Основные физические явления и процессы в электрических аппаратах

В областях стягивания поперечное сечение проводника используется не полностью для протекания электрического тока, что и вызывает дополнительное по сравнению с сопротивлением однородного проводника активное сопротивление. Это сопротивление называется сопротивлением стягивания.

1.2.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТОВ

Математическая модель электрических контактов, предложенная в начале века Р. Хольмом и используемая по настоящее время, основана на следующих допущениях:

контактные элементы однородны, выполнены из одного материала и полубесконечны;

удельное сопротивление материала контактов не зависит от температуры и протекающего тока;

контактная поверхность (a-пятно) представляет собой круглую плоскую площадку, совершенно чистую, без посторонних слоев и пленок, причем радиус площадки а значительно меньше радиуса кажущейся контактной поверхности;

линии тока расположены на гиперболоидах вращения, а эквипотенциальные поверхности представляют собой элипсоиды вращения.

Для вычисления сопротивления стягивания воспользуемся аналогией полей токов в контакте и электростатического поля заряженного диска.

Установим сначала связь между значением электрического сопротивления в изотропном однородном проводнике и значением емкости поля плоского конденсатора.

На расстоянии d в проводнике тока выделим две параллельные площадки DS (рис. 1.13,а). Электрическое сопротивление параллелепипеда определяется как

R = rd¤DS

В электрическом поле емкость плоского конденсатора

C = er e0 DS d ,

где er - относительная диэлектрическая проницаемость среды; e0 = 10-9/36p - электрическая постоянная. Тогда

RC = rer e0.(1.41)

Выражение (1.41) является общим и часто используется для вычисления, входящих в него величин, например, сопротивления стягивания рассматриваемой модели контакта.

Половина электростатического поля отдельно взятого заряженного диска радиуса а аналогична половине поля токов модели контакта (рис. 1.13,б): в нашем случае аналогичны нижние половины полей.

Как известно [8], емкость диска

C = 8er e0a

Емкость половины диска

Рис 1.13. К расчету сопротивления стягивания: а - плоскопараллельное поле; б - поле заряженного диска

C12 = 4ee0a.

Тогда, используя последнее выражение и общее cooтношение (1.41), получаем

Rc,12 C1/2 = Rc,1 2 4SS0a = p8S0,

m = 0,9 при соприкосновении двух шарообразных поверхностей.

Следовательно, общее электрическое сопротивление стягивания контакта будет равно удвоенному значению, т.е.

Последняя формула называется формулой Хольма. При упругих деформациях радиус круглой площадки определяется из выражения [8]

a = m{P r/E)1 3 ,(1.43)

где P - усилие сжатия тел; E - модуль упругости материала контактов; r - радиус кривизны сферической поверхности контактa детали; m = 1.11 при соприкосновении шарообразной и плоской поверхностей.

1.2.4 ВЛИЯНИЕ ПЕРЕХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОНТАКТОВ НА НАГРЕВ ПРОВОДНИКОВ

Наличие переходного сопротивления контактов неизбежно приводит к тому, что в зоне контакта выделяется теплота. Всякий электрический контакт является дополнительным источником теплоты. В контактном соединении можно выделить зону стягивания, т. е. ту часть проводников, прилегающих к поверхности контакта, в которой сосредоточено сопротивление стягивания. Разумеется, сопротивление, обусловленное наличием посторонних пленок, также сосредоточено в этой зоне, непосредственно между поверхностями контакта. Для цилиндрических проводников с контактным а-пятном, расположенным на их оси, зона стягивания практически ограничена плоскостями, отстоящими примерно на расстоянии 3/4 диаметра от плоскости контакта [1]. Ввиду того, что наружная поверхность зоны стягивания невелика, в первом приближении можно пренебречь количеством теплоты, отдаваемой в окружающую среду непосредственно этой поверхностью, и считать, что теплота, генерируемая в этой зоне, распространяется в части проводника, прилегающей к этой зоне, а далее с поверхности проводников - в окружающую среду. На рис. 1.14 изображены тепловые потоки в симметричном контакте. Мощность потерь, обусловленная сопротивлением контакта Rк создает два тепловых потока. Из за симметрии системы эти потоки одинаковы и каждый из них определяется как

P = I 2Rк/2.

Для описанной идеализированной картины контакта можно рассчитать распределение температуры в проводнике вне зоны стягивания.

Дифференциальное уравнение, описывающее распределение превышения температуры 6 поверхности проводников, имеет вид [8]

- p2e + qV/X = 0,

где X теплопроводность материала проводника;

p = - kjJyxS;

S - площадь поперечного сечения проводника; П - периметр поперечного сечения проводника; k т - коэффициент теплоотдачи с поверхности проводника;

qV = J 2p;

J - плотность тока в проводнике; р - удельное электрическое сопротивление проводника; qV - объемная плотность источников теплоты.

При удалении от контакта, когда x -> оо, превышение температуры проводника

п = I 2p/(Skт П)

Рис. 1.14 К расчету влияния сопротивления контактов на нагрев проводников

определяется из уравнения Ньютона-Рихмана. Распределение превышения температуры может быть определено как

0(x) = e - px I 2Rк/(2pXS) + п (1.47)

В зоне контакта, при x = 0 получим

0(0) = I 2Rк/(2ikт П.S) (1.48)

Из решения (1.47) следует, что при x = 5/p влиянием одного контакта на другой можно пренебречь. В реальных сильноточных аппаратах при диаметре медного проводника d > 2,5 мм при расстояниях до 1 м влиянием контактов друг на друга пренебрегать нельзя. В этом случае приходится использовать метод суперпозиции, подробное описание которого можно найти в [1, 9].

1.2.5 ТЕМПЕРАТУРА ПЛОЩАДКИ КАСАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТОВ

Теоретическая оценка температуры площадки касания может быть дана для идеализированной модели контакта на основании теоремы, доказанной Кольраушем и Диссельхорстом в 1900 г. [8]: в симметричной области стягивания все эквипотенциальные поверхности являются изотермическими. Рассмотрим трубку тока в зоне стягивания и некоторый элемент этой трубки, заключенный между двумя эквипотенциальными поверхностями.

Пусть одна из этих поверхностей имеет потенциал ф. Тепловой поток, проходящий через элементарный участок dS этой поверхности, есть вся мощность, выделяемая в трубке в пределах от площадки касания с потенциалом срa до эквипотенциали ср, т.е. по закону Джоуля-Ленца

dP = (q>- cpa) JdS

Потенциал площадки касания может быть выбран произвольно. При фa = 0 получим дифференциальное уравнение Хольма-Кольрауша

- Ф d Ф = pXdu

Решение этого уравнения с разделенными переменными можно записать, интегрируя правую и левую части в соответствующих пределах. Если падение напряжения на контакте Uк, то потенциал эквипотенциали, принимаемой за границу области стягивания, отличается от потенциала площадки касания на Uк/2. Температура указанной эквипотенциали - uк, из (1.53) определяется как:

Jcpdcp = JpAdu

Вместе с тем, по закону Био-Фурье для той же площадки тепловой поток dP может быть выражен через градиент температуры и теплопроводность X:

dP = -Xdd u n dS,

где u - температура площадки dS.

Подставив (1.50) в (1.49) и сравнив с (1.51), получим

1(cp - срa)d?ср = -Xdu .(1.52)

где ua - температура контактной площадки.

После интегрирования левой части уравнения получим

8 = JpXdu.

Интегрирование правой части затрудняется тем, что удельное сопротивление материала р и его теплопроводность X зависят от температуры. Но для приближенных оценок можно, воспользовавшись теоремой о среднем интегрального исчисления записать

U к2= (Р-)ср(ua - uк),

откуда следует, что превышение температуры площадки контакта над температурой границы зоны стягивания

qaк = ua - uк

пропорционально квадрату падения напряжения на контакте.

Из решения (1.56) следует, что для каждого данного материала существуют определенные, характерные для него падения напряжения на контактах, при которых температура контактного пятна достигает значений, характеризующих фазовое состояние материала. Так, температуре рекристаллизации соответствует напряжение рекристали-зации, которое называют еще напряжением размягчения, поскольку при рекристаллизации наступает размягчение металла. Температуре плавления материала соответствует напряжение плавления, а температуре кипения - напряжение кипения.

Приведенные выше теоретические зависимости и получаемые на их основе значения Up, Uплав и Uкип могут быть подтверждены экспериментально, что впервые было сделано Р. Хольмом при исследовании зависимости сопротивления контактов от падения напряжения на них.

Основанием для такого эксперимента служат следующие соображения. Сопротивление стягивания контакта зависит от радиуса a-пятна a и удельного сопротивления r, радиус a-пятна - от силы сжатия и упругих свойств материала, а удельное

Рис. 1.15 Зависимость сопротивления контактов от падения напряжения

На интервале температуры, в котором упругие свойства слабо изменяются, сопротивление контакта из данного материала при заданной силе сжатия зависит только от температуры. Приближенно эта зависимость описывается выражением [8]

R к(ua) и Rк (uк) [1 + 23 a (ua - uк)]. (1.57)

Поскольку ua - u к зависит от падения напряжения, то очевидно, сопротивление Rк является функцией падения напряжения Uк. Причем эта функция монотонно возрастает. При достижении значения напряжения размягчения U р упругие свойства металла в области a-пятна резко изменяются (металл размягчается), и под воздействием не изменившейся силы сжатия площадь a-пятна увеличивается, а сопротивление Rк резко уменьшается.

Следующее уменьшение сопротивления контактов происходит при достижении напряжения плавления. Характер получаемых кривых иллюстрируется рис. 1.15.

Напряжение размягчения учитывается для нормирования контактов малой мощности. Для них обычно принимают, что допустимое падение напряжения не должно превосходить (0,5^-0,8) Uр.

1.2.6 СВАРИВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТОВ

Использование контактов при условии, что напряжение Uк не превзойдет напряжения Up возможно лишь в слаботочных аппаратах. В сильноточных аппаратах, предназначенных для работы в режимах короткого замыкания, ток может возрастать в десятки раз, условие Uк < Up или условие Uк < Uплав привело бы к необходимости создания чрезмерно больших усилий сжатия контактов. Поэтому в сильноточных аппаратах не исключено расплавление a-пятна в замкнутом состоянии контактов, что, естественно, может привести к свариванию контактов так, как это происходит при точечной электросварке.

Ток, при котором в установившемся режиме нагрева происходит оплавление площадки касания контактов, называется минимальным током плавления (IплавҐ).

Из (1.56) и выражения для сопротивления стягивания с учетом закона Ома легко получить

При этом значения r и l соответствуют температуре плавления, а радиус контактной площадки a (с учетом размягчения, предшествующего плавлению) выбирается в 1,5 раза больше радиуса, рассчитанного при температуре uк.

Рис. 1.16. К определению сил отталкивания в контактах при протекании тока

При больших значениях тока в расчетах можно использовать (1.44). Тогда из (1.58) следует, что ток сваривания Iсв может определяться как

Iсв = k ЦP ,(1.59)

где P - сила сжатия контактов; k - эмпирический коэффициент.

Для медных и латунных контактов проф. Г.B. Бут-кевичем экспериментально получено, что k изменяется в пределах от 1000 до 2000 А/H1/2 [1].

Значения, определенные из (1.59), соответствуют настолько прочному свариванию, что для разрыва образовавшейся при этом связи между контактами необходимо усилие, которое может достигать сотен и тысяч ньютонов. В действительности сваривание контактов наступает при меньших токах, при которых появляются микроплощадки схватывания. Схватывание может проявляться и без оплавления при размягчении и сдавливании контактов по типу холодной сварки. Однако в аппаратах высокого напряжения обычно не учитывают это явление, потому что привод рассчитывается так, что он в состоянии разорвать контакты при некотором небольшом схватывании.

Безусловно, следует иметь в виду, что сваривание контактов существенно зависит от их конструкции, так как последняя во многом определяет электродинамические силы, действующие на контакты.

В контактных системах можно рассматривать два типа электродинамических сил. Первые возникают в любых контактных системах и обусловлены самой природой контактных явлений, т. е. стягиванием линий тока к контактной площадке. Эти силы Pд, впервые обнаруженные Двайтом, носят его имя. Второй вид сил - это силы, обусловленные взаимодействием элементов контура тока контактной системы, называемые часто контурными Pк. Силы Двайта всегда отталкивают один контакт от другого. При этом на один контакт радиуса r в осесиммет-ричной контактной системе вдоль оси контактов действует сила [1]

Pд = m0i 2 ln r .(1.60)

Рис. 1.17. Типы компенсаторов электродинамических усилий в контактах

Необходимо отметить, что на разные контактные тела действуют различные силы Двайта, показанные на рис. 1.16.

Контурные силы могут быть направлены так, чтобы компенсировать действие сил Двайта. Это видно на схемах компенсаторов электродинамических контактных усилий (рис. 1.17), где через Pк обозначены контурные силы, компенсирующие силы Двайта Pд.

В быстродействующих автоматических выключателях контурные электродинамические силы используют для ускорения отбрасывания подвижного контакта, что приводит к быстрому введению в цепь сопротивления возникающей электрической дуги. Последняя ограничивает нарастание тока при коротком замыкании.

Работа любого электрического аппарата сопровождается электромагнитными явлениями, которые определяют его функционирование, а также часто создают нежелательные воздействия на этот же аппарат, соседние устройства, экологию и пр. Эти явления подчиняются ряду законов, обобщающих знания о возникновении, распространении и взаимодействии электромагнитных полей со средой. На основании этих законов строятся математические модели поля, т.е. замкнутые системы расчетных уравнений, учитывающие условия конкретной задачи.

Математическое описание физически определенного поля вектора F базируется на постулате о существовании двух его элементарных составляющих: вихревой Fв , у которой отсутствуют истоки, т.е. её дивергенция равна нулю (VFв = 0), и потенциальной Fп , у которой отсутствуют вихри, т.е. её ротор равен нулю (V х Fп = 0). С помощью этих составляющих можно воссоздать топографию любой сложности распределения векторов в пространстве.

Если поместить железные опилки в магнитное поле, то вихревая составляющая этого поля образует из опилок замкнутые цепочки, а потенциальная - сходящиеся или расходящиеся не замкнутые на себя цепочки.

Физические поля создаются источниками. Из теоремы разложения Гельмгольца [13] следует, что там где располагаются эти источники, ротор или дивергенция вектора поля отличны от нуля. Значение ротора равно объемной плотности векторного источника вихревой составляющей поля, а значение дивергенции - объемной плотности источника потенциальной составляющей поля.

Эти общие положения распространяются на электромагнитное поле, которое описывается двумя уравнениями Максвелла [14], определяющими связь между электрическими и магнитными величинами, характеризующими это поле. Однозначность математического описания поля с помощью уравнений Максвелла достигается добавлением к ним материальных уравнений среды.

При анализе многих электротехнических устройств, в том числе электрических аппаратов, электромагнитное поле приближенно разделяют на компоненты:

- стационарное электрическое (электростатическое) поле;

- стационарное магнитное поле;

- переменное во времени и появляющееся мгновенно во всем пространстве (не учитываются волновые процессы) квазистационарное электромагнитное поле.

Стационарное электрическое поле

В электростатическом поле переменными являются вектор напряженности электрического поля E, вектор электрического смещения ( электрическая индукция ) D и вектор электрической поляризации P. Напряженность E характеризует силовое воздействие электрического поля на единичный

пробный заряд в данной точке. Предполагается, что внесение в поле пробного заряда не изменяет источники, создающие это поле. Электрическое смещение связано с напряженностью и поляризацией следующей зависимостью

D = e0erE = e0E + P( 1.61)

где e0 = (1 /36тг) * 10-9 [Ф/м] - электрическая постоянная, er - относительная диэлектрическая проницаемость.

В нелинейных средах относительная диэлектрическая проницаемость и вектор поляризации зависят от напряженности. В анизотропных средах зависимость проницаемости от напряженности имеет тензорный характер, а вектора поляризации - вид векторной функции напряженности P(E). Математические выражения этих зависимостей называют материальными уравнениями диэлектрических материалов. Для решения задач электростатического поля они должны быть заданы дополнительно к уравнению (1.61).

В той части пространства, где расположены источники электростатического поля, согласно дифференциальной форме электростатической теоремы Гаусса [14], дивергенции векторов D и E отличаются от нуля:

VD = рсвоб ,(1.62)

УE = (Рсвоб + рсвяз)/e0 , (1.63)

где рсвоб - объемная плотность свободного заряда; Рсвяз - объемная плотность связанного заряда, определяемая дивергенцией вектора поляризации:

Рсвяз = -VP.(1.64)

Вихревые составляющие у полей векторов D, E и P отсутствуют, так как равны нулю роторы V х D и V х E. Поэтому распределение в пространстве составляющих векторных полей D и E потенциально. Так напряженность электростатического поля

E = -Уфэ ,(1.65)

где фэ - скалярный электрический потенциал.

Выражение (1.65) представляет собой решение уравнения Пуассона [14] для скалярного электрического потенциала

У2фэ = -(рсвоб + рсвяз) /e0 , (1.66)

которое следует из (1.63) и (1.65).

В областях поля, не содержащих зарядов, уравнение (1.66) превращается в уравнение Лапласа

у2Фэ = 0.

Уравнения (1.65) и (1.66) являются уравнениями в частных производных, допускающими существование множества решений, из которых только одно удовлетворяет так называемым краевым условиям, соответсвующим конкретной задаче расчета неизвестных потенциалов, напряженностей и зарядов. В зависимости от постановки задачи в качестве краевых условий используются значения потенциала фэ, его пространственных производных или граничные условия расположения векторов напряженности E и электрического смещения (электрической индукции) D на поверхности раздела разнородных сред. Так при отсутствии свободного заряда на поверхности раздела двух сред тангенциальные составляющие (индекс ”t”) вектора E и нормальные составляющие (индекс ”n”) вектора D не претерпевают разрыва, и граничные условия выглядят следующим образом:

Et 1 = Et 2;

Dn 1 = Dn 2;

e r 1 E n 1 = e r 2 E n 2;

er 1 Dt 1 = er 2 Dt 2 (1.68)

Для выполнения условий однозначности решения краевой задачи должны быть известны также диэлектрические свойства материалов в виде зависимостей : er (Е), D (E) или P (E).

Стационарное магнитное поле

Стационарное магнитное поле характеризуется следующими векторными переменными: магнитная индукция B, определяемая как сила, воздействующая на проводник с током, напряженность магнитного поля H и намагниченность среды M. Эти переменные связаны соотношениями

B = ц0щr H = ца H,

B = ц0(H + M) = ц0 H + Bм,

где ц0 = 4тг 10-7 [Гн/м] - магнитная постоянная; \х.r - относительная магнитная проницаемость; ца - абсолютная магнитная проницаемость, Bм = ц0 M - индукция намагниченности.

Источники вихревых составляющих переменных магнитного поля определяются первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме

VxH = J,(1.70)

где J для стационарного магнитного поля - вектор плотности стороннего тока (тока проводимости) iст. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме представляет собой закон полного тока

H dl =J dS .(1.71)

Здесь интеграл jJ dS для стационарного магнит-S ного поля равен iст.

Источники потенциальных составляющих переменных магнитного поля определяются правилом непрерывности линий магнитной индукции: поле вектора магнитной индукции не имеет истоков,т.е.

VB = 0 .(1.72)

Поле вектора магнитной индукции в соответствии с этим правилом имеет чисто вихревой характер и создается токами в проводниках ( токами iст) и вихрями векторов намагниченности в деталях из магнитных материалов, так как имеет место соотношение

V х B = (X0(V х H + V х M) = |a0J + |a0V xM . (1.73)

Поле вектора напряженности может содержать как вихревую H в, так и потенциальную Hп составляющие с истоками в намагниченной среде

VH = V(Hв + Hп) = У(B/ц0 - M) = -VM . (1.74)

Вектор магнитной индукции может быть выражен через векторный магнитный потенциал A

B = VxA .(1.75)

Используя (1.70) и (1.75), для вихревого (без истоков ) стационарного магнитного поля получаем

V2A = -|oJ .(1.76)

При J = 0

V2A = 0 .(1.77)

Уравнения (1.76) и (1.77) однотипны соответственно уравнению Пуассона (1.66) и уравнению Лапласа (1.67) для электростатического поля. С учетом (1.75) и выражения .

\(VxA)dS = \ A dl , (1.78)

следующего из теоремы Стокса, получаем связь магнитного потока Ф, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L, с векторным магнитным потенциалом A

Ф = |B dS = { A dl = \ A dl cos(A,l ) . (1.79)

Для плоскопараллельного поля

Ф12 = (A1 - A2)l ,(1.80)

где Ф1,2 - магнитный поток сквозь площадь, определяемую расстоянием между точками 1 и 2 на картине поля и глубиной поля l; A1 и A2 - значения векторного магнитного потенциала в точках 1 и 2 соответственно.

В областях пространства без токов магнитное поле кроме векторного обладает также скалярным магнитным потенциалом срм, определяемым соотношением

H = -Vcpм ,(1.81)

что следует из первого уравнения Максвелла (1.70). Из (1.72) и (1.81) вытекает, что в однородной и изотропной среде скалярный магнитный потенциал подчиняется уравнению Лапласа

V2cpм = 0 .(1.82)

При наличии ферромагнитных деталей приведенные выше уравнения стационарного магнитного поля дополняются материальными уравнениями ферромагнетиков используемых материалов в виде одной из взаимосвязанных нелинейных функций

B = f (H ), M = f (H ) или M = f (B ). (1.83)

Краевые задачи стационарного магнитного поля формулируют и решают для ограниченных областей исследования, когда на границах раздела разнородных сред известны либо абсолютные значения параметров поля, либо условия расположения векторов. Так при отсутствии токов на поверхности раздела двух сред тангенциальные составляющие вектора напряженности H и нормальные составляющие вектора индукции B не претерпевают разрыва, и граничные условия выглядят следующим образом

Ht 1 = H t 2 ; B n1 = B n2 ; щr1H n1 = хr2H n2;

ir1Bt 1 = цr 2 B t 2 .(1.84)

Переменное квазистационарное электромагнитное поле

Переменное квазистационарное электромагнитное поле характеризуется одновременным существованием в пространстве взаимосвязанных электрического и магнитного полей. Эта взаимосвязь определяется вторым уравненением Максвелла-зако-ном электромагнитной индукции:

VxE = -dB/dt .(1.85)

Уравнение (1.85) выражает факт индуктирования в любой среде вихревого электрического поля изменяющимся во времени магнитным полем. Наличие проводящего контура не является обязательным. В проводящей среде индуктированное электрическое поле вызывает вихревые токи, изменяющие картину магнитного поля в соответствии с законом полного тока (1.71), в котором плотность J в отличие от стационарного магнитного поля определяется не только сторонним током iст , но и вихревым током iв.

Если в (1.85) подставим выражение магнитной индукции через векторный магнитный потенциал [см.(1.75)], то, имея в виду возможность замены последовательности дифференцирования по времени и пространственным координатам, получим:

V х E = -5(V х A)/dt = -V х (dA/dt)

или, учитывая, что сумма роторов равна ротору суммы:

Vx(E + SA/dt) = 0 . (1.86)

Решение уравнения (1.86) может быть представлено в виде:

E +dA/dt = -У<рэ ,(1.87)

поскольку ротор всякого градиента тождественно равен нулю.

Это решение привело Максвелла к следующему выражению для определения напряженности электрического поля:

E = -Vcpэ -dA/dt ,(1.88)

в которое входит градиент скалярного электрического потенциала.

Равенство (1.88) представляет собой дифференциальное выражение закона электромагнитной индукции.

Действительно, интегрируя (1.88) по замкнутому контуру L, получим:

e = { E d l = - { Vqэ d l -d({ Ad l)/dt . (1.89)

Первый интеграл в правой части (1.89) равен нулю;второй же интеграл по (1.79) дает нам магнитный поток. Поэтому выражение (1.89) тождественно закону Фарадея

e = -dФ/dt .(1.90)

Если магнитное поле B неизменно во времени, но среда двигается относительно этого поля со скоростью v, то в среде также индуктируется напряженность электрического поля

E'= vxB(1.91)

и соответствующая ей электродвижущая сила

e = E'd l = (vxB)d l (1.92)

Предполагается, что векторные величины B и E' измеряются в одной и той же системе отсчета.

С учетом (1.89) и (1.91) получаем обобщенное второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме

E = -Уфэ - 5A /dt + (v х B) . (1.93)

Трем слагающим этого уравнения можно дать следующие названия, облегчающие запоминание их физического смысла:

-Уфэ - напряженность в конденсаторе; -dA/dt -напряженность в трансформаторе; v x B - напряженность в электромашинном генераторе (или конденсаторная, трансформаторная и генераторная напряженности). Вместо названия генераторная напряженность используется также термин напряженность движения.

Обобщенному уравнению Максвелла соответствует электродвижущая сила

e = -д(\ A d l)/dt + j (v x B)d l . (1.94)

Здесь -д( J A d l)/dt - трансформаторная э.д.с; (v х B)d l - генераторная э.д.с. (э.д.с. движения).

Выше было показано, что первая слагаемая в уравнении (1.94) тождественна закону Фарадея (см. (1.90)). Можно показать, что вторая слагаемая также тождественна этому закону (см., например, решение задачи 6.3 в [101].

1.3.2 НАМАГНИЧИВАНИЕ И МАГНИТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Строго говоря, все вещества магнитны, поскольку магнитны их атомы. Магнитные свойства веществ обуславливаются главным образом движением элементарных носителей зарядов - электронов, которые, вращаются как вокруг своей оси (спиновое движение),так и по орбите вокруг ядра ( орбитальное движение). Эти движения электронов эквивалентны круговым микротокам, создающим в материале магнитные моменты. Кроме того могут возникать индуктированные моменты, вызываемые вращением электронов вокруг оси направления воздействующего внешнего поля, что связано с явлением электромагнитной индукции. Объемная плотность магнитных моментов называется вектором намагниченности M. Магнитные свойства материалов характеризуются зависимостями индукции B или намагниченности M от напряженности поля H - материальными уравнениями. Эти уравнения соотносятся с конкретной точкой пространства и в общем случае имеют вид векторных функций векторных параметров магнитного поля, а также предыстории намагничивания. Такие функции позволяют воспроизводить как изотропные, так и анизотропные и гистерезисные свойства магнитных материалов.

По магнитным свойствам все материалы подразделяются на парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики и ферримагнетики (ферриты).

Диамагнетики и парамагнетики относятся к материалам со слабыми магнитными свойствами.

В диамагнетиках спиновые и орбитальные моменты компенсируют друг друга - при отсутствии внешнего поля эти материалы не имеют собственного суммарного момента. Индуктированные же в них моменты ослабляют внешнее поле, поэтому магнитная проницаемость диамагнитного вещества меньше магнитной постоянной m0.

У атомов парамагнетиков имеются собственные суммарные магнитные моменты, существующие независимо от внешнего магнитного поля. Однако тепловое движение электронов в парамагнетиках препятствует их самопроизвольной (спонтанной) ориентации, и результирующая намагниченность парамагнетика при отсутствии внешнего поля равна нулю. При наложении внешнего поля магнитные моменты ориентируются вдоль него. Происходит усиление поля по сравнению с полем, созданным той же магнитодвижущей силой в пустоте. Поэтому магнитная проницаемость парамагнетиков больше чем m0.

Значительно более сильный эффект намагничивания наблюдается у ферромагнетиков. Ферромагнетизм наблюдается у некоторых металлов(железа, кобальта, никеля). Кроме того ферромагнитными могут быть сплавы из ферромагнитных и из ферромагнитных и неферромагнитных элементов. Известны также ферромагнитные сплавы только из неферромагнитных элементов, например, сплавы марганца с медью и алюминием, марганца с серебром и алюминием.

Рис. 1.18 Схема процесса намагничивания: а - кривые начального намагничивания; б - размагниченное состояние; в - смещение границ доменов; г, д - вращение магнитных моментов; е - парапроцесс

Между атомами ферромагнитных веществ существуют так называемые обменные силы, противодействующие дезориентирующему тепловому движению электронов. Под действием этих сил магнитные моменты группы атомов ориентируются параллельно друг другу и образуют элементарные объемы - домены, самостоятельно (спонтанно) намагниченные до насыщения. Магнитный момент домена приблизительно в 1015 раз больше магнитного момента атома.

Рассмотрим процесс намагничивания образца ферромагнетика (рис.1.18,а). В ненамагниченном состоянии векторы спонтанной намагниченности расположены в нем по всем направлениям равномерно (рис.1.18,б). При наложении внешнего магнитного поля с возрастающей напряженностью векторы спонтанной намагниченности, изначально ориентированные в разных доменах по разному, постепенно выстраиваются в одном направлении. Этот процесс называется техническим намагничиванием. Он характеризуется кривой начального намагничивания (рис.1.18,а) - зависимостью B(H) или зависимостью M(H) в материале.

При воздействии слабого намагничивающего поля ( участок OA ) происходят обратимые смещения междоменных границ. Домены, магнитные моменты которых имеют малый угол с направлением внешнего поля, плавно растут в объеме за счет соседних доменов (рис.1.18,в). Кривая начального намагничивания на этом участке, называемом областью Релея, имеет небольшой наклон с положительной крутизной. При снятии намагничивающего поля форма доменов восстанавливается. Намагниченность образца опять становится равной нулю.

В более сильных полях (участок AC) движение границ доменов перестает быть плавным. Отдельные участки изменяют свое положение скачкооб-разно,что приводит к скачкообразному изменению намагниченности образца (эффект Баркгаузена). Кривая намагничивания круто идет вверх. В конечной точке этого участка векторы спонтанной намагниченности доменов будут в объеме всего образца ориентированы вдоль одной из его так называемых осей легкого намагничивания, имеющей минимальный угол с направлением поля (рис.1.18,г). Движение границ на этом участке большей частью необратимо.При уменьшении внешнего поля до нуля намагниченность образца не возвращается в исходную точку, а определяется кривой CD, т. е. образец остается намагниченным. Это явление называется магнитным гистерезисом.

При дальнейшем увеличении напряженности (начиная с конца участка AC) преобладает процесс обратимого поворота векторов намагниченности доменов в сторону направления приложенного поля (участок CE) до достижения технического насыщения материала в конце этого участка (точка E), когда вектора спонтанной намагниченности совпадают с вектором поля (рис.1.18,д). Это состояние наступает при напряженности технического насыщения Hs, которой на кривой B(H) соответствует магнитная индукция технического насыщения Bs, а на кривой M(H) - намагниченность технического насыщения Ms.

Дальнейший процесс намагничивания близок к процессам намагничивания парамагнетиков. В этой области возрастает намагниченность самих спонтанных областей за счет переориентации отдельных спиновых магнитных моментов,дезориен-тированных тепловым движением. Дело в том, что только при абсолютном нуле температуры в области спонтанной намагниченности (в домене) спиновые магнитные моменты (спины) все направлены в одну сторону. При температуре же выше абсолютного нуля есть антипаралльные спины. Поле переориентирует их, и намагниченность растет (рис.1.18,е), но существенно в меньшей степени, чем на предыдущих участках кривой начального намагничивания.

С увеличением температуры нарушается параллельность спинов в домене, все больше появляется антипараллельных спинов. Спонтанная намагниченность снижается. Для конкретного ферромагнитного материала существует определенная температура, при которой доменные образования полностью исчезают, т.е. исчезает спонтанная намагниченность. Эта температура носит название температура точки Кюри”. Для железа она равна ” 790 °C, для никеля 340 °C, для кобальта 1150 °C, для пятидесятипроцентного (50% Fe + 50%Ni) пермал-лоевого сплава 550 °C. Выше температуры точки Кюри ферромагнитные материалы ведут себя как парамагнетики.

Уменьшение температуры ниже температуры точки Кюри возвращает материалу магнитные свойства, причем он становится размагниченным, т.е. приобретает доменную структуру с нулевой результирующей намагниченностью. Поэтому разогрев изделий из ферромагнитных материалов выше температуры точки Кюри используется для их полного размагничивания.

Помимо начальной кривой намагничивания существуют и другие виды, в частности, основная(или коммутационная) кривая намагничивания, являющаяся геометрическим местом вершин частных статических симметричных петель гистерезиса (рис.1.19).

Петлями гистерезиса (рис.1.19) называют кривые, отражающие изменения магнитного состояния магнитных материалов под действием циклически изменяющегося внешнего магнитного поля. При испытаниях этих материалов петли гистерезиса строятся для функций B(H) или M(H) внутри материала в зафиксированном направлении. Статическая петля гистерезиса (СПГ) определяются при медленном изменении внешнего поля (dH/dt » » 0), т. е. практически при постоянном токе.

Пусть мы намагнитили материал до технического насыщения (Hs,Bs) - точка 1 на рис.1.19. Последующее снижение напряженности поля H внутри материала до нуля (участок 1-2 на петле гистерезиса) позволяет определить значение остаточной магнитной индукции Br (точка 2). Дальнейшее увеличение напряженности поля в отрицательном направлении (участок 2-3) до значения Hсв (коэрцитивная сила по магнитной индукции) приводит к B = 0(точка 3). Далее материал перемагничивается в отрицательном направлении (участок 3-4) до насыщения при H=-Hs. Изменение напряженности поля в положительном направлении замыкает предельный гистерезисный цикл по кривой 4-5-6-1, представляющей собой отражение спинки петли 1-2-3-4 относительно точки 0, - получаем предельную статическую петлю гистерезиса (ПСПГ).

Множество состояний материала в пределах площади, охватываемой ПСПГ, может быть достигнуто при изменениях напряженности магнитного поля, приводящих к частным симметричным или частным несимметричным гистерезисным циклам.



Рис. 1.19. Магнитный гистерезис: 1 - кривая начального намагничивания; 2 - предельный гистере-зисный цикл; 3 - основная кривая намагничивания; 4 - симметричные частные циклы; 5 - несимметричные частные циклы

Частные симметричные гистерезисные циклы (циклы 4 на рис.1.19) опираются вершинами на основную кривую намагничивания.

Частные несимметричные гистерезисные циклы образуются, если начальная точка отхода не находится на основной кривой намагничивания при симметричном изменении напряженности поля (циклы 5 на рис.1.19), а также при несимметричном изменении напряженности поля.

Связь между магнитной индукцией B и напряженностью H магнитного поля по основной кривой намагничивания определяется через абсолютную магнитную проницаемость. Для того, чтобы охарактеризовать связь B и H в конкретной точке кривой намагничивания при малых изменениях этих величин, используют динамическую магнитную проницаемость.

Had = dB/dH .(1.95)

Качественные зависимости \х.a и \x.ad от H приве-дены на рис.1.20.

Рис. 1.20. Кривые магнитной проницаемости

Кривые намагничивания и гистерезисные циклы строятся также для зависимостей намагниченности M от напряженности поля H . В этом случае на предельном гистерезисном цикле отмечаются характерные точки:

намагниченность насыщения материала Ms при Hs ;

остаточная намагниченность Mr, когда напряженность поля в материале равна нулю;

коэрцитивная сила по намагниченности H cM, когда намагниченность в материале равна нулю (коэрцитивные силы по индукции и намагниченности не равны друг другу).

Форма СПГ(рис.1.19) характеризуется наклоном пологих и крутых участков. В ряде электрических аппаратов (магнитные усилители, магнитные логические элементы, аппараты силовой электроники и др.) используются магнитные материалы, СПГ которых при анализе работы этих аппаратов обоснованно представляется идеально прямоугольной (рис.1.21). Для СПГ такой формы на вертикальных участках цad = оо, а на горизонтальных участках

Pad = 0.

Площадь СПГ определяет потери в ферромагнетике при его статическом (медленном) перемагни-чивании, которые называются потерями на гистерезис.

Электромагнитные компоненты многих электрических аппаратов работают на переменном токе. Поэтому описание свойств ферромагнетиков в таких аппаратах посредством СПГ приводит к неправильным результатам, особенно на повышенных частотах. Для этих целей используют динамические петли гистерезиса (ДПГ), которые представляют собой зависимости B(H), когда dH/dt >> 0 (рис.1.22). При этом с повышением частоты перемагничивания ДПГ расширяют свою площадь, т. е увеличиваются потери в ферромагнетике. Кроме того крутые участки ДПГ становятся более пологими. Это объясняется запаздыванием ориентации доменов от изменения H (явление магнитной вязкости) и вихревыми токами в ферромагнетике, препятствующими процессу перемагничивания. На характер ДПГ оказывают влияние не только свойства ферромагнетика, но и другие факторы, например, вид пере-магничивающего устройства (источник тока или источник напряжения), форма воздействующих токов и напряжений, конструкция магнитопро-вода и др.[85].

Ферромагнитные материалы разделяют на маг-нитомягкие и магнитотвердые.

Магнитомягкие ферромагнитные материалы обладают малой коэрцитивной силой ( H св < 0,4 кA/м), высокой магнитной проницаемостью (m до 300 103) и в значительной своей части - большей магнитной индукцией технического насыщения (Bs до 1,5. 2,4 Тл).



Рис. 1.22. Статическая (СПГ) и динамическая (ДПГ) петли гистерезиса

Рис. 1.23 Кривые намагничивания некоторых наиболее используемых магнитомягких материалов: 1 - пермендюр (сплав 50% Fe и 50% Co); 2 - электротехническая сталь 3413; 3 - электротехническая сталь 1211; 4 - пермаллой 50Н; 5 - пермаллой 79НМ

тепловой электромагнитный процесс электрический аппарат

К ним относятся технически чистое железо, электротехнические стали, пермаллои, пермендю-ры и аморфные сплавы. Благодаря малой коэрцитивной силе они имеют узкую СПГ, что определяет малые потери на гистерезис. Высокая магнитная индукция насыщения обеспечивает прохождение максимального магнитного потока через заданную площадь поперечного сечения.

Эти свойства позволяют использовать магнито-мягкие материалы в электрических аппаратах для магнитопроводов и концентраторов магнитных потоков.Основные кривые намагничивания некоторых из таких материалов приведены на рис.1.23.

Технически чистое железо содержит менее 0,05% углерода и минимальный процент примесей, в том числе кремния. По многим параметрам к этому материалу близки низкоуглеродистые электротехнические стали с \хr до (3-6).103, H cB = (0,06-0,1) кА/м и Bs«2,1 Тл. Эти материалы, выпускаемые в виде листов и прутков, применяются при изготовлении маломощных электромагнитов.

Кремнистые электротехнические стали содержат 0,5-5% кремния и поэтому имеют высокое удельное электрическое сопротивление, что снижает потери на вихревые токи.Их максимальная относительная магнитная проницаемость составляет (6-40)103, коэрцитивная сила H cB менее 0,1кА/м, а индукция технического насыщения доходит до (1,9-2,1) Тл. Кремнистые электротехнические стали выпускаются в виде листов и лент и используются для изготовления шихтованных магнитопроводов быстродействующих электромагнитов постоянного тока и электромагнитов переменного тока, а также для витых сердечников магнитных компонентов силовой электроники. Они применяются при рабочих частотах от 50 Гц до 5 кГц. При более высоких частотах из магнитомягких ферромагнитных материалов используются пермаллои.

Пермаллои - это сплавы железа с никелем, ли-гированные другими элементамми (Mo, Cr,Cu,Si и пр). Существуют два вида пермаллоев: высоконикелевые с содержанием никеля 70-80% (например, марка 79НМ) и низконикелевые с содержанием никеля 40-50% (например, марка 50Н).

В слабых магнитных полях пермаллои обладают более высокой магнитной проницаемостью чем электротехнические стали - см. рис. 1.23. Значения максимальной относительной магнитной проницаемости достигает у низконикелевых пермаллоев 125 . 103, а у высоконикелевых - 300 . 103. Для них также характерны низкие значения коэрцитивной силы (H cB « 0,002-0,08 кА/м). Благодаря этим двум факторам пермаллои отличаются высокой прямоугольностью СПГ и малой её площадью. Последнее определяет малые потери на гистерезис. Однако магнитная индукция технического насыщения у этих материалов(0,5ё1,5 Тл) ниже чем у электротехнических сталей.

Пермаллои выпускаются в виде лент, листов и прутков. Минимальная толщина ленты достигает 5 мкм.

С точки зрения уменьшения габаритов и массы различных электромагнитных аппаратов большой интерес представляют сплавы железа с кобальтом (сплавы типа пермендюр).

Их магнитная индукция технического насыщения достигает 2,4 Тл. Максимальная относительная магнитная проницаемость у большинства этих сплавов составляет 4,5 103ё40 103, а коэрцитивная сила достаточно низкая (0,02ё0,26 кА/м).

Преимущество сплавов железо-кобальт перед технически чистым железом становится ощутимым в области индукций выше 1 Тл. Так вблизи индукции 1,8 Тл проницаемость кобальтовых сплавов больше чем у железа приблизительно в 40 раз. Поэтому эти сплавы применяют,в частности, для полюсных наконечников с высокой индукцией.

Посредством специальных режимов прокатки, отжига и магнитной обработки из сплава 49%Fe, 49%Co и 2%V удалось создать анизотропный материал, имеющий практически прямоугольную СПГ и максимальную относительную магнитную прони-. цаемость до 70 103. При индукции 2 Тл проницае-. мость у него снижается до 33 103, однако при высоких индукциях она у этого сплава в 500 раз выше проницаемости железа, применяемого в магнито-проводах электромагнитных реле.

Высокая стоимость железокобальтовых сплавов предопределяет их применение главным образом в специальной аппаратуре.

Аморфные сплавы отличаются от указанных выше магнитомягких материалов отсутствием кристаллической решетки. Аморфное состояние структуры достигается закаливанием расплавленного материала с очень большой скоростью (примерно 10 °C/с). Основой таких материалов являются различные сплавы железа с бором и кремнием, легированные различными компонентами, например хромом. Аморфные сплавы отличаются от кристаллических рядом повышенных магнитных и механических свойств, а также высокой антикоррозионной стойкостью. Основное их преимущество - низкое значение удельных потерь на перемагничи-вание (более чем на порядок меньше у отдельных марок этих сплавов по сравнению с кристаллическими сплавами). Это позволяет получить значительный экономических эффект при производстве серийных электромагнитных компонентов за счет снижения их металло- и энергоемкости [87].

Магнитотвердые ферромагнитные материалы отличаются большими значениями коэрцитивной силы (HсВ > 40 кА/м ) и магнитной энергии, отдаваемой во внешнее пространство выполненными из них и намагниченными изделиями. Эти изделия называются постоянными магнитами, которые совместно с обмотками, по которым протекает ток, являются первичными источниками магнитного поля. Важнейшей характеристикой таких материалов является участок СПГ, расположенный во втором квадранте (между положительной осью магнитной индукции B, намагниченности M или индукции намагниченности BM и отрицательной осью напряженности поля H - см. рис.1.19). Этот участок СПГ называется кривой размагничивания. Кривые размагничивания наиболее используемых в настоящее время магнитотвердых материалов даны на рис.1.24.

Выбор магнитотвердого материала определяется назначением постоянного магнита, а также технологическими и экономическими соображениями. Кроме того необходимо учитывать вопросы механической прочности, устойчивости к воздействию размагничивающих полей и окружающей температуры.

Более подробные сведения о магнитотвердых материалах и постоянных магнитах можно получить из параграфа 1.3.4 настоящего учебника и из специальной литературы,например [16].

Рис. 1.24. Кривые размагничивания некоторых наиболее используемых магнитотвердых материалов: 1 - сплав NdFeB; 2 - редкоземельный сплав КС37А; 3 - сплав альнико ЮНДК35Т5БА; 4 - феррит стронция 28СА

В электрических аппаратах используются также материалы, которые по своим свойствам относятся к антиферромагнетикам. У них оказывается энергетически выгодным антипарраллельное расположение спинов соседних атомов. Созданы антиферромагнетики, обладающие значительным собственным магнитным моментом, приближающимся (в 2-5 раз меньше) к моменту ферромагнетиков. Такие материалы получили название ферримагне-тиков (ферритов). В отличие от металлических, хорошо проводящих ферромагнитных материалов, ферриты являются полупроводниками. Поэтому их удельное электрическое сопротивление намного превышает аналогичное сопротивление сталей и сплавов. Высокое значение электрического сопротивления позволяет значительно снизить вихревые токи и вызываемые ими потери мощности.

Ферриты изготавливают путем прессования и термической обработки порошков из окислов желе-за,цинка, марганца и других материалов. Максимальная относительная магнитная проницаемость у них равна (2-ь5) 103, а индукция технического насыщения 0,35^-0,5 Тл [87]. Ферриты бывают как магнитомягкие (никелевые, марганцевые), так и маг-нитотвердые (бариевые, стронциевые).

Малые потери мощности от вихревых токов, а также возможность производства изделий из них произвольной формы обусловило широкое использование магнитомягких ферритов в качестве магнитопроводов. Изделия из магнитомягких, так называемых термомагнитных ферритов (с низкими температурами точки Кюри - 10^-70 °C) нашли применение в пожарных извещателях. Магнито-твердые ферриты (например, феррит стронция, - рис.1.24), используются для изготовления постоян-нных магнитов.

Для создания магнитопроводов с малыми значениями магнитной проницаемости, мало зависящей от воздействия постоянных и переменных полей, используются магнитодиэлектрики. Эти материалы имеют очень высокое удельное электрическое сопротивление, что практически исключает возникновение в них вихревых токов. Среди таких материалов наибольшее распространение получил альсифер - тройной сплав алюминия, кремния и железа. Низкие значения абсолютной магнитной проницаемости цa (от нескольких единиц до сотен) позволяют эффективно использовать эти сплавы в реакторах и фильтрах с практически постоянной индуктивностью в широком диапазоне изменения напряженности магнитного поля.

1.3.3 СИЛОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Анализ силовых взаимодействий в электромеханических аппаратах требуется для установления количественных связей между электрическими и механическими величинами. В частности, для электромагнитов одной из основных характеристик является зависимость электромагнитной силы (или электромагнитного момента) от положения подвижного элемента (в электромагнитах - это якорь) для различных постоянных значений напряжения, приложенного к обмотке, или тока в обмотке. Такую зависимость называют тяговой характеристикой. Возникающие при преобразовании электрической энергии в механическую в этих аппаратах электромагнитная сила или электромагнитный момент полностью определяются параметрами электромагнитного поля. Как показано в подразделе 1.3.1, электромагнитное поле создается его источниками.

Определение электростатических сил

На распределенные в пространстве электрические объемные заряды плотностью р и поверхностные заряды плотностью а действует электростатическая сила Pэс, определяемая законом Кулона для распределенных зарядов.

Pэс = jpEdV + jaEdS , (1.96)

где V и S - объем и площадь поверхностей, занимаемые зарядами, с которыми определяется силовое взаимодействие поля; E - напряженность внешнего по отношению к текущей точке интегрирования электрического поля, т.е. поля, созданного всеми внешними по отношению к данной точке зарядами.

а)Определение электромагнитной силы взаимодействия проводников с током и магнитного поля наоснове использования закона Ампера и закона Био-Са-вара-Лапласа

Закон Ампера в дифференциальной форме определяет элементарную электромагнитную силу d Pэм, действующую на элементарный участок dl бесконечно тонкого проводника с током i, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией B, создаваемом внешними по отношению к этому участку источниками:

dPэм = i(d lxB) = i dl sing , (1.97)

где g - угол между векторами d l и B.

Магнитная индукция B, создаваемая в середине участка длиной d l внешним элементарным источником длиной dl' и током i', при отсутствии ферромагнитных участков в поле ( или пренебрежении их влиянием ) находится, используя закон Био-Са-вара-Лапласа

dB = |V (d l х r) /4тгr3 = ц0 i dl sina /4тгr 2, (1.98)

где r - радиус-вектор от середины длины dl' до середины длины dl, a - угол между векторами dl' и r.

Полная электромагнитная сила Pэм, действующая на весь проводник длиной l и током i, находится суммированием dPэм.

Если требуется учесть конкретные размеры поперечного сечения проводников, используется понятие коэффициента его формы [2,4].

Электромагнитные силы, возникающие при воздействии магнитного поля на проводники с током, называются также электродинамическими силами (см. п. 2.3).

б) Определение электромагнитной силы по изменению магнитной энергии или магнитной коэнергии(энергетический метод)

Электромагнитная сила Pэм может быть определена по изменению магнитной энергии (энергии, запасаемой магнитным полем) W магнитной системы (рис.1.25) при перемещении x подвижного элемента в условиях постоянства магнитных потоков Фk всех n возбуждающих контуров (Фk = const;

Pэм = -(дW/дx).(1.99)

Знак ” минус” в (1.99) означает, что при независимости потоков (или потокосцеплений) от перемещения подвижного элемента электромагнитная

Рис. 1.25. Магнитная энергия W и магнитная коэнергия W в электромагнитной системе без остаточного магнетизма сила направлена в сторону уменьшения магнитной энергии системы.

В условиях постоянства токов всех возбуждающих контуров или катушек (i k = const; k= 1,2,....,n) при перемещении x подвижного элемента сила Pэм находится по изменению магнитной коэнергии W* (рис.1.25) [5,102]: