Излучение электромагнитных волн

Размещено на http://www.allbest.ru/

Излучение ЭМ волн электрическим дипольным осциллятором

Излучение ЭМ волн опт. диапазона осуществляется атомами/молекулами. Простейшей моделью, позволяющей изучать возникновение ЭМ волн и их осн. х-ки, является диполь, образованный покоящимся зарядом -Q, расположенным в начале оси координат Z , и (+) зарядом Q, совершающим гармонические колебания. Дипольный момент с-мы будет также изменяться с течением времени по гармоническому закону:

где z0 - амплитуда колебаний ?- max дипольный момент диполя. Осцилляции дипольного момента могут совершаться как путем изменения расстояния между зарядами, так и путем изменения величины зарядов. Определим производные дипольного момента по времении

,

В классической электродинамике показывается, что величина индукции магн. поля и напр. электр. в волновой зоне будут равны соотв.

и

где - ед. вектор, направленный из центра диполя в данную точку. и в момент времени t будут определяться расстоянием r от диполя до точки наблюдения и значением в момент времени t'?, причем

.

- в данной точке изменение электрического и магнитного полей наступит с опозданием, вызванным конечной скоростью распространения электромагнитных взаимодействий. Поскольку записанные выше соотношения для E, B содержат выражения,, то они представляют собой уравнения бегущих волн. Эти волны будут сферическими. ТО, эти ур-ия - бегущих сферических монохроматических волн, распр. со скоростью с. Эти волны - поперечные, поскольку E, B в соответствии со свойствами векторного уравнения изменяются в направлении - направлению распространения волны. Для каждой точки волновой поверхности можно провести волновой вектор , направленный из начала координат. В волновой зоне волновая поверхность в окрестности некоторой точки может рассматриваться как участок плоскости. Для описания волн в таком случае можно использовать ур-ия плоских бегущих монохроматических волн.

-

интенсивность электромагнитной волны (доказывается сложно). Осциллирующий диполь излучает сферические волны. сферой в данном случае будет геом. место точек с одинаковой фазой.

Угловая зависимость интенсивности, излучаемой диполем, определяемой квадратом амплитуды, задается множителем . Максимальная интенсивность излучается для , т.е. в направлении, перпендикулярном оси диполя. В направлении осцилляции ) диполь не излучает. Угловая зависимость энергии, излучаемой диполем (диаграммой направленности). Обычно изображается в полярных координатах. В этом случае длина отрезка, проведенного из начала координат до пресечения с линией

,

пропорциональна интенсивности волны, распространяющейся в данном направлении.

Затухание излучения классического осциллятора. Рассм. классический осциллятор - электрон, совершающий гармонические колебания с частотой ?вдоль оси Z: . Полная энергия колебаний: , - масса. При свободном колебании осциллятора с частотой, благодаря излучению, ЭМ волна уносит с собой энергию. Изменение энергии в ед. времени = излучаемой им полной мощности:

.

С другой стороны, энергия, излучаемая осциллятором за время dt, будет равна

,

- коэфф. пропорциональности.

Можно записать:

,

где - классический радиус электрона. для определения свойств затухающего осциллятора используют величину

,

которую называют временем радиационного (естественного) затухания классического осциллятора. вследствие излучения энергия осциллятора будет уменьшаться в соответствии с законом

или,

где .

Поскольку, то при излучении будет так же уменьшаться и амплитуда колебаний осциллятора в соответствии с законом

.

Т.е. за время t =0 амплитуда колебаний уменьшится в e раз при этом осциллятор успеет совершить

колебаний.

Дифракционная решётка. предназначена для разложения света в спектр и измерения длин волн

Пусть ширина -b, период - d. В решётке реализуется многолучевая интерференция дифрагировавших пучков света исходящих из щелей при её освещении. Дифракционную картину наблюдают в параллельных лучах (Фраунгофера), на практике - в фокальной плоскости линзы. Если плоская монохроматическая волна падает нормально, то, на экране получилась бы дифракционная картина на одной щели усиленная в N раз. Если падающий свет - когерентный, то исходящие из решётки волны будут интерферировать друг с другом, и на экране будет наблюдаться с-ма узких максимумов. В середину дифракционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели - A1, то результирующая амплитуда и интенсивность:

.

При углах дифракции, для которых разность хода лучей составляет целое число длин волн, результат будет такой же, т.е.

т.е. в этих направлениях интенсивность в раз больше чем интенсивность от одной щели. Это было условие главных максимумов, чем больше N тем они более чёткие. При наклонном падении света на решётку под углом к нормали разность хода соответствующих лучей от двух соседних штрихов равна

,

и направления на главные фраунгоферовы максимумы определяются условием

С учётом правила знаков для углов: они должны отсчитываться в одном направлении от нормали к решётке, например по часовой стрелке (картинка похожа на преломление света, граница сред - решётка).

- условие интерференционных минимумов, при целочисленных исключая . Между двумя соседними максимумами расположены интерференционных минимума, а между ними - добавочные максимумы, интенсивность которых пренебрежимо мала: 5% от максимумов. Угловая ширина: при переходе от главного максимума к соседнему минимуму меняется на 1. Возьмём дифференциал от

,

учитывая что : ,

тогда ,

где - ширина решётки. Кроме интерференционных минимумов существуют также дифракционные минимумы

, ,

интенсивность в них равна нулю, даже если в этом направлении расположен главный максимум, т.е. он пропадёт (гл. макс.). Распределение интенсивности

,

где ,

Первая дробь представляет собой плавную функцию от sinv (отражает дифракционное распределение интенсивности от каждой щели). Она модулирует многолучевую интерференционную картину от N щелей, которую описывает вторая дробь.

Дисперсия - зависимость макроскопических свойств среды от частоты ЭМ волны

- формула дисперсии

- некоторая константа среды, имеющая размерность частоты

Дисперсия вдали от линии поглощения - нормальная дисперсия, когда показатель преломления растёт с увеличением частоты (нормальная) else вблизи, показатель падает (аномальная)

Электронная теория дисперсии.

ЭМ природа света

Волновое ур-ие. Положения Теории волнового движения: а) а) существует некоторая физическая величина, которая в каждый момент времени имеет в каждой точке пространства определенное и измеримое значение; б) значение этой величины в какой-либо точке может с течением времени испытывать периодические изменения или возмущения; в) возмущение, существующее в некоторый момент времени в некоторой точке пространства, производит аналогичное возмущение в соседней точке чуть позже, так что область возмущений непрерывно перемещается из одного места в другое. Уравнение волны - выражение, которое опр. переменную величину как функцию времени и пространственных координат:

.

Получим ур-ие плоской поперечной монохроматической волны. В виде

,

S - возмущение (значение напряжённостей электрического и магнитного полей в опр. момент времени, в конкретной точке пр-ва). в точке х=0 возмущение изменяется по закону

В т. A(x), возмущение приходит через

, тогда (*).

Ур-ие син. волны в общем виде:

,

- начальная фаза. -периодично, найдём - min расст. при прохожд. которого S имеет одинаковые значения для , т.е.

или

- расст. между точками находящимися в одной фазе (длина волны), также это расст. которое проходит волна за время, равное одному периоду. (*) можно записать

,

где - волновое число (число волн укладывающихся на отрезке 2? метров). Рассм. ур-ие описывает плоскую бегущую монохроматическую волну. Определим скорость распространения. В (*) зафиксируем фазу , дифф.: - скорость перемещения точек постоянной фазы. Волн. ур-ие можно записать

,

где - волновой вектор, волновому фронту, . Компл. форма. Эйлера: . Посл. волн. ур-ие может быть записано

.

В оптике всегда используется только Re часть этого ур-ия. Запишем

,

где - комплексная амплитуда. Предст. волн. вектор в виде проекций на оси координат:

,

тогда ур-ие волны

.

дифф. дважды по x, y, z, t:

, …;.

части или

- волновое ур-ие.

Если зависит только от 1-ой корд.: , общее решение: - суперпозиция двух бегущих монохром.

волн, одна вдоль оси, вторая против. Ещё одно решение волн.ур-ия:

- сферическ. симм. функция, зависит от

.Лапласа:

,

тогда волн. ур-ие:

.

Обозначим

,

тогда ,

общее решение:

.

Для исх. функции S:

,

первое слагаемое - удаляющаяся волна от центра, второе else.

Ур-ие расх. волны. - ампл. Волны. Изл. реал. ист. может быть представлено как суперпозиция плоских или сферических монохроматических волн.

Суперпозиция ЭМ волн

Стоячие волны. Биения. Согласно принципу суперпозиции напряженность, создаваемая несколькими источниками стационарных электрических и магнитных полей, равна геометрической сумме полей, создаваемых каждым источником в отдельности. Принцип выполняется для слабых полей. В результате распространения пучка света большой интенсивности, среда может становиться анизотропной, и ее опт. свойства будут зависящими от его интенсивности. Полученная в результате сложения совокупность электрических и магнитных полей не обязательно является бегущей электромагнитной волной. Две плоские монохроматические волны одинаковой частоты, которые распространяются в одном и том же направлении в результате сложения дают тоже плоскую монохроматическую волну той же частоты и того же направления. Биения. Рассм. сложение волн с и , распространяющихся в одном направлении. Возьмем случай, когда , это позволит заменить векторное сложение величин алгебраическим суммированием. Пусть

, ,

суперпозиция:

.

Для опт. диапазона ЭМ волн хорошо выполняется

и ,

обозначим

. , ,

тогда E:

.

Множитель

,

можно Рассм. как амплитуду монохроматической волны с частотой и волновым числом k. Данные колебания называют биениями, под которыми понимают гармонические колебания с плавно изменяющейся амплитудой. ТО, при сложении двух монохроматических волн разной частоты итоговая волна не будет монохроматической. Стоячие электромагнитные волны. Рассм. сложение двух электромагнитных волн одинаковой частоты и амплитуды, что распространяются навстречу друг другу. Например при отражении от идеального зеркала. Возьмем волны, в которых колеблется в плоскости XZ , а в YZ:

, ,

, .

- сдвиг фаз при отражении.

Учитывая E||B сложим:

,

.

Рассм. случай, когда показатель преломления среды, от которой отражается волна (n2), больше показателя преломления среды, где волна распространяется, т.е. n2>n1, в этом случае

,

волна не является бегущей т.к. фаза волны не содержит выражение . Множитель можно рассматривать как амплитуду волны в точке с координатой z . При изменении z напряженность во всех точках наложения волн изменяется с течением времени с одинаковой частотой и имеет в любой момент времени одинаковую фазу. Волна, все точки которой имеют одинаковую фазу, а амплитуда изменяется по гармоническому закону в зависимости от координаты z , называется стоячей. Точки с координатой n z , в которых наблюдается максимум для E или B называются пучностями. Точки, в которых величина Е или В имеют нулевые значение (для всех моментов времени t ) называются узлами. Колебания E и B сдвинуты по фазе на четверть периода когда напряженность электрического поля достигает максимума, B=0.

Плотность потока энергии ЭМ волн определяется вектором Пойнтинга. Так как в узлах величины E и B в любой момент времени равны нулю, то в этих точках поток равен нулю. Это означает, что через узлы и пучности отсутствует поток электромагнитной энергии, так как узлы для E совпадают с пучностями для B и наоборот. Однако, поскольку E и B в других точках изменяются с течением времени то можно заключить, что с течением времени энергия движется между соседними узлами и пучностями, превращаясь из энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Суммарная энергия, которая заключена между двумя соседними узлами и пучностями, остается постоянной.

Структура и св-ва плоских ЭМ волн

Энергия. Интенсивность. Рассм. плоскую ЭМ волну

,.

Учитывая, что

, ,, , ,

а также, что

; ; ; ,

запишем ур-ия Максвелла:

,(1) , (2) , (3) , (4)

Из ур-ий (1)-(2) , чтои- нормали к волн. пов-ти, т.е. к направлению распространения точек, одинаковой фазы. Из Ур-ий (3)-(4) видно, что в-рыобразуют правую 3-ку взаимновекторов. Из (3) выразими подставим в (4):

Раскрыв двойное векторное произведение, получим. (5) ТО, фазовая скорость волны равна электродинамической постоянной. Кроме того, записав (3) или (4) в скалярном выражении и учитывая ортогональность векторов , и (5), получим ,. (6). Т.к., то . Когда волна распр. в среде с диэлектрической проницаемостью и магн. проницаемостью , то

или ,

где - скорость распространения волны в данной среде (). При распространении электромагнитной волны происходит перенос энергии. объёмная плотн. энергии w представляет собой сумму плотностей ЭМ энергии и энергии обусловленной ЭМ полем. (*) - при лин. зависимости. Т.е.

, , .

Для ЭМ волны

, .

Дифф. (*) по t, получаем ур-ие непрерывности для плотн. энергии ЭМ поля:

,

- в-р Пойтинга,

или

- плотность потока ЭМ энергии (мощность переносимая волной через ед. площадку, ориент. направлению распространения. Ур-ие непрерывности - з-н сохранения энергии для ЭМ поля, проинтегрируем его по объёму V, огр-му пов-тью , юзаем т-му ОГ: - интегр. форма Ур-ия непрерывности, показывает, что изм. энергии ЭМ поля в некотором объеме V, не содержащем зарядов и токов равно потоку энергии в этот объем через охватывающую его замкнутую пов-ть ?. направление вектора Пойнтинга совпадает с напр-ем вектора , т.е. энергия переносится в напр-нии к пов-м пост. фазы. Учитывая EB, и , получим:

.

S=cw - выражение - связь между объемной плотностью ЭМ энергии и плотн. ее потока. Поскольку - функции времени и пространственных координат, то

.

Физ. интерес - среднее по времени значение величины S - интенсивность I:

,

где - промежуток времени

. (#).

Для изотропной среды, характеризуемой ? и ?:

, -

показатель преломления. Т.о.

.

Для монохроматических волн произведение E на комплексно сопряженную величину равно:

для величины, изменяющейся по гармоническому закону, операция ее умножения на комплексно сопряженную эквивалентна усреднению. ТО, если в выражении (#) под Е и Е0 понимать величины им пропорциональные

: .

Поляризация ЭМ. свойства ЭМ волн зависят от направления колебаний векторов E и B, характеризуемого понятием поляризации

Если в процессе распространения волн вектор E (и B) изменяется только в одной плоскости, которая параллельна направлению их распространения, то такие волны называют линейно поляризованными. Плоскость колебаний вектора E называют плоскостью поляризации. Кроме линейной, циркулярная или эллиптическая поляризации. Рассм. суперпозицию линейно поляризованных волн и , имеющих одинаковую частоту w и распространяющихся в направлении оси Z, т.е.,

, .

Суперпозиция: . С течением времени конец вектора E описывает в плоскости, напр. движения волны, замкнутую кривую, найдём её:

,.

Запишем

,

- ур-ие эллипса, главные оси которого образуют угол с осями Х и Y. Эллипс вписан в прямоугольник со сторонами, параллельными осям Х и Y. Аналогичная ситуация и для вектора B. Совершая движение по эллипсу, конец вектора E может вращаться по часовой (правая поляризация) или против часовой стрелки (левая). Возникающая поляризация, при которой конец вектора E описывает эллипс называется эллиптической. Направление вращения вектора E зависит от разности фаз. Частные случаи:

,

тогда

.

Если , то последнее ур-ие - ур-ие эллипса с центром в 0 и его полуоси , совпадут с Х и Y. При

,

конец вектора E вращается с угловой скоростью при четном m против часовой стрелки и при нечетном m -- по часовой стрелке - это всё эллиптическая поляризация. Если то - циркулярная. Если

,

тогда

можно записать

описывает две прямые и , причём - результирующее линейное колебание будет возникать в 1 и 3 квадранте, а если - во 2 и 4. Волна любой поляризации может быть получена в результате суперпозиции двух других, имеющих ортогональную поляризацию, т.е. для ЭМ волн две независимые взаимно поляризации. Рассм. суперпозицию волн с левой и правой циркулярной поляризацией. Пусть при некотором z=0 векторы заданы ур-ми:

, , ,

- 1 - с правой циркулярной поляризацией, 2 - с левой. Суперпозиция

,

имеем волну с линейной поляризацией, причем линия колебаний совпадает с осью Х. Таким образом, любую линейно поляризованную волну можно представить как суперпозицию двух циркулярно поляризованных.

Фотометрия

Энергетические фотометрические величины. Основная - энергетический поток излучения х-ет среднюю мощность излучения (<P>), которая переноситься ЭМ волной через пов-ть :

- по пов-ти.

Энергетическая освещённость

если поток распределён неравномерно, то это средняя освещённость. Локальная формула:

.

- энергетическая экспозиция (интегральный эффект, производимый ЭМ волной). Энергетической силой излучения - характеристика точечных источников

отношению величины потока излучения, излучаемого внутрь телесного угла d?, к величине этого угла. Мерой телесного угла является отношение площади участка, вырезаемого на поверхности сферы конусом с вершиной в ее центре, к квадрату ее радиуса

,

телесный угол, опирающийся на произвольную площадку:

.

Источники, у которых сила излучения одинакова по всем направлениям, называются изотропными. Для них:

.

Световой поток, излучаемый изотропным источником по всем направлениям:

.

Можно записать

.

ТО освещенность, создаваемая точечным источником, прямо пропорциональна косинусу угла между направлением падающих лучей и нормалью к освещаемой поверхности и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника. Энергетическая яркость - отношение потока, который излучается единичной видимой поверхности источника в телесный угол, к величине этого угла:

- сила света, создаваемая единичной видимой площадкой источника. Источники, яркость которых не зависит от направления излучения

() - ламбертовые. Для них з-н Ламберта:

,

где - сила излучения в нулевом направлении. Энергетическая светимость Ме - отношение полного энергетического потока, испускаемого протяженным источником по всем направлениям, к величине его площади:

или ,

для ламбертовых:

.

Световые величины: сила света - кандела - сила света, испускаемого с поверхности площадью 1/60 см2 черного излучателя в перпендикулярном направлении при температуре затвердевания платины и давлении, равном 101 325 Па. Световой поток - сила света, испускаемая источником в телесный угол :

(люмен)

Яркость - кд/м2, Освещённость - люкс. Спектральная световая эффективность - чувствительность «среднего» глаза человека для монохроматического излучения

-

отношение светового потока к энергетическому, создающему световой. Отношение спектральной световой эффективности к максимальному значению называется относительная спектральная эффективность

- зависимость от называется кривая видности. Если известна спектральная плотность энергетического потока излучения источника и

,

то спектральную плотность соответствующего светового потока можно определить:

- связь энергетических и световых величин

Спектральное разложение излучения

Монохроматические волны - идеализация. На самом деле всё не так. Все источники затухающие. Но немонохроматическую волну можно представить как совокупность монохроматических (спектральным разложение). Периодическая ф-ия может быть представлена рядом Фурье

,

где , , - тоже самое. В комплексной форме

,

где . - постоянная составляющая поля, для ЭМ волн =0.

.

Поскольку - вещественно, то

т-ма Персеваля (средняя интенсивность волны равна сумме интенсивностей монохроматических компонент).

- т-ма Планшереля (интенсивность светового импульса определяется через интеграл по положительным частотам от ее спектральной плотности).

- спектральной плотностью интенсивности излучения.

Спектральный состав квазимонохроматического света

Рассм. спектральный состав немонохр. волны, предст. отрезок синусоиды

- с-ма.

- пространственная длина цуга. Для опр. спектра юзаем интеграл Фурье



учитывая формулы Эйлера:

,

приведём к виду

.

Преобразовав

.

Вторым слагаемым можно пренебречь. При x=0 значение функции = 1- главный максимум. Функция обращается в нуль при

.

В промежутках она имеет ряд дополнительных минимумов и максимумов. основные Фурье-компоненты отрезка синусоиды будут сосредоточены на интервале частот шириной вблизи значений . Для характеристики спектрального распределения энергии достаточно рассмотреть функцию по (+) частотам, тогда

, -

max. зн. интенсивности при. Осн. энергия монохроматических направляющих сосредоточена в спектральном интервале. В качестве спектральной ширины импульса часто принимают его ширину на половине высоты , т.е. интервал частот, при которых спектральная плотность равна половине max. Поскольку

,

при , то можно записать приближенное соотношение

,

- частота, при которой интенсивность уменьшается в 2 раза.

.

Учитывая и получим . Таким образом, чем большая продолжительность отрезка синусоиды, тем более узким будет ее спектральный диапазон, и тем более монохроматической будет волна. Волну, у которой называют квазимонохр. Чем больше радиационное время затухания классического осциллятора, тем монохроматичнее будет излучение и тем уже будет его спектральная линия. Уширение спектра излучения классического осциллятора обусловлено конечной длиной цуга гармонических колебаний. Классический осциллятор, затухание которого вызвано только радиационными потерями вследствие излучения. Ширина спектральной линии такого излучения называется естественной шириной. Естественная ширина спектральной линии определяется радиационным временем затухания.

Уширение спектральных линий

Однородное и неоднородное уширение. Естественная форма линии возникает в идеальных условиях, если атом покоится в лабораторной системе отсчета и не подвергается в процессе излучения внешним воздействиям. Реальные источники излучение представляют собой совокупность большого числа атомов (молекул), взаимодействующих с окружающей средой и друг другом. Это приводит к дополнительному уширению спектральных линий. Существует две группы факторов, влияющих на ширину спектральных линий. Первая - вызывает в излучении каждого атома одинаковое уширение линии. Это - однородное уширение. Вторая группа причин вызывает у разных атомов разную величину уширения линий. Спектральные линии таких источников можно представить как наложение спектральных линий, излучаемых отдельными атомами. Такое уширение называют неоднородным уширением. Уширение за счет столкновений атомов. Согласно классическим представлениям процесс столкновения приводит к нарушению (обрыву) процесса излучения классического осциллятора. В результате этого наблюдаемое время жизни (в отличие от радиационного) уменьшается. Это приводит к уширению контура излучаемой линии. Уширение спектральных линий, причиной которых является столкновение атомов, называется ударным. Если средний промежуток между столкновениями много меньше естественного времени жизни осциллятора

,

то уменьшение амплитуды за время между столкновениями можно не учитывать, и для определения спектра интенсивности можно использовать выражение

.

Однако, здесь необходимо учесть то обстоятельство, что промежутки времени между столкновениями являются случайными и описываются распределением Пуассона. Поэтому спектральная линия излучения в этом случае будет определяться функцией Лоренца:

.

Форма линии (спектральная плотность энергии излучения), которая определяется посл. равенством называется лоренцевым контуром. Ударное уширение является однородным. Контур однородно уширенной линии описывается функцией Лоренца. Этот вид уширения особенно проявляется для газов, находящихся при высоких температурах и больших давлениях. В современных ртутных лампах сверхвысокого давления (20--30 атм.), «линии» ртутного излучения настолько уширены, что само выражение «спектральные линии» теряет смысл. Заметное уширение спектральных линий также наблюдается при добавлении к светящемуся газу значительных количеств постороннего газа.

Сложение электромагнитных волн

Явление интерференции. Когерентные волны. Явление интерференции возникает при сложении волн, образованных одним, или несколькими источниками. Это явление (так же, как и явление дифракции) является очень характерным для волн любой природы, однако для световых волн интерференция наблюдается только при выполнении некоторых условий. Под интерференцией понимают явление, при котором при наложении пучков света происходит пространственное перераспределение интенсивности, т.е. результирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей отдельных пучков. Характерным признаком интерференции является чередование участков большей и меньшей интенсивности. Поле, на котором чередуются светлые и темные участки, называется интерференционной картиной. 1. В основе интерференции лежит принцип суперпозиции полей, согласно которому напряженность электрического поля (и магнитного тоже), создаваемого двумя волнами, равна сумме напряженностей полей и , создаваемых каждой волной в отдельности: . Период колебаний световых волн является очень малым (меньше с). Фотоприемники в силу инерционности измеряют энергетические величины (интенсивность или освещенность) за время, много большее периода колебаний. экспериментально регистрируемая интенсивность будет равна

, ,

, .

Т.е. результирующая интенсивность отличается от суммы интенсивностей, создаваемых каждой волной в отдельности, на величину , называемую интерференционным членом.

если ортогональны. В таком случае

,

интерференции нет. Выясним общие условия, необходимые для возникновения интерференции. Рассм. сложение бегущих волн:

, ,

и-разность фаз.

- результ. волна.

Интенсивность:

,

где , и .

Рассм. два крайних случая 1. , тогда и

- интерференции нет.

2. Сдвиг фаз не зависит от времени

,

тогда

- интерференция - когерентные (гармонические колебания одинаковой частоты всегда). Если немонохроматические, то фазы должны коррелировать. Max:

, min:

Интерференция плоских волн

Общая интерференционная схема. Две плоские монохроматические волны

и .

-- волновые векторы. Выберем с-му координат ZX так чтобы лежали в плоск. ZX, а биссектриса угла параллельна Z.

, ,

уравнения плоских волн:

, ,

сложение

.

Интенсивность:

.

Поверхности одинаковой интенсивности: x=const, т.е. плоскости, параллельные оси Z. Max интенсивность будет наблюдаться при условии

,

тогда:

, ,

ширина:

или .

ширина интерференционных полос не зависит от положения экрана (для плоских волн). Общая схема:

, .

Результирующая

,

интенсивность

, , ,

.

Max интенсивность

, , min: . .

, . .

Интерференции по методу деления волнового фронта

Схема Юнга, Френеля, Ллойда. Пусть ? --время за которое излучается цуг монохроматических волн. тогда c? -- их пространственная длина Необходимо свет от источника разделить на два пучка, и сложить их. Если эти пучки проходят различный путь, то между ними возникает разность хода ?L. Если ?L не превышает длину цугов c?, то случайные изменения фазы и амплитуды в обоих пучках совершаются согласованно. Т.е. пучки когерентны. Величину c?ког называют длиной когерентности. Для возникновения интерференции ?L<lког. Длина когерентности - максимальная разность хода для складываемых волн, при которой еще наблюдается интерференция. Схема Юнга. Свет от источника S направлялся на узкую диафрагму S'. Дифрагировавший на диафрагме S' свет попадал на экран с двумя узкими отверстиями S1 и S2, расположенными на расстоянии l друг от друга. Если ширина щели S' достаточно мала, то волны, образованные отверстиями S1 и S2, являются когерентными. На экране Э, расположенном на достаточно большом расстоянии D от S1 и S2, наблюдают интерференционную картину, представляющую чередующие темные и светлые участки. Интерференционная картина будет еще более четкой, если отверстия заменить щелями, параллельными S и экрану. Интерференционная картина в этом случае будет иметь вид темных и светлых полос. Распределение интенсивности и ширина полос интерференции будут описываться соотношениями

и .

При осуществлении интерференции по схеме Юнга обычно расстояние от щелей S1 и S2 до экрана D 2 м, расстояние между щелями мм, ширина щели S 0.2 мм. Бизеркала Френеля. в качестве когерентных источников два мнимых изображения одного и того же источника. Рассм. случай, когда мнимые источники создаются двумя зеркалами (бизеркала Френеля). Два плоских зеркала АО и ВО под углом 180, и ??1?. на основе з-на отражения источник S и два мнимых изображения S1 и S2 находятся на окружности с центром в т.O.

.

Интерференция в тонких пленках

Полосы равного наклона и равной толщины.

.

Если интенсивности когерентных источников равны I0, то

,

где - волновое число, - опт. разность хода - разность фаз. При освещении тонкой пленки происходит наложение волн от одного и того же источника, отразившихся от передней и задней поверхностей пленки. При этом может возникнуть интерференция. Рассм. пластинку с n и толщиной h. Определим разность хода для какой-либо точки наблюдения: Пусть SACBP и SDP - отражённые лучи, которые перекрываются в точке P. оптическая разность хода:

,

после преобразований:

,

- угол преломления. Полная разность хода в точке P:

,

где - разность хода волн при отражении:

- в зависимости от n.. итого по-умолчанию

,

если юзать угол падения:

.

Максимумы будут наблюдаться если

: .

Точки одинаковой интенсивности могут быть получены в двух случаях:

- полосы равной толщины,

- равного наклона. Для клина:

- та же формула, только угол клина мал. Интерференционную картину полос равной толщины в таком случае можно наблюдать на пов-ти. Интенсивность будет функцией толщины клина

,

полосы будут параллельны ребру клина. Если источник света является протяженным. Тогда в некоторую точку наблюдения попадут по два отраженных луча от многих точек источника. Разность хода для каждой пары лучей будет различной. Это приведёт к наложению множества интерференционных полос различной интенсивности исчезновению интерференционной картины. Разность хода:

,

где - среднее значение косинуса угла преломления для лучей, для которых опр. разность хода. При угле падения 0, косинус будет изменяться медленно. Если т.P находится очень близко к пов-ти пластинки, то отражение и преломление пересекающихся лучей будет происходить почти в одном и том же месте пластинки, т.е. изменение h для интерферирующих лучей будет незначительным. Т.е возможно наблюдение интерференции. Интерференционная картина будет локализована на пов-ти пластинки. Немонохроматичность источников накладывает дополнительные ограничения на возможность наблюдения интерференции. Известно, что максимальная разность хода между интерферирующими лучами не должна превышать длина когерентности, характерной для данного источника

.

эффективный интервал частот и , испускаемый источником связаны:

и ,

тогда . для того, чтобы наблюдалась интерференция необходимо, чтобы при максимальная толщина пластинки: максимальный порядок интерференции:

.

Полосы равного наклона: если угол между плоскостями образующими клин 0, то интерференционная картина будет на большом расст. Разность хода между волнами не зависит от положения источника S, и при использовании протяжённого источника интерференционные полосы будут отчётливы. Размер источника не влияет на условия наблюдения полос равного наклона.

Интерферометры - опт. приборы, позволяющие простр-венно разделять интерферирующие лучи и создавать между ними опр. разность хода. Те, у которых интерферируют два пучка - двухлучевые.

Интерферометр Жамена. , где - углы преломления в первой и во второй пластинке. Если пластины параллельны, то эта разность хода=0, на практике - оч. малый, тогда , где . Малейшее изменение разности хода приводит к заметному изменению положения полос. Если поместить кювету, то внесённая разность хода: . Если , то картина сместиться на m полос.

Маха-Цендера:

Майкельсона:

Интерференционные светофильтры

Светофильтрами, называются устройства, изменяющие спектральный состав или энергию падающей на них световой волны, не изменяя формы ее волнового фронта. Это достигается благодаря селективному поглощению, либо селективному пропусканию. Простейший интерференционный светофильтр - интерферометр Фабри-Перо с малым промежутком между зеркалами , у которого на обе стороны нанесены отражающие слои. При опр. усл-х он пропускает без ослабления световую волну опр. длины, а волны, длина которых лишь немного отличается от ?, проходят с большим ослаблением, т.е. интерферометр Фабри--Перо действует как узкополосный светофильтр. При падении по нормали света с широким спектральным составом в проходящем свете возникает с-ма максимумов, расстояние между которыми определяется выражением

.

Подбором nh можно совместить один из макс. с требуемым значением длины волны . Ширина полосы, пропускаемой интерфер. светофильтром , будет опр. длиной волны, коэфф. отражения пластин и расст. между ними:

.

Однако, кроме длины волны , интерференционный светофильтр пропускает также свет, длина волны которого меньше в m раз: . характеристики фильтров: пропускание (отношение потоков), оптическая плотность. Фильтры называются серыми или нейтральными, если их оптическая плотность в исследуемом спектральном интервале не зависит от длины волны. Фильтры, не удовлетворяющие этому условию, называются селективными. Диэлектрические интерф. слои. Для достижения высокого разрешения во многих опт. приборах необходимо применять зеркала с высоким коэфф. отр. . Металлы макс 0.95, поэтому используют диэлектрические многослойные зеркала. Работа основана на интерференции. Слои из диэлектриков с разным n, так чтобы опт. путь = . тогда отраженные границами волны находятся в одинаковой фазе и в результате интерференции усиливают друг друга. Такие зеркала толком работают только с опр. длинами волн (для которых путь = ). Обычно исп. сульфид цинка 5 слоёв. Просветление оптики. При прохождении света через границу воздух-стекло часть света отражается (4%). Т.о. если в приборе много элементов, то возникают проблемы. Явление интерференции позволяет свести к минимуму коэфф. отражения поверхности. На поверхность элемента методом напыления в вакууме наносят тонкие пленки с коэфф. преломления, меньшим, чем у материала линзы. Падающий на пов-ть пленки пучок света частично отражается от внешней границы просветляющего слоя, а частично проходит внутрь. На границе раздела просветляющий слой- стекло происходит то же самое, а в результате часть света возвращается , а часть проходит внутрь стекла. Вследствие когерентности возникает интерференция между пучками 1'? и 2' . Результат интерференции будет зависеть от разности хода между этими пучками, которая определяется толщиной пленки и значением коэфф. преломления стекла (n0) и пленки (n). Если d, n0 и n подобрать так, чтобы отражающие волны 1'?и 2'?находились в противофазе, то произойдет взаимное ослабление, в результате чего уменьшится коэфф. отражения. Полное гашение будет в том случае, если при разности хода, кратной нечетному числe полуволн, амплитуды отраженных волн будет одинаковы. Необходимая для гашения толщина пленки:

.

соотношение между показателями преломления:

Принцип Гюйгенса-Френеля

Зоны Френеля. Аналитическое и графическое определения амплитуд создаваемых зонами Френеля. Дифракция - отклонение света от прямолинейного распространения не связанное с преломлением или отражением. принцип Гюйгенса: всякая точка пр-ва до которой дошло волновое возмущение является источником вторичных волн. Френель: полное световое поле - результат взаимной интерференции источников вторичных волн. Метод зон: Рассм. Действие света из т.А в т.В. Заменим действие источника А действием воображаемых источников, расположенных на поверхности S - пов-ть фронта волны. Разбиваем S на зон такого размера, чтобы расстояние от краёв зоны о В отличались на.

,

тогда площадь сферического сегмента (первая зона):

,

a - от А до пов-ти, b - от пов-ти до B. Площадь всех зон одинакова. Чем дальше от центра по поверхности, тем воздействие зон ослабляется. Действия соседних зон ослабляют друг друга, т.к. волны приходят в т. В в противофазе. Т.е. амплитуда первой зоны больше амплитуды в т. В.

- радиус m-ой зоны Френеля. Если пропустить свет через зонную пластинку с открытыми нечётными зонами (в центре светло), то в т. В интенсивность возрастёт:

,

т.е. чётные зоны перестанут мешать. Т.е. зонная пластинка работает как линза.

- фокус зонной пластинки. Тогда a и b должны удовлетворять

Аналитическое определение амплитуд: - источник, P - наблюдение. Полное поле:

,

где - коэфф. учитывающий зависимость амплитуды вторичных волн от угла между и направлением на P. Если рассм. пов-ть S (как выше):

,

R - расст. От зоны до P. Для приблизительного вычисления интеграла Френель предложил метод: построим сферы с радиусами

с центром в т. P. На сферической волновой поверхности эти сферы вырежут кольцевые зоны - зоны Френеля. Площадь зон:

,

где a расстояние от P0 до зоны. Площади всех зон одинаковы. Итого амплитуда в т.

P: ,

где - амплитуда создаваемая последней зоной. Если зон много или фронт открытый то последним можно пренебречь. Графический метод: каждую из зон Френеля разбивают на N частей. При переходе от одного края зоны к другому фаза волны изменяется на ?, а при переходе от одной подзоны к другой на

.

Поскольку площади подзон одинаковы, то амплитуда волн, приходящих в точку Р от каждого участка будет в соответствии с методом зон Френеля также одинаковой. Обозначим ее Е0. Примем фазу волны, приходящей в Р из первой подзоны, за 0. Тогда суммарная амплитуда волны в точке Р, создаваемая первой зоной, с учетом возникающего сдвига фаз будет равна:

При увеличении числа разбиений до бесконечности ломаная кривая превращается в плавную. Графическое построение амплитуды при учете вклада от последующих зон производится аналогично. Необходимо учесть, что при движении на край зоны значение Е01 несколько уменьшается. Вследствие этого непрерывная кривая не замыкается, а имеет вид спирали (спираль Френеля). Она позволяет определить амплитуду при открытии любого числа зон Френеля и их частей.

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске

C помощью метода зон Френеля, можно определить амплитуду волн дифрагировавших на простых препятствиях. При нечётном числе зон:

else ,

то что в скобках 0. т.е. при небольших m амплитуда в точке Р будетамплитуде, создаваемой 1-ой зоной Френеля, если m -- нечетно, и =0 при четном m. Т.е. если в апертуре можно построить чётное число зон, то в центре будет наблюдаться ноль, else не ноль. m число зон в отверстии

,

для плоской

,

 - расстояние от источника, r - от отверстия до экрана. Про спираль Френеля: пока открывается только первая зона Френеля, интенсивность увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне. По мере открытия второй зоны интенсивность убывает и при открытых полностью двух зонах уменьшается практически до нуля. Затем интенсивность снова увеличивается и т.д. Дифракция на диске: если диск закроет m первых зон Френеля, то амплитуда:

,

в скобках . Если диск закрывает небольшое число зон, то в центре светлое пятно, общий вид картины: чередующиеся тёмные и светлые пятна. Зонная пластинка. Из принципа построения зон Френеля, следует, что в точку наблюдения в одинаковой фазе приходят волны, создаваемые четными и соответственно нечетными зонами Френеля. Причем, сдвиг фаз между ними составляет ?. Поэтому, если закрыть четные или нечетные зоны, то волны от соседних зон не будут гасить друг друга. Суммарная амплитуда в точке наблюдения будет равна

,

если закрыть четные зоны и соответственно

,

если закрыть нечетные зоны. Можно изготовить экран, у которого, например, нечетные зоны открыты, а четные - закрыты. Такую пластинку называют зонной. Интенсивность в точке наблюдения, расположенной на расстоянии r от экрана, будет намного больше интенсивности, когда открыты все зоны. Действие зонной пластинки аналогично действию собирающей линзы, а расстояния связаны также

,

где - фокус. Зонная пластинка может иметь несколько фокусов. Интенсивность света в фокусе зонной пластинки можно увеличить еще в четыре раза, если не закрывать соседние (четные или нечетные) зоны, а изменить их фазу на ?. Недостатки метода зон Френеля: 1. даёт неправильное значение фазы волны в точке наблюдения, фаза сдвинута на . 2. не позволяет определить зависимость коэфф.а наклона . Поэтому приходится постулировать, что монотонно уменьшается с увеличением угла и принимает нулевые значения при .

Приближение Френеля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Интеграл Кирхгофа

- интеграл суперпозиции, из него следует, что сумма косинусов не изменится, если источник и приёмник поменять местами. Т.е. точный источник установленный в точке P, будет создавать тот же эффект в точке P0, что и источник P0 в точке P. - теорема взаимности Гельмгольца. Плоскость в которой наблюдается дифракция - плоскость дифракционной картины. Плоскость, совпадающая с отверстием - плоскость источников. В каждой из плоскостей выберем с-му координат. В плоскости источников выберем элемент площади с координатами x', y'. Определим амплитуду волны создаваемую элементом в т. P(x, y). Пусть , тогда

.

Приближения Френеля: 1. будем считать, что элемент расположен достаточно далеко от точки наблюдения P, т.е.

, , ,,

тогда можно

, .

Тогда . 2.

3. Множитель - быстро осциллирующий, поэтому выражение для R, можно разложить в ряд и ограничиться членами второго порядка

,

тогда интеграл Кирхгофа примет вид

,

где - комплексная амплитуда падающей волны на площадке

, т.е. .

Можно переписать

,

где - комплексная функция определяющая амплитуду волны в области источников. Случай, когда все эти приближения выполняются наз-ся дифракцией Френеля.

Дифракция Френеля на прямолинейном краю полуплоскости

Будем разбивать волновой фронт на полосатые зоны. z - длина перпендикуляра из точки наблюдения P к волновому фронту, совпадающему с краем полуплоскости. Проведём цилиндрические коаксиальные поверхности, ось которых проходит через т. P параллельно краю полуплоскости. Радиусы цилиндрических поверхностей:

…

т.е. волновой фронт будет разбит на прямоугольные полосы (зоны Шустера). Первую зону считаем за две, ширина зон , , , … монотонно уменьшается от центра, следовательно и площади также будут уменьшаться. Можно записать интеграл Кирхгоффа с учётом приближений Френеля

,

если волна плоская, то

,

сделав замену переменных

получим

.

Для графических построений можно пользоваться

,

с учётом преобразований Эйлера

, где , -

интегралы Френеля. Если , - оси в системе координат, то - уравнение клотоиды (Спираль Корню). Дифф. дуги спирали , т.е. параметр - длина спирали

Приближение Фраунгофера

В

преобразуем множитель:

.

Будем считать, что

и -

приближение Фраунгофера, случай дифракции когда это выполняется - дифракция Фраунгофера. Идеально наблюдается в параллельных лучах, поэтому так и называется - дифракция в параллельных лучах. Запишем интеграл

.

Рассмотри падение плоской волны на прямоугольное отверстие , получаем

, тогда: ,

выполнив интегрирование получаем амплитуду создаваемую отверстием ab в точке P(x,y):

,

где , .

Распределение интенсивности

,

- интенсивность недифрагировавшего света. Дифракция Фраунгофера на щели. Пусть плоская монохроматическая волна длины l нормально падает на щель шириной b. Направим ось X' перпендикулярно к щели, совместив ее начало с центром щели. Размер волновой поверхности вдоль щели ограничен только диаметром объектива, и если вносимую им дополнительную дифракцию не принимать во внимание, то волны дифрагируют только в направлениях, перпендикулярных щели, т.е. вдоль оси X'. Поэтому можно считать, что элементарные участки волнового фронта, имеющие вид полосок параллельных краям щели, являются источниками вторичных цилиндрических волн. Распределение интенсивности при дифракции на щели можно получить, используя метод зон Френеля.

Выделим на волновом фронте плоской волны полоску шириной dx', находящуюся на расстоянии х' от центра щели. При выполнении приближения Фраунгофера с большой точностью можно считать, что наибольший вклад в дифракцию вносят только несколько первых зон Френеля. Поэтому

.

Являясь вторичным источником, в направлении нормали полоска dx' будет создавать возмущение

,

где -- амплитуда волны, создаваемая всей щелью в направлении нормали. Так как при нормальном падении света на щель фазы вторичных источников одинаковы, то волна, исходящая под углом ? от элемента dx', расположенного на расстоянии х от начала координат, опережает по фазе волну того же направления из середины щели на .

С учетом этого комплексная амплитуда волны, которую посылает выделенная полоска в направлении, составляющем угол ? с нормалью к оси X':

,

где - сдвиг фаз между волнами распространяющимися в направлении (недифрагировавшими) и волнами дифрагировавшими в направлении ?. Проинтегрировав последнее:

- возмущение создаваемое всей щелью. Интенсивность щели в направлении ?:

, ,

- половина сдвига фаз для волн, распространяющихся в направлении ? от краев щели. При ?=0 интенсивность максимальна = I0. при - min, т.е. т.о. - условие минимумов дифракции на щели. Продифференцировав выражение для I найдём экстремум , решив графически можно найти корни. 93% света - главный максимум. Влияние ширины щели и размеров источника. При уменьшении ширины щели центральный максимум будет уширяться. Из условия минимумов: если , то , т.е. первые дифракционные минимумы будут сдвинуты на бесконечно удаленный край экрана. Наблюдаться при этом будет только один центральный максимум. При и дальнейшем уменьшении ширины щели будет иметь место монотонное уменьшение интенсивности в максимуме. При увеличении ширины щели происходит сужение центрального максимума и увеличение его яркости

Дифракция на двух щелях

Рассм. дифракцию на двух щелях, каждую из которых можно рассматривать как когерентные источники. Результирующая комплексная амплитуда будет определяться суммой амплитуд и , создаваемых в направлении ? каждой щелью:

,

где , , - сдвиг фаз между волнами, решив с-му:

.

интенсивность, создаваемую двумя щелями в направлении ?:

или ,

т.е. интенсивность вследствие интерференции будет равна . Для углов

интенсивность равна 0 - главные минимумы,. - главные максимумы . - дополнительные минимумы

Дифракция на круглом отверстии

Дифракционную картину Фраунгофера от круглого отверстия в преграде можно наблюдать на экране в фокальной плоскости линзы, направив на отверстие нормально плоскую световую волну. Картина имеет вид центрального светлого пятна, окружённого чередующимися тёмными и светлыми кольцами. Минимум первого тёмного кольца отстаёт от центра дифракционной картины на угловое расстояние (если апертура больше длины волны). размер дифракционной картины тем меньше, чем больше диметр отверстия D. подавляющая часть светового потока попадает в область центрального светлого пятна - диск Эйри.

Пример пространственной дифракционной решётки - кристаллическая решётка твёрдого тела. частицы, образующие эту решётку, играют роль упорядоченно расположенных центров, когерентно рассеивающих падающую на них волну. расстояние между соседними частицами (период структуры) равен d и параллельный пучок излучения с длиной волны падает на цепочку под углом скольжения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разность хода между лучами 1 и 2 рассеянными соседними частицами под углом :

.

Углы, под которыми образуются фраунгоферовы максимумы находятся из условия, при котором разность хода равна целому числу волн

.

Для прямоугольной структуры, это условие можно записать три раза с разными d и разными m, тогда связь между углами:

.

Если длина волны больше разности хода между двумя структурными элементами, то существует только нулевой максимум, т.е. свет проходит без рассеяния (дифракции).

Основные характеристики спектральных приборов

Спектральные приборы выполняют физическое разложение излучения на монохроматические составляющие. Математически это выполняется с помощью преобразования Фурье. Спектральные приборы по назначению делятся на несколько типов: спектрографы, спектрофотометры и монохроматоры. Аппаратная функция. Идеальный спектральный прибор -- прибор, который не вносит искажения в распр. энергии спектральной линии, попадающей на входную щель. Реальные приборы вносят изменения и приводят к уширению спектральных линий. Основные причины-- дифракция света на вх. щели, которая имеет конечную ширину, аберрации опт. элементов прибора, влияние с-мы регистрации. Совокупное действие спектрального прибора характеризуется аппаратной функцией . Аппаратная функция представляет отклик прибора на узкий монохром. импульс. Если направить на вход спектрального прибора монохром. излучение, то регистрируемая линия и будет аппаратной функцией. Чем более узкая инструментальная функция, тем меньше искажений вносит прибор. Аппаратная функция искажает регистрируемый спектр. Пусть спектральная плотность излучения задается функцией . После прохожд. через спектральный прибор каждой длине волны соответствует опр. координата на его фокальной плоскости. Поэтому функции будет соответствовать . Найдем распр. F(x), которое зарегистрирует спектральный прибор, имеющий аппаратную функцию f(x). Выделим в спектре монохроматическую компоненту, интенсивность которой представлена заштрихованным прямоугольником Его ширина dx очень малая. Прибор с апп. функцией размазывает этот участок в распределение. интенсивность, заключенная в нем сохраняется, т.к. апп. функция нормирована по площади к единице.

, .

Определим значение наблюдаемого распределения F(х') в точке х'. Доля монохром. компоненты, попавшая в точку х', за счет «размазывания» равна произведению апп. функции в этой точке на величину интенсивности линии в этой точке

.

Другие монохром. компоненты также дадут вклад в наблюдаемое значение функции в точке x'. В итоге наблюдаемое распр. выразится сверткой функции f(x) и I(x):

это позволяет находить функцию I(x) если известна аппаратная функция f(x). Рассм. вид апп. функции различных спектральных приборов в предположении, что аберрации отсутствуют и спектральная плотность излучения I(x) и, регистрируемый спектральным прибором некоторый спектр F(х) - пунктирная линия, представляющий свертку I(x) и f(x). входная щель является бесконечно узкой. В призменном спектрографе изображение щели увелич. в связи с тем, что пучок, который падает на призму, пространственно ограничен. Уширение возникает, как и в случае дифракции Фраунгофера на оправе линзы или на краях призмы. Если ширина пучка, падающего на призму равна a, то функция распределения интенсивности: