Основные физические явления и процессы в электрических аппаратах

Pэм = dW */dx .(1.100)

На примере магнитной системы с одной возбуждающей катушкой, расположенной в определенном положении на магнитопроводе, магнитная коэнергия представляет собой механическую работу, совершаемую электромагнитными силами при перемещении этой катушки, заранее возбужденной током ik = const и предварительно бесконечно удаленной с магнитопровода в среду с магнитной проницаемостью \х = 0, в прежнее положение на магнитопроводе. В [5] можно ознакомиться с другим (равнозначимым) примером физической интерпретации магнитной коэнергии.

Из (1.100) следует, что при условии постоянства токов в возбуждающих контурах или катушках электромагнитная сила направлена в сторону увеличения магнитной коэнергии.

Использование понятия магнитной коэнергии оправдано только для нелинейных систем, так как в этом случае изменение магнитной коэнергии не равно изменению магнитной энергии.

Для линейной магнитной системы

W = W * = Е W = Е W k *

Здесь Lk - эквивалентная (с учетом влияния остальных контуров) статическая индуктивность k-го контура.

Магнитное поле в линейной магнитной системе представляется в виде суммы полей, возбуждаемых отдельно токами im в её контурах, где m = 1,2,...n. Тогда поток Фk, сцепленный с k-м контуром при заданных токах в контурах, равен сумме потоков Фkm, образованных всеми токами im:

Фk = е n>km = е n imLkm = ikLk , (1.102)m = 1m = 1

где Lkm = Фkm im - статическая взаимоиндуктивность контуров k и m . Из (1.102) следует

Lk = ( е imLkm)/ik ,(1.103)

W = W* = 0,5 е n ik е n imLkm (1.104)

Например, для системы, состоящей из двух контуров:

е imLkm = i1Lk1 = i2Lk2;

е ik е imLkm = i 1L11 ± i1i2L12 ± i2i1L21 + i 22 L22 ; k = 1 m = 1

L1 = L11 + i2L12/i 1 ; L2 = L22 + i 1L21 fi 2.

Тогда для такой системы

W = W * = i 12L11/2 + i 2L22/2 ± i 1 i 2M , (1.105)

где L 11 и L22 - статические самоиндуктивности контуров 1 и 2; M = L12 = L21 - cтатическая взаимоиндуктивность этих контуров.

Знак ”+” перед последним членом в (1.105) соответствует согласному включению контуров, а знак ” -” - встречному.

Для линейной магнитной системы с одной обмоткой возбуждения

W = W * = i\|/2 ,(1.106)

где i и \|/ - соответственно ток и потокосцепление обмотки.

При неизменном токе в обмотке и линейной магнитной системе из (1.100 ) и (1.106 ) следует

Pэм = 0,5i (dv/dx) = 0,5 i 2(dL/dx)

где L и F - статическая индуктивность и магнитодвижущая сила (МДС) обмотки; Л zv = у/FN -суммарная магнитная проводимость магнитной системы, приведенная по потокосцеплению обмотки к её МДС и числу витков N (см.пп.1.3.4.).

Аналогичное выражение для электромагнитного момента

Mэм = 0,5F 2 (dA^/da) ,(1.108)

где a - угловое перемещение подвижного элемента. При неизменном потокосцеплении обмотки из (1.99) и (1.106) для линейной магнитной системы

Pэм = -0,5\V(di/dx)

Соответственно, выражение для электромагнитного момента

Mэм = -0,5ч/2[d(1/ЛЕч,)/d a] N 2 . (1.110) (\\1 = const)

При питании обмотки линейной магнитной системы от источника напряжения переменного тока и допущении независимости потокосцепления обмотки от перемещения подвижного элемента (см.пп.1.3.4) из (1.109) с учетом принятия i = Im sint и \[i = \уm sin at (Im и \[im - амплитудные значения соответственно тока и потокосцепления) следует выражение для мгновенного значения электромагнитной силы

Pэм = -Pэмm sin2(Dt = -0,5Pэмm(1 - cos2cot ) , (1.111)

где амплитудное значение силы

Pэмm = 0,5Wm(dIm/dx) = \\i (dI/dx). (1.112)

В (1.112) \|/ и I - действующие значения потокосцепления и тока, определяемые из выражений

Ц1 = E/ю = E/2nf ;(1.113)

E =AU2 - (IR )2,(1.114)

где E и U - действующие значения ЭДС обмотки и напряжение питания, R - активное сопротивление цепи обмотки.

Среднее значение электромагнитной силы за период T

Pэм.ср = (1/T ))Pэмdt = 0,5Pэм m = 0,5\\i(dI/dx).(1.115) Из (1.111) и (1.115) следует

Pэм = -P эм.ср(1 - cos2cut ).(1.116)

Рис. 1.26 Выражение электромагнитной силыPэм , действующей на объем V в области магнитного поля, через натяжение Tn

Метод расчета электромагнитной силы по изменению магнитной энергии или магнитной коэнергии целесообразно использовать, когда магнитное поле системы можно выразить аналитически, в частности, при описании процессов в электромагнитной системе уравнениями электрических и магнитных цепей.

в) Определение электромагнитной силы по натяжению в магнитном поля

Электромагнитная сила Pэм представляется как сумма элементарных сил натяжения d Pэм, действующих извне на каждый элемент dS поверхности S, охватывающей объем V в области магнитного поля (рис.1.26) [103]:

Pэм = т d Pэм = т TndS,

T n = lim(D PэмD S )

Элементарная электромагнитная сила d Pэм зависит не только от размера элемента dS, но и от его ориентации, т. е. расположения его центра относительно системы координат (здесь принимаем де-картову систему ) и направления внешней нормали n к этому элементу ( рис.1.26).

В выбранной системе координат

Tn = qxTnx + qyTny + qzTnz , (1.119)

где qx, qy, qz - единичные векторы (орты) соответственно по осям x, y, z;

T nx , T ny, T nz - составляющие Tn по этим осям. Тогда

P эм = q xP эм x + q yP эм y q zP эм z ,(1 120)

Где

Pэмx = т TnxdS ; Pэмy = т TnydS,

Pэмz = т TnzdS .(1.121)

S Можно показать, что

T n = (B Bn - 0,5B2n)m r m0. (1.122)

Выражение (1.122) представляет собой формулу Максвелла для натяжения.

Из выражений (1.117) и (1.122) следует формула Максвелла для электромагнитной силы

Pэм = (1 m r m0) т (B Bn - 0,5B 2 n) dS. (1.123)

В формулах (1.122) и (1.123) B - вектор магнитной индукции в рассматриваемой точке поверхности S; m r m0 = m a - абсолютная магнитная проницаемость среды в этой точке (в воздухе mr = 1); n -единичный нормальный вектор (нормальный орт) к той части поверхности, на которую действует натяжение T n; B n и B - соответственно нормальная составляющая и модуль вектора B.

В системе координат x, y, z

B = q xBx + q yBy + qzBz ;(1.124)

n = qx cos(n, q x) + qycos(n,qy) = qzcos(n,qz ) ; (1.125)

Bn = nB = Bx cos(n,q x) + Bycos(n,qy) + Bzcos(n,qz) .(1.126)

После подстановки (1.124)-(1.126) в (1.122) с учетом (1.119) получаем:

Tnx = [( B2 x - 0,5B 2)cos(n,qx) + BxBy cos(n,q y) + BxBz cos(n,q)]mr m0;

Tny = [ByBx cos( n,q x) + ( B2 y - 0,5B 2)cos(n,qy) + + ByBz cos(n,qz )] mr m0; Tnz = [BzBx cos(n,q x) + BzBycos(n,qy) + (B z 2 - 0,5B 2)cos(n,qz)] m r m0 . (1.127)

В случае, когда поверхность S разделяет объем V (рис.1.26), заполненный ферромагнетиком с m r = Ґ, и воздушную среду (m r = 1), вектор B направлен по n; с учетом этого из (1.117) и (1.122):

Pэм = 0,5(1 m0) т B 2ndS (1.128)

Если на какой-то площади Sk, являющейся частью поверхности S ферромагнитной детали, поле можно считать равномерным (Bk = const), то при допущении для ферромагнетика ^ = оо на этот участок действует электромагнитная сила

Фk = BkSk.

Для подавляющего большинства практических задач, встречающихся при анализе электромеханических аппаратов, допустимо приближенно использовать формулы (1.128) и (1.129) уже при ]ir > 100, в чем можно убедиться, решив задачи (1.13)

Суммируя элементарные моменты

dМэм = [г dPэм]

относительно центра координат O (рис.1.26), найдем выражение для электромагнитного момента, действующего на объем V относительно этого центра.

Мэм = [гТn] dS = q xMэмx + qyMэмy + qzMэм z , (1.130)

Где

Mэмx = q xM эм = J (yTnz - zTny)dS ; S

Mэм y = q yMэм = ) (zTnx - xTnz)dS ; S

Mэмz = qzMэм = \ (xTny - yTnx)dS -S

- составляющие момента относительно осей x, y и z г) Определение электромагнитной силы по её объемной и поверхностной плотностям в магнитном поле

Электромагнитная сила, действующая на ферромагнетик объемом V, определяется этим способом [103] по формуле

Pэм = Jpэм v dV + jpэм s dS , (1.131)

где pэмv - объемная плотность силы в пределах объема, в котором нет разрыва магнитной проницаемости (нет границ между средами с различными магнитными проницаемостям); pэм s - поверхностная плотность силы на поверхностях разрыва магнитной проницаемости, например, на границе между ферромагнетиком и воздухом; Sр - сумма поверхностей разрыва магнитной проницаемости в пределах объема V.

Объемная плотность электромагнитной силы

pэм v = q xp эм vx + q ypэм vy + qzp эмvz = (J X В) - 0,5H 2УЦa = (Jx В) + 0,5B 2У(1/цa),(1.132)

где pэм vx, pэмvy, pэм vz - составляющие pэмv по осям x, y, z; J - объемная плотность токов, распределенных в объеме dV (рис.1.27).

Из (1.132) следует, что вторая составляющая объемной плотности силы пропорциональна квадрату напряженности поля, коллинеарна градиенту цa и направлена по отношению к нему в противоположную сторону, т. е в сторону уменьшения магнитной проницаемости.

Формулу (1.132) также можно назвать формулой Максвелла для объемной плотности электромагнитной силы, так как она им впервые выведена для составляющих этой плотности.

Поверхностная плотность электромагнитной силы, приложенной к элементу dS поверхности раздела Sр между средами 1 и 2 (рис.1.28):

pэм s = 0,5п2[H 2(цa1 - \хa2) + B2 n(1/|аa2 - 1/Ha1)],

где п2 - нормаль, внешняя по отношению к среде 1; (Хa1 и (Хa 2 - магнитные проницаемости в средах 1 и 2; H 2 = H 21 = H\22 и B n 2 = B 2 n 1 = B n 22 - квадраты тангенциальных составляющих напряженности и нормальные составляющие индукции на элементе dS поверхности Sр.

Поверхностная плотность электромагнитной силы, действующая на границе между средами, всегда направлена по нормали в сторону среды с меньшей магнитной проницаемостью. Предположим, например, что среда 1 - ферромагнетик, а среда 2 - воздух (рис.1.28). Тогда цa 2 < \х.a 1, значение в квадратных скобках в (1.133) положительно и плотность силы pэмs направлена по нормали n2, т. е. в сторону воздуха.

Рис. 1.28. Определение поверхностной плотности силы pэмs

Формула (1.133) вытекает из формулы (1.132), поэтому её можно назвать формулой Максвелла для поверхностной плотности электромагнитной силы.

С учетом объемной и поверхностной плотностей электромагнитной силы действующий на выделенный объем V электромагнитный момент

Mэм = (r х pэм v)dV + J (r х pэм s)dS . (1.134)VSp

Формулы Максвелла, приведенные в методах в) и г) справедливы для линейных и нелинейных изотропных безгистерезисных сред и могут быть использованы для расчета электромагнитных сил и моментов магнитной системы произвольной формы при условии, что предварительно проведен расчет её магнитного поля (см., например, [15]).

1.3.4 МАГНИТНАЯ СИСТЕМА И МАГНИТНАЯ ЦЕПЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

Магнитная система - это совокупность проводников с током (или постоянных магнитов) и (при необходимости) магнитомягких элементов, предназначенная для создания заданной конфигурации магнитного поля и его значения в определенном месте пространства. Магнитомягкие элементы магнитной системы образуют магнитопровод, который служит для уменьшения магнитного сопротивления потоку и подведения его к тому месту пространства, где поток используется. Расчет поля магнитной системы осуществляется либо непосредственно методами теории поля (полевые методы), либо методами теории цепей, вытекающими из теории поля. Поле подавляющего большинства магнитных систем электрических аппаратов трехмерно. Расчет трехмерных полей полевыми методами обычно связан со значительными объемами вычислительных работ. Но эти методы более универсальны, дают возможность, если требуется, точнее решить задачу, чем могут обеспечить методы теории цепей. Поэтому во многих случаях их целесообразно использовать как математические модели высокого уровня, когда уже предварительно существенно сужена область поиска размеров магнитной системы и необходимо только отшлифовать” проектирование. ”

Методы теории цепей широко применяются в настоящее время и будут применяться в обозримом будущем, особенно на первых стадиях проектирования.

Магнитная цепь - это упрощенное представление о магнитной системе и ее магнитном поле, при котором электромагнитные процессы описываются уравнениями, содержащими понятия: магнитодвижущая сила (МДС), разность скалярных магнитных потенциалов (магнитное напряжение), магнитный поток, магнитная проводимость, магнитное сопротивление. Эти понятия формально аналогичны, соответственно, понятиям электродвижущая сила, электрическое напряжение, ток проводимости и сопротивление электрической цепи.

Аналогия между электрическими и магнитными цепями формальна. Например, удельная электрическая проводимость проводников примерно в 1010-1020 раз выше чем у изоляторов, тогда как магнитная проницаемость магнитомягких материалов обычно только в 103-106 раз больше чем у немагнитных материалов. Магнитные цепи большинства магнитных систем электрических аппаратов разомкнуты немагнитными зазорами, которые, однако, не прерывают магнитный поток, а только увеличивают магнитное сопротивление на его пути. Изоляционный же промежуток в электрической цепи постоянного тока практически прерывает ток. Магнитная проницаемость зависит от потока, а электрическая удельная проводимость практически не зависит от тока (без учета нагрева проводника). Эти отличия делают расчеты магнитных цепей более сложными чем расчеты электрических цепей.

Магнитные цепи постоянного тока. Для анализа и расчета магнитных цепей постоянного тока используются три закона: первый и второй законы Кирхгофа и закон Ома для магнитных цепей.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма магнитных потоков Ф в узле магнитной цепи равна нулю.

Поток, входящий в узел, берется с одним знаком, а выходящий из узла - с другим.

Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи вытекает из условия непрерывности линий магнитной индукции: J B dS = 0, где B - магнитная индукция; S - площадь некоторой замкнутой поверхности.

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма магнитных напряжений на магнитных сопротивлениях любого произвольно выбранного замкнутого контура обхода равна алгебраической сумме МДС, действующих в этом контуре

TU м = TF ,(1.136)

где Uм - магнитное напряжение на сопротивлении участка контура; F - МДС, действующая в этом контуре.

Если направление обхода контура совпадает с действительным или условно принимаемым (когда оно не очевидно) положительным направлением магнитного напряжения, то это напряжение подставляется со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус. Положительное направление магнитного напряжения на магнитном сопротивлении совпадает с положительным направлением потока в этом сопротивлении. Если направление МДС совпадает с направлением обхода, то оно подставляется со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус.

Определение в результате расчетов какой-либо величины с плюсом означает, что предварительно принятое условно положительное направление совпадает с действительным; если же с минусом, то оно противоположно действительному.

Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи вытекает из закона полного тока:

Jh d l = Ј I, где

H - напряженность магнитного поля вдоль замкнутого контура обхода длиной l : Ј I - алгебраическая сумма токов, пронизывающих этот контур.

Закон Ома для участка магнитной цепи постоянного тока

F = URмм = UмL,

где Rм - магнитное сопротивление участка магнитной цепи; L - магнитная проводимость этого участка.

Закон Ома для магнитной цепи вытекает из закона полного тока с учетом (1.136).

Точность расчета магнитной системы методами цепей в значительной степени зависит от точности определения магнитных проводимостей участков немагнитного пространства, окружающего магнитную систему.

Рассмотрим некоторую произвольную трубку магнитного потока в воздухе (рис. 1.29), между концами которой действует магнитное напряжение Uм = jм1 - jм2, где jм1 и jм2 - скалярные магнитные потенциалы концов трубки. Магнитная проводимость элементарного участка этой трубки с площадью dS и длиной dl согласно (1.137)

DL = HB ddS l

Если магнитное поле в воздухе определено векторным магнитным потенциалом A, то с учетом B = rot A = m0H и теоремы Стокса (т rotA d S = т A d l1 )

m0 т A d l1L = l1 ,(1.140)

Рис. 1.29. Определение магнитной проводимости произвольной трубки магнитного потока

Для определения L в общем случае необходимо знать векторные характеристики поля. Это связано с решением соответствующей граничной задачи, что осуществить аналитически чаще всего невозможно и приходится использовать численные или другие приближенные методы, с которыми можно ознакомиться в [17-20].

Для простейшего распределения поля - плоскопараллельного участка площадью S и длиной l, имея в виду, что для такого поля в пределах всего участка B = m0 H = const, из (1.139) следует,

L = m0lS

Магнитное сопротивление участка магнитопро-вода с постоянной площадью поперечного сечения S и длиной l

R м.м = S м l .(1.142)

Здесь ца и рм = 1 /ца - соответственно абсолютная магнитная проницаемость и удельное магнитное сопротивление материала магнитопровода.

При использовании методов расчета цепей поступают следующим образом.

Анализируют качественное (но полное) распределение поля в магнитной системе.

Реальную конфигурацию поля заменяют упрощенной конфигурацией, состоящей из отдельных участков, достаточно просто описываемых математически; некоторыми участками пренебрегают; вихревые области поля часто заменяют безвихревыми, для чего объемное распределение токов приводят к бесконечно тонкой ленте или нити.

Составляют магнитную цепь.

Находят магнитные проводимости (или магнитные сопротивления) отдельных участков поля в воздухе и других неферромагнитных участках.

Проводят расчет магнитной цепи с учетом или без учета магнитного сопротивления магнитопровода.

При расчете магнитной цепи решается обычно одна из двух задач: прямая или обратная. В прямой задаче известным является магнитный поток Ф (или магнитная индукция B) на некотором участке магнитной системы; требуется определить магнитодвижущую силу (МДС) обмотки F . В обратной задаче задана МДС обмотки; требуется определить поток (или индукцию). Как при прямой, так и при обратной задачах известны также все размеры магнитной системы и материал магнитопровода. В подавляющем большинстве случаев расчеты магнитных цепей постоянного тока проводят без учета гистерезиса намагничивания.

Рассмотрим магнитную систему прямоходового электромагнита, изображенную на рис. 1.30,а. Ее магнитопровод состоит из подвижного элемента - якоря 1 - и неподвижного сердечника 2. Последний имеет две вертикальные части и одну соединяющую их внизу горизонтальную часть - ярмо. Якорь отделен от сердечника двумя воздушными зазорами d1 и d2, называемыми рабочими зазорами. Именно из-за изменения этих зазоров происходит преобразование энергии и обеспечивается функционирование аппарата. Кроме рабочих зазоров в магнитной системе могут присутствовать паразитные (немагнитные, воздушные) зазоры, обусловленные особенностями конструкции и технологическими условиями ее выполнения. Магнитное поле создается током в обмотке 3, охватывающей левую вертикальную часть сердечника. Направление тока показано крестиком (от нас) и точкой (к нам) на поперечном сечении обмотки.

Ток и линии магнитной индукции создаваемых им магнитных потоков, образуют правовинтовую систему. В дальнейшем магнитный поток, проходящий через рабочие зазоры, будем называть условно рабочим потоком, а остальные потоки - потоками рассеяния.

На рис. 1.30,a представлена картина поля рассматриваемой магнитной системы [21].

Введем ряд упрощений в рассматриваемую магнитную систему и ее магнитное поле - рис. 1.30,б. Обмотку представим в виде бесконечно тонкой ленты 3 длиной lоб, расположенной непосредственно на левой вертикальной части сердечника длиной lс и примем lоб = lс. При указанных представлении и размещении обмотки исчезают потоки рассеяния

Fв.н и Fв.в (рис. 1.30,а). Пренебрежем также на” ружным” потоком рассеяния Fс.н, считая его существенно меньшим аналогичного внутреннего” по” тока рассеяния Fс.в (рис. 1.30,а). Поле последнего

примем плоскопараллельным и ограниченным сверху горизонтальной штриховой линией. Будем также считать, что рабочий поток проходит из сердечника в якорь в зазоре d1 и далее из якоря в сердечник в зазоре d2 только в пределах торцов сердечника, причем области прохождения этого потока в обоих зазорах считаем одинаковыми; для упрощения расчета магнитных проводимостей этих областей ([17-20]) ограничим их в плоскости чертежа частями окружности.

Выделим элементарную трубку потока рассеяния, удаленную на расстояние х от ярма (рис.1.30,в). В общем случае поток, протекающий по этой трубке,

dFdx = Uмdx ldx dx ,(1.143)



Рис. 1.30 Анализ магнитного поля и распределения магнитных потоков в магнитной системе постоянного тока: а - картина магнитного поля; б - упрощенная магнитная система; в - схема потокораспределения; г-ж - эпюры изменения соответственно числа витков обмотки, разности магнитных потенциалов, потока рассеяния и потока в магни-топроводе

где Uмdx и ldx - соответственно магнитное напряжение на элементарной трубке (между вертикальными частями сердечника) и удельная (на единицу длины ld) магнитная проводимость рассеяния на расстоянии x от ярма; dx - ширина трубки.

При равенстве конфигураций вертикальных частей сердечника для принятой упрощенной картины поля (рис. 1.30,б)

Uмdx = т fxdx - FярRм.яр - 2 т Fxrмхdx . (1.144)

Здесь fx - удельная (на единицу длины) МДС обмотки; Fяр - магнитный поток в ярме; Rм.яр - магнитное сопротивление ярма; Fx и rмx - соответственно магнитный поток в вертикальных частях сердечника и удельное сопротивление этих частей на расстоянии x от ярма.

Значение удельного магнитного сопротивления

rмx = m1S = rSмx ,(1.145)

где max, rмх и Sсх - абсолютная магнитная проницаемость, удельное магнитное сопротивление материала и площадь поперечного сечения вертикальных частей сердечника на расстоянии x от ярма. С учетом (1.136) и (1.137) и закона полного тока

т Fxrмxdx = т Hxdx ,

где Hx - напряженность поля в вертикальных частях сердечника на расстоянии x от ярма.

С учетом (1.143) и (1.144) следует, что поток рассеяния, ушедший с левой вертикальной части сердечника на его правую часть на расстоянии x,

Fdx = т Uмdx ldx dx = тт fx ldx dx dx -

l dxdx - 2тт F xr мx l dx dx dx . (1.147)

При пренебрежении магнитным сопротивлением магнитопровода (m ax = Ґ , rмх = 0, R м.яр = 0)

При равномерном распределении витков обмотки вдоль ее длины (рис. 1.30,г) fx = f = const, из (1.148) следует

Uмdx = f x(1.149)

В упрощенной картине поля (рис. 1.30,б) мы допустили равномерность распределения потока рассеяния, что означает при пренебрежении магнитным сопротивлением магнитопровода

ldx = l d = const.

Тогда из (1.143) с учетом (1.149)

dFdx = f ld x dx(1.150)

и из (1.147) после интегрирования с учетом lоб = ld

F dx = f l d x¤ 2 = F ld x 2¤ 2ld (1.151)

Суммарный поток рассеяния (x = ld)

Поток в вертикальных частях сердечника на расстоянии x (рис. 1.30,в)

Fx = Fd + (Fd S - Fdx) = F Ldэк + Fld

где Ldэк - эквивалентная магнитная проводимость двух последовательных рабочих зазоров d1 и d2.

С учетом принятого допущения об идентичности областей поля в рабочих зазорах

Ldэк = 1/R мdэк = = (L L )(L + L ) = L 2,

где R - магнитное сопротивление, соответствующее проводимости Ldэк.

График распределения потока FX вдоль оси x дан на рис. 1.30,ж.

При x = ld поток Fx равен потоку Fd, а при x = 0 - потоку в ярме Fяр и представляет для принятых допущений (в том числе ma = Ґ) суммарный поток магнитной системы

FS = Fяр = F(Ldэк + KФLdSГ) . (1.154)

Здесь LdSГ = ldld - суммарная магнитная проводимость плоскопараллельного поля рассеяния рассматриваемой магнитной системы (рис. 1.30,б,в), определяемая только ее геометрией; KФ= 1/2 - коэффициент приведения по потоку магнитной проводимости рассеяния рассматриваемой магнитной системы к МДС обмотки F.

Часть выражения (1.154), заключенная в скобки, представляет собой суммарную магнитную проводимость рассматриваемой магнитной системы, приведенную по потоку FS к МДС обмотки F:

LSF = Rм1SF = FFS = Ldэк + KF LdSГ , (1.155)

где RмSF - магнитное сопротивление, соответствующее суммарной магнитной проводимости LSF.

Отношение FS Fd = sSF называется суммарным коэффициентом рассеяния магнитной системы по потоку.

Суммарное потокосцепление рассматриваемой магнитной системы

Y = Yd + т d Ydx.

Так как линии магнитной индукции рабочего потока Fd в рассматриваемой упрощенной модели поля (рис. 1.30,б) охватывают все витки обмотки N S, то

Yd = NSFd

Дифференциальное выражение для потокосцеп-ления рассеяния

d Ydx = NxdFdx(1.157)

где Nx - число витков обмотки, охватываемых потоком dFdx. Для равномерной намотки витков и lоб = ld имеем

Nx = NSx ld.

Тогда из (1.156) с учетом (1.150) после интегрирования

YS = NSF (Ld эк + K YL d SГ) (1.158)

Здесь KY = 13 - коэффициент приведения по пото-косцеплению магнитной проводимости рассеяния рассматриваемой магнитной системы к МДС F и суммарному числу витков N S обмотки.

Часть (1.158), заключенная в скобки, представляет собой суммарную магнитную проводимость рассматриваемой магнитной системы, приведенную по потокосцеплению YЕ к F и NE обмотки:

ЛЕY = N Y F = Аd эк + K YW. (1.159)

С учетом того, что Kф = 1 /2, а K Y = 1 /3, из сравнения (1.155) и (1.159) следует: ЛЕY <ЛЕФ.

Отношение Yj/Yd = aEY называется суммарным коэффициентом рассеяния по потокосцеплению. Индуктивность L и магнитная энергия Wм рассматриваемой магнитной системы при всех принятых выше допущениях

Ldэк + KyLdSГ = N 2 (А5эк + K YАГ); (1.160)

Эти выражения могут быть использованы для расчета по энергетическим формулам электромагнитной силы, создаваемой данной магнитной системой. Выражение (1.160), кроме того, необходимо для определения постоянной времени этой магнитной системы и временных параметров электромеханических аппаратов с ее применением.

На рис. 1.31,а приведена магнитная цепь рассматриваемой магнитной системы, составленная по упрощенной картине поля (рис. 1.30,в) без учета магнитного сопротивления магнитопровода. На рис. 1.31,б,в показаны последовательные этапы преобразования этой исходной схемы замещения до простейшей цепи рис. 1.31,в с источником МДС и суммарным магнитным сопротивлением RмSF на его зажимах.

При анализе магнитной системы с учетом магнитного сопротивления магнитопровода решить аналитически (1.144), (1.147) и подобные им уравнения, определяющие распределение в магнитной системе магнитных напряжений и потоков, чаще всего не удается даже при fx = const и ldx = const.

Для преодоления этого затруднения поступают, например, следующим образом.

1. Детали магнитопровода, между которыми по воздуху проходит распределенный поток (например, поток Fd в рассматриваемой магнитной системе) разбивают на ряд участков; путь доли суммарного распределенного потока, проходящий между двумя из этих участков по воздуху, представляют сосредоточенным в виде ветви магнитной цепи с соответствующим магнитным сопротивлением воздушного промежутка, включенным между началами, концами или серединами этих участков. Истинная распределенная магнитная цепь заменяется менее распределенной” - расчетной магнитной цепью.

2. Магнитопровод с изменяющимся по его длине магнитным потоком (в рассматриваемой магнитной системе - Fx) заменяется суммой участков, в пределах каждого из которых поток принимается неизменным, а соответственно, при постоянной вдоль длины участка площадью его поперечного сечения, принимается неизменной и магнитная индукция. Чем больше участков, тем ближе расчетная магнитная система к первичной.

Рис. 1.31. Магнитные цепи системы, изображенной на рис. 1.30,б: а-в - без учета магнитного сопротивления магнитопровода; г - с учетом магнитного сопротивления магнитопровода

В качестве примера каждую из вертикальных частей сердечника длиной ld рассматриваемой магнитной системы разобьем на два равных участка - см. горизонтальную штриховую линию Б на рис. 1.30,в. Поток рассеяния Fd1 между первыми (верхними) участками сосредоточим в ветвь магнитной цепи с сопротивлением Rмd1, подключенным к точкам d и dў посредине соответственно левого и правого верхних участков. Поток рассеяния Fd2 между вторыми (нижними) участками сосредоточим в ветвь с сопротивлением Rмd2, подключенным к точкам b и bў, соответствующим серединам нижних участков.

На рис. 1.31,г приведена эквивалентная принятому разбиению магнитная цепь с учетом магнитного сопротивления магнитопровода. Обозначения в цепи понятны при совместном рассмотрении рис. 1.30,в и рис. 1.31,г. Определение параметров такой цепи осуществляется путем последовательных итераций. Если задан поток Fd и необходимо найти МДС обмотки F, то задаются последовательно рядом значений F и при каждом из этих значений рассчитывают магнитную цепь до тех пор, пока магнитное напряжение между бесконечно близкими точками д и дў (рис. 1.30,в и рис. 1.31,г) не станет отличаться по модулю от нуля меньше заранее заданного малого значения e << F. Соответствующее этому условию значение F и будет искомым.

Магнитные цепи переменного тока. Значение тока в обмотке магнитной системы, подключенной к источнику переменного напряжения u, не равно этому напряжению, деленному на активное сопротивление провода обмотки, как это имеет место в магнитной системе постоянного тока в статическом или квазистатическом режимах работы (при бесконечно медленном перемещении якоря).

Связь между мгновенными значениями напряжения u, тока i, активного сопротивления R и потокосцепления y на переменном токе определяется выражением

u = iR + dyS dt

где iR = ur, dt = ue = -e; uR - активная составляющая напряжения; ue - реактивная составляющая напряжения, равная по модулю и обратная по фазе ЭДС обмотки e.

Если пренебречь uR и считать, что

v|/i = \|/Em sincut, то

u = юYЕm cos COt = V2CuYj; cos ut = Um cos at =2 U cos a

Таким образом, если задано напряжение, то задано и потокосцепление, которое при допущении uR = 0 не зависит от рабочего зазора d. По обмотке должен протекать ток такого значения, чтобы создать это потокосцепление.

Таким образом, ток в обмотке будет возрастать с увеличением рабочего зазора d, так как при этом уменьшается значение LSY.

Конечно, из этого не следует делать вывод, что с увеличением d рабочий поток остается неизменным. Суммарное потокосцепление YS складывается из рабочего потокосцепления Yd и потокосцепле-ния рассеяния Yd. С увеличением зазора d потоко-сцепление рассеяния увеличивается, а рабочее по-токосцепление уменьшается.

Кроме того, если учесть падение напряжения на активном сопротивлении R, то

YS = U 2 -w (IR )2 ,(1.165)

а так как с увеличением зазора d ток увеличивается, то суммарное потокосцепление YS уменьшается. Однако это уменьшение, так же как и уменьшение рабочего потокосцепления (а соответственно и рабочего потока) значительно меньше, чем в такой же магнитной системе постоянного тока. По этой причине тяговые характеристики магнитной системы (например, зависимости электромагнитной силы от рабочего зазора) переменного тока более пологи, чем тяговые характеристики магнитных систем постоянного тока.

При расчете магнитной системы переменного тока кроме активных магнитных сопротивлений воздушных промежутков и магнитопровода необходимо учитывать потери в магнитопроводе из-за гистерезиса и вихревых токов, а также действие вторичных электропроводящих контуров (дополнительные замкнутые обмотки, короткозамкнутые витки, другие электропроводящие тела), пронизываемых потоком первичной обмотки магнитной системы. Потери определяют разные фазы магнитных потоков и МДС. Для учета этой особенности по аналогии с электрическими цепями используются комплексные значения магнитных сопротивлений. Значения магнитного потока, потокосцепления, МДС и магнитного напряжения также представляются в комплексном виде, например,

Fm = UZммm,

где Zм - комплексное магнитное сопротивление, которое определяется как

Zм = Rм + jXм .(1.167)

Здесь R и Xм - соответственно активная и реактивная составляющие Zм.

Если 0t = 0m sincot, то u м = Uмm sin(at + g),

где угол

g = arctg (Xм/R м)(1.168)

называется углом потерь.

Согласно (1.166) комплексное магнитное сопротивление участка магнитопровода

Z м.м = U m = HBm S.

Обозначим

рм Z = Hm/Bm = H/B.

Эта величина -комплексное удельное магнитое сопротвление материала магнитопровода. Обратная ей величина

ma = 1 /PмZ = B/H

- комплексная магнитная проницаемость материала магнитопровода.

Разложим рм Z на активную рмR и реактивную РмX составляющие:

PмZ =PмR + jPмX (1.170)

Тогда Zм.м = pмZ l/S = (pмr + j'pмx) l S.

Согласно (1.167) активная и реактивная составляющие Z м.м:

R м.м = РмR l'S ; X м.м = pмX l/S . (1.171)

Активная составляющая комплексного магнитного напряжения Uм.мR = ФR м.м, а реактивная

U м.мX = j ФX м.м.

Для вычисления рм X необходимо знать потери на вихревые токи и перемагничивание. Значения этих потерь приводятся в нормативных документах, технических условиях на материал или находятся расчетным путем [19].

Значения рм Z определяются по кривой намагничивания, снятой на переменном токе соответствующей частоты. Затем рассчитываются значения

мR =PмZ ~ РмX

Для ряда материалов рм R и рм X можно найти по кривым зависимостей от магнитной индукции [19]. При этом следует иметь в виду, что часто в технической литературе, в том числе в [19] за комплексное удельное магнитное сопротивление вместо

PмZ = Hm/Bm = H/B

принято отношение действующего значения напряженности магнитного поля к амплитуде магнитной индукции, т. е. H/Bm.

Магнитопроводы магнитных систем переменного тока выполняют в основном из кремнистых электротехнических сталей, которые обладают малыми потерями на перемагничивание (мала коэрцитивная сила) и на вихревые токи (повышенное удельное электрическое сопротивление). В целях уменьшения потерь на вихревые токи магнитопроводы изготовляют шихтованными в виде набора электрически изолированных друг от друга пластин толщиной от 0,1 до 1 мм. Для снижения потерь в магнитной системе переменного тока используют также и другие материалы, например, магнитомяг-кие ферриты, аморфные сплавы.

Рассмотрим простейшую магнитную систему, представляющую собой тороидальный магнито-провод с равномерно намотанной на нем обмоткой (рис. 1.32,а). Полная (для электрической и магнитной цепей) векторная диаграмма такой системы дана на рис. 1.32,б, а схема ее магнитной цепи - на рис. 1.32,в. Обмотка имеет активное сопротивление R и подключена к источнику напряжения U переменного тока. Комплексные действующие значения величин на диаграмме соответствуют эквивалентным синусоидам [23].

Вектор напряжения Ue разложен на две составляющие: активную UeR, совпадающую по фазе с током I, и реактивную UeX, опережающую ток на 90°. В свою очередь

UeR = IRп, а UeX = jIXэк.

Значение Rп определяется потерями в магнитопроводе

P п (R п = P п/I 2),

а эквивалентное реактивное сопротивление обмотки

Xэк = coL эк, где L эк

- ее эквивалентная индуктивность.

Используя векторную диаграмму рис. 1.32,б, определим выражения для L эк и Rп. Значение ЭДС E = со N<t>. Из векторной диаграммы следует, что

Ф = IN cosg/Rм.м. Тогда E = IaL0 cosg, где

L0 = N 2/Rм(1.172)

- индуктивность обмотки без потерь в магнитопроводе и экранах.

В данном случае L0 = N 2 /Rм.м. Согласно векторной диаграмме

E = Ue = UeX/cosg = IXэк/cosg = IcuL эк/cosg

где g = arctg(X м.м/Rм.м).

Приравнивая два полученных выражения для ЭДС обмотки, получаем

L эк = L 0cos2g .(1.173)

Обращаясь еще раз к векторной диаграмме, имеем

E = Ue = UeR/sing = IR п/sing,

что дает нам возможность определить

Rп = coL0 sing cosg .(1.174)

Эквивалентное комплексное сопротивление обмотки

Z = Rэк + jXэк,

Где

Rэк = R + Rп

- ее эквивалентное активное сопротивление. Комплексное напряжение питания

U = URэк + UeX,(1.177)

и его действующее значение

U = л/U/|эк + U2 eX .(1.178)

Здесь UR эк = IR эк.

Суммарные активные потери в магнитной системе

P = IUcoscp = IUR эк = I 2R эк , (1.179)

где ф - угол сдвига фаз между током и напряжением, равный

Ф = arctgX эк/R эк) .(1.180)

Рассмотрим теперь магнитную систему рис. 1.33,a, содержащую магнитопровод, состоящий из двух (1 и 2) частей, разделенных одинаковыми воздушными зазорами d. На левой части магнито-провода расположена первичная обмотка с N витками. К обмотке подведено напряжение U. На правой части магнитопровода расположена вторичная обмотка (электромагнитный экран) с числом витков Nэ. Рассмотрим работу такой магнитной



Рис. 1.32. Магнитная система переменного тока в виде тороидального магнитопровода с равномерно намотанной обмоткой (а), ее полная векторная диаграмма (б) и схема магнитной цепи (в)

Рис. 1.33. К анализу магнитной системы переменного тока с двумя воздушными зазорами и электромагнитным экраном без учета рассеяния и магнитного сопротивления магни-топровода: а - магнитная система; б - полная векторная диаграмма; в - схема магнитной цепи системы при согласных условно положительных направлениях [23] токов и МДС обмоток (рис. 1.33,a). Обмотки связаны между собой общим магнитным потоком F. Потоками рассеяния обмоток и магнитным сопротивлением магнитопровода пренебрежем.

Условно положительное направление потока F также можно выбрать произвольно. Здесь и далее будем его связывать правилом правого винта с током первичной обмотки.

Для электрических цепей первичной обмотки и экрана можно записать:

U = IR + Ue ;(1.181)

Ue = -E = jwNF ;(1.182)

Uэ = Eэ = I э R э = -j w NэF .(1.183)Для магнитной цепи:

F + Fэ = UмR = Uмdэк = F Rмdэк ,(1.184)

где F = IN, Fэ = IэNэ,

Rмdэк - эквивалентное магнитное сопротивление двух воздушных зазоров d.

По полученным уравнениям на рис. 1.33,б построена полная векторная диаграмма. По действительной оси отложен поток F. От потока отстают на 90° ЭДС E и Eэ. С ЭДС Eэ, индуктированной в экране, совпадает по направлению [см. (1.182)] ток I э, а значит и МДС Fэ.

Сумма МДС F и Fэ дает магнитное напряжение Uмr = U мdэк на активном сопротивлении Rмdэк. Это напряжение совпадает по фазе с потоком F [см.(1.184)].

Из (1.184) и векторной диаграммы следует, что вектор F имеет активную UмR и реактивную U м X составляющие:

F = UмR + Uмx ,(1.185)

Где

Uм X = -Fэ .(1.186)

Замена Fэ на реактивное магнитное напряжение U м X равносильна замене ее на реактивное магнитное сопротивление экрана X м.э, поток в котором отстает от магнитного напряжения на 90°:

UмX = j FXм.э .(1.187)

Таким образом исследуемая магнитная цепь формально приводится к магнитной цепи с одной обмоткой (рис. 1.33,в). Из (1.183) следует:

I э = wN эF¤ R э .(1.188)

Так как UмX = F э = IэNэ, то с учетом (1.187) и (1.188) имеем

Z м = Rмdэк + jX

На рис. 1.33,б вектор Ue аналогично предыдущему случаю (рис. 1.32,б) разложен на две составляющие: активную UeR = IRп и реактивную UeX = jIX эк = jI wLэк. Сравнивая векторные диаграммы рис. 1.32,б и рис. 1.33,б, приходим к выводу, что для магнитной системы с экраном при принятых допущениях остаются справедливыми (1.172)-(1.180). Следует только учитывать, что в (1.173) и (1.174), применительно к магнитной системе, изображенной на рис. 1.33,a, при принятых допущениях L 0 = N 2¤ Rмdэк;

g = arctg (X м.э R мdэк)

Если построить с учетом диаграммы рис. 1.33,б кривые изменения во времени потока, а также ЭДС и токов в первичной обмотке и экране, то можно убедиться, что при принятых допущениях большую часть времени действительные направления МДС первичной обмотки и экрана встречны, а меньшую -согласны. Встречное направление МДС означает, что в эти моменты времени действительное направление тока I э противоположно предварительно принятому на рис. 1.33,a условно положительному направлению.

Сравнение векторных диаграмм рис. 1.32,б и рис. 1.33,б показывает их структурную идентичность. Следовательно, анализируя магнитную систему с экраном при учете активного и реактивного магнитных сопротивлений магнитопровода, а также магнитного сопротивления воздушных зазоров и пренебрежении рассеянием первичной обмотки и экрана, можно использовать уже известные (1.172)-(1.180). Необходимо только учитывать, что тогда (1.172) примет вид:

L0 = N 2 (R м.эк + R м.м),

где g = arctg [(Xм.э + Xм.м) ¤ (R мdэк + R м.м)].

Комплексное магнитное сопротивление в этом случае:

Zм = ( Rмdэк + R м.м) + j ( X м.э + X м.м) . (1.191)

Анализ магнитной системы переменного тока с учетом потоков рассеяния первичной обмотки и экрана, а также разветвленных магнитных систем переменного тока более сложен и не является предметом рассмотрения в данном учебнике. С этими вопросами можно ознакомиться в [19, 23].

Магнитные системы с постоянными магнитами.

Постоянные магниты - это тела, выполненные из специальных сплавов или изготовленные путем спекания частиц различных материалов, которые, будучи намагниченными, способны за счет запасенной магнитной энергии служить источником магнитного поля.

Важнейшей характеристикой материала постоянного магнита является кривая размагничивания, представляющая собой часть предельной петли гистерезиса B = f (H ) этого материала, расположенная во втором квадранте осей B и H.

Существует и другие разновидности кривой размагничивания: BМ = f (H ), где BМ = m0M - индукция намагниченности М материала, и M = f (H ).

Если известна одна из этих характеристик, то другую можно построить на основании выражения (1.69).

Рис. 1.34 Предельные петли гистерезиса и кривые размагничивания BM = f (H ) и B = f (H ) для закритического (а) и докрити-ческого (б) материалов

Процедура построения иллюстрируется рис. 1.34,a,б, на котором по оси ординат отложены B и BМ. Пусть задана петля гистерезиса BМ = f (H ) и надо построить петлю гистерезиса B = f (H ). Из начала координат проводят прямую, характеризующую поле в вакууме Bв = m0H, угол наклона g которой к оси H определяется выражением

tgg = HBKвм = Km0м,

где Kм = mB/mH - отношение масштабов по осям B и H.

В первом квадранте B М, Bв и H положительны. Поэтому кривая B = f (H) здесь проходит выше кривой BМ = f (H). Во втором квадранте B М положительна, а H и B в отрицательны; кривая B = f (H) проходит ниже кривой BМ = f (H).

Практически прямоугольной может быть только кривая размагничивания B М = f (H ). Соответствующая ей кривая размагничивания B = f (H ) при широкой петле B М = f (H ) представляет в этом случае линию, наклоненную к оси H на угол у, тангенс которого определяется из (1.192) (рис. 1.34,a).

Важнейшими параметрами кривых размагничивания являются остаточная магнитная индукция Br и коэрцитивная сила по индукции HcB или по намагниченности HсМ (рис. 1.34). Всегда HсМ больше HcB.

Чем выше у материала значение HсМ, тем существенней разница между HсМ и HcB (сравни рис. 1.34,a и рис. 1.34,б).

Допустим, что HсМ = оо. Тогда при прямоугольной петле гистерезиса B М = f (H) BМ = Br = const и во втором квадранте B = B М - 0 H = Br - 0 H. Но при B = 0 H = HcB, которая в этом случае достигает своего предельно возможного значения

HcBпред = BrМ0.

Отношение

Q = mBHr

называется магнитной твердостью материала.

Из (1.193) и (1.194) получаем предельное значение магнитной твердости

епред =HcBпред Br = 1. (1.195)

Существующие магнитотвердые материалы подразделяются на две группы: закритические и докри-тические.

У материалов первой группы ” колено” левой, ниспадающей части петли гистерезиса лежит в третьем квадранте, а ее участок в пределах второго квадранта прямолинеен (рис. 1.34,a). У материалов второй группы ” колено” этой части петли гистерезиса находится во втором квадранте, и ее участок в пределах второго квадранта имеет вид гиперболы (рис. 1.34,б).

Различие вида кривых размагничивания в основном зависит от отношения HcB к Br. Чтобы кривая размагничивания во всем втором квадранте имела линейный характер необходимо (рис. 1.34,a), чтобы соблюдалось равенство:

Br HcBKм = tgy.

Тогда с учетом (1.192) необходимо, чтобы

HcB/Br = 1. Но HcM > HcB,

поэтому требуется соблюдение условия \М0 HcM/Br > 1. Если \ц0 HcM/Br < 1, то ”колено” ниспадающей части петли гистерезиса лежит в третьем квадранте.

Примерами закритических материалов служат магнитотвердые ферриты марок 6БИ240, 15БА300; материал марки КС37 на основе интерметаллического соединения ” самарий-кобальт”; сплавы ” неодим-железо-бор”. В группу докритических материалов входят сплавы типа альнико и монокристаллы из аналогичных материалов. Например, сплавы марки ЮН14ДК24, ЮНДК35Т5АА, ЮНДК40Т8.

Некоторые марки магнитотвердых ферритов относятся к критическим материалам (промежуточным между закритическими и докритическими), у которых ” колено” кривой размагничивания B = f (H) находится на границе второго и третьего квадрантов (марки 18БА220, 22БА220). Материал марки КСП37 на основе соединения самарий-кобальт можно отнести также к критическим.

Для использования постоянного магнита необходимо, чтобы он в магнитной системе был с воздушным зазором . Составляющая МДС постоянного магнита, затрачиваемая на проведение потока в этом зазоре, называется свободной МДС (падением магнитного напряжения в магнитопроводе здесь и далее пренебрегаем). При отсутствии зазора (магнитная система замкнута, индукция в постоянном магните равна Br) вся МДС постоянного магнита расходуется на проведение потока по постоянному магниту (здесь также пренебрегаем падением магнитного напряжения в магнитопроводе) вим в виде размагничивающей напряженности поля H . Тогда индукция в постоянном магните уменьшится с Br до B [см. точку a0 на кривой размагничивания B = f (H ) (рис. 1.35)]. Если пренебречь рассеянием, то поток в воздушном зазоре Фd равен потоку в постоянном магните Фпм:

фd = F dvd = Hlп.мAd = Фп.м = BSп.м , (1.198)

где Лd - магнитная проводимость зазора; Sп.м -площадь поперечного сечения постоянного магнита. Из рис. 1.35 с учетом (1.196) следует (1.199)

Таким образом, имея кривую размагничивания постоянного магнита, его размеры lпм, S п.м и зная Ad, можно, пользуясь (1.199), вычислить поток в зазоре. Для этого необходимо провести на диаграмме рис. 1.35 прямую из начала координат под углом (1.200)

a = arctg [S l K-j

Эта прямая называется линией проводимости.

Точка пересечения линии проводимости с кривой размагничивания B = f (H ) определяет значения B и H в постоянном магните BS

По найденной индукции B из (1.198) находят потоки в постоянном магните и зазоре (при пренебрежении рассеянием). При учете рассеяния в (1.200) необходимо подставить в формулу не проводимость Лd, а суммарную проводимость всей магнитной системы с постоянным магнитом. Тогда получаемое значение индукции B соответствует нейтральному сечению постоянного магнита. В этом же сечении Фпм = BSп.м , а поток в воздушном зазоре.

При проектировании магнитной системы с постоянным магнитом стремятся к максимальному использованию материала постоянного магнита.

F = Hclп м,

где lп.м - длина постоянного магнита.

При наличии воздушного зазора в магнитной системе

F = Fп.м + F d (1.197)

Здесь Fп.м и Fd - доли суммарной МДС магнита F, расходуемые соответственно на проведение потока в постоянном магните и зазоре.

Введение зазора оказывает на постоянный магнит размагичивающее действие, которое предстасводящемуся к получению максимального значения отдаваемой им свободной (внешней) магнитной энергии.

Рис. 1.35. Определение координат рабочей точки постоянного магнита на кривой размагничивания

Магнитная энергия, сосредоточенная в воздушном зазоре.

Принимая, что Фd = Фпм = BS п.м (без учета рассеяния) и допуская коллинеарность и постоянство B и H по всему объему магнита Vп.м, и учитывая F d = Hlп.м, получаем

Материал постоянного магнита характеризуется магнитной энергией, отнесенной к единице его объема, т. е. значением

(1.204) B = f (H ),

Пользуясь кривой размагничивания можно построить кривую сом = f (B ) (рис. 1.36). Эта кривая имеет максимум ам max.

При HcM = оо кривая B = f ( H ) в пределах второго квадранта (рис. 1.34,a) является прямой, проходящей через точки Br и HcB. Следовательно предельное значение сом:

Юм.пред = ( Br2) ( HcB/2)/2 = (Br 2) (Br/2ц0)/2 = Br 2/8|а0. (1.205)

В процессе работы магнитной системы рабочий зазор может меняться, что приводит к изменению магнитной проводимости системы. Допустим, что постоянный магнит, предварительно намагниченный полностью в намагничивающей установке, после удаления из этой установки ” имел” рабочую точку а0 на кривой размагничивания B = f (H ) (рис. 1.37), которой соответствует угол a1, индукция B и напряженность H . При соединении постоянного магнита с магнитопроводом магнитной системы магнитная проводимость системы увеличивается, чему будет соответствовать новый угол a2 и большая индукция в постоянном магните. Однако увеличение индукции в постоянном магните происходит не по кривой размагничивания, а по некоторой другой кривой a 0 bc, называемой кривой возврата. При полном замыкании магнитной системы (a = тг/2) имели бы индукцию B 1. Если магнито-провод удалить, то индукция будет изменяться примерно по кривой cda0. Кривые a 0 bc и cda0 являются кривыми частных циклов намагничивания и размагничивания. Ширина петли частного цикла обычно невелика, и петлю заменяют прямой a0c, называемой прямой возврата. Отношение

рb = HB = K мtgy'

называется коэффициентом возврата.

Предельное значение коэффициента возврата с учетом tgy ' = tgy и (1.192):

Pb.пред =V0 .(1.207)

Рассмотрим влияние формы постоянных магнитов на их характеристики. На рис. 1.38,a приведены две пары кривых размагничивания: 1 и 2 - зависимости B = f (H ) соответственно для закритичес-кого и докритического материалов; 1 и 2 -зависимости B м = f (H ) для этих же материалов.

Линия проводимости Od1, проведенная под углом a1, соответствует постоянному магниту в форме тонкой пластинки, намагниченной перпендикулярно к ее плоскости. Линия проводимости Od2, проведенная под углом a2, соответствует постоянному магниту в форме длинного стержня, намагниченного продольно.

Рис. 1.36 К определению свободной магнитной энергии постоянного магнита

Рис. 1.37 Кривые и линия возврата материала постоянного магнита

Пересечение двух указанных линий проводимости с кривой размагничивания 1 дает точки d1 и d2, которым на кривой размагничивания 1 соответствуют точки d1 и d2. Последние находятся на практически горизонтальном участке зависимости Bм = f (H ) - кривая 1ў. Поэтому значения намагниченности M в них одинаковы. Таким образом, магнитный момент постоянного магнита mп.м, равный (при допущении одномерности поля M) тM dV, при использовании закритического материала изменяется лишь при изменении объема V магнита и практически не зависит от его формы.

Рассмотрим постоянный магнит из докритичес-кого материала. Пересечение тех же линий проводимости с кривой размагничивания 2 дает точки b1 и b2, которым на кривой размагничивания 2ў соответствуют точки b1ў и b2ў. Как видно, в этом случае намагниченность и, следовательно, магнитный момент существенно зависят от формы постоянного магнита.

Проанализируем влияние стороннего (внешнего) магнитного поля на постоянные магниты, выполненные из тех же двух видов материалов. Пусть постоянный магнит изготовлен из закритического материала и имеет форму, которой соответствует линия проводимости с углом a (рис. 1.38,б). Тогда рабочая точка постоянного магнита на кривой 1 при отсутствии стороннего поля находится в положение d1”, а на кривой 1ў - в положение d1ў”. Как видно из рис. 1.38,б , принятое значение размагничивающего поля практически не изменило намагниченность постоянного магнита из закритическо-го материала, а, следовательно, и его магнитный момент.