При измерении показателя преломления твердых тел исследуемый образец должен иметь полированную плоскость. Этой плоскостью он прижимается к призме P2 (откидная призма отводится при этом в сторону). Для обеспечения оптического контакта между соприкасающимися поверхностями вводится тонкий слой жидкости, показатель преломления которой nж < nтт (nтт -- показатель преломления твердого тела).

Порядок выполнения работы

1. Подготовка прибора к работе:

a) откиньте верхнюю призму рефрактометра и пипеткой нанесите на нижнюю призму 2 - 3 капли дистиллированной воды. Опустите верхнюю призму;

б) фокусируя окуляр, получите резкие изображения поля зрения, визира и шкалы;

в) перемещая зрительную трубу, получите в поле зрения границу свет-тень. Линия раздела должна быть резкой и без цветной окраски. Последнее достигается поворотом рукоятки компенсатора;

г) совместите визир с границей раздела свет-тень. При правильной настройке рефрактометра показание шкалы при этом должно соответствовать показателю преломления воды n = 1,333 (при 20°С).

2. Исследование зависимости показателя преломления раствора NaCI или глюкозы от концентрации:

а) расположите источник света так, чтобы наблюдения проводились в проходящем свете;

б) измерьте показатели преломления раствора NaCI различной концентрации С. Для этого на нижнюю призму нанеся поочередно растворы различной концентрации и, совмещая визир с границей раздела свет-тень, определите по шкале показатели преломления растворов. Для каждого раствора измерение показателя преломления произведите несколько раз и найдите среднее значение n.

в) результаты измерений занесите в табл. 1;

г) постройте график зависимости показателя преломления от концентрации n = f(C);

д) используя метод наименьших квадратов постройте график линейной зависимости n = aCi + b;

е) измерьте показатель преломления раствора неизвестной концентрации. Определите по графику концентрацию Сx этого раствора;

ж) найдите по графику погрешность Сx измерения концентрации раствора.

Таблица 1.

Концентрация раствора
Показатель преломления
n

3. Измерение зависимости показателя преломления раствора NaCI или глюкозы от концентрации в отраженном свете:

а) расположите источник света так, чтобы наблюдения проводились в отраженном свете;

б) измерьте показатели преломления раствора NaCI различной концентрации С. Для каждого раствора измерение показателя преломления произведите несколько раз и найдите среднее значение n.

Таблица 2.

Концентрация раствора
Показатель преломления
n

в) результаты измерений занесите в табл. 2;

г) нанесите результаты на график зависимости показателя преломления от концентрации n = f(C), полученный ранее. Сравните результаты измерений обоими методами.

Таблица 3.

Жидкость	Вода	Спирт	Глицерин	Вазелин
Показатель преломления	1
	2
	3
	4
	5
	n

4. Измерение показателей преломления различных жидкостей

а) измерить показатели преломления различных жидкостей, прилагаемых к прибору

б) результаты измерений занесите в табл. 3

в) расчитать погрешность измерений

Вопросы и упражнения

1. Сформулируйте законы отражения и преломления света.

2. Что называется предельным углом преломления?

3. В чем заключается явление полного внутреннего отражения?

4. Что называется предельным углам полного внутреннего отражения?

5. Опишите устройство рефрактометра Аббе.

6. Начертить ход лучей в измерительных призмах при работе методом скользящего луча и методом полного внутреннего отражения.

7. С какой целью применяется рефрактометр в медико-биологических исследованиях?

8. Каким образом проводится измерение показателя преломления жидких и твердых тел?

9. Определите, при каком угле падения луч, отраженный от границы раздела двух сред перпендикулярен преломленному лучу.

10. Найдите показатель преломления среды, если луч, преломленный на границе этой среды с воздухом перпендикулярен отраженному, а синус угла падения равен 0,73.

2. Метод наименьших квадратов

Если в результате многократных (i=1,2,…n) измерений некоторых величин х и y получается линейная система уравнений, каждое из которых имеет в вид

y_i=x _i + (1),

где x_i и y_i - результаты i-го измерения величин x и y, то можно попытаться определить коэффициенты линейной зависимости и .

Система уравнений (1), строго говоря, будет несовместной, так как результаты измерений x и y неизбежно содержат погрешности. Поэтому из этих уравнений можно определить не сами величины и а лишь их оценки, которые мы обозначим как A и B. Рассмотрим наиболее простой случай, когда величины x и y измеряются непосредственно, и все пары x_i и y_i имеют одинаковый вес (т.е. вклад каждой пары реализуется с одинаковыми вероятностями), случайными и систематическими погрешностями результатов измерения x_i можно пренебречь. Кроме того, пусть случайные погрешности y_i всех y_i распределены по нормальному закону (распределение Гаусса) с одним и тем же стандартным отклонением _y, а систематическими погрешностями y_i можно пренебречь.

Таблица 1. Зависимость величины y от x

№
1	0,2	-0,9	0,81	0,31	-1,36	1,85	1,22
2	0,4	-0,7	0,49	0,59	-1,08	1,17	0,76
3	0,6	-0,5	0,25	0,82	-0,85	0,72	0,42
4	0,8	-0,3	0,09	1,17	-0,50	0,25	0,15
5	1,0	-0,1	0,01	1,55	-0,12	0,01	0,01
6	1,2	0,1	0,01	1,87	0,20	0,04	0,02
7	1,4	0,3	0,09	2,20	0,53	0,28	0,16
8	1,6	0,5	0,25	2,35	0,68	0,46	0,34
9	1,8	0,7	0,49	2,65	0,98	0,96	0,69
10	2,0	0,9	0,81	3,20	1,53	2,44	1,38

Для наглядного понимания дальнейшего изложения представим все экспериментальные данные x_i и y_i в таблице 1 и на графике 1. Геометрически задача нахождения и состоит в определении параметров некоторой прямой: значения ординаты при нулевом значении абциссы и тангенса угла наклона, соответственно. Так как экспериментальные точки разбросаны и не лежат на графике на одной прямой, то апроксимирующих прямых можно провести бесконечно много. Задача экспериментатора - провести одну прямую, причем наилучшим образом. Такая прямая характеризуется наиболее точными оценками коэффициентов и , в том смысле, что они наиболее вероятные.

Рис.1. Построение прямой по данным совместных измерений методом наименьших квадратов

Можно доказать (доказательство выходит за рамки математических возможностей студентов-медиков), что оценки коэффициентов и будут наиболее вероятными, а аппроксимирующая прямая будет наилучшей, если сумма квадратов разностей y_i=y_i - (Ax_i+B) будет минимальна, т.е.

 (2)

Условие минимальности (экстремальности) достигается, когда обращаются в ноль первые частные производные:

(3)

(4)

Отсюда находим

(5)

. (6)

Решая эту систему относительно A и B, определим формулы для их вычисления:

, (7)

, (8)

где и определяются соответственно как

 и . (9)

Формула (7) зачастую приводит к большим числам, работа с которыми усложняет вычисления. Поэтому для ее упрощения сделаем замену переменных

; , (10)

которая соответствует переносу начала координат в точку с координатами и (центр тяжести прямой), через которую проходит искомая прямая. В новых переменных формула (7) принимает вид

. (11)

Возвращаясь к первоначальным координатам, получим

. (12)

Таким образом, формулы (8) и (12) совместно с (9) позволяют определить оценки A и B. Что же касается погрешностей этих оценок, то в учебных лабораторных работах вполне достаточно вычислить либо оценку стандартного отклонения коэффициента A, либо доверительный интервал для (интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться искомый коэффициент .

Оценка стандартного отклонения коэффициента A выражается следующим образом

(13)

здесь использованы обозначения:

; (14)

; (15)

. (16)

В (16) r называют коэффициентом корреляции.

Интервал, в котором с установленной (заданной) вероятностью может находиться коэффициент записывается в виде

A - t_,n-₂ S_A A + t_,n-₂ S_А , (17)

где A найден по формуле (12), S_A - по формуле (13), а t_,n-2 - коэффициент Стьюдента для установленной вероятности и параметра n-2 (n - число измерений).

В серьезных экспериментальных исследованиях вид уравнений измерения обычно неизвестен (не говоря уже об их линейности). В этом случае, сначала из каких-либо соображений выбирают формулу измерения, а затем методом наименьших квадратов вычисляют значения коэффициентов в выбранной формуле.

Рассмотрим конкретный пример применения метода наименьших квадратов для обработки экспериментальных данных.

Пусть для определения коэффициентов и проведено 10 пар измерений величин x и y, результаты которых приведены в таблице 1. Если известно, что система уравнений измерения имеет вид (1) и применимы ранее упомянутые ограничения, то воспользуемся формулами, полученными выше. Вычислим математические ожидания (средние значения) x и y по формулам (9)

.

По формулам (12) и (8) найдем оценки A и B

;

.

На рис.2 приведены экспериментальные значения x_i и y_i и наилучшая прямая, уравнение которой имеет вид

y=1,54x - 0,02 .

Оценка стандартного отклонения для коэффициента A равна

.

Интервал, в котором с вероятностью 0,9 может находиться коэффициент , имеет вид:

= 1,54 ± 0,21 .

В вычислениях использован коэффициент Стьюдента t_,8 = 1,9 (Таблица 2).

В заключение приведем схему обработки результатов измерений методом наименьших квадратов. Схема применима если уравнения измерений линейны, переменная x не содержит погрешностей, а переменная y распределена нормально и определяется из равноточных измерений (т.е. стандартное отклонение _y одинаково для всех значений y_i), причем систематические погрешности пренебрежимо малы.

Результаты измерений записываются в таблицу (см. в качестве примера таблицу 1).

1. Вычисляем коэффициент A

, где и ,

n - число измерений.

2. Вычисляем коэффициент B

.

3. Задаем доверительную вероятность.

4. Вычисляем полуширину доверительного интервала A

, где

, и .

5. Для коэффициента записываем выражение =A ± A, указав выбранное значение доверительной вероятности.

6. Строим прямую y = Ax + B на графике.

Замечание: Коэффициент Стьюдента t_n-2 находится из таблицы 2.

Таблица 2. Коэффициенты Стьюдента t_n

Доверительная вероятность	0.8	0.9	0.95	0.99
n
2	3.1	6.3	12.7	63.7
3	1.9	2.9	4.3	9.9
4	1.6	2.4	3.2	5.8
5	1.5	2.1	2.8	4.6
6	1.5	2.0	2.6	4.0
7	1.4	1.9	2.4	3.7
8	1.4	1.9	2.4	3.5
9	1.4	1.8	2.3	3.4
10	1.4	1.8	2.3	3.3
100	1.3	1.6	2.0	2.6

2.1 Лабораторная работа №2. Определение увеличения микроскопа. Линейных размеров малых объектов с помощью микроскопа

Цель работы: научиться пользоваться микроскопом, определять линейные размеры малых объектов.

Приборы: микроскоп, объективный микрометр, срезы капиллярных трубок, стеклянная пластинка.

Введение

Оптическая система микроскопа состоит, в основном, из двух собирающих линз, одна из них обращена к наблюдаемому объекту и называется объективом. Объектив создает действительное обратное изображение АВ предмета АВ (рис. 1). Размер этого изображения зависит от величины фокусного расстояния объектива и от расстояния между объективом и предметом. Объектив микроскопа имеет маленькое фокусное расстояние, поэтому эту линзу называют короткофокусной. Предмет АВ помещается на расстоянии немного большем фокусного расстояния, в результате изображение АВ оказывается значительно увеличенным. Это изображение является, в свою очередь, предметом по отношению ко второй линзе (окуляру), которая, действуя, как лупа, дает мнимое, увеличенное изображение А"В" на расстоянии наилучшего видения от глаза наблюдателя. Для нормального глаза это расстояние равно 25см. Буквами О обозначены оптические центры объектива, окуляра и оптической системы глаза.

Рис. 1.

Так как лупа дает мнимое изображение, то увеличение лупы определяется как отношение угла, под которым виден (малый) предмет рассматриваемый через лупу, к углу под которым он был виден невооруженным глазом с расстояния наилучшего видения. Можно также сказать, что увеличение лупы есть отношение линейных размеров изображения предмета на сетчатке при рассмотрении его в лупу к линейным размерам изображения того же предмета на сетчатке, когда он рассматривается невооруженным глазом с расстояния наилучшего видения (см. рис. 2).

рис. 2.

Из рис. 2 видно, что угол 2, под которым видно изображение, больше угла 1, под которым виден сам предмет, т.е. чем больше угол зрения, тем более крупное изображение получится на сетчатой оболочке глаза. Если угол зрения мал, для его увеличения пользуются оптическими приборами: лупой, микроскопом.

Увеличение микроскопа

Увеличение микроскопа зависит от увеличения объектива и окуляра. Обозначим увеличение объектива Коб, а окуляра Кок, т.к. линейным увеличением называется отношение длины изображения к длине предмета, тогда

.

Перемножив эти равенства почленно, получим

.

Отсюда видно, что увеличение микроскопа равно произведению увеличений, даваемых объективом и окуляром в отдельности. Известно, что увеличение лупы (окуляра) равно отношению расстояния наилучшего зрения S к фокусному расстоянию окуляра f2

.

Увеличение объектива

.

Из подобия треугольников АВО и АОВ (см рис.1)

.

Принимая BOf1 (f1-фокусное расстояние объектива). ОВ=f+L, где L0 - оптическая длина тубуса , т.е. расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусами окуляра. Если пренебречь фокусным расстоянием объектива, которое в десятки раз меньше оптической длины тубуса, то ОВL0. Получим увеличение объектива

.

Тогда увеличение микроскопа

.

Итак, увеличение микроскопа зависит от оптической длины тубуса L0, расстояния наилучшего зрения S и фокусных расстояний объектива и окуляра f1, f2.

Разрешающая способность микроскопа

Из формулы, определяющей увеличение микроскопа, можно сделать вывод, что при надлежащем выборе f1 и f2 увеличение микроскопа будет сколь угодно большим. Однако на практике биологи, врачи и другие специалисты, работающие с микроскопами, редко используют увеличения, превышающие 700 - 1500. Выясним причины такого положения.

Известно, что при попадании света на мелкие объекты, когда размеры объекта соизмеримы с длиной волны, наблюдается явление называемое дифракцией света (более подробно это явление изучается в разделе волновой оптики). За счет этого явления изображением светящейся точки является система концентрических колец, окружающих центральный светлое дифракционное пятно. Поскольку на этот светлое дифракционное пятно приходится основная доля световой энергии (около 84%). Можно пренебречь энергией, приходящейся на остальные дифракционные кольца, и это светлое дифракционное пятно будет являться изображением светящейся точки, которую мы рассматриваем в микроскоп. Угловой размер этого пятна уменьшается с ростом диаметра D объектива микроскопа. При очень малом угловом расстоянии между двумя точками их изображения, получающиеся с помощью какого-либо оптического прибора, накладываются друг на друга и дают одно светящееся пятно. Следовательно, две очень близкие точки не будут восприниматься прибором (глазом) раздельно или, как говорят, не будут разрешаться прибором. Поэтому как бы ни было велико по размерам изображение, на нем не будут видны соответствующие мелкие детали. Обозначим через наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются прибором. Величина, обратная , называется разрешающей силой оптического прибора.

 .

Угловая полуширина центрального дифракционного максимума определяется выражением

,

где - это длина волны света, падающего на наблюдаемые объекты, а D - диаметр объектива микроскопа.

Как видно из формулы, один из способов уменьшения угловой полуширины центрального максимума (т.е. радиуса пятна, изображающего наш предмет)- использование света с меньшей длиной волны (ультрафиолетовый микроскоп). При увеличении диаметра объектива разрешающая способность микроскопа повышается. Еще разрешающая способность микроскопа может быть увеличена с помощью специальной жидкой среды с большим показателем преломления (иммерсии) в пространстве между объективом и покровным стеклом микроскопа (иммерсионные микроскопы).

Нужно отметить, что окуляр совершенно не влияет на разрешающую способность микроскопа, он только создает увеличенное изображение объектива.

Из разрешающей способности микроскопа может быть оценено его полезное увеличение, оно то и лежит в пределах от 700 до 1500. При таком увеличении глаз различает все элементы структуры объекта, которые разрешимы объективом.

Порядок выполнения работы

1. Определение увеличения объектива.

Для того чтобы определить увеличение объектива, используют объективный микрометр, представляющий собой, нанесенную на стеклянную пластинку, шкалу с делением ценой 0,1мм и окулярный микрометр, заключенный в оправу окуляра. При выполнении работы на предметный столик кладут объективный микрометр, затем перемещая при помощи кримальеры тубус, устанавливают его так, чтобы изображение шкалы объективного микрометра совпало с изображением окулярной шкалы, устанавливают обе шкалы параллельно.

Находят совпадающие на обеих шкалах штрихи делений и отсчитывают количество целых делений шкалы окуляра (nок), совпадающих с целым числом делений изображения объективной шкалы (nоб). Тогда

Перемещая на столике объективный микрометр, снова находят совпадающие на обеих шкалах штрихи делений, между которыми укладывается целое число окулярной шкалы. Опыт повторить не менее 3 раз. Результаты наблюдений заносятся в таблицу 1.

Таблица 1

N опыта	Число делений	Коб	Кок	К	К
	nоб	nок
1
2
3
Средние значения

2. Записать в таблицу 1 увеличение окуляра, обозначенное на окуляре 8, 12 и т.д.

3. Найти увеличение микроскопа по формуле К=Коб. Кок., используя данные таблицы1

4. Определяется среднее значение увеличения микроскопа К и его погрешности К.

5.Определение размеров малых объектов.

Снимают со столика объективный микрометр и на его место устанавливают исследуемый предмет. Пусть изображение предмета, рассматриваемого в микроскоп, имеет длину, равную n делениям окулярного микрометра. Если бы со шкалой совпал сам предмет, то его длина была бы 0,1 ммn, так как деление шкалы равно 0,1 мм, но со шкалой совпадает не сам предмет, а его изображение, увеличенное в Коб.. Поэтому истинная длина предмета будет меньше длины изображения. Отсюда

.

Размер предмета определяют 5 раз. Результаты заносят в таблицу 2. Определяют среднее значение и погрешность измерения l.

Таблица 2.

N опыта	n	Коб	l, мм	l, мм
1
2
.
Средние значения

Измерение показателя преломления стекла при помощи микроскопа

Пусть из некоторой точки S, находящейся под стеклянной плоскопараллельной пластинкой толщиной d, идет узкий световой пучок расходящихся лучей (рис. 3).



рис. 3

Рассмотрим ход лучей, падающих на поверхность СС под углом i. Закон преломления световых лучей выражен формулой

.

Или

.

При переходе света из среды оптически более плотной (стекло) в среду менее плотную (воздух) угол расхождения лучей увеличивается, вследствие чего наблюдателю во второй среде кажется, что лучи исходят из точки S1. Происходит кажущееся приближение точки к наблюдателю.

Из рис. 3 видно, что a = SA -S1A, тогда

.

Учитывая эти соотношения, получим



Для малых углов i и r (а только такие лучи от точки S попадают в объектив микроскопа) отношение тангенсов можно заменить отношением синусов, тогда

Толщину пластинки d измеряют микрометром. Расстояние a при необходимости и расстояние d-a измеряют при помощи микроскопа, перемещая тубус микрометрическим винтом.

Порядок выполнения работы

На предметный столик микроскопа помещают прозрачную стеклянную плоскопараллельную пластинку с черной точкой на ее поверхности. Глядя через окуляр микроскопа и пользуясь микрометрическим винтом, устанавливают тубус микроскопа так, чтобы точка S была отчетливо видна. Записывают в таблицу 3 деления N1 шкалы микрометрического винта, отмечающие данное положение тубуса микроскопа.

Таблица 3.

N Опыта	Деления шкалы микроскопа	а=N2-N1, мм	Толщина пластинки d,мм	Показатель преломления n	Погрешность измерения n
	N1,мм	N2,мм
1
2
3
Средние значения

На пластину помещают вторую плоскопараллельную пластину из исследуемого стекла так, чтобы точка оказалась прикрытой ею. Теперь точка выполняет роль источника S (рис. 3). Чтобы снова увидеть точку, нужно поднять тубус микроскопа с помощью микрометрического винта и зафиксировать его положение в момент, когда точка окажется отчетливо различимой (отсчет N2). Разность N2-N1определяет кажущееся поднятие точки (величину а). Вычисляют показатель преломления.

Опыт производят не менее 5 раз, а затем находят среднее значение показателя преломления.

Вопросы к работе

1. Постройте изображение предмета в собирающей линзе, если предмет находится на расстоянии меньше фокусного (больше фокусного).

2. Начертите ход лучей в микроскопе.

3 Выведете формулу увеличения микроскопа.

4. Покажите кажущееся изображение предмета, расположенного на дне сосуда, заполненного водой.

5. Что мы понимаем под разрешающей способностью микроскопа?

6. От чего зависит разрешающая способность микроскопа?

7. Перечислите способы увеличения разрешающей способности микроскопа.

2.2 Лабораторная работа№3 Определение главных фокусных расстояний выпуклой и вогнутой линз

Цель работы: познакомиться с типами, назначением и методами определения фокусных расстояний тонких линз.

Приборы и принадлежности: оптическая скамья с набором рейтеров, источник света, экран, собирающая и рассеивающая линзы.

Введение

Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями с радиусами кривизны R1 и R2, называется линзой (рис. 1). Прямая, которая проходит через центры сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы. Главная оптическая ось линзы пересекает сферические поверхности в точках М и N, которые являются вершинами линзы. Если расстоянием МN можно пренебречь по сравнению с R1 и R2, то линза называется тонкой. В этом случае () М практически совпадает с () N и называется оптическим центром линзы. Прямые, проходящие через оптический центр линзы, кроме главной оптической оси, называются оптическими побочными осями.

рис 1.

Точка, в которой собираются линзой лучи от бесконечно удаленного источника, называется фокусом линзы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оси, называется фокальной плоскостью. Расстояние от линзы до фокуса есть фокусное расстояние тонкой линзы. Расстояние от линзы до фокуса по главной оптической оси -главное фокусное расстояние линзы F. Его величина определяется соотношением

(1)

где n-относительный показатель преломления материала линзы, d - расстояние от объекта до линзы, f - расстояние от линзы до изображения. Эта общая формула линзы годна для выпуклых и вогнутых линз при любом расположении источника. Нужно только принять во внимание знаки d, f, R1 и R2. Знаки определяются следующим образом:

1. Радиус кривизны считается положительным, если свет падает на выпуклую поверхность, и отрицательным, если свет падает на вогнутую поверхность.

2. Расстояние от объекта до линзы d положительно, если свет падает на линзу со стороны объекта (это обычный случай; при использовании комбинации линз ситуация может оказаться иной), и отрицательно в противном случае.

3. Расстояние от линзы до изображения f положительно, если свет падает на линзу с противоположной стороны, если свет падает на линзу с той же стороны, где находится изображение, то величина f-отрицательна.

В зависимости от знака и величины R1 и R2 , а также от знака (n-1) фокусное расстояние F может быть положительным или отрицательным, соответственно фокус называют действительным или мнимым. Если фокусы действительны, параллельные лучи после преломления в линзе сходятся и линза называется собирающей или положительной (рис. 2,а). При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися. Поэтому такие линзы называются рассеивающими или отрицательными (2,б).

рис.2,а. рис.2,б.

Если материал линзы преломляет сильнее, чем окружающая среда (например, стеклянная линза в воздухе), то собирающими будут линзы двояковыпуклые, плоско-выпуклые, вогнуто-выпуклые, то есть линзы утолщающиеся к середине (рис. З,а); к рассеивающим линзам относятся двояковогнутые, плоско-вогнутые, выпукло-вогнутые, то есть линзы, утончающиеся к середине (рис. 3,6).

рис.3,а. рис.3,б.

Если материал преломляет меньше, чем окружающая среда (например, воздушная полость в воде), то линзы вида 3,а будут рассеивающими, а вида 3,б собирающими.

Величину обратную фокусному расстоянию называют оптической силой линзы. Оптическую силу измеряют в диоптриях. Оптической силой в 1 диоптрию обладает линза фокусным расстоянием 1 м:

. (2)

Целью работы является определение главных фокусных расстояний собирающей и рассеивающей линз. Существует несколько таких способов.

1. Определение фокусного расстояния собирающей линзы по положению объекта и его изображения

Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы можно определить, исходя из формулы линзы (1).

рис. 4.

Для этого достаточно измерить расстояния d и f, показанные на рис. 4, и затем вычислить F в соответствии с формулой

. (3)

Определение фокусного расстояния собирающей линзы по величине перемещения линзы (способ Бесселя)

Рис 5.

Если расстояние L от объекта до изображения больше 4F, то найдутся два таких положения линзы, при которых на экране получается изображение объекта в одном случае увеличенное, в другом -уменьшенное. Обозначим расстояние между этими положениями линзы l. В соответствии с рис. 5 и уравнением (3) для первого положения линзы можно записать

, (4)

для второго положения

. (5)

Из (4) и (5) находим

. (6)

Следовательно, оба положения линзы симметричны относительно точки О - середины расстояния от объекта до изображения..

Подставляя значение x - из формул (6)в (5) или (4), получаем

. (7)

Определение фокусного расстояния этим способом является наиболее точным, так как в нем измеряется не расстояние от линзы, а её перемещение.

3. Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы

Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы затрудняется тем, что изображение предмета получается мнимым и поэтому расстояния, входящие в формулу линзы не могут быть непосредственно измеряны.. Эту трудность легко обойти с помощью вспомогательной собирающей линзы. В начале опыта на оптическую скамью помещают только одну собирающую линзу и получают на экране действительное изображение предмета А (см рис.6). По линейке расположенной у основания оптической скамьи, отмечают положение D этого изображения

рис.6.

Если на пути лучей, выходящих из точки А и сходящихся в точке D после преломления их в собирающей линзе B (рис. 6), поставить рассеивающую линзу С так, чтобы расстояние CD было меньше её фокусного расстояния, то изображение точки А удалится от линзы В. Пусть оно переместится в точку Е (рис. 7).

рис. 7.

На рис. 7 показан ход лучей через рассеивающую линзу С. Совместим рисунки 6 и 7

рис. 8.

или схематично это будет выглядеть так как показано на рис. 9.

рис. 9.

В силу оптического принципа взаимности (обратимость световых лучей) можно мысленно рассмотреть лучи, распространяющиеся из точки E в обратную сторону. Тогда точка D будет мнимым изображением точки E, расстояние EC - расстоянием от линзы до объекта d, а ДС - расстоянием от линзы до изображения f. Учитывая правило знаков отметим, что f- отрицательно, тогда можно записать

. (8)

Или

. (9)

Порядок выполнения работы

В работе используется оптическая скамья, на которой имеется шкала, позволяющая отмечать положение линз, экрана и объекта, перемещаемых по скамье, показанной на рис. 10.

рис.10.

На рис. 10: В - источник света, Л - собирающая линза, Э - экран. Установку на оптической скамье экрана, линз и объекта (нити лампы) необходимо производить так, чтобы их центры лежали на одной прямой параллельной оптической скамье, оптическая ось линзы должна совпадать с этой прямой, а плоскость экрана должна быть перпендикулярна ей.

1 Определение главного фокусного расстояния собирающей линзы по положению объекта и его изображения

1. Поместив экран на достаточно большом расстоянии от объекта ставят между ними линзу и передвигают её до тех пор, пока не получат на экране отчетливое увеличенное изображение объекта.

2. По шкале на оптической скамье отсчитывают расстояние d от объекта до линзы и расстояние f от линзы до изображения.

3. Полученные данные заносятся в таблицу 1.

4. Ввиду неточности визуальной оценки резкости изображения измерения (п.1-3) рекомендуется повторить не менее трех раз при разных положениях экрана.

5. Поместив экран на достаточно большом расстоянии от объекта, ставят между ними линзу и передвигают ее до тех пор, пока не получат на экране отчетливое уменьшенное изображение.

6. Повторяют пункты 2-4.

7. Из каждого отдельного измерения по формуле (3) определяют фокусное расстояние и из полученных результатов находят среднее арифметическое.

8. Определяют оптическую силу линзы D.

5. Рассчитывают погрешность измерения.

Таблица 1

Номер опыта	d (м)	f (м)	F (м)	D=1/F (дп)	Примечание
1 2 3 … 1 2 3 …					Увеличенное изображение Уменьшенное изображение

II. Определение главного фокусного расстояния собирающей линзы по величине перемещения линзы

1. Передвигая линзу по оптической скамье при неизменном положении экрана и источника света, получают на экране резкое уменьшенное изображение нити лампы. Записывают в таблицу 2 деление шкалы х1, указывающее положения линзы на скамье. Настройку и измерения производят не менее трех раз.

2. Не изменяя расстояния между осветителем и экраном передвигают линзу на скамье так, чтобы получить на экране увеличенное изображение нити лампы. Записывают деление шкалы х2, соответствующее новому положению линзы. Измерения также повторяют не менее трех раз.

3. Определяют расстояние L между экраном и объектом по шкале оптической скамьи.

4. По данным таблицы2 находят среднее значение величины перемещения линзы рассчитывают фокусное расстояние линзы по формуле7

5. Рассчитывают погрешность измерения.

Таблица 2

Номер опыта. Положение линзы на скамье (м).	l = x2-x1 (м)	L (м)	F (м)
При уменьшенном изображении (х1)	При увеличенном изображении (х2)
1 2 3
Среднее значение х1	Среднее значение х2

III. Определение главного фокусного расстояния рассеивающей линзы

1. Помещают между экраном и объектом собирающую линзу. Перемещая экран, добиваются резкого изображения объект и записывают в таблицу 3 деление шкалы, соответствующее данному положению экрана ХD.

2. Экран отодвигают от линзы, между собирающей линзой и первым положением экрана устанавливают рассеивающую линзу (рис .7)

3. Перемещая экран, получают на нем резкое изображение объекта. В таблицу 3 записывают деление шкалы ХE, соответствующее новому положению экрана.

4. Записывают деление шкалы ХC, где на скамье установлена рассеивающая линза.

5. Пункты 1-3 повторяют не менее трех раз. Для каждого из опытов находят значения величин d = ХC - ХE и f = ХC - ХD по формуле (8) подсчитывают фокусное расстояние F, а затем находят его среднее значение.

6. Рассчитывают погрешность измерения.

Таблица 3

Номер опыта	XC (м)	ХD (М)	ХЕ (м)	d = XC-XE (м)	f = ХС-ХD (м)	F (м)
1 2 3
						Fср.

Контрольные вопросы

1. Что называется фокусом линзы?

2. Что такое фокусное расстояние?

3. Как располагается фокальная плоскость?

4. Что называется оптической силой линзы? В каких единицах она измеряется?

5. Как построить изображение в собирающей линзе?

7. В чем заключается метод определения фокусного расстояния по величине перемещения линзы?

8. Почему нельзя использовать методы определения фокусного расстояния собирающих линз для рассеивающих линз?

9. Почему фокусное расстояние собирающей линзы должно быть меньше, чем у рассеивающей, если мы хотим с помощью собирающей линзы определить фокусное расстояние рассеивающей линзы?

10. Как рассчитываются погрешности измерения фокусных расстояний линз?

3. Волновая и корпускулярная природа света

Законы геометрической оптики описывают поведение светового луча и не рассматривают его природу.

Свет же по своей природе обладает корпускулярно-волновым дуализмом, т.е. обладает потенциальной возможностью проявить и волновые и корпускулярные свойства. Чем больше частота электромагнитного излучения, а, следовательно, больше энергия и импульс фотона (фотон- это порция элекромагнитного излучения, энергия которого , фотон не обладает массой покоя, но его движение характеризуется импульсом, фотон может двигаться только со скоростью равной скорости света), тем вероятнее проявление его свойств как частицы. Чем меньше частота электромагнитных колебаний, тем меньше величина энергии и импульса фотона и тем отчетливее проявляются его волновые свойства.

Волновые свойства света проявляются в таких оптических явлениях как интерференция , дифракция и поляризация. А такие физические явления как поглощение света веществом, дисперсия света могут быть объяснены как волновыми свойствами света, так и корпускулярными.

Законы теплового излучения, атомные спектры определяются корпускулярными свойствами света.

3.1 Волновая оптика. Интерференция света

Интерференцией света называется явление взаимного усиления или ослабления двух когерентных волн при их наложении в пространстве.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Рассмотрим условия наблюдения интерференции, т.е. попытаемся сформулировать условия когерентности.

Пусть в некоторой точке пространства Р одновременно существуют две произвольные (в общем случае немонохроматические) электромагнитные волны, характеризуемые векторами напряжённостей электрических полей Е1 и Е2.

Френель и Араго обнаружили на опыте, что две световые волны, распространяющиеся в одном направлении, никогда не интерферируют между собой, если Е1 и Е2 перпендикулярны друг к другу, т.е. интерферируют лишь волны, возбуждающие' в некоторой точке пространства колебания одинакового направления.

Е1=Е0соs (1t +1) 1t +1= 1

E2=E0cos (2t +2) 2t +2= 2

если l 2, то амплитуда результирующего колебания, возникающего в точке Р, находится помощью векторной диаграммы (см. рис .1)и определяется выражением

(1)

Так как средний период колебаний электромагнитного поля в оптической области спектра 10-15с, то ни один приёмник света из-за своей инерционности не позволяет измерить мгновенное значение напряжённости электрического и магнитного поля в световой волне, а также освещённости поверхности. Все приёмники могут измерять только величины, усреднённые за время, не меньше времени разрешения приемника. Усреднённое по времени значение квадрата напряжённости электрического поля называют интенсивностью света, поэтому из (1)

1) (2)

При изменении средней суммарной энергии <>, мы неизбежно встречаемся с двумя различными результатами опыта в зависимости оттого, что получается при усреднении <>, называемого интерференционным членом. Результат будет существенно зависеть от разности фаз складывающихся колебаний и изменения этой разности фаз во времени. Если разность фаз 2-1 беспорядочно и случайным образом меняется во времени, то она может в выделенном конечном интервале времени принимать любые значения от 0 до 2, поэтому соs принимает значения. ог -1 до +1 и среднее его значение равно 0. В этом случае из уравнения (2) следует, что I=I1+I2.. Если 2-1=const, то среднее значение cos(2-1) равно самому значению cos(2-1), поэтому

(3)

Анализируя уравнение (3) сделаем выводы

1) если (2-1)=0,2,4.....2к (к=0,1,2,3 и т.д), то cos(2-1)=1

Е0=Е01+Е02, а , т.е.

2) если (2-1)= , 3, 5 .....(2к+1) , то cos(2-1)= -1, Е0=Е01-Е02

, т.е.

В первом случае происходит усиление результирующего колебания, во втором- ослабление. Если Е01=Е02, то Е0max=2Е01, I=4I1, а Е0min=0, I=0.

Таким образом, усиление или ослабление интенсивности света происходит при определенных условиях, которые можно сформулировать следующим образом:

складываемые световые волны должны иметь близкие частоты ()

разность фаз 2-1=const

векторы напряженности Е01 и Е02 не должны быть взаимноперпендикулярны.

Колебания или волны, которые удовлетворяют этим условиям называются когерентными.

Так как при cos(2-1)=1 наблюдается усиление интенсивности, то условие (2-1)= 2к называется условием максиму интенсивности, а условие (2-1)= (2к+1)-условие минимума интенсивности.

Обычно эти условия формулируются не через разность фаз, а через разность хода волн .

Пусть S1 и S2 источники света, в точке Р , волны идущие от этих источников накладываются, при этом первая волна проходит путь S1P, а вторая путь S2Р, если волны распространяются в воздухе, то = S2Р- S1P, если волны распространяются в различных средах, то

= (S2Р)n2- (S1P)n1, где n1 и n2 показатели преломления соответствующих сред.

Разность хода и разность фаз (2-1) связаны соотношением



Тогда условия максимума и минимума интерференции могут быть записаны следующим образом:

- условие максимума

- условие минимума

3.2 Дифракция света

О важности и необходимости изучения явления дифракции студентами - медиками говорит тот факт, что в биомедицинской диагностике достаточно широко используются спектрометры и другие спектральные приборы, составной частью которых является дифракционная решетка. В настоящее время разрабатываются методики, основанные на оптической голографии (см. курс лекций), дающие возможность получения трехмерных изображений исследуемых объектов с хорошей разрешающей способностью и контрастностью. Контуры этих биообъектов могут быть картированны, а их деформации проанализированны в реальном масштабе времени. Эти новые возможности могут оказать влияние на развитие многих разделов медицины: ортопедию, радиологию, офтальмологию, урологию и отологию. В настоящее время в Англии разработана методика диагностики онкологических заболеваний по дифракции рентгеновских лучей на волосе человека. Это совершенно безвредная и безболезненная для человека диагностика, дает возможность распознать заболевание на очень ранних стадиях.

Особенностью лабораторной работы, посвященной проверке соотношения неопределенности Гейзенберга, является взгляд на дифракцию как на проявление чисто квантовых свойств света на макроскопическом уровне. Кроме того, в ней затронуты некоторые философские аспекты квантовой теории, вопросы связанные с понятиями наблюдения и измерения.

Во всех лабораторных работах по дифракции света в качестве источника света используется лазер. В настоящее время лазер достаточно широко используется в медицине, поэтому авторы сочли необходимым включить в это методическое пособие описание принципа работы лазера и привести краткие сведения по его использованию в диагностике, терапии и хирургии.

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного распространения, когда свет, огибая препятствие, проникает в область геометрической тени.

Качественно поведение света за препятствием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + t по известному положению фронта волны в момент времени t. Согласно принципу Гюйгенса каждую точку на первичном волновом фронте следует рассматривать как источник вторичной сферической волны. Поэтому изобразив ряд сферических волн, исходящих из первичного волнового фронта, а затем построив их огибающую, мы получим форму и положение всей волны в более поздний момент времени (рис. 1, среда предполагается неоднородной - скорость волны в нижней части рисунка больше, чем в верхней). На рисунке 2 приведен пример распространения плоской волны через узкую щель.

Однако принцип Гюйгенса не дает сведений об амплитуде, а следовательно и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн.



Рис. 1 Рис. 2.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства, Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса - Френеля. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля

а) каждый элемент волновой поверхности служит источником вторичных сферических волн;

б) амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента S;

в) амплитуда вторичной волны убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r;

г) все вторичные источники являются когерентными.

При вычислении амплитуды колебания, порождаемого световой волной, распространяющейся от реального источника, можно заменить этот источник совокупностью вторичных источников, расположенных непрерывно вдоль волновой поверхности. Определение результирующей амплитуды колебания от всех вторичных источников может быть осуществлено аналитически, методом графического сложения амплитуд или методом зон Френеля.

Различают два случая дифракции света: дифракцию Френеля - дифракцию в сходящихся лучах, и дифракцию Фраунгофера - дифракцию в параллельных лучах. В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся позади препятствия на конечном расстоянии от него. Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать при использовании в качестве источника света лазера, т.к. излучаемые лазером когерентные световые пучки являются коллимированными.

3.3 Лабораторная работа №4. Дифракция на некогерентных источниках

Целью настоящей работы является изучение дифракции от непрозрачных мелких частиц диаметром несколько микрон (например, эритроцитов), а также измерение их диаметров дифракционным методом. Определение размеров таких меленьких частиц является сложной задачей вследствие невозможности применения обычных средств (микроскопа, проектора, контактных приборов), дающих погрешности, соизмеримые с размерами частиц.

Приборы и принадлежности: лазер, оптическая скамья, дифракционная решетка, стекла с мазками крови, экран со шкалой.

Дифракция Френеля от круглого диска

Рассмотрим сферическую волну, распространяющуюся в изотропной однородной среде от точечного источника S. Поместим между источником S и точкой наблюдения P непрозрачный круглый диск радиуса r (рис. 3).

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждая точка волновой поверхности является источником элементарных вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях, причем эти вторичные волны интерферируют между собой. Рассмотрим волны, идущие от открытой части волновой поверхности, собирающиеся в точке Р экрана. Они являются когерентными и интерферируют.

Интенсивность света в точке наблюдения Р, как результат интерференции, можно легко определить с помощью метода зон Френеля, который заключается в следующем.

Рис. 3.

Фронт распространяющийся волны разбивается на области, называемые зонами, так чтобы разность хода вторичных волн от соответствующих точек двух соседних зон до рассматриваемой точки Р были равны половине длины волны. Таким образом, в точку наблюдения волны от соседних зон приходят с противоположными фазами и при наложении они будут ослаблять друг друга.

Задача расчета интерференции вторичных волн фактически сводится к определению количества зон Френеля. В соответствии с определением зоны Френеля следует, что расстояния bm от внешнего края m-ой зоны до точки P равно

bm = b + m/2 ,

где b - расстояние от вершины волновой поверхности O до точки P, m - целое число, соответствующее номеру зоны Френеля.

Волны, приходящие в точку P из двух соседних зон, находятся в противофазе, т.е. их разность фаз в точке наблюдения равна .. Площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние bm от зоны до точки P медленно растет с ростом номера зоны m, поэтому (вторичная волна - сферическая) амплитуда Am колебания, возбуждаемого m-ой зоной в точке P, монотонно убывает.

A1 A2 A 3 …….. Am-1 Am Am+1 ….

Т. к. фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на , то амплитуда результирующего колебания в точке Р может быть представлена

A = A1 - A2 + A3 - A4 +………..

Если диск закроет m первых зон Френеля, амплитуда в точке P будет равна

A = Am+1 - Am+2 +Am+3 - Am+4 + ….

Запишем это выражение в следующем виде:

A = Am+1 / 2 + (Am+1 / 2 - Am+2 + Am+3 / 2) +….

Вследствие монотонного убывания Am , приближенно можно считать, что

Am+1 / 2 + Am+3 / 2 = Am+2 ,

тогда все выражения в скобках равны 0, следовательно

A = Am+1 / 2 .

Эта формула дает результирующую амплитуду волн, достигших экрана в точке Р. Так как интенсивность I пропорциональна амплитуде в квадрате A2, то получается результат парадоксальный с точки зрения геометрической оптики. За непрозрачным диском, на его оси всегда будет светлое пятно. Его называют пятном Пуассона. Это светлое пятно имеет вид круглого пятнышка, если рассматривалась дифракция на круглом диске и прямой полоски, если рассматривалась дифракция на прямоугольной пластинке. Это значит, что световые волны огибают круглый диск по всему его краю и вследствие симметрии встречаются на оси диска. Это дает возможность получить изображение какого-либо предмета без оптической линзы с помощью круга или шара.

Рассмотрим результат действия открытой волновой поверхности для точки Pi, смещенной относительно точки Р в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть (m + 1)-й зоны Френеля, одновременно откроется часть m-ой зоны. Это вызовет уменьшение интенсивности. При некотором

Рис. 3,а.

положении точки Рi интенсивность достигнет минимума. Если сместиться из центра еще дальше, диск перекроет дополнительно часть (m + 2)-oй зоны, одновременно откроется часть (m - 1)-oй зоны. В результате интенсивность возрастет и в точке P достигнет максимума.

Дифракционная картина, которая будет наблюдаться на экране, помещенном за диском, может быть изображена зависимостью интенсивности света I от расстояния R (рис. 4), отсчитанного от точки Р до точки Pi (рис. 3,а). Если обозначим интенсивность центрального максимума I0, то интенсивность последующих максимумов определяется следующими соотношениями I1 = 0,045I0; I2 = 0,016I0; I2 = 0,008I0 и т.д.

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредотачивается основная доля светового потока открытой волновой поверхности.

Рис. 4.

Можно найти и аналитическое выражение зависимости IPi от R. Это достаточно сложное выражение, анализ которого дает возможность найти условия минимума и максимума для данной дифракционной картины. В случае непрозрачного круглого диска дифракционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. Если круглый диск имеет радиус r , то положение минимумов интенсивности определяется следующими выражениями:

r sin 1 = 0,61; r sin 3 = 1,11 ; r sin 5 = 1,62 (1)

Максимумов -

r sin 2 = 0,81 ; r sin 4 = 1,33 ; r sin6 = 1,86 (2).

Углы i - это углы наблюдения соответствующих минимумов и максимумов. Роль круглого диска могут выполнить эритроциты крови. Но один-единственный диск столь малого размера (6 - 8 мкм) даст крайне слабую дифракционную картину. Картина будет проектироваться на светлый фон, создаваемый прямым недифрагированным пучком света. Только тысячи таких частичек способны дать картину, хорошо видимую глазом. Если взять мазок крови, то мы получим слой беспорядочно расположенных непрозрачных дисков. При одновременном присутствии в сечении светового пучка многих частиц, угловое распределение дифрагированного света, создаваемого каждой частицей в отдельности, не нарушается, если нет интерференционного эффекта между световыми пучками, дифрагировавшими на разных частицах. Если в плоскости поперечного сечения светового пучка частицы расположены хаотично, то разность фаз между дифрагированными пучками от разных частиц будет меняться также хаотично и интерференция будет отсутствовать. Тогда интенсивность дифрагированного в данном направлении света равна сумме интенсивностей световых пучков, дифрагированных на разных частицах. Поэтому дифракционная картина, создаваемая одним эритроцитом будет усилена в N раз (N - число частиц).

Наблюдая дифракционную картину от N эритроцитов на экране и используя соотношения (1) и (2), можно определить размеры частиц, на которых наблюдалась дифракция.

Определение размеров мелких частиц

Для определения размеров мелких частиц составим следующую схему эксперимента - рис. 5.

Рис. 5.

На рисунке цифрами обозначены: 1 - Лазер непрерывного излучения; 2 - Стеклянная пластинка с мазком крови, которую вставляют в рейтер, легко перемещающийся вдоль оптической схемы; 3 - Непрозрачный экран с миллиметровой шкалой.

Измерения

1. Включить лазер с помощью тумблера «Сеть» на панели блока питания лазера.

2. Установить экран так, чтобы пучок света лазера был направлен точно в центр экрана.

3. На расстоянии примерно 0.5 м от экрана установить рейтер со стеклянной пластинкой. На экране должна быть видна дифракционная картина, представляющая собой яркое пятно, окруженное концентрическими темными и светлыми окружностями. Дифракционная картина должна быть симметрична относительно перекрестия шкалы экрана.

4. Измерить диаметры темных и светлых дифракционных колец D . Измерения производятся по серединам колец.

5. Измерить расстояние L от плоскости стеклянной пластинки с мазком крови до экрана по шкале оптической скамьи.

6. Результаты измерения занести в таблицу 1.

7. Поскольку диаметры дифракционных колец, наблюдаемых на экране много меньше расстояния L, можно считать что

(3)

и, используя условия минимумов и максимумов получим соотношения для нахождения радиуса эритроцитов