Особливості течії газів в капілярах
Вакуум та його властивості. Ефузія розрідженого газу. Теплова ефузія - ефект Кнудсена. Молекулярне перетікання розрідженого газу через капіляр. Рішення рівняння Больцмана для вироджених течій. Проблема статистичних структур. Одномірна течія газу.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 12.05.2012 |
| Размер файла | 1,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Особливості течії газів в капілярах
Зміст
- І. Вступ
- ІІ. Вакуум і його властивості
- 1. Вакуум
- 2. Ефузія розрідженого газу
- ІІІ. Явища переносу в газах
- 1. Теплова ефузія - ефект Кнудсена
- 2. Молекулярне перетікання розрідженого газу через капіляр
- ІV. Рішення рівняння Больцмана для вироджених течій Течія Куетта
- 1. Нелінійні задачі. Моментний метод
- 2. Нелінійні задачі. Метод Монте - Карло
- 3. Течія Пуазеля. Парадокс Кнудсена
- V. Проблема статистичних структур
- 1. Введення
- 2. Стаціонарний стан як задача на власні значення нелінійних рівнянь
- VI. Одномірна течія газу
- 1. Особливості течії газу
- 2. Течія газу в трубі постійного перерізу
- \/ІІІ. Література
І. Вступ
Кінетична теорія базується на гіпотезі про те, що всі речовини, в тому числі і гази, складаються з молекул. Хоча навіть за допомогою самих потужних мікроскопів неможливо прослідкувати за рухом окремих молекул, але тим не менше молекулярна гіпотеза не викликає сумніву. Вивчаючи газоподібний стан речовини, слід враховувати і розміри частинок, і сили, які діють між ними.
Газом називається сукупність молекул, які знаходяться на таких великих відстанях одна від одної, що вони велику частину часу слабо взаємодіють одна з одною. Короткі проміжки часу, в момент яких молекули сильно взаємодіють, розглядається як зіткнення.
Оскільки молекули газів малі в порівнянні з відстанями між ними і сили взаємодії дуже малі (крім моментів зіткнень), то для спрощення міркувань і розрахунків можна нехтувати об'ємом молекул і силами, які діють між ними, і думати, що їх взаємодія зводиться лише до співударяння і що співударяння частинок між собою і зі стінками здійснюються без втрати енергії. Більшість часу кожна молекула газу рухається вільно і лише іноді відчуває пружні зіткнення з іншими молекулами або зі стінками посудини. За рахунок таких спрощень ми замінюємо вивчення реальних газів вивченням їх наближеної моделі - так званого ідеального газу. Ідеальним вважають газ, який складається з скупчення пружних молекул - кульок дуже малих розмірів, які вільно і неупорядковано рухаються і взаємодіють між собою лише при співударах. Така модель виявляється ідеалізацією діючої структури газів, але вона дає змогу обґрунтувати основні властивості і встановити деякі важливі закономірності їх поведінки.
Якщо середньою по часу потенціальною енергією взаємодії молекул можна знехтувати в порівнянні з їх кінетичною енергією, то газ називається ідеальним.
Нижче будемо розглядати лише ідеальні гази. Якщо молекули при великих віддаленнях одна від одної володіють слабким потенціалом відштовхування на малих відстанях, то при зменшенні густини газу (збільшення середньої відстані між молекулами) потенціальна енергія взаємодії швидко спадає. Практично гази з нейтральних молекул при тисках до сотень атмосфер можуть розглядатися як ідеальні. До цих же тисків вірогідність потрійних зіткнень (тобто таких зіткнень, в яких приймають участь відразу три молекули) мала в порівнянні з вірогідністю подвійних (або парних) зіткнень.
Далі скрізь припускається, що рух молекул може бути описано за допомогою класичної ньютонівської механіки. Квантові ефекти суттєві лише при дуже низьких температурах і для легких молекул (гелій, електрони, водень). Для гідрогену і гелію квантові поправки суттєві вже при нормальних умовах. Більшість ж газів зріджується при температурі, при якій ще немає необхідності використовувати квантову теорію зіткнення молекул.
Квантові ефекти необхідно враховувати при не пружних зіткненнях атомів і молекул (збудження внутрішніх степенем вільності молекул, збудження електронних рівнів і т.д.). Потенціали пружних взаємодій молекул також можуть бути обраховані лише за допомогою квантової механіки.
Релятивістські ефекти суттєві лише при дуже великих температурах (великих швидкостях молекул). Практично ці ефекти можна не враховувати при температурах порядку десятків і сотень тисяч градусів. Для гідрогену,
наприклад, середня швидкість молекул при температурі в 105 єК дорівнює 0,0001 швидкості світла. Навіть швидкість електрона при такій температурі дорівнює тисячні долі швидкості світла.
Таким чином, розглядувана нижче теорія ідеального газу з врахуванням парних зіткнень в рамках класичної механіки описує рух газу в широкому діапазоні температур і тисків (для температур від десятків градусів Кельвіна до сотень тисяч градусів і для тисків до сотень атмосфер).
ІІ. Вакуум і його властивості
1. Вакуум
Якщо газ відкачувати з посудини, то по мірі пониження тиску число зіткнень молекул одна з одною зменшується, а середня довжина вільного пробігу молекул збільшується. Нарешті при достатньо великому розріджені зіткнення між молекулами на шляху від стінки до стінки стануть рідкими явищами. Тоді властивості газу будуть визначатися не міжмолекулярними зіткненнями, а зіткненнями молекул зі стінками. Якщо середня довжина вільного пробігу молекул є величина такого ж порядку, як лінійні розміри посудини, або ще більше, то стан такого газу називається вакуумом. Таким чином, вакуумний стан газу характеризується співвідношенням між лінійними розмірами посудини і середньою довжиною вільного пробігу молекул.
Розрізняють три наступні види вакууму:
- низький, коли середня довжина вільного пробігу молекул наближається до лінійних розмірів посудини d, але ще менше цих розмірів;
- середній, коли порівняна з d;
- високий (глибокий), коли набагато більша за d.
При не дуже малих розмірах посудини (не пори і не капіляри) степінь вакуумування можна охарактеризувати величиною тиску газу. Високий вакуум відповідає тиску 10-4 торр і менше, середній від 10-4 до 1 торр, низький від 1 атм до 1 торр.
Низький вакуум по своїм властивостям не відрізняється від розрідженого газу, не поміщеного в посудину, наприклад в хвостах комет або газовій туманності, так як в низькому вакуумі зіткнення зі стінками ще не грає важливої ролі. Вакуум в наш час широко використовується в техніці. Застосування вакууму дає кращі можливості для здійснення багатьох хімічних реакцій. Наприклад, у вакуумі більш прискорено йде дисоціація деяких металічних окислів і карбонатів, а також встановлення цих окислів вуглеводом.
В таких процесах, як сушка, випаровування, дистиляція, зниження тиску збільшує швидкість процесу.
Загальновідомо застосування вакууму в електролампах, в радіолампах, фотоелементах, рентгенівських трубках, прискорювачів частинок і т. і.
Вивчення властивостей розрідженого газу в наш час представляє собою велику цікавість ще й в зв'язку з надзвуковими польотами на великих висотах.
2. Ефузія розрідженого газу
Візьмемо посудину розділену тонкою перегородкою на дві частини А і В. Нехай в А знаходиться розріджений газ, а в B газу немає. Виділимо уявно на поверхні перегородки область s. Можна знайти, що число молекул, які „налітають” на цю область за одиничний час, виражається формулою:
N= (1/6) nыs (1)
де п - число молекул в одиничному об'ємі, и - середня швидкість
молекул, яка визначається по формулі ы =
Більш строга теорія дає значення N, які відрізняються від формули (1) тільки числовим коефіцієнтом, у вигляді
N= (1/4) nыs (2)
Скориставшись рівнянням p=nkT і формулою ы = , перепишемо
(2) у новому вигляді:
N=C ps (3)
де стала. C = .
Зробимо в перегородці отвір площа якого дорівнює s. Чому дорівнює число молекул, пролітаючих через цей отвір з А в В? Чи дорівнює воно числу молекул, які попадали на область s, коли отвору не було і які визначаються по формулі (2)?
Відповідь на це питання буде залежати від тиску газу, розмірів отвору і
_
товщини перегородки, і середньої довжини вільного пробігу л.
_
Середня довжина вільного пробігу молекули газу л обернено пропорційна тиску р. При звичайних тисках і не мікроскопічних розмірах отвору довжина
_
л дуже мала порівняно з лінійними розмірами отвору. При цих умовах молекули багаторазово стикаються з іншими молекулами поблизу отвору. В результаті цього виникає упорядкований колективний рух молекул в напрямку до отвору. Його можна розглядати як гідродинамічний потік, який виникає при різних тисках в газі. Розподіл концентрації і швидкостей молекул газу поблизу отвору відчують значні зміни порівняно з тими, якими вони були б при відсутності отвору. Тому формула (3) не може бути застосована, так як вона виведена для випадку, коли молекули газу рухаються хаотично. Якщо ж тиск газу дуже низький або якщо товщина перегородки і розмір отвору менший довжини вільного пробігу л, то молекули будуть пролітати через отвір, не відчуваючи зіткнення з іншими молекулами біля отвору або з його бічними стінками (зіткнення молекул між собою перестає грати в цьому роль). Якщо в перегородці зробити малий отвір, то площа стінок, з якими стикаються молекули зміниться дуже мало. Це ніяк не відчується на розподілі концентрації і швидкості молекул у всій посудині в тому числі і поблизу отвору. Таким чином, молекули в цьому випадку будуть рухатися незалежно один від одного, так що для знаходження числа молекул щосекундно вилітаючих в порожнечю через отвір s в стінці, можна користуватися формулою (3).
Потік молекул газу через отвір в тонкій стінці при настільки малому тиску газу або при настільки малому отворі, що довжина вільного пробігу молекул більших розмірів отвору, називається еффузійним потоком. При цьому стінку називають тонкою, якщо її товщина менша л
мал.1
Формула (3) була застосована Кнудсеном для розрахунку тиску газу парів ртуті в наступному досліді. В кільцевому жолобі посудини (показаному на малюнку 1) поміщена ртуть. Температура в А підтримується постійною за допомогою термостата Т. Посудина А з'єднується за допомогою циліндричної трубки В з каліброваним капіляром М. Вся система відкачується до високого вакууму. Капіляр М охолоджується рідким повітрям. Пари ртуті прямують в В і конденсуються в М. Дослід виконують до тих пір, доки в М збереться достатня кількість ртуті. Знаючи N, m, T і s, можна розрахувати тиск парів. Тиск парів ртуті виявилося рівним 0,25?10 - 6 атм.
Припустимо зараз, що тонка перегородка з отвором радіуса d розділяє дві посудини А і В, які містять один і той же газ, але при різних тисках, настільки малих, що л >d. Тоді молекули будуть еффундувати з В в А і з А в В. Ці потоки не залежать один від одного, так як зіткнення між молекулами біля отвору відсутні. Тому результуючий потік молекул через одиничну площину за одиницю часу визначається рівнянням:
N=C (pA-pB) (4)
де рА і рВ - тиск газу в посудинах А і В відповідно.
Якщо в посудинах А і В знаходяться суміші обох газів при одній і тій же температурі, то кожен газ буде еффундувати через отвір s незалежно від іншого. Еффузійні потоки обох газів будуть визначатися різницею парціальних тисків по обидва боки отвору. Таким чином:
N1=C (p1,A - p1,B) (5)
де p1, А і p1, В - парціальний тиск першого газу в посудинах А і В відповідно. Аналогічно для другого газу маємо, що
N2=C (p2,A - p2,B)
Знайдемо величину відношення N1/N2 у вигляді
(6)
Отже, еффузійні потоки молекул обернено пропорційні корню квадратному з маси молекул. З усього цього випливає, що при рівних умовах швидше буде витікати через отвір в стінці той газ, маса молекул якого менша. Припустимо, наприклад, що посудина А заповнена гелієм (газ 1), а посудина В киснем (газ 2) при однаковому тиску і одній і тій же температурі. Тоді в рівнянні (6) p1, В=0, p2, А=0 і p1, А = p2, В. Згідно (6):
де m1 - маса молекули гелію, а m2 - маса молекули кисню.
Таким чином, в початковий момент часу, коли в одній з посудин знаходиться лише гелій, а в іншій знаходиться тільки кисень, при однаковому тиску і одній і тій же температурі молекули гелію будуть входить в В в 4 рази швидше, ніж звідтілля будуть виходити молекули кисню. Тому тиск в В спочатку збільшується, а потім знову врівноважується з тиском в А, коли парціальний тиск цих газів в обох посудинах стане одноковим.
Навіть якщо б початковий тиск кисню в В був не набагато більший від тиску гелію в А, то все-таки в В влітало б більше молекул гелію, чим звідтіля вилітало б молекул кисню. В протиріччя цьому, якщо гелій і кисень мають рівні, але настільки високі тиски, що умова еффузії не задовольняється, то еффузійний потік газів з однієї посудини в іншу не виникає, а буде виникати їх взаємна диффузія, доки концентрації компонент суміші не стануть однаковими в обох посудинах.
Кнудсен (1908) провірив формулу (5) на досліді, випускаючи газ через отвір при різних тисках. В двох платинових пластинках товщиною 0,0025 і 0,0050 мм були зроблені отвори вільної форми. Площа одного з отворів була 5,21 ? 10 - 4, а іншого 66 ? 10 - 4 ммІ. При таких тисках, коли середня довжина вільного пробігу молекул була більша лінійних розмірів отворів, результати дослідів виявилися вірними відповідно до теорії.
Формулою (5) можна скористатися для вимірів максимального тиску парів деяких дуже мало летучих речовин, наприклад ртуті. Для цього достатньо випустити пар через невеликий отвір в пусту посудину і охолодити цю посудину, щоб пар сконденсувався. Якщо потім виміряти масу сконденсованого пару, то можна розрахувати тиск.
Ефузія газу через мембрану з великою кількістю отворів застосовується на практиці для розділу ізотопів.
течія газ капіляр ефузія
ІІІ. Явища переносу в газах
1. Теплова ефузія - ефект Кнудсена
Абсолютний манометр Кнудсена.
Нехай дві посудини 1 і 2 з'єднані між собою трубкою (див. мал.2)
мал.2
в яких підтримується різна температура Т1 і Т2. коли поперечний переріз трубки дуже великий в порівнянні з довжиною вільного пробігу, газ можна розглядати як однорідне середовище. Умова рівноваги в цьому випадку носить гідродинамічний характер: повинні бути рівними тиски Р1 і Р2 в обох посудинах. В протилежному випадку, коли довжина вільного пробігу дуже велика в порівнянні з поперечними розмірами трубки, гідродинамічний підхід застосувати неможливо. Умова рівноваги потребує, щоб середнє число молекул газу, які проходять через трубку в одному напрямі, дорівнювало середньому числу молекул, які проходять в протилежному напрямі. Ця умова приводить до співвідношення:
(7)
З цього слідує, що якщо температури Т1 і Т2 різні, то при рівновазі будуть різні і тиски Р1 і Р2
мал.3
Уявимо собі посудину, яка розділена пористою перегородкою А на дві частини В і С (див. мал.3); нехай В і С з'єднані один з одним манометричною трубкою, яка заповнена рідиною. Коліна манометра з'єднуються один з одним через трубки з краном К. Нехай розріджений газ в В має температуру Т1, а в С температуру Т2, які підтримуються постійними. Нехай Т1< Т2. відкриємо на деякий час кран К для того щоб тиск по обидві сторони перегородки зрівнявся. Якщо потім кран К закрити, томи побачимо, що рідина в коліні Р опуститься, а в коліні Q підніметься. Це пояснюється тим, що газ проходить через пори перегородки від менш нагрітих країв пор до більш нагрітих. Таким чином, різниця температур на кінцях капілярів породжує різницю тисків. Це явище називається ефектом Кнудсена або тепловою ефузією.
Мал.4
Поль (1884 - 1976) запропонував наступну демонстрацію цього явища. Береться пористий стакан з необпаленої глини, всередині якого знаходиться електричний нагрівник (мал.4). Повітря з посудини може виходити назовні через скляну трубку, нижній кінець якого опущений в воду. Так як температура зовні посудини вища ніж температура оточуючого повітря, то зовнішнє повітря безперервно буде втягуватись всередину посудини. Тиск в посудині збільшується і зайве повітря безперервно виходить через скляну трубку у вигляді пухирців.
Теплова ефузія грає важливу роль в явищах природи. Вдень поверхня землі нагрівається сонячними променями. Повітря з більш глибоких шарів підгрунтя виходить по капілярам на поверхню і розсіюється вітром. Вночі поверхневий шар підгрунтя охолоджується і виникає обернений потік повітря з поверхні в більш глибокі шари підгрунтя. Так виникає обмін повітря в ґрунті, який необхідний для нормального життя рослин.
Умова (7) була б очевидною, якби з'єднувальна трубка була б безкінечно короткою. Тоді її можна було б розглядати як малий отвір в стінці між посудинами 1 і 2. Але якщо з'єднувальна трубка довга, то маємо деякі складності. Припустимо, що з'єднувальна трубка має циліндричну форму. З лівого кінця в неї щосекундно входить N= (1/4) n1 ы1 s частинок. Частина з цих частинок відображається назад в посудину 1, а інша частина проходить в посудину 2. Число пройдених частинок можна представити у вигляді N= (1/4) n1 ы1 s б1 2, де б1 2 - коефіцієнт проходження в напрямку від посудини 1 до посудини 2. В оберненому напрямі з 2 в 1 проходить N= (1/4) n2 ы2 s б 2 1 частинок, де б 2 1 - коефіцієнт проходження в цьому напрямі. В установленому стані N1 2 = N2 1, тобто n1
ы 1 б 1 2= n2 ы 2 б 2 1 (8).
Труднощі питання виникають в тому щоб доказати правильність співвідношення б1 2 = б 2 1. Коефіцієнт проходження ультрарозрідженого газу через трубку не може залежати від його тиску, так як молекули такого газу між собою практично не стикаються, а відчувають зіткнення лише зі стінками трубки. Значно важче вияснити вплив температури. Значення коефіцієнтів б1 2 і б 2 1 залежить від характеру взаємодії молекул зі стінками при зіткненні. Припустимо, що молекули газу приходять в теплову рівновагу зі стінками в результаті вже одного або небагатьох зіткнень, причому їх відображення являється ізотропним. Якщо ця гіпотеза справедлива, то відносна доля молекул, які вибиваються з пучка при відображенні, залежить тільки від температури точки, в якій відбулося зіткнення, але не буде залежати від напрямку поширення пучка. Один пучок поширюється в сторону підвищення, а інший - в сторону пониження температури. Точки на поверхні трубки в яких молекули відображаються і вилітають з пучка, проходяться пучками в оберненій послідовності. Але ця обставина не може позначитися на втраті частинок в результаті всіх відображень, а тому б1 2 = б 2 1 тоді (8) зводиться до
n1 ы 1 = n2 ы 2 (9)
а це співвідношення вже легко зводиться до вигляду (7). Та обставина, що закон (7) справджується на досліді може розглядатися як експериментальне підтвердження відношення б1 2 = б 2 1. Розглянемо елементарну теорію ефекту Кнудсена. В першому наближенні можна думати, що до потоку молекул розрідженого газу через пористу перегородку можна застосувати рівняння (5), яке визначає еффузійний потік молекул через отвір в тонкій стінці. Тоді потоки молекул з В в С і з С в В відповідно запишуться у вигляді:
N1= () p1s, N2= () p2s
Умовою рівноваги газів, які знаходяться по різні сторони перегородки, виявиться рівність потоків N1 = N2, тобто
() p1s = () p2s
Звідціля
(10)
Таким чином, якщо в посудині розділити газ на дві частини пористою перегородкою, діаметр капілярів якої менше середньої довжини вільного пробігу молекул, то різниця температур на кінцях капілярів приведе до виникнення різниці тисків газів, а умовою рівноваги буде не рівність тисків, а рівність відношення тисків до корню квадратного з абсолютною температурою. Абсолютний манометр Кнудсена.
Припустимо, що пластинки А і В поміщені в дуже розріджений газ паралельно один одному на відстані значно меншій середньої довжини вільного пробігу молекул (мал.5).
Рухома пластина В має таку ж температуру Т, як і оточуючий газ, а температура нерухомої пластини А не набагато вище і дорівнює Т+t. Температуру газу який знаходиться між пластинами можна вважати рівною середній температурі пластин Т+t/2. Завдяки різниці температур тиск газу між
мал.5
пластинами р1 буде більший чим в іншому газі р. Таким чином, на рухому пластину буде діяти тиск
р2 = р1 - р (11)
Згідно умови (10) рівновага неоднаково нагрітого розрідженого газу повинно зберігатися наступна рівність:
p1 /р = ? 1+ (12)
Із (11) і (12) знаходимо, що
p2= (13)
Тиск р2 можна виміряти по відхиленню рухомої пластини. Температури Т і t доступні для вимірювання. Таким чином, можна визначити тиск газу в посудині. Розглянутий прилад отримав назву абсолютного манометра
Кнудсена. З допомогою цього приладу виміряють тиск порядку 10-3 торр і нижче.
2. Молекулярне перетікання розрідженого газу через капіляр
А). З'єднаємо капілярною трубкою дві посудини, один з яких заповнений газом, а інший пустий. Якщо діаметр трубки малий порівняно з довжиною вільного пробігу молекул, то швидкість перетікання газу через трубку визначається не зіткненням молекул одна з одною, а зіткненням з стінками капіляра. Якби стінки капіляра були дзеркальними і гладкими, то швидкість молекул після зіткнення зі стінками завжди була б направлена тільки вперед, тобто в напрямі протікання газу. В цьому випадку стінки капіляра не впливали б на кількість витікаючого газу і через капіляр щосекундно проходило б стільки газу, скільки і через отвір в стінці такого ж розміру, як і поперечний переріз капіляра. Однак поверхня стінок капіляра завжди шорстка, завдяки чому молекули відображаються від неї в усіх можливих напрямках. Існує ще одна причина недзеркального відображення молекул газу від стінок: в крайньому випадку деякі молекули не просто відображаються від стінки, а спочатку адсорбуються стінкою, деякий час блукають по її поверхні, а потім при сприятливих умовах злітають зі стінки. При цьому напрямі, по якому рухається молекула, покидаючи поверхню стінки випадково: молекула ж " не піклується " про те, щоб дотримувався закон пружного удару, який стверджує, що кут падіння дорівнює куту відбивання, а також " не пам'ятає " в якому напрямі вона рухалася перед зіткненням з стінкою
Отже, молекули відображаються від стінок капіляра так, як від шорхості поверхні, і багато з них, входячи в капіляр, рухаються не вперед, а назад, до входу в капіляр, повертаючись в ту посудину, з якої вони потрапили в капіляр.
По дослідженням Кнудсена, маса розрідженого газу, щосекундно протікаючого через капіляр, виражається рівнянням
М= (p1 - р2), (14)
де опір капілярної трубки W=3l/4rі, 1 - відношення густини газу с до його тиску, р1 - р2 це різниця парціальних тисків на кінцях капіляра, l - довжина трубки, а r - радіус трубки.
З (14) випливає, що маса розрідженого, який протікає через капіляр за одну секунду, не залежить від тиску газу (із-за постійності величини р1), а залежить тільки від розмірів капіляра і різниці парціальних тисків на його кінцях. Перетікання газу через капіляр, яке підлягає під цей закон, називається молекулярним або кнудсеновим.
Для того щоб пояснити значення формули (14), наведемо приклад з техніки високого вакууму. Коли насосом відкачують повітря з будь-якого апарату, трубка, яка з'єднує насос з апаратом, спричиняє опір проходженню газу. Якщо тиск газу малий, то опір, згідно (14), обернено пропорційний кубу його радіуса. Таким чином, якщо взяти трубку малого радіуса, опір буде настільки великим, що можна залишитися без всіх позитивних якостей користування сучасним швидко діючим насосом: хоча такий насос і міг би щосекундно забирати велику кількість газу, але цьому заважає сповільнений рух газу через трубку.
Пояснимо це на прикладі. Припустимо, що дифузійний насос може відкачувати 50 л/с. Якби його сполучити з відкачуваною посудиною за допомогою трубки (вакуумпровода) радіуса r і довжиною 50 см, то швидкість відкачування буде дорівнювати 1,92 л/с при r = 1 см, 26,5 л/с при r = 3 см і 43,5 л/с при r = 5 см. Таким чином, ефективність відкачування в даному випадку робиться гарною при радіусі вакуумпровода не менше 5 см.
Б). Розглянемо стаціонарну молекулярну течію через трубу, довжина якої l дуже велика в порівнянні з її поперечним розміром а (У випадку циліндричної труби під а будемо розуміти її радіус).
Припустимо спочатку, що через отвір на одному кінці трубки поступає щосекундно N1 молекул, а на іншому кінці підтримується повний вакуум. Визначимо число молекул N, які проходять через трубу і виходять із її другого кінця. Число N істотно залежить від характеру відображення молекул від стінок труби. Якби, наприклад, стінки труби були абсолютно гладкими, а молекули відображались від них дзеркально, то всі молекули, які ввійшли в трубу з одного кінця, вийшли б з іншого кінця, тобто було б N= N1. Насправді такий ідеалізований випадок ніколи не виникає. В реальному досліді значна кількість молекул, які вдарились об стінку труби, летить назад. Визначити залежність N від N1 і віл параметрів труби можна із міркувань розмірностей. З механізму явища слідує, що повинен існувати функціональний зв'язок між величинами N, N1, а, l. З цих величин можна скласти дві незалежні безрозмірні комбінації, а саме N/ N1 і а/l. При течії по трубі одна з них довжина бути функцією іншої:
N / N1 = f (а/l),
так що
N = N1 f (a/l).
Функція f (а/l) залежить від форми поперечного перерізу труби, а також від характеру відображення молекул від її стінок. Очевидно f (0) = 0, так як при а = 0, потік який виходить N перетворюється в нуль, якого б не було значення N1. Припустивши, що функція f (а/l) розкладається в степеневий ряд, виконаємо цей розклад і обірвемо його на лінійному члені. Тоді отримаємо
N=CN1 a/l,
де С - постійна, яка залежить від форми поперечного перерізу труби і від характеру відображення молекул від стінок. В частинному випадку вона може залежати від того, як змінюється температура стінки вздовж труби.
Нехай тепер через один кінець в трубу входить щосекундно N1 молекул, а через інший - N2. Так як обидва потоки не залежать один від одного, то через поперечний переріз труби буде проходити число молекул, яке дорівнює
N=C (N1 - N2) a/l (15)
Можна собі уявити, що труба з'єднує дві посудини. В одній підтримується тиск Р1 і температура Т1, а в іншому - тиск Р2 і температура Т2. Якщо концентрації молекул в посудинах рівні п1 і п2 відповідно, то
N1=S n11, N2 =S n22
де S - площа поперечного перерізу труби.
Використовуючи співвідношення Р=nkT і ы= перетворимо вираз для N до вигляду
N =A () (16)
де А - нова постійна:
A= (17)
Для маси газу, щосекундно протікаючого через поперечний переріз труби, отримуємо
Q= A () (18)
В). Чисельні коефіцієнти С і А можна оцінити за допомогою таких елементарних міркувань. Розглянемо круглу трубу і будемо припускати, що температура газу одна й та сама по всій трубі. Протікання газу через трубу можна розглядати як процес дифузії. З цього випливає, що N = - DS dn/dx, де D = (1/3) л - коефіцієнт дифузії (вісь Х направлена вздовж вісі труби). Для стаціонарного процесу N = const, а тому dn/dx = const. Значить, dn/dx= (п2 - п1) /l, і далі
N = л ы S
При кнудсенівській течії зіткненням між молекулами можна повністю знехтувати. Довжина вільного пробігу повністю визначається зіткненням молекул зі стінками труби. По порядку величини вона дорівнює діаметру труби 2а. Приймаючи це значення, отримуємо
N = ы , або N = (19)
Порівняння цієї формули з (15) показує, що для круглої труби
С = , А = (20)
Приведений елементарний висновок показує також, що у випадку зміни температури вздовж труби N і Q строго пропорційні різниці тисків P1 - Р2. Навпаки, при зміні температури вздовж труби пропорційність між тими ж
величинами і різницею (P1/ - P2/) - тільки приблизна. Вона справедлива лише до тих пір, доки в розкладі функції f (а/l) в степеневий ряд можна обмежитись тільки лінійним членом.
Формули (16) і (17) при числових значеннях постійних С і А (20) називаються формулами Кнудсена.
Г). Формула (18) показує, що при даних рівних умовах розтрата газу Q пропорційна кубу радіуса труби. Це повинно враховуватися при конструюванні вакуумних установок. Припустимо, що потужність високо вакуумного насоса дозволяє відкачувати в секунду \/ літрів газу, а труба, яка з'єднує насос з відкачуваним балоном, здатна пропускати за той же час и літрів. Якщо и<<\/, то застосовувати потужний насос недоречно. Для правильного застосування насосу розміри з'єднувальної труби треба вибирати так, щоб було и ~ \/.
Д). Наведемо тепер більш строгий молекулярно-кінетичний висновок отриманих формул. Найбільш суттєвим моментом нашого висновку буде припущення відносно характеру взаємодії молекул, які налітають на стінки труби. Припустимо, що після удару об стінку молекули відображаються назад так, що їх швидкості стають розподіляючими по закону Максвела при температурі, яка дорівнює температурі стінки. Це припущення означає, що молекули газу сприймають температуру стінки, а їх швидкості розподіляються ізотропно вже в результаті однократних ударів об стінку. Хоча це і не зовсім правильно, але таке припущення виявляється найпростішим і в розглянутому питанні призводить в основному до правильних результатів.
Відбиті молекули рухаються тільки від стінки, серед них немає таких, які рухаються до стінки. Тому про максвелівський розподіл швидкостей цих молекул можна говорити лише умовно. Смисл нашого припущення полягає в тому, що якщо дані молекули доповнити таким же числом молекул, які летять з тим же, але протилежно направленими швидкостями, то отримається максвелівський розподіл.
мал.6
Припустимо тепер, що з одиничною площадкою S в одну секунду стикається Nст молекул. Знайдемо частину цих молекул dNст, які відбиваються в тілесний кут dЩ, вісь якого складає кут з нормаллю до площадки S (див. мал.6). Так як по нашому припущенню розподіл даних молекул по кутам і швидкостям не залежить від швидкостей і напрямку руху падаючих молекул, то можна уявити, що падаючі молекули разом з відбитими розподіляються по закону Максвела. Нехай п - число всіх молекул в одиниці об'єму. Тоді число молекул в тілесному куті dЩ, падаючих за одиницю часу на площадку S під кутом до нормалі, буде n ы S cos 4 р. Таким же буде число молекул dNст, які відобразилися в симетрично розташований тілесний кут по іншу сторону нормалі. Повне число падаючих молекул дає формула Nст = (1/4) n ы. Виводячи це число отримаємо
dNст = cos dЩ (21)
мал.7
Е). Повернемося до задачі про молекулярну течію газу через трубу.
Трубу будемо вважати циліндричною, яка має радіус а. Так як витрата газу Q одна й та ж через весь переріз труби, то для його розрахунку можна взяти переріз S, який проходить через середину труби (див. мал.7). Площину перерізу S приймемо за координатну площину YZ, вісь X направимо по одній із твірних циліндра. Нехай dS - елементарна площадка в перерізі S. Візьмемо на боковій поверхні нескінченно короткий пояс ширини dx' і на ньому елементарну площадку dS'. Із середини площадки dS' площадка dS видна під тілесним кутом dЩ = . Число молекул dN, які летять від площадки dS' і проходять через dS за одну секунду, визначається виразом:
dN = cos' dЩ = dSdS'
де R - відстань між площадками, і - кути між нормалями до них і лінією, яка з'єднує центри площадок. Величина dNст відноситься до місця знаходження площадки dS' і являється функцією її координати
x: dNст = dNст (x).
Для визначення повного числа молекул N, які проходять через переріз S за одиницю, потрібно вираз для dN проінтегрувати по перерізу S і по бічній поверхні циліндра. Але так як всі площадки dS' на поясі розташовані абсолютно однакові відносно перерізу S, то dS' можна зразу замінити на площу поясу 2ра dx. Для спрощення розрахунків вершину тілесного кута dЩ можна помістити на осі Y, як це зроблено на мал.7. Нехай y і z - координати центру площадки dS. Тоді
сos = , cos' = ,
N=2ay dS Ncт (х) dx
Якби число ударів Nст було однакове по всій довжині труби, тобто не залежало від х, то підінтегральний вираз Nст (x) був би непарною функцією х, і інтеграл по х перетворився б в нуль. Помітивши це і припускаючи, що функція Nст (x) не зовсім швидко змінюється вздовж труби, розкладемо її в ряд по степеням х і обірвемо розклад на квадратичному члені:
Nст = Nст (0) + ) x=0 x+ (х=0 х2.
При інтегруванні по х перший і останній члени не внесуть ніякого внеску в інтеграл, і ми отримаємо
N=2ay dSdx
Вважаючи трубу довгою, замінимо в останньому інтегралі кінцеві межі нескінченними. Для взяття всього інтеграла введемо в площі перерізу S полярні координати r і ц, помістивши початок полярної системи координат в точку О. Тоді y = r cos ц, R2 = r2 + x2, dS = r dr dц, а тому
N=2a
Для інтегралу по х отримуємо
Виконавши останні інтегрування, знаходимо
N= (22)
При стаціонарній течії величина N, а з нею і похідна dNст/dx залишаються постійними вздовж труби. Використовуючи це, а також вираз Nст = (1/4) n ы., без труднощів отримаємо
Після цього формула (22) зводиться до вигляду (19). Числові значення коефіцієнта С в строгому і оцінюючому висновках співпадають, це звичайно виявляється випадковістю.
ІV. Рішення рівняння Больцмана для вироджених течій Течія Куетта
1. Нелінійні задачі. Моментний метод
Однією з простіших задач, для якої до сих пір отримано точне рішення рівняння Больцмана, виявляється задача Куетта про течію і теплообмін між паралельними безкінечними пластинками, які рухаються одна відносно одної.
(1)
це рівняння Больцмана.
Розглянемо насамперед розв'язок задачі Куетта при довільних числах Кнудсена методом моментів. Будемо розглядати повне рівняння Больцмана. Щоб спростити обрахунки моментів від інтеграла зіткнень, будемо вважати газ максвелівським. В нелінійному наближенні задача про зсув не відділяється від задачі про потік тепла між пластинками. Візьмемо найпростішу апроксуючу функцію у вигляді двохстороннього максвелівського розподілу.
(2)
де n1,2, h1,2 i u1,2 - шість невідомих функцій; індекси 2 і 1 відносяться до функцій розподілу для відповідно.
Для отримання шести невідомих функцій необхідно побудувати шість моментних рівнянь. Із перших п'яти рівнянь моментів маємо
(3)
Так як на стінках ux=0, то
ux (x) ?0 (4)
Рівняння Pxz = const = 0 задовольняється рівносильно. Утворимо два додаткових рівняння моментів, помноживши рівняння Больцмана на m i і про інтегрувавши по всім швидкостям. Для максвелівський молекул маємо
(5)
(6)
Підставляючи в інтеграли які сюди входять і в рівняння ux, uz, Pxx, Pxz і qx апроксуючу функцію (2) отримаємо шість рівностей для визначення шести невідомих функцій.
Рівняння нерозривності
(7a)
Рівняння кількості руху
(7б)
(7в)
Рівняння енергії
(7г)
Рівняння тензора напруг
(7д)
Рівняння потоку теплоти
(7е)
де а1, а2 і а3 - сталі інтегрування, = ср / сv.
В рівняннях (7) введені безрозмірні величини (які виділені рискою зверху) і x=x/d. В якості характерних величин вибрані n+, T+, щ і d. Крім того, введені числа Маха і Рейнольдса
i (8)
Одна гранична умова (ux?0) вже використана. Для функції розподілу відображених молекул при маємо ще п'ять граничних умов:
при при (9)
З цього бачимо, що параметр М/Re пропорційний числу Кнудсена, так що Re/М=0 відповідає вільномолекулярній течії, а Re/М - течії Нав'є-Стокса.
При малих числах Маха (М2<<1) система (7) розпадається на дві. Із рівнянь (7г) і (7е) випадають швидкісні змінні 1,2, так що система рівнянь (7а), (7в), (7г) і (7е) дає рішення задачі про передачу тепла при будь-якому відношенні Т-/Т+. Після рішення цієї задачі із рівнянь (7б) і (7д) визначаються функції 1,2. При будь-якому числі Маха всі рівняння (7) повинні розв'язуватися одночасно.
На мал.8 наведені результати розв'язків тертя, які отримані за допомогою рівнянь (7). З мал.8 видно, що криві, які відповідають різним відношенням температур, сильніше всього розходяться при великих Re/M, тобто поблизу нав'є - стоківського режиму. Для течії по Нав'є - Стоксу неважко отримати
(10)
де - відповідне вільномолекулярне значення, отримане при тих же n+, T+, і Т-; Pr = cрм / л - число Прандтля.
Очевидно, що при великих значеннях Re/M криві мал.8, які відповідають різним відношенням температур стінок і різним числам Маха, повинні зблизитися, якщо їх побудувати по змінній
(11)
мал.8
Перебудовані по цій змінній криві мал.8 приведені на мал.9. Кореляція даних значно покращилась.
мал.9
На мал.10 і 11 приведені профілі швидкостей для числа М = 3 і двох відношень температур: Т-/Т+ = 4 і 1.
мал.10
Мал.11
Цікаво відмітити, що при рівних температурах стінок профілі швидкостей близькі до лінійних.
При всіх числах Кнудсена (крім Re/M = ?) спостерігається стрибок швидкостей на стінці. Однак прийнята апроксимація для функції розподілена, по-видимому, виявляється занадто грубою для виявлення структури пристінкового кнудсенівського стою.
Таким чином, метод моментів з найпростішою апроксимуючою функцією (2) дозволяє вияснити якісну картину течії між пластинками при довільних числах Кнудсена і відношення температур пластинок і числах Маха порядку одиниці. Однак точність отриманих результатів повністю визначається тим, наскільки вдало вибрана апроксимуюча функція. Для отримання точних рішень необхідний деякий алгоритм послідовного уточнення функції розподілу. Але подальше просування на цьому шляху, відповідно пов'язане з суттєвим ускладненням отриманих моментних рівнянь і збільшені їх числа. Розглядаючи течію Куетта як найпростішу схематизовану модель для апробації методів, призначених для рішення складних практичних задач, легко представити труднощі, які виникають при рішенні цих задач моментним методом з достатньо точною апроксимуючою функцією.
2. Нелінійні задачі. Метод Монте - Карло
Досить перспективним для рішення складних задач з достатньою для практики точністю представляється метод Монте-Карло. Можливо множина схем застосування метода статистичних опитів. Приведемо одну з них для задачі про передачу тепла між пластинками. Функція розподілу для цієї задачі залежить від трьох змінних: х, х і
R=
Розіб'ємо цей тримірний фазовий простір на ячійки, кожна з яких відповідає відповідним значенням xi, оxj i оRk. Задача в кожній ячійці чисел Nijk визначає функцію розподілу, для якої Nijk - число молекул в елементі ?х біля точки xi зі швидкостями оxj i оRk в елементі швидкісного простору ?ох?оR.
Нехай задано деякий початковий розподіл, тобто задані відповідні числа Nijk. молекули цього розподілу будемо називати польовими. Розглянемо рух частинки, яку будемо називати пробною. Нехай пробна частинка входить в деяку ячійку фазового простору. Частинка з визначеною ймовірністю, яка залежить від закону взаємодії молекул і функцій розподілу польових частинок, може або відчувати зіткнення в ячійці, або пройти без зіткнення. В першому випадку частинка в результаті зіткнення набуде іншої швидкості, тобто потрапляє в ячійки з іншою швидкістю, але з тією ж координатою xi. В другому випадку частинка входе в сусідню по xi ячійки, але з тією ж швидкістю. В першому випадку час перебування частинки в ячійці <?x/ ох, в другому =?x/ ох. Розраховуючи на обчислювальній машинці розподіл з густиною, яка пропорційна ймовірності зіткнень, випадкові числа, визначаємо той чи інший "час життя" пробної молекули в даній ячійці. Спостереження за пробною молекулою починається тоді, коли вона покидає одну з стінок, і закінчується, коли вона повертається на стінку. Після цього вибирається нова пробна молекула, швидкість якої визначається розігруванням випадкових чисел з густиною, яка залежить від закону взаємодії молекул зі стінкою. Спостерігаючи рух достатньо великого числа пробних молекул і запам'ятовуючи час, проведення цими молекулами в кожній ячійці, тим самим запам'ятовуємо нову функцію розподілу. Молекули, які відповідають новій функції розподілу, приймаються за польові молекули, і починається розрахунок наступного приближення.
На мал.12 наведені результати розрахунку теплопередачі, проведеного для максвелівських молекул, при відношенні температур пластинок 4:
1. тут - середня густина, Kn = /d число Кнудсена, де довжина пробігу визначається по формулі
мал.12
Для максвелівських молекул виникає трудність, яка зв'язана з тим, що молекули взаємодіють на скільки завгодно великій відстані одна від одної. Тому приходиться обмежувати радіус взаємодії молекул, відкидаючи зіткнення, які приводять до відхилень, меншим деякого малого кута.
мал.13
За функцію розподілу приймався розподіл, який відповідає вільномолекулярній течії. Якщо враховувати неминучі флуктуації, які властиві методу статистичних випробувань і спадаючи обернено пропорційно кореню з числа випробувань, то можна вважати, що ітерації сходяться. Для отримання більш певних результатів необхідно зменшити статистичне розкидання. Але для зменшення флуктуацій на порядок потрібно збільшити число розіграшів на два порядки. Однак для цього необхідно збільшити на два порядки час рахунку. Для порівняння на мал.13 нанесені результати розрахунків за допомогою описаного вище методу моментів для нелінійного рівняння Больцмана при двохсторонній максвелівській апроксимуючий функції і для лінійного рівняння при апроксимуючий функції з вісьмома функціями
Як видно з цього рівняння, монте-карлівські дані дещо ближчі до розв'язку лінійного рівняння з більш детальною функцією розподілу, ніж до розв'язку нелінійного рівняння з більш грубою двохсторонньою максвелівською функцією. Можливо, що в розглядуваному випадку при Т-/Т+ = 4 вплив нелінійних ефектів ще не стільки велике, так що вирішальним виявляється вибір апроксимуючої функції.
3. Течія Пуазеля. Парадокс Кнудсена
Розглянемо течію між двома нескінченими паралельними нерухомими пластинками. (див. мал.14).
мал.14
Нехай температура пластинок постійна і рівна Т. Припустимо, що течія відбувається під дією малого градієнта тиску і що стінки відображають молекули по максвелівському закону з температурою, яка дорівнює температурі стінки (тобто що коефіцієнт акомодації ае=1). Течію будемо описувати модельним рівнянням, яке для задачі яка розглядається приймає вигляд
(1)
На стінках при зроблених припущеннях
(2)
Будемо шукати рішення рівняння (1) в наступному виді:
(3)
де - мала добавка і - постійна. Підставляючи (3) в рівняння (1) після лінеаризації отримаємо
(4)
Тут введені такі позначення
х, х1=х/d, z1=z/d, u1=uz, a=An0d, T=Tщ (1+ф), n=n0 (1+н), н=х, ф=н, uz= (5)
Тиск можна представити у вигляді
p=p0 (1-Kz) (6)
де p0=kTщn0
Величина K p0 = - це градієнт тиску.
З іншої сторони
(7)
Звідсіля видно, що функція ц повинна мати вигляд
(8)
Після підстановки рішення (8) в рівняння (4) воно приймає вигляд
(9)
де
на стінках (х1=1/2) згідно
, (10)
Так як ні в рівнянні (9), ні в граничній умові (10) немає z, то не залежить від z. Тоді рівняння (9) можна записати у вигляді
(11)
Запишемо це рівняння в інтегральній формі:
(12)
Помноживши на і інтегруючи по , отримаємо
(13)
Функція J-1 (a|x1-s|) має логарифмічну особливість при s=x1. Тому в грубому наближені правої частини рівняння (13) можна u1 (s) замінити на u1 (x1). Тоді враховуючи, що
Без труднощів отримаємо
(14)
Функція J0 (x) має наступні асимптотичні властивості
при х0
І при х.
Згідно грубому приближенню (14) швидкість u1 наближається до безкінечності як при (тобто ), так і при (тобто при ). Таким чином, швидкість мінімальна при деякому значенні а. Аналогічно веде себе і об'ємна витрата
(швидкість вимірюється в одиницях теплової швидкості молекул ).
Мінімальна розтрата при деякому тиску (при 0<a<?) отримується і з численного рішення рівняння (13). Це явище вперше знайдено експериментально і відомо як парадокс Кнудсена. На мал.15 приведено зміни величини 2Q/Kd2 по а, а на мал.16 дані профілі швидкостей, отримані по формулі (14).
Мал.15
При великих тисках (при a>>1) справедливо рішення Пуазеля, згідно якому витрата зростає пропорційно тиску:
мал.16
При малих тисках Кнудсен виявив логарифмічний ріст витрати з зменшенням тиску.
Якісно ті ж результати дає рішення рівняння (13). Кількісне порівняння ускладнено, так як досліди Кнудсена проведені в круглих трубах, в той час як приведене рішення відноситься до плоскої конфігурації. Більш того, для розглянутої виродженої геометрії витрата прямує до безкінечності при , в той час як в трубі з обмеженою площею поперечного перерізу в вільномолекулярній межі витрата залишається кінцевою. Тому навіть для дуже вузької щілини при величина витрати буде відходити від отриманого вище рішення, прямуючи до кінцевої вільномолекулярної межі.
Подобные документы
Витікання газу і пари. Залежність витрати, швидкості і питомого об’єму газу при витіканні від відношення тисків. Дроселювання газу при проходженні через діафрагму. Перший закон термодинаміки для потоку. Процес адіабатного витікання ідеального газу.
реферат [315,9 K], добавлен 12.08.2013Розвиток газової промисловості на Заході України. Розвиток підземного зберігання газу. Основні особливості формування i експлуатації газосховища. Відбір газу з застосуванням газомотокомпресорів. Розрахункові параметри роботи компресорної станції.
дипломная работа [584,6 K], добавлен 19.11.2013Аналіз особливостей різних розділів фізики на природу газу й рідини. Основні розділи гідроаеромеханіки. Закони механіки суцільного середовища. Закон збереження імпульсу, збереження енергії. Гідростатика - рівновага рідин і газів. Гравітаційне моделювання.
курсовая работа [56,9 K], добавлен 22.11.2010Хімічний склад, властивості і фізичні характеристики природного газу. Методи вимірювання витрати і огляд електромагнітних лічильників. Проектування витратоміра з тепловими мітками. Його розрахунок, функціональна та структурна схеми, математична модель.
курсовая работа [567,7 K], добавлен 15.03.2015Основи теоретичного опису розрідженого бозе-газу сформульовані М.М. Боголюбовим. Квантово-механічні хвильові пакети. Вивчення спін-поляризованого водню. Посилення атомів та решітка вихорів в бозе-айнштайнівському конденсаті. Дворідинна модель гелію-II.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 15.12.2013Характеристика і властивості природного газу. Витратоміри з тепловими мітками. Аналіз можливостей застосування комп’ютерного моделювання при проектуванні ВПВ з тепловими мітками. Огляд існуючих лічильників природного газу. Метод змінного перепаду тиску.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.06.2015Основні рівняння гідродинаміки: краплинні і газоподібні. Об'ємні та поверхневі сили, гідростатичний та гідродинамічний тиск. Рівняння нерозривності у формах Ейлера, Фрідмана, Гельмгольц. Рівняння стану для реального газу (формула Ван-дер-Ваальса).
курсовая работа [228,5 K], добавлен 15.04.2014Гідравлічний розрахунок газопроводу високого тиску, димового тракту та димової труби. Визначення тиску газу перед пальником. Розрахунок витікання природного газу високого тиску через сопло Лаваля. Розрахунок витікання повітря через щілинне сопло.
курсовая работа [429,8 K], добавлен 05.01.2014Характеристика альтернативних джерел енергії, до яких належать сонячна, вітрова, геотермальна, енергія хвиль та припливів, гідроенергія, енергія біомаси, газу з органічних відходів та газу каналізаційно-очисних станцій. Вторинні енергетичні ресурси.
презентация [3,6 M], добавлен 14.11.2014Витрата реального газу при стандартних умовах. Урахування коефіцієнта стискуваності. Густина реального газу з урахуванням коефіцієнта стиснення. Парціальний тиск кожного компонента газової суміші. Перетворення масової кількості водяної пари в об’ємну.
контрольная работа [155,7 K], добавлен 22.12.2010
