Функціональна схема системи масового обслуговування

На рис. 3.6 на прикладі функціонування 5-лінійного пучка в інтервалі показано: ступенева функція обслугованого навантаження, інтенсивність обслугованого за інтервал навантаження та тривалості зайняття кожної з 5 ліній .

Дисперсія навантаження в момент

Інтеграл функції за інтервал характеризує роботу з передачі повідомлення, виконану СМО за цей час. Як видно з рис. 3.5, робота є площа фігури, обмеженої осями координат і функцією навантаження . Вона чисельно дорівнює сумарному часу зайняття усіх ліній за інтервал :

(3.6)

22. Види навантаження та роботи

При аналізі СМО використовують наступні види навантаження та роботи:

Потенційне навантаження (робота) - розраховані для ідеальної системи, в якій кожному виклику надається негайне обслуговування. Інтенсивність потенційного навантаження будемо позначати . На практиці потенційне навантаження забезпечує система , де кількість каналів обслуговування дорівнює кількості джерел, що можуть генерувати виклики. Тоді за кожним джерелом закріплюється свій КО. Прикладом такої системи є система урядового зв'язку.

Втрачене навантаження (робота) - різниця між потенційним та обслугованим навантаженням (роботою). Інтенсивність втраченого навантаження визначається як: . (3.10)

Робота, що надходить в СМО, - сумарний час обслуговування всіх викликів, що надійшли в розглянутому інтервалі часу

Навантаження, що надходить в СМО, - похідна за часом від роботи, що надходить. Чисельно дорівнює добутку миттєвої інтенсивності потоку викликів в розглянутий момент часу на середній час обслуговування 1 виклику. Інтенсивність навантаження, що надходить в СМО, будемо позначати . У випадку стаціонарного і ординарного потоку можна визначити через параметр : . (3.11)

Вхідне навантаження - це інтегральна характеристика, що описує як потік, що надходить в СМО, так і здатність системи його обслужити.

Надлишкове навантаження дорівнює різниці між навантаженням, що надходить, та обслугованим навантаженням. Для інтенсивності надлишкового навантаження справедлива формула: .(3.12)

Співвідношення між і , і .

Для найпростішого потоку :

і .

Для примітивного потоку, що надходить в СМО з явними втратами інтенсивність потенційного навантаження перевищує інтенсивність навантаження, що надходить в СМО , оскільки джерело, що отримало відмову, стає вільним і надсилає нові виклики, тим самим збільшуючи порівняно з . Якщо примітивний потік надходить в систему з очікуванням маємо протилежну ситуацію: виклик, що стоїть в черзі, уповільнює надходження нових викликів від цього джерела, тобто .

23. Характеристики якості обслуговування. СМО з явними втратами

- імовірність втрати виклику, - імовірність втрат за часом, - імовірність втрат за навантаженням

Імовірність втрати виклику , що надійшов в інтервалі- це відношення середніх інтенсивностей потоків втрачених викликів та викликів, що надійшли в інтервалі :

Імовірність співпадає з імовірністю явної втрати повідомлення, що надійшло в розглянутому інтервалі. Якщо чисельник і знаменник (3.13) помножити на середній час обслуговування , то отримаємо рівносильне відношення інтенсивностей надлишкового навантаження і навантаження, що надходить _. Для стаціонарних потоків імовірність - величина постійна і не залежить від довжини та розташування інтервалу часу, що розглядається: Практичне вимірювання імовірності втрати виклику здійснюється шляхом підрахування (3.15) , де і - відповідно кількість втрачених викликів за інтервал , та викликів, що надійшли за цей інтервал. Формула (3.15) має тим більшу точність, чим більше . Імовірність втрат за часом в інтервалі є імовірність зайнятості в цьому інтервалі усіх доступних джерелу з'єднувальних шляхів в потрібному напрямку, тобто - усіх каналів обслуговування. Подібний стан називають станом насичення або небезпечним часом системи. Імовірність характеризує потенційну імовірність втрати виклику в інтервалі . Для стаціонарних потоків імовірність - величина постійна для будь-якого інтервалу часу. При вимірюваннях на реальних системах обчислюють значення втрат за часом як частку розглянутого інтервалу, коли зайняті всі лінії системи

24. Системи з очікуванням

В системах з очікуванням характеристиками якості є:

– імовірність очікування ;

– імовірність очікування більше допустимого часу ;

– середній час очікування стосовно будь-якого виклику, що надійшов, і стосовно затриманих викликів ;

– середня довжина черги ;

– імовірність перевищення довжиною черги заданого значення .

25. Системи з повторенням викликів

В системах з повторенням викликів основними характеристиками якості є:

імовірність втрати первинного виклику, що надійшов ;

імовірність явної втрати повідомлення, що надійшло при наявності обмеження на число повторень або на число джерел, що повторюють виклики);

середній час очікування з'єднання ;

Допоміжними характеристиками якості є:

– імовірність втрати повторного або будь-якого виклику ;

– середнє число повторних спроб на одне встановлене з'єднання або на один первинний виклик, що надійшов ;

– імовірність втрат за часом і за навантаженням.

Визначення імовірностей втрат виклику і повідомлення, а також втрат за часом і за навантаженням даються аналогічно системам з втратами. Величини та знаходяться як відношення інтенсивності навантаження, що надходить, створеного потоком повторних викликів, до інтенсивності відповідно обслугованого навантаження або первинного навантаження, що надходить.

(3.16)

(3.17)

Якщо явних втрат повідомлень нема, то (тобто обслуговуються всі первинні виклики) і відповідно . При наявності явних втрат . Середній час очікування з'єднання визначається через інтенсивність повторювання викликів джерелом : (3.18)

26. Загальні характеристики якості

Для порівняння і аналізу СМО, зокрема комутаційних систем (КС), і окремих пучків ліній вводиться поняття пропускної здатності системи (пучка).

Пропускна здатність КС - інтенсивність обслугованого цією системою навантаження в розглянутому інтервалі часу при заданих показниках якості обслуговування. При обслуговуванні з явними втратами нормується імовірність втрати виклику, з повторенням - імовірність втрати первинного виклику, з очікуванням - імовірність очікування.

Пропускна здатність КС в загальному випадку залежить від:

· властивостей потоку викликів, що надходить,

· закону розподілу часу обслуговування,

· структури і ємності КС і способу включення її виходів,

· дисципліни обслуговування викликів,

· встановленої норми якості обслуговування.

Разом з пропускної здатністю всієї системи розглядають пропускну здатність окремих ліній і середню пропускну здатність однієї лінії (каналу).

Рисунок 3.6. Зайняття ліній зв'язку в 5-лінійному пучку

де - сумарний час зайняття лінії за інтервал .

іншого боку, можна скористатись відомою формулою чисельного інтегрування (прямокутників) і визначити площу складної фігури, як добуток середнього значення на довжину інтервалу :

Звідки (3.7) Поняттям роботи, або інтегрального навантаження, широко користуються при вимірюваннях в мережах зв'язку. Робота вимірюється в Ерл-год (ерланг-година) або годино-зайняттях. Роботу в 1 Ерл-год виконує лінія, безперервно зайнята протягом години, в 2 Ерл-год - 2 безперервно зайняті протягом години лінії або 1 лінія, безперервно зайнята протягом 2 годин. Формула (3.5) інтенсивності навантаження може бути дещо видозмінена: якщо на інтервалі відомий загальний час , протягом якого в системі було зайнято рівно з ліній, то відношення дає статистичну оцінку імовірності , що дозволяє записати (3.5) у вигляді: ,(3.8) , де - кількість одночасно зайнятих каналів, - загальна кількість каналів в системі, - загальний час, протягом якого було зайнято рівно ліній

Середній час тривалості розмови суттєво залежить від типу виклику

Тип виклику	Середній час зайнятості, с
Міський	45 - 120
Міжміський	180 - 300
Міжнародний	300 - 600
Чекання відповіді абонентом А	20
Прослуховування сигналу "зайнято"	5
Час до початку набору номеру	2
Час набору однієї цифри	1.5 (дисковий) 0.6 (кнопковий)
Час до повторної спроби набору	30

Частка викликів, що закінчилися вдалим установленням з'єднання , може бути отримана за очевидною формулою:

.

Звичайно в телефоннтх мережах величина має значення 0,5 - 0,7. Приблизна статистика телефонної системи

Причина відмови в обслуговуванні	Рівень
Неповний або неправильний набір номеру (помилка абонента A)	5 - 10 %
Перевантаження системи і технічні помилки	1 - 5 %
Абонент Б зайнятий	10 - 20 %
Абонент Б не відповідає до початку повторної спроби	10 - 15%
Кількість успішних розмов	74 - 50 %
Кількість спроб на один успішний набір	1,4

Таким чином, технічні причини відмови в обслуговуванні складають меншу частку невдалих спроб. Але саме це значення нормується в телефонних мережах. І розрахунки СМО мають визначати необхідну кількість каналів обслуговування для забезпечення прийнятного рівня якості.

Імовірність втрат за навантаженням в інтервалі є відношення інтенсивностей втраченого та потенційного навантаження і в цьому інтервалі. Як і в попередніх випадках, для стаціонарних потоків імовірність - величина постійна. При рівності інтенсивностей потенційного навантаження та навантаження, що надходить, . При вимірюваннях на реальних системах значення втрат за навантаженням можна наближено оцінити як відношення інтенсивностей надлишкового і обслугованого навантажень в розглянутому інтервалі.

При теоретичних дослідженнях вказані характеристики визначають як для обмежених, так і для необмежених часових інтервалів.

Приклад 1.1

- означає 10-канальну систему з втратами, на вхід якої надходить найпростіший потік викликів, час обслуговування розподілено за експоненціальним законом, канали займаються випадково.

Приклад 1.2

- означає 5-канальну систему з очікуванням, на вхід якої надходить найпростіший потік викликів, час обслуговування розподілено за довільним законом, черга демократична.

Приклад 1.3

- означає 20-канальну систему без втрат, на вхід якої надходить примітивний потік викликів, час обслуговування розподілено за експоненціальним законом, канали займаються послідовно.

Приклад 1.4

- означає 5-канальну систему з повторенням, яка обслуговує найпростіший потік викликів, час обслуговування розподілено за експоненціальним законом.

Приклад 2.1.

Виклики найпростішого потоку надходять в середньому через 2 хв.

Знайти : 1) імовірність надходження 2 викликів за 1 хв.

2) імовірність відсутності виклику за 2 хв.

3) імовірність надходження 3 викликів за 2 хв.

Рішення

Для того, щоб скористатися формулою Пуассона, потрібно знати параметр потоку . Оскільки в найпростішому потоці параметр та інтенсивність співпадають і зворотно пропорційні середньому часу між віикликами, то:

1) .

2) .

3) .

Приклад 2.2.

Для найпростішого потоку з параметром 30 викл/год знайти імовірність надходження 2 викликів за 2 хв., та не більше 3 викликів за 5 хв.

Рішення

Спочатку узгодимо одиниці виміру параметру та часових інтервалів:

1)

.

2)

Приклад 2.3

Визначити найбільш імовірне число викликів найпростішого потоку з параметром 120 викл/год за 180 с.

Рішення

Дійсно:

. . Тобто,

Отже, найбільш імовірним є надходження 5 або 6 викликів такого потоку.

Важливою особливістю розподілу Пуассона є рівність математичного очікування та дисперсії випадкової величини, розподіленої за цим законом.

За визначенням, математичне очікування дискретної випадкової величини , що має відомий закон розподілу :

.

Для нашого випадку випадкова величина (кількість викликів, що потрапила до інтервалу заданої довжини), розподілена за законом Пуассона з імовірностями, що визначаються (2.16). Тоді

.

Аналогічно

. Таким чином, .

Ця властивість використовується на практиці для обгрунтованого висунення гіпотези, чи можна рахувати заданий потік найпростішим. Перевірку цієї статистичної гіпотези здійснюють з використанням відповідних статистичних критеріїв, наприклад - критерію Пірсона [5].

Приклад 2.4.

В результаті статистичної обробки інтервалів часу між викликами в потоці тримані наступні характеристики: середнє значення інтервалу: ; дисперсія . Визначити імовірність відсутності викликів за 1 с. Обґрунтувати відповідь.

Рішення

Оскільки вимірювались інтервали часу між викликами в потоці, користуємось другим способом перевірки і обчислимо =2с . Тобто, і потік можна вважати найпростішим. Відповідно, імовірність відсутності викликів за 1 с можна вирахувати за формулою Пуассона, а саме (2.17). Параметр потоку визначаємо як величину, зворотну середньому інтервалу між викликами:

.

Приклад 2.5.

На ММТС з трьох локальних АТС надходять найпростіші потоки з параметрами, відповідно, 5 викл/с, 3 викл/с і 2 викл/с. Визначити імовірність того, що за 0,1 с на ММТС надійде більше 3 викликів.

Рішення

Враховуючи, що сумарний потік буде найпростішим з параметром 10 викл/с, потрібну імовірність можна визначити за (2.20):

Приклад 2.6.

Система обслуговує 20 джерел середньою інтенсивністю 2 викл/хв. Визначити середнє, мінімальне і максимальне значення параметра потоку при середній тривалості зайняття 10 с.

Рішення:

Середнє значення обчислюємо згідно з (2.31):

Мінімальне та максимальне значення параметру примітивного потоку знаходимо:

Для обчислення скористаємось формулами (2.32) і (2.33):

(безумовно, значення інтенсивності та часу треба спочатку узгодити - виразити, наприклад, у хвилинах).

Примітивний потік є більш загальним випадком, порівняно з найпростішим. Зі зростанням числа джерел і відповідним зменшенням післядія примітивного потоку скорочується. Якщо , а , але так, що , примітивний потік переходить в найпростіший з параметром . Практично уже при (залежно від та i) можна користуватися більш простою моделлю найпростішого потоку.

Приклад 2.7.

Потік генерується групою з 300 джерел, кожне з котрих потребує обслуговування, в середньому 2 рази за годину. Визначити імовірність відсутності викликів за 6 с. Обґрунтувати допущення.

Рішення:

Параметр одного джерела незначний (порівняно з інтервалом часу, що нас цікавить), а кількість їх велика, отже можна вважати даний потік найпростішим з параметром

.

Приклад 2.8.

В системі зайнято 30 каналів. Час зайнятості кожного розподілено за експоненціальним законом з . Визначити імовірність того, що за час : 1) жоден канал не звільниться, 2) хоча б один канал звільниться.

Рішення

1) імовірність того, що жоден канал не звільниться - визначаємо за формулою (2.38)

.

імовірність того, що хоча б один канал звільниться - визначаємо за формулою (2.39)

.

Приклад 2.9.

CМО працює так, що в ній зайнято усі 10 каналів і після звільнення кожний негайно займається новим викликом. Час зайнятості каналу розподілено за експоненціальним законом з . Визначити імовірність того, що за час не звільниться жодна лінія.

Рішення:

за формулою (2.43) .

Приклад 2.10.

Лічильник дзвінків абонента видає один імпульс на початку дзвінка, а потім імпульс кожні 3 хвилини, поки триває розмова. Вважаємо, що тривалість розмови розподілено за експоненціальним законом із середнім значенням 3 хвилини. Знайти долю усіх розмов, для яких лічильник видасть:

a)рівно 2 імпульси;

b)менше, чим 2 імпульси;

c)більше, чим 2 імпульси;

d) не менше, чим 2 імпульси;

e) не більше, чим 2 імпульси

Рішення: Закон розподілу для тривалості розмови має вигляд:

рівно 2 імпульси буде, якщо

менше, чим 2 імпульси буде, якщо

більше, чим 2 імпульси буде, якщо

не менше, чим 2 імпульси буде, якщо

не більше, чим 2 імпульси буде, якщо

Приклад 2.11.

По з'єднувальній лінії між пунктами і середня тривалість розмови для викликів 4 хвилини, а для - 3 хвилини. Для обох випадків можна прийняти експоненціальний розподіл. Виклики складають 55 % викликів. Знайдіть імовірність того, що деяка розмова буде тривати довше, ніж 6 хвилин.

Рішення:

Подія, яка нас цікавить: "деяка розмова буде тривати довше, ніж 6 хвилин" може відбутися у двох незалежних випадках:

1. Розмова відбувається у напрямку і триває довше 6 хвилин. Імовірність цієї сумісної події



Розмова відбувається у напрямку

Загальна імовірність дорівнює сумі

Приклад 3.1.

В 5-лінійній СМО протягом двогодинного періоду сумарний час зайняття першої лінії склав 65 хв., другої - 55 хв., третьої - 50 хв., четвертої - 45 хв., п'ятої - 40 хв. Визначити роботу, виконану системою, інтенсивність навантаження, середню тривалість одного зайняття при їх загальному числі 200.

Рішення:

За формулою (3.6) робота чисельно дорівнює сумарному часу зайняття усіх ліній за інтервал :

З формули (3.7) можна знайти : Середня тривалість одного зайняття

Формула (3.5) інтенсивності навантаження може бути дещо видозмінена: якщо на інтервалі відомий загальний час , протягом якого в системі було зайнято рівно з ліній, то відношення дає статистичну оцінку імовірності , що дозволяє записати (3.5) у вигляді:

де - кількість одночасно зайнятих каналів

- загальна кількість каналів в системі

- загальний час, протягом якого було зайнято рівно ліній

Крім того, якщо в системі виклики не отримують відмову, то все навантаження, що надходить в систему, буде обслуговано. Зайнятість такої системи (обслуговане навантаження за період , а також і вхідне навантаження) залежить від інтенсивності надходження запитів на обслуговування (параметру потоку викликів) та тривалості окремої розмови, тобто може бути розрахована як

, (3.9)

де - параметр потоку викликів (або його середнє значення за час );

- середній час обслуговування

Увага! Формула (3.9) може використовуватися тільки при відсутності втрат!

Приклад 3.2.

В систему з кількістю ліній протягом 10 одиниць часу надійшло 5 викликів, які займали канали, як показано на рис. 3.7. Визначити обслуговане системою навантаження трьома способами.

Рисунок 3.7

Рішення

І спосіб.

Як видно з рис.3.7, усі виклики отримали обслуговування, отже можна скористатися формулою (3.9). Для цього спочатку знайдемо параметр потоку, поділивши кількість викликів на інтервал часу, за який вони надійшли:



Середній час обслуговування знайдемо, поділивши сумарний час обслуговування всіх викликів на їх число:

тоді

ІІ спосіб - формула (3.7)

ІІІ спосіб - формула (3.8)

Размещено на Allbest.ru