Гидравлика и гидравлические машины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Омский государственный университет путей сообщения

Конспект лекций

для студентов механических специальностей вузов министерства транспорта

Гидравлика и гидравлические машины

А.М. Капустин, А.П. Стариков

Омск 2006

УДК

Капустин А.М., Стариков А.П. Гидравлика и гидравлические машины. Конспект лекций, - Омск, изд. Ом ГУПСа, 2006 г.

Конспект лекций написан в соответствии с программой дисциплины "Гидравлика (техническая механика жидкости и газа)" применительно к учебному плану механических специальностей вузов министерства транспорта, для которых предусмотрен весьма небольшой объём часов лекций (порядка 30 час).

В конспекте лекций рассмотрены общие вопросы технической механики жидкости, позволяющие достаточно глубоко понять физическую суть процессов, происходящих в гидравлических системах. Кроме того, определённое внимание уделено гидравлическим машинам, их устройству и принципу действия.

Конспект лекций предназначен для студентов очного и заочного обучения.

Рис. 55, библиогр. 8 назв. Рецензенты:

(с) Омский государственный университет путей сообщения, 2006.

Введение

жидкость гидравлический труба

Курс лекций по гидравлике и гидравлическим машинам предназначен для студентов механических специальностей ВУЗов МПС. В связи с резким сокращением объема лекционного курса и расширением объема самостоятельной работы возникла необходимость написания пособия, которое позволило бы достаточно глубоко изучить курс.

Пособие состоит из двух частей - в первой части представлены основные принципы и методы расчета потоков в закрытых руслах (трубах), а во второй - основные сведения о гидравлических машинах.

В курсе лекций основное внимание уделяется изучению физических явлений, имеющих место при движении жидкости и в тех или иных гидравлических машинах. В то же время приводятся достаточно подробные выводы ряда основополагающих уравнений, позволяющих представить себе математическое описание процессов, происходящих в жидкости.

Часто конструктивные и технологические вопросы в пособии не рассматриваются, а упор сделан на наиболее часто встречающиеся эксплуатационные вопросы.

Гидравлика - прикладная наука, изучающая закономерности равновесия и движения жидкости, и применение их к решению практических задач.

В гидравлике изучают внутренние движения жидкостей или, так называемую внутреннюю задачу. Теоретической базой гидравлики является гидромеханика, которая использует методы строгого математического анализа явлений. В то же время в силу чрезвычайной сложности происходящих в жидкости процессов в гидравлике широко используется эксперимент. Широкое использование в различного вида устройствах жидкости, как рабочего тела, либо, как объекта для транспортировки к месту потребления, требует от инженеров-механиков знаний законов гидравлики.

Жидкость и ее физические свойства

Жидкостью называется физическое тело, обладающее большой подвижностью частиц. Под жидкостью в гидравлике понимают капельные и газообразные жидкости. Капельные жидкости в небольших объемах имеют сферическую форму, т.е. образуют капли. В силу небольших расстояний между молекулами в жидкости она обладает свойством несжимаемости.

Газообразная жидкость, в отличие от капельной, под воздействием сжимающих усилий существенно изменяет свой объем. В то же время при небольших скоростях движения (50-70 м/с), закономерности движения капельных жидкостей могут без особой погрешности распространены на газы.

Жидкость легко деформируется под действием самых незначительных касательных и растягивающих усилий и поэтому обладает свойством текучести.

Жидкость в гидравлике рассматривается как непрерывная среда, заполняющая пространство без пустот. Полагают, что жидкость состоит из частиц, размеры которых по сравнению с размерами молекул велики и в то же время достаточно малы, чтобы можно было рассматривать все механические характеристики жидкой среды, как функции координат точки.

Рассмотрим некоторые физико-механические характеристики жидкости.

Плотность - это масса жидкости, заключенная в единице объема

,

где - плотность, кг/м³;

М - масса жидкости, кг;

W - объем, м³.

Объемный вес - это вес единицы объема жидкости

,

где - объемный вес, Н/м³;

G - вес жидкости, Н;

W - объем, м³.

Между плотностью и объемным весом существует очевидная связь

=g,

где g - ускорение земного притяжения, м/с².

Сжимаемость жидкости - это свойство жидкости изменять свой объем под воздействием сжимающих усилий и характеризуется коэффициентом объемного сжатия

где _р - коэффициент объемного сжатия, м²/Н;

W - изменение объема, м³;

W₀ - начальный объем, м³;

р - приращение давления, Н/м².

Знак “минус” в формуле обусловлен тем, что положительному приращению р соответствует отрицательное приращение W.

Коэффициент _р зависит от давления и температуры. В связи с тем, что сжимаемость капельных жидкостей весьма мала, практически ею в большинстве случаев пренебрегают.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкости



где Е_ж - модуль упругости, Н/м².

Температурное расширение жидкости - это свойство жидкости изменять свой объем под воздействием изменения температуры

где _t - коэффициент температурного расширения, 1/С.

Сопротивление жидкости растягивающим усилиям.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

По молекулярной теории сопротивление растяжению внутри капельных жидкостей может быть весьма высоким. Однако жидкости, применяемые в технике, содержат твердые частицы и пузырьки газа, и не выдерживают растягивающих усилий.

Вязкость - это свойство жидкости сопротивляться сдвигу (или скольжению) ее слоев.

При течении жидкости вдоль твердой стенки происходит торможение потока, обусловленное вязкостью (рис. 1).

В 1866г. Ньютон сформулировал закон о внутреннем трении жидкости, движущейся без перемешивания слоев. В соответствии с этим законом при скольжении отдельных слоев жидкости друг по другу между ними возникает сила трения, пропорциональная площади соприкасающихся слоев и градиенту скорости

где Т - сила трения, Н;

F - площадь соприкасающихся слоев, м²;

- градиент скорости, 1/с;

- динамический коэффициент вязкости, Нс/м².

В соответствии с законом Ньютона можно определить касательное напряжение при скольжении слоев

где - касательное напряжение, Н/м².

Кроме коэффициента динамической вязкости часто применяют кинематический коэффициент вязкости

где - кинематический коэффициент вязкости, м²/с.

Коэффициенты , различны для разных жидкостей и являются функцией температуры и давления. В обычных условиях зависимость от давления проявляется очень слабо и поэтому считают, что и зависят только от температуры. В справочной литературе имеются таблицы значений и для разных жидкостей при различных температурах.

Силы, действующие на жидкость, делятся на внутренние и внешние по отношению к рассматриваемому объему. Внутренние силы - это силы взаимодействия между молекулами. Будем полагать, что эти силы уравновешены.

Внешние силы в свою очередь делятся на поверхностные и массовые. Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, на которую они действуют (силы давления, силы трения). Массовые силы пропорциональны массе жидкости (силы тяжести, силы инерции).

Часть I. Гидравлика

Глава 1. Гидростатика

1.1 Гидростатическое давление и его свойства

Гидростатикой называется раздел гидравлики в котором изучаются закономерности покоящейся жидкости и применение этих закономерностей к решению практических задач. Рассмотрим основное понятие гидростатики - понятие о гидростатическом давлении.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возьмем произвольный объем жидкости, рис. 1.1, и будем полагать, что под воздействием поверхностных и массовых сил он находится в состоянии покоя. Мысленно рассечем объем плоскостью А на две части и отбросим I часть. В результате этой операции состояние покоя (равновесия) окажется нарушенным. Для восстановления состояния равновесия заменим воздействие части I на II силой Р. Отношение силы Р к площади F определит так называемое среднее гидростатическое давление

		(1.1)

где Р - сила, действующая на площадь, Н;

F - площадь, м²;

p_ср - среднее гидростатическое давление, Н/м².

Если рассмотреть бесконечно малую площадку ДF, то на нее будет действовать сила ДР, а гидростатическим давлением в точке будет

		(1.2)

Из сказанного следует, что гидростатическое давление - это напряжение, возникающее в жидкости в результате действия сжимающих сил.

Гидростатическое давление обладает двумя свойствами: I - гидростатическое давление направлено по нормали к площадке, на которую оно действует, и является сжимающим; 2 - гидростатическое давление в данной точке не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первое свойство докажем следующим образом. Рассмотрим объем жидкости (рис. 1.2), находящейся в состоянии покоя. Рассечем его произвольной поверхностью А. Пусть в точке В гидростатическое давление направлено не по нормали. Тогда его можно разложить на две составляющие - касательную р_ф и нормальную р_n. Однако в покоящееся жидкости возникновение касательных усилий не возможно. Следовательно, предположение принятое выше является несостоятельным.

Второе свойство докажем следующим образом. Вырежем в покоящейся жидкости элементарный тетраэдр с ребрами dx, dy, dz (рис. 1.3). Если отбросить окружающую жидкость, то состояние равновесия будет нарушено. Для того чтобы состояние равновесия восстановить заменим воздействие окружающей жидкости на тетраэдр силами:

Р_х=dy•dz•p_x; P_y=dx•dz•p_y; P_z=dy•dx•p_z; P_n=плВСD•p_n; G=с?dx•dy•dz?Ч,

где p_х, p_y, p_z - гидростатические давления, действующие на соответствующие грани;

G - массовая сила;

Х - равнодействующая ускорений всех массовых сил.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.3

Запишем условие равновесия системы материальных точек, составляющих тетраэдр

=0; =0; =0.

Сравнивая силы Р_x, P_y, P_z, P_n с G убеждаемся, что массовые силы имеют более высокий порядок малости и ими можно пренебречь.

Тогда условие равновесия может быть представлено следующим образом

		(1.3)

Подставив значения P_x, P_y, P_z, P_n получим

		(1.4)

но следовательно

		(1.5)

или p_x = p_n.

Аналогично можно доказать, что p_y = p_n и p_z = p_n.

Отсюда

	px = py = pz = pn,	(1.6)

т.е. гидростатическое давление в данной точке одинаково по всем направлениям.

1.2 Дифференциальные уравнения Эйлера и их интегралы. Основное уравнение гидростатики

Опыт показывает, что гидростатическое давление в разных точках объема разное, т.е. p = f(x, y, z). Установим эту функциональную связь. С этой целью выделим внутри покоящейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 1.4). Отбросим мысленно окружающую жидкость и заменим ее воздействие на параллелепипед силами. Спроектируем силы на ось Х. Так как параллелепипед находится в равновесии, то

	Рx1 - Px2 + Gx = 0.	(1.7)

Рис. 1.4

Предположим, что гидростатическое давление, действующее на грань 1234 равно p, а грань находится на расстоянии х от начала координат. Тогда

		(1.8)

В связи с тем, что координата грани 5678 равна х + dx, а р = f(x, y, z), то давление, действующее на эту грань будет и

		(1.9)

Проекцию массовых сил на ось Х представим следующим образом

		(1.10)

Здесь Х - проекция ускорения массовых сил на ось х. Подставляем указанные силы в уравнение (1.7)

		(1.11)

Раскроем скобки

		(1.12)

После очевидных преобразований получим:

		(1.13)

Произведя аналогичные преобразования для осей Y и Z, получим систему дифференциальных уравнений Эйлера



		(1.14)

Каждое из этих уравнений представляет собой закон распределения давления вдоль соответствующей оси координат. Совокупность двух любых уравнений выражает закон распределения гидростатического давления в соответствующей плоскости, а трех - закон распределения гидростатического давления по объему жидкости.

Заменим систему уравнений (1.14) на одно уравнение. С этой целью умножим каждое уравнение соответственно на dx, dy, dz и произведем почленное сложение, тогда

		(1.15)

В связи с тем, что гидростатическое давление является функцией координат, выражение в правой части уравнения (1.15) является полным дифференциалом давления dр и, следовательно

		(1.16)

Уравнение (1.16) является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Рассмотрим случай, когда на жидкость действуют только силы тяжести. Тогда X=0, Y=0, Z= g и уравнение (1.16) примет вид



		(1.17)

Или

		(1.18)

Проинтегрируем это уравнение и получим

		(1.19)

где С - постоянная интегрирования;

z - геометрическая высота, м;

- пьезометрический напор, м.

Постоянную интегрирования найдем, подставив в (1.19) параметры свободной поверхности (рис. 1.5) z=z₀, p=p₀, откуда

		(1.20)

Тогда:

		(1.21)

Или

		(1.22)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.5

Обозначим (z₀-z)=h, тогда

		(1.23)

Полученное таким образом уравнение называется основным уравнением гидростатики, которое позволяет рассчитывать давление в любой точке объема жидкости.

Равновесие жидкости в поле силы тяжести и силы инерции (относительный покой жидкости)

Рассмотрим некоторые случаи, когда на жидкость кроме сил тяжести действуют другие силы инерции.

Пусть резервуар движется прямолинейно ускоренно с ускорением а (рис. 1.6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.6

При горизонтальном перемещении резервуара жидкость в нем будет находиться под действием сил давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения, направленной в сторону противоположную направлению движения. При указанном расположении осей координат дифференциальное уравнение равновесия будет иметь следующий вид

		(1.24)

После интегрирования получим

		(1.25)

Постоянная интегрирования С определяется следующим образом. Когда х=y=z=0; p=p_o и следовательно, С= p_o и (1.25) запишется в виде

		(1.26)

Введем понятие «поверхность равного давления» или «поверхность уровня». По названию следует, что условием поверхности равного давления является dp=0. тогда уравнение (1.16) запишется в следующем виде

		(1.27)

Это дифференциальное уравнение поверхности равного давления. Подставим в (1.27) значение ускорений, действующих на жидкость: Х= - а; Y=0; Z=g. Получим

		(1.28)

После интегрирования будем иметь



		(1.29)

Это уравнение плоскости, которая наклонена к горизонту под углом г, определяемым следующим образом

tg г=

Равновесие жидкости в поле силы тяжести в сосуде, равномерно вращающемся вокруг своей вертикальной оси

Пусть сосуд наполнен жидкостью до некоторого первоначального уровня и вращается с угловой скоростью щ (рис. 1.7). При вращении на жидкость кроме силы тяжести действует центробежная сила и следовательно,

Х = щ²х, Y = щ²y, Z = - g,

и основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме примет вид

		(1.30)

После интегрирования

		(1.31)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.7

Постоянную интегрирования найдем из условия, когда X=Y=Z=0, р=р₀ и С=р₀. Тогда

		(1.32)

Найдем форму поверхности равного давления:

		(1.33)

Проинтегрируем и получим

		(1.34)

Полученное уравнение является уравнением параболоида вращения.

1.3 Определение сил давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Найдем силу давления жидкости на плоскую стенку (рисунок 1.8). Для удобства рассуждений совместим наклонную стенку с плоскостью листа. Буквой С обозначим центр тяжести стенки, h_c - глубина погружения центра тяжести под уровень. Выберем на стенке элементарную малую площадку dF. Гидростатическое давление, действующее на площадку р=сgh (будем полагать, что атмосферное давление, передающееся на стенку через жидкость и действующее на стенку справа, уравновешивается). Тогда сила, действующая на площадку

		(1.35)

т.к. h=l·sin б, то

		(1.36)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.8

Равнодействующая сил, действующих на все элементарно малые площадки, составляющие стенку

		(1.37)

Интеграл является статическим моментом стенки относительно оси АА

	.	(1.38)

Подставляя (1.37) в (1.36), получим

		(1.39)

Таким образом, сила избыточного гидростатического давления на плоскую стенку открытого сосуда равна гидростатическому давлению в центре тяжести стенки, умноженному на площадь стенки F.

Для расчетов не достаточно знать величину силы давления, а нужно знать в какой точке эта сила приложена. Что касается направления этой силы, то известно (см. свойства гидростатического давления), что она направлена по нормали к стенке. Воспользуемся теоремой моментов, по которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов сил, составляющих

		(1.40)

Или

		(1.41)

отсюда

		(1.42)

Интеграл представляет собой момент инерции стенки относительно оси АА - J_АА, следовательно

		(1.43)

Имея в виду то, что



		(1.44)

где J₀ - момент инерции стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести стенки, получим

		(1.45)

Отсюда следует, что точка приложения силы полного давления (или так называемый центр давления) расположена ниже центра тяжести стенки. При горизонтальном расположении стенки центр ее тяжести и центр давления совпадают.

Найдем силу давления жидкости на криволинейную поверхность.

При криволинейной стенке силы давления, направленные нормально к каждой элементарной площадке криволинейной поверхности, имеют разные направления. Поэтому задача определения силы полного давления несколько усложняется.

Для простоты рассмотрим определение силы полного давления жидкости на правильную цилиндрическую поверхность (рис. 1.9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.9

Выберем на криволинейной поверхности элементарно малую площадку dF. По нормали к ней действует сила давления

	dP=ghdF.	(1.46)

Разложим силу dP на две составляющие dP_x и dP_z. Обозначив угол наклона силы dP к горизонту буквой , будем иметь:

	dPx=dPcos = ghdFcos =ghdFz	(1.47)
	dPz=dPsin = ghdFsin =ghdFx

где dF_x - проекция площадки dF на плоскость x;

dF_z - проекция площадки dF на плоскость z.

Проинтегрируем выражения (1.47)

		(1.48)

где h_c - глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной стенки;

p_c - давление в центре тяжести F_z.

		(1.49)

Здесь h·dF_x - объем элементарной призмы с основанием dF_x;

V - объем тела давления.

Объем тела давления в данном случае - это объем, ограниченный криволинейной стенкой и плоскостями x и z.

Определив составляющие P_x и P_z , легко найти суммарную силу давления Р

		(1.50)

Направление полного давления определяется углом

		(1.51)

Если жидкость находится слева (см. рис. 1.9), то величины P_x и P_z будут теми же, что и в предыдущем случае, но с обратным знаком. При этом под величиной P_z следует понимать вес жидкости в объеме тела давления, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

1.4 Закон Архимеда

Применим указанный выше прием нахождения вертикальной силы давления жидкости на криволинейную стенку для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость помещено тело произвольной формы (рис. 1.10) объемом V.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.10

Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Вертикальная составляющая силы полного давления жидкости P_z1, действующая на верхнюю часть тела равна

	,	(1.52)

а на нижнюю часть тела

	,	(1.53)

Все горизонтальные силы, действующие на тело, уравновешены. Совершенно очевидно, что P_z2 P_z1 и, следовательно возникает выталкивающая сила

	,	(1.54)

где V - объем тела.

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу жидкости в объеме тела.

В зависимости от соотношения веса тела G и силы P_z (архимедовой силы) возможны, как известно, три случая:

1. GP_z - тело тонет;

2. GP_z - тело всплывает;

3. G=P_z - тело в безразличном состоянии.

Глава 2. Основы кинематики и динамики жидкости

2.1 Методы описания движения жидкостей

Гидродинамика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и применение этих законов к решению практических задач.

Существуют разные способы описания движения жидкости, из которых наибольшее распространение имеют методы Лагранжа и Эйлера.

При исследовании по методу Лагранжа изучается движение отдельных частиц жидкости вдоль их траекторий. Для выделения из бесчисленного множества траекторий частиц той, которая принадлежит данной частице, замечают ее координаты a, b, c в начальный момент времени t_о. Все последующие координаты x, y, z и скорости v_x, v_y, v_z зависят от начальных координат

		(2.1)
		(2.2)

По методу Эйлера определяют скорости и давление жидкости в той или иной точке пространства

		(2.3)

В гидравлике наибольшее распространение получил метод Эйлера в связи с тем, что он проще метода Лагранжа.

Итак, для описания и изучения движения жидкости необходимо найти скорость и давление в любой интересующей нас точке потока

		(2.4)

Существуют два вида движения жидкости - неустановившееся, когда скорости и давление зависят от координат и времени, и установившееся, когда указанные параметры не зависят от времени.

В дальнейшем будем рассматривать, как правило, установившееся движение жидкости. Установившееся движение, при котором частицы жидкости сохраняют свою скорость одинаковой по длине потока, называется равномерным.

На практике встречаются следующие виды потоков - напорные, безнапорные, струи. Напорные потоки - это такие потоки, когда все поперечное сечение трубы, канала заполнено жидкостью. Движение здесь осуществляется под напором, создаваемым тем или иным источником энергии.

Безнапорные потоки - это потоки, имеющие свободную поверхность. Такое движение осуществляется в каналах, руслах рек, трубопроводах, работающих неполным сечением. Движение жидкости здесь осуществляется за счет сил тяжести.

Струи - это потоки, имеющие свободную поверхность по всему периметру сечения. Движение здесь осуществляется за счет сил инерции.

2.2 Понятие о струйчатой модели потока

В гидравлике для изучения закономерностей движения жидкости широко используется струйчатая модель потока. В соответствии с этой моделью поток состоит из бесконечного множества элементарных струек. Введем понятие об элементарной струйке. Если изобразить скорость каждой частицы жидкости в пространственном потоке в виде вектора, то получим векторное поле скоростей. Проведем в этом поле линию так, чтобы векторы скорости были бы направлены по касательной к этой линии. Линия, полученная таким образом, называется линией тока (рис. 2.1).

рис. 2.1

Траекторией называется путь, описанный частицей в пространстве. При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией. При неустановившемся движении линия тока не совпадает с траекторией.

Если в движущейся жидкости взять элементарный замкнутый контур и через каждую точку этого контура провести линию тока, то получим трубку тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Сечение струйки, нормальное к ее линиям тока называется живым сечением элементарной струйки (рис. 2.2).

В силу того, что площадь сечения элементарной струйки бесконечно мала, можно считать, что в каждой точке скорости одинаковы. Трубка тока непроницаема для жидкости.

Потоком жидкости называется совокупность элементарных струек, текущих в заданных границах.

Живым сечением F называется поверхность, проведенная в границах потока и нормальная ко всем линиям тока.

Смоченным периметром называется часть периметра живого сечения, соприкасающаяся с ограждающими стенками.

Гидравлический диаметр D_г представляет собой отношение учетверенной площади живого сечения к смоченному периметру.

Гидравлический радиус R_г - это отношение площади живого сечения к смоченному периметру

	; .	(2.5)

Количество жидкости, проходящей через живое сечение, в единицу времени называется расходом.

Различают:

объемный расход	dQ=vdF,	(2.6)
весовой расход	dG=gvdF,
массовый расход	dM=vdF.

Скорости различных струек в потоке различны и поэтому расход потока складывается из элементарных расходов струек

	.	(2.7)

Интеграл (2.7) не берется, так как не известен закон распределения скоростей по сечению потока.

Введем понятие средней скорости

	.	(2.8)

Таким образом, средняя скорость потока равна частному от деления объемного расхода жидкости на площадь живого сечения потока.

Введя понятие о расходе жидкости легко получить уравнение неразрывности - одно из основных уравнений гидравлики. Будем рассматривать жидкость как сплошную среду, не имеющую при движении разрывов и пустот в потоке. Для элементарной струйки условие неразрывности можно записать следующим образом (рис. 2.2):

	.	(2.9)

рис. 2.2

Для потока жидкости

	.	(2.10)

Отсюда

	.	(2.11)

Уравнение (2.10) является уравнением неразрывности для потока несжимаемой жидкости. Если же речь идет о сжимаемой жидкости, то уравнение неразрывности будет иметь вид

	,	(2.12)

где с₁ и с₂ - плотности жидкости в сечениях 1 и 2.

2.3 Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

Идеальной жидкостью называется жидкость абсолютно несжимаемая, обладающая абсолютной подвижностью частиц и не имеющая вязкости. Анализ движения такой жидкости позволит выяснить основные закономерности, которые после учета сил трения дадут возможность производить расчеты потока.

Вырежем в жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz и отбросим окружающую жидкость. Заменим воздействие окружающей жидкости на параллелепипед силами (рис. 2.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис. 2.3

На грань 1234 действует сила

	.	(2.13)

На грань 5678

	.	(2.14)

Массовая сила G в проекции на ось х запишется следующим образом

	,	(2.15)

где Х - проекция ускорения массовой силы на ось х.

Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. Изменение количества движения массы жидкости, сосредоточенной внутри объема, происходит вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость меняется во времени.

Введем импульс массовых сил в проекции на ось х

	.	(2.16)

Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения:

	.

Следовательно



	.	(2.17)

Аналогично для других осей

	,	(2.18)
	.

Таким образом получим дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

		(2.19)

Уравнения (2.19) показывают, что ускорение жидкого элемента вызывается соответствующими изменениями сил давления, действующих на этот элемент, и массовыми силами.

Уравнения Эйлера могут быть при известных условиях проинтегрированы. Пусть имеет место стационарное течение. Умножим левую и правую часть каждого уравнения соответственно на dx , dy, dz и произведём почленное сложение:

.	(2.20)

Предположим, что в жидкости действуют только силы тяжести. Тогда

		(2.21)

Для установившегося движения, когда p=f(x,y,z)

	.	(2.22)

Так как , то

	.	(2.23)

Итак, дифференциальное уравнение (2.20) примет вид

	.	(2.24)

Или

	.	(2.25)

Отсюда интеграл примет вид

	.	(2.26)

Это выражение представляет собой уравнение (интеграл) Бернулли для установившегося течения струйки несжимаемой жидкости. В этом уравнении - геометрический и пьезометрический напоры, - скоростной или динамический напор.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4

Известно, что представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, а величина - удельную кинетическую энергию. Исходя из этого уравнение Бернулли устанавливает постоянство суммы удельных кинетической и потенциальной энергий идеальной жидкости в установившемся движении и является частным случаем закона сохранения энергии.

2.4 Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Полученное выше уравнение Бернулли при определённых условиях можно распространить на поток реальной жидкости. Рассмотрим так называемое плавно изменяющееся движение жидкости, у которого наблюдается параллельно-струйное движение и давление по сечению потока распределяется по гидростатическому закону (=const).

Как известно, полная удельная энергия элементарной струйки

	.	(2.27)

Умножим левую и правую части уравнения (2.27) на весовой расход струйки gvdF, тогда полная энергия, которую переносит элементарная струйка через сечение dF в единицу времени будет

	.	(2.28)

Если проверить размерности, то убедимся, что в левой и правой частях уравнения (2.28) будет размерность мощности. В силу того, что поток состоит из бесконечного множества элементарных струек, мощность потока в любом сечении будет

	.	(2.29)

Разобьём интеграл в правой части (2.29) на два



	.	(2.30)

Так как давление по сечению изменяется по гидростатическому закону, то

	.	(2.31)

Рассмотрим второй интеграл и представим его в следующем виде

	.	(2.32)

Интеграл (2.32) не берётся, так как не известен закон распределения скоростей по сечению потока. Этот интеграл представляет собой действительную кинетическую энергию, переносимую потоком через данное поперечное сечение в единицу времени (обозначим её К_д).

Предположим, что скорости в каждой точке поперечного сечения потока одинаковы и равны средней скорости

.

Тогда кинетическая энергия (К_у), подсчитанная по средней скорости будет

	.	(2.33)

Обозначим



	.	(2.34)

Тогда

	.	(2.35)

Коэффициент носит название: коэффициент неравномерности распределения скоростей по сечению или коэффициент кинетической энергии. Он представляет собой отношение действительной кинетической энергии весового секундного расхода потока, к его кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Величина коэффициента определяется опытным путём. Для турбулентного режима =1,1, а для ламинарного =2.

Подставляя значения интегралов (2.31) и (2.35) в (2.30), получим:

	.	(2.36)

Разделим левую и правую части (2.36) на весовой расход потока gQ и получим

	,	(2.37)

где Н - полная удельная энергия жидкости, протекающей через рассматриваемое живое сечение потока в единицу времени, или полный напор в данном сечении.

Полученное выражение справедливо для любого сечения потока и, если составить баланс энергий для двух сечений потока, то получим

	Н1=Н2+hw,	(2.38)

где h_w - потеря энергии между сечениями I и 2. ,

Следовательно, подставив в (2.38) значения , получим

	.	(2.39)

Это уравнение носит название "Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости" и является основным уравнением гидравлики, устанавливающим баланс энергии в потоке жидкости. В дальнейшем индексы "ср" у скоростей ставить не будем, помня, что скорости в уравнении (2.39) являются средними. Заметим, что практически все расчёты потоков производятся с помощью уравнения Бернулли.

2.5 Гидравлические сопротивления, их физическая природа и классификация (общие сведения)

Определение потерь энергии в потоке является важнейшим вопросом любого гидравлического расчёта. Различают два вида гидравлических сопротивлений: местные и по длине.

Местные сопротивления обусловлены изменениями формы и размеров русла, вызывающими деформацию потока. При протекании по местным сопротивлениям возникают интенсивные вихри, которые и вызывают в конечном счёте потери энергии. В качестве примеров местных сопротивлений можно назвать: вентили, задвижки, внезапные расширения и сужения русла, диафрагмы, повороты и т.д.

Местные потери рассчитываются по формуле

	,	(2.40)

где буквой обозначают коэффициент местного сопротивления;

v - средняя скорость в трубопроводе.

Формулу (2.40) называют формулой Вейсбаха. Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента .

Потери по длине - это потери, которые возникают в прямых трубах постоянного сечения. Этот вид потерь обусловлен внутренним трением в жидкости и возникает как в гладких, так и в шероховатых трубах.

Потерю напора по длине рассчитывают по формуле

	,	(2.41)

где h_l - потеря по длине, м;

l - длина участка трубы, м;

d - диаметр трубы, м;

- коэффициент сопротивления трения.

Формулу (2.41) называют формулой Дарси.

Общие потери в потоке складываются из суммы потерь, вызванных каждым сопротивлением

	.	(2.42)

Такое представление о сложении потерь называется принципом наложения.

Глава 3. Режимы течения жидкостей в трубах и основы теории подобия

3.1 Режимы течения жидкостей в трубах. Опыты Рейнольдса. Понятие о критическом числе Рейнольдса

Опытами установлено, что существуют два основных режима движения жидкостей - ламинарный и турбулентный.

При ламинарном режиме жидкость движется скользящими друг по другу несмешивающимися струйками или слоями.

При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по произвольным сложным траекториям, происходит интенсивное перемешивание частиц жидкости.

Впервые предположение о существований двух режимов движения жидкости было высказано Д.И. Менделеевым. Несколько позже английский физик О. Рейнольдс опытным путём подтвердил это предположение. Опытная установка для визуального наблюдения Рейнольдса представляла собой резервуар 1 (рис. 3.1), к которому присоединялся прозрачный трубопровод 2 с запорным устройством 3. Мерный бак 4 позволял измерять расход Q и, следовательно среднюю скорость

в прозрачном трубопроводе. Для того, чтобы сделать поток видимым из малого резервуара 5 по тонкой трубке в основной поток подавалась краска.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1

Наблюдения показали, что при малых скоростях движения жидкости струйка краски движется в трубе параллельно стенкам, в виде тонкой нити, не смешиваясь с основной массой жидкости. Такой режим движения жидкости называется ламинарным (рис. 3.2, а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При увеличении скорости движения жидкости наблюдается нарушение устойчивости ламинарного движения (рис. 3.2, б). Струйка краски приобретает волнистую форму, в ней появляются разрывы. Дальнейшее увеличение скорости потока приводит к полному разрушению струйки краски и окрашиванию всей массы жидкости в один цвет. Размывание струйки происходит вследствие интенсивного образования вихрей и беспорядочного движения частиц жидкости. Такой режим движения жидкости называется турбулентным (рис. 3.2, в).

На практике имеют место как ламинарное, так и турбулентное движения. Ламинарный режим наблюдается, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла. Турбулентный режим - при движении маловязких жидкостей - воды, бензина, кислот, и других. Переход от одного режима движения жидкости к другому происходит при определённом значении скорости v_кр, которая получила название критической.

Рейнольдсом дан метод установления характера течения жидкости через количественный критерий. Опыты показали, что режим движения жидкости определяется комплексом следующих величин: 1. динамической вязкостью ; 2. плотностью жидкости ; 3. средней скоростью потока v; 4. величиной диаметра трубы, а количественный критерий, названный в честь его автора числом Рейнольдса, имеет вид

	,	(3.1)

где - кинематический коэффициент вязкости.

Число Рейнольдса, подсчитанное по критической скорости v_кр, называется критическим числом Рейнольдса

	,	(3.2)

Как показывают опыты, Re_кр для труб круглого сечения равен 2320. Если число Рейнольдса в потоке меньше 2320 - течение ламинарное, если больше - турбулентное.

Смена режима движения при достижении Re_кр обусловлена тем, что одно течение теряет устойчивость, а другое - приобретает. При Re < Re_кр ламинарное течение вполне устойчивое, а всякого рода турбулизация погашается влиянием вязкости. При Re > Re_кр, наоборот турбулентное течение устойчиво.

3.2 Понятие о гидродинамическом подобии

Сложность процессов, протекающих в жидкости не позволяет в полной мере использовать результаты теоретического анализа для решения практических задач. Поэтому в гидравлике широко используется эксперимент в сочетании с теорией. Очевидно, что при постановке эксперимента возникает нужда в исследовании не натурных образцов гидравлических сооружений и устройств, а моделей этих устройств. При создании и исследовании моделей возникают вопросы: 1. какие явления и процессы подобны изучаемому; 2. что измерять при проведении эксперимента; 3. как обрабатывать результаты исследования. Ответы на эти и другие вопросы даёт наука о постановке эксперимента - теория подобия.

Подобными явлениями называются явления качественно одинаковые, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями. Гидродинамическое подобие - это подобие геометрические, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов:

	; ; .	(3.3)

Кинематическое подобие - это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей, ускорений:

	; ; .	(3.4)

Здесь индексы "Н" относятся к натурному потоку, "М" - к модельному. Соответственно L - линейный размер, F - площадь, W - объём, v - скорость, t - время, a - ускорение, С - масштаб моделирования.

Динамическое подобие - это подобие масс, плотностей, сил:

	; ; .	(3.5)

Здесь m - масса, - плотность, - динамический коэффициент вязкости, Р - сила.

Получим основной критерий гидродинамического подобия. В соответствии с законом Ньютона Р = mа. Для подобных потоков

		(3.6)

Или

	.	(3.7)

Имея в виду значения масштабов моделирования (3.5), можно записать

	.	(3.8)

Поскольку комплексы (3.8) для подобных потоков должны быть одинаковыми, запишем



	.	(3.9)

Чаще пользуются другим выражением. Так как t = L/v, то

	.	(3.10)

Полученный выше комплекс называется критерием Ньютона.

Согласно первой теореме теории подобия подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия Ne_н = Ne_м .

Вторая теорема подобия утверждает, что интеграл дифференциального уравнения, описывающего данный процесс, может быть представлен в виде зависимости между критериями подобия

	f (k1, k2, k3 …) = 0.

Если результаты опыта представить в критериальной форме, то эти критериальные зависимости будут общими для всех подобных явлений.

Для получения общего гидродинамического подобия необходимо иметь подобие по всем силам, действующим в системе. Однако это не всегда возможно. В таких случаях довольствуются частичным (локальным) подобием по силам, преобладающим в изучаемом потоке. При этом критерий Ne преобразуется в другие критерии.

Пусть в потоке преобладают силы трения. Тогда в соответствии с законом Ньютона:

	.	(3.11)

Подставим в критерий Ньютона вместо Р - Т и получим



	.	(3.12)

В подобных системах , поэтому

		(3.13)

Или

	.	(3.14)

Запишем (3.14) через масштабы моделирования

	.	(3.15)

Помня то, что С /С = С, получим после сокращения

	.	(3.16)

Следовательно

	.	(3.17)

Указанный выше комплекс назван критерием Рейнольдса и для подобных потоков, в которых главную роль играют силы трения

	.	(3.18)

Для круглой трубы характерным линейным размером является диаметр d и

	.	(3.19)

Если в потоке преобладают силы тяжести, то в качестве силы Р в критерий Ньютона следует подставить G = mg

	.	(3.20)

После очевидных сокращений получим:

	.	(3.21)

Отношение, обратное (3.21) называется критерием Фруда

	.	(3.22)

Следовательно, в тех случаях, когда моделируются явления, при которых преобладают силы тяжести, должно соблюдаться равенство критериев Фруда натуры и модели.

Если в жидкости преобладают силы давления, то в критерий Ньютона подставляют

Р=рF.

После несложных преобразований получают критерий Эйлера

	.	(3.23)

В подобных потоках требуется равенство критериев Эйлера для натуры и модели

	Euн = Euм.

С физической точки зрения всё полученные критерии представляют собой меру отношения сил инерции к преобладающим в потоке жидкости силам.

Современная теория подобия рекомендует все результаты экспериментов представлять в виде критериальной зависимости Еu = f (Re, Fr).

Покажем, что коэффициент сопротивления в формуле для расчёта потерь напора по длине

,

тоже является критерием подобия. Докажем, это положение. Так как , то после несложных преобразований получим

	,	(3.24)

Или

	.	(3.25)

Ниже мы убедимся в том, что = f (Re) и тогда получим, что

	,	(3.26)

а это согласуется с требованиями теории подобия.

Глава 4. Ламинарное движение жидкости

4.1 Потери на трение при равномерном движении

При исследовании любого режима движения и в том числе ламинарного ставится задача нахождения потерь напора и расчёта поля

скоростей. Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис.4.1).

Рис. 4.1

В соответствии с уравнением Бернулли

	.	(4.1)

Выделим в движущейся жидкости объём диаметром 2r и длиной l. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объёма:

	P1 - P2 - T = 0,	(4.2)

где Р₁ = p₁ r² - сила давления на сечение 1-1;

р₂ = p₂ r² - сила давления на сечение 2-2;

Т = 2rl - сила трения, действующая на поверхности цилиндра;

- касательное напряжение.

Подставим значения Р₁, Р₂, Т в (4.2):

	(p1 - p2) r2 - 2rl = 0.	(4.3)

Отсюда

	,	(4.4)

где p_тр = p₁ - p₂ - потеря давления между сечениями 1-1 и 2-2.

Таким образом, устанавливается закон распределения касательных напряжений по сечению потока. Закон этот линейный и свидетельствует о том, что в центре потока, когда r = 0, = 0, а на стенке

r = r₀ , = _max = . Эпюра касательного напряжения показана на рис. 4.1.

4.2 Поле скоростей и потери напора при ламинарном режиме движения жидкости

Для получения закона распределения скоростей по сечению потока запишем в соответствии с законом Ньютона

	.	(4.5)

Знак "минус" в правой части обусловлен тем, что скорость от центра к стенке убывает и, следовательно, градиент скорости имеет отрицательное значение.

Приравниваем (4.4) и (4.5):

	.	(4.6)

Разделим переменные

	.	(4.7)

Возьмём интеграл

	.	(4.8)

Для нахождения постоянной интегрирования С зададимся граничными условиями. Такими условиями являются условия прилипания: при r = r₀, v = 0 и, следовательно

	.	(4.9)

Отсюда получим закон распределения скоростей по сечению потока

	.	(4.10)

Уравнение (4.10) представляет собой параболоид вращения, т.е. при ламинарном режиме имеем параболический закон распределения скоростей. В центре трубопровода, когда r = 0 скорость имеет максимальное значение

	,	(4.11)

а на стенке r = r₀ скорость равна 0.

Применим полученный закон распределения скоростей для расчёта расхода. Рассмотрим элементарное кольцо толщиной dr. Расход жидкости через это кольцо (рис. 4.2)

	.	(4.12)

или, так как dF = 2rdr

	.	(4.13)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.2

Возьмём интеграл по всему сечению трубопровода



	.	(4.14)

Найдём среднюю по сечению скорость

	.	(4.15)

Сравнив среднюю скорость с максимальной (4.11), убеждаемся, что .

Определим значение коэффициента . Из (4.15) имеем

	.

Умножим правую часть и разделим на 2v_cp, Кроме того запишем р_тр = gh_тр, следовательно

	.	(4.16)

Или, помня, что, /=, а d₀=2r₀, получим

	.	(4.17)

Если сравнить (4.17) с общей формулой для расчёта потерь по длине



убеждаемся, что для ламинарного режима

	.	(4.18)

Зная закон распределения скоростей легко получить значение коэффициента для ламинарного режима

	.	(4.19)

Обозначим , тогда

	.	(4.20)

Итак, полученная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превышает кинетическую энергию, подсчитанную по средней скорости.

Изложенная теория хорошо подтверждается опытом, за исключением следующих случаев:

1. при течении на начальном участке трубы, где формируется поле скоростей;

2. при течении со значительным теплообменом, так как неизотермичностъ существенно искажает поле скоростей.

Глава 5. Турбулентное движение жидкости

5.1 Природа потерь при турбулентном движении

Турбулентный режим движения жидкости наиболее часто встречается в природе и технике и отличается чрезвычайной сложностью происходящих в нём процессов. Естественно, что сложность процессов не позволяет разработать строгую теорию турбулентного движения. При теоретическом анализе вводятся разного рода упрощённые модели, а результаты теоретических расчётов уточняются путём сопоставления их с результатами экспериментов.

Бесспорным является факт интенсивного перемешивания частиц жидкости. Если поместить в турбулентный поток весьма чувствительный

прибор для измерения скорости, то окажется, что в данной точке скорости будут постоянно меняться (рис.5.I) с течением времени.

Траектории частиц, проходящих через данную точку, представляют собой кривые различной формы. Таким образом турбулентное течение является неустановившимся. В силу того, что происходит непрерывное перемешивание жидкости и непрерывный обмен количествами движения между соседними слоями, закон трения Ньютона здесь неприменим, а касательные напряжения значительно больше, чем в ламинарном режиме.

В результате интенсивного перемешивания поле скоростей существенно отличается от ламинарного (рис.5.2). Для облегчения решения ряда задач вводится понятие осреднённой за время t скорости . Аналитически осреднённая скорость равна

	.	(5.1)

Истинная скорость v в данной точке пространства в данное мгновение может быть представлена суммой осреднённой скорости и, так называемой, пульсационной скорости

	.	(5.2)

Будем считать, что если не меняется с течением времени, то движение будет квазиустановившимся, а эпюра скоростей на рис.5.2 построена для осреднённой скорости.

5.2 Поле скоростей при турбулентном движении. Структура турбулентного потока в цилиндрической трубе

Анализируя поле скоростей (рис.5.2) при турбулентном движении видим, что по сечению потока наблюдается разный характер изменения скорости. Вблизи стенок скорость нарастает весьма интенсивно, а в центре трубопровода скорости меняются незначительно.

Так как у самых стенок скорости движения жидкости равны нулю, а вблизи стенок малы, то в этой области поток движемся по законам ламинарного движении, образуя у стенки ламинарный подслой _л. Вслед за ламинарный подслоем идёт небольшой переходный слой, где происходит переход от ламинарного режима к турбулентному. Ламинарный подслой с переходным образуют так называемый пограничный слой. В центре же потока располагается турбулентное ядро (рис.5.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.3

Для понимания сути процессов, происходящих при движении жидкости в трубах, весьма важно иметь представление о гидравлически гладких и шероховатых трубах. Любая твёрдая поверхность, ограничивающая поток, имеет те или иные выступы шероховатости.

Их форма, расположение, величина, зависят от технологии изготовления трубопровода, материала, условий эксплуатации и т.д. В зависимости от соотношения толщины ламинарного подслоя _л и величины выступов поверхности стенок труб (рис. 5.4), существуют трубы гидравлически гладкие _л > и гидравлически шероховатые - _л < :

Рис. 5.4

В первом случае все выступы шероховатости покрываются ламинарным подслоем. При этом потери напора по длине оказываются не зависящими от шероховатости стенок.

Во втором случае выступы не покрываются ламинарным подслоем, происходит обтекание их с отрывом струй, вихреобразованием. Потери напора здесь зависят от шероховатости.

Исследования показали, что понятие гладкие или шероховатые трубы - понятие относительное. Дело в том, что толщина ламинарного подслоя уменьшается с увеличением числа Re в потоке. Поэтому одна и та же стенка в одних условиях может быть гладкой, а в других - шероховатой.

Ввиду сложности турбулентного движения и трудностей его аналитического исследования до настоящего времени не имеется достаточно строгой теории этого течения. Существуют разного рода полуэмпирические теории, построенные на основе упрощённых моделей потока, которые мы здесь рассматривать не будем.

В большинстве случаев для практических расчётов, связанных с турбулентным течением жидкости, в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе гидродинамической теории подобия.

5.3 Потери на трение в трубопроводах. Опыты Никурадзе. График ВТИ

Потери на трение при турбулентном режиме определяются по формуле:

	.	(5.3)

Наиболее сложным является определение коэффициента . В общем случае коэффициент зависит от критерия Re, величины шероховатости стенок и характера шероховатости:



	,	(5.4)

где - средняя величина неровности стенок;

- относительная шероховатость;

A - параметр, учитывающий характер шероховатости.

Первые опыты по исследованию зависимости от Re и для напорных трубопроводов с искусственной шероховатостью проведены в Геттингенском университете (1930 -1933 г.г.) Никурадзе.

Никурадзе определял величину коэффициента сопротивления по длине при движении различных жидкостей по трубам разного диаметра при разных относительных шероховатостях, полученных путём наклейки на стенки трубы однородных песчинок, и разных Re. Песчинки получали просеиванием песка через сита. Испытания были произведены при широком диапазоне

Рис. 5.5

относительных шероховатостей , а также Re = 500 10⁶. Результаты этих испытаний представлены на логарифмическом графике Ig100 от lgRe для ряда значений (рис. 5.5).