Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

Методы обработки результатов физического эксперимента

Морозов В.В.,

Соботковский Б.Е.,

Шейнман И.Л.

Санкт-Петербург 2004

Содержание

• 1. Основные понятия. Термины и определения
• 1.1 Измерение. Классификация измерений
• 1.2 Классификация погрешностей измерения
• 2. Обработка данных прямых измерений
• 2.1 Случайное событие. Вероятность
• 2.2 Случайная величина. Генеральная совокупность и выборка
• 2.3 Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений
• 2.4 Результат измерения. Доверительный интервал
• 2.5 Нормальное или гауссовское распределение
• 2.6 Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение
• 2.7 Выявление грубых погрешностей
• 2.8 Систематическая погрешность. Класс точности прибора. Расчет границы полосы погрешностей
• 2.9 Сложение случайной и систематической погрешностей. Полная погрешность измерения
• 2.10 Запись и округление результата измерения
• 2.11 Алгоритм обработки данных прямых измерений по выборке
• 2.12 Контрольные вопросы
• 3. Погрешности косвенных измерений
• 3.1 Метод переноса погрешностей
• 3.2 Выборочный метод
• 3.3 Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей
• 3.4 Алгоритм обработки данных косвенных измерений выборочным методом
• 3.5 Контрольные вопросы
• 4. Совместные измерения
• 4.1 Задача регрессии и метод наименьших квадратов
• 4.2 Случай линейной зависимости двух величин
• 4.3 Нахождение коэффициентов в уравнении прямой у = ax + b
• 4.4 Нахождение коэффициента в уравнении прямой у = ax
• 4.5 Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax + b на примере определения параметров равноускоренного движения
• 4.6 Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax на примере определения ускорения свободного падения
• 4.7 Контрольные вопросы
• 5. Правила оформления графиков
• 6. Контрольное задание
• 6.1 Прямые измерения
• 6.2 Косвенные измерения
• 6.3 Совместные измерения
• Приложение

Введение

Практически все отрасли человеческой деятельности в той или иной степени связаны с измерениями, а для значительной категории научных сотрудников и инженеров измерения составляют основное содержание их работы. Настоящее пособие посвящено изложению основных правил и приемов обработки данных, получаемых при измерениях. Рассматриваемые вопросы требуют знания основ теории вероятностей и математической статистики. Пособие же ориентировано на студентов младших курсов вузов, которые начинают изучение вопросов, связанных с измерениями, на занятиях в физической лаборатории (в первом или втором семестре), обладая в это время знаниями по физике и математике в объёме школьного курса. В связи с этим, а также учитывая ограниченность времени, отводимого на изучение статистической обработки результатов эксперимента, в пособии рассмотрены лишь самые основные понятия и приёмы обработки данных, а изложение ведется на уровне, доступном студентам, начинающим обучение в вузе. При изложении материала рассмотрены некоторые основные понятия теории вероятностей и математической статистики, широко используемые в теории измерений.

1. Основные понятия. Термины и определения

1. Измерение. Классификация измерений

Измерение - это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств и выражение полученного результата в принятых единицах.

Прямым называется измерение, при котором значение измеряемой величины непосредственно считывается со шкалы прибора, проградуированного в соответствующих единицах измерения. Уравнение прямого измерения имеет вид у = сx, где у - значение измеряемой величины; с - цена деления шкалы прибора в единицах измеряемой величины; x - отсчет по индикаторному устройству в делениях шкалы.

Примерами прямых измерений являются: измерение длины предмета с помощью штангенциркуля или микрометра, измерение силы тока амперметром, напряжения - вольтметром, температуры - термометром и др.

Косвенным называется измерение, результат которого определяют на основании прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью. Уравнение косвенного измерения имеет вид

у = f(x₁, x₂, …, x_n),

где у - искомая величина, являющаяся функцией величин x₁, x₂, …, x_n, измеряемых прямым методом. Можно сказать, что косвенное измерение - это измерение, результат которого рассчитывается по формуле.

Примерами косвенных измерений являются: определение радиуса шара

R= D/2,

площади его поверхности

S= D² или объёма V = D³/6 по прямо измеренной величине - диаметру шара D.

Совместными называют производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними. Уравнение совместных измерений имеет вид

y_i = f (x_1i, x_2i, …, x_ni ; a, b, c, ...), i = 1, 2, ..., N,

где y_i, x_1i, x_2i, ..., x_ni - значения величин, измеренных одновременно (прямо или косвенно) в i-й измерительной операции; а, b, с, ... - неизвестные искомые величины. Если число уравнений превышает число неизвестных, то эти уравнения в отличие от обычной системы уравнений называют условными. Для решения полученной системы используют метод наименьших квадратов.

Примером совместных измерений может служить нахождение зависимости периода Т колебаний математического маятника от его длины l:

Т= al ⁿ,

где а и n - неизвестные параметры, определяемые методом наименьших квадратов по прямым измерениям l и Т.

Совокупными называют такие одновременно проводимые измерения нескольких одноименных величин, при которых значения искомых величин находят решением системы уравнений, получаемых при измерениях различных сочетаний этих величин.

Пример совокупных измерений - нахождение ёмкости двух конденсаторов по результатам измерений ёмкости каждого из них в отдельности, а также при последовательном и параллельном соединениях. Каждое из этих измерений выполняется с одним наблюдением, но в итоге для двух неизвестных будем иметь четыре уравнения:

С₁ = x₁, С₂ = x₂ , С₁+С₂ = x₃, C₁C₂/(C₁ + С₂) = x₄.

1.2 Классификация погрешностей измерения

Воздействие помех на процесс измерения приводит к тому, что результаты измерения всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины и по этим результатам определить истинное значение нельзя. Разность между результатом измерения и истинным значением называется истинной погрешностью измерения. В силу того что истинное значение неизвестно, неизвестной является и истинная погрешность.

Учитывая, что ни истинное значение физической величины, ни истинную погрешность в опыте определить невозможно, задачу нахождения истинного значения формулируют как задачу нахождения некоторого приближенного к истинному значения с указанием диапазона возможных отклонений этого приближенного значения от истинного. Найденное в эксперименте значение измеряемой величины, приближенное к истинному, называется оценкой физической величины. Оценка с указанием ее возможного интервала отклонения от истинного значения называется результатом измерения.

Погрешность измерения включает в себя множество различных составляющих, которые можно классифицировать по различным признакам. В настоящее время классификация погрешностей содержит около 30 видов. Измерения можно разделить по виду влияния на результаты - на систематические и случайные; по характеру изменения во времени - на статические и динамические; по источникам возникновения - на методические, инструментальные, погрешности оператора, которые, в свою очередь, могут быть как случайными, так и систематическими; по возможности выявления и исключения из результатов измерения - на выявленные и не выявленные, устранимые и неустранимые, исключенные и не исключенные; по характеру принадлежности (близости) результатов наблюдений к основной совокупности выделяют грубые погрешности и промахи.

Не выявленная погрешность всегда неустранима. Выявленная погрешность может быть как устранимой, так и неустранимой. Так, случайная погрешность, а также систематическая погрешность известной величины, но неизвестного знака, имеют определенные числовые значения, т. е. относятся к разряду выявленных. Тем не менее, они не могут быть устранены (исключены из результатов), т. е. являются неустранимыми.

Далее приведены определения основных видов погрешностей.

Систематическая погрешность - это составляющая погрешности измерения, которая остаётся постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях.

Одной из основных задач обработки результатов эксперимента является выявление, оценка величины и, по возможности, устранение всех систематических погрешностей. Изменяющиеся систематические погрешности выявляются легче постоянных. Для выявления постоянной систематической погрешности необходимо выполнить измерения хотя бы двумя различными способами или методами. Обнаруженные и оцененные систематические погрешности исключаются из результатов путем введения поправок.

В зависимости от причин возникновения систематические погрешности подразделяют на следующие виды:

1. Погрешности метода или модели, которые обычно называют методическими погрешностями, например: определение плотности вещества без учета имеющихся в нем примесей, использование формул, не совсем точно описывающих явление, и др.

2. Погрешности воздействия внешних факторов: внешних тепловых, радиационных, гравитационных, электрических и магнитных полей.

3. Погрешности, возникающие из-за неточности действий или личных качеств оператора (экспериментатора), называемые личностными погрешностями.

4. Инструментальные (приборные, аппаратурные) погрешности, обусловленные схемными, конструктивными и технологическими несовершенствами средств измерения, их состоянием в процессе эксплуатации. Например, смещение начала отсчета, неточность градуировки шкалы прибора, использование прибора вне допустимых пределов его эксплуатации, неправильное положение прибора и т. п. За исключением смещения начала отсчета, приборные погрешности относятся к разряду неустранимых погрешностей.

В общем случае систематическая погрешность обусловлена суммарным воздействием перечисленных факторов, многие из которых невозможно рассчитать, подавить или выявить в данном эксперименте. Самым простым способом выявления суммарной систематической погрешности было бы сопоставление результатов измерений, полученных с помощью серийного (рабочего) и более точного образцового приборов. Разность результатов измерений даст суммарную систематическую погрешность, вносимую серийным прибором в результат измерения. Однако такой способ выявления систематической погрешности является слишком дорогим. Поэтому на практике различные составляющие систематической погрешности пытаются устранить с помощью экспериментальных или математических приемов путем введения поправок в результаты наблюдений при условии, что погрешность данного вида по величине и знаку известна. После внесения поправок влияние систематической погрешности данного вида на результат и погрешность измерения устраняется полностью. Если же систематическая погрешность неизвестна, но имеет известные границы изменения, то её учитывают в результате измерения.

Случайная погрешность - это составляющая погрешности измерения, проявляющаяся в виде непредсказуемых отклонений от истинного значения физической величины, меняющихся от одного наблюдения к другому. Данная погрешность обусловлена влиянием на результаты измерения множества факторов, воздействие которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее предсказать. Такими причинами могут быть перепады напряжения в сети, вибрация установки, изменения атмосферного давления, температуры, электрических, магнитных и радиационных полей, а также ошибки, связанные с действиями самого экспериментатора (неправильное считывание показаний приборов, различная скорость реакции и т. п.). Случайную погрешность нельзя исключить из результатов измерений, однако, пользуясь статистическими методами, можно учесть её влияние на оценку истинного значения измеряемой величины.

Грубая погрешность - погрешность измерения, значительно превышающая погрешности большинства результатов наблюдений. Такие погрешности могут возникать вследствие резкого изменения внешних условий эксперимента: внезапного изменения температуры, напряжения в сети и т. п. Грубые погрешности обнаруживают статистическими методами и соответствующие результаты измерений, как не отражающие закономерностей поведения измеряемой величины, исключают из рассмотрения.

Промах - это вид грубой погрешности, зависящий от наблюдателя и связанный с неправильным обращением со средствами измерений: неверными отсчетами показаний приборов, описками при записи результатов, невнимательностью экспериментатора, путаницей номеров образцов и т. п. Промахи обнаруживают нестатистическими методами и результаты наблюдений, содержащие промахи, как заведомо неправильные, исключают из рассмотрения.

Указанные составляющие, как правило, не зависят друг от друга, что допускает их раздельное рассмотрение.

Полная погрешность измерения, являющаяся суммой указанных составляющих, может быть представлена в абсолютном, относительном или нормированном виде.

Абсолютная погрешность - это погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Наряду с абсолютной погрешностью часто используется термин абсолютное значение погрешности, под которым понимают значение погрешности без учета ее знака. Эти два понятия различны.

Относительная погрешность - это погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности к результату измерения.

Приведенная погрешность - это погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерения (приборной погрешности) к некоторой постоянной величине, называемой нормирующим значением и имеющей размерность измеряемой величины. В качестве нормирующего множителя может выступать, например, максимальное значение шкалы прибора (верхний предел показаний прибора). Понятие приведенной погрешности относится только к средствам измерений.

Относительная и приведенная погрешности являются безразмерными величинами и, как правило, выражаются в процентах.

Одни составляющие погрешности могут быть устранены из результатов измерений, а другие - нет. Все виды неустранимых погрешностей вносят вклад в полную погрешность измерения, и для ее нахождения должны быть просуммированы по определенным правилам, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

2. Обработка данных прямых измерений

2.1 Случайное событие. Вероятность

Пусть при выполнении определенных условий происходит некоторое событие, которое будем называть "событием А". Каждый случай выполнения этих условий принято называть опытом или испытанием. Возможны три ситуации:

1. Событие А происходит всякий раз при осуществлении опыта или испытания. Такое событие называется достоверным.

2. Событие не происходит никогда (ни в одном испытании). Такое событие называется невозможным.

3. В каждом данном испытании событие А может произойти, но может и не произойти, причем точно указать, в каком испытании оно произойдет, а в каком - нет, заранее невозможно. Такое событие называют случайным, исход испытания также является случайным.

Предсказание исхода того или иного испытания (произойдёт или не произойдет событие А в данном испытании) основывается на накопленном опыте. Для ситуаций 1 и 2 можно дать точное предсказание исхода будущего испытания. В ситуации 3 предсказание можно сделать лишь грубо ("в среднем"), указав, что событие может произойти лишь в такой-то доле от общего числа испытаний.

Несмотря на случайность исходов отдельных испытаний, при многократном их повторении мы можем наблюдать вполне определенные средние результаты. Тенденция стремления результатов испытаний к некоторому общему среднему результату при увеличении числа испытаний получила название статистической устойчивости, существование которой основывается на предшествующем опыте или интуиции. Классическим примером являются опыты с подбрасыванием монеты. Выпадение герба при падении монеты в разных сериях испытаний происходит в числе испытаний, близком к половине общего их числа в серии. При увеличении числа испытаний в серии число выпадений герба всё больше приближается к половине общего числа испытаний в серии, т. е. к некоторому неслучайному показателю.

Пусть в N испытаниях событие А произошло n(А) раз. Отношение n(А)/N называется относительной частотой или просто частотой появления события А. Если провести несколько серий опытов по N испытаний в каждой, то отношение n(A)/N будет различным для разных серий, но при увеличении N это отношение будет стремиться к некоторому постоянному числу, называемому вероятностью появления события А:

n(A)/N Р(А) при N .

Вероятность является объективной характеристикой и математическим выражением возможности появления случайного события А в каждом отдельном испытании. Нетрудно видеть, что вероятность принимает значения, лежащие в интервале от нуля до единицы, т. е. 0  Р(А)  1, причем для достоверного события

Р(А) = 1 (n(А) = N),

для невозможного события Р(А) = 0 (n(А) = 0).

Физическое содержание события А может быть различным. Таким событием может быть выпадение герба при бросании монеты, рождение мальчика или девочки, превышение температурой воздуха заданного уровня в течение выбранных суток и др.

В большинстве случаев имеют место не отдельные события, а их комбинации, в связи с чем встают вопросы определения вероятностей этих комбинаций на основе знания вероятностей отдельных событий или других комбинаций этих же событий.

Если появление одного из событий делает невозможным появление других в данном испытании, то такие события называются несовместимыми. Если в каждом испытании должно обязательно произойти одно из событий некоторой группы, то эти события образуют полную группу. Если события к тому же несовместимы, то они образуют полную группу несовместимых событий.

Пусть события А₁, ..., A_N образуют полную группу и несовместимы. Тогда появление любого из этих событий в данном испытании есть достоверное событие, вероятность которого равна единице, то есть

P(A₁ или А₂, ... или А_N) = .

Если же вероятности этих событий равны между собой, то

откуда .

Классическим примером рассмотренной ситуации является выпадение некоторого числа очков при бросании игральной кости, представляющей собой кубик с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, нанесенными на гранях. Выпадение каждой грани является случайным событием. Если кубик считать идеальным, то вероятности выпадения всех граней одинаковы. Выпадение одной из них исключает выпадение других, и события, состоящие в выпадении 1...6 очков, образуют полную группу несовместимых событий. Вероятность выпасть любому из указанных чисел равна 1/6. Вероятность получить число очков не менее 3 при одном бросании равна вероятности выпадения чисел 3, 4, 5, 6, т. е. (1/6)4 = 2/3.

2.2 Случайная величина. Генеральная совокупность и выборка

Пусть некоторая величина X в ряде испытаний может принимать различные числовые значения. Если значение величины Х в каждом данном испытании не может быть указано заранее (непредсказуемо), то величина Х называется случайной величиной.

Если случайная величина может принимать бесконечное множество значений, причем эти значения могут быть сколь угодно близки друг к другу, то такая величина называется непрерывной случайной величиной. Если же случайная величина может принимать лишь дискретные значения, то она называется дискретной случайной величиной.

Факт принятия величиной заранее заданного значения для дискретной случайной величины или попадания в заданный интервал для непрерывной случайной величины в конкретном испытании является случайным событием, происходящим с определенной вероятностью.

Охарактеризовать случайную величину можно при помощи закона распределения. Под законом распределения случайной величины понимается соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями принятия этих значений. Это соответствие может быть задано в виде таблицы, графика или математической формулы.

В основе любых измерений лежат прямые измерения, в ходе которых находят некоторое числовое значение физической величины. Каждая отдельная измерительная операция (отсчет, замер) называется наблюдением, а получаемое при этом значение физической величины - результатом наблюдения. В связи с тем, что результат отдельного наблюдения включает в себя неизвестные погрешности, для решения поставленной выше задачи нахождения оценки значения физической величины в процессе измерения проводят серию наблюдений. Получаемые в серии результаты наблюдений подвержены как систематическим, так и случайным отклонениям от истинного значения физической величины. Такие заранее непредсказуемые в каждом данном наблюдении результаты представляют собой случайную величину. Многократное повторное проведение опыта позволяет установить статистические закономерности, которым удовлетворяет данная случайная величина, и найти результат измерения.

При каждом наблюдении мы получаем некоторое возможное значение физической величины. Всё множество значений, которые измеряемая величина может принимать в эксперименте, называется генеральной совокупностью. Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Большинство физических величин имеют непрерывный набор возможных значений, множество которых является бесконечным. Говорят, что такие величины имеют генеральную совокупность бесконечного объёма.

Генеральная совокупность несет полную информацию об измеряемой величине и позволяет (в отсутствие систематических погрешностей), несмотря на случайный характер результатов отдельных наблюдений, найти истинное значение x₀ физической величины. В случае физической величины с непрерывным набором значений для нахождения истинного значения необходимо провести бесконечное число наблюдений, что невозможно. Поэтому на практике ограничиваются конечным числом наблюдений (от единиц до нескольких десятков). Полученный при этом ряд значений физической величины: x₁, x₂, ..., x_N называют выборкой из генеральной совокупности или просто выборкой. Число N результатов наблюдений в выборке называют объёмом выборки.

Результаты наблюдений, входящие в выборку, можно упорядочить, т. е. расположить их в порядке возрастания или убывания: x₁ ? x₂ ? ... ? x_N . Полученную выборку называют упорядоченной или ранжированной. Величина

R = x_mах - x_min называется размахом выборки.



2.3 Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чтобы получить представление о законе распределения измеряемой величины, экспериментальные данные группируют. Для этого весь интервал значений величины от x_min до x_max (рис. 2.1) разбивают на несколько равных отрезков, называемых интервалами группировки данных, шириной Д и центрами x_k, так что k-й интервал (k = 1, 2, …, K) имеет границы (x_k - Д / 2, x_k + Д / 2). Далее распределяют значения x_i по интервалам. Число точек N_k, оказавшихся внутри k-го интервала, даёт число попаданий измеряемой величины в этот интервал. Общее число точек, оказавшихся внутри всех интервалов разбиения, должно быть равно полному числу N результатов наблюдений в исходной выборке.

Над каждым интервалом Д_k строится прямоугольник высотой

f_k = N_k / (N Д). Совокупность таких прямоугольников называется гистограммой (рис. 2.1).

При построении гистограмм интервалы разбиения не следует брать очень большими или очень маленькими. Так, в первом случае прямоугольники на гистограмме будут иметь примерно одинаковую высоту, а во втором - могут появиться интервалы, в которые не попадет ни одного значения случайной величины. Чтобы этого не происходило, придерживаются следующих правил. Число интервалов группировки данных К рассчитывают по формуле

К = 1 + 3.2 lg N, где N - объем выборки. Если число К получается дробным, то eго округляют до ближайшего меньшего целого. Ширину интервалов берут равной Д = (x_max - x_min)/K.

Высоты и площади прямоугольников на гистограмме имеют следующий смысл. Учитывая, что согласно 2.2 относительные частоты

P_k = N_k /N

приближенно равны вероятности попадания результата каждого отдельного наблюдения в данный интервал, высота каждого прямоугольника на гистограмме

f_k = N_k /NД = Р_k /Д

есть вероятность, приходящаяся на единицу длины интервала разбиения или плотность вероятности попадания случайной величины в интервал Д_k с центром в точке x_k.

Площадь каждого прямоугольника

f_k Д = N_k /N = Р_k

есть вероятность попадания результата в интервал Д_k . Сумма площадей прямоугольников, основания которых находятся внутри некоторого интервала [x₁, x₂], равна вероятности для каждого отдельного наугад взятого результата попасть в этот интервал.

Нетрудно убедиться, что сумма площадей всех прямоугольников равна единице:

. (2.1)

Это означает, что попадание произвольного результата наблюдения в какой-либо из интервалов разбиения в промежутке (x_max,x_min) есть достоверное событие.

Из рис. 2.1 видно, что результаты наблюдений распределены около некоторого значения, абсцисса которого соответствует центру самого высокого прямоугольника на гистограмме. По обе стороны данного прямоугольника расположены прямоугольники убывающих высот и площадей. Учитывая, что высоты прямоугольников f_k имеют смысл плотности вероятности попадания измеряемой величины в интервал Д_k, можно сказать, что гистограмма дает представление о законе распределения измеряемой величины.

Зная координаты центров интервалов разбиения x_k и количества попаданий N_k значений измеряемой величины в интервалы, можно найти среднее значение измеряемой величины и величину , характеризующую разброс результатов наблюдений около среднего значения:

(2.2)

(2.3)

где при большом объеме выборки . Величину называют эмпирической дисперсией, а

- среднеквадратическим отклонением результатов наблюдений от среднего (СКО x).

Параметр S_x характеризует ширину распределения значений случайной величины около среднего значения.

Если число наблюдений взять очень большим (), т. е. от выборки перейти к генеральной совокупности, а ширины интервалов разбиения очень маленькими, то ломаная огибающая гистограммы перейдет в плавную кривую, называемую функцией плотности распределения вероятности измеряемой величины, которую будем обозначать f(x). В этом случае суммы (2.1)-(2.3) заменятся интегралами, а вероятности P_k - вероятностями попадания случайной величины в интервал (). Если случайная величина распределена в интервале (a, b) (заметим, что границы интервала могут быть и бесконечными: ), то выражения (2.1)-(2.3) будут иметь вид

(2.4)

(2.5)

, (2.6)

где есть плотность вероятности распределения случайной величины или просто плотность вероятности; , - генеральные среднее и дисперсия, величина называется стандартным отклонением.

Равенство (2.4) называют условием нормировки функции плотности вероятности. Это условие требует, чтобы площадь под графиком функции вероятности всегда была равна единице.

2.4 Результат измерения. Доверительный интервал

Задачей эксперимента является нахождение истинного значения x₀ физической величины, которое может быть найдено, если имеется генеральная совокупность всех значений искомой величины Х. Однако, в связи с тем, что количество наблюдений в выборке конечно, в опыте находят некоторое приближенное к x₀ значение , называемое оценкой истинного значения, и указывают интервал, в который истинное значение x₀ попадает с заданной вероятностью P. Этот интервал называют доверительным интервалом, а вероятность Р - доверительной вероятностью.

В качестве оценки истинного значения согласно (2.2) выбирают среднее арифметическое результатов наблюдений в выборке

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (2.7)

которое называют выборочным средним. Среднее также является случайной величиной, и если повторить опыт по его нахождению несколько раз, то получим выборку средних X: , , ..., , которые также будут отличаться друг от друга случайным образом, однако разброс средних значений будет заметно меньше разброса результатов отдельных наблюдений в каждой выборке.

Для нахождения доверительного интервала необходимо знать распределение средних значений около x₀. Зная вид , можно построить интервал, в который истинное значение x₀ попадает с вероятностью Р. Для этого на оси абсцисс (рис. 2.2) находят точки x₁ и x₂ такие, чтобы площади под графиком слева от x₁ и справа от x₂ равнялись бы одной и той же величине . Тогда площадь под графиком в интервале (x₁, x₂) будет равна значению вероятности P, и для произвольного полученного в опыте среднего значения можно написать: x₁ << x₂ c вероятностью Р:

.(2.8)

Границы интервала можно также записать в виде

, . Если распределение симметрично, то .

Величину в этом случае называют случайной доверительной погрешностью результата измерения.



2.5 Нормальное или гауссовское распределение

Одним из часто встречающихся на практике распределений является нормальный или гауссовский закон. Ему подчиняются физические величины, случайность которых обусловлена действием множества независимых (или слабо зависимых) малых аддитивных факторов, результат воздействия каждого из которых мал по сравнению с их суммарным воздействием. Плотность распределения вероятности нормального закона имеет вид

, (2.9)

где x - случайное значение величины X. Параметр x₀ определяет центр распределения, а _x - форму и ширину кривой плотности распределения (рис. 2.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Множитель перед экспонентой, определяющий высоту гауссовской кривой, выбран таким образом, чтобы было выполнено условие нормировки (2.4).

Поскольку Гауссово распределение симметрично относительно x₀, согласно (2.8) вероятность того, что случайное значение x величины X, распределенной по нормальному закону, попадет в заданный интервал (x₁, x₂), будет определяться выражением

.(2.10)

Вводя обозначение , называемую стандартизованной переменной, (2.10) можно записать в виде

,(2.11)

где t_P - коэффициенты, определяющие ширину интервала в единицах параметра нормального распределения _x: . Вероятности P попадания u в интервал (-t_P, t_P) можно найти, вычислив интеграл (2.11) численно для различных значений ширины интервала t_P. И обратно, каждой заранее заданной вероятности P будет соответствовать свое конкретное значение коэффициента t_P, зависящее от выбора доверительной вероятности P. Если значения коэффициентов t_P найдены, то от переменной u можно вернуться к переменной x. Тогда из неравенства получим с вероятностью P.

Можно показать (см. 2.6), что если значения x величины X распределены по нормальному закону, то и рассчитываемые по ним средние значения также распределены по нормальному закону с центром в точке x₀ и шириной распределения

,

где N - объем выборок, по которым рассчитываются . Распределение средних будет описываться формулой (2.9), в которой x заменено на , а на .

Если средние значения распределены по нормальному закону, то задача нахождения доверительного интервала сводится к нахождению доверительного интервала (-t_P, t_P) для стандартизованной переменной

и переходу к доверительному интервалу переменной . В результате получим, что границы интервала, в который случайное значение попадает с вероятностью P, определяются неравенством .

Откуда для границ доверительного интервала x₀ получаем , где t_P - коэффициенты, соответствующие заданной вероятности Р. Это неравенство принято записывать в виде символического равенства

с вероятностью P, (2.12)

где - случайная доверительная погрешность результата измерения.



2.6 Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение

В реальном эксперименте имеет место выборка конечного объема, а не генеральная совокупность, подчиняющаяся нормальному закону. Поэтому чтобы воспользоваться формулой (2.12) для определения случайной доверительной погрешности результата измерения, необходимо найти оценку параметра и новые коэффициенты t_P, N (которые в этом случае будут зависеть от количества измерений N), соответствующие выборке конечного объема.

Таким наилучшим приближением, или оценкой стандартного отклонения , согласно (2.3) является величина

, (2.13)

называемая выборочным среднеквадратичным отклонением (СКО x) результата наблюдения от среднего. Квадрат СКО называют выборочной дисперсией результата наблюдения.

Для нахождения оценки параметра рассмотрим случайную величину Z, представляющую собой сумму случайных величин X и У. Тогда среднее значение Z имеет вид

а выборочная дисперсия

может быть представлена в виде

Если X и Y независимы друг от друга, то их отклонения от средних значений и также независимы. Учитывая, что среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей, получим, что последняя сумма равна нулю, и

S_z² = S_x² + S_y²,

т.е. дисперсии независимых случайных величин складываются линейно, а выборочные среднеквадратичные отклонения складываются квадратично.

Если Z = аХ + bY, то, повторив рассуждения, получим

S_z² = aS_x² + bS_y².

В случае суммы более двух случайных величин

Z = a₁X₁+a₂X₂ +…+a_NX_N = ,



. (2.14)

Для нахождения погрешности результата измерения представляет интерес не СКО результата отдельного наблюдения , а СКО среднего значения . Взаимосвязь между параметрами и можно найти, если учесть, что среднее значение есть сумма N независимых случайных величин, дисперсии которых одинаковы

.

Тогда, используя формулу (2.14), в которой а_i = 1/N, с учетом получим для дисперсии параметра :

.

Отсюда следует, что СКО

. (2.15)

Параметр , называемый выборочным среднеквадратичным отклонением среднего (СКО ), является наилучшим приближением к параметру



.

Если СКО найдено согласно (2.15), то, как было впервые предсказано английским математиком В. С. Госсетом, писавшим свои работы под псевдонимом Стьюдент, и впоследствии доказано Р. А. Фишером, новая стандартизованная переменная

имеет функцию плотности распределения вероятности , зависящую от объема выборки N. Вероятность того, что величина u попадет в заданный интервал (), будет

,

откуда случайную доверительную погрешность результата измерения необходимо рассчитывать по формуле

, с вероятностью P,

где - коэффициенты Стьюдента, зависящие от доверительной вероятности P и объема выборки N, по которой рассчитываются и . При больших значениях (на практике при N ? 20) параметры и , рассчитываемые по выборке конечного объема, переходят в параметры и нормального распределения, а коэффициенты Стьюдента t_P, N - в коэффициенты t_P для нормального закона.

Для проверочной оценки случайной доверительной погрешности результата измерения её расчет можно также производить по формуле

x = _P, N R, где R = x_max - x_min - размах выборки.

Значения коэффициентов t_P, N и _P, N для данных значений доверительной вероятности (по договоренности в технике берут значение Р = 95 %) и числа N наблюдений в выборке приведены в приложении. В математических справочниках, как правило, коэффициенты Стьюдента приводят в таблицах в виде , где н = N - 1 называется числом степеней свободы выборки объема N.

Необходимо отметить, что при расчетах доверительной погрешности по Стьюденту результаты наблюдений должны принадлежать генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, что может быть проверено с помощью специальных статистических критериев. Для выполнимости этой процедуры выборка должна быть достаточно представительной (от 50 наблюдений и больше). Выборки малых объёмов (N << 15), которые имеют место в работах лабораторного физического практикума, на принадлежность нормальному распределению не проверяют.

2.7 Выявление грубых погрешностей

Среди результатов наблюдений в выборке значений измеряемой величины могут оказаться такие, которые сильно отличаются от остальных: это либо промахи, либо результаты, содержащие грубые погрешности.

Промахи (описки и т. п.) устраняют из таблицы наблюдений, не прибегая к каким-либо процедурам проверки, руководствуясь лишь здравым смыслом. Для выявления результатов, содержащих грубые погрешности, существуют различные статистические методы (критерии), в основе которых, как правило, лежит предположение о том, что результаты наблюдений принадлежат генеральной совокупности, элементы которой распределены по нормальному закону.

1. Рассмотрим сначала критерий, позволяющий по относительному расстоянию между крайним и ближайшим к нему соседним элементом упорядоченной выборки (x₁ = x_min  x₂  …  x_N = x_max) заключить, содержит ли крайний элемент выборки грубую погрешность или нет. Критерий основывается на анализе отношения

,

где величина R = x_max - x_min - размах выборки

Если u_i > u_P, N при i = 1 или

i= N - 1,

где u_P, N - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа наблюдений N в выборке (см. приложение), то x_min или x_max представляет собой элемент выборки, содержащий грубую погрешность, и должен быть удален из таблицы результатов наблюдений.

Если x_N = x_max или x₁ = x_min не содержит грубой погрешности, то проверку на наличие в выборке элементов, содержащих грубую погрешность, прекращают. В противном случае проверку повторяют, сопоставляя элемент x_N-₁ с x_N-₂ и, если нужно, x₂ с x₃, и т. д.

В некоторых случаях выборка распадается на две или более отдельно отстоящие друг от друга подвыборки, т. е. не является связной. Такая ситуация может возникнуть, когда в процессе эксперимента скачкообразно изменились его условия, была сбита настройка аппаратуры, были выключены и повторно включены некоторые приборы и т. п. Критерий сопоставления соседних элементов упорядоченной выборки друг с другом можно использовать для проверки выборки на связность, проверяя условия u_i > u_P, N при i = 2, …, N - 2. Если выборка не является связной, эксперимент нужно повторить.

2. Другой критерий основывается на анализе отклонения наиболее отстоящего результата наблюдения x₁ от среднего значения . Так, если

v = |x₁ - |/S_x > v_P, N ,

где S_x - СКО результата измерения; v_P, N - коэффициенты, приведенные в приложении, то считается, что x₁ содержит грубую погрешность и его необходимо исключить из выборки.

2.8 Систематическая погрешность. Класс точности прибора. Расчет границы полосы погрешностей

До сих пор в рассмотрении предполагалось, что результаты наблюдений не содержат систематических погрешностей. Тем не менее, этот вид погрешностей всегда присутствует в эксперименте.

Инструментальными (приборными, аппаратурными) погрешностями средств измерений называют такие, которые принадлежат данному средству измерений (СИ), определены при его испытаниях и занесены в его паспорт.

Теоретически погрешность СИ есть разница между значением величины, полученным при помощи этого средства, и истинным значением. Вместо неизвестного истинного значения на практике обычно используется действительное значение, полученное при помощи более точного СИ. По уровню точности СИ делят на рабочие (серийные), образцовые и эталонные. Для рабочего СИ более точным является образцовое, а для образцового - эталонное.

Инструментальные погрешности делят на основные и дополнительные. Основная погрешность - это погрешность СИ в нормальных условиях его применения, а дополнительная - в условиях, отличных от нормальных. Нормальные условия (температура, влажность, частота и напряжение питающей сети, положение прибора и др.) оговариваются в паспорте СИ и в инструкции по эксплуатации. Обычно нормальными считаются: температура (293 ± 5) К; атмосферное давление (100 ± 4) кПа; влажность (65 ± 15) %; напряжение сети питания 220 В ± 10 %.

Приборная погрешность зависит от условий и длительности эксплуатации СИ, и её значение в каждом данном измерении неизвестно, поэтому на практике обычно указывают интервал (-и_x, и_x) возможных значений погрешности прибора или полосу погрешностей, которую определяют экспериментально не для данного прибора, а для партии приборов данной серии. Границу и_x полосы погрешностей прибора называют нормированным значением приборной погрешности или пределом допускаемой погрешности данного СИ.

Измерительные приборы делят по точности на классы. Точность СИ - характеристика, отражающая близость его погрешности к нулю. Чем меньше погрешность, тем точнее СИ.

Класс точности - характеристика СИ, выраженная пределами его основной и дополнительной погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность. Класс точности указывается на шкале прибора. Его обозначение зависит от способа нормирования основной допускаемой погрешности прибора и обозначается числом из следующего ряда: 1·10ⁿ; 1.5·10ⁿ; 2·10ⁿ; 2.5·10ⁿ; 4·10ⁿ; 5·10ⁿ, где n = 0, ±1, ±2, …. Обозначение имеет вид либо числа, заключенного в кружок, либо просто числа, либо двух чисел, разделенных косой чертой. Остановимся на этих случаях.

1. Класс точности, указанный в виде числа, заключенного в кружок Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

, обозначает максимальную относительную погрешность результата измерения, выраженную в процентах (ди_x = г). Абсолютная погрешность в этом случае и_x = гx/100, где x - отсчет физической величины по шкале прибора.

2. Если класс точности г указан просто числом, то он равен максимальной погрешности прибора (границе погрешности), выраженной в процентах от максимального показания К шкалы прибора, по которой производится отсчет. В этом случае и_x = гК/100, ди_x = и_x/x = гК/x.

Если нулевая отметка находится на краю шкалы или выходит за её пределы, то нормирующее значение К принимается равным верхнему пределу диапазона измерений. Так, если амперметр имеет шкалу от 0 до 60 А или от 30 до 60 А, то К = 60 А. Если прибор имеет нулевую отметку не в начале, а в другой точке шкалы, то K равно полной протяженности шкалы, т. е. сумме модулей отрицательного и положительного пределов измерений. Например, для амперметра со шкалой от -30 до +60 А, К = 60 + = 90 А.

3. Класс точности может быть задан в виде г_н/г_к, где г_н и г_к - приведенные погрешности прибора в начале и в конце шкалы, выраженные в процентах. В этом случае

ди_x = г_н + г_к (К/x - 1) , и_x = ди_x x/100,

где К - предел измерений; x - отсчет по шкале прибора.

4. Если класс точности аналогового (стрелочного) прибора не указан, то его максимальная погрешность и_x принимается равной половине цены деления шкалы прибора. Обычно цена наименьшего деления такого прибора согласована с погрешностью самого прибора. Поэтому попытка считывания со шкалы долей минимального деления нецелесообразна и не приводит к уменьшению приборной погрешности.

5. Для цифрового измерительного прибора при неизвестном классе точности или паспортной формуле для расчета погрешности за оценку максимальной погрешности и_x принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора при однократном отсчете или единицу последнего стабильно горящего (немигающего) разряда при непрерывно проводимых измерениях.

2.9 Сложение случайной и систематической погрешностей. Полная погрешность измерения

Пусть результаты наблюдений наряду со случайной содержат и систематическую приборную погрешность , которую можно считать постоянной в течение времени проведения измерения, так как характеристики прибора за это время не успевают заметно измениться. Наблюдаемые в опыте результаты наблюдений будут при этом равны x_i = x_i + . Наличие постоянной погрешности, вносимой прибором в результаты наблюдений, приводит к смещению выборочного среднего

,

однако совершенно не влияет на случайную погрешность результата измерения

, или x = _P, N R, так как разности, на основе которых рассчитываются СКО :



, а также размах выборки не зависят от .

Смещение среднего значения и доверительного интервала может привести к тому, что истинное значение x0 измеряемой величины окажется за

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

пределами найденного доверительного интервала , как это показано на рис. 2.4. Чтобы этого не произошло, необходимо расширить доверительный интервал на величину верхней границы возможных значений погрешностей прибора . В этом случае и результат измерения можно записать в виде

,

где назовём полной погрешностью результата измерения. Новый доверительный интервал обязательно накроет истинное значение x₀, так как _x  || (рис. 2.4). Отметим, что доверительная вероятность, соответствующая найденному таким образом доверительному интервалу, будет превышать доверительную вероятность, используемую для нахождения случайной составляющей погрешности измерения.

Указанный способ суммирования погрешностей дает максимальную верхнюю границу полной погрешности результата измерения. Однако маловероятно, что в данном эксперименте полная погрешность примет своё максимальное значение. Учитывая, что, как правило, на практике приборная погрешность как отдельного прибора (погрешности квантования и шкалы прибора), так и в серии приборов изменяется нерегулярным образом, оставаясь в границах ±_x, полная погрешность результата измерения с учетом неизвестности величины и знака _x лежит в пределах .

Сопоставляя приведенное выражение с неравенством треугольника , можно заключить, что в качестве разумной оценки полной погрешности результата измерения можно выбрать величину

.(2.16)

Строгое рассмотрение суммирования случайной и приборной погрешностей основано на построении совместной функции плотности распределения вероятности . Будем считать, что в интервале (-_x, _x) все возможные значения приборной погрешности равновероятны, т. е. приборная погрешность распределена равномерно. Тогда совместная функция распределения представляет собой свертку нормального (или распределения Стьюдента для конечного числа наблюдений N) и равномерного законов распределения:

.



Проводя вывод аналогично разд. 2.5, можно построить доверительный интервал для совместной функции распределения случайной и приборной погрешностей.

Полученное выражение для полной погрешности результата измерения хорошо (с точностью до 5 %) аппроксимируется формулой (2.16).

В ГОСТ 16263-76 для определения границы доверительного интервала предложена формула

(2.17)

где k зависит от доверительной вероятности и числа наблюдений в выборке (для Р = 95 % 0.7  k  0.8). Выражение (2.17) приводит как к более громоздким расчетным соотношениям, так и к большим ошибкам при определении погрешностей (до 15 %). Учитывая это, рекомендуется оценивать границы доверительного интервала по формуле (2.16).

Итоговая запись результата измерения будет иметь вид