Оптика, квантовая механика

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (1)

,

предложенное Резерфордом, и уравнение (4), получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:

(6)

где n = 1, 2, 3, ... . Из выражения (6) следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при

n = 1, называемый первым боровоским радиусом, равен

(7)

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов.

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кинетической энергии (тeх2/2) и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра (-Ze2/(40r)):

(учли, что ). Учитывая квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения (6), получим, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

(8)

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

Из формулы (8) следует, что энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения n. Целое число n в выражении (6), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым) числом. Энергетическое состояние с n=1 является основным (нормальным состоянием; состояния с n > 1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.

Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z = 1), согласно формуле (6), возможные уровни энергии, схематически представленные на рис.1.

Энергия атома водорода с увеличением n возрастает и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n=. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (E1 = -13,55 эВ) при n = 1 и максимальной (Е = 0) при n = . Следовательно, значение Е = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора (5)), при переходе атома водорода (Z=1) из стационарного состояния п в стационарное состояние т с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения

(9)

где R = mee4/(8h3)-постоянная Ридберга

Воспользовавшись при вычислении R современными значениями универсальных постоянных, получим величину, совпадающую с экспериментальным значением постоянной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода). Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы (8) для энергетических уровней водородоподобной системы.

Подставляя, например, в формулу (9) т=1 и п=2, 3, 4, ..., получим группу линий, образующих серию Лаймана и соответствующих переходам электронов с возбужденных уровней (n = 2, 3, 4, ...) на основной (m = l). Аналогично, при подстановке m = 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений n получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (рис.1). Следовательно, по теории Бора, количественно объяснившей спектр атома водорода, спектральные серии соответствуют излучению, возникающему в результате перехода атома в данное состояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного.

В теории Бора рассмотрены спектры атома водорода и водородоподобных систем и вычислены частоты спектральных линий, однако эта теория не смогла объяснить интенсивности спектральных линий и ответить на вопрос: почему совершаются те или иные переходы? Серьезным недостатком теории Бора была невозможность описания с ее помощью спектра атома гелия -- одного из простейших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода.

Лек.15-б Элементы квантовой механики

Волновые свойства микрочастиц. Уравнение де-Бройля. Соотношение неопределенностей. Волновая функция. Уравнение Шредингера.

О корпускулярной и волновой природе света

Французский ученый Луи де Бройль (1892--1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики -- энергия Е и импульс p, а с другой -- волновые характеристики -- частота и длина волны . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

, (1)

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

(2)

Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.

В 1927 г. американские физики К. Дэвисон и Л. Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки -- кристалла никеля, -- дает отчетливую дифракционную картину. Длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по дифракционным максимумам. Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то необходимо было доказать, что волновые свойства присущи не только потоку большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности. Это удалось экспериментально подтвердить в 1948 г. российскому физику В. А. Фабриканту (р. 1907). Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 104 раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов, в десятки миллионов раз более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.

Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля. Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электронография и нейтронография, а также к возникновению новой отрасли науки -- электронной оптики.

Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Например, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с = 6,6210-31 м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области (периодических структур с периодом d10-31 м не существует). Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только одну сторону своих свойств -- корпускулярную -- и не проявляют волновую.

Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

Соотношению неопределенностей Гейзенберга

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны , то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, pу, pz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям:

(3)

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка.

Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (x = 0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной (px ), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта, что является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы.

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Выразим соотношение неопределенностей (3) в виде

(4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой 10-12 кг и линейными размерами 10-6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (х = 10-8 м), неопределенность скорости, по (4),

?ѓТх = 6,6210-34/(10-810-12) м/с = 6,6210-14 м/с, т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величии удовлетворяют условию

(5)

Подчеркнем, что Е -- неопределенность энергии некоторого состояния системы, t -- промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии E= /t возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность,

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной .Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

Волновая функция. Уравнение Шредингера.

Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма привели к новому этапу развития квантовой теории -- созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э. Шредингера (1887--1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака (1902--1984).

В квантовой механике состояние микрочастиц описывается-- с помощью волновой функции (или -функции), которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

dW=2dV (6)

Величина

2= dW/ dV

(квадрат модуля -функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля ||2, которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

Так как ||2dV определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей

(7)

где интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, z от - до . Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция , характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 1, 2,..., n,... то она также может находиться в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций:

где Сn (n=1, 2, ...)--произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Волновая функция , являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляют по формуле

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции

(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина ||2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz. Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

или (8)

где ћ=h/(2) - постоянная Планка, т--масса частицы, --оператор Лапласа , i -- мнимая единица, U (х, у, z, t) -- потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) -- искомая волновая функция частицы.

Уравнение (8) справедливо для любой частицы, движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной , 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция ||2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (7).

Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

Уравнение (8) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (8) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний -- состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая -- только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

(9)

где Е -- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (9) в (8), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию :

 иди (10)

- уравнение Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Лек.16. Применение уравнения Шредингера для свободной частицы, частицы в потенциальной яме и линейного гармонического осциллятора. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер

Уравнения Шредингера для свободной частицы

Свободная частица -- частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

(1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (1) является функция (х) = Аеikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии

(2)

Функция представляет собой только координатную часть волновой функции (x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция,

(3)

(здесь и ). Функция (3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля .

Из выражения (2) следует, что зависимость энергии от импульса

(4)

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

,

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

Где -- ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

(5)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

 (6)

В пределах «ямы» (0 х l) уравнение Шредингера (5) сведется к уравнению

или , (7)

где (8)

Общее решение дифференциального уравнения (7):

Так как по (6) (0)=0, то В=0. Тогда

(9)

Условие (6) (l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = n, где n -- целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(10)

Из выражений (8) и (10) следует, что

, n=1,2,3... (11)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

Подставив в (9) значение k из (10), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А =, а собственные функции будут иметь вид

(12)

Графики собственных функций, соответствующие уровням энергии (11) при n=1, 2, 3, приведены на рис.2,а. На рис.2,б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |n(х)|2 = n(х)*n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (11) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

(13)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Например, для электрона при размерах ямы =10-1 м (свободные электроны в металле) En 10-35nДж 10-16nэВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (10-10 м), то для электрона En10-17nДж 102nэВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная . Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты х частицы в «яме» шириной равна x=. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса ph/. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin(p)2/(2m)=h2/(2m2). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (13) и (11) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) En/En2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов -- дискретность -- сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую.

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис.3,а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можем записать

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е>U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>l, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Качественный характер функций 1(х), 2(х) и 3(x) иллюстрируется на рис.3,б, откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нудя вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Совместное решение уравнений для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

(14)

где U -- высота потенциального барьера, Е -- энергия частицы, l -- ширина барьера, D0 -- постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из выражения (14) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U--E); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произвольной формы коэффициента прозрачности D равен:

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса р на отрезке х=l составляет p>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (р)2/(2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903--1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, -распад, протекание термоядерных реакций).

Линейный гармонический осциллятор -- система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, -- является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и математический маятники -- примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна

, (15)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

где 0 -- собственная частота колебаний осциллятора, т -- масса частицы. Зависимость (15) имеет вид параболы (рис.4), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е. В точках с координатами ±xmax полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-xmax, +xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами - xmax <х< xmax «без права выхода» из нее.

Гармонический осциллятор в квантовой механике -- квантовый осциллятор -- описывается уравнением Шредингера, учитывающим выражение (15) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

(16)

где Е -- полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (16) решается только при собственных значениях энергии

(17)

Формула (17) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии E0=1/2ћ0. Существование минимальной энергии -- она называется энергией нулевых колебаний -- является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице). Например, классическая физика приводит к выводу, что при Т=0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением наличия нулевых колебаний.

Из формулы (17) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис.4), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ћ0, причем минимальное значение энергии E0=1/2ћ0.

Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному значительному отличию от классического рассмотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области |x|xmax , в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (-xmax, +xmax). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной, т.е. имеется конечная (но небольшая) вероятность (Wkв) обнаружить частицу в области за пределами«потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений Wkв за пределами «потенциальной ямы» объясняется возможностью прохождения микрочастиц сквозь потенциальный барьер.

Размещено на Allbest.ru