Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
Напряжения на произвольной площадке. Главные оси и напряжения. Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния. Теории предельного состояния. Понятие статической неопределимости. Расчет на прочность в условиях динамического нагружения.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.02.2011 |
| Размер файла | 1,6 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- 1. Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
- Понятие о напряженном состоянии в точке
- Определение напряжений на произвольной площадке
- Главные оси и главные напряжения
- Понятие о деформированном состоянии
- Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
- Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
- Решение плоской задачи О.К. Мора
- 2. Теории предельного состояния
- Назначение теорий предельного состояния
- Теории хрупкого разрушения
- Теории пластичности
- Универсальная теория Мора
- 3. Общий случай нагружения
- Установочная лекция по теме:
- 4. Понятие статической неопределимости
- Метод сил
- Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
- Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
- 5. Расчет на прочность в условиях динамического нагружения (вынужденные колебания, удар)
- Установочная лекция по теме:
- Основы теории колебаний
- Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления
- Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- Удар
- Теория удара Лепина
- Частные случаи удара
- Расчет на прочность и жесткость при ударе
1. Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
Понятие о напряженном состоянии в точке
Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений, действующих на всех возможных площадках, которые можно провести через эту точку.
Рассмотрим тело произвольной формы, нагруженное самоуравновешенной системой сил .
Попробуем охарактеризовать напряженное состояние в произвольной точке тела С. С этой целью, выделим в окрестностях этой точки элементарный объём в виде куба с бесконечно малыми гранями. На каждой грани куба действуют внутренние силы, которые представим в виде трех составляющих вектора полного напряжения:
На невидимых гранях куба действуют такие же по величине, но противоположные по направлению напряжения. Полученные девять напряжений, называемых компонентами напряженного состояния, образуют так называемый тензор напряжений:
,
в котором, в соответствии с законом парности касательных напряжений:
Таким образом, напряженное состояние в точке в общем случае нагружения может быть охарактеризовано шестью компонентами напряжений: тремя нормальными и тремя касательными.
напряжение закон гук прочность
Определение напряжений на произвольной площадке
Выделим внутри рассматриваемого элементарного куба произвольную секущую площадку А:
Получим элементарный тетраэдр, на наклонной площадке BCD которого возникает вектор полного напряжения .
Пусть даны шесть компонент напряжений: , действующих в координатных гранях тетраэдра. Определим X, Y, Z - проекции вектора полного напряжения , действующего на площадке BCD.
Введем следующие обозначения:
- нормаль к площадке BCD,
направляющие косинусы, которые определяют положение площадки BCD.
Обозначим площадь рассматриваемой площадки ABCD=A, тогда площади остальных граней: ABCO=Al; AOCD=Am; ABOD=An.
Запишем условия статического равновесия для системы сил, действующей на грани выделенного тетраэдра:
,
,
.
Откуда проекции вектора полного напряжения:
Таким образом, напряженное состояние в точке можно считать заданным, если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках.
Нормальное напряжение на площадке BCD можно определить как сумму проекций компонент вектора полного напряжения Х, Y, Z на нормаль :
Главные оси и главные напряжения
Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через рассматриваемую точку. По нормали к каждой площадке отложим вектор r с координатами: x = rl, y = rm, z = rn.
Выразим направляющие косинусы через координаты и длину вектора:
l = x/r, m = y/r, n = z/r.
Подставляя эти выражения в полученную ранее формулу для напряжения на произвольной площадке, получим:
,
откуда длина вектора r
, где k - масштабный коэффициент, равный
.
Полученное выражение является уравнением центральной поверхности второго порядка, центр которой совпадает с центром координат. При определенном положении системы координат уравнение преобразуется к виду, в котором попарные произведения xy, xz, yz исчезают. Это говорит о том, что в каждой точке нагруженного тела существует такая система координат, в которой касательные напряжения на взаимно перпендикулярных координатных площадках равны нулю. Оси такой системы координат называются главными осями, координатные площадки - главными площадками, а соответствующие им нормальные напряжения - главными напряжениями.
Главные напряжения принято нумеровать в порядке убывания, то есть .
Классификация напряженных состояний в точке
По количеству главных напряжений, возникающих в точке, все напряженные состояния можно разделить на три группы:
1. Одноосное (линейное) напряженное состояние:
(два главных напряжения равны нулю)
2. Плоское напряженное состояние:
(одно главное напряжение равно нулю)
3. Объемное напряженное состояние:
(ни одно из главных напряжений не равно нулю).
Наиболее распространенными в технике являются линейное и плоское напряженные состояния. Эллипсоид напряжений
Для случая, когда отсутствуют касательные напряжения, компоненты вектора напряжений на произвольной площадке можно выразить следующим образом:
откуда направляющие косинусы
Так как , можно записать:
Полученное уравнение является уравнением эллипсоида. Таким образом, геометрическое место концов вектора полного напряжения представляет собой эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения s1, s2, s3:
Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений и представляет собой геометрическую интерпретацию напряженного состояния в точке.
Понятие о деформированном состоянии
Деформированным состоянием в точке называется совокупность деформаций, возникающих в различных направлениях и различных плоскостях, проходящих через данную точку.
Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния.
Под действием напряжений этот объем деформируется, в результате каждая грань изменяет свои размеры в направлении координатных осей и может получить угловую деформацию. Так, например, передняя грань принимает вид:
Таким образом, в направлении оси z элементарный размер dz грани получит относительную деформацию , а в направлении оси x элементарный размер dx изменится на величину . Угол между ребрами грани изменится на величину .
Подобные деформации получат и остальные грани элементарного объема. Тогда деформированное состояние в точке определится тензором деформаций:
,
где линейные деформации
,,
и угловые деформации
,,.
Свойства деформированного состояния аналогичны свойствам напряженного состояния, в частности, можно выделить три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Линейные деформации, возникающие в этой системе координат, называются главными деформациями. Главные деформации нумеруют в порядке убывания .
Различают линейное, плоское и объемное деформированные состояния.
линейное плоское объемное
Площадки главных напряжений и главных деформаций для линейно-упругого изотропного тела совпадают.
Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
Рассмотрим элементарный объем линейно-упругого изотропного тела, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем касательные напряжения на его гранях отсутствуют:
Таким образом, координатные грани элементарного объема являются главными площадками, координатные оси x, y, z - главными осями, нормальные напряжения, действующие на главных площадках - главными напряжениями и, соответственно, линейные относительные деформации в направлении главных осей - главными деформациями .
По направлению осей x, y, z возникают абсолютные деформации Da, Db, Dc.
Величина главной относительной деформации в направлении оси z:
.
Напряжение у1 приводит к увеличению Dc, и по закону Гука
.
Напряжения у2 и у3 работают на увеличение Da и Db и вызывают уменьшение Dc, то есть, используя закон Гука и коэффициент поперечной деформации,
, .
Применяя принцип суперпозиции, находим
.
Расписывая аналогичным образом главные деформации и , окончательно получим:
,
.
Полученные зависимости представляют собой обобщенный закон Гука в главной системе координат.
Проводя такие же рассуждения для элементарного объема, грани которого не являются главными площадками, получим обобщенный закон Гука в произвольной системе координат:
,
.
Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
Потенциальную энергию деформации в общем случае можно представить состоящей из потенциальной энергии, связанной с изменением объема и с изменением формы:
,
где UV - потенциальная энергия изменения объема:
,
Uф - потенциальная энергия изменения формы:
. (2.1)
Решение плоской задачи О.К. Мора
Прямая задача Мора
Прямая задача Мора - это задача определения напряжений на произвольной площадке по известным главным напряжениям.
Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем грани этого объема являются главными площадками. Секущей площадкой, параллельной главному напряжению у2, выделим из этого объема треугольную призму:
Для определения напряжений на произвольной секущей площадке, рассмотрим переднюю грань призмы
Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующей на грани призмы.
Для оси, касательной к наклонной площадке :
.
Сокращая общие множители и умножая все слагаемые на , получим
,
. (2.2)
Для оси, нормальной к наклонной площадке :
,
Откуда
.
Проведем следующие преобразования:
и получим:
. (2.3)
Возведем в квадрат каждую часть полученных выражений (2.2) и (2.3):
,
.
Суммируя попарно левые и правые части, получим:
.
Это уравнение в координатах t-s является уравнением окружности с центром в точке , и радиусом :
Полученная окружность называется кругом напряжений или кругом Мора. Круг Мора пересекает ось абсцисс в точках с координатами s1 и ?s3.
Определим координаты точки Da:
, (2.4)
, (2.5)
что совпадает с полученными ранее формулами (2.2) и (2.3).
Таким образом, каждой площадке, наклоненной под углом a к главным площадкам, на круге Мора соответствует определенная точка. Радиус этой точки составляет с осью абсцисс угол 2a, а ее координаты определяют напряжения на площадке sa и ta.
Задача.
В стержне с площадью поперечного сечения A=5х104 м2, растягиваемом силой F = 50 кН, определить нормальное и касательное напряжения, возникающие на площадке, наклоненной под углом к поперечному сечению стержня:
В точках поперечного сечения возникают только нормальные напряжения, то есть площадка элементарного объема в окрестностях точки, совпадающая с этим сечением, является главной:
,
остальные главные напряжения отсутствуют, т.е. это одноосное напряженное состояние. Найдем напряжения на наклонной площадке.
Вектор полного напряжения p, действующий на этой площадке, можно разложить на две составляющие: нормальную sa и касательную ta, для определения величины которых воспользуемся кругом Мора.
Наносим в координатах t?s точки, соответствующие главным напряжениям и , и на этих точках, как на диаметре, строим круг Мора:
Откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки двойной угол a, получаем на круге точку, отображающую состояние на наклонной площадке. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями и вычисляются по формулам (2.4) и (2.5):
, .
Обратная задача Мора
Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере.
Задача.
Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения:
Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент Mx.
Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению:
В данном случае имеется две равноопасные точки - B и C, в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точке В, выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряжений и на его гранях.
Величины напряжений и можно определить по формулам:
,
.
Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху):
Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки a и b. На площадке a действуют нормальное и касательное напряжение?. На площадке b действуют только касательное напряжение ? (согласно закону парности касательных напряжений).
Порядок построения круга Мора:
1. В системе координат t?s нанести точки с координатами (sa, ta) и (sb, tb). При этом нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение, а касательное - если оно действует по часовой стрелке относительно центра элемента.
2. Соединить полученные точки Da и Db отрезком. Точка пересечения этого отрезка с осью абсцисс O является центром круга Мора.
3. Построить окружность с центром в точке O и радиусом ODa. Координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс дают величины главных напряжений (в нашем случае s?, и s?).
4. Пересечение площадок a (горизонталь) и b (вертикаль) дает положение полюса площадок круга Мора Pпл (точка, в которой пересекаются все площадки).
5. Провести из полюса Pпл лучи через точки (s?, 0) и (s?, 0). Эти лучи задают положение главных площадок.
Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку:
Радиус круга Мора
,
тогда главные напряжения
,
.
2. Теории предельного состояния
Назначение теорий предельного состояния
Для того, чтобы сравнивать два неодинаковых напряженных состояния, введем для них некоторые характеристики.
1. Напряженные состояния подобны (однотипны), если их главные напряжения пропорциональны. Значит, два напряженных состояния однотипны, если
2. Напряженное состояние, при котором наступает недопустимый процесс (для хрупких материалов - разрушение, а для пластичных - появление недопустимых остаточных деформаций), называется предельным (опасным) напряженным состоянием. Произвольное напряженное состояние можно довести до предельного путем пропорционального и одновременного увеличения его главных напряжений. Обозначим - главные напряжения предельного напряженного состояния.
3. Запасом прочности n данного напряженного состояния называется число, показывающее, во сколько раз одновременно и пропорционально надо увеличить его главные напряжения, чтобы оно стало предельным:
(2.6)
4. Напряженные состояния элементов из одного и того же материала равнопрочны, если у них равны запасы прочности.
Для определения запаса прочности любого напряженного состояния по (2.6) надо знать значения главных напряжений предельного напряженного состояния, ему подобного, которые могут быть найдены только экспериментально.
Практически этого сделать нельзя по двум основным причинам:
во-первых, в настоящее время отсутствуют машины, позволяющие создавать произвольные напряженные состояния;
во-вторых, если бы такие машины и были, то невозможно провести неограниченно большое число опытов по определению значений главных напряжений предельных напряженных состояний при их произвольном отношении:
и
Поэтому о прочности данного напряженного состояния судят по прочности напряженного состояния, ему не подобного, путем высказывания предположения об их равнопрочности.
Предположение о равнопрочности разнотипных напряженных состояний называется теорией или гипотезой прочности.
Обычно данное напряженное состояние сравнивают с одноосным растяжением, для которого значения предельных механических характеристик материала и определяются просто.
Одноосное напряженное состояние, равнопрочное данному, называется эквивалентным. Обозначим - главное напряжение эквивалентного напряженного состояния.
На основании сформулированного предположения (критерия) равнопрочности устанавливается зависимость между и :
Опасной называется точка элемента системы, в которой по одной из теорий прочности достигает наибольшего значения, и условие прочности тогда можно записать в виде:
Сформулировать универсальный критерий равнопрочности, учитывающий всю совокупность причин, практически влияющих на прочность (тип напряженного состояния, состояние материала, характер действия на тело внешних факторов) до сих пор не удалось. Поэтому, в настоящее время при расчете на прочность используется несколько теорий прочности, взаимно дополняющих друг друга. Теории прочности, объясняющие возникновение предельного состояния разрушением, называются теориями хрупкого разрушения, а объясняющие его возникновение появлением недопустимых пластических деформаций - теориями пластичности.
Рассмотрим классические теории предельного состояния, высказывающие гипотезы о характере функции .
Теории хрупкого разрушения
Первая теория прочности - теория наибольших нормальных напряжений (теория Галилея).
Критерий равнопрочности: напряженных состояния равнопрочны по хрупкому разрушению, если у них равны наибольшие нормальные напряжения
.
Условие прочности при растяжении
.
Также можно использовать условие прочности для сжатия
. (2.7)
Данная теория нашла подтверждение только для весьма хрупких материалов (камень, бетон, кирпич). Ее основным недостатком является неучет двух главных напряжений.
Вторая теория прочности - теория наибольших линейных деформаций (теория Мариотта).
Критерий равнопрочности: напряженных состояния равнопрочны по хрупкому разрушению, если у них равны наибольшие линейные относительные деформации
.
Согласно закону Гука, при одноосном напряженном состоянии
.
Наибольшую линейную относительную деформацию при произвольном напряженном состоянии запишем, используя обобщенный закон Гука:
.
Приравнивая правые части, получим эквивалентное напряжение по второй теории
. (2.8)
Вторая теория применима только для хрупких материалов, в том числе для хрупких металлов.
Теории пластичности
Третья теория прочности - теория наибольших касательных напряжений (теория Кулона).
Критерий равнопрочности: напряженных состояния равнопрочны по наступлению недопустимых пластических деформаций, если у них равны наибольшие касательные напряжения
.
По формуле (2.2) касательное напряжение в случае плоского напряженного состояния определяется как:
,
из которой следует, что
.
При одноосном напряженном состоянии , , и
.
Приравнивая правые части полученных выражений, получим эквивалентное напряжение по третьей теории
.
Для случая плоского напряженного состояния, когда нормальное напряжение на одной из площадок равно нулю (изгиб с кручением), выразив главные напряжения через напряжения на произвольной площадке, условие прочности принимает вид:
. (2.9)
Третья теория используется при расчете элементов конструкций, изготовленных из пластичных материалов.
Ее недостатком является неучет главного напряжения у2.
Четвертая теория прочности - теория удельной потенциальной энергии формоизменения - энергетическая теория (теория Мизеса - Генки).
Критерий равнопрочности: напряженные состояния равнопрочны по наступлению недопустимых пластических деформаций, если у них равны удельные потенциальные энергии формоизменения:
.
Используя приведенное в разделе 8.1.5 выражение для потенциальной энергии изменения формы (8.1) для одноосного и объемного напряженного состояния, получим
,
откуда эквивалентное напряжение по четвертой теории
.
Для случая плоского напряженного состояния ():
. (2.10)
Выражая главные напряжения через напряжения на произвольных площадках для плоского напряженного состояния, когда на одной из площадок нормальное напряжение равно нулю, получим:
и .
Подставляя полученные выражения в формулу (8.6), условие прочности можно записать в виде:
.
Энергетическая теория хорошо согласуется с экспериментальными данными (лучше, чем третья теория), и широко используется для пластичных материалов.
Универсальная теория Мора
Пятая теория прочности - теория предельных состояний (теория Мора).
Критерий равнопрочности: напряженные состояния равнопрочны по наступлению предельного состояния, если при одновременном пропорциональном увеличении главных напряжений их круги Мора одновременно коснутся предельной огибающей.
Если изобразить в координатах t?s семейство кругов Мора для различных предельных состояний материала, то огибающая этого семейства будет предельной огибающей для данного материала.
Изобразим в координатах t?s три предельных круга Мора:
круг с центром в точке O1 - для случая одноосного сжатия (главные напряжения у1 = 0, у2 = 0, у3 = увс);
круг с центром в точке O2 - для случая одноосного растяжения (главные напряжения у1 = увр, у2 = 0, у3 = 0);
круг с центром в точке O3 - для случая плоского напряженного состояния (главные напряжения у1, у3).
Линия C1D1, огибающая круги, называется предельной огибающей.
Как видно из рисунка, , то есть
.
Запишем длины отрезков через соответствующие напряжения:
,
,
,
.
Подставляя эти значения в пропорцию, получим
,
откуда:
.
После сокращения имеем
,
Тогда
,
где .
Т.к. - предел прочности для одноосного растяжения, его можно заменить .
Таким образом, эквивалентное напряжение по теории Мора, равно:
. (2.11)
Для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, , следовательно
,
то есть теория Мора совпадает с теорией максимальных касательных напряжений. Для хрупких материалов , и
.
Интересно, что для весьма хрупких материалов с
,
то есть теория Мора совпадает с теорией максимальных нормальных напряжений.
Теорию Мора рекомендуется использовать для хрупких (в том числе анизотропных) материалов вместо первой и второй теорий. Ее недостатком является неучет промежуточного главного напряжения у2.
3. Общий случай нагружения
Сочетание изгиба в двух плоскостях с растяжением (сжатием) и кручением называется общим случаем нагружения.
Рассмотрим алгоритм расчета на прочность в общем случае нагружения на примере консольной балки прямоугольного поперечного сечения, изготовленной из пластичного материала:
На рисунке показаны эпюры распределения внутренних силовых факторов вдоль оси балки.
Алгоритм расчета на прочность
1. Определение положения опасного сечения.
В рассматриваемом случае опасным является сечение в непосредственной близости от заделки, где максимальной величины достигают изгибающие моменты Mx и My. Здесь действуют внутренние силовые факторы:
; ; ; ; ; .
2. Определение вида деформации в опасном сечении.
В нашей задаче опасное сечение испытывает общий случай нагружения - это косой поперечный изгиб с растяжением и кручением.
3. Определение положения опасной точки в опасном сечении.
Рассмотрим распределение напряжений от различных внутренних усилий по опасному сечению:
Опасной точкой сечения является одна из трех точек:
либо точка a, в которой возникают наибольшие нормальные напряжения;
либо точка b, в которой возникают наибольшие касательные напряжения и, кроме того, действуют нормальные напряжения;
либо точка c, в которой одновременно действуют и нормальные, и касательные напряжения.
4. Определение вида напряженного состояния в опасных точках.
Точка a: одноосное напряженное состояние.
Точка b: плоское напряженное состояние.
Точка c: плоское напряженное состояние.
5. Вычисление эквивалентного напряжения в опасных точках.
Для того чтобы из трех возможных точек выбрать наиболее опасную, необходимо вычислить напряжения в этих точках (с учетом вида напряженного состояния) и сравнить их по абсолютной величине.
Для точки a:
Поскольку в точке а возникает линейное напряженное состояние (), то теории прочности применять здесь не нужно, нормальное напряжение в точке а равно:
.
Для точки b:
Здесь возникает плоское напряженное состояние, значит необходимо вычислить эквивалентное напряжение в точке по соответствующей теории прочности. Т.к. материал балки пластичный, выбираем, например, четвертую теорию прочности:
, где
,
.
Для точки c:
Здесь также возникает плоское напряженное состояние. Пользуясь той же теорией прочности, вычисляем эквивалентное напряжение в точке с:
, где ,
.
6. Запись условия прочности в наиболее опасной точке
Наиболее опасной точкой сечения (из трех возможных) является та, в которой напряжение принимает наибольшее значение:
Именно для этой точки записывается условие прочности: , исходя из которого решается поставленная прочностная задача: производится либо поверочный, либо проектировочный расчет.
Требования к знаниям и умениям по данному разделу
Что надо знать: Что такое напряженное состояние в точке нагруженного элемента конструкции. Понятие о главных напряжениях. Виды напряженного состояния в точке. Что такое прямая и обратная задачи О. - К. Мора, и как они решаются. Что такое деформированное состояние в точке. Понятие о главных деформациях. Математическую формулировку закона Гука для объемного деформированного состояния. Что такое теории предельного состояния и их назначение. Понятие об эквивалентном напряжении уэкв. Математические выражения уэкв для пяти классических теорий предельного состояния.
Что надо уметь: По условиям нагружения элемента конструкции определять положение опасного сечения и вид деформации в опасном сечении. Определять положение опасной точки в опасном сечении. Вид напряженного состояния в опасной точке. Соответственно виду напряженного состояния и в зависимости от механических свойств материала выбирать теорию предельного состояния для расчета эквивалентного напряжения.
Алгоритм расчета на прочность в условиях сложного сопротивления
1. Определение положения опасного сечения на элементе конструкции. Рекомендации: Для реализации этого пункта постройте эпюры внутренних силовых факторов.
2. Определение вида деформации в опасном сечении.
3. Рекомендации: Необходимо учитывать сочетание внутренних силовых факторов и формы поперечного сечения.
4. Определение положения опасной точки в опасном сечении.
5. Рекомендации: При изгибе необходимо определить положение нейтральной линии, т.к. опасные точки находятся на максимальном удалении от нейтральной линии.
6. Определение вида напряженного состояния в опасной точке.
7. Выбор теории предельного состояния для определения эквивалентного напряжения в опасной точке и решение условия прочности.
8. Рекомендации: При выборе теории предельного состояния руководствоваться свойствами используемого материала (хрупкий или пластичный).
3. Расчет на прочность и жесткость статически неопределимых систем, работающих на изгиб.
Базовые знания
· Понятие о статически определимых и статически неопределимых системах
· Построение эпюр ВСФ на статически определимых системах при изгибе. Геометрические характеристики плоских сечений
· Расчет на прочность и жесткость при, изгибе.
Перечень основных изучаемых вопросов
§ Геометрически изменяемые и геометрически неизменяемые, статически определимые и статически неопределимые системы. Степень статической неопределимости. Основные и "лишние" связи. "Лишние" неизвестные. Внешняя и внутренняя статическая неопределимость
§ Метод сил - метод раскрытия статической неопределимости:
ь Основная система, неоднозначность её выбора
ь Эквивалентная система
ь Условие эквивалентности
ь Система канонических уравнений метода сил (СКУМС)
ь Коэффициенты канонических уравнений: физический смысл и способ определения
ь Единичные и грузовая эпюры
ь Решение СКУМС
§ Суммарная эпюра моментов статически неопределимой системы
§ Проверка правильности раскрытия статической неопределимости
§ Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
§ Расчеты на прочность и жесткость статически неопределимых систем
|
Источники информации для изучения Александров А. В. Писаренко Г.С. Учебник Ицкович Г. М. Писаренко Г.С. Справочник |
Глава 9, §§9.1-9.3 Глава 14, §§90-92 Глава VII, §§20-24 Глава 13, §§13.1-13.2 |
Установочная лекция по теме:
"Статически неопределимые системы. Метод сил. Приложение к трем простым видам деформации: растяжение-сжатие, изгиб, кручение"
4. Понятие статической неопределимости
Статически неопределимыми системами называются такие системы, у которых количество наложенных связей (или количество реактивных усилий) больше необходимого и достаточного числа уравнений статического равновесия.
Разность между числом неизвестных сил в системе и числом уравнений статики называется степенью статической неопределимости s.
Рассмотрим статически неопределимые системы при различных видах деформации: растяжение-сжатие, кручение, изгиб, и определим их степень статической неопределимости (см. табл.1).
Таблица 1
|
Вид деформации |
Растяжение- сжатие |
Кручение |
Изгиб |
|
|
Расчетная схема |
||||
|
Реактивные усилия |
Два: R1, R2 |
Два: MR1 и MR2 |
Три: R1, R2, и MR |
|
|
Уравнения равновесия |
Одно: : |
Одно: |
Два: : : |
|
|
Степень статической неопредели-мости |
s=2-1=1 |
s=2-1=1 |
s=3-2=1 |
Для построения эпюр ВСФ с целью определения положения опасного сечения и расчета статически неопределимых систем на прочность и жесткость необходимо определить все реактивные усилия. Одних уравнений равновесия для этого недостаточно. Нужны дополнительные условия.
Один из возможных способов получения таких условий предлагается в методе сил - методе раскрытия статической неопределимости.
Метод сил
Основная идея метода сил заключается в том, чтобы заменить исходную статически неопределимую систему эквивалентной статически определимой. Для этого в заданной статически неопределимой системе отбрасывают "лишние" связи (так, чтобы она стала статически определимой, но при этом оставалась кинематически неизменяемой) и заменяют их реакциями. Реакции отброшенных связей (так называемые "лишние" неизвестные) определяют из условия эквивалентности двух систем: заданной статически неопределимой и полученной статически определимой. Условием эквивалентности является требование равенства нулю перемещений раскрепленных точек системы в направлении отброшенных связей.
Проследим применение алгоритма метода сил на примере трех конструкций, рассмотренных в Таблице 1, испытывающих различные виды деформации. Результаты отражены в Таблице 2.
Алгоритм метода сил
1. Образование основной системы.
Основная система образуется из исходной путем отбрасывания лишних связей и факторов внешнего воздействия. Основная система должна быть статически определима и кинематически неизменяема. Выбор основной системы неоднозначен.
В строке №2 Таблицы 2 показаны возможные варианты выбора основной системы для рассматриваемых расчетных схем.
2. Образование эквивалентной системы.
Эквивалентная система образуется из основной путем замены отброшенных связей их неизвестными реакциями и приложением факторов внешнего воздействия. Реакции отброшенных связей в методе сил принимают за неизвестные и обозначают: Х1, Х2,…, Хn (для n раз статически неопределимой системы: s=n).
Остановимся для наших примеров на вариантах №1 выбора основной системы, тогда в строке №3 Таблицы 2 показаны соответствующие им эквивалентные системы.
3. Запись условия эквивалентности.
Условием эквивалентности двух систем (эквивалентной статически определимой и исходной статически неопределимой) является отсутствие перемещений раскрепленных точек эквивалентной системы по направлению отброшенных связей (т.е. в направлении действия "лишних" неизвестных).
В строке №4 Таблицы 2 записаны условия эквивалентности для рассматриваемых примеров.
Для n раз статически неопределимой системы условие эквивалентности выглядит следующим образом:
На основании принципа суперпозиции данную систему можно записать в виде:
Таблица 2
|
№ п/п |
Алгоритм метода сил |
Растяжение-сжатие |
Кручение |
Изгиб |
|
|
1. |
Расчетная схема |
s=1 |
s=1 |
s=1 |
|
|
2. |
Выбор основной системы (возможные варианты) |
№1: №2: |
№1: №2: |
№1: №2: |
|
|
3. |
Образование эквивалентной системы (для варианта №1 основной системы) |
||||
|
4. |
Условие эквивалентности |
||||
|
5. |
СКУМС |
||||
|
6. |
Построение грузовой эпюры |
||||
|
7. |
Построение единичной эпюры |
||||
|
8. |
Вычисление единичного коэффициента |
||||
|
9. |
Вычисление грузового коэффициента |
||||
|
10. |
Решение СКУМС (определение неизвестной Х1) |
||||
|
11. |
Построение суммарной эпюры |
||||
|
12. |
Деформационная проверка |
Чтобы выделить в условии эквивалентности неизвестные Х проведем следующие рассуждения на примере - перемещения i-той точки под действием силы Хj. На основании закона Гука можно сделать заключение, что величина будет во столько раз отличаться от перемещения под действием единичной силы, находящейся на месте силы Хj, во сколько раз сила Хj отличается от единицы, т.е. в Хj раз.
Таким образом: . Для простоты обозначим как . То есть первый индекс будет обозначать номер (положение) раскрепленной точки или убранной связи (i), а второй - положение единичной силы, совпадающее с положением другой убранной связи (j). С учетом такого обозначения систему уравнений можно записать в каноническом виде:
(3.1)
Итак, (1.1) - система канонических уравнений метода сил (СКУМС). Коэффициенты при неизвестных Xj называются единичными коэффициентами, а свободные члены - - грузовыми слагаемыми. Физическая сущность всех коэффициентов - это перемещение соответствующих точек упругой системы, обозначенных первым индексом от фактора либо единичного, либо грузового, обозначенного вторым индексом.
Условия эквивалентности в каноническом виде для рассматриваемых примеров - см. строку №5 Таблицы 2.
4. Определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил.
Для определения коэффициентов системы канонических уравнений метода сил на основной статически определимой системе строятся вспомогательные эпюры ВСФ: грузовая и единичные.
Грузовая эпюра строится на основной системе от факторов внешнего воздействия. Для рассматриваемых примеров грузовые эпюры приведены в строке №6 Таблицы 2.
Единичные эпюры строятся на основной системе от единичной безразмерной силы, приложенной к каждой точке, с которой снята связь, по направлению этой связи. Т.е. такие единичные силы совпадают по точкам приложения и по направлениям с неизвестными силами Х1, Х2,…, Хn и поэтому для удобства предлагается при построении единичных эпюр нагружать основную систему поочередно Xj=1. Количество единичных эпюр равно количеству лишних неизвестных и равно степени статической неопределимости исходной системы. Для рассматриваемых примеров единичные эпюры приведены в строке №7 Таблицы 2.
Вполне понятно, что вид деформации системы определяет тип внутреннего силового фактора, эпюра которого строится: при растяжении-сжатии - это продольная сила N, при кручении - это крутящий момент Mz, при изгибе определяющим внутренним силовым фактором является изгибающий момент Мх.
Определение коэффициентов производится путем "перемножения" соответствующих вспомогательных эпюр методом Мора.
Единичные коэффициенты определяются путем "перемножения" i-той единичной эпюры на j-тую.
Единичные коэффициенты с отличающимися индексами:
(случай деформации: растяжение-сжатие)
(случай деформации: кручение)
(случай деформации: изгиб)
Очевидно, что симметричные коэффициенты равны между собой: .
Диагональные коэффициенты (с одинаковыми индексами):
(растяжение-сжатие)
(кручение)
(изгиб)
Из данных формул видно, что диагональные коэффициенты не могут быть отрицательными: .
Вычисление единичных коэффициентов для рассматриваемых примеров приведено в строке №8 Таблицы 2.
Грузовые коэффициенты определяются путем "перемножения" i-той единичной эпюры на грузовую:
(растяжение-сжатие)
(кручение)
(изгиб)
Грузовые коэффициенты для рассматриваемых примеров вычислены в строке №9 Таблицы 2.
5. Решение СКУМС относительно неизвестных.
Подставляя найденные единичные и грузовые коэффициенты в СКУМС решают её относительно неизвестных Х1, Х2,. Хn любым известным из курса математики методом (см. строку №10 Таблицы 2).
6. Построение эпюр ВСФ.
Эпюры внутренних силовых факторов исходной статически неопределимой системы строятся по эквивалентной статически определимой системе с учетом заданной внешней нагрузки и найденных значений "лишних" неизвестных. Эти эпюры будем называть суммарными и обозначать индексом "" (см. строку №11 Таблицы 2).
7. Деформационная проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
Физический смысл проверки заключается в определении перемещения связанной точки, т.е. такой точки упругой системы, перемещение которой заранее известно и равно нулю. Например, перемещения раскрепленных точек эквивалентной системы в направлении отброшенных связей. Эти перемещения находятся путем "перемножения" по методу Мора соответствующей единичной эпюры на суммарную эпюру ВСФ. Если полученные таким образом перемещения равны нулю, то статическая неопределимость раскрыта верно.
Итак, математическое выражение деформационной проверки имеет вид:
(растяжение-сжатие)
(кручение)
(изгиб)
Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
Кроме внешнего силового воздействия на конструкцию может воздействовать температура (нагрев или охлаждение в ходе эксплуатации), а рабочие элементы могут иметь неточность изготовления, приводящую уже при сборке статически-неопределимой конструкции к созданию так называемых монтажных напряжений. Даже не столь существенное изменение температуры и небольшие монтажные зазоры могут существенно сказаться после нагружения конструкции внешней силой, так как при однознаковых напряжениях от всех воздействующих факторов можно получить недопустимые совокупные напряжения в рабочих элементах конструкции.
Учесть температурный и монтажный фактор можно при раскрытии статической неопределимости, включив температурный коэффициент и неточность изготовления лишних элементов в уравнения СКУМС:
,
где - перемещение i-той раскрепленной точки системы под действием перепада температуры . С помощью интеграла Мора его можно определить как:
(случай деформации: растяжение-сжатие),
где - коэффициент линейного расширения материала k-того рабочего элемента; - перепад температуры, испытываемый k-тым рабочим стержнем; - внутренняя продольная сила, возникающая на k-том рабочем элементе основной системы под воздействием единичной силы, приложенной к i-той раскрепленной точке в направлении отброшенной связи (); - неточность изготовления i-того элемента (обычно численно заданная по условию задачи).
При решении дополненной таким образом системы канонических уравнений метода сил мы получим реакции лишних связей (), вызванные воздействием и внешних нагрузок, и температурой, и сборкой с учетом неточности изготовления рабочих элементов конструкции. Напряжения, определяемые в этом случае, также будут совокупными.
Но очень часто интересно знать вклад в совокупные напряжения каждого фактора и иметь возможность при моделировании работы конструкции варьировать величинами этих факторов. В таком случае удобнее использовать принцип суперпозиции применительно к напряжениям. Так напряжение в k-том рабочем элементе от совокупности всех факторов можно представить как:
,
а раскрытие статической неопределимости, т.е. определение реакций лишних связей, производить от каждого фактора в отдельности, решая системы:
,
,
.
Рассмотрим описанный выше прием на примере следующей задачи.
Задача.
Дана абсолютно жесткая балка ВС, закрепленная с помощью шарнирно-неподвижной опоры "О" и 2-х податливых стержней, и нагруженная двумя силами и кН (рис.1.1). В процессе эксплуатации оба стержня нагреваются на С. Стержень №2 изготовлен короче необходимого размера на % l. Площадь поперечного сечения стержней , МПа; коэффициент линейного расширения материала стержней , МПа.
Определить напряжения, возникающие в стержнях от каждого из действующих факторов, а также суммарные напряжения. Сделать вывод о работоспособности системы в целом.
Рис.3.1 Исходная система
Решение:
1. Образуем основную систему (рис.3.2):
Рис.3.2 Основная система
2. Образуем эквивалентные системы (рис.3.3 а, рис.3.3 б, рис.3.3 в):
Рис.3.3, а. Эквивалентная система с воздействием силового фактора
Рис.3.3, б. Эквивалентная система с воздействием температуры
Рис.3.3, в. Эквивалентная система с неточностью изготовления
3. Для каждой эквивалентной системы запишем условие эквивалентности:
- для (эквивалентной системы - F). (3.2)
- для (эквивалентной системы - t). (3.3)
- для (эквивалентной системы - ). (3.4)
Очевидно, что для всех 3-х эквивалентных систем коэффициент одинаков, так как все они построены на одной и той же основной системе.
4. Для определения коэффициентов , поочередно нагрузим основную систему единичной силой (рис.3.4) и системой внешних сил (рис.3.5) и получим величины продольных сил в стержнях.
Рис.3.4 Основная система, нагруженная
,
;
.
; - основание: метод сечений.
.
Рис.3.5 Основная система, нагруженная внешними силами
В данном случае работает только стержень №2, в точке его крепления возникнет реакция , которую определим из :
Подобные документы
Рассматриваются особенности расчета напряженно-деформированного состояния воздухоопорной оболочки методами теории открытых систем (OST) и методами безмоментной теории оболочек (MTS). Сравнение результатов данных расчетов с экспериментальными данными.
контрольная работа [849,2 K], добавлен 31.05.2012Расчет напряженно-деформированного состояния ортотропного покрытия на упругом основании. Распределение напряжений и перемещений в ортотропной полосе на жестком основании. Приближенный расчет напряженного состояния покрытия из композиционного материала.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 13.12.2016Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела. Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел. Основные уравнения и типы задач теории упругости. Принцип возможных перемещений Лагранжа и возможных состояний Кастильяно.
реферат [956,3 K], добавлен 13.11.2011Порядок проведения визуального осмотра аккумуляторной батареи, определение состояния моноблока, крышек, пробок, мастики, выводов. Измерение напряжения под нагрузкой, измерение напряжения 2-х соседних аккумуляторов, падения напряжения на мастики.
лабораторная работа [11,1 K], добавлен 08.02.2010Особенности и суть метода сопротивления материалов. Понятие растяжения и сжатия, сущность метода сечения. Испытания механических свойств материалов. Основы теории напряженного состояния. Теории прочности, определение и построение эпюр крутящих моментов.
курс лекций [1,3 M], добавлен 23.05.2010Вычисление коэффициента интенсивности напряжения для произвольной формы образца и заданного распределения внешней нагрузки в теории упругости. Критическая сила при растяжении плоскости парой сосредоточенных сил. Условия равновесия для полосы с трещиной.
методичка [132,9 K], добавлен 02.03.2010Свойства независимых комбинаций продольной и поперечной объемных волн. Закон Гука в линейной теории упругости при малых деформациях. Коэффициент Пуассона, тензоры напряжения и деформации. Второй закон Ньютона для элементов упругой деформированной среды.
реферат [133,7 K], добавлен 15.10.2011Определение напряжений при растяжении–сжатии. Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука. Напряженное состояние и закон парности касательных напряжений. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса и расчеты на прочность при растяжении-сжатии.
контрольная работа [364,5 K], добавлен 11.10.2013Переменное и импульсное напряжения. Измерения напряжения на изоляторах и контроля их состояния. Распределение напряжения по элементам исправной гирлянды, по элементам гирлянды с поврежденными изоляторами, по элементам исправной гирлянды с экраном.
лабораторная работа [382,9 K], добавлен 27.01.2009Изучение характеристик модели, связанных с инфильтрацией воздуха через материал. Структура материалов тела. Анализ особенностей механизма диффузии. Экспериментальное исследование диффузии, а также методика расчета функции состояния системы с ее учетом.
научная работа [1,3 M], добавлен 11.12.2012
