1.1 Сведения из теории

1.1.1 Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются фундаментальными законами электротехники.

Первый закон Кирхгофа формулируется для узла электрической цепи: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. При этом подходящие к узлу токи записываются с одним знаком, отходящие - с другим.

Например, для узла, изображенного на рис. 1.1, можно записать первый закон Кирхгофа:

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рис. 1.1

I₁ + I₂ - I₃ - I₄ = 0 или - I₁ - I₂ + I₃ + I₄ = 0

Число линейно независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов схемы.

Второй закон Кирхгофа формулируется для контура электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура. При этом, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она берется со знаком „плюс", если не совпадает - со знаком „минус”. Падение напряжения на элементе берется со знаком „плюс", если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода, если не совпадает - со знаком „минус".

Например, для контура, показанного на рис. 1.2, можно записать:

Рис. 1.2

R₁I₁ + R₂I₂ - R₃I₃ - R₄I₄ = E₁ - E₂

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров - контуров, отличающихся друг от друга хотя бы одной новой ветвью.

Последовательность определения токов ветвей по законам Кирхгофа:

1) Выбирается направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны.

2) Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа, их число на единицу меньше числа узлов схемы.

3) Выбираются независимые контуры и направления их обхода.

4) Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих источники тока, не составляются.

5) В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.

1.1.2 Метод контурных токов

В этом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 1.3, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 1.3

Выберем независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода - I₁₁ , I₂₂ , I₃₃ .Выберем направления токов ветвей и составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как I₃₃ = J):

R₁I₁ + (R₂ + R₃)I₂ = E₁

-(R₂ + R₃)I₂ - R₄I₃ + R₅I₄ = -E₂ (*)

Выразим токи ветвей через контурные:

I₁ = I₁₁ ; I₂ = I₁₁ - I₂₂ ; I₆ = I₃ = -I₂₂ ; I₄ = I₂₂ + I₃₃ ; I₅ = I₃₃ ; I₃₃ = J ; I₅ = J

и подставим в систему (*):

R₁I₁₁ + (R₂ + R₃)(I₁₁ - I₂₂) = E₁

-(R₂ + R₃) (I₁₁ - I₂₂) - R₄(-I₂₂) + R₅(I₂₂ + I₃₃) = -E₂

После группировки получим:

(R₁ + R₂ + R₃)I₁₁ - (R₂ + R₃) I₂₂ = E₁

-(R₂ + R₃) I₁₁ + -(R₂ + R₃ + R₄ + R₅ )I₂₂ + R₅I₃₃ = -E₂

В общем виде для трехконтурной схемы с одним источником тока:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₂₃ = E_22,

где R₁₁ , R₂₂ - собственные сопротивления контуров I₁₁ и I₂₂, каждое из которых равно сумме сопротивлении, входящих в данный контур;

R₁₂ = R₂₁ , R₁₃ ,R₂₃ - общие сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветви, общей для рассматриваемых контуров, Общие сопротивления берутся со знаком “плюс”, если контурные токи в них направлены одинаково и со знаком “минус”, если контурные токи в них направлены встречно. Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере R₁₃ = 0;

Е₁₁ , Е₂₂ - контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком ”плюс”, если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает - со знаком “минус”.

Последовательность определения токов ветвей методом контурных токов

1) Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.

2) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.

3) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.

4) Рассчитываются контурные токи.

5) Выбираются направления токов ветвей.

6) Определяются токи ветвей.

1.1.3 Метод узловых потенциалов

В этом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, а токи ветвей находят по закону Ома.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 1.4, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 1.4

В этой схеме два неизвестных потенциала: и , поскольку =, =, =, а потенциал одного из узлов, в данном случае , принимается равным нулю, что на схеме обозначается заземлением узла 3.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа, предварительно выбрав направления токов в ветвях:

узел 1: -I₁ + I₃ + I₄ + I₅ -I₇ = 0

узел 2: I₂ - I₃ - I₄ + I₆ + I₇ = 0 (*)

Выразим токи ветвей через потенциалы узлов:

;

;

;

;

; ;

и подставим в систему (*):

После группировки получим:

В общем виде:

где , - собственные (узловые) проводимости узлов 1 и 2, каждая из которых равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле;

, - общая проводимость - взятая со знаком “минус” сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2 (проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю);

, - задающие (узловые) токи узлов 1 и 2, каждый из которых равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимость ветвей, в которых они находятся (рассматриваются ветви, подключенные к данному узлу), и алгебраической сумме токов источников тока, подключенных к данному узлу. Знаки слагаемых: “плюс” - если направление ЭДС (источника тока) к узлу, “минус” - если направление ЭДС (источника тока) от узла.

Последовательность определения токов ветвей методом узловых потенциалов:

1) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений системы на единицу меньше числа узлов схемы. Если в схеме содержится ветвь с источником ЭДС без сопротивлений, то ₂ = ₁ + E₁. Приняв ₁ = 0, получим ₂ = E₁.

2) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие проводимости, также задающие токи узлов.

3) Рассчитывается потенциалы узлов.

4) Выбираются направления токов ветвей.

5) Определяются токи ветвей.

1.1.4 Метод активного двухполюсника (эквивалентного генератора)

При расчетах линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источник ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 1.5,а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного генератора с ЭДС Е_Г и сопротивлением R_Г.

Рис. 1.5

Эквивалентная ЭДС Е_Г равна напряжению на зажимах ab при разомкнутой ветви R_H, т.е. напряжению холостого хода U_х.х.

Сопротивление R_Г равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов ab при разомкнутой ветви R_H. Источники при этом исключаются из схемы.

Эквивалентные параметры Е_Г и R_Г могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (рис. 1.5,б) и короткого замыкания (рис. 1.5,в):

Е_Г = U_х.х ;

1.1.5 Баланс мощностей

На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

1.2 Расчетно-экспериментальная работа №1

1.2.1 Цель работы

1) Освоение методики измерения токов, напряжений, потенциалов.

2) Опытная проверка законов Кирхгофа и принципа наложения.

3) Расчёт токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора.

4) Построение потенциальной диаграммы.

5) Составление баланса мощностей.

6) Сравнение результатов опыта и расчёта.

Особенности выполнения работы

Проверка методов расчёта цепей постоянного тока состоит в измерении токов, напряжений, потенциалов и сравнение их с результатами расчётов. На первом занятии необходимо освоить методику измерения ЭДС, токов, напряжений, потенциалов и провести измерения по программе из задания на расчётно-экспериментальную работу (РЭР).

На последующих занятиях экспериментальные данные сравнивают с результатами расчётов, полученных различными методами. Поскольку макеты установок находятся в лаборатории в течении всего времени выполнения РЭР, при необходимости эксперимент можно повторить и уточнить данные опыта.

1.2.2 Схема исследования. Ее параметры

Описание лабораторной установки

Лабораторная установка содержит:

1) Панель, на которой установлены приборы магнитоэлектрической системы: три миллиамперметра и вольтметр, сопротивления: R₁, R₂, R₄, R₅;

2) Два источника постоянной регулируемой ЭДС;

3) Два магазина сопротивлений - R3 и R6;

4) Ключ S, соединительные провода.

Таблица 1.1 - Параметры схемы

Рис. 1.6 - Исследуемая схема

Исследуемая схема содержит: 6 ветвей и 4 узла.

1.2.3 Опытная часть

Результаты проведённых экспериментов

Таблица 1.2 - Токи в ветвях

Таблица 1.3 Потенциалы точек

Таблица 1.4 - Токи в ветвях цепи по методу наложения

Таблица 1.5 - Параметры эквивалентного генератора

1.2.4 Расчетная часть

1.2.4.1 Проверка законов Кирхгофа

Подходящие к узлу токи записываются с положительным знаком, отходящие-с отрицательным.

по 1-му закону Кирхгофа:

Замечание: Сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих из него токов.

по 2-му закону Кирхгофа:

Объединим все в одну систему:

Подставим значения токов и сопротивлений во второе и пятое уравнения и убедимся, что тождества верны.

1.2.4.2 Метод Контурных токов

Рис. 1.7 - Схема с обозначенными контурными токами

Выберем три независимых контура. Обозначим контурные токи: I₁₁, I₂₂, I₃₃, выбрав направление обхода произвольно.

Подставляем значения сопротивлений в общую формулу:

Теперь подсчитываем необходимые токи через контурные

Что и требовалось доказать.

1.2.4.3 Метод узловых потенциалов

Рис. 1.8 - Схема для расчёта по методу узловых потенциалов

Узел 1:

Узел 2:

Выражаем и находим потенциалы :

Выражаем и находим токи ветвей:

Что и требовалось доказать

1.2.4.4 Метод эквивалентного генератора

Рис. 1.9 - Схема эквивалентного генератора

Рис. 1.10- Схема эквивалентных преобразований

Найдем входное сопротивление R_АВ = R_Г :

Замечание: Узел 2 и 3 являются выходными зажимами схемы эквивалентного генератора.

Найдём потенциалы узлов:

Выражаем проводимости и подставляем их в общую систему:

Находим :

1.2.4.5 Метод наложения

Исключаем ЭДС 2. При этом токи I₂ и I₅ меняют направление на противоположное.

Рис.1.11 - Схема под действием ЭДС 1

Исключаем ЭДС 1. При этом токи I₆, I₁, I₄ меняют направление на противоположное.

Рис. 1.12 - Схема под действием ЭДС 2

1.2.4.6 Баланс мощностей

Количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

Уравнение баланса имеет вид:

или

Вт

1.2.4.7 Построение потенциальной диаграммы для внешнего контура

это обход точек

1.2.4.8 Сравнение методов

Расчеты, проведенные в данной работе, позволяют глубже понять суть методов расчета электрических цепей постоянного тока и соотношение их с практикой. Их результаты показывают, что изучаемые методы расчета абсолютно точны в принципе, а погрешности или расхождение с практикой могут появиться только в результате округления чисел в расчетах или использования неполных математических моделей реальных схем.

Наиболее простым для понимания и решения в данной работе для меня оказался метод наложения, потому что он использует только тождественные преобразования электрической цепи и закон Ома и не ипользуются искусственные приемы (расчет контурных токов, потенциалов узлов и т.д.). Использование метода узловых потенциалов при расчете цепи дает более простые уравнения, чем метода контурных токов - в схеме 2 узла с неизвестными потенциалами и три независимых контура.

Сложнее всего оказывается метод эквивалентного генератора: для расчета ЭДС эквивалентного генератора приходится использовать метод узловых потенциалов, так как результирующая схема содержит два контура и два узла. При этом также необходимо использовать преобразование цепи для расчета сопротивления эквивалентного генератора. Таким образом, в данной схеме выигрыш в объеме расчетов дает именно метод узловых потенциалов.

При этом всегда следует учитывать то, что выбор конкретного метода для расчета заданной электрической цепи всегда стоит осуществлять, ориентируясь не только на ее структуру, но и учитывая глубину понимания данного метода расчета, т.к. это в конечном итоге может сократить требуемое время для расчета, что при одинаковых результатах расчета может служить критерием оптимального способа решения.

1.2.5 Заключение по работе

В результате проведения опытов в лаборатории и измерений были получены значения токов, потенциалов, сопротивлений. При измерении и расчёте имеет место незначительное расхождение в значениях. Это объясняется тем что соединительные провода и источники ЭДС обладают сопротивлением в отличие от идеальных, используемых в расчётах. Не возможно идеально точно установить параметры схемы: сопротивления, значения ЭДС.

2. Исследования и расчет цепей синусоидального тока

2.1 Теоретические сведения

2.1.1 Синусоидальный ток

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

,

где - максимальное значение или амплитуда тока;

- угловая частота

- полная фаза колебания;

- начальная фаза.

Угловая частота , частота и период T связаны соотношением:

.

Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью вектора на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону.

Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.

2.1.2 Комплексный метод расчета

При проведении расчета очень удобным оказывается рассмотрение вращающегося вектора на комплексной плоскости.

В этом случае вектор можно представить как комплексную амплитуду тока , а сам синусоидально изменяющийся ток I - как мнимую часть произведения комплексной амплитуды на :

.

электрическая линейная цепь ток

Тогда при t=0 можно записать:

.

На практике широкое распространение получил символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность данного метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов амплитудных значений тока , напряжения , и ЭДС либо их действующих значений , и . Например, если

,

то комплексное действующее значение напряжения

,

где .

Рис. 2.1 - Схема цепи с реактивными элементами

Аналогично осуществляется запись комплексов действующих значений величин ЭДС и тока. Например, для схемы (рис. 1) уравнение для мгновенных значений напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется следующим образом:

, или .

Переходя к комплексным действующим значениям напряжений, получим:

,

где R - активное сопротивление цепи,

- комплексное индуктивное сопротивление цепи,

- комплексное емкостное сопротивление цепи.

Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности L опережает вектор тока на . Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на емкости С отстает от вектора тока на . На активном сопротивлении R векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Величина называется комплексным сопротивлением цепи (см. рис. 1.2), а - ее комплексной проводимостью, где G и B - активная и реактивная составляющие проводимости цепи.

Комплексные числа записываются в одной из следующих форм:

алгебраическая - ;

показательная - ;

тригонометрическая - ;

полярная - .

Геометрически любому комплексному числу можно сопоставить в соответствие точку комплексной плоскости с координатами x=a, y=jb или радиус-вектор длиной A единиц, проведенный из начала координат в точку A и расположенный под углом ц к оси абсцисс (рис. 1.3). Из рисунка очевидны формулы перехода из одной формы записи комплексного числа к другой:

Алгебраическая форма применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная - при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня. Умножении числа на мнимую единицу сводится к повороту вектора на угол 90⁰ против часовой стрелки, умножение на - к повороту на угол 90⁰ по часовой стрелке, а умножение на -I соответствует повороту на .

Полное комплексное сопротивление цепи и сопротивления ее участков (R, L и С) геометрически связаны треугольником сопротивлений:

а) если , то

б) если , то , где

Расчет электрической цепи в комплексной форме требует записи одного и того же комплексного числа в алгебраической и показательной формах.

2.1.3 Векторные диаграммы

Представление комплексных величин на комплексной плоскости векторами дает возможность строить векторные диаграммы токов и напряжений в цепях синусоидального тока. Топографическая диаграмма позволяет проверить правильность расчетов и дает наглядное представление о фазовых сдвигах между напряжениями и токами.

Перед построением диаграммы предварительно выбираются положительное направление тока в цепи, а так же масштабы напряжений и токов на комплексной плоскости.

Для токов обычно строится лучевая диаграмма, когда токи откладываются из одной точки.

Для напряжений обычно строится топографическая диаграмма, на ней напряжения элементов откладываются в той же последовательности, как эти элементы расположены на схеме. Обход контура выбирают против положительного направления тока. На комплексной плоскости стрелка указывает в сторону большего потенциала. Сложение всех векторов напряжений дает входное напряжение цепи.

2.1.4 Явление взаимоиндукции

В любой цепи переменного тока между катушками индуктивности существует взаимодействие, которое характеризуется величиной взаимной индуктивности M.

Если токи в катушках протекают в одном направлении относительно зажимов, то магнитный поток самоиндукции катушки совпадает с магнитным потоком взаимоиндукции. Такое включение катушек называется согласным. В этом случае напряжение взаимоиндукции прибавляется к напряжениям на соответствующих индуктивностях.

В противном случае включение катушек встречное. Напряжение взаимоиндукции вычитается из соответствующих напряжений на индуктивностях.

Начальный зажим на схемах помечается точкой.

Взаимная индуктивность рассчитывается по формуле:

, (2.1)

где M - взаимная индуктивность, Гн;

L_с -индуктивность цепи при согласном включении, Гн;

L_в - индуктивность цепи при встречном включении, Гн.

Магнитная связь катушек характеризуется коэффициентом связи, который рассчитывается по формуле:

, (2.2)

где K - коэффициент связи;

L₁ - индуктивность первой катушки, Гн;

L₂ - индуктивность второй катушки, Гн.

2.1.5 Резонанс в электрических цепях

Признаком резонанса в электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, является совпадение по фазе напряжения и тока на ее входе.

При последовательном соединении индуктивности и емкости или при последовательном соединении участков, содержащих индуктивность и емкость, возможен резонанс напряжений.

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление цепи компенсируется емкостным, в результате входные реактивные сопротивление и мощность равны нулю, напряжения на реактивных элементах могут значительно превышать входное.

При параллельном соединении индуктивности и емкости или при параллельном соединении участков, содержащих индуктивность и емкость, возможен резонанс токов.

При резонансе токов индуктивная проводимость цепи компенсируется емкостной, в результате реактивная проводимость и реактивная мощность на входе цепи равна нулю, токи в реактивных элементах могут значительно превышать входной ток.

Частота, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. При исследовании резонансных режимов обычно определяется резонансная частота, значения индуктивности или емкости, при которых на заданной частоте возникает резонанс, а также рассчитываются частотные характеристики - зависимости токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей от частоты.

2.2 Расчетно-экспериментальная работа №2

2.2.1 Цель работы

1. Экспериментальное и расчетное определение эквивалентных параметров цепей переменного тока, состоящих из различных соединений активных, реактивных и индуктивно связанных элементов

2. Применение символического метода для расчета цепей переменного тока.

3. Расчет цепей с взаимной индукцией.

4. Проверка баланса мощностей.

5. Исследование резонансных явлений в электрических цепях.

6. Построение векторных топографических диаграмм.

2.2.2 Экспериментальные исследования

Собираем схему для определения параметров элементов цепи по методу трех приборов (вольтметра, амперметра, ваттметра), изображенную на рис. 3.1. Напряжение в схеме регулируется лабораторным автотрансформатором (ЛАТР).

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рис. 2.2 - Схема для определения параметров цепи по методу трёх приборов

Поочередно подключаем к выходным зажимам 2 - 2^/ схемы реостат, катушки индуктивности и конденсатор (элементы 1, 2, 3, 4 рис. 3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рис. 2.3 - Эквивалентные схемы элементов стенда

Произведенные измерения токов, напряжений, и мощностей заносим в таблицу.

Таблица 2.1 - Параметры элементов

2.2.3 Расчет установившихся режимов в цепях синусоидального тока

Рассчитаем параметры элементов стенда по отдельности по измеренным значениям тока, напряжения и активной мощности в них:

Абсолютное значение угла сдвига фаз определяется по формуле:

,

при этом для индуктивных элементов , а для емкостных .

По известным значениям реактивного сопротивления X_L и X_С можно определить параметры реактивных элементов:

, .

По измеренным значениям , , определим для каждого элемента полное , активное , реактивное сопротивления, угол сдвига фаз между напряжением и током, параметры реактивных элементов , .

Подставляя в расчетные формулы значения токов и напряжений, полученные из опыта, получим:

Резистор

Т.к. в цепи нет реактивных элементов, то ц=0.

Катушка №13

Катушка №10

Конденсатор

2.2.3.1 Исследование цепи с элементами, соединенными последовательно

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рис. 2.4 - Схема с последовательно включенными элементами

Таблица 2.2 Значения электрических величин при последовательном соединении элементов

По значениям , , , , , , определяем комплексное входное сопротивление .

Приняв начальную фазу приложенного напряжения равной нулю, символическим методом определим ток , полную , активную и реактивную мощности, а также напряжение на зажимах первой катушки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рис. 2.5 - Схема подключения осциллографа для наблюдения кривых тока и напряжения на конденсаторе в схеме

Диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов:

Рис. 2.6 - Диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов

2.2.3.2 Исследование цепи со смешанно соединенными элементами

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рисунок 2.7 - Схема смешанного соединения элементов

Таблица 2.3 - Значения электрических величин при смешанном соединении элементов

По значениям , , , , , ( таблица 2.1.) определяем комплексное входное сопротивление :

Приняв начальную фазу приложенного напряжения равной нулю, символическим методом определим токи ветвей , и напряжение на параллельно соединенных 3,4 элементах. Рассчитаем полную , активную и реактивную мощности цепи.

Проверка токов по первому закону Кирхгофа:

Рис. 2.8. - Диаграмма напряжений при смешанном соединении элементов

2.2.3.3 Последовательное соединение индуктивно связанных катушек

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

Рисунок 2.9 - Схема для изучения взаимной индуктивности

Таблица 2.4. - Параметры элементов

По опытным данным ( таблица 2.4.) определить эквивалентные параметры (, , , ) и угол сдвига фаз между напряжением и током для трех видов включения катушек (рисунок 2.6.):

А) согласное

Б) встречное

В) отсутствие магнитной связи.

А) Случай согласного включения катушек.

Б) Случай встречного включения катушек.

Теперь можно посчитать взаимную индуктивность катушек М и коэффициент связи К.

В) Случай, когда M=0

По значениям , , , , , приняв начальную фазу напряжения равной нулю, определим для трех видов включения индуктивно связанных катушек (рисунок 2.6) символическим методом ток и активную мощность .

А) Расчёт величин при согласном включении катушек.

Расчет величин U для векторной диаграммы.

Согласное.

По расчётным величинам.

Рис. 2.10 - Диаграмма напряжений при согласном включении катушек

Б) Расчёт величин при встречном соединении катушек.

Расчет величин U для векторной диаграммы.

Встречное.

По расчётным величинам.

Рис. 2.11 - Диаграмма напряжений при встречном включении катушек

В) Расчёт величин при М=0

Расчет величин U для векторной диаграммы.

Без взаимной индуктивности.

По расчётным величинам.

Рис. 2.12 - Диаграмма напряжений без взаимной индуктивности катушек

2.2.3.4 Исследование явления резонанса напряжений в электрических цепях

3.1.1 Разложение периодической несинусоидальной кривой в ряд Фурье

Существует класс линейных электрических цепей, которые содержат источники периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений или токов. Под воздействием таких источников в цепи возникают токи, которые также являются периодическими несинусоидальными функциями времени. Периодические несинусоидальные функции, как известно, описываются рядами Фурье, одна из форм которых имеет вид:

(3.1)

где угловая частота функции;

T период функции;

нулевая гармоника, или постоянная составляющая;

(3.2)

 соответственно коэффициенты синусных и косинусных составляющих ряда.

При интегрировании по переменной формулы (3.2) принимают вид:

(3.3)

Связь между выражениями (3.2) и (3.3) осуществляется в соответствии с равенством .

Используя соотношение

, (3.4)

где ;

,

ряд (1.1) можно переписать в форме:

(3.5)

где первая (основная) гармоника;

высшая гармоника.

Соответственно

амплитуды гармоник;

начальные фазы гармоник;

номер (порядок) гармоники.

Поскольку рассматриваются линейные цепи, то согласно принципу наложения действие каждой гармоники напряжения (ЭДС) источника можно считать независимым. Поэтому расчет для каждой гармоники проводится отдельно и представляет собой расчет цепи синусоидального тока на частоте соответствующей гармоники . Для нулевых гармоник применяются методы расчета цепей постоянного тока.

Например, ЭДС источника описывается рядом:

. (3.6)

Последовательным расчетом определяются токи соответствующих гармоник, и в конечном итоге для тока формируется ряд в форме:

, (3.7)

по структуре аналогичный ряду (3.6).

Здесь нулевая гармоника тока;

первая (основная) гармоника;

высшие гармоники тока.

При расчете электрических цепей соотношение (3.1) используется для разложения ЭДС, напряжений или токов источников в ряд Фурье. Форма ряда (3.5) непосредственно применяется при расчете режимов цепей.

3.1.2 Определение коэффициентов ряда Фурье

В случае, когда периодическая несинусоидальная функция задана графически, например в виде осциллограммы, используется приближенный способ определения коэффициентов ряда (3.1).

При этом период несинусоидальной функции , равный , разбивают на m частей и интегралы (3.3) заменяют суммами:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Число интервалов m зависит от порядка конечной учитываемой гармоники. Например, если ряд (3.5) заканчивается пятой гармоникой и минимальное число точек на периоде этой гармоники принять m₅ = 6, то число m в формулах (3.8) - (3.10) должно быть не меньше значения .

3.1.3 Свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией

Прежде чем приступить к расчету коэффициентов ряда, необходимо выяснить, не обладает ли функция симметрией относительно осей координат.

Наличие того или иного вида симметрии позволяет предсказать, какие гармоники будет содержать ряд.

Если для функции выполняется условие , (3.11)

то функция симметрична относительно оси абсцисс (рис. 3.1).

Рис. 3.1 - Функция, симметричная относительно оси абсцисс

Ряд Фурье таких функций не содержит постоянную составляющую и четные гармоники :

(1.12)

Функция, для которой выполняется условие

, (3.13)

симметрична относительно оси ординат (рис. 3.2) четная функция.

Рис. 3.2 - Функция, симметричная относительно оси ординат

В этом случае отсутствуют синусные составляющие (А₁ = А₂ = А₃ = … = 0):

(3.14)

В случае выполнения условия

(3.15)

функция симметрична относительно начала координат (рис. 3.3) нечетная функция.

Рис.3.3 - Функция, симметричная относительно начала координат

В разложении функции отсутствуют постоянная составляющая и косинусные гармоники :

(3.16)

3.1.4 Действующие значения несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов

Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции f(t)

(3.19)

Например, для тока

в соответствии с (3.19)

Однако

а

следовательно,

, (3.20)

или

.

Учитывая, что можно записать:

. (3.21)

Аналогично действующее значение ЭДС

(3.22)

действующее значение напряжения

(3.23)

Как видно из формул (3.21) (3.23), действующее значение несинусоидального тока (ЭДС, напряжения) равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник этого тока (ЭДС, напряжения). Действующие значения измеряются приборами электромагнитной, электродинамической, ферродинамической, электростатической и тепловой систем.

3.1.5 Мощности

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р = u i за период функции или ее первой гармоники:

(3.24)

Так как для каждой гармоники

и то

Вт, (3.25)

где , действующие значения соответственно напряжения и тока k-й гармоники;

угол сдвига фаз между напряжением и током -й гармоники.

Реактивная мощность Q равна сумме реактивных мощностей гармоник, вар:

. (3.26)

Полная мощность S определяется как произведение действующих значений напряжения и тока, ВА:

. (3.27)

Коэффициент мощности

. (3.28)

Для оценки энергетических свойств цепи применяется также отношение реактивной мощности к активной Q / P.

3.1.6 Цель работы

Выполнить расчет линейной электрической цепи при несинусоидальном входном напряжении, сравнить полученные результаты с опытными данными

3.2 Исследование линейной электрической цепи при несинусоидальном входном напряжении.

3.2.1 Цель работы

1) Выполнить расчет линейной электрической цепи при несинусоидальном входном напряжении.

2) Сравнить полученные результаты с опытными данными.

3) Задания

4) Заданное входное напряжение разложить в ряд Фурье.

5) Рассчитать мгновенные значения гармоник входного тока и записать его итоговое выражение.

6) Построить в одной системе координат временные графики гармоник и суммарную кривую входного тока. Последнюю кривую сравнить с кривой тока, полученной экспериментально.

7) Определить действующие значения входных напряжений и токов.

8) Вычислить активную P, реактивную Q и полную S мощности цепи, коэффициенты мощности и несинусоидальности для напряжения и тока .

9) Построить зависимости амплитуд и начальных фаз от частоты для входных напряжения и тока.

3.3 Экспериментальная часть

1) Для схемы (Рисунок 3.1) при заданных значениях амплитуды U_m, периода T и продолжительности импульса D питающего напряжения зарисованы с экрана осциллографа кривые входного напряжения и тока (Рисунок 3.2), масштабы по вертикали , и горизонтали - указаны.

Рис. 3.4 - Исследуемая схема

Таблица 3.1 - Параметры элементов цепи

Рис. 3.5 - Экран осциллографа

а) выставить входное напряжение генератора ;

б) с помощью переключателей “Период Т” и “Временной сдвиг D” генератора установить заданный период и длительность импульса. При этом переключатель “ Х ” генератора установить в положении “ 1 ”;

в) подключить к заданной схеме (Рисунок 3.1) выход генератора и входы осциллографа и зарисовать кривые тока и напряжения .

г) рассчитать значения, полученные по осциллографу:

3.4 Расчетная часть

Разложение входного напряжения в ряд Фурье.

,

где - угловая частота переменного несинусоидального напряжения;

- скважность импульсов.

Следовательно, входное напряжение будет равно:

,

где - постоянная составляющая напряжения, В;

- амплитуда k-ой гармоники, В;

k - номер гармоники, равный 1, 2, 3, …

Постоянная составляющая рассчитывается по формуле:

,В

Амплитуда гармоники рассчитывается по формуле:

Аналитическое выражение входного напряжение через ряд Фурье для первых восьми гармоник:

Рис. 3.6 - Линия входного напряжения

Расчет мгновенных значений гармоник входного тока

Входное сопротивление цепи на постоянном токе

Ом.

Постоянная составляющая тока:

мкА.

Сопротивление цепи и входной ток для k-гармоники равно:

,

где k - номер гармоники.

Таблица 3.2 - Комплексное входное сопротивление и амплитуд токов

Постоянная составляющая тока:

Запишем аналитическое выражение для входного тока восьми первых гармоник(ток измеряется в микроамперах):

Рис. 3.7 - Линия входного тока

Действующие значения входных напряжения и тока

.

;

Значения активной, реактивной и полной мощности цепи, коэффициентов мощности и несинусоидальности напряжения и тока рассчитывается по формулам:

Полная мощность в цепи равна:

Активная мощность цепи равна:

где ц - фазовый сдвиг соответствующих гармоник токов относительно напряжений, находящийся по формуле, град:

ц_k=в_k-б_k,

где в_k - начальная фаза k-й гармоники напряжения, град;

б_k - начальная фаза k-й гармоники тока, град.

Реактивная мощность цепи равна:

Коэффициент мощности равен:

Коэффициент несинусоидальности напряжения равен:

Коэффициент несинусоидальности тока равен:

Зависимости амплитуд и начальных фаз от частоты для входного напряжения и тока

Рис. 3.8 - Зависимость фазы тока от частоты (номера гармоники)

Рис. 3.9 - Зависимость амплитуды напряжения гармоник от частоты (номера гармоники)

Рис. 3.10 - Зависимость амплитуды тока гармоник от частоты (номера гармоники)

3.5 Вывод

Проведенное исследование электрической цепи при негармоническом входном воздействии показывает, что принятый метод расчета для линейных электрических цепей (метод наложения) дает мало отличающиеся от истины результаты только при машинном способе расчета. Ручной процесс расчёта очень трудоёмок. А так как для большей точности вычислений нужно провести расчёты по как можно большему числу гармоник, этот способ наиболее приемлем для максимальной точности исследования. И вообще, число гармоник, учитываемых для сведения погрешности вычислений к минимуму, напрямую зависит от типа и сложности исследуемой схемы.

4. Исследование трёхфазной цепи

4.1 Сведения из теории

4.1.1 Симметричные трёхфазные цепи

Трехфазной системой называется электрическая цепь, в которой действуют три ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником электромагнитной энергии.

Трехфазную симметричную систему ЭДС получают при помощи трехфазных генераторов, содержащих три обмотки с одинаковым числом витков и размещенных в корпусе генератора таким образом, что в них наводятся одинаковые по величине ЭДС, смещенные на равные углы в 120. Обмотки генератора обычно соединяются либо звездой (рис. 4.1), либо треугольником (рис. 4.2). В каждом виде соединения соблюдается одно и то же правило направления ЭДС: от конца каждой обмотки (точки X, Y, Z) к ее началу (точки А, В, С).

Рис. 4.1 - Соединение обмоток Рис. 4.2 - Соединение обмоток

генератора звездой генератора треугольником

Если допустить, что мощность источника значительно превосходит мощность приемника электрической энергии, то фазные напряжения , , можно принять равными, но противоположно направленными соответствующим фазным ЭДС , , (рис. 4.3,а).

При смене направления ЭДС (от начала каждой обмотки к ее концу) положительные направления фазных напряжений , , (рис. 4.3,б) отличаются на 180 от принятых направлений соответствующих векторов фазных напряжений источника , , (рис. 4.3,а). Это приводит к различию на 180 положительных направлений линейных напряжений , , (рис. 4.3,б).

Рис. 4.3 - Система обозначений линейных и фазных напряжений трехфазного генератора

Фазные напряжения симметричного источника:

; ;

При соединении обмоток генератора звездой (см. рис.4.1) линейные напряжения источника определяются через разности фазных напряжений:

; ;

Линейные напряжения в симметричной системе:

; ;

По модулю линейные напряжения Uл больше фазных Uф в раз (рис. 4.4):

При соединении обмоток генератора треугольником линейные напряжения равны фазным (рис.4.5):

Рассмотрим симметричную трехфазную систему с нагрузкой, соединенной звездой

Рис. 4.6 - Схема подключения и условные обозначения при включении нагрузки, соединенной звездой

В симметричной системе

где а фазный множитель:

; .

Так как сумма фазных токов равна нулю, то режим цепи не изменится, если нейтральные точки N и n соединить проводом с нулевым сопротивлением (нулевым или нейтральным проводом). Это соответствует условию равенства потенциалов и , т.е. потенциалов нейтральных точек генераторов и нагрузок. Напряжение смещения нейтрали в симметричной системе равно нулю.

Поскольку в симметричной трехфазной цепи фазные токи и напряжения одинаковы для всех фаз и сдвинуты на угол 120, в расчетах можно взять лишь одну фазу цепи, провести для нее расчет и результат обобщить на всю трехфазную цепь. Возьмем, например, фазу А (рис. 4.7).

Рис. 4.7 - Расчетная схема замещения

Ток в фазе А

.

Тогда токи в фазах В и С соответственно:

; .

Векторные диаграммы токов и напряжений приведены на рис. 4.8. Векторная диаграмма напряжений построена в предположении, что нагрузка носит активно-индуктивный характер. Токи в фазах образуют трехфазную систему, сдвинутую относительно системы напряжений в сторону отставания на угол .

Рис. 4.8 - Векторная диаграмма токов и напряжений для симметричной нагрузки, соединенной звездой

Для симметричной нагрузки, соединенной треугольником,

(рис.4.9).

Фазные токи нагрузки:

; ; ,

где ; ; .

По модулю токи одинаковы и имеют сдвиг по фазе относительно друг друга, равный 120.

.

Линейные токи нагрузки определяются по первому закону Кирхгофа:

Рис. 4.9 - Схема подключения и условные обозначения при включении приемника, соединенного треугольником