Размещено на http://www.allbest.ru/

9. Метод допускаемых напряжений

Расчет на прочность ведут различными методами. Одним из основных является метод допускаемых напряжений.

Условие прочности по этому методу имеет вид

где [] - допускаемое напряжение, которое определяют, используя опасные (предельные) напряжения для данного материала.

Для пластичных материалов опасным является предел текучести _т, тогда

где n_т - коэффициент запаса.

n_т=1,4…2,5 (для пластичных материалов)

Для хрупких материалов опасным напряжением является предел прочности _в, то

где n_в=2,5…5 (хрупкие)

Пластичные Хрупкие

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя условие прочности, можно определять работоспособность конструкции по напряжению

Если внешние нагрузки известны, то из условия прочности можно определить площадь поперечного сечения (проектировочная задача).

где [F]-допускаемая площадь

Если известна площадь поперечного сечения F и заданы допускаемые напряжения [], то можно определить допускаемую нагрузку

где [P]-допускаемая нагрузка.

25 39. Кручение. Касательные напряжения в поперечном сечении круглых стержней. Вывод

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кручение - это вид деформации, при которой в поперечном сечении возникают крутящие моменты. В результате действия внешних скручивающих моментов одно поперечное сечение стремится повернуться относительно другого на некоторый угол ц.

ц - угол закручивания.

Угол г - характеризует деформацию сдвига элемента АВСD.

Очевидно, для элемента с радиусом с:

Выразим крутящий момент поперечного сечения через касательное напряжение.

кручение стержень инерция напряжение сечение



где - полярный момент инерции поперечного сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для круглого сечения

Получим выражение

Интегрируя, получаем угол поворота произвольного сечения Z.

где l - длина стержня, подвергнутого деформации кручения.

В случае, когда М_к=соnst и ц₀=0, получаем

Учитывая, что

, то

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полярный момент инерции и момент сопротивления в случае некруглого поперечного сечения определяются по следующим формулам: для прямоугольного сечения J_o=J_p=вbh³, где в - коэффициент, определяемый по таблице по соотношению b/h; при b=h в=0,141;

Условие прочности при кручении имеет вид



Wp - полярный момент сопротивления.

Условие жесткости

где и - относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания на единицу длины, т.е. расчеты стержней, работающих на кручение, можно выполнять, используя условие прочности или условия жесткости в зависимости от технических требований к конструкции.

13 Главные напряжения. Проверка прочности по главным напряжениям (полная проверка прочности балки при изгибе)

Главными площадками называют площадки в твердом теле, на которой касательное напряжение равно нулю, нормальное напряжение принимает экстремальные значение. Такие нормальные напряжения называются главными.

Определим напряжение главных площадок, используя уравнение (1).

(*)



где б₀ определяет положение главной площадки.

Из выражения (3) можно определить два значения б₀, отличающихся на 90⁰, которую определяют положение двух взаимно перпендикулярных главных площадок.

Проанализируем (*).

Это выражение подтверждает, что касательное напряжение на главных площадках равно нулю.

Далее преобразовывая выражение (1) и (2) можно получить формулу для экстремальных, т.е. главных нормальных напряжений на главных площадках

То есть у₁>у₂ всегда, это и есть главные напряжения.

Из выражения (2) можно определить площадки, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения.

Для этого необходимо



где углы б₁ отличаются на 90⁰, определяют положение площадок с экстремальными касательными напряжениями. Очевидно, что в общем случае площадки с экстремальными касательными напряжениями не совпадают с главными площадками.

15 Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского Д.И

Формула нормальных напряжений получена при условии чистого изгиба.

В случае поперечного изгиба необходимо учитывать напряжения, возникающие в поперечном сечении.

При воздействии сосредоточенной силы Р имеем случай поперечного изгиба, так как в поперечных сечениях возникает сила Q.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При поперечном изгибе касательные напряжения характеризуют деформацию сдвигов горизонтальных волокон относительно друг друга, что может вызвать искривление поперечного сечения, допуская, что эти искривления незначительны, используем гипотезу плоского сечения. Также принимаем, что касательные напряжения по ширине сечения для заданной координаты Y одинаковые.

Касательные напряжения по направлению совпадают с поперечной силой Q.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Составим уравнения равновесия элемента dz:

?Z_К = 0 -N₁+N₂-dT = 0

где N₁ и N₂ - равнодействующие от нормальных напряжений на площадке F₁ и F₂ .

т.е.

Соответственно:

:

dT- элементарная равнодействующая касательных напряжений на горизонтальной площадке площадью bdz.

Следовательно

Преобразуем это уравнение, предполагая, что:

F₁ = F₂ =F ; где F- площадь части сечения отсеченной координатой Y

Статический момент части площади поперечного сечения, отсеченной координатой Y относительно оси X

Учитывая, что , окончательно получаем

Это формула Журавского для определения касательного напряжения при поперечном изгибе.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При выводе формулы принято, что касательное напряжение ф ф = ф_Y совпадает по направлению с поперечной силой, т.е. знак касательного напряжения определяется знаком поперечной силы.

Подставляя полученное значение статического момента S_Х (Y) в формулу Журавского получаем, что

Касательные напряжения по высоте поперечного сечения при изгибе балки изменяется по закону параболы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При ; следует:

Знак касательного напряжения определяется законом поперечной силы Q.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для сравнения построим эпюру касательных напряжений при срезе (при деформации сдвига). При одной и той же величине поперечной силы Q касательное напряжение ф_max при изгибе в 1,5 раза больше ф (касательное напряжение) при сдвиге.

22 Условия жесткости при кручении стержней круглого сечения

Кручение - это вид деформации, при которой в поперечном сечении возникают крутящие моменты. В результате действия внешних скручивающих моментов одно поперечное сечение стремится повернуться относительно другого на некоторый угол ц.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ц - угол закручивания.

Угол г - характеризует деформацию сдвига элемента АВСD.

Очевидно, для элемента с радиусом с:

Выразим крутящий момент поперечного сечения через касательное напряжение



где - полярный момент инерции поперечного сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для круглого сечения

Получим выражение

Интегрируя, получаем угол поворота произвольного сечения Z.

где l - длина стержня, подвергнутого деформации кручения.

В случае, когда М_к=соnst и ц₀=0, получаем

Учитывая, что , то

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полярный момент инерции и момент сопротивления в случае некруглого поперечного сечения определяются по следующим формулам: для прямоугольного сечения J_o=J_p=вbh³, где в - коэффициент, определяемый по таблице по соотношению b/h; при b=h в=0,141;

Условие прочности при кручении имеет вид

Wp - полярный момент сопротивления

Условие жесткости

где и - относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания на единицу длины, т.е. расчеты стержней, работающих на кручение, можно выполнять, используя условие прочности или условия жесткости в зависимости от технических требований к конструкции.

10 Статически неопределимые системы. Уравнения совместности деформаций при растяжении, сжатии стержня

Статически неопределимой является задача, в которой число неизвестных превышает число уравнений равновесия статики.

Для решения таких задач необходимо составить дополнительные уравнения.

Пусть n - число неизвестных,

m - число уравнений статики

(n-m) раз статически неопределимая задача

Например

Размещено на http://www.allbest.ru/

Стержень закреплен жестко на концах и находится под действием силы Р. Две неизвестные реакции R_A и R_В направляем, считая, что стержень работает на растяжение.

Статика дает одно уравнение равновесия:

_к

R_B-P-R_A=0

Задача один раз статически неопределима

Составляем еще одно уравнение из условия жесткого закрепления стержня на концах l=0:

а + b=0 - называется уравнение совместности деформаций (суммарная деформация участков равна 0).

где F-площадь поперечного сечения

Два уравнения с двумя неизвестными



16. Условие прочности и жёсткости при изгибе

Расчёт на прочность при изгибе. Теории прочности.

При расчете на прочность используют несколько теорий прочности и методов расчёта.

Обычно используют первую, третью, четвёртую теории прочности.

По первой теории прочности расчёт ведут по допускаемым напряжениям.

Для одноосного состояния:

у_max [у]

Для плоского напряженного состояния в первой теории прочности учитывается касательное напряжение.

По третьей и четвёртой теориям прочности используют понятие эквивалентного напряжения.

По третьей теории:

По четвёртой теории:

Главные напряжения. Проверка прочности по главным напряжениям (полная проверка прочности балки при изгибе)

Главными площадками называют площадки в твердом теле, на которой касательное напряжение равно нулю, нормальное напряжение принимает экстремальные значение. Такие нормальные напряжения называются главными.

Определим напряжение главных площадок, используя уравнение (1).

(*)

где б₀ определяет положение главной площадки.

Из выражения (3) можно определить два значения б₀, отличающихся на 90⁰ , которую определяют положение двух взаимно перпендикулярных главных площадок.

Проанализируем (*).

Это выражение подтверждает, что касательное напряжение на главных площадках равно нулю.

Далее преобразовывая выражение (1) и (2) можно получить формулу для экстремальных, т.е. главных нормальных напряжений на главных площадках



То есть у₁>у₂ всегда, это и есть главные напряжения.

Из выражения (2) можно определить площадки, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения.

Для этого необходимо:

где углы б₁ отличаются на 90⁰, определяют положение площадок с экстремальными касательными напряжениями. Очевидно, что в общем случае площадки с экстремальными касательными напряжениями не совпадают с главными площадками.

20. 1 Классификация сил и расчётные схемы тел. Метод сечений

22. Внутренние усилия. Метод сечения

Внешние силовые факторы ,воздействующие на тело ,могут быть сосредоточенными ,то есть приложенными в точке ,или распределёнными по поверхности тела или его объёму .Внешние нагрузки могут быть статическими ,динамическими, постоянно действующими или временно.

Единицы измерения

= -сосредоточенные силы;

-погонная распределённая нагрузка;

-поверхностная нагрузка;

-объём силы.

Для решения задач в С. вводят упрощённые формы тел, удобные для расчётов.

Брус (стержень, балка) - один размер значительно превышает два других размера.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пластина-2 размера значительно превышают третий размер

Размещено на http://www.allbest.ru/

Массивное тело-все три размера одного порядка

Внутренние силовые факторы. Метод сечений

При воздействии на тело внешних нагрузок, в теле возникают внутренние силы ,которые в соответствии с допущениями по сплошности тела непрерывно распределены по объёму тела.

В сопротивлении материалов все задачи связаны с определением величины и распределения внутренних сил.

Для выполнения таких расчётов используют метод сечений.

По методу сечений тело условно разделяют на две части и рассматривают равновесие каждой части отдельно.

При этом к системе внешних сил присоединяют внутренние силы ,возникающие в сечении.

Рассекаем балку поперечным сечением 1-1 и рассматриваем равновесие одной из её частей.

Внутренние силы, возникающие в сечении, в общем случае являются произвольной пространственной системой сил, которую по основной теореме статики можно свести к эквивалентной системе трёх сил: силе, равной главному вектору, и паре сил с моментом, равным главному моменту.

Главный вектор R равен сумме внутренних сил ,возникающих в сечении.

N-продольная составляющая внутренних сил, направленная по продольной оси балки (или бруса).

Q - Поперечная составляющая внутренних сил, расположенная в плоскости сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Главный момент внутренних сил раскладываем на три составляющих:

M_x , M_y , M_z.

М_x возникает при изгибе балки в пл.Oyz.

M_y возникает при изгибе балки в пл.Oxz.

M_z возникает при скручивании балки относительно оси z.

N-продольная сила.

Q-поперечная сила.

М_x ,М_y -изгибающие моменты.

М_z -крутящий момент(в коленвалах).

2. Напряжения

Внутренние силы, как уже указывалось, распределены по сечению тела (в частности, бруса) сплошь, при этом в общем случае их значение и направление в отдельных точках сечения различны. Для суждения об интенсивности внутренних сил в определенной точке данного сечения введено понятие о напряжении.

Выделим в окрестности интересующей нас точки сечения малую площадку, площадью; допустим, что на этой площадке возникает внутренняя сила (рис. 1.25). Отношение этой внутренней силы к площади выделенной площадки называется средним напряжением р, в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению (на площадке ):

Чем точнее нужно знать интенсивность внутренних сил в данной точке сечения, тем меньше должна быть выделенная площадка.

В пределе при стремлении к нулю получим истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения:

Заметим, что при уменьшении площадки («стягивании» ее в точку) также стремится к нулю, но из физических соображений очевидно, что рассматриваемое отношение будет величиной конечной.

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению есть величина векторная (вектор АИ делим на скаляр ЛА); направление этого вектора совпадает с предельным направлением вектора ЬЯ, которое он имеет при уменьшении ЬА до нуля».

В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы напряжения принят Паскаль (Па).

Паскаль -- это напряжение, при котором на площадке в 1 м~ возникает внутренняя сила, равная 1 Н, но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица -- мегапаскаль, 1 МПа = 10' Па.

Через данную точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, различно ориентированных в пространстве, и, конечно, в общем случае возникающие на них напряжения будут различны. Поэтому нельзя говорить о напряжении в данной точке, не указывая площадки (сечения), на которой это напряжение возникает.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну -- направленную по нормали к сечению, вторую -- лежащую в плоскости сечения (рис. 1.26). Составляющую напряжения, направленную по нормали к площадке ее действия, назовем нормальным напряжением и обозначим а (сигма), а составляющую, лежащую в плоскости сечения, -- касательным напряжением и обозначим (тау). Между напряжениями р, а и т существует следующая очевидная зависимость:

Такое разложение полного напряжения имеет определенный физический смысл. Действительно, нормальное напряжение возникает тогда, когда частицы материала, соприкасающиеся по рассматриваемой площадке, под действием приложенных к телу нагрузок стремятся отдалиться друг от друга или сблизиться в направлении нормали к этой площадке, т. е. при растяжении или сжатии. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.

В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не на две, а на три составляющие, направленные параллельно координатным осям. На рис. 1.27 показано это разложение применительно к точке, взятой в поперечном сечении бруса.

Для этих составляющих принято следующее правило индексов: первый индекс указывает, какой оси ~ параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение. Согласно этому правилу, нормальное напряжение должно было бы иметь два одинаковых индекса (в нашем случае ), но принято писать лишь один из них. В тех случаях, когда нужно указать, что речь идет о касательном напряжении, возникающем в поперечном сечении бруса, а направление напряжения не играет роли, его можно обозначать т„опуская второй индекс. Часто применяют также обозначение т (без индексов).

Зависимость между полным напряжением и тремя его составляющими выражается формулой

Установим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса.

Умножая напряжения а„т,„и т,„на площадь dA площадки

их действия, получаем элементарные внутренние силы (рис. 1.28):

Суммируя эти элементарные силы по всей площади сечения, получаем выражения составляющих главного вектора внутренних сил:

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, получаем элементарные моменты внутренних сил:

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

Обращаем внимание, что выражения (1.6) -- (1.11) не служат для вычисления внутренних силовых факторов; значения последних определяют с помощью метода сечений, как указано в р 1.4. Эти выражения можно рассматривать как записанные с помощью математических символов определения, выражающие физическую сущность внутренних силовых факторов. В дальнейшем эти выражения будут использованы при определении напряжений по известным внутренним силовым факторам.

Итак, от внешних сил с помощью метода сечений к внутренним силовым факторам, от них на основе интегральных зависимостей и дополнительных гипотез к напряжениям -- таков в общих чертах план решения основной задачи сопротивления материалов об определении напряжений, возникающих в поперечных сечениях бруса при различных видах его нагружения.

Деформации и перемещения

Рассмотренный в предыдущем параграфе вопрос об определении нормальных напряжений теснейшим образом связан с расчетами бруса и шарнирно-стержневых систем (например, ферм) на прочность. Умение вычислять деформации и перемещения необходимо для расчетов на жесткость, а также для определения сил в статически неопределимых системах.

Выделим из бруса, изображенного на рис. 2.11,а, бесконечно малый элемент длиной dz.

Этот элемент отдельно изображен (в двух проекциях) на рис. 2.11, б; штриховыми линиями он показан в деформированном состоянии -- длина элемента увеличилась, а размеры поперечного сечения уменьшились. Приращение длины элемента обозначим h(dz). Отношение приращения (изменения) длины элемента к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией:

а = Ь(dz)/dz

Очевидно, продольная деформация -- безразмерная величина. В некоторых случаях ее выражают в процентах. При рас; тяжении продольную деформацию считают положительной, а при сжатии -- отрицательной.

Отношение изменения Ьа размера поперечного сечения к его первоначальному значению называют относительным поперечным сужением (расширением) или поперечной деформацией.

При растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются и е по принятому правилу знаков -- величина отрицательная.

Продольную и поперечную деформации называют также линейными деформациями (общее наименование).

Для подавляющего большинства конструкционных материалов с достаточной для практики точностью можно считать, что в известных пределах нагружения между продольной деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) нормальным напряжением существует прямо пропорциональная (линейная) зависимость. Это положение носит название закона Гука и записывается в виде

Коэффициент пропорциональности Е называют модулем продольной упругости (другие названия: модуль нормальной упругости; модуль упругости; модуль упругости 1-ro рода; модуль Юнга). Очевидно, Е имеет ту же размерность, что и напряжение, т. е. выражается в Па или МПа.

Модуль продольной упругости -- физическая постоянная данного материала, характеризующая его жесткость. Чем жестче материал, тем меньше он деформируется при данном напряжении. На рис. 2.12 дано графическое представление закона Гука для двух материалов, имеющих различные модули продольной упругости.

Пусть по оси ординат графика принят масштаб т (Па/мм), а по оси абсцисс -- т. (1/мм).

Значение модуля продольной упругости найдем из выражения (2.4): или по графику т. е. модуль упругости Е прямо пропорционален тангенсу угла наклона к оси абсцисс прямой, т. е. графика, изображающего закон Гука.

Для каждого материала модуль продольной упругости колеблется в узких пределах (табл. 2.1). Например, для стали Е = =(1,9...2,15) 10' МПа. При этом весьма важно иметь в виду, что значение Е для стали практически не зависит от ее химического состава и термической обработки.

Опытным путем установлено, что при простом растяжении или сжатии отношение поперечной деформации к продольной -- величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по абсолютному значению, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Значения коэффициента Пуассона для различных материалов находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2.1).

Минимальное значение коэффициент Пуассона имеет для пробки (и = О); максимальное -- для каучука ( = 0,5). Для большинства металлов и сплавов значение коэффициента Пуассона колеблется в сравнительно узких пределах: от 0,23 до 0,35 (в среднем примерно 0,3).

Перейдем к вопросу об определении изменения длины (удлинения или укорочения) бруса. Из выражения (2.2) имеем -- изменение длины бесконечно малого элемента, а из выражения (2.4) -- закон Гука

Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса, выразим через продольную силу и площадь сечения:

Подставляя значение о в выражение для , получаем

Для определения изменения длины всего бруса (или участка бруса) следует просуммировать значения по всей. длине, т. е. взять интеграл

В наиболее общем случае, когда законы изменения И и А (или одной из этих величин) различны для отдельных участков бруса, при определении Ы интегрирование ведут в пределах каждого из участков, а затем результаты алгебраически суммируют:

В частном случае (см. рис. 2.11,а), когда поперечное сечение бруса или отдельного его участка постоянно и продольная сила во всех сечениях одинакова, из (2.7) получаем

Выражение (2.9) часто называют формулой Гука, а произведение ЕА условно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии).

При практических расчетах иногда удобно ввести понятие жесткости бруса (участка бруса):

Жесткость бруса численно равна силе, вызывающей удлинение (или укорочение) бруса, равное единице длины: 1 м или 1смит.п.

При расчетах в единицах СИ коэффициент жесткости выражают в ньютонах на метр (Н/м).

Величину, обратную коэффициенту жесткости, называют коэффициентом податливости:

Коэффициент податливости численно равен удлинению (укорочению) бруса, вызванному силой, равной единице силы: 1 Н, или 1 кН.

Пользуясь понятием коэффициента жесткости или коэффициента податливости, взамен формулы (2.9) получаем

Дополнительно остановимся на случаях, когда формула (2.9), а также, как следствие, и формулы (2.12), (2.13) применимы лишь к отдельному участку бруса. Такие случаи иллюстрирует рис. 2.13: а -- ступенчатое изменение поперечного сечения; б -- скачкообразное изменение продольной силы; в -- ступенчато-переменное сечение и скачкообразное изменение продольной силы, т. е. комбинация случаев а и б. Изменение длины бруса (удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений (укорочений) отдельных участков:

В случаях когда поперечное сечение бруса или продольная сила или обе эти величины изменяются по его длине непрерывно (рис. 2.14), удлинение (укорочение) бруса следует вычислять по формуле (2.7).

При растяжении (сжатии) бруса его поперечные сечения перемещаются в направлении оси. Перемещения являются следствием деформаций, но эти понятия необходимо строго разграничивать. Например, в случае, представленном на рис. 2.15, деформируется лишь левая часть бруса (участок АВ), а участок ВС перемещается как абсолютно твердое тело. Перемещения всех сечений этого участка одинаковы и равны удлинению части АВ бруса:

Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключенного между этим сечением и заделкой.

Например, для сечения, отстоящего на расстоянии z от заделки (рис. 2.15), где z< a. График = f(z), показывающий перемещения поперечных сечений в функции их расстояния z от неподвижного конца бруса (или сечения, условно принятого за неподвижное), называется эпюрой перемещений (рис. 2.15); стрелкой на эпюре показано направление перемещений.

Взаимное перемещение двух сечений равно изменению длины часты бруса, заключенной между этими сечениями (рис. 2.16).

Остановимся на определении перемещений узлов (шарниров) стержневых систем.

Эти перемещения определяют по известным удлинениям и укорочениям стержней, сходящихся в рассматриваемом узле.

Пусть, например, требуется найти перемещение шарнира А кронштейна, изображенного на рис, 2.17,а.

Вырезая узел А и составляя для него два уравнения равновесия , находим силы в стержнях (рис. 2.17, 6). Очевидно, сила N -- растягивающая, сжимающая. По формуле Гука находим изменения длин стержней.

Для нахождения положения шарнира А после деформации следует мысленно разъединить стержни, отложить по их направлениям величины , и (отрезки AD и АК на рис. 2.17, а) и, вращая стержни вокруг центров В и С, вновь свести их вместе.

Таким образом, положение шарнира А после деформации (точка А,') находится на пересечении дуг, проведенных из центров В и С радиусами

Построение, показанное на рис. 2.17,а, выполнено со значительным нарушением масштабов: отрезки AD и АК, изображающие изменения длин , и стержней примерно равны соответственно и от величин и в то время как фактически упругие удлинения стальных стержней не превышают от их длины.

В силу малости удлинений (укорочений) можно заменить дуговые засечки перпендикулярами, проведенными из точек D и К к направлениям стержней, и считать новым положением шарнира точку А' . Если бы удалось выполнить рассмотренные построения без искажения масштабов (для этого потребовался бы лист бумаги весьма больших размеров -- порядка 2 х 1 м), можно было бы убедиться, что дуговые засечки и перпендикуляры практически сливаются.

Достоинством указанного построения, называемого диаграммой перемещений, является его простота и возможность выполнения в произвольном масштабе, не связанном с масштабом чертежа самой стержневой системы.

Диаграмма перемещений может быть построена отдельно, как показано на рис. 2.17, в; при этом, если построение выполнено в достаточно крупном масштабе, можно не устанавливать аналитической зависимости между и, и перемещением узла А, а, замерив отрезок диаграммы АА и умножив его на масштаб, получить искомое перемещение. На этом же чертеже показаны горизонтальная и вертикальная оставляющие полного перемещения.

3. Геометрические характеристики плоских сечений. статический момент площади сечения. осевые, полярные и центробежные моменты инерции. Площадь сечения. момент сопротивления

При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость используют следующие виды геометрических характеристик:

F - площадь сечения,

S - статический момент инерции,

J- момент инерции сечения,

W - момент сопротивления.

Рассмотрим поперечное сечение

Размещено на http://www.allbest.ru/

С-центр масс

, [F]=м²(см²)

Статистический момент площади сечения относительно оси - это сумма произведений элементарных площадок на их расстояние до оси.

где n - число площадок, на которое разбили сечение

В предельном случае при

Из теоретической механики известно, что

Следует заметить, что статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести равен нулю, так как расстояние до оси будет равно нулю,т.е.

Соответственно:

Заметим, что ось, проходящая через центр тяжести фигуры или сечения называется центральной, т.е. в нашем случае оси Хс и Ус - центральные, и статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

Осевой момент инерции плоского сечения равен

(м⁴)

Момент инерции - сумма произведений квадратов расстояний на элементарные площадки.

В предельном случае

J?0, всегда!

Jр - полярный момент инерции, Jо - момент инерции относительно центра масс:

В предельном случае:

Между осевым и полярным моментами инерции существует зависимость

Центробежный момент инерции - это сумма произведений элементарных площадок на их координаты по обеим осям

В предельном случае:

Центробежный момент инерции относительно осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, равен нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим на примере швеллера

Элементарный центробежный момент инерции

Вычисляем центробежный момент по всей площади, получаем:

В нашей системе координат:

Центробежный момент может быть и положительным, и отрицательным.

4 Моменты инерции относительно параллельных осей. Вывод формул

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем выражение для момента инерции относительно оси Х, не проходящей через центр масс фигуры

где а - расстояние от центра масс сечения до оси Х.

Учитывая, что

Соответственно

где b - расстояние до оси У.

Получаем следующую зависимость в виде теоремы:

момент инерции сечения относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, проходящей параллельно данной оси, и произведения площади фигуры (сечения) на квадрат расстояния между осями.

Т.к. всегда а²F?0 и b²F?0, то из всей совокупности параллельных осей момент инерции относительно центральных осей наименьший.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для центробежного момента относительно осей Х и У:

abF - может быть и положительным и отрицательным.

Моменты инерции плоских сечений. Осевые и центробежные моменты инерции.

Осевой момент инерции плоского сечения равен

(м⁴)

Момент инерции - сумма произведений квадратов расстояний на элементарные площадки.

В предельном случае:

J?0, всегда!

Jр - полярный момент инерции, Jо - момент инерции относительно центра масс

В предельном случае

Между осевым и полярным моментами инерции существует зависимость

Центробежный момент инерции - это сумма произведений элементарных площадок на их координаты по обеим осям



В предельном случае

Центробежный момент инерции относительно осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, равен нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим на примере швеллера:

Элементарный центробежный момент инерции

Вычисляем центробежный момент по всей площади, получаем:

В нашей системе координат

Центробежный момент может быть и положительным, и отрицательным.

5 Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Вывод формул

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЕ=АD

Оси Х₁ и У₁ повернуты на угол б в положительном направлении осей Х и У.

ВЕDА - прямоугольник. Рассмотрим моменты инерции сечения относительно осей ОХ₁ и ОУ₁. Выразим Х₁ и У₁ и координаты некоторой точки М:



Сумма осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей не меняется при повороте осей.

Зависимость (1) используется при вычислении центробежного момента инерции, если известны осевые относительно двух систем осей, повернутых на угол б..

6. Моменты инерции некоторых простейших сечений

Круг и кольцо:

Полукруг

Прямоугольник

Треугольник

7. Главные оси инерции. Главные моменты инерции. Вывод формул для определения положения главных осей и величин главных моментов инерции

Главной осью инерции является ось, относительно которой момент инерции принимает экстремальные значения (максимальное или минимальное значение). Определяем, при каком значении угла б, осевые моменты Jx₁ и Jy₁ принимают экстремальные значения. Для этого решим уравнение

Решаем уравнение относительно неизвестного б:

,

где б₀ - корень этого уравнения, он определяет положение главных осей Х₁ и У₁ для данного поперечного сечения. Главные оси обычно обозначают U и V.

Размещено на http://www.allbest.ru/

U - ось с наибольшим моментом, Ju=Jmax,

V - ось с наименьшим моментом, Jv=Jmin.

При повороте осей момент инерции изменяется от максимального значения до минимального значения и наоборот. Из выражения центробежного момента инерции и уравнения для главных осей можно получить.

Относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю (он отсутствует).

8. растяжение, сжатие закон гука (в абсолютных и относительных величинах). определение напряжений и деформаций

Размещено на http://www.allbest.ru/

При действии внешней нагрузки, направленной вдоль оси стержня, возникает растяжение или сжатие. При этом если ось ,вдоль которой действует сила ,проходит через центр поперечных сечений ,то такое растяжение или сжатие называют центральным.

- абсолютное удлинение стержня.

Поперечное сечение уменьшается на величину - абсолютную поперечную деформацию.

Поперечное сечение в окружности точки А будет искривляться. Но сечения, достаточно удалённые от точки А, на расстоянии 2-3a, остаются плоскими, то есть для большинства поперечных сечений выполняется гипотеза Бернулли.

Используя метод сечений, определим напряжение и запишем закон Гука.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Продольная сила Н является равнодействующей внутренних сил, распределённых по сечению.

При центральном растяжении или сжатии предполагают, что внутренние силы равномерно распределены по сечению, и интенсивность внутренних сил определяется нормальным напряжением .

для нижней части.

для верхней части.

-нормальное напряжение при растяжении-сжатии.

Удлинение стержня можно определить относительной величиной, которую называют относительным удлинением



Между и существует зависимость, определяемая законом Гука:

где E-коэффициент пропорциональности, модуль Юнга, модуль продольной упругости, модуль первого рода.

[E]=1Па

Модуль Юнга характеризует способность материала сопротивляться деформации. Он определяется экспериментально.

Для сталей Е=2,110⁵ МПа=2,110¹¹ Па.

Закон Гука: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальным напряжениям.

Закон Гука справедлив только в области упругих деформаций.

Упругая деформация-деформация , которая исчезает после снятия нагрузки .

Деформации, которые остаются после снятия нагрузки, называются остаточными или пластическими.

Выразим относительную деформацию через продольную силу

Приравнивая последние выражения, получаем

закон Гука в абсолютных единицах.

EF- жёсткость поперечного сечения стержня при растяжении-сжатии.

-жёсткость стержня длиной

Рассмотрим поперечную деформацию. Пусть стержень имеет прямоугольное сечение.

-абсолютные поперечные деформации.

При растяжении , но

При сжатии но

Размещено на http://www.allbest.ru/

Относительная поперечная деформация обозначается

- в случае изотропного тела.

Между модулем продольной деформации и поперечной существует зависимость, которая определяется коэффициентом поперечной деформации

= , который называется коэффициентом Пуассона.

Коэффициент Пуассона изменяется от 0 до 0,5.

Для стали 0,20,3 ; резины и каучука 0,5; пробки 0.

Следует заметить, что и имеют разные знаки, поэтому с учетом знаков можно записать

=-=-

Коэффициент Пуассона также, как и модуль упругости Е, характеризует упругие свойства материала и определяется экспериментально.

11. Сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Определение т и построение эпюры ф при срезе

Сдвиг - это смещение одного сечения относительно другого в окрестности некоторой точки тела. Деформация сдвига обычно возникает при срезе.

Например, разрезание листа на гильотине.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим деформацию сдвига, когда на гранях параллелепипеда возникают только касательные напряжения. Такая деформация называется чистым сдвигом.

Деформация сдвига характеризуется углом г. Зависимость между касательными напряжениями и деформациями при чистом сдвиге определяется законом Гука

ф=Gг,

где G - модуль упругости при сдвиге (модуль сдвига), Па.

При испытании материала на сдвиг для пластичных материалов диаграмма выглядит.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При исследовании деформации чистого сдвига получают зависимость между тремя величинами

Е - модуль Юнга

G - модуль сдвига

м - коэффициент Пуансо

Определение т и построение эпюры ф при срезе.

Для сравнения построим эпюру касательных напряжений при срезе (при деформации сдвига)

Размещено на http://www.allbest.ru/

При одной и той же величине поперечной силы Q касательное напряжение ф_max при изгибе в 1,5 раза больше ф (касательное напряжение) при сдвиге.

12. Главные напряжения. Проверка прочности по главным напряжениям (полная проверка прочности балки при изгибе)

Главными площадками называют площадки в твердом теле, на которой касательное напряжение равно нулю, нормальное напряжение принимает экстремальные значение. Такие нормальные напряжения называются главными.

Определим напряжение главных площадок, используя уравнение.

(*)

где б₀ определяет положение главной площадки.

Из выражения (3) можно определить два значения б₀, отличающихся на 90⁰, которую определяют положение двух взаимно перпендикулярных главных площадок.

Проанализируем (*).



Это выражение подтверждает, что касательное напряжение на главных площадках равно нулю.

Далее преобразовывая выражение (1) и (2) можно получить формулу для экстремальных, т.е. главных нормальных напряжений на главных площадках

То есть у₁>у₂ всегда, это и есть главные напряжения.

Из выражения (2) можно определить площадки, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения.

Для этого необходимо

где углы б₁ отличаются на 90⁰, определяют положение площадок с экстремальными касательными напряжениями. Очевидно, что в общем случае площадки с экстремальными касательными напряжениями не совпадают с главными площадками.

17 спользование дифференциального уравнения упругой линии балки для определения перемещений при изгибе балки. Определение произвольных постоянных интегрирования. Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Кроме напряжений, которые необходимо определить при расчете на прочность, необходимо также знать деформации и перемещение точек. Для этого используют д.у. изгиба балки, метод начальных параметров и энергетические методы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В некоторой точке z балка прогнулась на величину dy . При этом прогиб балки в этой точке принимаем положительным и радиус кривизны с функции от z также будем считать положительным. Сечение поворачивается на угол ?. Этот угол имеет касательная к изогнутой оси балки.

Проекция отрезка касательной на ось z равна dz.

? = ? (в силу малости угла)

При выводе формул нормального напряжения изгибе балки было получено соотношение:

где с - радиус кривизны; - кривизна.

Выражение кривизны (в дифференциальной геометрии)

Приравнивая правые части, получаем

Точное уравнение упругой линии при изгибе балки.

Уравнение является нелинейным, т.к. в знаменателе производная от y в квадрате и под корнем.

Решение данного уравнения возможно численными методами, но аналитическое решение практически невозможно, поэтому используют приближенное уравнение, учитывая, что

? малая величина, которой можно пренебречь

В результате получаем

-приближенное д.у. изогнутой оси балки

При выводе уравнения в выражении кривизны принят знак "+".

Это объясняется следующим предположением

Размещено на http://www.allbest.ru/

знак "-" можно не учитывать.

Решать приближенное уравнение можно методами непосредственного интегрирования. Для этого используем

?

т.е. понижая порядок:

Подставляя вместо, разделяя переменные и интегрируя, получаем

Произвольные постоянные С₁ и С₂ находим из граничных условий:

при z = 0 следует ?_А = ?(0) = 0;

y_А = у(0) = 0.

В случае двухопорной балки граничные условия имеют вид

Размещено на http://www.allbest.ru/

При z = 0 y_А = у(0) = 0 ?_А = ?

При z = l у_В = у(l) = 0 ?_В = ?

Определение прогиба балки методом непосредственного интегрирования приближенного д.у. можно применять в простых случаях (консольного крепления балки) при небольшом количестве участков.

Следовательно, для определения прогибов в случае балки с большим количеством участков используют более современные методы, такие, как метод начальных параметров, метод Мора, способ Верещагина.

14. изгиб. определение нормальных напряжений при чистом изгибе прямого стержня. эпюра у в поперечном сечении. Чистый изгиб. Определение нормальных напряжений при чистом изгибе. Осевой момент сопротивления сечения

Стержень, работающий на изгиб, обычно называют балками, при изгибе ось стержня искривляется, изменяя свою кривизну. Рассматривают следующие виды изгиба:

1) прямой (или плоский) изгиб, когда внешняя нагрузка расположена в главной плоскости, проходящей через ось Z стержня и одну из главных осей X или Y;

2) косой изгиб, когда внешняя нагрузка не расположена в главной плоскости (она может быть расположена в двух плоскостях).

Также рассматривают чистый изгиб и поперечный:

1) чистый изгиб: в поперечном сечении возникают только изгибающие моменты, поперечная сила равна нулю;

2) поперечный изгиб: в поперечном сечении возникает поперечная сила Q.

Пример чистого изгиба

Эпюра, Q

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эпюра, М

Пример поперечного изгиба

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эпюра, Q

Эпюра, М

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим изгиб бруса, поперечное сечение которого имеет хотя бы одну ось симметрии.

Возможные сечения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть брус изгибается моментами: М₁, М₂.

При этом принимаем М₁ = М₂

Рассмотрим состояние элемента dz при изгибе

Размещено на http://www.allbest.ru/

lf=ab

При изгибе смежные сечения элемента dz наклонились друг к другу под углом dц. При изгибе выпуклостью вниз нижние волокна растягиваются, т.е. в нижних волокнах у > 0. В верхних волокнах у < 0. Волокна, которые при изгибе сохраняют свою длину, называются нейтральными

lf = дуге lf

т.е. в нашем случае ось Z является нейтральной линией или нейтральным волокном.

Рассмотрим относительную продольную деформацию волокна ab:

ab=дуге lf

учитывая, что по закону Гука

т.е. при направлении оси Y вниз знак напряжения у совпадает со знаком координаты Y .

Рассмотрим выражение изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении М_Х

Размещено на http://www.allbest.ru/



где

J_Х- осевой момент инерции сечения относительно оси X

Учитывая, что получаем формулу нормальных напряжений при изгибе бруса

Из формулы видно, что в точках любой горизонтальной линии, параллельной оси X, нормальные напряжения на расстояниях Y одинаковые.

Рассмотрим величину продольной силы N при изгибе

,

так как:

поскольку ось X проходит через центр поперечного сечения.

S_Х - статический момент площади поперечного сечения относительно оси X.

Поскольку нормальные напряжения у изменяются только по высоте сечения вдоль оси Y, построим эпюру у по высоте сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

у(Y) - линейная зависимость.

Эпюра у при изгибе

, так как или

где - момент сопротивления поперечного сечения относительно оси Х; [W_Х] = [м³]

18. Метод начальных параметров

При определении прогибов балки с использованием дифференциального уравнения упругой линии необходимо определить на каждом участке по две произвольные постоянные. При большом количестве участков применение дифференциального уравнения становится трудоемким из-за большого количества произвольных постоянных. Этот недостаток устраняется при использовании универсального уравнения прогибов и углов поворота балки, где достаточно определить две произвольные постоянные независимо от числа участков. Такой метод называется методом начальных параметров. Рассмотрим на примере изображенной балки. Начало системы координат в точке 0. Силу P₁, расположенную слева от точки 0 приведем к точке 0.

;

где M₀, Q₀ - начальные статические параметры.

Балка имеет пять участков.

- эпюра распределенной нагрузки

Для составления уравнения по методу начальных параметров распределенная нагрузка должна быть продолжена до конца балки. Для этого прикладывают дополнительную и компенсирующую нагрузку. Затем выражение изгибающего момента для произвольного сечения z на пятом участке

Следует заметить, что на схеме блоки внешней нагрузки имеют направление, при котором они дают положительный изгибающий момент в сечениях, расположенных справа от нагрузки. Начало координат, точка 0, может быть выбрана в любой точке балки, но удобнее ее выбирать ближе к левому концу или вообще в начале балки.

Используя дифференциальное уравнение упругой линии для пятого участка

Записывая выражения изгибающихся моментов для каждого участка и интегрируя дважды, мы получаем выражение

и соответствующее количество произвольных постоянных

используя условия равенства углов поворота и прогибов на границах участков, запишем уравнение

……………………

Из этих уравнений следует что

Следует заметить, что в выражение изгибающего момента входит внешняя нагрузка, расположенная слева от сечения Z на каждом участке.

Рассмотрим это на примере первого участка

Подставляя, выражение момента в дифференциальное уравнение и дважды интегрируя, получаем:

Из этих уравнений можно получить выражения C и D, используя граничные условия

при Z=0

и - называются начальными геометрическими параметрами, которые определяют из граничных условий (при Z=0 или на второй опоре балки, где l координата второй опоры).

Запишем окончательно уравнение углов поворота и прогибов балки для общего случая, когда внешние нагрузки не единичные, т.е.

Универсальное уравнение углов поворота сечений и прогибов балки по методу начальных параметров.

19 20 Кручение. Касательные напряжения в поперечном сечении круглых стержней. Вывод

Кручение - это вид деформации, при которой в поперечном сечении возникают крутящие моменты. В результате действия внешних скручивающих моментов одно поперечное сечение стремится повернуться относительно другого на некоторый угол ц.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ц - угол закручивания.

Угол г - характеризует деформацию сдвига элемента АВСD.

Очевидно, для элемента с радиусом с:

Выразим крутящий момент поперечного сечения через касательное напряжение

где - полярный момент инерции поперечного сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для круглого сечения

Получим выражение

Интегрируя, получаем угол поворота произвольного сечения Z.

где l - длина стержня, подвергнутого деформации кручения.

В случае, когда М_к=соnst и ц₀=0, получаем

Учитывая, что , то

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полярный момент инерции и момент сопротивления в случае некруглого поперечного сечения определяются по следующим формулам: для прямоугольного сечения J_o=J_p=вbh³, где в - коэффициент, определяемый по таблице по соотношению b/h; при b=h в=0,141;

Условие прочности при кручении имеет вид

Wp - полярный момент сопротивления.

Условие жесткости



где и - относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания на единицу длины, т.е. расчеты стержней, работающих на кручение, можно выполнять, используя условие прочности или условия жесткости в зависимости от технических требований к конструкции.

21. Кручение стержней круглого сечения. Условие прочности и жёсткости при кручении. Примеры расчёта валов на кручение

Кручение - это вид деформации, при которой в поперечном сечении возникают крутящие моменты. В результате действия внешних скручивающих моментов одно поперечное сечение стремится повернуться относительно другого на некоторый угол ц.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ц - угол закручивания.

Угол г - характеризует деформацию сдвига элемента АВСD.

Очевидно, для элемента с радиусом с

Выразим крутящий момент поперечного сечения через касательное напряжение

где - полярный момент инерции поперечного сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для круглого сечения

Получим выражение

Интегрируя, получаем угол поворота произвольного сечения Z.

где l - длина стержня, подвергнутого деформации кручения.

В случае, когда М_к=соnst и ц₀=0, получаем

Учитывая, что , то

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полярный момент инерции и момент сопротивления в случае некруглого поперечного сечения определяются по следующим формулам: для прямоугольного сечения J_o=J_p=вbh³, где в - коэффициент, определяемый по таблице по соотношению b/h; при b=h в=0,141.



Условие прочности при кручении имеет вид

Wp - полярный момент сопротивления.

Условие жесткости

где и - относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания на единицу длины, т.е. расчеты стержней, работающих на кручение, можно выполнять, используя условие прочности или условия жесткости в зависимости от технических требований к конструкции.

23. Сложное сопротивление. Косой изгиб. Определение напряжений

Сложное сопротивление

Сложное сопротивление - это напряженно-деформационное состояние (НДС), которое возникает при сочетании простых НДС, напряженном сочетании изгиба и кручения, растяжения и кручения и т.д.

Сложным состоянием является также сложный изгиб, который возникает, если внешние силы действуют в плоскости, не проходящей через главные оси поперечного сечения.

Частным случаем сложного изгиба является косой изгиб.

Поперечный косой изгиб

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно, что х и у - это главные оси. Сила Р действует в плоскости, не совпадающей с осями х и у.

Рассмотрим случай чистого косого изгиба (действует только изгибающий момент и пара сил).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чистый косой изгиб

Составляющие момента М:

- пара сил в плоскости уz

- пара сил в плоскости xz

Размещено на http://www.allbest.ru/

Плоскость, расположенная под углом б к оси у, в которой действует нагрузка (сила Р и пара М), называется силовой плоскостью.