Сопротивление материалов

Силовая линия - линия пересечения силовой плоскости с поперечным сечением.

Моменты Мх и Му действуют в главных плоскостях, т.е. под действием каждого из этих моментов осуществляется плоский изгиб. Напряжение от этих моментов определяем по формулам:

Т.е. под действием момента Мх волокна в окрестности точки А растягиваются, у_Мх направлено по внешней нормали к сечению. Под действием момента Му волокна в окрестности точки А сжимаются, у_Му направлено по внутренней нормали к сечению. Результирующее напряжение в точке А определяем, используя принцип независимости действия сил:

При расчётах сложного изгиба используют понятие нейтральной плоскости и нейтральной линии. Эта плоскость или линия в поперечном сечении в точках, в которых нормальное напряжение равно нулю. Для определения положения нейтральной линии решаем уравнение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нейтральная линия, расположенная под углом в к оси х, в общем случае не параллельна силовой линии (Jx?Jy). Только в частном случае, когда Jx=Jy, мы будем иметь б=в.

При косом изгибе Мх и Му постоянные по всей длине балки, значит угол б также постоянный и, соответственно, постоянный угол в по всей длине балки, т.е. ось балки изгибается в одной плоскости, т.е. линия изгиба оси балки является плоской при чистом косом изгибе. Плоскость называется плоскостью изгиба.

Расчет на прочность проводят в тех сечениях, где момент принимает экстремальное значение. В данном сечении определяют опасные точки, т.е. точки, в которых напряжение имеет наибольшее или наименьшее значение.

Изобразим эпюры нормальных напряжений от изгибающих моментов Мх и Му по границам сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Т.е. экстремальное растягивающее или сжимающее напряжение возникает в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии, т.е. в точке А будет наибольшее растягивающее напряжение, а в точке В наибольшее сжимающее напряжение

При расчете на прочность по наибольшим растягивающим напряжениям условие прочности имеет вид

где [у₊] - напряжение, допускаемое на растяжение.

Соответствующее условие прочности можно записать и для точки С по сжимающим напряжениям

Для определения прогибов балки в плоскости изгиба сначала определяют прогибы в главных плоскостях - f_x и f_y при плоском изгибе в каждой главной плоскости. Общий прогиб балки будет определяться:

Используя понятие допускаемого прогиба [f], можно выполнять расчёты на жёсткость. При этом условие жёсткости при сложном изгибе имеет вид

[f]?f

Определяем напряжение в точки К, принадлежащей нейтральной линии

, т.к. принадлежит нейтральной линии.

24. Внецентренное растяжение сжатие

Внецентренное растяжение \ сжатие является частным случаем сложного изгиба.

Растягивающая или сжимающая нагрузка приложена в точке не лежащей на оси стержня, но направлена параллельно оси.

Сила P приложена в точке с координатами . В произвольном поперечном сечении возникают внутренние силовые факторы: продольная сила N=P и изгибающие моменты ; . Будем считать и положительными, если оба момента вызывают растягивающие напряжения в первой четверти координатной плоскости. Напряжение по принципу независимости действия сил равно.

, - радиусы инерции поперечного сечения относительно осей X и Y.

Уравнение нейтральной линии имеет вид

Для построения нейтральной линии достаточно определить точки пересечения ее с осями координат, т.е. решить уравнение сначала при , , затем при , .

Построим эпюру нормальных напряжений вдоль линии AB. Базовая линия эпюры параллельна AB. Максимальные напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. Очевидно, максимальное растягивающее напряжения будут в точке B

26. Пределы применимости формулы Эйлера. Расчёт на устойчивость. Формула Эйлера

Размещено на http://www.allbest.ru/

n=1

Рассмотрим прогиб стержня в произвольном сечении Z. Д.У. упругой линии

Изгибающий момент отрицательный, т.к. в выбранной системе координат при у>0 сжимаются нижние волокна.

у^//+k² у=0

где

Поперечное сечение принимаем такое, что J_Y>J_X, т.е. J_X=J_min

Размещено на http://www.allbest.ru/

При таком соотношении моментов инерции продольный изгиб будет происходить относительно оси х при минимальном значении момента инерции.

Решения уравнения

у(z)=А соs(kz)+B sin(kz)

A и B определяем из граничных условий:

Z=0, y(0)=A cos0=0 =>A=0, т.к. cos0=1

Z=l, y(l)=A cos(kl)+B sin(kl)=0, A cos(kl)=0, => B?0

Необходимо принять В?0, чтобы исключить тривиальные решения, а именно y(z)?0 при любом значении z.

Откуда следует: sin(kl)=0 =>kl=рn, (n=1,2,3…), n=0 не даст волны.

Можно записать

Это случай, когда стержень изгибается в упругой области, сохраняя устойчивое состояние (одна полуволна синусоиды). Отсюда определяем величину критической силы при продольном изгибе.

- это формула Эйлера для определения критической силы при продольном изгибе (1744 год). Число n здесь определяет количество полуволн синусоиды, образующихся при продольном изгибе.

Определим В из условия максимального прогиба при n=1

при z= имеем у^/=0, решение (1) - у =B sin(kz) =>у^/ = Bkcos(kz)

Bkcos(k)=0

Отсюда можем определить В: =>В=f

Общее решение имеет вид:

Отсюда можно получить условие максимального прогиба f при различных значениях n. ()

При n=1 z=

При n=2 z=

При n=3 z=

И т.д., но n=0 не имеем права брать.

При n=2 форма устойчивого прогиба: две полуволны синусоиды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При n=3 - три полуволны синусоиды:

Итак, n - это число полуволн при устойчивом продольном изгибе стержня и предельном значении силы Р=Р_крит

При Р > Р_крит даже при малых превышениях стержень переходит в неустойчивое состояние, конструкция теряет форму, т.к. стержень не возвращается в исходное состояние при снятии нагрузки. Величина Р_крит зависит также от способов крепления концов стержня.

27. Интеграл Мора

Метод Мора успешно используется при расчёте статически определимых и статически неопределимых систем. По методу Мора рассматривают 2 состояния системы:

1. Основное состояние - при заданной внешней нагрузке

2. Вспомогательное состояние - при нагрузке в виде единичной силы или единичного момента.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основная система

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вспомогательная система для определения прогиба в точке 1 (?_1P)

Вспомогательная система для определения угла поворота И_1P

Пусть балка находится под действием силы P. Необходимо найти перемещение точки 1 и угол поворота сечения в точке 1 при действии силы P.

По методу Мора для определения прогибов прикладывается единичная нагрузка в той точке и в том направлении, где требуется найти прогиб.

=1 (единичная нагрузка) - безразмерная сила

=1 (единичный момент) - безразмерный момент

В общем случаи, единичные нагрузки обозначаются с индексом:

P_i , М_i , где индекс i означает номер точки и направление, где требуется определить прогиб или угол поворота. Тогда, используя выражение работы A₁₂ или A₂₁ в предыдущей теореме, определим А_ip:

(т.к. )

Выразив через внутренние силы, получим

Это выражение определяет перемещения в i-ой точке, в i-ом направлении от внешней нагрузки P.

Здесь:

- внутренние силовые факторы в произвольном сечении Z от единичной нагрузки;

N_p(Z), M_p(Z), Q_p(Z) - внешние силы в произвольном сечении Z от единичной нагрузки.

Полученные три суммы интегралов называются интегралами Мора для определения перемещений.

Для определения углов поворота Q_ip интегралы Мора имеют этот же вид, только - от единичного момента

Вычисление перемещений и углов поворота с использованием интегралов Мора называют методом Мора.

Если при изгибе балки принять N_p=Q_p=0, то получаем интеграл Мора:

При растяжении, сжатии

Q_p=M_p=0;

Аналогично можно записать при сдвиге

N_p=M_p=0;

Расчёт статически - неопределимых систем. Метод Мора.

Статически - неопределимыми системами являются системы, в которых число неизвестных больше числа неизвестных статики для этой системы. Неизвестными могут быть:

- реакции опор

- внутренние силы

Наиболее общим методом решения статически - неопределимых задач является метод сил.

Он заключается в том, что заданная система освобождается от внешних или внутренних связей, и их действия заменяются силами или моментами сил.

При освобождении от внешних связей используют принцип освобождаемости от связей, а в случаи внутренних связей используют метод сечений.

Принцип освобождаемости от связей.

Система, которую получают после освобождения от лишних связей, называется основной.

Пример

Размещено на http://www.allbest.ru/

- исходная система

Размещено на http://www.allbest.ru/

- основная система, полученная по принципу освобождаемости от связей

Неизвестны реакции трёх опор. Если принять, что внешняя нагрузка - есть система вертикальных параллельных сил, то реакции будут так же вертикальными, и для такой системы можно составить 2 уравнения статики - плоская система параллельных сил.

Задача - один раз статически - неопределимая.

Для определения реакций необходимо третье уравнение. Его можно составить, используя метод сил, например, освободим балку от средней опоры, заменив её действие неизвестной реакцией X (рис. 2).

Метод сечений.

Можно реакцию X₁ определить, используя метод сечений. В этом случаи балку разрезаем над средней опорой и рассматриваем 2 отдельные балочки

Размещено на http://www.allbest.ru/

- основная система по методу сечений

Для обеспечения сплошности балки, над средней опорой изображаем внутренний момент М₁, обеспечивающий сплошность балки. В этом случаи неизвестным является внутренний момент М₁.

В том и другом случаи (оба метода) решения статически - неопределимой задачи неизвестными являются силовые факторы: внутренние или внешние.

Поэтому данный способ расчёта называется - метод сил

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для решения составляем 2 уравнения статики и третье уравнение - уравнение перемещений в точке 1.

По условию исходной схемы, прогиб в т.1 над средней опорой равен 0.

Уравнение перемещений: ?₁=0

Используя теорему о взаимности перемещений, можем записать: ?₁=?₁₁+?_1P=0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решаем 2 уравнения статики совместно с этим уравнением, определяем реакцию X₁ и две реакции в крайних опорах (на концах балки).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если в т.1 приложить единичную силу , то эпюра изгибающего момента от этой единичной силы имеет вид

Размещено на http://www.allbest.ru/

Перемещение , где- перемещение сечения 1 от единичной нагрузки, .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда уравнение перемещений можно записать:

и можно вычислить, используя

интеграл Мора или способ Верещагина:

- для одной силы

Размещено на http://www.allbest.ru/

28. Метод Верещагина (пример расчёта)

Вычисление интегралов Мора по методу Верещагина.

Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки силы или пары всегда прямолинейная. Это свойство единичной эпюры используется в способе Верещагина.

Размещено на http://www.allbest.ru/

М_P

Эпюра от единичной нагрузки

т. С - центр эпюры.

Вычислим интеграл Мора при изгибе балки, используя соотношения:

d? ? М_P(Z)dZ (с точностью до величин второго порядка малости) Интеграл Мора при изгибе

? - площадь всей эпюры (М_P)

Интеграл Мора при вычислении по способу Верещагина равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры от внешней нагрузки.

Общая формула перемещения для нескольких участков с прямолинейными эпюрами от единичных нагрузок на каждом из этих участков имеет вид

где: ? - площадь эпюры на участке, границы которой определены прямолинейной эпюрой от единичной нагрузки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример вычисления ? и Z_С:

Построим эпюру изгибающего момента

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эпюра М

Определяем ? методом интегрирования:

Определяем площадь фигуры геометрически по слагаемым выражения изгибающего момента (*)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru