При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t. Тогда будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.

Если концы струны закреплены, то должны выполняться граничные условия

, .

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

,

.

Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где и - заданные функции точки.

Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (1.1.1) принимают другой вид:

, ,

где и - заданные функции времени t.

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса x=0 отклонение

;

на свободном конце x=l натяжение пружины

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

.

Если конец x=0 движется по определенному закону , а при x=l задана сила , то

.

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x=l

 или ,

при котором конец x=l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид

.

Условие упругого закрепления при x=0 имеет вид

.

Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x=0:

§ граничные условия 1-го рода - заданный режим,

§ граничное условие 2-го рода - заданная сила,

§ граничное условие 3-го рода - упругое закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x=l. Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [2].

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье

Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t>0 уравнению

в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.

Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида (где непрерывны в , непрерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем

.

Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе

.

Таким образом, должны выполняться тождественно

,

,

причем функция должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) - собственными функциями краевой задачи.

Суть метода Фурье:

1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции получаем краевую задачу;

2) решаем краевую задачу для функции . Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения;

3) для каждого собственного значения находим решение уравнения (1.2.3);

4) таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида ;

5) возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям .Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1 Основные определения

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны

колебание уравнение математический физика

Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением

Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b₁ и b₂, закрепленная по краям (рис.1). Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

и граничных условиях

.

Краткое решение задачи (2.2.1) - (2.2.3) приведено в книге [4], где были получены следующие результаты.

Функция имеет вид

,

где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

.

А коэффициенты и равны:

,

.

Найдем решение задачи при других граничных условиях.

Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях

и граничных условиях

.

Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем

.

Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая - только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

,

где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :

,

а для функции следующую краевую задачу:

Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду

.

Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая - только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:

1.

2.

где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .

,

,

,

.

Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:

(2.2.11)

(2.2.12)

- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.

1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид

,

т. к. характеристическое уравнение имеет корни .

Учитывая граничные условия, получаем:

т.к. - действительно и положительно, то .

2) При нетривиальных решений тоже не существует.

3) При общее решение уравнения имеет вид

.

Учитывая граничные условия, получаем:

, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно

Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):

Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции

,

где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице

.

Вычислим отдельно интегралы в равенстве:

Тогда,

.

Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

.

Собственным значениям соответствуют решения уравнения :

,

где и - произвольные константы.

Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) - (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид

.

Тогда общее решение запишется в виде

,

где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны:

,

.

В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.

2.3 Расчет уравнения колебаний мембраны при заданных дополнительных условиях

Пренебрегая реакцией окружающей среды определить поперечные колебания однородной прямоугольной мембраны, 0 ? x ? s, 0 ? y ? p с жестко закрепленным краем для случая когда начальное отклонение мембраны равно sinsin(), а начальная скорость равна нулю.

Записав эти условия математически, получим задачу:

Найти функцию u(x, y; t) из условий

(x, y) П, t > 0

(x, y) П (2.3.1)

(x, y) П

0 < y < s, 0 < t < T

0 < x < p, 0 < t < T

Где через П обозначен прямоугольник

П={(x, y): 0 ? x ? s, 0 ? y ? p}

Шаг 1. Предварительные рассуждения.

(2.3.2)

Если искать решение задачи (1. 1) в виде двойного ряда то, подставив этот ряд в уравнение , получим то что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:

Поделив это равенство на получим:

(2.3.3)

Так как слева стоит функция, зависящая от t, а справа - от (x, y), то это возможно только если и левая и правая части этого равенства равны константе. Итак, такая, что

Но сумма функций, одна из которых зависит только от, а вторая - только от, может быть константой только в случае, если обе функции - константы. Тогда и такие, что

Таким образом, естественно начать решение задачи (1.1) с решения двух задач Штурмана - Лиувилля - для и для .

Шаг 2. Решение двух задач Штурма - Лиувилля

Краевые условия дают для функций и выполнение равенств:

X(0) = X(p) = 0, Y(0) = Y(s) = 0 (2.3.5)

Таким образом, функции и есть решение задачи Штурман - Лиувилля

(2.3.6)

Выпишем результат:

Существует бесконечное множество нетривиальных решений

Первой задачи (1.6) и бесконечное множество нетривиальных решений

Второй задачи (1.6).

В силу соотношения для функции имеем уравнение:

Используем начальные условия.

Разложим функцию и в ряд по собственным функциям Штурма - Лиувилля:

В данном случае коэффициенты разложения найти гораздо проще, чем обычно, поскольку, а функция имеет в точности вид одного из слагаемых соответствующего ряда. А именно:

Поэтому

при всех k и n. (2.3.10)

А поскольку начальное условие будет заведомо выполнено, если (0) = , а второе начальное условие , если , то для функций (t) имеем задачу Коши:

Шаг 3. Решаем задачу (1.11).

Общее решение этого линейного однородного уравнения второго порядка, с учётом, что имеет вид:

где произвольные постоянные.

Подставим во второе начальное условие получим, что откуда

Из первого начального условия сразу получаем, что и наконец, получаем, что решение задачи Коши(1.11) задаётся формулой:

, t (2.3.12)

С учётом, что всегда, за исключением случая k=n=1, а из (1.13) получаем

(2.3.13)

Поэтому после подстановки найденных в искомый вид решения

получим, что от ряда останется только одно слагаемое:

=

Ответ:

где,

2.4 Анализ расчета алюминиевой мембраны при заданных начальных условиях

Даны стороны прямоугольной мембраны s = 0,4м, p = 0,5м, толщина h =0,01м, поверхностная плотность с = 2700кг/м², модуль Юнга E = 7·10¹⁰Па. (см. Приложение)

Подставив эти данные в рассчитанную формулу (2.3.14) построим графики колебаний мембраны в определенных точках.

Глядя на зависимости, можно с уверенностью сказать, что уравнение колебаний не зависит от материала и его свойств. Прогиб зависит от размеров мембраны и от первоначальной нагрузки, так как в нуле перемещении нет.

Заключение

В данной квалификационной работе были рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, изучен один из наиболее распространенных методов решения подобных уравнений - метод Фурье, решены две краевые задачи для уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

По результатам решения задач можно сделать следующий вывод:

· функция, описывающая прогиб мембраны напрямую зависит от своих граничных условий.

В данной работе некоторые утверждения были взяты без доказательства либо без вывода. Например, уравнение колебаний прямоугольной мембраны использовалось без вывода, т. к. его рассмотрение требует более глубокого знания законов физики. Таким образом, можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

1. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. - М.: Наука, 1969. - С. 114 - 144.

2. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1974. - С. 165 - 170.

3. Матвеев, Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. пос. для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвеев. - М.: Просвещение, 1988. - С. 131 - 187.

4. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - С. 23- 44, 82-88, 426 - 427

Размещено на Allbest.ru