Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Рівненський державний технічний університет

Кафедра фізики

Властивості напівпровідникових кристалів

Рівне, 2001

1. Явища переносу в напівпровідниках

§1. Кінетичне рівняння Больцмана

В рівноважних умовах розподіл електронів ідеальної кристалічної гратки по енергіях описується (§ 2.1) функцією Фермі-Дірака f(E) (чи Максвелла-Больцмана для невиродженого електронного газу), яку в подальшому позначатимемо як f₀. Якщо ж реальний кристал, тобто кристал з недосконалостями, помістити в зовнішнє поле (електричне, магнітне, температурне тощо), то на електрони одночасно починають діяти сили двох типів. З одного боку, зовнішні сили намагаються надати електронам впорядкованого руху. А з іншого боку, внутрішні сили, зумовлені недосконалостями кристалічної гратки, намагаються повернути електронний газ в стан хаотичного руху. Відмітимо, що в ідеальній гратці, де внутрішні сили відсутні, зовнішні сили змогли б надати електронам нескінченної швидкості, що свідчило б про відсутність опору.

При одночасній дії обох сил швидкість зміни функції розподілу:

, (3.1)

де перший доданок враховує внутрішні сили, а другий - зовнішні. Зрозуміло, що тут f - нерівноважна функція розподілу, яка не співпадає з f₀. Рівняння (3.1) називається кінетичним рівнянням Больцмана.

В стаціонарному стані і тому:

, (3.2)

тобто, обидва конкуруючі процеси зрівноважуються і встановлюється стаціонарна (нерівноважна) функція розподілу, яку при не дуже сильних відхиленнях від рівноважності можна представити як

, (3.3)

де .

Якщо зовнішні сили вимкнути, то f прямує до f₀, тобто електронна система повертається в рівноважний стан. Цей процес називається релаксацією. Рівноважність в цьому випадку досягається лише за рахунок внутрішніх сил. Будемо вважати, що швидкість релаксації пропорційна відхиленню від рівноваги:

, (3.4)

де ф - час релаксації, який залежить від механізму взаємодії електронів з недосконалостями кристалічної гратки. В подальшому цей процес взаємодії називатимемо розсіянням носіїв струму.

Проінтегрувавши (3.4), отримаємо:

. (3.5)

Звідси видно, що ф - це час, на протязі якого відхилення від рівноваги зменшується в е разів. Розсіяння носіїв можна розглядати як їх зіткнення з дефектами гратки. Тоді час релаксації повинен інтерпретуватись як середній час між двома послідовними зіткненнями, тобто як середня тривалість вільного пробігу електронів , де - середня довжина вільного пробігу електронів, а х - середня швидкість їх теплового (хаотичного) руху.

З врахуванням (3.2, 3.4) стаціонарна функція розподілу набуде вигляду:

; (3.6)

це рівняння також називають кінетичним рівнянням Больцмана.

Нехай зовнішня сила зумовлена електричним полем, напрямленим вздовж осі х. Тоді:

, (3.7)

де р_х - складова квазіімпульсу електрона (дірки) вздовж осі х, а - сила, що діє на носій з боку електричного поля напруженістю .

Вважаючи закон дисперсії параболічним () і поклавши , отримаємо:

. (3.8)

Відмітимо, що тут х - швидкість теплового (хаотичного) руху носіїв. Підставивши (3.8) у (3.7), отримаємо остаточний вираз кінетичного рівняння Больцмана для кристалу, що перебуває в електричному полі:

. (3.9)

§2. Електропровідність напівпровідників

Розглянемо напівпровідник n-типу, який перебуває в електричному полі напруженістю , напрямленою вздовж осі х. Виберемо групу електронів с-зони, енергія яких лежить в інтервалі від Е до . Концентрація таких електронів (§ 2.3) виражається формулою:

(3.10)

Заряд, який переноситься цими електронами в напрямку осі х через нормальну площадку площею S за час dt:

, (3.11)

а елементарна густина струму, з врахуванням (3.10):

. (3.12)

Повна густина струму, зумовлена всіма електронами с-зони:

. (3.13)

При підстановці в цей інтеграл замість виразу (3.9) врахуємо, що в рівноважних умовах струму немає, і що електрони дрейфують проти поля. І тому:

. (3.14)

Будемо вважати в подальшому електронний газ невиродженим (2.3), а закон дисперсії параболічним (2.10). Оскільки всі напрямки хаотичного руху електронів рівноправні, то із закону дисперсії:

. (3.15)

Густина станів задається формулою (2.14), а з врахуванням (2.30):

. (3.16)

Підставляючи (3.15), (2.14), (3.16), (3.14), з використанням нової змінної , отримаємо:

. (3.17)

Час релаксації залежить від енергії носіїв, при цьому по різному для різних механізмів розсіяння, і тому, ввівши середній час релаксації

, (3.18)

матимемо остаточний вираз для густини струму:

, (3.19)

де n - концентрація носіїв струму.

В слабких електричних полях ні концентрація носіїв, ні середній час релаксації від напруженості поля не залежать. І тому, ввівши позначення

, (3.20)

отримаємо закон Ома в диференційній формі:

, (3.21)

де у - питома електропровідність (в подальшому, просто електропровідність) напівпровідникового кристалу.

З другого боку, як показано в курсі “Загальної фізики”, вектор густини струму виражається через середню швидкість напрямленого руху, так звану дрейфову швидкість електронів:

. (3.22)

Порівнявши (3.19) з (3.22), отримаємо:

. (3.23)

Дрейфову швидкість, яку набувають електрони в полі одиничної напруженості, називають їх рухливістю:

. (3.24)

З врахуванням (3.24) отримаємо вираз для електропровідності монополярного (n-типу) напівпровідника:

. (3.25)

Якщо електропровідність напівпровідника забезпечується носіями обох знаків, тобто електронами і дірками, то:

, (3.26)

де - рухливість дірок, а р - їх концентрація.

§3. Температурна залежність рухливості носіїв

Отже, електропровідність напівпровідників в слабких електричних полях одночасно визначається концентрацією та рухливістю носіїв струму. Температурну залежність концентрації носіїв струму ми розглянули в §§ 2.4-2.6 Тут же проаналізуємо температурний хід рухливості носіїв, яка у відповідності з (3.24) визначається їх ефективною масою і середнім часом релаксації. У випадку простих зон у формулі (3.24) під розуміють ефективну масу носіїв. Якщо ж зони складні (мал. 1.17), то необхідно користуватись ефективною масою провідності . Зокрема, для валентної зони, яка включає зони легких і важких дірок з ефективними масами і , відповідно:

.

Для розрахунку середнього часу релаксації необхідно знати енергетичну залежність ф. Для різних механізмів розсіяння ця залежність описується виразом:

, (3.27)

де має вигляд степеневої функції, а - при розсіянні на акустичних фононах; - при розсіянні на оптичних фононах, якщо , де - температура Дебея (- максимальна циклічна частота оптичних фононів: див. мал. 1.25); р = 0 - при розсіянні на оптичних фононах при ; - при розсіянні на іонізованих домішках; р = 0 - при розсіянні на нейтральних дефектах.

Підстановка (3.27) у (3.18), а потім у (3.24) дає наступні температурні залежності рухливості носіїв для різних механізмів розсіяння:

; (3.28)

при ; (3.29)

при ; (3.30)

; (3.31)

де визначається для кожного механізму через всесвітні константи і характеристики напівпровідника, - концентрація іонізованих домішок. Рухливість, лімітована розсіянням на нейтральних дефектах, від температури не залежить, а визначається лише їх концентрацією.

Як правило, в напівпровідниках одночасно може діяти декілька механізмів розсіяння. Оскільки ймовірність розсіяння W~, то, розглядаючи кожен акт розсіяння як незалежну подію, для ймовірності складної події запишемо: . І тому, ввівши ефективний час релаксації , отримаємо закон аддитивності обернених часів релаксації:

.

Тоді результуюча рухливість, лімітована одночасно декількома механізмами розсіяння, у відповідності з (3.24) запишеться:

, (3.32)

де визначається формулою (3.27) для відповідних механізмів.

Точний, але складний розрахунок за (3.32) можна замінити наближеним законом аддитивності обернених рухливостей (правилом Маттісена):

, (3.33)

де - рухливість, лімітована окремими механізмами розсіяння.

Основними механізмами розсіяння є: розсіяння на коливаннях кристалічної гратки (акустичних - в Ge, Si; оптичних - в GaAs, ІnSb, CdTe тощо) та розсіяння на іонізованих домішках. І тому:

, (3.34)

де не залежить від концентрації домішок, а ~. Для кристалів різного ступеня чистоти температурна залежність результуючої рухливості носіїв показана на мал.3.1. Видно, що при високих температурах визначальним є розсіяння на коливаннях гратки, при низьких же температурах - на іонізованих домішках, при цьому вклад цього механізму тим помітніший, чим вища концентрація іонізованих домішок N_І.

Оскільки в компенсованих напівпровідниках (наприклад, n-типу) , то з аналізу експериментальної температурної залежності рухливості носіїв можна знайти, використавши (3.34), спочатку , а потім , а з врахуванням температурної залежності концентрації носіїв (§2.6) - концентрації як донорів [Д], так і компенсуючих акцепторів [A].

Отже, для того, щоб встановити кількісний склад домішкової системи напівпровідникового кристалу, необхідно мати температурні залежності як концентрації носіїв, так і їх рухливості. Однак, вимірювання електропровідності (питомого опору ) (3.25) дозволяє встановити лише добуток (чи ). І тому необхідний додатковий ефект для незалежного визначення концентрації носіїв, яким є ефект Холла.

§4. Ефект Холла в напівпровідниках

Ефект Холла належить до гальваномагнітних явищ, які мають місце, коли напівпровідник перебуває одночасно в електричному і магнітному полях. Помістимо однорідний монополярний напівпровідник (наприклад, р-типу) у вигляді прямокутного паралелепіпеда в магнітне поле так, що вектор індукції поля перпендикулярний до вектора густини струму і, тим самим, до дрейфової швидкості носіїв .

Відомо, що на рухомий заряд в магнітному полі діє сила Лоренца:

, (3.35)

де “±” символізує знаки носіїв.

Оскільки , то сила Лоренца відіграє роль доцентрової сили, яка викривлює траєкторію носіїв, тим самим забезпечуючи їх накопичення біля однієї грані та дефіцит біля протилежної грані.

Таким чином, виникає поперечне електричне поле (так зване холлівське поле) напруженістю . Це явище називається ефектом Холла.

В подальшому розгляд цього ефекту будемо проводити для слабкого магнітного поля, коли період обертання носія Т по коловій орбіті в магнітному полі значно більший від часу релаксації: . Іншими словами, це означає, що магнітне поле слабо впливає на рівноважну функцію розподілу. Прирівнявши силу Лоренца до доцентрової сили, знайдемо радіус колової орбіти і період обертання:

. (3.36)

Об'єднавши (3.36) і (3.24), отримаємо умову слабкого магнітного поля:

. (3.37)

Для більшості напівпровідників при кімнатній температурі (виняток: ІnSb), і тому при умова (3.37) для них виконується достатньо добре.

У відповідності з (3.23) середня дрейфова швидкість носіїв:

.

Підставляючи цей вираз у (3.35), отримаємо:

, (3.38)

тобто напрямок сили Лоренца не залежить від знаку носіїв. А це означає, що для напівпровідникового кристалу n-типу провідності холлівське поле матиме напрямок, протилежний до показаного на мал.3.2.

Сила холлівського поля, що діє на носії струму, протидіє силі Лоренца; рівновага наступить, коли обидві сили зрівняються по величині:

.

Звідси:

, (3.39)

якщо вважати, що сумарне електричне поле () і магнітне поле є взаємно перпендикулярними, що справедливо при виконанні умови слабкого магнітного поля. З врахування (3.19) вираз (3.39) набуде вигляду:

, (3.40)

де n символізує концентрацію носіїв довільного знаку.

Холлівська різниця потенціалів (холлівська напруга) між протилежними гранями кристалу, з врахуванням геометричних розмірів кристалу (мал.3.2):

, (3.41)

де І - сила струму в кристалі, а - постійна Холла кристалу, с - ширина кристалу, b - його товщина.

Більш строгий вивід дає для постійної Холла вираз:

, (3.42)

де r - Холл-фактор, який залежить від механізму розсіяння носіїв. Зокрема, при розсіянні на акустичних фононах; при розсіянні на оптичних фононах і при розсіянні на іонізованих домішках.

Якщо врахувати, що , то - холлівська рухливість носіїв, яка співпадає з дрейфовою рухливістю при . Отже, якщо для монополярного напівпровідника експериментально встановлені значення і , то можна визначити як концентрацію, так і рухливість носіїв. А дослідження температурної залежності цих величин дозволяє отримати інформацію про енергетичне положення і концентрацію домішкових рівнів в кристалі.

Постійна Холла напівпровідників, в яких концентрації носіїв обох знаків співмірні (власна або змішана провідність), описується виразом:

, (3.43)

який переходить в (3.42), якщо між концентраціями має місце сильна нерівність, тобто реалізується монополярна провідність.

Відмітимо, що кристали з відомою постійною Холла викорис-товуються як холлівські датчики магнітного поля.

§5. Електропровідність в сильних електричних полях

В слабких електричних полях виконується закон Ома (3.21), що означає незалежність від напруженості поля електропровідності кристалу, а отже, і концентрації та рухливості носіїв. Але така незалежність (постійність) перестає виконуватись в сильних електричних полях. При цьому сильне поле впливає на обидві характеристики носіїв.

Розгляд почнемо з впливу поля на рухливість носіїв. Раніше ми одержали для дрейфової швидкості носіїв вираз

. (3.44)

В слабкому електричному полі дрейфова швидкість значно менша від середньої швидкості теплового руху носіїв: , бо добавка до рівноважної функції розподілу дуже мала. При високих напруженостях електричного поля може наблизитись до , і відхилення від рівноваги стає суттєвим. В цьому випадку електронний газ має температуру, вищу від температури кристалічної гратки; такі електрони називаються “гарячими”. Їх енергія визначається вже не температурою гратки, а величиною електричного поля:

, (3.45)

де - середня довжина вільного пробігу носіїв.

З другого боку, залежність часу релаксації носіїв від енергії описується виразом, який з врахуванням (3.45) набуде, з точністю до постійного множника, вигляду ф~, де р визначається механізмом розсіяння. Отже, час релаксації в сильному полі перестає бути постійним, а залежить від , при цьому по різному для різних механізмів розсіяння. Це ж саме стосується і рухливості носіїв: м~. Зокрема, при розсіянні на акустичних фононах , а це означає, що в сильному полі рухливість носіїв зменшується з ростом поля; при розсіянні на іонізованих домішках і в сильному полі рухливість збільшується з ростом поля.

В різних напівпровідниках і при різних температурах перехід до області сильного поля відбувається при різних критичних значеннях напруженості поля , які лежать в межах . А це означає, що при фіксованій температурі в області сильного поля може змінитися домінуючий механізм розсіяння з домішкового на гратковий.

Вплив сильного електричного поля на концентрацію носіїв проявляється в трьох ефектах: термоелектронної іонізації (ефект Френкеля), ударної іонізації та тунелювання (ефект Зінера).

Перший ефект полягає в зменшенні під впливом поля енергії іонізації донорів (акцепторів) на величину

, (3.46)

що призводить до польової залежності концентрації носіїв:

. (3.47)

Підставляючи (3.46) у (3.47), отримаємо:

n~,

тобто, із збільшенням поля концентрація зонних електронів (дірок) швидко зростає. Цей ефект стає помітним при .

Ефект тунелювання зумовлений нахилом енергетичних зон в електричному полі. Дійсно, з розв'язку рівняння Шрьодінгера (§ 1.2, 1.3) випливає, що, якщо енергія електрона у відсутності поля -Е, то в полі, направленому вздовж осі х, його енергія: . Нахил зон тим сильніший, чим більша напруженість електричного поля. В цьому випадку електрон з v-зони може перейти в с-зону не тільки термічно (вертикальний перехід), але і тунельно (горизонтальний перехід), переборовши трикутний бар'єр висотою E_g і шириною . Як показано в курсі “Загальної фізики”, прозорість такого бар'єру

Д~,

тобто ймовірність тунелювання тим більша, чим сильніше поле і менша ширина забороненої зони та ефективна маса носіїв струму. Оскільки можливе не тільки міжзонне тунелювання, але і тунелювання “домішка - зона”, то в сильному полі концентрація зонних носіїв суттєво зростатиме як у власних, так і в домішкових напівпровідниках. Характерною ознакою тунельного механізму є незалежність від температури; помітним він стає при полях .

В сильних електричних полях електрони (дірки) можуть набути енергію, достатню для іонізації атомів кристалічної гратки. При цьому виникає електронно-діркова пара нетермічного походження. Такий механізм надлишкової генерації носіїв в електричному полі називається ударною іонізацією. Цей процес має лавиноподібний характер і може викликати пробій напівпровідника. Ударна іонізація в чистих напівпровідникових матеріалах починається при полях , тобто, накладається на ефект тунелювання. Характерною ознакою ефекту ударної іонізації є залежність від температури і концентрації домішок. Зокрема, в домішкових напівпровідниках при низьких температурах може мати місце ударна іонізація мілких домішок. В цьому випадку ефект іонізації починається при значно нижчих полях, оскільки енергія іонізації домішки .

Різні залежності концентрації і рухливості носіїв від напруженості сильного електричного поля спричиняють різноманітні типи вольт-амперних характеристик (ВАХ), тобто залежностей сили струму через напівпровідник від напруги на ньому. Відмітимо, що мова йде про однорідний напівпровідник; в цей же час подібні ВАХ мають місце і в напівпровідникових неоднорідних структурах.

§6. Ефект Ганна

Дисперсійна крива зони провідності кристалів n-GaAs і деяких інших бінарних напівпровідників (ІnP, ІnAs, CdTe). Крім основного мінімуму (зона 1), де ефективна маса електронів , і який розміщений в центрі зони Брилюена, існують вищі мінімуми (зона 2) з ефективною масою електронів . Енергетична відстань між краями зон . Зрозуміло (3.24), що рухливість легких електронів () значно перевищує рухливість важких електронів ().

В рівноважних умовах концентрація електронів в зонах:

; .

Звідси:

. (3.48)

При 300К: , тобто лише 0,25% електронів перебуває у верхній зоні. І тому в слабких електричних полях провідність визначається легкими електронами.

В достатньо сильних полях температура електронного газу може суттєво перевищити температуру гратки (гарячі електрони). Наприклад, при електронний газ має температуру Т_ел= 600К і (3.48) дає: , тобто більшість електронів перебуває у верхній зоні.

При одночасній участі в провідності носіїв обох зон густина струму:

. (3.49)

Якщо сумарна концентрація носіїв в обох зонах n₀, то в слабких полях n₁ = n₀ і:

, (3.50)

а в сильних полях n₂ = n₀ і:

. (3.51)

Оскільки , то ВАХ (мал 3.7) в слабких полях буде мати значно більший нахил, ніж в сильних полях (вважаючи, що важкі електрони не “розігріваються”). Ділянки 1 (3.50) і 2 (3.51) “зшиваються” ділянкою АВ, на якій диференціальна провідність від'ємна: . Отже, за рахунок пере локалізації електронів із зони 1 у зону 2 в сильних полях ВАХ кристалу набуває N- подібного характеру.

Для n-GaAs критична напруженість поля (точка А) , а порогова напруженість поля (точка В)

.

Приведені міркування справедливі для однорідного розподілу поля вздовж зразка. В дійсності навіть в однорідному матеріалі можуть мати місце неоднорідності опору; наприклад, біля контакту, де дефектів більше, за рахунок компенсації формується високоомна ділянка. Якщо середня напруженість поля в зразку дещо менша від , то у високоомній ділянці вона може перевищити . І тому електрони інтенсивно переходять із зони 1 в зону 2, що супроводжується подальшим зростанням опору ділянки, ростом поля в ній і відповідним зменшенням поля в решті зразка. Таким чином, формується область сильного поля - електронний домен.

Розподіл поля і концентрації носіїв вздовж зразка показані на мал 3.8

В області сильного поля рухаються повільні (важкі) електрони. Зліва зону важких електронів будуть наздоганяти швидкі (легкі) електрони, і тому зліва формується область, збагачена електронами, - область від'ємного просторового заряду. Справа швидкі електрони “втікають” від зони повільних електронів і тому виникне область, збіднена електронами, - область додатного просторового заряду. Отже, домен має структуру подвійно зарядженого шару.

При формуванні домен нерухомий. Але, коли дрейфові швидкості електронів в домені і поза ним вирівняються (), домен починає рухатися від катода до анода. На аноді домен зникає і в цей момент стрибком зростає, і на катоді формується новий домен. Поява доменів та їх рух вздовж зразка супроводжується стрибками струму: домен в зразку - струм малий; домен відсутній - струм великий. Таким чином, в зразку виникають коливання струму. Це явище називають ефектом Ганна.

Період коливань визначається часом прольоту домена вздовж зразка довжиною L з дрейфовою швидкістю . Поклавши , отримаємо і для частоти коливань . На основі ефекту Ганна працюють надви-сокочастотні генератори. В сучасних генераторах Ганна досягається частота коливань до 50 ГГц, при потужності в імпульсі до 400кВт.

§7. Термоелектричні явища в напівпровідниках

При наявності в напівпровідниковому кристалі градієнту температури в ньому спостерігається ряд термоелектричних явищ: ефект Зеебека, ефект Томсона і ефект Пелт'є.

Ефект Зеебека полягає у виникненні термоелектрорушійної сили на кінцях напівпровідника, які підтримуються при різних температурах. Оскільки середня енергія носіїв струму та їх концентрація залежать від температури, то в нерівномірно нагрітому кристалі виникнуть градієнти як середньої енергії носіїв, так і їх концентрації. За рахунок цього виникне дифузійний потік носіїв і тим самим термоелектричний струм густиною . Якщо, наприклад, напівпровідник дірковий, то на гарячому кінці виникає негативний, а на холодному кінці - позитивний об'ємний заряд. Коли коло розімкнуте, то між кінцями напівпровідника виникає різниця потенціалів, яка називається термоелектрорушійною силою і яка пропорційна різниці температур:

, (3.52)

де б - питома термо - е.р.с.

Полярність термо е.р.с. визначається в домішкових напівпровід-никах знаком носіїв струму, і тому ефект Зеебека використовується для експресного визначення типу провідності напівпровідникових кристалів.

В загальному, в не вироджених напівпровідниках питома термо - е.р.с. залежить від концентрацій носіїв струму та їх рухливостей:

, (3.53)

де k₀ - постійна Больцмана, а N_v i N_с - ефективні густини станів у відповідних зонах. Зрозуміло, що знак б в монополярних напівпровідниках визначається знаком носіїв струму. У власних напівпровідниках (n = p):

, (3.54)

де , а - ширина забороненої зони. Оскільки, як правило, , тобто , то в цьому випадку .

В напівпровідниках ч , що дозволяє використовувати напівпровідникові матеріали (ZnSb, SnTe, Bi₂Te₃ тощо) для виготовлення термоелектрогенераторів.

Якщо через напівпровідниковий кристал з градієнтом температури пропустити від зовнішнього джерела постійний струм, то в цьому кристалі, крім теплоти Ленца - Джоуля (), виділяється (поглинається) додаткова теплота. Це явище називається ефектом Томсона. Якщо напрямок струму співпадає з напрямком термоелектричного струму, то теплота виділяється, якщо ж струми протилежно напрямленні, то теплота поглинається. Теплота Томсона визначається за формулою:

, (3.55)

де ф - коефіцієнт Томсона напівпровідникового кристалу.

Ефекти Зеебека і Томсона реалізуються в однорідних кристалах при наявності градієнту температури. Якщо ж створити контакт двох різних напівпровідників (або напівпровідника з металом), то при пропусканні через такий контакт постійного електричного струму в області контакту виділяється чи поглинається, в залежності від напрямку струму, додаткова теплота. Це явище називається ефектом Пельт'є. Теплота Пельт'є визначається за формулою:

, (3.56)

де П - коефіцієнт Пельт'є контакту двох речовин.

Три термоелектричні коефіцієнти пов'язані між собою співвідношенями:

; . (3.57)

І тому експериментально, як правило, визначають б та температурну залежність , а за формулами (3.57) розраховують коефіцієнти Пельт'є і Томсона. Поглинання теплоти за рахунок ефектів Пельт'є і Томсона використовується в напівпровідникових термоелектричних холодильниках.

Якщо кристал з градієнтом температури помістити в магнітне поле, то виникне ряд нових явищ, які називаються термомагнітними. Ці явища не мають технічного застосування, але інколи бувають корисними (чи шкідливими) в наукових дослідженнях.

2. Оптичні та фотоелектричні властивості напівпровідників

§1. Взаємодія світла з речовиною. Оптичні характеристики кристалів

напівпровідник кінетичний електричний поле

Коли світлова, тобто електромагнітна, хвиля падає на кристал, то складові цієї хвилі - електричне і магнітне поле - взаємодіють як з кристалічною граткою в цілому, так і з електронами в енергетичних зонах. При цьому спостерігається ряд явищ, основними з яких є відбивання і поглинання світла.

Основними оптичними характеристиками кристалів є коефіцієнти відбивання R, пропускання Т і поглинання б, які залежать від довжини (частоти) хвилі л(н). Якщо на кристал падає монохроматичне світло з довжиною хвилі л і інтенсивністю І_0л, а інтенсивність відбитого світла І_Rл і пропущеного світла І_Тл, то: коефіцієнт відбивання ; коефіцієнт пропускання ; коефіцієнт поглинання . Ці означення справедливі лише в області лінійної оптики, коли інтенсивність світла настільки мала, що ні фононний, ні електронний спектр кристалу не змінюється суттєво під дією світла. В цьому випадку оптичні характеристики не залежать від інтенсивності світла. При великих інтенсивностях (потужне лазерне випромінювання) як фононний, так і електронний спектри перебудовуються, оптичні характеристики починають залежати від І - настає область нелінійної оптики. В подальшому будемо розглядати лише явища лінійної оптики.

Оптичні коефіцієнти пов'язані між собою законом Бугера-Ламберта, який при врахуванні відбивання лише на передній грані кристалу має вигляд:

, (4.1)

де d - товщина кристалу.

При врахуванні багаторазового відбивання на обох гранях закон Бугера-Ламберта запишеться:

. (4.2)

При сильному поглинанні, коли :

. (4.3)

Експериментально визначають R_л і Т_л, а за формулами (4.1-4.3) розраховують б_л. Залежності R(л) або R(hн) називають спектрами відбивання, а залежності б(л) або б(hн) - спектрами поглинання.

При взаємодії світла з речовиною повинні виконуватись закони збереження енергії та імпульсу для акту взаємодії електрона з фотоном, енергія якого hн і імпульс , де - хвильвий вектор фотона:

; . (4.4)

Тут Е, - енергія та квазіімпульс електрона до взаємодії, відповідно: - ці ж самі характеристики після взаємодії.

В різних областях спектру домінують наступні механізми поглинання:

власне або фундаментальне поглинання, пов'язане з переходами електронів під дією світла між v-i с-зонами;

екситонне поглинання, пов'язане з цими ж переходами, але з дефіцитом енергії фотона;

домішкове поглинання, пов'язане з переходами електронів між домішковими рівнями і зонами;

міждомішкове і внутрідомішкове поглинання;

поглинання вільними носіями в зонах;

селективне поглинання, пов'язане з переходами електронів (дірок) між окремими вітками с- або v-зони;

фононне поглинання або поглинання коливаннями кристалічної гратки.

§2. Власне поглинання

Оскільки власне поглинання зумовлене міжзонними переходами електронів, то необхідно врахувати положення екстремальних точок дисперсійних кривих енергетичних зон в -просторі. Зокрема, якщо , що реалізується в кристалах GaAs (CdTe, InSb тощо), то переходи між зонами будуть вертикальними, прямими. Якщо ж екстремальні точки лежать в різних точках -простору, то , що реалізується в непрямозонних напівпровідниках (Ge, Si), то переходи будуть косими, непрямими. Прямі переходи. На мал 4.2 показані дисперсійні криві і поглинальний перехід в прямозонному напівпровіднику. Оскільки смуги власного поглинання лежать у видимій і близькій інфрачервоній області (), а довжина хвилі зонних електронів , то виконуються достатньо сильні нерівності: і . Таким чином, в законі збереження імпульсу (4.4) можна знехтувати імпульсом фотона, тобто:

; , (4.5)

що є ознакою прямого переходу.

Із закону збереження (4.4) енергія фотона, який забезпечує поглинальний перехід:

. (4.6)

Якщо в обох зонах закони дисперсій є параболічними, тобто:

, , то:

, (4.7)

де - приведена ефективна маса електронно-діркової пари. Отже, в цьому випадку поглинатимуться фотони з енергією, не меншою ширини забороненої зони Eg.

Коефіцієнт власного поглинання визначається як густиною станів в зонах, так і ймовірністю взаємодії фотона з електроном. Теоретичний розрахунок дає наступну спектральну залежність цього коефіцієнту:

, (4.8)

де А - постійна, яка виражається через всесвітні константи і характеристики напівпровідника.

І тому зручно спектр власного поглинання представляти у вигляді (мал 4.3) залежності , що дозволяє визначати ширину забороненої зони при різних температурах через енергію фотонів, для яких (на малюнку з ростом температури Eg зменшується). Відмітимо, що “хвости” поглинання при зумовлені іншими механізмами, зокрема, впливом порушеного поверхневого шару напівпровідникових кристалів, а також проявом поглинання мілкими домішками. І тому для точного визначення ширини забороненої зони прямо зонних напівпровідників використовують дуже чисті кристали з досконало підготовленою поверхнею (сколи).

Перехід неможливий, якщо враховувати лише взаємодію фотона з електроном, бо він йде з порушенням закону збереження імпульсу:

,

.

І тому необхідно врахувати взаємодію трьох частинок: електрона, фотона і фонона. Тоді закон збереження імпульсу (4.4) запишеться:

, (4.9)

або, якщо знехтувати імпульсом фотона:

, (4.10)

де - хвильовий вектор фонона; знак “+” відповідає поглинанню (зникненню) фонона, а знак “-“ - випромінюванню (породженню) фонона.

Для формулювання закону збереження енергії потрібно використати прямі віртуальні переходи: перехід 2 з наступним поглинанням фонона з енергією і перехід 3 з наступним випромінюванням фонона з такою ж енергією:

. (4.11)

Зрозуміло, що ймовірність процесів за участю фононів пропорційна кількості фононів, яка визначається функцією розподілу Бозе-Ейнштейна (2.5).

Розрахунок спектральної залежності коефіцієнта поглинання світла при непрямих переходах дає:

, (4.12)

де перший доданок описує процеси з поглинанням, а другий - з випромінюванням фононів; С₁ і С₂ - коефіцієнти пропорційності.

І тому зручно спектри пропускання в цьому випадку представляти у вигляді залежності , яка описується двома прямолінійними ділянками, перетин яких з віссю енергії дає значення (поглинання фононів) та (випромінювання фононів). При низьких температурах фононів дуже мало і ділянка 1, яка описує процеси з поглинанням фононів, виражена слабо. Хоч в кристалічній гратці існують різноманітні фонони, в процесах поглинання беруть участь лише такі фонони, які забезпечують виконання закону збереження імпульсу для конкретного напівпровідника при певних температурах.

Оскількі ймовірність одночасної взаємодії двох частинок значно більша, ніж для взаємодії трьох частинок, то . Так, для Ge i Si: , а

Напівлогарифмічному масштабі показано спектр власного поглинання кристалів Ge при кімнатній і азотній температурах. Ділянка І, зумовлена поглинанням з непрямими переходами, дає порогове значення енергії при 300К, рівне 0,64еВ, що відповідає так званій термічній ширині забороненої зони. В цей же час ділянка ІІ, яка зумовлена поглинанням з непрямими переходами, дає при 300К порогове значення енергії 0,81еВ, що відповідає так званій оптичній ширині забороненої зони. При пониженні температури ці порогові значення енергії зростають.

Екситонне поглинання. При низьких температурах, крім звичайного власного поглинання світла з , при якому генеруються вільні електрони в с-зоні і дірки у v-зоні (мал 4.7а), можливе таке збудження електрона валентної зони, при якому він не переходить в с-зону, а утворює (мал 4.7б) зв'язану пару “електрон-дірка”, яка називається екситоном. Зрозуміло, що енергія збудження екситона .

Екситон можна розглядати як воднеподібний атом і тому для енергії екситона рівняння Шрьодінгера при k = 0 дає вираз (див. 1.27):

, (4.13)

де - приведена маса екситона, n - квантове число, яке визначає різні стани екситона (n = 1,2,3... .).

В екситоні електрон і дірка пов'язані кулонівською силою, і тому таке збудження переміщується по кристалу як цілісне утворення. Генерація екситонів проявляється на спектрах поглинання у вигляді вузьких піків за краєм власного поглинання (). Енергія зв'язку екситона складає соті долі електрон-вольта, тому при високих температурах енергія теплового руху забезпечує дисоціацію (розпад) екситона на вільні електрон і дірку. Відмітимо, що дослідження екситонного поглинання дозволяє дуже точно визначати ширину забороненої зони та її температурну залежність, особливо, в прямозонних напівпровідниках.

§3. Поглинання світла, зумовлене домішками

Цей вид поглинання включає як активне домішкове поглинання, коли електрон (дірка) переводяться світлом з домішки у відповідну зону, так і міждомішкове і внутрідомішкове поглинання, коли вільні носії в зонах не з'являються. Можливі оптичні переходи в напівпровідниках з домішками показані на енергетичних діаграмах (мал. 4.8), де випадки а,б відповідають некомпенсованим напівпровідникам n- і р-типу, а випадки в,г - компенсованим. Зрозуміло, що оптичні переходи під дією відповідного кванту світла можливі з рівнів, які частково чи повністю заповнені електронами, на рівні, які частково чи повністю порожні. А ступінь заповнення однозначно визначається положенням рівня Фермі F.

Приведені на мал. 4.8 поглинальні переходи можна розділити на три типи: І - поглинання мілкими домішковими рівнями, зумовлені переходами між рівнем і близькою зоною; ІІ - поглинання глибокими домішковими рівнями, зумовлені переходами між рівнем і віддаленою зоною; ІІІ - поглинання донорно-акцепторними парами (ДАП), зумовлене переходами між акцепторним і донорним рівнями. Якщо врахувати, що енергія іонізації мілких домішок складає декілька сотих електрон-вольта, то смуги поглинання типу І лежать в далекій ІЧ - області () (мал. 4.9). Широка неструктурована смуга зумовлена переходами з основного стану домішкового центру; вузькі максимуми формуються за рахунок збуджених станів центру (n = 2,3,4... у формулі 1.27). Чітка структура домішкового поглинання мілкими центрами проявляється при дуже низьких температурах, коли k₀T значно менше від енергії іонізації домішки.

Оскільки , то смуга поглинання (Б) типу ІІ лежить поряд з низькоенергетичним краєм фундаментальної смуги (А) і, як правило, зливаються з нею (мал. 4.10). І тому дуже часто в ранніх оптичних дослідженнях ці смуги поглинання глибокими центрами помилково інтерпретувались як прояв непрямих переходів власного поглинання.

У сильно легованих і компенсованих напівпровідниках донори і акцептори утворюють пари, поглинальні переходи між компонентами яких формують смуги типу ІІІ. В цьому випадку енергія поглинутих фотонів визначається не лише енергетичним положенням рівнів донорів і акцепторів, а також просторовою відстанню (r) між ними:

, (4.14)

де останній член враховує потенціальну енергію кулонівської взаємодії донора і акцептора. Оскільки в кристалі можуть формуватись ДАП з різними (дискретними) відстанями між компонентами, то відповідні смуги поглинання, як правило, структуровані, де кожен максимум

зумовлений певною просторовою конфігурацією ДАП. Зрозуміло, що спектр поглинання ДАП дуже чутливий до технологічних умов вирощування і після ростового охолодження кристалу, які є визначальними у формуванні ДАП різної конфігурації.

§4. Поглинання світла вільними носіями

Взаємодія світла з вільними (зонними) носіями зводиться до задачі про рух електрона (дірки) в змінному електричному полі світлової хвилі , тобто, до вимушених коливань електрона. Енергія, яку отримує при цьому електрон, забезпечить йому можливість перейти на вищі енергетичні рівні в межах однієї зони. Зрозуміло, що такі переходи

повинні бути обов'язково непрямими, тобто, із зміною квазіімпульса (хвильового вектора) електрона. Ця зміна може забезпечитись взаємодією з домішками чи з коливаннями кристалічної гратки (фононами). І тому коефіцієнт поглинання світла в цьому випадку повинен залежати від механізму розсіяння носіїв струму. Теорія дає наступну залежність коефіцієнта поглинання від концентрації електронів n і частоти світла щ:

, (4.15)

де - коефіцієнт поглинання світла.

З іншого боку, час релаксації залежить від енергії електрона: . З врахуванням значень р для різних механізмів розсіяння (§ 3.3) і того, що , отримаємо наступну залежність б від довжини світлової хвилі: б ~, що, зокрема, дає б ~ при розсіянні на акустичних фононах і б ~ при розсіянні на іонізованих домішках. Зрозуміло, що спектральна залежність б(л) плавна і тому таке поглинання називається неселективним. На смугу неселективного поглинання може накладатись селективне поглинання, зумовлене прямими переходами електронів (дірок) між окремими підзонами, наприклад, валентної зони.

§5. Генерація і рекомбінація носіїв струму (загальні поняття)

Процес появи вільних носіїв в зонах називається генерацією. Розрізняють наступні види генерації: теплова, оптична, радіаційна, інжекція через бар'єрну структуру. Крім цього, в сильних електричних полях реалізується такий механізм генерації як ударна іонізація. Теплова генерація є рівноважною, бо лише в цьому випадку концентрація носіїв описується рівноважною функцією розподілу, єдиним, спільним для електронів та дірок, рівнем Фермі Усі інші види генерації є нерівноважними, і для розрахунку концентрації нерівноважних носіїв струму можна використовувати формули і лише формально, ввівши поняття квазірівнів Фермі, окремих для електронів і дірок. Зрозуміло, що в цьому випадку добуток (див.(2.33)).

Відмітимо, що часто оптичну і радіаційну генерації об'єднують одним терміном - фотоелектрична генерація, а явище генерації зонних носіїв струму під дією світла чи жорсткої радіації називають внутрішнім фотоефектом.

В залежності від характеру енергетичного переходу теплова і фотоелектрична генерація може бути біполярною, коли в результаті міжзонних переходів виникають одночасно вільні електрони та дірки, і монополярною, коли в результаті переходів “домішковий рівень - зона” генеруються носії одного знаку. В обох випадках забезпечується умова електронейтральності, правда, лише тоді, коли генерація - об'ємно однорідна.

Темп генерації описуватимемо швидкістю генерації g, що чисельно рівна кількості зонних носіїв струму (електронно-діркових пар, при біполярній генерації), які виникають в одиниці об'єму кристалу, за одиницю часу. При фотоелектричній генерації ця швидкість пропорційна кількості поглинутих за одиницю часу, в одиничному об'ємі фотонів N_ф:

, (4.16)

де в - коефіцієнт пропорційності, який називається квантовим виходом внутрішнього фотоефекту. Оскільки не усякий поглинутий фотон обов'язково генерує надлишкові носії струму, то квантовий вихід може бути меншим одиниці.

Якщо інтенсивність падаючого монохроматичного світла І і енергія фотонів hн, а на одиниці товщини кристалу поглинається потужність , то

. (4.17)

При слабкому поглинанні , де б - коефіцієнт поглинання. Тоді (4.17) запишеться у вигляді

. (4.18)

В подальшому будемо вважати, що б і в не залежать від інтенсивності світла (область лінійної оптики), а лише від енергії фотонів. Підставляючи (4.18) у (4.16), отримаємо остаточний вираз для швидкості фотоелектричної генерації:

. (4.19)

Зонні носії струму, які генеруються тепловим шляхом, називаються рівноважними (темновими); носії струму, які генеруються іншими способами, в тому числі, фотоелектрично, - нерівноважними (фотоно-сіями). Кінетична енергія фотоносіїв в момент генерації може значно перевищувати (наприклад, коли ) кінетичну енергію рівноважних носіїв. Але за час фотоносії термалізуються, тобто, їх кінетична енергія за рахунок випромінювання фононів знижується до рівноважних значень. Наприклад, для фотоелектронів процес термалізації на зонній енергетичній діаграмі відповідає опусканню до дна с-зони (мал.4.14). І тому в явищах переносу (електропровідність, ефект Холла тощо) рівноважні і не рівноважні носії, як правило, ведуть себе однаково.

Якщо б генерація носіїв була єдиним процесом, то концентрація не рівноважних носіїв лінійно зростала б з часом: (мал. 4.15). В дійсності, таке зростання спостерігається в перші моменти часу після початку генерації. Але згодом концентрація не рівноважних носіїв досягає стаціонарного значення , хоч процес генерації продовжується. Отже, поряд з процесами генерації мають місце конкуруючі процеси зникнення зонних носіїв струму. Останні називаються процесами рекомбінації.

Темп рекомбінації описуватимемо швикістю рекомбінації r, яка чисельно рівна кількості зонних носіїв (чи електронно - діркових пар), що зникають в одиниці об'єму кристалу, за одиницю часу. В стаціонарному стані темпи генерації та рекомбінації повинні вирівнятись, тобто:

. (4.20)

Зокрема, при наявності лише теплової генерації, наприклад, власної, швидкість рекомбінації пропорційна концентрації власних рівноважних носіїв (n₀, p₀):

, (4.21)

де г₀ - коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом захоплення (рекомбінації). В рівноважних умовах

, (4.22)

Останній вираз відображає принцип детальної рівноваги.

Якщо в результаті одночасної дії процесів фотоелектричної генерації з швидкістю g і рекомбінації встановлюється стаціонарна концентрація не рівноважних носіїв , то частка генерованих носіїв, які не про рекомбінували, дорівнює

. (4.23)

В подальшому ф називатимемо стаціонарним часом життя нерівноважних носіїв.

В загальному, розрізняють два основні механізми рекомбінації: між зонна рекомбінація і рекомбінація через пастки (рекомбінаційні центри). При цьому обидва механізми можуть реалізовуватись як при біполярній, так і монополярній генерації.

§6. Міжзонна рекомбінація

При міжзонній рекомбінації електрон із зони провідності переходить на вакантне місце у валентній зоні, тобто одночасно зникають (рекомбінують) як електрон, так і дірка. При цьому повинна виділитись енергія, приблизно рівна ширині забороненої зони. Можливі три способи реалізації цієї енергії.

випромінюється фотон з енергією (мал.4.16а); такий механізм між-зонної рекомбінації називається випромінювальним.

Енергія передається кристалічній гратці, тобто, народжуються фонони з енергією (мал.4.16б); такий механіз рекомбінації називається фононним або безвипромінювальним. Оскільки , то цей механізм може бути суттєвим лише у вузькозонних напівпровідниках.

Енергія електрона передається іншому електрону, який при цьому стає “гарячим” (мал.4.16в); такий механізм рекомбінації називається Оже-рекомбінацією або ударною рекомбінацією. “Гарячий” електрон термалізується з народженням фононів з енергією ; така рекомбінація також безвипромінювальна і реалізується у вузькозонних напівпровідниках.

Проведемо розрахунок часу життя нерівноважних носіїв при біполярній генерації і міжзонній випромінювальній рекомбінації. Нехай рівноваж-на концентрація носіїв - n₀ і p₀, а стаціонарна концентрація нерівноважних носіїв - і . Тоді загальна концентрація носіїв: і . Якщо швидкість теплової генерації - g₀, швидкість фотоелектричної генерації - g і швидкість міжзонної рекомбінації - r, то умова рівноваги (4.20) запишеться:

. (4.24)

Оскільки у відповідності з (4.21) , то

. (4.25)

Розкриваючи дужки і вважаючи, що рівноважний (г₀) і нерівноважний (г) коефіцієнти захоплення однакові, отримаємо

.

При міжзонній рекомбінації і тому

. (4.26)

Розглянемо часткові випадки.

Генерація слабка: ; тоді (4.26) дає

. (4.27)

Видно, що є лінійною функцією швидкості генерації g. Така рекомбінація називається лінійною. Час життя нерівноважних носіїв (4.23)

. (4.28)

Отже, у випадку лінійної рекомбінації час життя не залежить від швидкості генерації, але зменшується з ростом температури. Зокрема, для власних напівпровідників і тому

~. (4.29)

Відмітимо, що коефіцієнт захоплення г виражається через переріз захоплення (S_n) та швидкість теплового руху (х_n) електронів: і від температури у випадку міжзонної випромінювальної рекомбінації залежить слабо.

Генерація сильна: ; тоді (4.26) дає

. (4.30)

Рекомбінація в цьому випадку називається квадратичною, бо r~. Час життя нерівноважних носіїв

. (4.31)

Отже, у випадку квадратичної рекомбінації час життя зменшується з ростом швидкості генерації, а отже, з ростом концентрації нерівноважних носіїв.

Випадків міжзонної безвипромінювальної і Оже-рекомбінації розглядати не будемо, але відмітимо, що якщо працюють одночасно декілька механізмів рекомбінації, то виконується закон аддитивності обернених часів життя:

, (4.32)

тобто, визначальним є механізм з найменшим часом життя.

§7. Рекомбінація нерівноважних носіїв через локальні центри (пастки)

В реальних напівпровідниках, навіть без спеціального легування, завжди присутні локальні центри домішкового чи власного походження (§ 1.8), які створюють в забороненій зоні напівпровідника систему мілких і глибоких рівнів. Розглянемо достатньо загальну модельну ситуацію (мал.4.17) компенсованого напівпровідника n-типу провідності, в якому присутні мілкі донори Д₁ і акцептори А, а також глибокі донори Д₂. При цьому виконуються наступні нерівно-сті: , але . В рівноважних умовах мілкі центри будуть повністю іонізованими, а гли-бокі донори - частково іонізованими.

Обмежимось розглядом біполяр-ної (міжзонної) генерації з швидкістю g. Нерівноважні носії обох знаків мо-жуть захоплюватись усіми центрами, але з різною ймовірністю: донори Д₁ захоплюватимуть переважно електро-ни, а акцептори А₁ - дірки. При цьому, оскільки Д₁ і А₁ - мілкі центри, то захоплені носії можуть термічно знову переходити у відповідні зони. Центри, які здатні обмінюватись носіями певного знаку лише з однією (близькою) зоною, називаються центрами прилипання (t-центрами). Глибокі донори Д₂ можуть обмінюватись носіями з обома зонами. Такі центри називаються центрами рекомбінації (R-центрами).

Нехай в нерівноважних умовах в результаті дії всіх центрів встановились стаціонарні концентрації зонних носіїв n і p, які опишемо співвідношенями, подібними до (2.30) та (2.31),

; . (4.33)

Оскільки і , то

,

і тому електрони та дірки описуватимемо різними рівнями Фермі: для електронів - квазірівень Фермі F_n, для дірок - квазірівень Фермі F_p (мал.4.18). Наближено можна вважати, що центри, рівні яких розміщені між квазірівнями Фермі, є центрами рекомбінації; центри, рівні яких розміщені між квазірівнями і близькими зонами, є центрами прилипання.

Розрахунок моделі мал. 4.18 в загальному досить складний. І тому для спрощення будемо вважати, що коефіцієнт захоплення дірок R-центром значно більший від коефіцієнту захоплення електронів цим центром. А це приводить до того, що , хоч і генерація біполярна. Крім цього, врахуємо, що рекомбінація через локальні центри домінує в широкозонних напівпровідниках, де концентрація рівноважних носіїв, як правило, мала. І тому легко виконується умова сильної генерації , тобто: .

Швидкість рекомбінації електронів через R-центри пропорційна концентрації електронів у с-зоні і концентрації дірок на R-центрах (Р_R): . Відмітимо, що у випадку, зображеному на мал.4.17, .

Стаціонарний стан реалізується при досягненні рівноваги (4.20):

. (4.35)

Умова електронейтральносі дає

, (4.36)

де - концентрація дірок на R-центрах в рівноважному стані (в темно-ті), N_t - концентрація електронів на t_n - центрах прилипання, яка залежить від положення квазірівня Фермі F_n, а отже, від концентрації зонних електронів. Підставляючи (4.36) у (4.35), отримаємо рівняння для розрахунку концентрації вільних електронів в залежності від швидкості генерації

. (4.37)

Оскільки це рівняння є нелінійним, то розглянемо часткові випадки.

Нехай рівноважна концентрація дірок на R-центрах настільки велика, що ; тоді

і , (4.38)

тобто, рекомбінація лінійна, а час життя нерівноважних електронів

. (4.39)

Нехай виконується умова , яка можлива при відносно невисокому вмісті R- та t-центрів і дуже сильній генерації; тоді

, (4.40)

тобто, рекомбінація в цьому випадку квадратична і час життя нерівноважних електронів у відповідності з (4.23) зменшується з ростом швидкості генерації.

Нехай , але ; тоді

. (4.41)

Оскільки з ростом Дn квазірівень Фермі піднімається вверх, то N_t зростає і залежність Дn(g) слабша від лінійної (4.38), але сильніша від квадратичної (4.40). І тому цю залежність представимо у вигляді

Дn ~, (4.42)

де і сама залежить від g. Зрозуміло, що для випадків а і b також можна використати (4.42), при цьому для лінійної рекомбінації та для квадратичної рекомбінації.

В загальному, залежність (4.42) називають сублінійною, якщо . В багатьох фоточутливих широкозонних напівпровідниках (CdS, CdSe, CdTe тощо) реалізується надлінійна (суперлінійна) залежність (4.42), коли ., що можливо, якщо з ростом g зменшується Р_R (див.4.35). Така ситуація має місце, коли в напівпровіднику є рекомбінаційні центри з різними і дуже відмінними коефіцієнтами захоплення нерівноважних носіїв.

У випадку рекомбінації через локальні центри також можуть реалізовуватись різні механізми: випромінювальна і фононна рекомбінації, ударна рекомбінація. Саме характер рекомбінації визначає значення коефіцієнтів захоплення нерівноважних носіїв R-центрами ( і ) і, тим самим, їх час життя.

§8. Фотопровідність напівпровідників

Електропровідність фотозбудженого напівпровідника визначається як рівноважними, так і нерівноважними носіями; при цьому будемо вважати їх рухливість однаковою. І тому

, (4.43)

де у₀ - рівноважна (темнова) провідність, а

(4.44)

- фотопровідність, яка визначається лише нерівноважними носіями. Оскільки у відповідності з (4.23)

і ,

то

, (4.45)

тобто, фотопровідність визначається швидкістю генерації і добутком для носіїв обох знаків. Якщо і співмірні, то фотопровідність біполярна; якщо ж, наприклад, , то фотопровідність монопо-лярна, електронна. В останньому випадку, з врахуванням виразу (4.19) для швидкості генерації, отримаємо формулу для стаціонарної фотопровід-ності: