Излучение электромагнитных волн

Для дифракционной решетки с N щелями вместо a необходимо подставить

,

где l -- ширина решетки. Угловая и линейная дисперсия. Количественная мера:

где -- изменение угла дисперсии при изменении длины волны света ?на величину . С угловой дисперсией связано понятие линейной дисперсии

,

где dl-- расстояние между центрами монохроматических изображений щели для спектральных линий, отстоящих на интервал длин волн . Угловая дисперсия решетки. В случае дифракционной решетки из условия главных максимумов следует, что

,

тогда угловая дисперсия

Поскольку решетки, как правило, используются в первых порядках, то углы дифракции являются малыми и можно приближенно считать, что угловая дисперсия является постоянной. Угловая дисперсия призмы. В случае призмы спектральное разложение является результатом дисперсии вещества, из которого она изготовлена. При работе призмы обычно устанавливаются на угол наименьшего отклонения . Тогда преломляющий угол А, показатель преломления материала n, из которого изготовлена призма и связаны соотношением

.

При использовании немонохроматического света показатель преломления вследствие изменения длины волны будет изменяться. Это приведет к соответствующему изменению угла наименьшего отклонения ?.

преобразуем: ,

В случае призмы угловая дисперсия будет связана с изменением, поэтому выражение для дисперсии представим в виде

,

где - дисперсия материала. Т.е. угловая дисперсия призмы определяется ее преломляющим углом и дисперсией материала, из которого она изготовлена. Поскольку дисперсия вещества зависит от длины волны света, то и угловая дисперсия призмы также изменяется в зависимости от дины волны проходящего через нее света: наибольшие значения она имеет для синей области видимого спектра и значительно уменьшается в красной области. Разрешающая способность спектрального прибора. С понятием аппаратной функции связана разрешающая способность спектрального прибора, являющаяся его основной характеристикой. Количественно разрешающая способность определяется отношением

,

где - минимальная разность длин волн двух близких спектральных линий с длинами волн наблюдаются при использовании данного спектрального прибора раздельно, - среднее значение длины волны. С помощью аппаратной функции критерий разрешения может быть определен следующим образом: две спектральные линии будут разрешены (раздельно наблюдаемыми), если расстояние между ними не меньше ширины аппаратной функции на половине высоты ее контура. Разрешающая способность дифракционной решетки. Итак, согласно критерию Рэлея две спектральные линии одинаковой интенсивности будут наблюдаться на пределе разрешения, если главный дифракционный максимум одной из них совпадает с ближайшим к нему минимумом для другой. Запишем условие главного максимума для спектральной линии длиной волны

:

и условие ближайшего дополнительного минимума для линии l, наблюдаемого в том же порядке дифракции:

.

Откуда получаем выражение для разрешающей способности решетки

.

Таким образом, разрешающая способность решетки выше в более высоких порядках. При заданной ширине решетки

L=Nd

предельная разрешающая способность будет зависеть лишь от размеров решетки.

Докажем. Поскольку максимальный порядок дифракции определяется условием,

, то .

Таким образом, при нормальном падении на решетку величина max разрешающей способности не превышает отношения ее размеров к длине волны. Разрешающая способность призмы. Для определения разрешающей способности призмы можно снова воспользоваться критерием Рэлея, в соответствии с которым две близкие спектральные линии с длиной волны и

будут наблюдаться раздельно, если полуширина дифракционного максимума каждой из линий не больше углового расстояния между ними. Полуширина центрального дифр. Max равна углу , под которым наблюдается первый фраунгоферов min. Поэтому условием разрешения спектральных линий будет соотношение Рассматривая дифракцию падающего пучка на сечении призмы, имеем:

,

где b - min ширина пучка. Изл. спектральных линий и после прохожд. через призму будет разделено на угол, который можно определить, используя угловую дисперсию или

, .

Сечение

где t=BC - ширина основания призмы

После преобразований:

-

показывает, что разрешающая способность призмы определяется размером основания t и дисперсией материала, из которого она изготовлена. Область свободной дисперсии дифракционной решетки и призмы. Область свободной дисперсии спектрального прибора - максимальная разность длин волн спектральных линий, которые будут наблюдаться без наложения в соседних порядках. Область дисперсии и порядок интерференции связаны соотношением

В случае дифракционной решетки m будет означать порядок дифракции. Поскольку дифракционные решетки используются в низких порядках дифракции, то область дисперсии для них является достаточно широкой. В первом порядке (m=1) область дисперсии составляет весь видимый диапазон. Это означает, что, будучи разложенным в спектр, излучение всего видимого диапазона в первом порядке наблюдается без наложения со спектром второго порядка. Поскольку при разложении света призмой используется только нулевой (Фраунгоферов) максимум, то область дисперсии призмы ограничена только областью прозрачности материала, из которого она изготовлена.

Геометрическая оптика как предельный случай волновой

Длины световых волн, очень малы. Поэтому распространение света во многих случаях можно рассматривать отвлекаясь от его волновой природы, и считать, что свет распространяется вдоль лучей. В пределе , а также когда угол расходимости законы можно сформулировать на языке геометрии. Законы: 1. з-н прямолинейного распространения света в однородной среде. 2. з-н отражения света: угол отражения равен углу падения. 3. з-н преломления: . Если свет падает на менее плотную опт. среду, угол преломления может достичь тогда соответствующий угол падения называют предельным:

.

Для углов падения наблюдается полное внутреннее отражение. Принцип Ферма: свет распространяется по такому пути, время прохождения которого было бы минимальным, а точнее экстремальным, т.е. либо минимальным либо максимальным, либо стационарным, т.е. для разных путей одинаковое время прохождения (например, в линзе). Если среда однородна, то - оптический путь, где - геометрический. Ур-ие эйконала:

или ,

где - некоторая скалярная функция координат (эйконал).

Преломление света на сферической поверхности. Формула тонкой линзы

площадь треугольника А1ВА2 равна сумме площадей треугольников А1ВО и ОВА2, т.е. с учетом правил знаков

(1).

Рассм. только лучи, для которых угол u1 и u2 являются малыми (параксиальные лучи). В таком случае малыми будут также углы и . В параксиальном приближении

а также A1BA1S=a1, BA2SA2=a2. С учетом сделанных приближений, обозначим BO=R, запишем равенство (1) в виде:

(2).

Закон преломления луча АВ в параксиальном приближении имеет вид

,

поэтому после несложных преобразований равенство (2) можно представить в виде соотношения

(3),

которое представляет уравнение нулевого луча. Из (3), что

(4)

- нулевым инвариантом Аббе. (4) показывает, что произведение

при преломлении (на границе раздела двух сред) сохраняет свою величину. Из (3) и (4) следует, что при заданном значении независимо от угла u1 значение определяется однозначно, т.е. для параксиальных лучей гомоцентрический пучок после преломления на сферической границе раздела остается гомоцентрическим. Точка А2 является стигматическим изображением точки А1. Из формулы (3) следует, что, если источник удален от сферической поверхности на бесконечность, т.е. расстояние а1 то

, т.е. .

Положение изображения, соответствующее этому случаю называется задним (вторым) фокусом сферической поверхности. Величина, обратная фокусному расстоянию, называется опт. силой преломляющей поверхности. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно гл. опт. оси, является фокальной плоскостью. Аналогично, при некотором положении источника лучи после преломления на сферической поверхности будут распространяться параллельно опт. оси. В таком случае . Необходимое для этого расстояние от источника до преломляющей поверхности будет равно

Выполнив несложные преобразования, можно получить

,

Учитывая

и ,

где и - расстояние от переднего фокуса до предмета и от заднего фокуса до изображения, тогда - формула Ньютона.



Увеличение. Уравнение Лагранжа-Гельмгольца. Выполним построение изображение небольших предметов при преломлении света на сферической поверхности. Свойства: а) луч, проходящий через оптический центр, не преломляется на сферической поверхности. б) луч, идущий через фокус, после преломления распространяется параллельно опт. оси. в) луч, падающий на сферическую поверхность, после преломления движется параллельно опт. оси. Рассм. сферическую поверхность с центром кривизны в точке О. Пусть точка А, расположенная на опт. оси, является предметом, А1 - ее изображение. Повернем прямую АА1 вокруг центра О на небольшой угол, так что точка А опишет небольшую дугу АВ а точка А1 - дугу А1В1. Так как для всех точек АВ и А1В1 соответствующие расстояния а1 и а2 одинаковы, то можно считать, что А1В1 является изображением дуги АВ. В виду того, что дуги АВ и А1В1 являются очень малыми, то их можно заменить соответствующими хордами. Точно также малая площадка, расположенная перпендикулярно опт. оси, в рассматриваемой сферической опт. системе отобразится при помощи параксиальных лучей в виде площадки, перпендикулярной опт. оси. Плоскость предмета АВ и плоскость его изображения А1В1 являются сопряженными плоскостями по отношению к данной опт. системе. Размер изображения может отличаться от исходного размера предмета. Отношение линейных размеров изображения А1В1 и предмета АВ называется поперечным, или линейным увеличением:

.

Для перевернутого изображения y1 и y2 имеют различные знаки, поэтому величина будет отрицательной. Из треугольников АВD и A1B1D имеем

, ,

В параксиальном приближении

,

следовательно

,

выражение показывает, что поскольку n1 и n2 всегда положительны, то знак увеличения Гл будет определяться отношением для действительных изображений это отношение будет отрицательным, для мнимых оно положительно. Кроме линейного увеличения опт. с-мы характеризуются угловым увеличением. Угловое увеличение определяется как отношение тангенсов углов и , которые составляют сопряженные лучи с опт. осью с-мы:

.

Поскольку

,

получим:

,

это показывает, что угловое увеличение сферической поверхности прямо пропорционально отношению показателя преломления первой среды к показателю преломления второй и обратно пропорционально линейному увеличению. В случае, если все элементы опт. с-мы находятся в одной среде, и Для параксиальных лучей

и и

- уравнением Лагранжа-Гельмгольца. Уравнение Лагранжа-Гельмгольца справедливо для параксиальных лучей. В случае использования широких пучков условием получения стигматических изображений будет выполнение соотношения известного как условие синусов Аббе.

Основы матричного метода расчета центрированных опт. Систем

Основной задачей геометрической оптики является построение стигматических изображений. т.к. каждая точка изобр. получается в результате схождения нескольких лучей, то решения обозначенной задачи важно уметь опр. ход лучей при их прохождении через опт. с-му. В большинстве случаев опт. с-ма представляет собой совокупность однородных сред, ограниченных плоскими или сферич. границами раздела, на которых происходит преломление, или отр. света. Траектория луча будет предст. Посл. прямых линий, находящихся в одной плоскости. Поэтому будем рассм. только меридиальные лучи, т.е. лучи, распростр. в одной плоскости (в плоскости YZ), проходящей через опт. ось с-мы, вдоль которой направлена ось Z. Для опр-ия хода лучей удобно воспользоваться корд. одной точки, принадл. лучу, и углом, который он составляет с некоторой осью, например, осью Z. Возьмем некоторую плоскость Z=const, перпендикулярную опт. оси и пересекающую рассматриваемый луч. Назовем ее опорной плоскостью ОП1. Любой меридиальный луч можно определить по отношению к опорной плоскости двумя параметрами: высотой y1, на которой рассматриваемы луч пересекает опорную плоскость, и углом u1, который он составляет с осью Z. Как и ранее будем пользоваться правилом знаков: координата y будет положительной, если точка пересечения находится выше оси Z, угол u1 будет положительным, если он соответствует вращению луча по часовой стрелке от положительного направления оси Z к направлению его распространения. Для определения координаты луча в некоторой новой точке необходимо снова провести опорную плоскость ОП2 и определить координаты y2 и u2. Передаточная матрица. Рассм. вначале распространение света в однородной среде, в которой траектория луча представляет прямую линию. Проведем через точки А и В луча опорные плоскости, соответственно ОП1 и ОП2. Исходными координатами будем считать координаты y1 и u1. Определим координаты луча при его пересечении с опорной плоскостью ОП2, находящейся на расстоянии l от ОП1.

, .

Будем рассматривать только лучи, составляющие малые углы с осью Z. В этом случае . Кроме того, в матричной оптике вместо углов используется величина , называемая приведенным углом, т.е. можно переписать

, ,

где , , величина L - приведенная длина. В матричной форме можно записать

или , где .

Матрица называется передаточной матрицей или

матрицей опт. промежутка. Отметим, что матрица является унимодулярной, т.е. ее определитель равен единице: . Рассм. сферическую поверхность, которая разделяет две среды с показателями преломления n1 и n2, а так же имеет радиус кривизны R. Будем R считать положительным, если центр кривизны находится справа от границы раздела и отрицательным, если он находится слева. (Граница раздела сред принимается за начало оси Z). Проведем опорные плоскости 1 OП и 2 OП так, чтобы первая пересекла луч непосредственно перед точкой его падения на границу раздела, а вторая - непосредственно после его преломления. В параксиальном приближении расстояние между ОП1 и ОП2 будет очень малым и поэтому .

Согласно теореме о внешнем угле треугольника , . Умножим эти выражения соответственно на n1 и n2 и запишем с учетом закона преломления

.

Откуда

, , ,

и в параксиальном приближении

, то , .

Величина

является опт. силой преломляющей поверхности. В итоге запишем координаты луча при пересечении им ОП2:

, .

Представим записанные равенства в матричном виде

.

Матрицу

электромагнитный свет волна спектральный

называют матрицей преломления. Заметим, что, как и в предыдущем случае, определитель матрицы также равен единице:

.

Полученный результат может быть использован также для определения координат луча при его преломлении на плоской границе раздела двух сред. В случае плоской поверхности :

, .

В итоге матрица преломления на плоской границе раздела в параксиальном приближении будет иметь вид

.

Центрированной системой называют совокупность опт. элементов, центры кривизны преломляющих и отражающих поверхностей которых расположены на одной прямой, которую называют гл. опт. осью с-мы. Основные элементы опт. с-мы: поверхности (сферические, плоские), которые служат границами раздела и могут быть преломляющими и отражающими; промежутки между ними. матричного метода для определения координат луча при его распространении через толстую линзу. В этом случае следует рассмотреть три опт. элемента: две преломляющие поверхности и промежуток между ними, равный толщине линзы l. Проведем четыре опорные плоскости: причем плоскость ОП1 проведем непосредственно перед передней преломляющей поверхностью. Опорную плоскость ОП2 проведем так, чтобы она пересекала параксиальный луч непосредственно сразу после преломления. Соответственно ОП3 будет проходить через точку падения параксиального луча на вторую преломляющую поверхность. И, наконец, опорную плоскость ОП4 проведем через вершину второй преломляющей поверхности. Именно по отношению к этой плоскости и будем определять координаты выходящего луча. Пусть - координаты луча падающего на ОП1, - координаты при пересечении соотв. оп. плоскостей. Пусть ??- матрица опт. промежутка, ?- матрицы преломления на 1-й и 2-й сферической поверхности. Ф1 - оптическая сила 1-й поверхности, Ф2 - второй. Если радиусы кривизны поверхностей равны соответственно R1 и R2 , то их оптическая сила будет равна

и .

Определим координаты выходящего луча

.

Поскольку и , то и - матрица описывающая свойства с-мы. ТО, матрица сложной опт. с-мы равна произведению матриц ее отдельных элементов, записанных в обратном порядке. Можно записать

. Перемножив:

,

величина - опт. сила толстой линзы.

Кардинальные элементы центрированных опт. систем

Рассм. опт. с-му. Рассм. луч, падающий на опт. с-му параллельно ее опт. оси на некоторой высоте y1 . В этом случае и ; Параметры луча на выходе из с-мы, т.е. при его пересечении опорной плоскости ОП2:

,

Пусть выходящий луч пересечет опт. ось в точке F2, которая расположена на расстоянии t2 от ОП2 , причем

,

где , тогда параметры можно переписать: . Таким образом, t2 не зависит от y1 . Это значит, что все параксиальные лучи, которые падают на опт. с-му параллельно ее гл. опт. оси, после прохождения через нее проходят через одну и ту же точку, лежащую на опт. оси, которую принято называть главным задним фокусом опт. с-мы. Если продолжить луч, который входит параллельно гл. опт. оси и луч, который выходит из опт. с-мы, то получим точку S2. Плоскость, проведенная через эту точку гл. опт. оси, называют гл. плоскостью. Точка H2 пересечения этой плоскости с гл. опт. осью наз-ся гл. точкой. Фокусным расстоянием опт. с-мы называется расстояние от гл. точки до фокуса, т.е. отрезок

,

после преобразований:

.

Таким образом, фокусное расстояние опт. с-мы опр. элементом C матрицы M. опр-им расст. s2 от опорной пл-ти ОП2 до второй гл. пл-ти:

.

Проведем луч F1E, под углом u1' к гл. опт. оси с таким расчетом, чтобы после прохождения через опт. с-му он был направлен параллельно гл. опт. оси. В этом случае . Поскольку

, то .

Определим расстояние t1 от опорной плоскости ОП1 до точки пересечения данного луча с гл. опт. осью с-мы:

.

Полученное соотн. показывает, что t1 не зависит от u1'. Это означает, что все лучи, исходящие из точки F1 после прохождения через опт. с-му будут также || ее гл. опт. оси. Продолжим падающий луч и вышедший до пересечения в точке S1. Плоскость, проходящая через эту точку гл. опт. оси, н-ся гл. передней плоскостью. Соответственно точка пересечения этой пл-ти с опт-ой осью Н1 наз-ся гл. первой точкой опт-ой с-мы. Расст. H1F=f1 наз-ся фокусным расст. опр. переднее фокусное расст.: y2'=-fu1'=-f1V1'/n1 (*) и V2'=0. С другой стороны:

, .

Из двух последних равенств:

.

Учитывая (*):

.

Откуда, учитывая свойства унимодулярности матрицы, при котором AD-DC=1 , получим: . Расстояние s1 от опорной плоскости ОП1 до передней гл. точки Н1 будет равно:

.

Еще 2 кардинальных элемента центр. опт. с-мы: узловые точки и узловые пл-ти. Узловые точки хар-ся св-м: всякий луч, входящий в опт. с-му под углом u1 и проходящий через узловую точку K1 , выходит из опт. с-мы под тем же углом к опт. оси, пересекая ее во второй узловой точке K2. Пл-ти, проходящие через узловые точки перпенд. гл. опт. оси, наз-ся узловыми пл-ми. Обозначим через h1 расстояние от опорной плоскости ОП1 до точки K1 и соответств. расст. от опорной плоскости ОП2 до K2 - через - h2 . Запишем матрицу преобразования лучей между узловыми плоскостями:

,

где , - передаточные матрицы смещения лучей между опорными и узловыми плоскостями:

, .

1ое во 2ое, получим:

можно упросить. Запишем координаты луча y2 и V2 при пересечении им второй узловой плоскости, считая заданными его координаты y1 и V1 при пересечении передней узловой плоскости:

, .

Поскольку узловые точки расположены на гл. опт. оси, то, соответственно . Это возможно если . Далее, на основании свойства узловых точек или , можем записать (при ):

Используя записанные условия, получим

и ,

покажем, что расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. Действительно, расстояние между узлами, расстояние К1К2 с учетом правила знаков будет равно:

.

Или, принимая во внимание выражения для h1 и h2 , запишем

.

Точно такой результат получается и для расстояния . В случае, если опт. св-ва среды по обе стороны с-мы одинаковы, то узловые точки совпадают с гл. Фокусное расст. опт. с-мы (опт. сила) определяются элементом С. Заметим, что при

имеем: ,

т.е. переднее фокусное расст. равно заднему фокусному расст. При :

.

Точки F1 и F2 , H1 и H2 , K1 и K2 а так же плоскости, которые проходят через них перпендикулярно гл. опт. оси, называются кардинальными. MН преобразования лучей между передней H1 и задней H2 гл. плоскостями:

,

где - матрица опт. промежутка от Н2 до ОП2 толщиной s2, M - матрица преобразования лучей между ОП2 ОП1,

- матрица опт. промежутка от ОП1 до H2. Подставив всё в MH:

,

перемножив и учитывая св-ва унимодулярности:

.

Поскольку A=1, B=0, то , сопряжённые точки, на гл. плоскостях отображаются с линейным увеличением, равным ед., т.е. любой луч, который проходит через плоскость H1 , пересечет H2 на той же высоте. матрицу преобразования лучей между двумя фокальными плоскостями F1 и о F2:

, здесь , ,

перемножив:

Все параллельные лучи, которые пересекают переднюю фокальную плоскость на различной высоте, после преобразования опт. системой проходят через заднюю фокальную плоскость в одной точке.

Аберрации опт. систем

Место схожд. стигматического пучка наз-ся фокусом. Его волновая пов-ть является сферической. Астигматическим называется пучок, не имеющий точки схождения. Поверхность астигматического пучка несферическая. Параксиальный пучок при прохождении через центрированную опт. с-му остается гомоцентрическим. Центрированная оптическая с-ма при использовании параксиальных лучей дает стигматическое изображение. Однако параксиальный пучок является идеализацией. В практической оптике используются широкие непараксиальные пучки, которые к тому же являются немонохром. Это приводит к тому, что получаемое изобр. уже не будет полностью геом. подобным предмету, т.е. будут возникать искажения изобр-ия. В таком случае говорят, что опт. с-ма обладает погрешностями, т.е. аберрациями. В общем случае: аберрация - любое нарушение гомоцентричности светового пучка вызванное его прохожд. через опт. с-му. Аберрации опт. с-м бывают монохром. и хроматические. Монохром.аберрации возникают при прохождении монохром. непараксиальных пучков через опт. с-му. Хроматические аберрации имеют место при использовании немонохром. пучков света. Вследствие явления дисперсии света коэфф. преломления, а, следовательно, и точка схождения лучей различной длины, будут различными. Это приводит к тому, что даже при отсутствии монохроматических аберрации, изображение, получаемое в белом свете, будет окрашенным. Процесс устранения аберраций опт. с-мы называется корригированием. Полностью устранить аберрации нельзя, но можно уменьшить до нужной величины. Например, при рассм. предмета визуально, или с помощью опт. прибора размер аберрации должен быть меньше min разрешаемого ими геом. размера. В этом случае аберрации не будут влиять на качество изобр. Рассм. монохром. аберрации. Одной из наиболее часто встречаемых аберраций является сферическая аберрация. возникает при отображении широким пучком точек, лежащих на опт. оси. рассм. точечный объект А, расположенный на опт. оси. Из всей совокупности лучей, падающих на линзу, выделим 2 пары: 1-1' и 2-2'. Для 1ой углы падения на преломляющую пов-ть являются малыми, и параксиальное приближение выполняется с большой точностью. Эти лучи образуют стигматическое изобр. в точке А1. Для второй пары лучей углы падения будут больше чем для параксиальных лучей, поэтому и углы преломл. также будут больше. Это приведет к тому, что они пересекут опт.ось в точке А2, расположенной ближе к линзе. Наблюдая изобр. на экране, заметим, что ни при каком его положении не получится точечное изобр. если расположить экран перпенд. опт. оси так, чтобы он проходил через точку А1, то изобр. будет иметь вид яркой точки в центре, окруженной светлым ореолом, к-ый наз-т кружком рассеяния. Центр изобр. будут создавать параксиальные лучи; кружок рассеяния будут создавать непаракс. лучи. Вблизи точки А1 имеется зона max концентрации световой энергии. Поверхность, огибающая эту область пространства, называется каустической поверхностью, или каустикой. В сечении каустика представляет геом. место точек схождения меридиональных лучей. Сферическая аберрация х-ся разностью коорд. точек A1 и A2: ?s=OA1-OA2. Это разность называется продольной аберрацией. Продольная аберрация считается (+), если точка А2 расположена правее точки А1 и (-) - если точка А2 расположена левее А1. В приведенном на рис. примере продольная аберрация будет (-). Кроме величины ?s продольная аберрация характеризуется величиной ?s =CD - размером кружка рассеяния на экране, расположенном в плоскости параксиального изображения, вдоль направления перпенд. опт. оси. Собирающая линза имеет отрицательную аберрацию продольную аберрацию, рассеивающая - положительную. Размер продольной и поперечной аберрации зависит от апертуры пучка, падающего на линзу. Осуществляя диафрагмирование пучка, можно значительно уменьшить сферическую аберрацию. Однако, диафрагмирование приводит к уменьшению освещенности изображения. Кроме того, в случае микроскопа уменьшение апертуры нежелательно еще и потому, что это уменьшает их разрешающую способность. Сферическую аберрацию можно в значительной мере уменьшить, используя комбинацию из нескольких собирающих и рассеивающих линз. Аберрация кома. Часто источник, посылающий на линзу широкий пучок, расположен вне опт. оси. В этом случае каустика не имеет осевой симметрии. Она симм. отн-но меридиональной плоскости и по форме напоминает комету с хвостом. Такой вид погрешности опт. систем называется аберрацией кома. В отличие от сферической аберрации, кома определяется не только сферичностью поверхности линзы, но удаленностью от опт. оси с-мы. Действительно, при наклонном падении широкого пучка на линзу его верхние и нижние лучи преломляются по-разному. В итоге широкий параллельный пучок дает на экране не точечное изображение, а пятно довольно сложной формы. Кома является одной из наиболее существенных аберраций, особенно в микроскопии, где используют широкие пучки. Аберрация кома полностью устраняется при выполнении условия: y1n1sinu1= y2n2sinu2, где y1, y2 - размер предмета и изображения, u1, u2 - апертура лучей падающих на объектив и лучей, форм. изобр. это усл-ие синусов Аббе, может быть получено как следствие физического требования в соответствии, с которым для получения стигматического изобр. необходимо, чтобы опт. длина путей между сопряженными точками предмета и изображения были одинаковыми. Точки, для которых устранена сферическая аберрация и выполнено условие синусов Аббе, наз-ся апланатическими. Получаемые при этом изображения также называются апланатическими. Опт. с-ма может давать апланатическое изобр. только при опр. расст. до предмета и изобр.. Это усл-ие выполняется в микроскопе, где предмет всегда располагается в одной плоскости, находящейся вблизи фокальной плоскости. Причиной хроматической аберрации является явление дисперсии света в веществе, из которого изготовлена линза. Действительно, фокусное расстояние тонкой линзы определяется выражением



Хроматическая аберрация. Ахроматизация линз., продифф.:

или ,

где - отн-ая дисперсия. Если световой пучок, падающий на линзу, является немонохром., то при изменении длины волны величина , т.е. и фокусное расстояние для волн различной длины будет различным. Это приводит к тому, что положение изображения в немонохроматическом свете будет различным, т.е. к хроматической аберрации. Если используются две линзы, сложенные вплотную, то фокусное расстояние такой опт. с-мы будет равно

,

продифференцировав:

,

решив:

Для ахроматизации, т.е. исчезновения хроматической аберрации, необходимо выполнение условия или - Это усл-ие может быть выполнено, только если слагаемые имеют различные знаки.

Поскольку и (линзы работают в области нормальной дисперсии), то для выполнения условия необходимо, чтобы различные знаки имели f1 и f2, т.е. одна линза должна быть собирающей, а другая - рассеивающей. Пусть f1>0, f2<0, Если ахроматический объектив должен обладать положительной опт. силой, т.е. быть собирающим, то необходимо, чтобы , и . ТО, ахроматической объектив можно изготовить из двух линз, сложенных вплотную: собирающей и рассеивающей, если он должен иметь (+) опт. силу, то первую линзу необходимо изготовить из материала, обладающего большей отн-ой дисперсией. Если фокусное расст. ахроматического объектива известно, то можно определить f1 и f2:

, .

Значения f1 и f2 достигаются подбором радиусов кривизны сферических пов-тей линз . Опт. с-мы, у которых устранена хроматическая аберрация, наз-ся ахроматизироваными. Следует заметить, что полностью устранить хроматическую аберрацию невозможно. Обычно ее устраняют для какой-либо опр. спектральной обл. В приборах, предназначенных для визуальных наблюдений, это обычно желто-зеленая область. Хроматическая аберрация является крайне нежелательной в микроскопах. Поэтому их составные части являются ахроматизироваными. Объективы, у которых ахроматизация выполнена для двух цветов спектра называют ахроматами. Однако во многих случаях, которые имеют место в микроскопии, такой ахроматизации недостаточно. Аббе определил условия, при которых достигается ахроматизация объективов для трех длин волн. Такие объективы наз-ся апохроматами. Апохроматы широко используются в опт. микроскопах. Астигматизм наклонных пучков и кривизна поля. Даже узкие пучки утрачивают гомоцентричность при прохождении через опт. с-му, если они составляют с опт. осью значительные углы. Для того, чтобы наглядно представить характер искажений, возникающих в этом случае, введем несколько опр. Плоскость, проходящую через опт. ось с-мы и центральный луч падающего пучка, наз-ся меридианальной. Часто эта плоскость совмещается с плоскостью рисунка. Плоскость, перпенд. меридианальной плоскости и также содержащая центральный луч, наз-ся саггитальной. Рассм. гомоцентрический узкий пучок света, исходящий из точки А и падающий на опт. с-му под углом к ее гл. опт. оси. Пусть mm и ss - сечения линзы меридианальной и саггитальной плоскостью соответственно. Вследствие различия радиусов кривизны преломляющих пов-ей в этих взаимно перпенд. сечениях, волновая пов-ть пучка после преломления будет не сферической. Меридианальные лучи пересекаться на фокальной линии Рm, расположенной в саггитальной плоскости, саггитальные лучи на линии Рs, расположенной в меридианальной плоскости. Расстояние между этими линиями, которое мы опр-ли как астигматическая разность, быстро возрастает с увеличением угла между пучком и опт. осью. Такой вид аберрации наз-ся астигматизмом. Астигматизм приводит к искривлению поля изобр., т.е. изобр. даже плоской фигуры оказывается не совсем резким на плоскости. Астигматизм крайне нежелателен для фотообъективов, которые должны давать резкие изобр. на плоскости пленки и светочувствительной матрицы. Комбинируя линзы с различным радиусом кривизны пов-ти и фокусными расст., можно приблизительно совместить меридианальные и саггитальные фокальные линии, сделав их практически прямыми. Опт. с-мы, у которых исправлена аберрация астигматизма, называются анастигматами.

Разрешающая способность опт. Приборов

Оптическая с-ма, лишенная аберраций, в соответствии с законами геометрической оптики должна давать стигматическое изображение, т.е. каждая точка предмета изображается в пространстве изображений в виде точки. В действительности это не так. На сравнимых с длиной волны расстояниях от точки схождения лучей кривизна волновых поверхностей становится значительной, и законы геометрической оптики не выполняются. Создаваемое системой изображение представляет дифракционную картину. В границах центрального максимума, (диска Эйри), сосредоточено 86% интенсивности, поэтому его можно считать изображением точечного источника, создаваемой опт. системой. Таким образом, явление дифракции ограничивает предел разрешения, т.е. возможность раздельного наблюдения мелких объектов и устанавливает предел увеличения опт. приборов. Угловой размер центрального максимума ?1?в случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии определяется условием

,

где r - радиус апертуры. В случае очень большого расстояния звезды можно рассматривать как точечные источники, несмотря на их огромные размеры. Изображение звезды можно рассматривать как дифракционную картину, которая создается оправой объектива. Как и в случае двух узких спектральных линий мы можем условно использовать критерий Релея в следующем виде: два точечных некогерентных источника считаются разделенными, когда центр дифракционной картины от одного из них совпадает с ближайшим к центру максимумом картины от другого. Пусть угловое расстояние между точечными источниками 1 и 2 равно , Со сказанного понятно, что они будут наблюдаться раздельно, когда

.

Разрешающая способность телескопа есть величина

.

Линейное расстояние между дифракционными центрами будет равно

.

Разрешающая способность микроскопа. Рассм. случай, когда световой пучок от удаленного источника ограничен оправой объектива. Получающееся в центре светлое пятно будет являться дифракционным изображением точечного источника. Поскольку микроскоп предназначен для рассматривания мелких объектов, то его обычно характеризуют не угловой характеристикой, а минимальным расстоянием между двумя точками y0, при котором они еще будут различимыми в данный прибор. При определении разрешающей способности микроскопа необходимо учитывать два обстоятельства. Во-первых, в виду того, что предмет находится очень близко от объектива, световую волну, создающую изображение, нельзя считать плоской. Во-вторых, необходимо учитывать когерентность света. В случае, если два рассматриваемые объекты являются самосветящимися, то его излучение будет некогерентным. При рассм. предметов, освещаемых внешним излучением, регистрируемый свет будет частично когерентным, поскольку ширина и длина когерентности значительно превосходят размеры рассматриваемых предметов. Пусть две точки А и В некоторого объекта являются самосветящимися, т.е. некогерентными. Тогда каждая из точек вследствие дифракции будет создавать свое изображение в виде светлых кружков. В соответствии с критерием Рэлея эти две точки будут разрешаемыми, если центры дифракционных максимумов будут на расстоянии y1, не меньшем радиуса первого темного кольца.

Радиус этого кольца r1 можно определить из условия

где MN - расстояние от апертурной диафрагмы до плоскости изображения,

,

т.к. угол - малый, то

.

Для устранения аберрации кома, необходимо выполнение условия синусов:

,

изображение в воздухе:

.

где u1 - апертура пучка, попадающего на объектив. Обычно под разрешающей силой микроскопа понимают величину Y, обратную y1. Числовая апертура:

Ограничение световых пучков в опт. с-мах. Глубина резкости

Для получения удовлетворительной резкости в опт. системе необходимо использовать пучки ограниченной ширины. Это обусловлено двумя причинами: 1) параксиальное приближение предполагает, что сечение пучка, участвующего в создании изображения, является малым, малыми должны быть также и углы, образуемые лучами с опт. осью; 2) идеальная центрированная оптическая с-ма, лишенная аберраций, дает отчетливое изображение на некоторой плоскости ОП2 только тех точек предмета, которые лежат в сопряженной с ней плоскостью ОП1 (точка А). Положение ОП1 и ОП2 относительно гл. опт. оси, при котором изображение является стигматическим, определяется выражением

.

Когда точка не лежит в плоскости ОП1 (точка В), то на сопряженной с ней плоскости ОП2 она будет отображаться в виде некоторого пятна (кружка рассеивания). Размер кружка будет зависеть от расстояния от точки В до сопряженной плоскости и от угловой ширины пучка, который создает изображение. Ширина пучка может быть ограничена с помощью диафрагмы D или оправой линзы L. Для получения удовлетворительного качества изображения размер кружка не должен превышать некоторого значения, которое определяется разрешающей способностью глаза. Максимальное расстояние между точками в пространстве предметов, которые отображаются с нормальной резкостью в плоскости пространства изображений, называется глубиной резкости. Понятно, что с уменьшением диафрагмы глубина резкости увеличивается. Однако, это приводит к уменьшению яркости изображения тех точек, на которые сфокусирована оптическая с-ма, т.е. точек, находящихся на ОП1. Ограничение пучков осуществляется по-разному для лучей, которые идут с разных точек предмета. Для точек, расположенных на опт. оси, ограничение пучков (диафрагмирование) осуществляется апертурной диафрагмой, входным и выходным зрачками. Апертурной называется диафрагма, которая осуществляет максимальное ограничение пучка, создаваемого источником, находящимся на опт. оси с-мы (диафрагма DD'). Если бы оправа линзы L1 закрывала кольцевые зоны и , то апертурной диафрагмой по-прежнему была бы диафрагма DD'. Но если оправа линзы будет закрывать области и , то апертурной диафрагмой будет уже диафрагма , а не . Входным зрачком называется изображение апертурной диафрагмы (В1В2) которое создается опт. системой, находящейся перед ней. Когда апертурная диафрагма находится перед первой линзой или создана ее оправой, то входной зрачок совпадает с апертурной диафрагмой. Выходным зрачком называется изображение апертурной диафрагмы, которое изображается той частью опт. с-мы, которая находится после апертурной диафрагмы (Е1Е2). Можно сказать, что выходной зрачок есть изображение входного, созданное всей опт. системой. Лучи от точек предмета, которые не лежат на опт. оси могут частично или целиком останавливаться на своем пути элементами опт. с-мы. Вследствие этого освещенность соответствующих точек изображения уменьшается. Такое явление называется виньетованием.

Отражение и преломление ЭМ волн на границе раздела двух сред

Для сплошных сред в предположении, что на их границах раздела нет свободных зарядов и токов проводимости, должны быть непрерывны тангенциальные составляющие векторов Е и Н и нормальные составляющие D и B: , , , Эти условия являются следствиями макроскопических уравнении Максвелла в интегральной форме. Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны через границу раздела двух сред с показателями преломления n1 и n2. На границе раздела волна частично преломляется, частично отражается. Обозначим индексами 0 1 2 соответственно величины, которые описывают волну падающую, отраженную и преломленную

, , .

Волновые числа определяются условиями:

, , ,

где v0…2 - скорости волн соответственно падающей, отражённой и преломленной. Очевидно:

,

- где с скорость света в вакууме, n1 и n2 абсолютные показатели преломления первой и второй среды соответственно. граничные условия можно записать:

- выполняться при любых t и r только при условии, что

(*) и .

Из (*)частота ЭМ волны при отражении/преломлении const. выбирается произвольно, поэтому возьмём, т.е. , тогда

Последнее означает, что и также перпендикулярны . Это возможно только при условии, что лежат в одной плоскости -- плоскости падения. (Плоскостью падения называют плоскость, проходящую через падающий луч и нормаль к границе раздела, проведенную в точку падения луча. Расположим вдоль оси x. Тогда

,

- ед. вектор, напр. вдоль x. Перепишем

(#):,,,

тогда

или , т.е и

или ,

где - относительный показатель преломления второй среды

.

Последние равенства - з-н отражения/преломления света. ТО, луч падающий, отраженный и преломленный и нормаль к границе раздела двух сред проведённая в точку падения луча, лежат в одной плоскости, называемой плоскостью падения. Нормальное падение: При нормальном падении волн на границу раздела

.

Формулы Френеля:

, .

Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

З-н Брюстера

Случай, когда . - з-н отражения или - з-н Брюстера. При падении естественного света под углом Брюстера отраженный свет будет полностью поляризован. Его плоскость поляризации будет перпендикулярна плоскости падения. Это явление - следствие формул Френеля.

Фазовая и групповая скорость

Показатель преломления света в волновой теории света определяется как

где v1 - скорость распространения света в 1ой среде,…. Для воды таким методом было получено значение c/v=1.33 - правильно, для сероуглерода же получилась большая погрешность, это объяснил позже Рэлей. В формуле для n имеется в виду фазовая скорость волн - величина, которая вводится только для монохроматических волн (которых не существует). В действительности имеется более или менее сложный импульс ограниченный во времени и в пространстве. Импульс можно представить как совокупность монохроматических волн. За скорость импульса можно взять какую-нить точку импульса, например точку max напряжённости эл. поля. Возникает проблема: любая среда (кроме вакуума) имеет дисперсию соответственно импульс начнёт деформироваться и его скорость (групповая скорость) будет отличаться от фазовой скорости любой из составляющих его волн. Представим импульс как совокупность двух близких по частоте синусоид с одинаковой амплитудой:

, ,

где , - частоты мало отличаются;

, ,

где , - малые.

Импульс это сумма:

обозначим

и

- переменная амплитуда, но меняется медленно. Выделим на импульсе какую-нить точку с max A, определим скорость перемещения этой точки, которая будет характеризовать групповую скорость. Запишем условие постоянства амплитуды

или .

Дифф.

или .

Тогда монохр. Волна хар-ется фазовой скоростью

- скорость перемещения фазы, а импульс - групповой скоростью

- скорость энергии для этого импульса. Связь между u и v:

, ,

тогда

,

окончательно

- формула Рэлея,

если - нормальная дисперсия: u<v else else.

Естественный и поляризованный свет

З-н Малюса. Явление двулучепреломления. Если направить пучок света на достаточно толстый кристалл исландского шпата, то он дает два пространственно разделенных луча. Даже если угол падения равен нулю. В таком случае при вращении кристалла вокруг луча один из преломленных лучей остается неподвижным, а второй будет обходить вокруг первого. Первый луч называют обыкновенным (о), второй необыкновенным (е). Показатели преломления n0 ne различны. для обыкновенного луча показатель преломления является величиной постоянной и не зависит от угла падения. для необыкновенного луча он зависит от направления распространения, т.е. является некоторой функцией угла падения. В кристалле исландского шпата имеется направление, при распространении вдоль которого свет не испытывает двулучепреломление. Это направление называется оптической осью кристалла. В данном кристалле это направление, соединяющее два противоположных тупых угла. Любое направление параллельное главной оптической оси называется главной плоскостью кристалла или главным сечением. Оба луча, возникающие в кристалле, поляризованы в двух взаимноперпендикулярных направлениях: колебания вектора Е в обыкновенном луче перпендикулярны к главной плоскости; в необыкновенном луче колебания Е расположены в главной плоскости. Кроме одноосных имеются имеются и двуосные кристаллы. Для них характерны два направления, вдоль которых не наблюдается двулучепреломление, т.е. две оптические оси. Для двухосных кристаллов ни один из лучей не может быть отнесен к обыкновенному или необыкновенному. Прохождение света через поляризатор. Закон Малюса. Линейно поляризованный свет получают с помощью специальных устройств, называемых поляризаторами. С помощью поляризаторов можно также изучать, является ли данное излучение линейно поляризованным или нет (анализатором). Наибольшее распространение получили поляризационные призмы (призмы Николя, Глана и др.) и поляризационные пленки. Призма Николя (николь) изготавливается из исландского шпата. Кристаллы вырезают относительно оптической оси так и склеивают канадским бальзамом по поверхности. Коэфф. преломления канадского бальзама имеет числовое значение, заключенное между коэфф. преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. При соответствующем выборе угла падения необыкновенный луч проходит через призму, а обыкновенный луч на поверхности склейки испытывает полное внутреннее отражение и выводится из призмы. Рассм. прохождение линейно поляризованного света через поляризатор. Пусть плоскость поляризации падающего света, имеющего амплитуду Е0, составляет угол ? с плоскостью анализатора А. В этом случае амплитуда прошедшей через поляризатор волны будет равна проекции Е0 на плоскость поляризатора, т.е. Е0соs?. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность прошедшей волны I будет равна

- p-y Малюса, где I0 интенсивность падающего на поляризатор линейно поляризованного света.

Описание анизотропных сред

Тензор диэлектрических проницаемостей. Эллипсоид Френеля для фазовых скоростей. Оптические оси. В анизотропных диэлектриках электрические свойства зависят от направления, в котором распространяются волны. Связь и - более сложная

,

где - тензор

Если диэлектрическая среда является непоглощающей, не обладает пространственной дисперсией (В зависит только от Е и не зависит от ее производных по координатам), то симм. тензор:

.

Симм. тензор может быть приведен к диагональному виду. Т.е. всегда можно найти такую систему координат, в которой все недиагональные элементы =0:

и , , .

Направления Х,Y,Z - главные, а величины - главные (диагональными) проницаемости. В общем случае - не равны друг другу, т.е. и не коллинеарны. Обычно выбирают такие направления Х,Y,Z чтобы выполнялось соотношение . В выбранной системе координат: - ур-е эллипсоида Френеля. Эллипсоид имеет два круговых сечения. Направления перпендикулярные к этим сечениям наз-ся опт. осями кристаллов. На рис1. опт. осями являются направления и . Если , то эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, который имеет только одно круговое сечение. Т.е. эллипсоид будет одноосным рис2.

Плоские монохроматические волны в анизотропной среде

Уравнение Френеля для фазовых скоростей. Поверхность нормалей и поверхность лучей. Рассм. ур-ия Максвелла для анизотропных сред, приняв объемную плотность св. зарядов а также плотн. токов проводимости =0, среда не обладает магнитной анизотропией. Т.е.

,

где - скаляр. В операторном виде:

, , , (*).

Отсюда можно получить волновые ур-ия для Е, D, В, решением которых будут уравнения плоских бегущих монохроматических волн:

, , .

Опр. структуру и свойства монохром. бегущих волн в анизотропной среде. Подставим записанные равенства в (*):

,,

где - ед. вектор нормали к волновой пов-ти:

.

Из системы можно заключить:

.

Структура на рисунке. Плоскость фронта волны, распространяющейся вдоль - плоскость DB. EB повёрнута на угол относительно DB. Нормаль к EB определяет направление вектора

- направление распространения энергии (лучевой вектор).

,

где - ур-ие Френеля для фазовых скоростей. Ещё св-во: две волны, распростр. в изотропной среде в одном направлении с различными скоростями имеют ортогональную поляризацию. Световая энергия переносится вдоль направления, определяемого вектором Умова-Пойнтинга. Поскольку для различно поляризованных волн эти направления различны, то и направления распространения энергии тоже будут различными. Это приводит к появлению в среде двух лучей, те. к двойному лучепреломлению. Рассмотрим распространение волн в кристалле. Пусть точечный источник находится в некоторой точке О, совпадающей с началом декартовой системы координат ХУZ. Из точки О будут распространяться две волны, имеющие ортогональную поляризацию и различную фазовую скорость. Положение фронта каждой волны через некоторый промежуток времени будет определяться ее фазовой скоростью в данном направлении. Если из точки О отложить по всем направлениям радиус-вектор, равный фазовой скорости, и провести через его концы поверхность, то мы получим поверхность нормалей. В анизотропном кристалле таких поверхностей будет две. Пересечение радиус-вектора с поверхностями даст значение фазовой скорости каждой волны в данном направлении v1 и v2.

Оптические свойства одноосных кристаллов. Обыкновенный и необыкновенный лучи

Опт. св-ва одноосных кристаллов описывается просто. К одноосным оптическим кристаллам относятся кристаллы, которые имеют тетрагональную, гексагональную и ромбоэдрическую кристаллические решётки. для кристаллов, имеющих кубическую решетку,

,

т.е. они являются опт. изотропными. В случае одноосного кристалла векторы Е и В можно разложить на составляющие: вдоль оптической оси и и составляющей перпендикулярно оптической оси и :

, ,

тогда и ,

где и - продольная и поперечная диэлектрические проницаемости. Два случая: 1. Вектор D перпендикулярен гл. сечению кристалла. Тогда Е также перпендикулярен плоскости гл. сечения, и можно записать:

, ,

тогда .

Из ур-ий Максвелла:

, , ,

откуда .

Поскольку , то .

Обозначим фазовую скорость волны

.

Поскольку в нашем случае величины ? и k - вещественные и постоянные, то

,

где Полученный результат показывает, что скорость волны, поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоскости падения (s-поляризация), не зависит от направления ее распространения. Такая волна называется обыкновенной. Величина n0 - показатель преломления света для обыкновенной волны - не зависит от направления ее распространения в кристалле. 2. Вектор D лежит в плоскости гл. сечения. В этом случае вектор Е тоже лежит в плоскости гл. сечения. Представим вектор Е в виде суммы

,

где - составляющая вектора E вдоль D, EN - проекция на нормаль к оптической оси. Тогда можно записать

или ,

после преобразований окончательно

, .

Фазовая скорость:

,

показывает, что скорость зависит от направления распространения волны. По этой причине волну, электрический вектор которой плоскости главного сечения, называют необыкновенной. Когда

, то , .

Если необыкновенная волна распространяется вдоль опт. оси, ее скорость будет равна скорости распространения обыкновенной волны. Когда волна распространяется перпендикулярно опт. оси и , скорость распространения:

,

где - скорость необыкновенной волны вдоль направления, перпендикулярного оптической оси кристалла. Можно также ввести соответствующие показатели преломления

,

Построения Гюйгенса для различных случаев преломления лучей на поверхности кристаллов. Поляризационные приспособления. Поляроиды

Рассмотрим некоторые случаи преломления света в одноосных кристаллах. Для этого будем пользоваться построением Гюйгенса. Поверхности, используемые в этом построении, есть лучевые поверхности, поскольку по правилу Гюйгенса для получения фронта плоской волны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюйгенса, а фронт волны касателен именно к лучевой поверхности. Построение Гюйгенса для изотропных сред приведено на рис.1.