;

; ;

.

Решим каждое уравнение (1.2, 1.3, 1.4) относительно неизвестных , , .

;

;

.

Каждое значение поставим на соответствующую эквивалентную систему (рис.3.3 а, рис.3.3 б, рис.3.3 в) и определим для каждой эквивалентной системы реакцию в точке крепления второго стержня, используя уравнение равновесия:

;

;

;

Определим напряжения в стержнях от каждого из факторов.

Продольные силы и напряжения в стержнях от силы кН.

Так как , а , то

;

.

Продольные силы и температурные напряжения в стержнях при их равномерном нагреве на .

;

;

(стержень растянут);

(стержень сжат).

Продольные силы и сборочные напряжения в стержнях в результате неточности изготовления 1-го стержня (короче на 0,08%).

;

;

(стержень растянут);

(стержень сжат).

Суммарные продольные усилия и напряжения в стержнях от совокупности действия факторов.

;

;

;

;

Из результатов расчета видно, что в стержне №1 развиваются напряжения растяжения, превышающие допускаемую величину. Перегруз составляет 7,024 МПа, что в процентном соотношении от составляет: , то есть меньше допускаемого процента перегруза. Во втором стержне развивается напряжение сжатия за счет температурного воздействия и неточности изготовления, которые значительно меньше допускаемого. То есть в целом конструкция работоспособна при заданных условиях нагружения.

Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости

Определим, прежде всего, для статически неопределимых систем следующие виды симметрии:

a) Симметричная система с симметричной нагрузкой:

Здесь и сама система и приложенная к ней нагрузка зеркально симметричны относительно оси симметрии у.

b) Симметричная система с кососимметричной нагрузкой:

Здесь, в отличие от предыдущего случая, при зеркальной симметрии относительно оси у, направление приложенных сил получается противоположное.

c) Кососимметричная система с симметричной нагрузкой:

Здесь, при повороте одной половины системы относительно центра симметрии О на , она полностью совпадает со второй своей половиной. Направление сил при этом тоже совпадает.

d) Кососимметричная система с кососимметричной нагрузкой:

Здесь, в отличие от предыдущего случая, при повороте на половинки системы совпадают, но направление сил получается противоположное.

Для статически неопределимых систем, обладающих одним из перечисленных видов симметрии, процесс раскрытия статической неопределимости существенно упрощается, если рассматривать саму систему как внутренне статически неопределимую. Для этого необходимо образовать основную систему путем разрезания исходной системы по оси или по центру симметрии на две статически определимых системы.

Проследим применение алгоритма метода сил на примере симметричной системы с симметричной нагрузкой.

Исходная система:

Основная система:

Эквивалентная система:

При таком выборе основной системы в качестве "лишних" неизвестных выступают внутренние силовые факторы в проведенном сечении, причем, продольная сила Х₁ и изгибающий момент Х₃ - симметричные ВСФ, а поперечная сила Х₂ - кососимметричный внутренний силовой фактор.

Построим вспомогательные эпюры: грузовую и единичные.

Грузовая эпюра М_F:

симметричная эпюра

Единичные эпюры M₁, М₂ и М₃:

симметричная эпюра

кососимметричная эпюра

симметричная эпюра

Эпюры M₁, М₃ и М_F, построенные от действия симметричных силовых факторов являются симметричными эпюрами, а эпюра М₂, построенная от действия кососимметричного силового фактора, является кососимметричной эпюрой.

Очевидно, что коэффициенты СКУМС, полученные путем "перемножения" симметричной эпюры на кососимметричную, равны нулю, т.е. . Тогда система канонических уравнений метода сил примет следующий вид:

Эта система трех уравнений с тремя неизвестными распадается на две более простые подсистемы, решить которые существенно проще:

Таким образом, учет симметрии понижает степень статической неопределимости.

5. Расчет на прочность в условиях динамического нагружения (вынужденные колебания, удар)

Базовые знания

· Статический расчет конструкций на прочность при растяжении-сжатии, изгибе, кручении

Перечень основных изучаемых вопросов

A. Колебания

§ Классификация механических колебаний по причинам, вызывающим колебания, по виду деформации. Число степеней свободы

§ Колебания упругих систем с одной степенью свободы

§ Свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления. Дифференциальное уравнение колебаний. Частота собственных колебаний. Податливость системы

§ Свободные колебания с учетом сопротивления среды. Дифференциальное уравнение колебаний. Удельный коэффициент сопротивления. Логарифмический декремент затухания. Природа сил сопротивления

§ Вынужденные периодические колебания с учетом сил сопротивления. Дифференциальное уравнение колебаний. Частота вынужденных колебаний. Амплитуда колебаний. Коэффициент нарастания колебаний. Расчет на прочность и жесткость

B. Удар

§ Удар - вид динамического нагружения. Общий подход к расчету на прочность и жесткость при динамическом нагружении. Особенности ударного действия нагрузки. Виды удара

§ Общий случай ударного воздействия нагрузки. Законы сохранения: импульса, кинетической энергии. Коэффициент динамичности в общем случае ударного воздействия

§ Частные случаи удара. Коэффициенты динамичности для частных случаев удара

Источники информации для изучения Колебания Писаренко Г.С. Учебник Ицкович Г. М. Писаренко Г.С. Справочник Удар Александров А. В. Писаренко Г.С. Учебник Ицкович Г. М. Писаренко Г.С. Справочник	Глава 20, §§123-127 Глава ХVI, §§51-52 Глава 19, §§19.1-19.7 Глава 17, §§17.3-17.4 Глава 22, §§141-144 Глава ХVI, §§50 Глава 21

Установочная лекция по теме:

"Колебания. Удар"

Основы теории колебаний

Классификация механических колебаний

Первое, что важно знать при исследовании колебательных движений упругих систем - число степеней свободы, т.е. число независимых переменных, необходимых и достаточных для описания состояния системы в любой момент времени.

В простейших случаях положение системы можно определить только одной величиной. Например, груз, подвешенный на пружине:

Число степеней свободы n=1.

Двумя степенями свободы обладает невесомая балка, несущая две массы:

Число степеней свободы n=2.

Балка с распределенной по всей длине массой обладает бесконечным числом степеней свободы:

Число степеней свободы n=

Различают следующие типы колебаний:

1. Свободные (собственные) - колебания, возникающие вследствие начального отклонения системы от положения равновесия, и происходящие только под действием сил упругости системы.

2. Вынужденные - колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил.

3. Параметрические - колебания, в процессе которых периодически изменяются параметры системы (например, при кручении стержня прямоугольного профиля, при потере устойчивости при пульсирующей нагрузке).

4. Автоколебания - колебания, возбуждаемые внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом (например, колебания деформируемых тел в потоке жидкости или газа - флаттер).

Колебания классифицируют также по виду деформации. Так, для стержней различают продольные, поперечные и крутильные колебания.

Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы

Пусть тележка массой m, прикрепленная к стенке пружиной жесткостью c, выводится из состояния равновесия кратковременным возмущением, действующим вдоль оси z.

На рассматриваемую систему действуют сила упругости и сила инерции (здесь - величина смещения тележки от положения равновесия, - ускорение). В соответствии с принципом Даламбера запишем сумму проекций сил на ось z:

,

. Обозначим

.

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления имеет вид:

.

Решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде:

или

,

где - амплитуда, - собственная частота колебаний упругой системы, - начальная фаза.

Таким образом, свободные (собственные) колебания представляют собой простые гармонические колебания.

Запишем жесткость пружины в виде

,

где d₁₁ - податливость упругой системы.

Тогда частота собственных колебаний

.

Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления

Добавим к числу сил, действующих на систему, силу сопротивления, пропорциональную скорости колебательного процесса :

Тогда сумма проекций сил на ось z:

,

.

Принято обозначать , где n - коэффициент затухания колебаний.

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления имеет вид:

.

Общее решение данного дифференциального уравнения:

,

где .

Если в начальный момент времени при t = 0 z = 0, то коэффициент C₂ = 0, и уравнение колебательного процесса принимает вид - "синусоида" с уменьшающейся амплитудой:

Под периодом таких колебаний понимают время между двумя максимальными отклонениями:

.

Отношение двух последовательных максимальных амплитуд A_i и A_i+1 равно

.

Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом колебательного процесса и является основной характеристикой затухания колебаний.

Рассмотрим природу сил сопротивления.

Различают силы внешнего сопротивления (трение в опорах, аэро - и гидродинамическое сопротивление) и силы внутреннего сопротивления (внутреннее трение, а также силы трения в сочленениях). К числу сил внешнего сопротивления относятся также специально создаваемые для гашения колебаний демпфирующие устройства.

По характеру зависимости сил сопротивления от обобщенных скоростей различают:

1 - силы линейного сопротивления;

2 - кулоново трение;

3 - сухое трение.

Если , то сила сопротивления совершает отрицательную работу, и происходит рассеивание энергии. Такая сила называется диссипативной.

Если , то происходит приток энергии в механическую систему, и сила называется силой отрицательного сопротивления.

Любой материал обладает демпфирующим свойством. Коэффициент демпфирования определяют при крутильных колебаниях по формуле:

,

где - первоначальный угол закручивания, - угол закручивания после 25 циклов крутильных колебаний.

Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы

Добавим к числу сил, действующих на систему, вынуждающую силу F₀sint, где - частота вынуждающей силы:

При этом уравнение равновесия принимает вид

.

Введем обозначение .

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления имеет вид:

.

Примем частное решение данного дифференциального уравнения в виде .

Его первая и вторая производная имеют вид

, .

Подставляя выражения для и в дифференциальное уравнение, получим

.

Данное равенство будет выполняться, если

Из последнего уравнения выразим С₂:

,

.

Преобразуем первое уравнение:

и подставим в него выражение для C₂:

,

.

Таким образом, коэффициенты уравнения колебательного процесса принимают вид:

; .

Введем обозначения:

,

.

С учетом этих обозначений уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

.

Отсюда видно, что A_вын - амплитуда вынужденных колебаний, - фазовый сдвиг между вынуждающей силой и вызываемыми ею колебаниями.

Определим амплитуду вынужденных колебаний:

,

,

.

Выразим массу из формулы для частоты собственных колебаний:

> .

Тогда амплитуда вынужденных колебаний вычисляется по следующей формуле:

.

Здесь - статическое перемещение точки, за колебанием которой мы наблюдаем. То есть, если амплитудную величину возмущающей силы приложить к данной точке статически (в направлении колебательного процесса), то эта точка получит статическое перемещение .

Тогда представим формулу для амплитуды вынужденных колебаний в следующем виде:

, где

- коэффициент динамичности.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний (динамическое перемещение):

.

В соответствии с законом Гука напряжение прямо пропорционально деформации, то есть

.

Если либо , то коэффициент динамичности

.

График зависимости коэффициента динамичности от отношения частот вынужденных и собственных колебаний:

При : - это случай резонанса. Фазовый сдвиг:

.

При фазовый сдвиг , т.е. вынуждающая сила достигает максимального значения в момент, когда колебательная система проходит через состояние равновесия. Это и является причиной резонанса.

Удар

Ударом называется взаимодействие тел, при котором силы взаимодействия резко нарастают или ослабевают за короткий промежуток времени. Удар относится к динамическим видам нагружения.

Можно выделить три вида задач об ударе:

Задачи об изменении параметров движения взаимодействующих тел, решаемые аппаратом механики недеформируемого твердого тела.

Задачи о напряжениях и деформациях, возникающих во взаимодействующих телах, решаемые аппаратом механики деформируемого твердого тела.

Задачи об определении свойств материалов при ударе.

В курсе "Сопротивление материалов" решаются ударные задачи только второго вида: производится расчет на прочность и жесткость элементов конструкций при ударном нагружении. Более общий подход к решению таких задач был предложен доктором технических наук, основателем кафедры "Сопротивление материалов" Тольяттинского политехнического института Георгием Федоровичем Лепиным.

Теория удара Лепина

Основные допущения:

Ударяющее тело абсолютно жесткое.

Материал ударяемого тела следует закону Гука.

Ударяемое тело имеет одну степень свободы.

Удар неупругий, т.е. ударяющее тело после удара не отскакивает, а движется совместно с ударяемым телом.

Кинетическая энергия ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, т.е. можно пренебречь контактными явлениями.

Деформация мгновенно распространяется по ударяемой системе, и все ее точки начинают движение одновременно, т.е. можно пренебречь волновыми явлениями.

Рассмотрим упругую систему в виде пружины длиной l и жесткостью c с грузом весом F₁. Пружина образует с горизонтом угол и под действием веса груза имеет деформацию . Абсолютно жесткое тело весом F движется со скоростью v под углом к горизонту.

Определим перемещение упругой системы _д после удара (динамическое перемещение). В соответствии с законом сохранения импульса, количество движения системы до и после удара одинаково. Проецируя количество движения на ось a, можно записать:

,

где V₁ - скорость движения системы после соударения:

. (4.1)

Воспользуемся теоремой о кинетической энергии:

T₂ - T₁ = I, (4.2)

где T₁, T₂ - кинетическая энергия в начале и конце ударного взаимодействия соответственно, I - работа всех сил на перемещении во время ударного взаимодействия.

Кинетическая энергия системы в начале взаимодействия равна

.

Подставляя сюда вместо V₁ выражение (11.1), получим:

, (4.3)

где - кинетическая энергия ударяющего тела.

В конце ударного взаимодействия система неподвижна, и ее кинетическая энергия T₂=0.

Работа внешних сил складывается из работы силы тяжести и силы упругости пружины:

.

Работа силы тяжести системы на перемещении, вызванном ударом:

. (4.4)

Рассмотрим зависимость силы упругости F_у от перемещения . По закону Гука :

Как видно из графика, работа силы упругости на перемещении, вызванном ударом, определяется:

.

Представим жесткость пружины в виде , где ₁₁ - податливость упругой системы (перемещение точки соударения под действием единичной силы, приложенной по направлению перемещения во время ударного взаимодействия).

Тогда работа сил упругости:

. (4.5)

Формула (11.2) с учетом выражений (11.3), (11.4) и (11.5) принимает вид:

,

откуда

,

,

.

Учитывая, что - статическое перемещение (перемещение точки соударения под действием силы тяжести взаимодействующих тел, приложенной статически по направлению перемещения во время ударного взаимодействия):

.

Поскольку корни квадратного уравнения вида равны

, то

,

.

Таким образом, перемещение при ударе вычисляется по формуле:

, (4.6)

где K_д - коэффициент динамичности:

(4.7)

В области упругих деформаций напряжение, возникающее при ударе

. (4.8)

Частные случаи удара

1. Тело массой m падает на упругую систему массой m₁ с высоты H.

В данном случае

a=b=9??

,

,

.

Коэффициент динамичности:

(4.9)

2. Тело массой m падает на невесомую упругую систему с высоты H.

Из предыдущего пункта коэффициент динамичности при m₁ = 0:

. (4.10)

В случае, когда

. (4.11)

3. ?Мгновенное приложение нагрузки.

Из предыдущего пункта коэффициент динамичности при H = 0:

K_д = 2. (4.12)

4. ?Тело массой m равномерно спускалось со скоростью V до момента заклинивания троса в обойме блока.

В данном случае

a=b=9??

(пренебрегаем массой троса),

,

.

Коэффициент динамичности:

. (4.13)

5. Тело массой m свободно падало до момента заклинивания троса в обойме блока, достигнув к этому времени скорости V.

В данном случае

a=b=9??

,

,

.

Коэффициент динамичности:

. (4.14)

6. Горизонтальный удар.

В данном случае

a=b=_?

,

,

.

Коэффициент динамичности:

. (4.15)

7. Горизонтальный удар по системе, массой которой можно пренебречь.

Из предыдущего пункта коэффициент динамичности при m₁ = 0:

. (4.16)

Расчет на прочность и жесткость при ударе

Подход к решению прочностной и деформационной задачи в курсе "Сопротивление материалов" единый: максимальные напряжения и перемещения, возникающие в нагруженной конструкции, не должны превышать соответствующих допускаемых величин. При ударе динамические напряжения и перемещения вычисляются по формулам (3.6) и (3.8), соответственно. Следовательно, условие прочности и условие жесткости при ударе имеют вид:

- условие прочности при ударе (4.17)

- условие жесткости при ударе (4.18)

Согласно условиям (4.17) и (4.18) решение ударной задачи сводится к решению соответствующей статической задачи и к определению коэффициента динамичности.

Алгоритм расчета на прочность и жесткость при ударе

1. Решение статической задачи. Определяются максимальные напряжения и перемещения ( и ), возникающие в ударяемой конструкции при статическом приложении в точке и в направлении удара веса ударяющего тела.

2. Определение коэффициента динамичности . Коэффициент динамичности находится по формуле (4.7) при общем случае удара, либо по одной из формул раздела 4.2.2 согласно того частного случая удара, который имеет место быть в данной задаче.

3. Решение динамической задачи. Определяются максимальные динамические напряжения и перемещения ( и ) по (4.17) и (4.18) и сравниваются с допускаемыми величинами (при поверочном расчете) либо условия (4.17) и (4.18) решаются согласно поставленной задаче (проектировочный расчет).

Размещено на Allbest.ru