками, близькими до характеристик особливих точок. Єдиними надійними методами ідентифікації сингулярностей і дослідження їх характеристик є методи інтерферометрії [7]. Щодо дисклінацій, то в оптичному експерименті вони взагалі недоступні прямому спостереженню через швидкі зміни поля в часі. Природно, що така ситуація зводить нанівець потенційні можливості топологічних методів дослідження структури векторного поля. Тому було б доцільним розробити нові підходи і засоби аналізу векторних полів, які базувалися б на вивченні сингулярностей, доступних експериментальному дослідженню. Очевидно, це дасть можливість виявити нові, ще невідомі закономірності формування структури векторних полів, установити зв'язок між його різними характеристиками.

Інший аспект проблематики випадкових полів - це відновлення їх характеристик [8]. Перспективними, з нашого погляду, методами фізичного відновлення поля є методи безопорної голографії [9]. Крім цього, властивості безопорної голограми надають можливість її широкого застосування в різноманітних пристроях оптичної обробки інформації, голограмних запам'ятовуючих пристроях, оптичних нейронних мережах, при відновленні зображень по розподілу інтенсивності і т. ін. Однак залишаються недостатньо вивченими передаючі властивості безопорної голограми, питання якісних характеристик зображень, що відновлені із безопорної голограми. Зауважимо, що великим недоліком асоціативного (традиційного) методу відновлення інформації є необхідність застосування для реконструкції зображень частини початкового поля. Навіть невеличкі зміни початкового поля, декорелюючі фактори на оптичній трасі приводять до непередбачених наслідків.

Тому доцільно було б детально дослідити вплив цих факторів на характеристики відновленого зображення та зробити спробу розробки нових алгоритмів відновлення безопорної голограми некритичних до зміни початкового поля.

Отже, актуальність дисертаційного дослідження викликана необхідністю більш досконалого вивчення структури випадкових полів, розробки нових підходів до їх аналізу і виміру їх характеристик, пошуку нових та удосконаленню традиційних методів і засобів відновлення оптичної інформації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження, проведене в дисертаційній роботі, відповідає науковим тематикам кафедри кореляційної оптики та кафедри оптики і спектроскопії Чернівецького державного університету. Робота виконувалась у межах координаційної програми Міністерства освіти України, реєстраційний №196U014544. До дисертації залучені результати досліджень, проведених у рамках колективного гранта фонду Сороса (грант U200), проекту Українського науково-технологічного центру (контракт №230).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження було: розробка методів і засобів досліджень випадкових оптичних полів на основі методів сингулярної та кореляційної оптики, встановлення закономірностей формування їх структури, розробка нових методів і пристроїв відновлення характеристик таких полів.

Для досягнення цієї мети вирішувались такі конкретні задачі:

Розробка на основі уявлень сингулярної оптики нових алгоритмів аналізу, виміру і відновлення характеристик випадкових полів.

Дослідження сукупностей множин особливих точок випадкових оптичних полів з метою встановлення зв'язку між сітками сингулярностей та характеристиками оптичного поля.

Розробка нових методів фізичного моделювання різних типів оптичних сингулярностей і дослідження таких штучних оптичних особливостей.

Пошук зв'язку між різними характеристиками (інтенсивністю та фазою, інтенсивністю та поляризацією) оптичного поля.

Дослідження властивостей зображень (сигнал-шум, передаючі властивості і т. ін.), що відновлені із безопорної голограми традиційним способом відновлення інформації, та створення нових алгоритмів відновлення.

Новизна наукових результатів, отриманих у дисертаційній роботі, полягає в тому, що:

1. Удосконалено топологічний підхід до аналізу спекл-полів. Визначено основні характеристики фазових вихорів і встановлено взаємозв'язок між ними. Запропоновано та обгрунтовано фізичний механізм зародження фазових вихорів. Розроблено інтерференційні перетворювачі - гладкий - сингулярний пучок.

2. Уперше сформульовано принципи аналізу поля інтенсивності на основі дослідження характеристик його стаціонарних точок. Отримано співвідношення, що визначають кількість максимумів, мінімумів і сідел інтенсивності. Встановлено взаємозв'язок між поведінкою інтенсивності та фази випадкового скалярного поля.

3. Розроблено метод аналізу векторних полів, який базується на основі методів сингулярної оптики.

4. Уперше встановлено зв'язок між сітками фазових вихорів ортогональних за поляризацією (лінійно-, або ціркулярно-поляризованих) компонент і поляризаційними сингулярностями, дисклінаціями. Встановлено зв'язок між якісною поведінкою азимуту поляризації уздовж s-контурів, топологічним зарядом C-точок в областях, що обмежені s-контурами, та характеристиками сіток вихорів різниці фаз. Установлено зв'язок між просторовою зміною азимуту лінійної поляризації та часовою поведінкою дисклінацій.

5. Розроблено методику візуалізації дисклінацій та пошуку їх точок народження й анігіляції.

6. Уперше проведено аналіз елементарних поляризаційних ситуацій, які містять обидва типи поляризаційних сингулярностей: s-контури і C-точки. Визначено закономірності їх формування. Отримані результати розповсюджено для випадку квазіоднорідно поляризованих полів.

7. Розроблено аналітичний метод розрахунку поля, що розсіяно хвилеводними структурами із періодичними і випадковими збуреннями стінки хвилеводу. Показано, що розподіл інтенсивності в розсіяному полі залежить від напрямку опромінення хвилеводної структури. Визначено зв'язок між характеристиками хвилеводу, неоднорідностями його стінки та характеристиками інтенсивності розсіяного світла. Визначено густину дислокацій у дальній зоні при інтерференційному утворенні результуючого поля.

8. Уперше запропоновано методики аналізу тіньограм та інтерферограм турбулентних полів, які дають можливість відновити середньостатистичні характеристики турбулентностей, побудувати спектри пульсацій густини турбулентного поля.

9. Уперше проведено аналіз відтворюючих можливостей безопорної голограми. Сформульовані вимоги до об'єктів, при виконанні яких забезпечується відновлення зображення, яке не поступається якістю зображенням, отриманим традиційними методами. Досліджено відношення сигнал-шум і отримані кількісні співвідношення для різних типів безопорної голограми: тонкої, фазової та товстої голограми, різних типів декорелюючих факторів (зміна масштабу, поворот початкового зображення).

10. Розроблено принципово новий метод відновлення зображення з безопорної голограми - неасоціативний алгоритм відновлення. Проаналізовано характеристики зображень, відновлених за допомогою розробленого методу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи по дослідженню структури статистичних полів відкривають новий напрямок - застосування методів сингулярної оптики у фундаментальних оптичних дослідженнях та можуть бути використані як базові при дослідженні структури і характеристик векторних і скалярних статистичних полів, розробці нових метрологічних методів і засобів їх аналізу, розробці пристроїв обернення хвильового фронту. Результати дисертаційного дослідження були використані при розробці нових засобів метрології турбулентностей, алгоритмів відновлення характеристик оптичних полів за їх квадратом модуля амплітуди. Теоретичні, методичні та експериментальні результати, що отримані, можуть бути застосовані при конструюванні асоціативних запам'ятовуючих пристроїв, нейронних і нейроподібних мереж, при конструюванні нового типу одноканальних кореляційних систем оптичної обробки інформації.

В роботі використовувались методи кореляційного аналізу, статистичної оптики, топології, інтерференційної фазометрії, поляриметрії, голографії та когерентної обробки інформації.

Достовірність наукових результатів за дослідженням структури випадкових оптичних полів забезпечена даними експериментальних досліджень та даними комп'ютерного моделювання. Результати теоретичних і експериментальних досліджень у напрямку відновлення характеристик оптичних полів забезпечуються застосуванням сучасних методів аналізу та виміру характеристик оптичних зображень, методів інтерферометрії. Дані, отримані при аналізі турбулентних полів, добре корелюють із даними термоанемометрії та даними інших незалежних неоптичних досліджень. За отриманими в роботі даними можуть бути зроблені оцінки, результати яких збігаються з відомими даними, опублікованими в науково-технічній літературі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційного дослідження доповідалися на численних міжнародних і всесоюзних конференціях, семінарах:

“XIII Міжнародній конференції з когерентної та нелінійної оптики”, Мінськ, 1988; “1 Всесоюзній конференції з оптичної обробки інформації”, Ленінград, 1988; всесоюзному семінарі “Оптична діагностика хвильових фронтів та адаптивна оптика”, Чернівці, 1988; “ХХ всесоюзної школі з голографії та когерентної оптики”, Чернівці, 1989; республіканському семінарі “Оптичні датчики фізичних величин”, Кишинів, 1990; “II Всесоюзній конференції з оптичної обробки інформації”, Фрунзе, 1990; “XIV Міжнародній конференції з когерентної та нелінійної оптики”, Ленінград, 1991; “1 Всесоюзній конференції з інтегральної оптики”, Ужгород, 1991; VII координаційній нараді “Розвиток методів проектування та виготовлення інтегральних запам'ятовуючих пристроїв”, Москва, 1991; міжнародному семінарі “Лазерна технологія та лазерна діагностика поверхні”, Чернівці, 1991; міжнародній конференції “From Galileo's “occhialino” to optoelektronics: frontiers of optical systems and materials”, Падуя, Італія, 1992; міжнародній конференції “Phase Contrast/Diffefential Interference Contrast”, Варшава, 1992; міжнародній конференції “Difractometry & Scatterometry”, Варшава, 1993; Міжнародної конференції “Голографія, кореляційна оптика та реєструючи матеріали”, Чернівці, 1993; “16-му конгресі Міжнародної комісії з оптики”, Будапешт, 1993; міжнародній конференції “Голографія та кореляційна оптика”, Чернівці, 1995; міжнародному семінарі “Diffraction optics”, Прага, 1995; міжнародній конференції “Photonics'95”, Прага, 1995; Першому міжнародному семінарі “Singular optics” Крим 1997; “V-му міжнародному конгресі з оптики”, Будапешт, 1998; міжнародній конференції “Кореляційна оптика 99”, Чернівці, 1999; міжнародному семінарі “Vortices, solitons, and frustration phenomena in 2D magnetic and optical systems”, Дрезден, Німеччина 2000.

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано в 39 статтях та 3 авторських свідоцтвах, перелік яких дається в кінці автореферату.

Особистий внесок. Основні результати, що наведені в дисертаційній роботі, отримані автором самостійно. В роботах [2,3,8-11,17-20,22-28,33-35] сформулював завдання досліджень та провів основні теоретичні розрахунки. В роботах [2-13,15,21,29] дисертантом проведено теоретичне обгрунтування експериментальних методик. В роботах [1,12,13,33] брав участь в інтерпретації результатів експериментальних досліджень та узагальненні результатів. В роботах [4,5,7,12-15,17-21,36,40-42] сформулював основну ідею досліджень та провів узагальнення отриманих результатів. У роботах [2-4,7-10,37-39] дисертант брав участь у математичних розрахунках та обговоренні експериментальних фактів. У роботах [9-11] дисертантом зроблено теоретичну обробку експериментальних даних та запропоновано математичну модель для їх пояснення. В роботах [1,2,5-8,12-16] брав участь у проведенні експериментальних досліджень.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів основного тексту, результатів і висновків, списку цитованої літератури. Повний обсяг дисертації складає 315 сторінок машинописного тексту. В дисертацію включено 94 ілюстрації. Список цитованої літератури складається з 202 найменувань і займає 22 сторінки.

Зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність проведених в дисертаційній роботі досліджень, сформульовано мету та задачі роботи, визначено наукову новизну та практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі наведено результати досліджень закономірностей формування скалярних статистичних полів.

Можна показати, що будь-якому анізотропному вихору з точністю до можна покласти у відповідність ізотропний вихор з певною початковою фазою (постійною фазою в околі ядра дислокації). При цьому має місце таке твердження. Якщо відстань між вихорами одного знака невелика, то різниця фаз між вихорами прямує до 0 (дислокації розділяє парна кількість фазових сідел) або до (кількість сідел, що зв'язують вихори, непарна).

На рис.1б наведена фазова карта, на якій позначені два фазових сідла s₁,s₃ і три вихори одного знака. Вихори V₁,V₃ пов'язані через обидва сідла. Еквіфазні лінії між дислокаціями V₁,V₂ і V₂,V₃ перетинають усього одне сідло. На рис.1а наведено результат інтерференції такого поля з плоским опорним пучком. В місцях центрів вихорів V₁,V₃ спостерігається роздвоєння світлої інтерференційної смуги. Дислокації V₂ відповідає темна вилка. Отже, вихори V₂ і V₁,V₃ знаходяться в протифазі. Відповідно вилки, що сформовані вихорами V₁,V₃ однакового кольору. Вихори V₁,V₃, знаходяться у фазі. Чим далі одна від одної знаходяться дислокації, тим більш випадкового характеру набуває різниця фаз між ними. Іншими словами, ця різниця фаз є важливим інформаційним параметром, що характеризує, наскільки сильна кореляція між спеклами, які аналізуються.

Відзначимо, що тоді як топологічні заряди властиві тільки вихровим полям, індекс Пуанкаре N може бути введений і для градієнтних полів. Введемо топологічні індекси поля інтенсивності. Екстремумам, у тому числі і нулям амплітуди, як абсолютним мінімумам, відповідає в цьому випадку N=+1, сідлам інтенсивності N=1. Відповідно, народження (зникнення) екстремуму, повинно супроводжуватися народженням (зникненням) сідла інтенсивності, що забезпечує зв'язок екстремуму з іншими польовими структурами та іншими екстремумами.

Застосовуючи підхід, аналогічний описаному в [5], дійдемо висновку, що мінімальні кількості максимумів () і сідел інтенсивності () підпорядковуються співвідношенню:

, (1)

де - кількість вихорів фази.

Для дальньої зони виникнення додаткових екстремумів підкоряється умовам: де - хвилеве число, z - відстань до розсіюючого об'єкту, ...і т.ін. - часткові похідні першого і другого порядку від модуля амплітуди A і фази . На відміну від результатів, отриманих у [3,5], (2) дозволяє існування додаткових екстремумів як фази, так і інтенсивності. Можна показати, що кількість додаткових екстремумів інтенсивності сумірна з кількістю додаткових екстремумів фази - 1/201/14 від кількості вихорів. Отже, імовірність виникнення додаткових максимумів або мінімумів інтенсивності не більша ніж імовірність виникнення екстремумів фази.

Екстремуми одного типу (максимум, максимум і вихор, вихор) пов'язані між собою сідлами інтенсивності та утворюють сітку стаціонарних точок інтенсивності. Приклад такої сітки наводиться на рис.2. Суцільними товстими та пунктирними тонкими лініями позначено положення ліній Re,Im=0, ліній, уздовж яких дійсна й уявна частина комплексної амплітуди дорівнює 0. Лініями з стрілочками позначено лінії току градієнта інтенсивності. Значення індексів Пуанкаре максимумів інтенсивності (max), вихорів фази (V) - абсолютних мінімумів та сідлових точок інтенсивності (s) подано в кружечках. У роботі встановлено зв'язок між сіткою вихорів (сіткою фазових спеклів) і сіткою інтенсивності. Для цього знайдено середні значення градієнтів фази та інтенсивності відповідно в стаціонарних точках інтенсивності та фази. Показано, що модуль середнього градієнта фази в стаціонарній точці інтенсивності в рази більший, ніж в будь-який іншій точці поля (за винятком зон вихорів). Аналогічний факт має місце і для стаціонарних точок інтенсивності: модуль середнього градієнта інтенсивності в стаціонарній точці фази в рази більший, ніж у будь-який іншій точці поля. Отже, можна стверджувати, що в статистичному змісті, швидким змінам інтенсивності відповідають повільні зміни фази і, навпаки, швидким змінам фази відповідають повільні зміни інтенсивності.

На цьому рисунку представлено зони поля з малим модулем градієнта інтенсивності (темно-сірий колір) і з відносно великим модулем градієнта фази (світло-сірий колір) (рис.а), фазову карту (рис.б). З рисунка (а) можна побачити, що, як і передбачалося, зони з незначними змінами інтенсивності та зони, в яких фаза змінюється швидко лежать в однакових за локалізацією регіонах поля. Додамо, що середнє (“найбільш імовірне”) положення ліній Re,Im=0 проходить уздовж еквіфазної лінії, на який досягається максимальний модуль градієнта фази.

Отже, з проведеного розгляду випливає, що існує реальна можливість установлення чергування знаків вихорів фази на основі аналізу поведінки інтенсивності та її характеристик.

Іншим важливим питанням є питання, як утворюються фазові вихорі. Відомо, що безпосередньо за розсіюючим об'єктом поле промодульовано суто по фазі і вихорів (якщо розсіюючий об'єкт “гладкий”) немає. Процес утворення вихорів починається в ближній зоні розповсюдження розсіяної хвилі [4]. Зрозуміло, що процес виникнення вихорів має інтерференційний характер. При таких умовах в інтерференції бере участь обмежена кількість парціальних близьких за інтенсивністю хвиль. При цьому в зоні інтерференції такі хвилі розповсюджуються практично без дифракції. Комплексна амплітуда поля при розповсюдженні парціальної хвилі на відстань z може бути описана за допомогою наближення “хвилевих фронтів”: де - - координати у площині на відстані z від площини x,y, є розв'язками системи рівнянь (4) та виконується умова (5):

(4) (5)

Показано, що при інтерференції навіть тільки двох близьких за інтенсивністю хвиль у мінімумах інтерференційної картини може утворюватися сукупність фазових вихорів, зсунутих один відносно одного по фазі на . Тангенс фази в околі такого i-го вихору визначається виразом:

(6)

де -, , , , ,, - модулі амплітуд та фази інтерферуючих хвиль.

Теоретичний розгляд перевірено за допомогою комп'ютерного та експериментального моделювання.

Вивчаючи процеси утворення таких вихорів, нами зроблено ще один висновок: поява та анігіляція вихорів може відбуватися не тільки за класичною схемою, у свій час обгрунтованою Джоном Наем [5]:

(7)

Співвідношення (7) відбиває той факт, що процес анігіляції (появи) вихорів (V) містить у собі одночасно руйнування (зародження) як вихорів так сідел (S) одночасно. У дисертації показано, що при інтерференції обмеженої кількості відносно простих хвиль може реалізовуватися така послідовність топологічних реакцій:

(8)

(9)

1. Спочатку анігілюють вихори V⁺ і V та утворюється “крайова” дислокація “нульової довжини” (ED). При цьому два сідла S зливаються в сідло PS.

2. Далі спостерігається зникнення крайової дислокації і “незвичайного” сідла PS:

Отже, цей процес можна розглядати як наступний ланцюжок - руйнація більш потужних сингулярностей - вихорів (структур, що мають відмінний від нуля топологічний заряд), а потім остаточне зникнення особливостей поля. Результат не суперечить закону збереження топологічного заряду, оскільки на кожному етапі його сумарна величина залишається сталою. Очевидно, що це не єдиний можливий випадок, коли процеси народження і руйнування топологічних структур поля проходять у два етапи. Тому можна висунути припущення: процес анігіляції (народження) вихорів може відбуватися за двома наведеними схемами.

Проведений розгляд покладено в основу створення перетворювачів гладкий - сингулярний пучок, який виконано у вигляді інтерферометру зсуву. В якості інтерферометру зсуву використано скляну плоскопаралельну пластинку товщиною 3 мм із відхиленням від паралельності поверхонь кутових секунд.

Спрямовуючи паралельний пучок на таку пластинку у напрямку на відбивання, отримуємо відому інтерференційну картину з кількістю інтерференційних смуг 23.

Одну з поверхонь пластинки (задню) було напилено алюмінієм (див. рис. 5a) із коефіцієнтом відбивання, близьким до 100%. При напиленні іншої поверхні було створено такі умови, що коефіцієнт відбивання плавно змінювався вздовж робочої області від 0 до 100%. При цьому ці зміни відбувалися у напрямку, перпендикулярному до інтерференційних смуг. Тоді відбиті від передньої грані (пучок 1) та від задньої грані (пучок 2) пучки набували модуляції інтенсивності подібної до зображеної на рис. 5б. Отже, створювалися необхідні умови для виникнення в результуючому полі гвинтової дислокації хвильового фронту. В дисертації наведено результати експериментального тестування такого перетворювача.

У другому розділі наведено результати досліджень нулів амплітуди у випадкових полях, що утворюються внаслідок інтерференції спекл-полів. В розділі також наведено результати розробки методів аналізу тіньограм та інтерферограм турбулентних полів. Нерідко розсіяне поле утворюється внаслідок складної інтерференції полів із різними за розмірами спеклами. В [4] показано, що середня відстань між фазовими вихорами дорівнює довжині (або радіусу) кореляції.

Як можна побачити, середня відстань між нулями результуючого поля визначається не тільки густиною вихорів у інтерферуючих полях, але також співвідношеннями середніх інтенсивностей.

У дисертації розглянуто випадок, коли результуюче поле формується внаслідок інтерференції подібних за фазовою структурою спекл-полів, що розрізняються за інтенсивністю. Механізм утворення нулів описується співвідношеннями:

 (10)

де - відношення модулів амплітуди інтерферуючих полів, - фаза полів, що інтерферують.

Така інтерференція виникає, наприклад, при розсіянні світла на інтегрально-оптичних структурах з неідеальними стінками хвилеводів. Нами розроблено аналітичний метод розрахунку поля розсіяного випромінювання системою, одна з поверхонь якої промодульована синусоїдальною граткою та випадковими дефектами у передбаченні малої глибини модуляції гратки .

Показано, що у формуванні результуючої інтенсивності поля беруть участь як мінімум два фізичних процеси. Перший з них має резонансний характер і зумовлений дифракцією світла на регулярній гратці та перетворенням поля хвилеводом. Другий - розсіювання випромінювання на мікродефектах стінки хвилеводу. Особливості розподілу інтенсивності світла, що розсіюється, спостерігаються в залежності від того, наскільки відрізняється кут падіння освітлюючого пучка від резонансного кута освітлення. При цьому розподіл інтенсивності залежить (рис.7) не тільки від того, де спостерігається розсіяне поле (відбивання, пропускання), але і від способу освітлення структури (із боку неспотвореного шару - підложки, із боку пошкодженої границі - з боку покривного шару) та параметрів хвилеводу (наприклад, коефіцієнта поглинання хвилеводного шару ). Можна показати, що в формуванні результуючого поля беруть участь однакові за фазовою структурою, але зсунуті по фазі на , та різні за інтенсивністю поля. Отже, можна очікувати (насамперед у зонах із значними, резонансними, змінами інтенсивності) появу додаткових нулів амплітуди. Саме цей факт збільшення густини вихорів (у 1.5 - 2 рази) спостерігався експериментально.

Взагалі кажучи, співвідношення регулярної і “спотвореної об'єктом” хвилі є важливим інформаційним параметром. Використовуючи цей факт, нами розроблено нові оптичні методи (інтерференційний та тіньовий) дослідження параметрів турбулентних процесів. Наступні співвідношення (11,12) встановлюють зв'язок між параметрами турбулентного процесу (густиною пульсації турбулентності) та автокореляційною функцією тіньограми (співвідношення (11)), інтерферограми (співвідношення (12)):

(11)

де - середня квадратична величина пульсації густини, 2l - товщина оптичної неоднорідності, - характерний масштаб неоднорідностей, - гамма-функція. К - модифікована функція Бесселя.

(12)

де - середньоквадратичне відхилення смуг інтерферограми від їх середнього положення, , , - коефіцієнти Фур'є розкладу амплітудного пропускання смуг інтерферограми.

Експериментальні дані, що отримані за допомогою розроблених оптичних методів добре збігаються з результатами, які незалежно отримані методами термоанемометрії.

У третьому розділі наведено результати досліджень векторних сингулярностей.

Як відомо, для монохроматичного векторного поля аналогом дислокацій є дисклінації - множини точок, на яких поперечні компоненти поля досягають нульового значення в деякий момент часу [1]. Параметри поляризаційних еліпсів, як функції просторових координат, теж можуть мати “поляризаційні” сингулярності [1]. У площині спостереження просторовий розподіл поляризаційних еліпсів містить поляризаційні сингулярності двох типів: s-контури і С-точки [1]. Уздовж s-контурів поле поляризоване лінійно, відповідно невизначеним є напрямок обертання кінця електричного вектора. С-тчки - точки циркулярної поляризації поля, тобто невизначеним є напрямок головної осі (азимут) поляризаційного еліпса.

Відзначимо, що C-точки та s-контури не можуть бути визначені однозначно методами традиційної поляриметрії внаслідок неможливості розрізнити стан поляризації поля лінійну або циркулярну з близькими до них поляризаціями. Отже, виникає необхідність переходу до іншої системи сингулярностей, які по-перше, були б зв'язані з традиціною системою сингулярностей; по-друге, повинна існувати можливість експериментального виміру їх характеристик.

Таким вимогам відповідають фазові вихори ортогональних за поляризацією компонент поля. При цьому може бути застосовано обидва найбільш розповсюджених розклади: на лінійно- або циркулярно-поляризовані компоненти. Оскільки кожна з сіток дислокацій визначає топологію своєї компоненти поля, то їх суперпозиція повинна визначати топологію векторного поля. У відповідність векторному полю можна поставити деяке скалярне поле:

(13)

де - , - модулі амплітуд, та фази ортогонально-поляризованих компонент відповідно.

Амплітуда цього поля має нулі в тих самих точках де мають нулі компоненти поля, а його фаза збігається з різницею фаз між компонентами. Різниця фаз у точках вихорів фази компонент теж невизначена. Ці точки є також вихорами різниці фаз. Топологічний заряд таких вихорів визначається співвідношенням:

(14)

З (13) випливає, що топологія поля вихорів різниці фаз аналогічна топології фази скалярного поля. З властивостей скалярного поля u автоматично випливає знаковий принцип, якому підпорядковується сітка вихорів різниці фаз. При розкладі на лінійно-поляризовані компоненти лінії Im=0 збігаються з s-контурами. Знаковий принцип при такому розкладі має вигляд: оптичний поле сингулярний кореляційний

а) на замкнутому s-контурі розташовується парне число вихорів поля різниці фаз. При цьому суміжні вихори мають протилежні знаки.

б) якщо суміжні вихори різниці фаз, утворені вихорами фази однієї компоненти, то ці фазові вихори мають різні знаки.

Отже, знаки сусідніх вихорів різниці фаз, які знаходяться на одному s-контурі, різні. Відповідно, знаковий принцип, який встановлює порядок чергування знаків топологічних зарядів різнофазових вихорів дає можливість якісно визначити поведінку азимуту лінійної поляризації вздовж s-контуру. Сумарний топологічний заряд С-точок в області, що обмежена цим контуром, визначається саме цією поведінкою і дорівнює загальному обертанню вектору лінійної поляризації уздовж s-контуру та може бути обчислений виразом:

(15)

де - азимут лінійної поляризації уздовж s-контуру.

Крім цього, знаковий принцип об'єднує вихори різниці фаз, які знаходяться на різних s-контурах. Отже, знаковий принцип дозволяє об'єднати s-контури в єдину мережу і провести якісний аналіз векторного поля в будь-якій його точці.

У дисертації розроблено експериментальну методику дослідження поляризаційних сингулярностей і дисклінацій. Якщо в деякій точці s-контуру одна з осей базису розкладу збігається за напрямком з напрямком коливання електричного вектора, то одна з компонент поля (наприклад Е_x) тотожно дорівнює нулю. Тоді в цій точці для x-компоненти спостерігається дислокація хвилевого фронту. Відповідно, умова виникнення дисклінації в цій точці має вигляд:

(16)

(17)

де - напруженості поля ортогональних компонент, - фаза ненульової компоненти, , - частота падаючого світла, t - час.

Виділимо за допомогою поляризатора компоненту з дислокацією. Очевидно, що характеристики вихору (його заряд, його початкову фазу) можна отримати, застосовуючи інтерференційну техніку. Змінюючи орієнтацію осі поляризатора на 90⁰, можна отримати фазу ненульової компоненти, отже, визначити час появи в цій точці дисклінації. У такий спосіб, повертаючи поляризатор, можна визначити розташування s-контуру, та поведінку дисклінацій уздовж нього. Аналогічно можна отримати характеристики С-точок, якщо на шляху розповсюдження хвилі розташувати пластинку /4, яка сформує нову систему s-контурів. Повертаючи пластинку на певний кут, отримаємо іншу систему s-контурів. Перетини s-контурів, що належать цим системам, визначать позиції С-точок. Можна показати, що локальні екстремуми азимуту поляризації вздовж s-контуру відповідають точкам народження і анігіляції дисклинацій. Природно, що позиції цих точок можуть бути зафіксовані інтерферометрично як точки народження і анігіляції вихорів компонент.

На цих рисунках наведено інтерферограми, які відповідають різним поляризаційним проекціям випадкового векторного поля, сформованого внаслідок багатократного розсіювання тефлоновою платівкою. Цей вибір було зумовлено необхідністю забезпечити різноманітність поляризаційних ситуацій у площині спостереження. На рисунку (в) в області, що обмежена прямокутником, спостерігається розрив інтерференційної смуги. Така невизначеність інтерференційного поля відповідає точці зародження дисклінацій. Подальше обертання поляризатора призводить до того, що від точки народження дисклінацій у різних напрямках переміщаються вихори різного знака V₂, V₃ (Рис. г). На цьому ж рисунку в зоні, що обмежена білим прямокутником, можна спостерігати новий розрив інтерференційної смуги, що відповідає точці народження ще однієї пари дисклінацій. Рис. (е) відповідає ситуації, коли процес анігіляції вихорів V₃ і V₄ вже відбувся і по всій площині аналізу спостерігаються неперервні інтерференційні смуги, за винятком зони вихору V₂, що продовжує зсув до лівого кута інтерферограми. Світлою лінією на цьому рисунку позначено положення s-контуру.

В роботі також проведено аналіз сіток різнофазових вихорів, які отримано при розкладі векторного поля на циркулярно-поляризовані ортогональні компоненти. В цьому випадку вихори різниці фаз не що інше, як С-точки. В силу властивостей оціночного скалярного поля u для сіток С-точок теж виконується знаковий принцип: на замкненій лінії однакових азимутів знаходиться парна кількість С-точок. При цьому знаки топологічних зарядів сусідніх С-точок чергуються. З властивостей поля u також випливає, що кількість екстремумів азимуту поляризації в дальній зоні набагато менша, ніж кількість С-точок (1/201/14).

Аналогія між векторним та скалярним полями спонукала нас шукати відповідні кореляції між різними параметрами векторного поля, оскільки, як було показано вище, такий зв'язок притаманний скалярному полю. Було розраховано середні градієнти інтенсивності в областях поля, де поляризаційні характеристики поля змінюються мало. Виявилось, що відношення квадрата модуля такого градієнта до квадрата модуля середнього градієнта в решти ділянках поля має вигляд:

(18)

де - характеризує, наскільки відрізняються середні інтенсивності ортогональних компонент. Наприклад, для суто випадкового поля =1. І відповідно, прямує до 2.

Отже, в областях з повільною зміною поляризаційних характеристик інтенсивність має відносно великий модуль градієнта. Це передбачення перевірено за допомогою комп'ютерного моделювання. На рис. 9б темніші області відповідають областям з малими поляризаційними змінами. Світліші області - зони з відносно швидкими змінами інтенсивності. Як видно з рисунка, темні області прагнуть розташуватися біля світлих.

Для глибшого розуміння процесів формування структури векторного поля нами розглянуто елементарні поляризаційні сингулярності, що містять на s-контурах мінімальну кількість вихорів різниці фаз - два вихори. У цьому випадку поле може бути представлено як суперпозиція двох ортогонально-поляризованих вихрових пучків.

Було показано, що зона, в якій спостерігаються значні зміни поляризації, має розміри, сумірні з відстанню між центрами вихрових пучків. Розташування та розміри s-контурів залежать від різниці фаз між пучками (рис.10). Структура, розміри s-контурів мало залежать від фазової структури вихрових пучків, якщо ця структура обох пучків подібна.

На рис. наведено результати експериментального моделювання елементарних поляризаційних структур для різної різниці фаз між практично ізотропними вихровими пучками. Локалізацію відповідних s-контурів знайдено за допомогою розробленої інтерференційної методики.

Отримані результати було розповсюджено на випадок квазіоднорідно-поляризованих полів. У цьому випадку поле може бути розкладено на ортогональні за поляризацією компоненти з сумірними середніми інтенсивностями. Природно, що сітки вихорів компонент, для такого розкладу, подібні і, як наслідок, вихори різних компонент одного знака розташовані поруч. При цьому чим більше подібні компоненти, тим менша середня відстань між такими вихорами. Отже, фізична ситуація, що виникає, може бути зведена до попереднього розгляду. Області, в яких спостерігаються значні поляризаційні зміни, локалізовані в зонах нулів амплітуди компонент. Розміри цих областей визначаються відстанню між дислокаціями одного знака (кореляцією між компонентами).

У четвертому розділі аналізуються методичні основи сингулярної оптики.

В лінійному наближенні комплексні амплітуди кожної з компонент поля в деякий точці описуються виразом

(19)

де l=x,y,z, , , , , ,,, індекс i відповідає i-му вторинному джерелу в полі, що сформовано безпосередньо за об'єктом.

Можна показати, що для випадкового поля коефіцієнти незалежні випадкові величини, з яких хоча б один не дорівнює 0. Більше того, в силу векторної природи оптичного поля, навіть коли воно детерміновано, одна з компонент обов'язково відмінна від 0. В цьому сенсі, “оптичні сингулярності” електромагнітного поля фізично не існують і можуть бути розглянуті як певні наближення або моделі. Наприклад, поле може вважатися в деякій області нульовим, якщо нулі амплітуди, які асоціюються з різними компонентами поля, знаходяться на відстані, що не перевищує за розмірами елемента просторової роздільної здатності засобів дослідження поля (в граничному випадку опромінюючого світла).

Розглянуто ситуацію поблизу точки "нуля" амплітуди. В рамках скалярного підходу при наближенні до точки нуля градієнт фази поля необмежено зростає, що призводить до різкої зміни напрямку хвильового вектора і повної його невизначеності у точці нуля амплітуди. Проте в рамках запропонованого підходу хвильовий вектор визначається всіма трьома компонентами поля. Оскільки просторовий масштаб модуляції поля для різних компонент сумірний, то можна стверджувати, що швидкість зміни хвильового вектора у точці “нуля” амплітуди сумірна швидкості зміни хвильового вектора у будь-якій іншій точці поля.

Деякі приклади характерної поведінки поля в області такого “абсолютного” нуля представлено на рис.13. а) - близько розташовані нулі з одним знаком топологічного заряду. б) - вихори компонент мають різні знаки. в),г) - поведінка поля, при наявності в компонентах крайових дислокацій.

У п'ятому розділі розглянуто проблему відновлення характеристик оптичних полів за їх квадратом модуля амплітуди, характеристики зображень, що відновлені із безопорних голограм.

Проблему якості зображень, що відновлені з безопорної голограми, можна розглядати у двох аспектах. Перший - передаючі властивості безопорної голограми. Іншими словами, наскільки відновлене зображення збігається з початковим. Насамперед це передача деталей зображення у порівнянні з роздільною здатністю оптичної системи спостереження. Основною причиною розмиття зображень, які відновлені з безопорної голограми є їх кореляційна природа. Можна показати, що розмиття точки описується співвідношенням: