Функціональна схема системи масового обслуговування

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Поняття СМО. Приклади СМО

Термін "система масового обслуговування (СМО)" об'єднує досить широке коло систем в телефонних мережах, виробництві, транспорті, сфері обслуговування тощо.

Функціональна схема СМО наведена на рисунку 1.1 і відбиваає загальні принципи обслуговування вхідного потоку викликів канальною СМО. Виклики з деякого потоку надходять на обслуговування в СМО, займаючи вільні канали. При зайнятості всіх каналів можливе очікування викликів у черзі. Після завершення обслуговування виклики звільняють канали і лишають систему.

СМО - система масового обслуговування

КО - канал обслуговування

Рисунок 1.1. Функціональна схема СМО.

Під таку схему підпадають наступні приклади з різних галузей економіки: обслуговування покупців в супермаркеті, заправка машин на АЗС, надання злітно-посадочної смуги літакам в аеропорту, контроль якості виробів на виході збирального конвеєру, відновлення виробничого обладнання та ін. Математичне обгрунтування роботи таких систем надає теорія масового обслуговування.

Звичайно, СМО також широко розповсюджені і в телекомунікаційних мережах: локальні (районні) та міжміські телефонні станції, комутатори та маршрутизатори обчислювальних мереж, взагалі, - будь-які комутаційні системи функціонують як СМО. Функціонування СМО в телефонних мережах має свої особливості, які й розглядає підрозділ теорії масового обслуговування - "теорія телетрафіка".

Теорія телетрафіка розглядає як основу всіх процесів в телекомунікаційних системах передачу та обробку повідомлень (messege), під якими будемо розуміти одновимірне представлення інформації з відокремленним початком і кінцем. Появу в системі повідомлення будемо ототожнювати з вимогою (arrival) на його передачу або обробку. Обробка або передача кожного повідомлення занімає деякий кінцевий час - час обслуговування (holding time).

Частину системи, що приймає участь в процесі передачі або обробки повідомлення так, що одночасно з ним ніяке інше повідомлення не може оброблятися цією частиною, назвемо каналом обслуговування (server). Таким чином, маючи рівно.

2. Основні поняття теорії телетрафіка

Дамо визначення основним поняттям теорії телетрафіка, які будемо широко використовувати при викладенні подальшого матеріалу.

Повідомлення - сукупність інформації, що передається через комутаційну систему (КС). Характеризується такими показниками: обсяг, тривалість заняття, категорія, адреса приймача, адреса джерела, форма інформації - аналогова чи дискретна. Розрізнюють:

· обслуговане (передане від джерела до приймача)

· втрачене (через зайнятість КС, не відповідь приймача)

· затримане (чекає початку передачі)

· умовно втрачене (затримане більше допустимого часу).

Виклик - вимога джерела на встановлення з'єднання для передачі повідомлення. Характеризується моментом надходження. Розрізняють:

· обслугований (повністю або частково на деякій ділянці)

· втрачений (відмова в обслуговуванні або помилка з'єднання)

· затриманий (чекає)

· первинний

· повторний

Зайняття - використання деякого приладу для встановлення з'єднання. Характеризується моментом початку і тривалістю.

Звільнення - повернення приладу в початковий вільний стан. Характеризується моментом початку.

Потік викликів (повідомлень, занять, звільнень) - множина послідовних моментів надходження викликів (повідомлень, занять, звільнень). Потік викликів називають детермінованим, якщо відома послідовність моментів надходження викликів та випадковим у протилежному випадку. Найчастіше зустрічаються випадкові потоки викликів. В подальшому будемо розглядати саме цей випадок.

3. Предмет вивчення теорії телетрафіка

Предметом вивчення теорії телетрафіка є процеси в системах масового обслуговування, що виникають при надходженні й обслуговуванні потоків викликів, та їх кількісні характеристики.

Математична модель системи масового обслуговування (СМО) містить наступні основних елементи: потік повідомлень, що надходять, (вхідний потік викликів), систему обслуговування, що має то чи інше число каналів, визначену дисципліну обслуговування та забезпечує необхідні характеристики якості.

Поняття вхідного потоку викликів включає інформацію про модель потоку викликів (вимог на з'єднання), закон розподілу тривалості обслуговування (передачі) повідомлення, множину адрес джерел і приймачів повідомлень, а також тип каналу, який потрібен для передачі повідомлень, та спосіб передачі - аналоговий чи дискретний. Система обслуговування характеризується структурою побудови (кількість каналів, фазність, доступність) та набором структурних параметрів. Під дисципліною обслуговування викликів розуміють: спосіб обслуговування (з наявними втратами, очікуванням, повтором чи комбінований), порядок обслуговування (за чергою, у випадковому порядку чи з пріоритетом), а також іншу інформацію, яка характеризує взаємодію потоку повідомлень з системою обслуговування. До характеристик якості обслуговування відносять імовірність явної або умовної втрати повідомлення, середній час затримки повідомлення, середня довжина черги, імовірність втрати первинного або повторного виклику, інтенсивність обслугованого навантаження і т.п.

При дослідженні СМО можуть вирішуватися:

задачі аналізу СМО - визначення, які характеристики якості забезпечить СМО із заданою структурою і параметрами для відомого вхідного потоку повідомлень;

задачі параметричного синтезу - визначення, які параметри системи обслуговування з фіксованою структурою треба встановити, щоб забезпечити для відомого вхідного потоку повідомлень задану якість обслуговування;

задачі структурного синтезу - визначення, яку структуру системи обслуговування з фіксованими параметрами треба встановити, щоб забезпечити для відомого вхідного потоку повідомлень задану якість обслуговування;

задачі оптимізації СМО - визначення, яку структуру і параметри системи треба встановити, щоб забезпечити мінімальну вартість її функціонування при підтримці заданої якості обслуговування.

В телекомунікаційних системах заявка асоціюється, перш за все, зі спробою абонента отримати доступ до ресурсів мережі для передачі або прийома повідомлень. Наприклад, знімаючи слухавку телефонного апарату, абонент телефонної мережі породжує сигнал, який і є заявкою на обслуговування його цією мережею.

4. Класифікація СМО. Символіка Кендала - Башаріна

Оскільки модель СМО поєднує в собі сукупність багатьох елементів, класифікацію СМО можна здійснювати за різними ознаками. Для забезпечення універсального підходу в позначенні різних типів СМО та взаєморозуміння інженерів та науковців різних країн, які досліджують ці системи, була розроблена наступна класифікація СМО, відома під назвою "Символіка Кендала - Башаріна" (за прізвищами вчених, що її запропонували).

Символіка складається з шести позицій, що розділяються слешами: 1/2/3/4/5/6

Перша позиція - тип потоку, що надходить:

- найпростіший потік

- пуассонівський потік із змінним параметром (залежить від часу)

- пуассонівський потік з умовним параметром

- примітивний потік

- детермінований (невипадковий) потік (Determinate)

- потік Ерланга ого порядку

- довільний потік (General)

Друга позиція - закон розподілу часу обслуговування виклику

- експоненціальний - детермінований - довільний

Третя позиція - структура СМО

- число каналів

- неповнодоступні канали обслуговування (тобто існує алгоритм, що визначає, які канали доступні яким заявкам). Якщо не вказано, то усі канали обслуговування доступні усім викликам.

- багатофазна система (Link System), якщо не вказано, то це - однофазна система, де заявка проходить тільки одну фазу обслуговування деякому каналі

Четверта позиція - дисципліна або спосіб обслуговування

- без втрат (Loss Less) - з втратами (Loss)

- з очікуванням (чергою) (Wait) - з повторенням (Reatempt)

5. Способи опису випадкових потоків

Випадкові потоки можна задати з допомогою (рис. 2.1):

закону розподілу інтервалів часу між викликами

закону розподілу моментів надходження викликів

сімейства - імовірностей надходження викликів за інтервал

функції , що дорівнює числу викликів, які надійшли в

Рисунок 2.1. Способи завдання потоків викликів

6. Властивості випадкових потоків

Випадкові потоки викликів класифікуються залежно від належності або відсутності трьох наступних властивостей: стаціонарності, післядії та ординарності. Стаціонарність означає, що з часом імовірнісні характеристики потоку не змінюються. Стаціонарність потоку рівнозначна постійній щільності імовірності надходження викликів у будь-який момент часу, інакше кажучи, для стаціонарного потоку імовірність надходження викликів за інтервал часу залежить тільки від розміру інтервалу і не залежить від його розташування на осі часу: (2.1)

Будь-який стаціонарний потік можна задати сімейством умовних імовірностей надходження викликів у проміжку , якщо в початковий момент цього проміжку надійшов виклик. Реальний (наприклад на АТС або ММТС) потік викликів має явно виражений нестаціонарний характер. Інтенсивність потоку - число викликів за одиницю часу - істотно залежить від періоду доби, дня тижня і навіть пори року. Проте завжди можна виділити одно- або двогодинні відрізки часу, протягом яких потік викликів близький до стаціонарного. Післядія означає залежність імовірнісних характеристик потоку від попередніх подій. Іншими словами, імовірність надходження викликів в інтервалі залежить від числа, часу надходження та тривалості обслуговування викликів до моменту . Для випадкового потоку без післядії умовна імовірність надходження викликів в інтервалі , обчислена при будь-яких припущеннях про процес обслуговування викликів до моменту , дорівнює безумовній: .

Абонент телефонної мережі створює заявки й іншого типа - набір номера абонента, що викликається. Ця заявка також може бути виконана, якщо ресурси мережі дозволять установити з'єднання між усіма телефонними станціями, які забезпечують передачу мовного сигнала між телефонами цих абонентів. Однак, це відбувається не завжди. Заявка на встановлення з'єднання може бути не задоволена. Імовірність такої події для абонентів телефонної мережі розглядяється як характеристика якості обслуговування цієї мережі. Тому розрахунок імовірності відмови в обслуговуванні є прикладом рішення задачі аналізу теорії телетрафіка.

Розглянемо тепер користувачів іншої, комп'ютерної мережі, наприклад Internet. В цьому випадку якість мережі асоціюється з іншою характеристикою: часом доступу до того чи іншого ресурсу. Причиною уповільнення роботи є черги пакетів, що утворюються в маршрутизаторах. В комп'ютерних (пакетних) мережах заявка на передачу інформації від одного узла до іншого навіть у випадку нестачі мережного ресурса, як правило, не відкидається, а ставиться в чергу на очікування звільнення необхідного ресурса. Тому характеристикою якості обслуговування в цьому випадку вважають час очікування в черзі на обслуговування. Задача розрахунку середнього часу очікування також вирішується в рамках рішення задачі аналізу.

Прикладом задачі параметричного синтезу може бути визначення необхідної швидкодії маршрутизатора для забезпечення нормованого часу затримки обробки пакетів заданої довжини.

При струтурному синтезі, наприклад машинної АТС, визначається кількість комутаційних приладів на кожному кроці шукання для забезпечення нормованоі імовірності втрати вилику.

Це найпростіший випадок ресурсного конфлікту - вимоги, що надходять одна за одною, не можуть бути обслужені негайно при надходженні або, як кажуть, в реальному масштабі часу через те, що канал обслуговування не встигає обслужити вимоги за час між їх надходженнями. Конфлікт не виникне, якщо система будет мати не один, а декілька каналів обслуговування, ввімкнених так, щоб вхідні вимоги розподілялися б для обслуговування на бідь-який вільний з них в даний момент.

Тим не менш, якщо час обробки не безкінечно малий порівняно з інтервалом між надходженням вимог, то і в системі з декількома каналами обслуговування може виникнути ресурсний конфлікт - вимога при надходженні не зможе отримати негайного обслуговування, оскільки усі канали виявляться зайнятими на даний момент. В такому випадку система може просто проігнорувати вимогу. Вона буде відкинута, а система, як кажуть, буде вважатися заблокованою. Імовірність такої події є важливою характеристикою системи. Її прийнято називати імовірністю блокування ( blocking probability).

Для уникнення таких ситуацій, в системі може бути передбачений спеціальний буфер пам'яти, в котрий будуть поміщатися вимоги, які не можуть бути обслуговані негайно при наджодженні через зайнятість усіх каналів. Тобто в системі організується черга (queue) вимог і така СМО розглядається як система з чергами (queuing system). В черзі може опинитися не одна, а декілька вимог, якщо кількість вимог за певний інтервал часу перевищить кількість звільнившихся за цей час каналів обслуговування. При виконанні певних умов черга не буде безкінечно зростати і усі вимоги рано чи пізно будуть обслуговані, однак час їх перебування в черзі буде різним і може розглядатися як випадкова величина. Розподіл цієї випадкової величини також є суттєвою характеристикою системи обслуговування. Часто для оцінки якості використовують тільки її середнє значення - середній час очікування обслуговування (average waiting time).

Таким чином, недостатність ресурсів в телекомунікаційній системі може призвести або до втрат повідомлень, або до затримки їх обслуговування. Тому подібний потік можна виразити сімейством безумовних імовірностей надходження викликів в інтервалі . Стаціонарний потік без післядії можна задати сімейством імовірностей надходження викликів у будь-якому інтервалі довжиною .

Потік викликів, що надходять від достатньо великої групи джерел, близький за своїми властивостями до потоку без післядії, якщо при цьому не враховувати повторних викликів. Потік від малої групи, навпаки, має помітну післядію, оскільки число вільних джерел (які можуть надсилати виклики) залежить від процесу обслуговування попередніх викликів, чим і визначається післядія потоку. Потік повторних викликів також являється прикладом потоку з післядією, оскільки повторний виклик виникає як результат втрати попереднього виклику, тобто залежить від попередніх подій. Ординарність означає практичну неможливість групового надходження викликів. Інакше кажучи, імовірність надходження двох або більше викликів за будь-який безконечно малий проміжок часу є величиною безконечно малою більш високого порядку, ніж, тобто .

 - з умовними втратами (комбінований)

П'ята позиція - тип черги

- індивідуальна, якщо не вказано - загальна черга до усіх каналів обслуговування

- рівно імовірна (Sаme Probability) - демократична (FIFO)

- стекова (LIFO) - з пріоритетом (Priority)

1) - відносний (Relative) - заявка чекає звільнення каналу

2) - абсолютний (Absolute) - заявка перериває обслуговування і займає канал

Шоста позиція - спосіб заняття каналу

- послідовне (Sequential) - випадкове (Random)

Приклад 1.1

- означає 10-канальну систему з втратами, на вхід якої надходить найпростіший потік викликів, час обслуговування розподілено за експоненціальним законом, канали займаються випадково.

Приклад 1.2

- означає 5-канальну систему з очікуванням, на вхід якої надходить найпростіший потік викликів, час обслуговування розподілено за довільним законом, черга демократична.

Приклад 1.3

- означає 20-канальну систему без втрат, на вхід якої надходить примітивний потік викликів, час обслуговування розподілено за експоненціальним законом, канали займаються послідовно.

Приклад 1.4

- означає 5-канальну систему з повторенням, яка обслуговує найпростіший потік викликів, час обслуговування розподілено за експоненціальним законом.

7. Характеристики випадкових потоків

До основних характеристик випадкового потоку відносять провідну функцію, параметр та інтенсивність [1]. Провідна функція випадкового потоку є математичне очікування числа викликів за час .

Параметр потоку в момент часу є щільність імовірності викличного моменту:

.

Таким чином, імовірність надходження хоча б одного виклику в інтервалі часу з точністю до нескінченно малої пропорційна інтервалу часу та параметру потоку :

.

Для стаціонарних потоків імовірність надходження викликів не залежить від часу, тобто, , тому параметр стаціонарного потоку постійний. Відповідно одержуємо:

.

Інтенсивність стаціонарного потоку є математичне очікування числа викликів за одиницю часу, тобто це величина, зворотно-пропорційна середньому часу між викликами. Для нестаціонарних потоків використовується поняття середньої та миттєвої інтенсивності. Середня інтенсивність потоку в інтервалі часу є математичне чекання числа викликів у цьому інтервалі часу за одиницю часу. Середню інтенсивність потоку можна виразити через провідну функцію:



Миттєва інтенсивність потоку в момент часу є похідною провідної функції потоку по :

Якщо миттєва інтенсивність характеризує потік викликів, то параметр - потік

8. Розподіл Пуассона

Стаціонарний ординарний потік без післядії називається найпростішим (пуассонівський, потоком чистої випадковості І роду). Задається найпростіший потік сімейством імовірностей надходження викликів в інтервалі часу . Для визначення функції проведемо дослідження процесу надходження викликів протягом двох сусідніх довільно розташованих на осі часу інтервалів та .

B інтервал може потрапити викликів в результаті однієї з таких незалежних подій:

за інтервал надійде викликів, а за інтервал - 0 викликів,

або за інтервал надійде викликів, а за інтервал

за інтервал надійде 0 викликів, а за інтервал викликів:

Тоді

де - імовірність такої спільної події: в інтервалі часу надходить викликів, а в інтервалі часу надходить викликів.

Оскільки спільно відбуваються дві незалежні події (через відсутність післядії імовірність надходження викликів в інтервалі часу не залежить від числа викликів, що надійшли за час , імовірність такої спільної події дорівнює добутку двох безумовних імовірностей і . Отже (2.9) приймає вид:

.

Рівняння (2.10) можна значно спростити, якщо врахувати умову ординарності (2.3)

.

Імовірність визначаємо з виразу (2.6) також з урахуванням ординарності

9. Аналіз розподілу Пуассона

Проаналізуємо розподіл Пуассона, тобто з'ясуємо коли значення імовірностей зростають, коли убувають, та які мають максимуми. Для чого розглянемо співвідношення двох послідовних членів: та .

Тут можливі 2 ситуації:

, тобто при ряд зростає:

, тобто при ряд убуває:

Таким чином, із зростанням імовірність зростає, поки і починає убувати при . Розподіл Пуассона має наступні максимуми:

2 максимуми при цілому:

1 максимум при дробовому: (квадратними дужками позначено цілу частину від ).

Побудуємо розподіл Пуассона для . Розраховані за (2.16) значення імовірностей наведено в таблиці 2.1, графік - на рис. 2.2 а) На рис.2.2.б) і в) наведені аналогічні графіки для і .

Таблиця 2.1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,0067	0,034	0,084	0,1404	0,175	0,175	0,146	0,104	0,065	0,036

10. Розподіл інтервалу між викликами у найпростішому потоці

телетрафік пуассон навантаження мережа

Вираз (2.16) є одним з можливих способів завдання найпростішого потоку. Іншим способом може служити розподіл інтервалу між сусідніми викликами . Визначимо через імовірність протилежної події:

.

означає, що за час не надійде жодного виклику.

.

Тоді, обчислюючи за формулою Пуассона,

.

Диференціюємо (2.22) по , знаходимо щільність розподілу

^.

Закон розподілу із щільністю (2.23) називається експоненціальним, а ???його параметром. Основною властивістю цього закону є наступна: якщо інтервал, розподілений за експоненціальним законом з параметром , вже тривав якийсь час , то його залишок також розподілений за експоненціальним законом з тим же параметром ?і не залежить від .

Доведемо це. Припустимо, що з моменту надходження останнього виклику пройшов час і визначимо імовірність того, що до надходження наступного виклику пройде не менше одиниць часу.

За теоремою множення імовірність того, що одночасно відбудуться дві залежні події, дорівнює добутку імовірності першої події на умовну імовірність другої, обчислену при умові, що перша подія мала місце.

.

.

.

^.

Тобто, умовна імовірність надходження виклику потоку через одиниць часу, обчислена при умові, що з моменту надходження останнього виклику пройшов час , не залежить від і дорівнює безумовній:

11. Перевірка відповідності реального потоку моделі найпростішого

Досить часто при дослідженні процесів, що відбуваються в телекомунікаційних системах, в наявності є статистична інформація, отримана в ході спостереження за реальними вхідними та вихідними потоками. Для використання отриманих вище формул треба впевнитися, що ці потоки можна вважати найпростішими.

Для перевірки даних, отриманих статистичним шляхом, використовують різні статистичні критерії, наприклад критерій Пірсона [2].

2 підходи, залежно від того, які вимірювання здійснювались для реального потоку.

І спосіб.

Якщо підраховувалась кількість викликів, що потрапили до послідовності часових інтервалів заданої довжини, то перевіряється їх відповідність розподілу Пуассона. Найпростішою ознакою такого розподілу є рівність точечних оцінок математичного очікування та дисперсії, тобто вібіркового середнього та віправленої дисперсії.

Таким чином, якщо з деякої генеральної сукупности - значень кількості викликів, що потрапили до послідовності часових інтервалів заданої довжини, зроблено вибірку та виконано її статистичну обробку, то можна отримати таблицю статистичного розподілу дискретної випадкової величини у вигляді таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 Статистичний розподіл кількості викликів потоку, що потрапили у заданий інтервал

			…
			…

де - кількість викликів, що попали у інтервалів (загальна кількість інтервалів ).

Після чого обчислюються статистичні оцінки математичного очікування та дисперсії числа викликів, що потрапили до кожного інтервалу:

Вибіркове середнє:

12. Об'єднання та роз'єднання найпростіших потоків

При об'єднанні декількох найпростіших незалежних потоків утворюється також найпростіший потік з параметром, що дорівнює сумі параметрів початкових потоків.

При роз'єднанні найпростішого потоку з параметром на напрямків так, що кожний виклик початкового потоку з імовірністю () надходить на напрямок, потік напрямку також буде найпростішим з параметром . Ці властивості найпростішого потоку широко використовуються на практиці, оскільки значно спрощують розрахунки станційного обладнання та мереж зв'язку.

Приклад 2.5.

На ММТС з трьох локальних АТС надходять найпростіші потоки з параметрами, відповідно, 5 викл/с, 3 викл/с і 2 викл/с. Визначити імовірність того, що за 0,1 с на ММТС надійде більше 3 викликів.

Рішення

Враховуючи, що сумарний потік буде найпростішим з параметром 10 викл/с, потрібну імовірність можна визначити за (2.20):



Рисунок 2.2. Графіки розподілу Пуассона для

Як видно з рисунка 2.2 а), при значення імовірностей зростають до , мають два максимуми та , після чого починають убувати. У випадку, коли , максимум розподілу Пуассона спостерігається для , зростаюча частина графіку відсутня (бо не може приймати значення менше 0). При , максимум розподілу Пуассона спостерігається для , значення імовірностей зростають до цього значення, після чого починають убувати.

Важливою особливістю розподілу Пуассона є рівність математичного очікування та дисперсії випадкової величини, розподіленої за цим законом.

Підставимо вираз (2.12) і (2.13) у систему рівнянь (2.11), потім перенесемо в ліву частину рівнянь та поділимо обидві частини рівнянь на :

.

.

.

.

Переходячи до границі при , одержуємо систему диференційних рівнянь:

. .

Початковими умовами для системи (2.14) є

Розв'язанням (2.14) з урахуванням умов (2.15) є формула (розподіл) Пуассона:

.

Цей вираз визначає імовірність надходження числа викликів за час .

Крім того, можна обчислити:

імовірність відсутності викликів потоку за час : .

імовірність наявності викликів потоку за час : .

імовірність наявності не більше викликів потоку за час:

імовірність наявності не менше викликів потоку за час :

викличних моментів. Тому завжди , а рівність має місце тільки для ординарних потоків, коли в кожний викличний момент надходить тільки один виклик.

При розгляді конкретних математичних моделей потоків зручно, використовуючи ознаку післядії, розподілити всі досліджувані моделі по трьох класах: потоки без післядії, із простою та обмеженою післядією. У клас потоків без післядії входять: найпростіший, пуассонівський із змінним або випадковим параметром, неординарний пуассонівський та пуассонівський із неординарними викликами. До потоків із простою післядією відносять: примітивний, згладжений, потік з повторними викликами та потік звільнень. Обмежену післядію мають рекурентний потік, потік Пальма, потік Ерланга

За визначенням, математичне очікування дискретної випадкової величини , що має відомий закон розподілу :

Для нашого випадку випадкова величина (кількість викликів, що потрапила до інтервалу заданої довжини), розподілена за законом Пуассона з імовірностями, що визначаються (2.16). Тоді

.

Аналогічно

.

Таким чином,

.

Ця властивість використовується на практиці для обгрунтованого висунення гіпотези, чи можна рахувати заданий потік найпростішим. Перевірку цієї статистичної гіпотези здійснюють з використанням відповідних статистичних критеріїв, наприклад - критерію Пірсона [5].

Виправлена дисперсія: При доцільно висувати і перевіряти гіпотезу , що потік є найпростішим. Перевірка гіпотези здійснюється за відомими статистичними критеріями, наприклад критерієм Пірсона (додаток 1).

ІІ спосіб.

Якщо вимірювались інтервали часу між двома послідовними викликами, то перевіряється їх відповідність експоненціальному розподілу, тобто рівність математичного очікування та середньоквадратичного відхилення (СКВ). Таким чином, якщо задана таблиця статистичного розподілу випадкової величини у вигляді таблиці 2.3,

Таблиця 2.3 Статистичний розподіл інтервалу між послідовними викликами потоку

			…
			…

де - значення часу між послідовними викликами, - кількість таких значень (загальна кількість вимірів ), то обчислюються вібіркове середнє та виправлене СКВ:

.

При можна висувати і перевіряти гіпотезу , що потік є найпростішим. Це свідчить, що експоненціальний закон є математичним вираженням властивості відсутності післядії.Визначимо математичне очікування, дисперсію і середньоквадратичне відхилення інтервалу :

.

Таким чином,

.

Отриманий збіг величин и характерний для експоненціального розподілу. Цю властивість також використовують на практиці для попередньої перевірки відповідності реального потоку моделі найпростішого

13. Нестаціонарний пуассонівський потік

Якщо потік має властивості ординарності та відсутності післядії, але не має стаціонарності, - це нестаціонарний пуассонівський потік. Для нього в будь-який момент часу існує кінцевий параметр . Якщо - визначена функція часу, маємо потік із змінним параметром, якщо - випадкова функція, маємо потік з випадковим параметром.

Функція може бути безперервною або східчастою. В останньому випадку параметр потоку змінюєится стрибками в заздалегідь визначені або випадкові моменти часу залежно від виду потоку (детермінованого або випадкового).

Пуассонівський потік зі змінним параметром, як нестаціонарний, задається сімейством імовірностей надходження викликів за час :

де - математичне очікування числа викликів в інтервалі . Відношення є середня інтенсивність потоку викликів в цьому інтервалі.

Для стаціонарного потоку , , формула (2.27) переходить у (2.16).

Модель пуассонівського потоку зі змінним параметром дозволяє при відповідному виборі залежності достатньо добре описувати реальний нестаціонарний потік, наприклад, процес надходження викликів на телефонну станцію протягом доби. Клас пуассонівських потоків з випадковим параметром доволі широкий, оскільки можливо використання різних випадкових функцій для завдання параметру потоку .

Розглянемо найпростіший випадок. Нехай східчаста функція приймає кінцеву множину заздалегідь відомих значень , при цьому .Перехід зі стану з параметром можливий тільки до сусідніх станів або з імовірностями відповідно і . Звичайно, перехід з крайніх станів і до сусідніх відбувається з одиничною імовірністю. Тривалість стану - випадкова

14. Неординарний пуассонівський потік

Стаціонарний однородний потік без післядії називається неординарним (груповим) пуассонівським. Моменти надходження викликів такого потоку формують найпростіший потік з параметром . Тому імовірність надходження викличних моментів в інтервалі визначається згідно розподілу Пуассона (2.16). В кожний викличний момент з імовірністю надходить група з однакових викликів. Величина називається характеристикою неординарності потоку. Можливі потоки з постійною або випадковою характеристикою неординарності.

Позначимо . Тоді імовірність надходження викликів в інтервалі :

.

для усіх , відповідающих співвідношенню

Тобто будь-який неординарний потік можна подати як суперпозицію незалежних неординарних пуассонівських потоків з постійною характеристикою неординарності , а також відповідними параметром та інтенсивністю . Величину , таким чином, можна визначити як інтенсивність надходження груп викликів з викликами в кожній. Параметр та інтенсивність неординарного потоку відповідно дорівнюють:

Звичайно, .

Дещо подібний до розглянутого потоку пуассонівський потік з неординарними викликами. Під неординарним будемо розуміти виклик, який потребує для своєго обслуговування з приладів. В цьому випадку є характеристикою неординарності виклику. Якщо інтервали між такими неординарними викликами розподілені за експоненціальним законом, то маємо пуассонівський потік з неординарними викликами.

Цей потік також має властивості стаціонарності та відсутності післядії. Імовірність надходження викликів за час визначається формулою Пуассона (2.16), а

15. Потік з простою післядією

Ординарний потік, параметр якого визначається станом обслуговуючої системи в момент , називається потоком з простою післядією або пуассонівським потоком з умовним параметром. Більшість реальних потоків відносяться до цієї групи.

визначається: числом зайнятих каналів обслуговування; числом вільних джерел; числом джерел, які повторюють виклики; довжиною черги.

16. Примітивний потік

Окремим випадком ППП є примітивний потік (енгсетовський, потік чистої випадковості ІІ роду).

Ординарний потік, параметр якого пропорційний кількості вільних джерел у стані обслуговуючої системи , називається примітивним:

.

Де ???параметр (інтенсивність) джерела у вільному стані;

- загальне число джерел; -- число зайнятих джерел.

Примітивний потік описує надходження викликів у замкнутій системі. Модель примітивного потоку ураховує так званий ефект обмеженого числа джерел: нові виклики можуть надходити тільки від вільних джерел. Це визначає стрибкоподібне змінювання параметра потоку, причому найбільшого значення параметр досягає, коли всі джерела вільні і найменшого, коли число зайнятих джерел сягає максимуму . Ця властивість примітивного потоку суттєво впливає на процес обслуговування і помітно підвищує пропускну здатність обслуговуючої системи.

Математичне очікування параметра потоку .

де --імовірність того, що зайнято джерел. Величина , віднесена до одного джерела

. визначає середню інтенсивність джерела.

Розглянемо різницю між і : Якщо від якогось джерела за інтервал надійшло викликів,

17. Потік з повторними викликами

ППВ складається з потоку первинних викликів (найпростішого, нестаціонарного пуассонівського або примітивного) та потоку повторних викликів, параметр якого визначається кількістю джерел, які повторюють виклики:

. (2.34)

де - число джерел, які повторюють виклики,

- інтенсивність такого джерела.

Параметр загального потоку, якщо потік первинних викликів примітивний:

Якщо , то (2.35) переходить в (2.30), тобто маємо звичайний примітивний потік:

Але зазвичай, (для телефонної мережі у 50 - 100 разів), в потоці повторних викликів більше коротких інтервалів між викликами, що збільшує дисперсію потоку та число втрачених викликів (як первинних, так і повторних). Причому існує тісна кореляція між величиною та станом обслуговуючої системи: чим більше зайнято ліній, тим більше джерел повторюють виклики, зменшуючи інтервал між ними. Ця обставина призводить до зростання втрат.

При аналізі загального вхідного потоку викликів іноді доцільно відокремити повторні виклики від первинних, а також оцінити величини і. Як тільки що було зазначено, повторні виклики мають коротші інтервали , отже саме величину можна використовувати як ознаку потоку повторних викликів.

Нехай досліджується потік викликів від джерел і відомі момент надходження кожного виклику та номер джерела, що його надіслало. Задамося граничиним значенням . Якщо для деякого виклику значення , вважатимемо його повторним, інакше - первинним. Значення слід вибирати таким чином, щоб первинні виклики утворювали потік, близький за своїми властивостями до найпростішого або примітивного (залежно від значення ). Така процедура використовувалась на практиці і дала добрі результати [1].

18. Потік звільнень

Послідовність моментів закінчення обслуговування викликів дає потік звільнень. Його властивості у загальному випадку залежать від властивостей потоку, що надходить, якості роботи СМО і закону розподілу часу обслуговування. Найпростіший і найбільш розповсюджений закон розподілу часу обслуговування - це експоненціальний:

,

де --середній час обслуговування.

Рисунок 2.3, на якому показано результати вимірювання часу зайняття абонентської лінії на АТС, підтверджує практичну прийнятність екпоненціальної моделі.



Рис.2.3 - Гістограми вимірювань часу зайнять при та розмов при

Основна властивість експоненціального розподілу зумовлює повну незалежність моментів закінчення обслуговування від моментів початку обслуговування викликів, що надходять. Тому властивості потоку звільнень в цьому випадку не залежать від властивостей потоку, що надходить, та якості роботи СМО, а повністю визначаються числом зайнятих каналів. Якщо в СМО зайнято k каналів ( k викликів знаходяться на обслуговуванні), то імовірність звільнення i каналів за час t можна розглядати як i успішних випробувань із загального числа k незалежних випробувань і визначити згідно розподілу Бернуллі

,

Де P-- імовірність звільнення одного каналу за час t. Враховуючи (2.36), маємо: Враховуючи (2.36), маємо:

Імовірність того, що за час t не звільниться жоден з зайнятих каналів,

то інтенсивність джерела у вільному стані дорівнює відношенню числа викликів, що надійшли, до сумарного "вільного" часу

,

де .

Середня інтенсивність джерела дорівнює відношенню числа викликів, що надійшли, до всього інтервалу часу.

, де .

Таким чином, інтенсивність джерела у вільному стані зворотно пропорційна середньому вільному часу, а середня інтенсивність джерела - середньому інтервалу між викликами.

Тобто

Інтервал вільності має експоненціальний розподіл з параметром ??

Це означає, що нові виклики від джерела надходять випадково, незалежно від моментів виникнення та закінчення обслуговування попередніх викликів.

Імовірність надходження вимог на обслуговуючі прилади за час - виразом (2.28). Параметр потоку викликів та інтенсивність вимог визначаються за (2.29).

Розглянуті потоки, незважаючи на багато спільних властивостей, мають суттєві відмінності. В неординарному пуассонівському потоці кожний виклик з групи може бути обслугований окремо, його час обслуговування суворо ндивідуальний та не залежить від часу обслуговування інших, навіть тих викликів, що надійшли одночасно з ним. При пуассонівському потоці з неординарними викликами усі прилади, необхідні для обслуговування одного неординарного виклику, занімаються і звільняються одночасно. Обидва потоки слід розглядати як безпосереднє узагальнення властивостей найпростішого потоку.

Слід відзначити, що неординарні потоки в системах комутації зустрічаються досить рідко. В основному, вони мають місце при передачі телеграм та у мережах поштового зв'язку. Потоки з неординарними викликами виникають при роботі мереж інтегрального обслуговування та інтелектуальних мереж, де для передачі різних видів повідомлень може займатися різне число каналів або канали з різною смугою пропущення (швидкістю передачі). Крім того неординарні виклики можливі у деяких телефонних станціях при здійсненні двох- та чотирьохпроводних з'єднань, якщо у другому випадку передбачено зайняття двох двохпроводних входів і виходів.

Величина, розподілена за експоненціальним законом з параметром . Як показано вище (п. 2.4.3), в цьому випадку середня тривалість стану дорівнює . Тобто величина характеризує частоту змінення параметру потоку : чим більше , тим швидше змінюється параметр потоку. Імовірності і , в свою чергу, визначають, як часто зустрічаються різні значення .

а імовірність того, що звільниться хоча б один канал Згідно визначенню (2.4), параметр потоку звільнень при зайнятості k каналів .

Імовірність знаходимо з (2.39) з урахуванням розкладення функції в ряд :

.

Тоді Аналогічно, досліджуючи імовірність звільнення не менш двох ліній за малий інтервал , отримуємо, що . Таким чином, потік звільнень є ординарним і його параметр пропорційний числу зайнятих ліній (джерел). Коефіцієнтом пропорціональності служить величина, зворотна середньому часу обслуговування, котру можна інтерпретувати як інтенсивність джерела у зайнятому стані. Отже, потік звільнень за своїми властивостями подібний примітивному потоку.

Але, якщо комутаційна система працює так, що звільнена лінія негайно займається новим викликом, потік звільнень має постійний параметр (де - загальне число ліній в системі) і є найпростішим. В цьому випадку імовірність звільнення i каналів за час t обчислюється за формулою Пуассона: . В ТТ для спрощення розрахункових формул величина h - середній час обслуговування - приймається за умовну одиницю часу (у.о.ч.)

19. Потік з обмеженою післядією

Ординарний потік, в якому інтервали часу між викликами утворюють послідовність взаємно незалежних випадкових величин, називається потоком з обмеженою післядією. Для однозначного описання цього потоку достатньо задати сімейство функцій розподілу випадкових величин .

В потоці з обмеженою післядією імовірність надходження нового виклику в інтервалі залежить тільки від розташування цього інтервалу відносно моменту надходження останнього виклику і не залежить від часу надходження решти викликів. Для таких потоків в момент надходження виклику майбутнє не залежить від минулого й уся післядія обмежується величиною інтервалу між викликами.

Особливе місце серед потоків з обмеженою післядією занімають рекурентні потоки, для яких усі інтервали між викликами, враховуючи перший, мають однаковий розподіл при , і рекурентні потоки із запізненням, в яких тільки перший інтервал має розподіл, відмінний від інших. Рекурентні потоки із запізненням задаються відповідно двома функціями розподілу: і при . Функція характеризує розподіл інтервалу часу від довільно обраного початку відліку до моменту надходження першого виклику.

Можна показати, що стаціонарний рекурентний потік буде найпростішим. Стаціонарний рекурентний потік із запізненням називають потоком Пальма. Потік Пальма задається умовною імовірністю відсутності викликів в інтервалі довжиною , якщо в початковий момент цього інтервалу надійшов виклик. Тоді

Тут - параметр або інтенсивність потоку Пальма,. Потік Пальма є узагальненням найпростішого потоку. При маємо найпростіший потік, оскільки усі інтервали, враховуючи перший, розподілені за експоненціальним законом. Модель потоку Пальма добре описує потік викликів, які не отримали обслуговування в комутаційній системі (втрачених). Має місце наступна теорема Пальма.

Якщо на комутаційну систему з явними втратами надходить потік викликів типу Пальма і час обслуговування розподілений за експоненціальним законом, то потік викликів, які не отримали обслуговування, також є потоком Пальма.

При (2.45) дає експоненціальний розподіл (2.22).

Математичне очікування і дисперсію величини зручно визначити відповідно до теореми суми математичних очікувань і дисперсій незалежних випадкових величин [5], тобто інтервалів між викликами початкового найпростішого потоку:

Параметр потоку Ерланга порядку:

Відповідно до (2.44) визначимо закон розподілу першого інтервалу потоку:

Для розглянутого потоку із зростанням характерне збільшення математичного очікування і дисперсії інтервалу і відповідне зменшення параметру. Змінимо масштаб часу так, щоб математичне очікування інтервалу і параметр потоку залишалися незмінними, незалежними від . Для цього введемо нормований інтервал . Потік з такими інтервалами між викликами назвемо нормованим потоком Ерланга порядку (рис. 2.4 б). Приведемо інтегральну функцію та щільність розподілу інтервалу , а також його математичне очікування і дисперсію:

Використання узагальнених потоків Ерланга дещо розширює можливості з апроксимації реальних потоків з обмеженою післядією, але і в цьому випадку зберігається співвідношення .

Від цього обмеження вільна модель потоку з інтервалами, розподіленими за комбінованим експоненціальним законом (рис. 2.4 г). Нехай інтервал складається з випадкового числа фаз, кожна з яких розподілена за експоненціальним законом з параметром . Після -ої фази з імовірністю надходить виклик, а з імовірністю настає наступна фаза. Максимально можливе число фаз дорівнює . Функція та щільність розподілу інтервалу , а також його математичне очікування і дисперсія представлені у формулах (2.47) та (2.48) відповідно.

В окремому випадку при Нескладно перевірити, що при має місце , а при - зворотнє співвідношення. Змінюючи параметри і , можна підібрати потік з будь-якими заданними значеннями довільного числа моментів величини . Зокрема, при з розподілу (2.47) отримуємо (2.46).

По аналогії з гіперекспоненціальним розподілом можна ввести гіперерлангівський розподіл порядку (рис 2.4 е). Він має наступну інтерпретацію: з імовірністю інтервал між викликами розподілено узагальненим розподілом Ерланга 1-ого порядку (експоненціальним розподілом), з імовірністю - за узагальненим розподілом Ерланга 2-ого порядку і т.д. Тоді

Гіперерлангівський розподіл порядку відповідає гіпер-експоненціальному порядку, де . Параметри i гіперекспоненціального розподілу можна виразити через параметри гіперерлангівського наступним чином:

Гіперерлангівський розподіл в свою чергу можна розглядати як безпосереднє узагальнення комбінованого експоненціального. Замінивши параметри і гіперерлангівського розподілу відповідно до приведених нижче формул, отримаємо комбінований експоненціальний розподіл з параметрами :.

Наступною моделлю потоку Пальма, що широко використовується для апроксимації реальних потоків, є переривчастий пуассонівський потік -ого порядку. Інтервали між викликами в даному потоці розподілені за гіперекспоненціальним розподілом (рис. 2.4 д):

 (2.49)

Розподіл (2.49) має наступну інтерпретацію: з імовірністю інтервал між викликами розподілено за експоненціальним розподілом з параметром , з імовірністю - за експоненціальним розподілом з параметром і т.д.

При даний розподіл переходить в експоненціальний, а при - в узагальнений розподіл Ерланга порядку(2.46). Розглянутий потік може бути утворений при пропусканні найпростішого потоку з параметром через ключ. Якщо довжини інтервалів ввімкнення та вимкнення ключа розподілені за експоненціальним законом з параметрами a і b відповідно, то на виході ключа отримаємо переривчастий пуассонівський потік 2-ого порядку, характеристики якого можна вихначити наступним чином:

Потік 3-го порядку можна отримати, якщо на вхід подібного ключа буде надходити переривчастий потік 2-ого порядку. Взагалі при пропусканні через ключ потоку порядку на виході отримаємо потік пор-у.

Із збільшенням дисперсія необмежено убуває і нормований потік Ерланга наближується до детермінованого з постійними інтервалами, рівними . Таким чином, використовуючи модель нормованого потоку Ерланга при різних значеннях , можна отримати будь-яку ступінь випадковості: від потоку чистої випадковості (найпростіший потік) до детермінованого. Однак при цьому завжди зберігається жорсткий функціональний зв'язок між математичним очікуванням і дисперсією інтервалу між викликами: . Це ускладнює заміну потоком Ерланга реального потоку з довільним співвідношенням i . Узагальнимо розглянуту модель потоку. Припустимо, що інтервал між викликами є сума випадкових величин, кожна з яких розподілена за експоненціальним законом із своїм параметром . Такий потік називається узагальненим потоком Ерланга порядку (рис. 2.4 в). Його функція та щільність розподілу, а також математичне очікування і дисперсія мають вигляд:

Зокрема, якщо вхідний потік є найпростішим, потік втрачених викликів має обмежену післядію і за своїми властивостями є потоком Пальма. Модель потоку Пальма використовується для розрахунку неповнодоступних включень. Певну складність при цьому додає та обставина, що при об'єднанні двох і більше незалежних потоків Пальма сумарний потік за своїми властивостями буде відрізнятися від потоку Пальма. Але при роз'єднанні потоку Пальма на декілька напрямків, так що з імовірністю виклик надходить на -й напрямок, потік -го напрямку також буде потоком Пальма.

Поняття „потік Пальма" об'єднує широкий клас потоків, що відрізняються один від одного законом розподілу інтервалу між викликами. Одним з прикладів потоку Пальма є потік Ерланга, який отримується просіюванням найпростішого потоку. Якщо з останнього викинути кожний другий виклик, решта утворить потік Ерланга другого порядку. Якщо в найпростішому потоці зберегти кожний третій виклик, матимемо потік Ерланга третього порядку. Таким чином, потоком Ерланга -ого порядку називається потік, отриманий з найпростішого потоку збереженням кожного -ого виклику та відкиданням решти. Звичайно, найпростіший потік можна розглядати як потік Ерланга першого порядку.

Інтервали між викликами в потоці Ерланга незалежні між собою та однаково розподілені, оскільки вони є сумою однакового числа незалежних інтервалів найпростішого потоку. Найдемо закон розподілу інтервалу між викликами в потоці Ерланга -ого порядку. Між -м і -м викликами потоку Ерланга були відкинуті виклики початкового найпростішого потоку. Щільність імовірності величини позначимо . Це означає, що з імовірністю величина прийме значення, що знаходиться в діапазоні між і . Для цього необхідно, щоб одночасно відбулися дві події: в інтервал потрапив -й виклик (імовірність такої події дорівнює ), а в інтервал довжиною потрапив виклик початкового найпростішого потоку (цю імовірність обчисюємо за формулою Пуассона). За теоремою добутку імовірностей отримуємо:

.

Скоротивши на , можна отримати закон розподілу Ерланга -ого порядку:

Можливий і зворотній перерахунок параметрів від комбінованого експоненціального до гіперерлангівського розподілу:

Але в цьому випадку загальне число різних параметрів у гіперерлангівського розподілу скоротиться до.

Розглянуті розподіли надають широкі можливості для апроксимації реальних потоків. Використовуючи фізичну інтерпретацію, можна підібрати необхідний розподіл інтервалу і визначити необхідні параметри через порівняння статистичних і теоретичних моментів (математичного очікування, дисперсії, асиметрії тощо). Але перед цим необхідно впевнитися, що розглянутий потік дійсно належить до класу потоків Пальма.

20. Генерування навантаження в телефонних мережах

Кожний з комутаторів (шукачів) та пучків з'єднувальних ліній між ними можна розглядати як СМО, яку "завантажує" своїми викликами деякий потік (термін "навантаження" використовується в телефонії як синонім терміну "трафік"). Зайнятість цієї системи залежить від:

інтенсивності надходження запитів на обслуговування (параметру потоку викликів), тривалості окремої розмови , рівня відмов.

У телефонних мережах інтенсивність надходження запитів залежить від кількості та типу абонентів, що обслуговуються локальними АТС, і часу доби. Найчастіше розрізняють абонентів квартирного і ділового секторів, таксофони, а також лінії від ВАТС. для більшості станцій місцевих та міжнародних мереж характерна наявність трьох періодів найбільшої інтенсивності навантаження - періодів найбільшого навантаження (ПНН): з 9.00 до 12.00 та з 14.00 до 17.00 - виробничі піки, та з 19.00 до 22.00 - вечірній пік. На місцевих АТС зі значною перевагою квартирних абонентів перші два ПНН дещо згладжені, а третій, вечірній, - суттєвіший. При дослідженні добового розподілу інтенсивності навантаження окрім ПНН, які приймаються рівними трьом годинам, виділяють безперервні годинні інтервали, під час яких спостерігається максимальний пік абонентської активності. Ці періоди називаються години найбільшого навантаження (ГНН). За статистичну ГНН приймають одну й ту ж для всіх днів вимірювань годину доби, коли середня за ці дні інтенсивність навантаження максимальна.

Рисунок 3.4. Зміна телефонного трафіку протягом тижня

Рівень відмов залежить як від властивостей потоку викликів (абонентської інтенсивності та середньої тривалості розмови), так і від кількості та продуктивності установленого обладнання. Можна виділити чотири основні причини невдалої спроби виклику.

абонент зайнятий - ;абонент не відповідає до початку повторної спроби - ;неповний або неправильний набір номеру (помилка абонента ) - ;перевантаження системи і технічні помилки - ;

21. Навантаження і робота в СМО

Однією з найважливіших характеристик для СМО є поняття "навантаження" (traffic). Існують різні види навантаження, які розраховуються залежно від типу системи . Частину з них ілюструє рис.3.5. Розглянемо СМО з втратами, на яку надходить потік викликів, створюючи вхідне навантаження (навантаження, що надходить - offered traffic). Якась частина цього навантаження обслуговується (обслуговане навантаження - carried traffic), а якась частина створює перевантаження для системи (надлишкове навантаження - rejected traffic), виклики не отримують обслуговування і лишають систему.



Рисунок 3.5 Основні види навантаження для системи з втратами

Основним при розрахунках є обслуговане навантаження. Навантаження, що обслуговується в момент , - це число зайнятих каналів (або число одночасно обслуговуваних викликів) в момент . - випадкова величина, тому при розрахунках використовують математичне очікування та дисперсію навантаження. Математичне очікування називають інтенсивністю навантаження в момент : Навантаження в 1 створюється однією безперервно зайнятою лінією.