Элементы квантовой механики

Министерство образования РФ

Московская государственная академия приборостроения и информатики

Боднарь О.Б.

Физика

Часть III

«Оптика»

«Элементы квантовой механики»

лекции и решения задач

Москва, 2005

Физика. Часть III

В III части изучаются волновые процессы, квантовые свойства электромагнитного излучения, элементы квантовой механики и атомной физики.

I. Волновые свойства упругих и электромагнитных волн

Лекция 1. Волны в упругих средах

1.1 Упругие среды. Продольные и поперечные волны

Сплошную упругую среду, например, твердое тело, можно представить как совокупность связанных осцилляторов (рис.1). Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде с некоторой фазовой скоростью v.

Рис. 1

Рис 2 (а)

Рис 2 (б)

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или механическими волнами.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространится гармоническая волна за время, равное периоду колебаний одной частицы Т

= vТ. (1.1)

Учитывая, что частота v = 1/T получаем

= v / v. (1.2)

Звуковыми или акустическими волнами называются упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20000 Гц. Волны с частотами меньше 16 Гц (инфразвук) и больше 20000 Гц (ультразвук) органами слуха человека не воспринимаются.

Волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах (рис.2 (а)) частицы среды колеблются в направлении распространения волны (в направлении фазовой скорости ), в поперечных - в плоскостях, перпендикулярных направлению волны (перпендикулярно фазовой скорости ) (рис.2 (б)).

1.2 Уравнение гармонической бегущей волны

Пусть частица, имеющая координату x=0, совершает гармонические колебания по закону

, (1.3)

где S(0,t) - смещение из положения равновесия частицы с координатой x=0 в момент времени t, А - амплитуда колебаний, - циклическая частота колебаний ( = 2/T = 2v). Распространяясь в среде, волна достигнет произвольной координаты x через время t'=, т.е. в точку x колебания придут с задержкой на время t'

=. (1.4)

Раскрывая скобки и вводя новое обозначение:

, (1.5)

где k - волновое число, получаем уравнение бегущей гармонической волны

, (1.6)

где А - амплитуда волны, - фаза волны, 0 - начальная фаза.

Рис. 3

На рис. 3 показано смещение S частиц среды гармонической поперечной волны для фиксированного момента времени t.

Рассмотрим две ближайшие точки с координатами x1 и x2, смещения S1 и S2 в которых одинаковы (рис.3). Из соотношения (1.6)

, , (7)

Условие S1 = S2 выполняется при условии Ф1=Ф2 +2 или Ф1-Ф2 =2. Вычитая фазы колебаний получим

k(x2-x1)= (x2-x1)=2 или x2-x1=. (1.7)

Расстояние между ближайшими частицами волны, колеблющимися в одинаковой фазе, равно длине волны .

1.3Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью (поверхностью постоянных фаз, фазовой поверхностью).

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени - один.

Гармоническая бегущая волна (5) является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности представляет собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных оси х.

Уравнение гармонической сферической волны имеет вид

, (1.9)

где r - радиальная координата. При распространении волны в непоглощающей среде A(r) ~ 1/r.

1.4 Волновое уравнение

Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных

, (1.10)

где - оператор Лапласа

(1.11)

Решением уравнения (10) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (6), распространяющейся вдоль оси Х волновое уравнение принимает вид

. (1.12)

Подстановкой можно убедиться, что решению уравнения (1.12) удовлетворяет выражение (1.6).

1.5 Групповая скорость

Реальная волна ограничена во времени и в пространстве, поэтому является негармонической. Такую волну можно заменить системой гармонических волн, которые распространяются в линейной среде независимо друг от друга в виде группы волн или волнового пакета. Скорость распространения огибающей этой группы волн называют групповой скоростью. Она связана с фазовой скоростью соотношением

(1.13)

Для гармонической волны =0 (фазовая скорость не зависит от длины волны) групповая скорость равна фазовой скорости, т.е. u=v.

1.6 Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии

Основное свойство волны - перенос энергии без переноса вещества.

Энергия упругой волны складывается из кинетической энергии колебательного движения частиц dWК и потенциальной энергии, обусловленной деформацией среды dWР.

dWК=, (1.14)

где dm -масса колеблющейся частицы, и dV соответственно ее плотность и объем.

Аналогичное соотношение можно получить и для потенциальной энергии упругой деформации бесконечно малого объема.

Объемная плотность энергии для плоской бегущей гармонической волны (1.6)

, (1.15)

Среднее значение плотности энергии за промежуток времени Т/2

Рис.4

. (1.16)

За время t волна (рис. 4), пройдя через площадку S перпендикулярную к направлению распространения волны, распространится на расстояние ut и займет новый объем V=S ut. Этому объему соответствует энергия W=wV. Плотность потока энергии П численно равна энергии, переносимой волной через единицу площади в единицу времени:

. (1.17)

Вектор плотности потока совпадает по направлению с вектором групповой скорости , Вт/м2. (1.18)

Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г.

Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны

. (1.19)

Для гармонической волны u=v, поэтому в формулах (1.17)-(1.19) u можно заменить на v.

Основные формулы и решение задач

Длина волны =vT=v/v=2v/, (1)

где v - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость), T - период колебаний частиц среды, v=1/Т - частота колебаний частиц среды, =2/Т=2 v - циклическая (круговая частота) колебаний частиц среды.

Формула бегущей гармонической волны

S(x,t)=Acos(t-х+О)=Acos(t-kх+О), (2)

где S(x,t) - смещение из положения равновесия материальной точки с координатой x в момент времени t; А - амплитуда волны (максимальное отклонение колеблющихся частиц от положения равновесия); k= - волновое число; Ф=t-kх+О- фаза волны; О - начальная фаза волны.

Среднее значение плотности энергии волны , (Дж/м3) (3)

где - плотность среды.

Интенсивность волны . (Дж/(м2 с)=Вт/м2) (4)

Пример 1

Плоская волна распространяется вдоль оси Х в не поглощающей энергию среде плотностью =1000 кг/м3, со скоростью 15 м/с. Две точки, находящиеся на расстоянии х1=5 м и х2=5,5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Ф=/5 рад. Амплитуда волны A=4 см. Определить: 1) длину волны ; 2) записать уравнение гармонической бегущей волны; 3) смещение S1 первой точки в момент времени t=3 c; 4) максимальную скорость колеблющихся частиц; 5) интенсивность волны.

Решение

1) Разность фаз колебаний двух точек волны

Ф=Ф1 -Ф2=t-kх1+О -( t-kх2+О)= k(x2-x1)= (x2-x1),

откуда .

Подставляя данные задачи =2(5.5-5)/( /5)=5 м

2) Циклическая частота =2р/T=2рv/л . В нашем случае =2 15/5=6 рад/с.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Х, имеет вид (2). Поставляя полученные значения длины волны , циклической частоты и полагая начальную фазу О =0, получим в системе СИ

S(x,t)=0.04cos(6t-0.4х) (м).

3) Чтобы найти смещение S1 первой точки надо в полученное уравнение бегущей волны подставить значения координаты точки и времени х1=5 м и t=3 с:

S1(5,3)=0.04cos(63-0.45)= 0.04cos16=0.04 (м).

4) При распространении волны каждая точка среды колеблется около положения равновесия по гармоническому закону. Из полученного в 2) уравнения бегущей гармонической волны можно получить закон колебаний точки с координатой х=0

S(0,t)=0.04cos(6t) (м).

Скорость колебательного движения частиц vКОЛЕБ=, в нашем случае

vКОЛЕБ=0.046(-sin(6t) (м/с).

Выражение, стоящее перед функцией синус - амплитуда (максимальное значение) скорости колеблющих частиц. Таким образом

vКОЛЕБ МАХ=0.046=0.75 (м/с).

5) По формуле (4) интенсивность волны I=0.51000(0.04)2(6)215=4320 Вт/м2.

Лекция 2. Электромагнитные волны

2.1 Уравнение плоской гармонической электромагнитной волны

Переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, а переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле. Вместе они образуют единое электромагнитное поле, распространяющее в пространстве (электромагнитную волну).

Предположим, что электромагнитная волна распространяется в направлении оси x (см. рис. 1) со скоростью и вектор колеблется в одной плоскости, например, в плоскости xoy . Из решения уравнений Максвелла следует, что вектор будет колебаться в перпендикулярной к ней плоскости xoz .

Для такой волны волновые уравнения примут вид

; , (2.1)

Векторы , и образуют правую тройку взаимноперпендикулярных векторов. Индексы y и z при Е и Н подчеркивают, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z.

Решением уравнений (2.1) являются, в частности, плоские электромагнитные гармонические волны

(2.2)

где Е0, Н0 - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей.

2.2 Основные свойства электромагнитных волн

Колебания векторов и (рис. 1), происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, следовательно, электромагнитная волна является поперечной волной.

Скорость распространения электромагнитных волн в среде

, (2.3)

где 0=1/(49109) Ф/м, 0=410-7Гн/м - электрическая и магнитная постоянные; е, м - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; = 3108 м/с - скорость света в вакууме, - абсолютный показатель преломления среды.

Абсолютный показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость света v в данной среде меньше скорости света в вакууме с:

. (2.4)

Амплитуды электрической и магнитной составляющей связаны соотношением

. (2.5)

В формулах (2.2) 0 - одинаково, т.е. колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе.

При переходе электромагнитной волны из среды с показателем преломления n1 в среду с показателем преломления n2 частота колебаний не изменяется:

1=2 (1=2) . (2.6)

Скорости распространения волны в первой и второй среде из (2.3)

v1=с/n1, v2=с/n2 или v2 /v1=n1/n2. (2.7)

Учитывая (1.2) = v / v и (2.6), получаем

2 /1=n1/n2. (2.8)

Рис. 2

Если свет падает на границу раздела двух прозрачных сред c показателями преломления n1 и n2 , то падающий луч 1 разделяется на два (рис.2) -отраженный 2 и преломленный 3. Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред в точке падения. Угол падения равен углу отражения .

Луч падающий 1, луч преломленный 3 и перпендикуляр, проведенный к границе раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:

. (2.9)

При отражении от оптически более плотной среды (n2 > n1) фаза отраженной волны ФОТР скачком увеличивается на радиан

ФОТР= ФПАД += t-kх+О+. (2.10)

Электромагнитная волна, как и упругая, (см. параграф 1.3) характеризуется фронтом волны, волновой поверхностью. В отличие от упругих волн, распространяющихся только в среде (в вакууме упругие волны не распространяются, т.к. в нем нет частиц, которые совершали бы колебания), электромагнитные волны могут распространяться вакууме.

По форме волновых поверхностей или волновому фронту различают плоские, сферические, цилиндрические и прочие электромагнитные волны.

Обычно в практике используются пучки электромагнитной энергии (света) конечного поперечного сечения. Конечный, но достаточно узкий пучок будем называть лучом. Луч всегда перпендикулярен волновому фронту.

2.3 Энергия электромагнитной волны

Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде равна сумме объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

(2.11)

С учетом соотношений (2.3) и (2.5) из (2.11) следует, что

 , (2.12)

где v - скорость распространения электромагнитной волны в среде.

В случае плоской волны (2.2) объемная плотность энергии

(2.13)

т.е значение w в каждой точке поля периодически изменяется от 0 до wмакс=Е0Н0/v за промежуток времени .

Среднее значение объемной плотности энергии волны

(2.14)

Умножив w [см.(1.17)] на v из (2.14) получаем плотность потока энергии

S=wv=EH . (2.15)

Векторы , и взаимно перпендикулярны (рис. 1). Направление вектора совпадает с направлением переноса энергии (с направлением вектора ), поэтому (2.15) можно записать в векторной форме

. (2.16)

Вектор плотности потока энергии (иногда обозначают) направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени, через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны [см. в параграфе 1.6 рис. 4 и формулы (1.17), (1.18)]. S измеряется в Дж/(см2)=Вт/м2.

Заметим, что в общем случае

, (2.17)

где u - скорость переноса энергии или групповая скорость.

Интенсивность волны (среднее значение плотности потока энергии):

=. (2.18)

2.4 Шкала электромагнитных волн

В зависимости от длины волны в вакууме или частоты =с/, а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны, оптическое излучение, рентгеновское излучение и гамма-излучение.

Радиоволны образуются при ускоренном движении электронов, т.е. переменными токами. Для радиоволн 104 м > > 510-3 м.

Оптическое излучение возникает при переходе электронов в атомах с верхних энергетических уровней на более низкие, при тепловом излучении тел. Для него 1 мм > > 10 нм (1 нм=10-9 м). К оптическому излучению относятся инфракрасное (1 мм > > 770 нм), видимое (770 нм > > 380 нм) и ультрафиолетовое излучение (380 нм > > 10 нм).

Рентгеновское излучение возникает при торможении заряженных частиц в веществе, при переходе электронов в атоме с верхних на самые низкие энергетические уровни. Для него 210-9 м > > 610-12 м.

Гамма-излучение возникает при ядерных реакциях, для него < 0,1. (1 ангстрем= 10-10 м).

Основные формулы и решение задач

Уравнения плоской электромагнитной гармонической волны распространяющейся вдоль оси Х

(1)

где Е0, Н0 - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, k= - волновое число; Ф=t-kх+О- фаза волны; О - начальная фаза волны.

Скорость распространения электромагнитных волн в среде

, (2)

где 0=1/(49109) Ф/м, 0=410-7Гн/м - электрическая и магнитная постоянные; е, м - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; = 3108 м/с - скорость света в вакууме, - абсолютный показатель преломления среды.

Связь амплитуд электрической и магнитной составляющей

. (3)

Объемная плотность энергии электромагнитной волны

=, (Дж/м3) (4)

Среднее значение объемной плотности энергии волны

(Дж/м3). (5)

Интенсивность волны (среднее значение плотности потока энергии):

= (Вт/м2). (6)

Пример 2

Плоская электромагнитная волна частотой v=1014 Гц распространяется вдоль оси Х в среде с магнитной проницаемостью м=1 и диэлектрической проницаемостью е=2.25. Амплитуда колебаний вектора напряженности Е0=10 В/м. Начальная фаза 0 равна нулю. Определить: 1) скорость распространения волны; 2) длину волны ; 3) записать уравнение гармонической плоской волны; 4) среднее значение объемной плотности энергии; 5) интенсивность волны.

Решение

1) Скорость распространения электромагнитной волны в среде (2)

,

Подставляя данные задачи v= м/c.

2) длина волны =vT=v/v

=2108/1014=210 -6 м=2 мкм.

3) Уравнение плоской электромагнитной волны имеет вид (1). Амплитуда колебаний вектора напряженности магнитного поля из соотношения (3)

,

в нашем случае = 210-2 А/м.

Циклическая частота =2v =21014 Гц.

Волновое число k= k= м -1.

Подставляя в (1) рассчитанные значения H0, , k, получим

Еу=10сos(21014t-106x) В/м, Hz=210 -2сos(21014t-106x) А/м.

4) Среднее значение объемной плотности энергии из соотношения (5)

Дж/м3.

5) Интенсивность волны (6) I= 510-102108=0.1 Вт/м2.

Лекции 3, 4 Волновая оптика

Раздел физики, занимающийся изучением природы света, закономерностей его испускания, распространения и взаимодействия с веществом называется оптикой.

В волновой оптике рассматриваются оптические явления, в которых проявляется волновая природа света, например, явления поляризации, интерференции, дифракции и дисперсии света.

3.1 Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса

Рис. 1

Световые волны являются поперечными: векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору фазовой скорости , т.е. перпендикулярно лучу.

Рис. 2

При взаимодействии света с веществом основное действие вызывается колебаниями вектора напряженности электрического поля , который называют световым вектором. Поэтому для описания закономерностей поляризации света следят за поведением вектора .

Плоскость, образованная векторами и называется плоскостью поляризации. Естественный свет (от обычных источников, солнца), состоит из волн, имеющих хаотически распределенные плоскости поляризации (рис.1), поэтому вектор с равной вероятностью может быть направлен как вдоль оси Y, так и вдоль перпендикулярной ей оси Z . Вектор напряженности такого света условно можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие EY и EZ равной длины (рис.3 (а)). По принципу суперпозиции.

Интенсивность света пропорциональна квадрату напряженности (2.18)

=

(EY =EZ),

поэтому

Рис. 3 (а) Рис. 3 (б)

I= IY + IZ= 2IY =2IZ. (3.1)

Условное обозначение естественного света представлено на рис.3(б). Естественный свет также называют неполяризованным.

Если EY EZ , то свет называют частично поляризованным. Количественной мерой поляризации света служит степень поляризации Р

, (3.2)

где IMAX и IMIN интенсивности соответственно минимальной и максимальной составляющих. Для естественного света IMAX = IMIN (IY =IZ), следовательно, Р=0.

Существуют оптические устройства - поляризаторы, которые пропускают только одну составляющую вектора . Прошедший через поляризатор свет имеет единственную плоскость поляризации (рис. 2) и называется линейно-поляризованным. В зависимости от направления колебаний вектора линейно-поляризованный свет обозначается, как показано на рис. 4 (а, б). При поляризации интенсивность естественного света I уменьшается в два раза (см. 3.1). Для линейно поляризованного света IMIN=0 Р=1.

Поляризаторы, использующиеся для анализа поляризации света, называются анализаторами. Плоскостью поляризатора (анализатора) называется плоскость поляризации света, пропускаемого поляризатором (или анализатором).

Пусть на анализатор падает линейно поляризованный свет с амплитудой Е0.

Угол между плоскостью поляризации падающего света и плоскостью анализатора равен (рис. 5).



Рис. 5

Через анализатор проходит только составляющая вектора , лежащая в плоскости анализатора. Ее величина равна Е=Е0сos. Интенсивность света пропорциональна квадрату напряженности, следовательно

I=I0сos2. (3.3)

Эта формула выражает закон Малюса: Интенсивность линейно поляризованного света, прошедшего анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью анализатора.

3.2 Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера

Рис. 6

При падения света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков (например, на поверхность стеклянной пластинки), отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения (плоскость рисунка). В преломленном луче - колебания, параллельные плоскости падения (рис.6).

Закон Брюстера: отраженный свет линейно поляризован при угле падения Бр, удовлетворяющем условию

tg Бр=n2/n1. (3.4)

Преломленный свет при угле падения Бр поляризован частично.

Основные формулы и решение задач

Закон Малюса: Интенсивность I линейно поляризованного света, прошедшего анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью анализатора.

I=I0сos2, (1)

где I0 - интенсивность линейно поляризованного света, падающего на анализатор.

Закон Брюстера: отраженный свет линейно поляризован при угле падения Бр, удовлетворяющем условию

tg Бр= n2/n1, (2)

где n1, n2 показатели преломления первой и второй среды соответственно.

Пример 3

Естественный свет интенсивностью Iест проходит через поляризатор и анализатор, угол между плоскостями которых =45 . Определить интенсивность на выходе анализатора, если на поглощение и отражение как в поляризаторе, так и анализаторе теряется 10% интенсивности.

Решение

Вектор напряженности естественного света условно можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие равной интенсивности (см. рис.). Поляризатор пропускает только одну из составляющих, что приводит к уменьшению интенсивности света Iест в два раза. На отражение и поглощение теряется еще 10% интенсивности, поэтому интенсивность на выходе поляризатора

,

где I0 - интенсивность света на входе поляризатора.

В соответствии с законом Малюса (2) и учетом потерь на отражение и поглощение интенсивность на выходе анализатора I=0.9I0сos2. Подставляя вычисленное ранее значение I0 и величину =45 , получим I=0.92

сos245 =0.2 Iест.

Пример 4

Естественный свет падает из воздуха на диэлектрик с показателем преломления n2=1.5. При каком угле падения отраженный свет будет полностью поляризован?

Решение

Отраженный свет линейно поляризован при угле падения Бр, удовлетворяющем условию (см.рис 6 (б))

tg Бр= n2/n1, откуда Бр=arctg n2/n1,

где n1=1 (воздух), n2=1.5 показатели преломления первой и второй среды соответственно. Таким образом

Бр=arctg 1.5= 56

3.3 Расчет интерференции двух волн

Интерференция - процесс наложения двух или нескольких волн.

Монохроматическая волна - гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой.



Рис. 7

Монохроматические волны, имеющие одинаковую частоту (и одинаковую длину волны в вакууме), называются когерентными.

Пусть в некоторой точке наблюдения О накладываются друг на друга две монохроматические когерентные световые волны, испускаемые источниками S1 и S2. Напряженности электрического поля интреферирующих волн в этой точке равны

cos( t-k1l1+01) и cos( t-k2l2+02), (3.5)

где k1 =, k2 =, n1, n2 - показатели преломления сред в которых распространяются первая и вторая волна соответственно, l1, l2 - расстояние от первого и второго источников до точки наблюдения.

Согласно принципу суперпозиции

. (3.6)

Будем считать, что волны поляризованы в одной плоскости, т.е. колебания векторов происходят вдоль одной прямой, начальные фазы и амплитуды волн равны (01=02=0, Е01 = Е02 =E0). Подставляя в (3.6) выражения из (3.5) и применяя известное соотношение cosб +cosв=2, получим

=2. (3.7)

Рассмотрим более подробно сомножитель, включающий разность фаз волн

=. (3.8)

Произведение геометрической длины пути l световой волны на абсолютный показатель преломления n называется оптической длиной пути волны.

Величину

?=n2l2-n1l1 (3.9)

называют оптической разностью хода интерферирующих волн.

Напряженность поля в точке наблюдения всегда равна нулю при условии

, откуда , m=0,±1,±2,…. (3.10)

Подставляя разность фаз из (3.8) в (3.10), имеем

= или ?=n2l2-n1l1=, m=0,±1,±2,…. (3.11)

Таким образом, минимальная напряженность (и минимальная интенсивность см. (2.18)) наблюдается, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн (0). Это условие минимума при интерференции.

Максимальная интенсивность наблюдается, если

, откуда , m=0,±1,±2,… . (3.12)

Производя расчеты аналогично (3.11) получим

?=n2l2-n1l1=m0, m=0,±1,±2,… . (3.13)

Интенсивность максимальна, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн. Это условие максимума при интерференции.

Примечание: если в процессе распространения волна отражается от оптически более плотной среды, ее фаза скачком изменяется на радиан (2.10). Разность фаз интерферирующих волн также изменится на радиан и (3.8) примет вид

. (3.14)

Как видно из (3.14) отражение от оптически более плотной среды приводит к возникновению дополнительной оптической разности хода 0/2.

3.4 Временная и пространственная когерентности

Реальная световая волна ограничена в пространстве и времени, так как излучение света атомами происходит в виде отдельных кратковременных импульсов - цугов волн. Время излучения составляет 10-8 с, поэтому каждый цуг имеет ограниченную протяженность в пространстве x=c , которая составляет 4 - 16 м в видимом диапазоне.

Такую волну можно приближенно считать когерентной с частотой в течение промежутка времени tког. Для видимого солнечного света, имеющего спектр частот от 41014 до 81014 Гц ког=2,5-15 с.

Расстояние lког, на которое распространится волна за время когерентности, называется длиной когерентности lког =vког. В пределах такой длины волну можно считать когерентной.

Для лазеров непрерывного действия ког достигает 10-2 с, а lког 106 м. Однако из-за неоднородности атмосферы удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров.

Наряду с временной когерентностью для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности.

Для характеристики пространственной когерентности вводится радиус когерентности ког, характеризующий расстояние, на котором может быть получена четкая интерференционная картина (ког это не радиус окружности).

Произведение lкогког2=Vког называют объемом когерентности, в пределах которого случайная фаза волны изменяется на величину, не превосходящую .

Основные формулы и решение задач

Оптическая разность хода интерферирующих волн

?=n2l2-n1l1, (1)

где n1, n2 - показатели преломления сред в которых распространяются первая и вторая волна соответственно, l1, l2 - расстояние от источников до точки наблюдения.

Условия интерференционного максимума

?=n2l2-n1l1=m0, m=0,±1,±2,… (2)

минимума

?=n2l2-n1l1=, m=0,±1,±2,… (3)

где 0 -длина световой волны в вакууме.

При отражении от оптически более плотной среды возникает дополнительная оптическая разность хода 0/2.

Рис. 8

Пример 5

На плоскопараллельную прозрачную пленку (пластинку) с показателем преломления n=1.5 под углом =30 падает плоская монохроматическая волна. Определить минимальную толщину d, при которой пленка будет окрашена в фиолетовый цвет (0=0.4 мкм).

Решение

Рассмотрим два параллельных луча 1, 2. На поверхности пленки в точке А луч 1 частично преломляется (луч АВ). В точке В волна также частично отражается (луч ВС) и частично преломляется. Преломленная волна (луч 1') накладывается на волну непосредственно отраженную от верхней поверхности (луч 2'). Эти волны когерентны и если оптическая разность хода меньше длины когерентности lког они интерферируют.

Оптическая разность хода этих волн

= n2l2-n1l1=(AB+BC)n-(DC+0/2), (1)

где 0/2 - дополнительная оптическая разность при отражении луча 2 от оптически более плотной среды в точке C. Используя закон преломления (2.9) n1sin = n2sinв и учитывая, что в рассматриваемом случае n1=1, n2=n, имеем

АВ=ВС=d/cosв= d/=, (2)

DC=2dtgвsinб=. (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

. (4)

Пленка будет окрашена в фиолетовый цвет, если выполняется условие максимума для данной длины волны, т.е. (см.3.13)

=m0 , откуда m=0,1,2… (5)

Минимальная толщина соответствует m = 0, поэтому

.

Подставляя данные задачи, получим =0.14•10-6м=0.14 мкм

Рис. 9

Пример 6

Возможность уменьшения вредного отражения света вследствие интерференции в тонких пленках широко используется в современных оптических приборах. Для этого на передние поверхности линз, призм наносят тонкие пленки с показателем преломления n= (n1<n<n2 ). Толщина пленки d определяется из условия минимума (3.11) при интерференции волн 1'и 1'', полученных при отражении волны 1 от границ раздела сред с n1 и n и n и n2 (Рис. 9). С учетом отражения от оптически более плотных сред условие минимума

(2dn+0/2)- 0/2=2dn=(2m+1)0/2, m=0,1,2…

Минимальная толщина пленки соответствует m = 0

d=/(4n).

Такая оптика получила название просветленной оптики.

4.1 Дифракция световых волн

Явление отклонения света от прямолинейного распространения, когда свет, огибая препятствия, заходит в область геометрической тени называется дифракцией.

В общем случае дифракцию понимают как нарушение законов геометрической оптики, сопровождаемое интерференционными явлениями.

Рис. 10

Законы дифракции могут быть установлены с помощью принципа Гюйгенса-Френеля: Каждая точка, до которой доходит волна (волновой фронт) (Рис.10), является источником (центром) одной из вторичных волн (4.1). Волны в точке наблюдения определяются как результат интерференции (наложения) вторичных волн, созданных всеми точками волнового фронта (4.2).

(r)cos( t-kr+0), (4.1)

где - напряженность поля вторичной волны, (r)- амплитуда вторичной волны.

Результирующая напряженность от всех вторичных источников в точке наблюдения рассчитывается согласно принципу суперпозиции:

, (4.2)

где S - площадь фронта первичной волны.

Различают два случая дифракции света:

Дифракция Фраунгофера или дифракция в параллельных лучах, когда на препятствие падает плоская волна.

Дифракция Френеля или дифракция в сходящихся лучах, когда на препятствие падает плоская или сферическая волна, и дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся на конечном расстоянии от него.

4.2 Дифракция Фраунгофера на одной щели

Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально на узкую щель постоянной ширины b и длины l>>b . Направим ось Y, как показано на рис.11.



Рис. 11

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждая точка щели является источником вторичных волн. Уравнение вторичной волны 1', испускаемой произвольным элементом dy имеет вид

cos( t-kysinц), (4.3)

где - напряженность поля волнового фронта всей щели (0<y<b), - доля напряженности, приходящейся на элемент dy, y - координата источника вторичных волн, ysinц -

Согласно принципу суперпозиции (4.2) результирующая напряженность в направлении, определяемом углом ц

Подставляя пределы интегрирования и используя соотношение sinб-sinв=2, получим

. (4.4)

Результирующая напряженность в любой момент времени равна нулю, если равен нулю последний сомножитель в (4.4)

=0 при , откуда , m=±1, ±2,±3… (4.5)

Условию (4.5) также удовлетворяет m=0, которому соответствует ц=0. Однако подстановка ц=0 в (4.4) приводит к неопределенности (х=kbsinц), т.е. в направлении ц=0 напряженность (и интенсивность) волны не минимальна, а максимальна.

Таким образом, условие минимума (4.5) при дифракции на щели

bsinц=mл, m=±1, ±2,±3… (4.6)

Расчеты показывают, что интенсивности в центральном и последующем максимумах ( I ~ E2 (2.18)) относятся как 1:0,045:0,016:0,008:…, т.е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме.

4.3 Дифракционная решетка

Идеализированная дифракционная решетка состоит из одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Ширину щели обозначим b, а ширину непрозрачных промежутков между щелями - а.

Величина d=a+b называется периодом или постоянной дифракционной решетки. Лучшие решетки имеют d=0,8 мкм, т.е. 1200 штрихов на 1 мм.



Рис. 12

В соответствии с принципом Гюйгенса -Френеля каждая щель решетки является источником вторичных волн. Разность хода между волнами, испускаемыми соседними щелями ?=dsinц. В соответствии с (3.13) условие главных максимумов примет вид

?= dsin=m , m=0,±1, ±2… (4.7)

Максимум нулевого порядка наблюдается при = 0, первого порядка при sin=/d, второго порядка при sin=2/d .

Главные минимумы соответствуют таким углам , в направлении которых ни одна из щелей не распространяет свет, поэтому условие главных минимумов, как и при дифракции на одной щели, выражает формула (4.6) bsin=m, m=±1, ±2,±3…

Первые главные минимумы наблюдается при sin=/b.

Кроме главных максимумов имеется большое число слабых побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами. Положение главных максимумов (кроме центрального) зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы ненулевого порядка, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор.

4.4 Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брэгга

Дифракционную картину могут дать не только одномерные, но также двумерные и трехмерные периодические структуры, например, кристаллические решетки. Период кристаллических тел d составляет единицы ангстрем (1 А=10-4 мкм), что значительно меньше длин волн видимого света (0,4-0,8 мкм), поэтому для видимого света кристаллы являются однородной средой, и дифракция в этой области длин волн не наблюдается. Для значительно более коротковолнового рентгеновского излучения ( 10-9 - 10-11 м) кристаллы представляют собой естественные дифракционные решетки (см. рис.14).

Рис. 14.5

Абсолютный показатель преломления всех сред для рентгеновского излучения близок к единице, поэтому оптическая разность хода между лучами 1' и 2', отражающимися от кристаллографических плоскостей CD+DE=2dsin, где d - расстояние между плоскостями, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки, - угол скольжения лучей.

Условию максимумов удовлетворяет [см. (3.13)] формула Вульфа-Брэгга

=2dsin =m , m=1,2,3… (4.8)

где m - порядок дифракционного максимума.

4.5 Метод зон Френеля

Для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пространства Френель предложил разбивать поверхность фронта волны на зоны (зоны Френеля) так, что чтобы разность хода волн от соседних зон равнялась /2. В этом случае при наложении соседних волн выполняется условие минимума (3.11) и амплитуды волн соседних зон приходят в точку наблюдения с противоположными знаками.

Применим метод зон Френеля для расчета дифракции света.

4.5.1 Дифракция Френеля на круглом отверстии

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, падает на экран с отверстием диаметром d=BC, Ф - фронт волны, который является частью поверхности сферы.

Рис. 1

Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля (рис.15) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения М с разностью хода /2. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М

А=А1-А2+А3-А4+…Аm , (4.8)

где Аi - амплитуда волны, пришедшей от i-ой зоны Френеля. Перед Аm берется знак плюс, если m - нечетное, и минус, если m - четное.

Величина Аi зависит от площади i-той зоны и угла i между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо точке и прямой, направленной из этой точки в точку М (на рис. 15 показан угол 3).

Все зоны Френеля примерно равновелики по площади. Поэтому можно приближенно считать, что

Аi=(Ai-1+Ai+1)/2. (4.9)

Перепишем теперь (4.8) в виде

(4.10)

так как, согласно (4.9), все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Можно показать, что общее число m зон Френеля, обращенное к точке М,

, (4.11)

где d=BC - диаметр отверстия, R=SO, L=OM (см. рис. 2), - длина волны.

Увеличение угла i с ростом номера зоны приводит к уменьшению амплитуды Аi. Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М, т.е. А1>А2>…> Am. Если d = 1 см, R = L= 10 см и = 500 нм, то m = 1000, Аm<<A1, слагаемым ±Аm/2 в (4.10) можно пренебречь, поэтому А=А1/2, т.е., амплитуда результирующей волны в точке М определяется действием только половины центральной зоны Френеля. Ее диаметр d, как следует из (4.11) при m=1, R=L=10 см и =500 нм, равен 0,32 мм. Свет от S к М распространяется как бы прямолинейно внутри очень узкого канала вдоль SM, круговое пятно диаметром ED равномерно освещено и вне его наблюдается тень. Следовательно, дифракционная картина отсутствует, если диаметр отверстия d>>.

При уменьшении диаметра отверстия до величины d1мм число зон согласно (4.11) уменьшается и Аm становится сравнимым с А1, и поэтому пренебречь слагаемым Аm/2 в (4.10) нельзя.

При нечетном числе зон, согласно (4.10),

А=А1/2 +Аm/2 (4.13)

и в точке М наблюдается максимум (светлое пятно).

При четном числе зон

А=А1/2 -Аm/2 (4.14)

в точке М будет наблюдаться минимум (темное пятно). Этот факт особенно наглядно противоречит закону прямолинейного распространения света.

Максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение Аm к А1, т.е. когда число зон m мало (m 10). Расчет амплитуды в других точках экрана более сложен. Можно показать, что дифракционная картина вблизи точки М имеет вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М. По мере удаления от точки М интенсивность максимумов света убывает.

Если в плоскости отверстия поставить зонную пластинку, перекрывающую все четные зоны, то А=А1+А3+А5+… и интенсивность I=A2 в точке М резко возрастает. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на , тогда А=А1+А2+А3+… Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой и ее использование позволяет получить дополнительное увеличение интенсивности в 4 раза.

4.5.2 Дифракция Френеля на небольшом диске (круглом непрозрачном экране)

Пусть диск закрывает несколько зон, действие которых не будем учитывать. Нумерацию зон начнем от первой открытой зоны, расстояние до краев которой от точки М равны L и L+/2. Последнюю открытую зону обозначим через m.

Проведя анализ, подобный предыдущему, и полагая, что m достаточно велико, получим для амплитуды результирующей волны, выражение идентичное (4.12), т.е. А=А1/2. Дифракционная картина на экране Э имеет вид концентрических темных и светлых колец с центром в точке М, где всегда находится максимум (пятно Пуассона).

Основные формулы и решение задач

Условие минимума при дифракции на щели

bsinц=mл, m=±1, ±2,±3… (1)

где b - ширина щели, угол ц определяет направление минимума интенсивности.

Условие главных максимумов дифракционной решетки

dsin=m, m=0,±1, ±2,… (2)

где d -период дифракционной решетки (d=1/N, где N - число штрихов на единицу длины), угол ц определяет направление максимума интенсивности.

Формула Вульфа-Брегга

2dsin =m , m=1, 2, 3… (3)

где d -расстояние между кристаллографическим плоскостями, -угол скольжения.

Пример 7

На щель шириной b=0.1 мм (10-4 м) нормально падает монохроматический свет с длиной волны =500 нм (500•10-9 м). Определить ширину центрального максимума, полученного на экране, находящемся на расстоянии l=1 м от щели.

Решение

Дифракционная картина от щели имеет вид чередующихся широких светлых полос (дифракционных максимумов), разделенных достаточно тонкими темными полосками (дифракционными минимумами).

Ширина центрального максимума (см.рис)

?х=2ltgц, (1)

где угол ц определяет направление первого дифракционного минимума. Из (4.6) для m=1

. (2)

Поставляя найденное значение ц в выражение (1) и учитывая, что для малых углов (<5) tgц?sin ц, получаем

?х=2l, ?х=2•1=10-2м=1 см.

Пример 8

На дифракционную решетку, имеющую N=50 штрихов на 1 мм, нормально падает монохроматический свет. На экране, расположенном на расстоянии l=1 м от решетки, расстояние между центральным и вторым главным максимумом равно ?х= 4 см (4•10-2м). Определить длину волны падающего света и наибольший порядок спектра для данной длины волны.

Решение

Условие главных максимумов для дифракционной решетки (4.7)

dsin=m, m=0,±1, ±2,… , откуда (1)

В нашем случае , d =0.02 мм=2•10-5м, =аrctg ?0.04 рад. Подставляя эти данные в (1) и учитывая, что для второго максимума m=2, получим

0.4•10-6м=0.4 мкм

Наибольший порядок спектра m наблюдается при sin>1. В этом случае из (4.7) . Подставляя вычисленные ранее значения, получим .

Общее число главных максимумов для данной длины волны 2m+1=101.

Пример 9

На грань кристалла под углом скольжения =30 падает параллельный пучок рентгеновских лучей с длиной волны =1.5 А (1.5•10-10 м). Определить расстояние между атомными плоскостями d, если при данном угле скольжения наблюдается дифракционный максимум второго порядка m=2.

Решение

Условие максимумов при дифракции на кристалле (формула Вульфа-Брегга) (4.8) 2dsin =m , m=1, 2, 3…, откуда .

Производя вычисления .

4.6 Взаимодействие света с веществом

Распространяясь в веществе, электромагнитное поле световой волны вызывает вынужденные колебания свободных и связанных зарядов, которые становятся источником вторичных волн. В однородной и изотропной среде в результате наложения первичной и вторичной волн образуется проходящая волна, фазовая скорость которой зависит от частоты. Если в среде имеются неоднородности, то дополнительно происходит рассеяние света. На границе раздела двух сред в результате интерференции первичной и вторичной волн образуется отраженная и преломленная волна. Прохождение света через вещество также сопровождается поглощением света, т.е. потерей энергии волны.

Поглощение света в веществе связано с преобразованием энергии электромагнитного поля волны в тепловую энергию вещества. Закон поглощения света (закон Бугера) имеет вид:

I=I0 exp(-x), (4.15)

где I0, I - интенсивности света на входе (х=0) и выходе из слоя среды толщины х, - коэффициент поглощения, он зависит от . Для диэлектриков =10-110-5 м-1, для металлов =105107 м-1, поэтому металлы непрозрачны для света. Зависимостью () объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красный свет, при освещении белым светом будет казаться красным.

Дифрагируя на неоднородностях среды (дым, туман, пыль и т.п.) световые волны создают дифракционную картину, характеризующуюся довольно равномерным распределением интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию на мелких неоднородностях называют рассеянием света.

Если размеры неоднородностей малы по сравнению с длиной волны (не более чем 0,1), то интенсивность рассеянного света согласно закону Релея оказывается обратно пропорциональной четвертой степени длины волны, т.е.

Iрасс ~ 1/4. (4.16)

Рассеяние света наблюдается также в чистых средах на флуктуациях (случайных отклонениях) плотности или концентрации. Такое рассеяние называют молекулярным. Оно объясняет, например, голубой цвет неба. Действительно, согласно (4.16) голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем красные и желтые, т.к. имеют меньшую длину волны, обуславливая тем самым голубой цвет неба.

Дисперсией света -это зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты v. Так как v=с/n, то дисперсией света можно назвать также зависимость показателя преломления n среды от частоты v световой волны.

Рис. 14

Наиболее отчетливо дисперсия света проявляется при прохождении белого света через призму. За призмой лучи белого света окажутся разложенными на составляющие цвета - в спектр. Полученный спектр называют призматическим.



Рис. 15

Согласно электронной теории дисперсии свет «раскачивает» электроны в атомах, причем амплитуда колебаний максимальна в случае резонанса, когда частота световой волны v близка к собственной частоте колебаний электрона v0. Степень взаимодействия света с веществом и скорость распространения света зависит от близости v к v0, а также от параметра , характеризующего степень затухания колебаний электрона.

На рис. 2 приведен график зависимости n от v при = 0 (штриховая линия) и с учетом (сплошная линия). Области А и С, для которых с увеличением частоты v показатель преломления возрастает, называются областями нормальной дисперсии, т.е для них

dn/dv>0 или dn/dл<0. (4.17)

Область В, где с увеличением частоты v показатель преломления уменьшается - область аномальной дисперсии, для нее dn/dv<0 или dn/dл>0. (4.18)

В области аномальной дисперсии поглощение света очень велико.

Заключение к лекциям 2-4

Явления интерференции, дифракции, поляризации света подтверждают волновую природу света, т.е. что свет представляет собой электромагнитные волны.

II. Квантовые свойства электромагнитного излучения

Лекция 5. Тепловое излучение

5.1 Характеристики равновесного теплового излучения

При нагреве тела энергия внутренних хаотических тепловых движений частиц непрерывно переходит в энергию испускаемого электромагнитного излучения.

Если излучающее тело окружить оболочкой с идеально отражающей поверхностью, то через некоторое время эта система придет в состояние теплового равновесия. Равновесным тепловым излучением называют излучение, при котором расход энергии тела на излучение компенсируется энергией поглощенного им излучения для каждой длины волны. Следует отметить, что равновесное тепловое излучение не зависит от природы тела, а зависит только от его температуры.

Тепловое излучение - электромагнитное излучение, испускаемое телом в состоянии термодинамического равновесия.

При комнатной температуре (Т=300 К), максимум интенсивности теплового излучения приходится на инфракрасный диапазон длин волн ( = 10 мкм), который недоступен зрительному восприятию глаза. При температурах выше тысячи градусов тела начинают излучать в видимом диапазоне длин волн ( = 0.40.8мкм).

Энергетическая светимость тела RТ, численно равна энергии W, излучаемой телом во всем диапазоне длин волн (0<<) с единицы площади в единицу времени, при температуре Т

(5.1)

Испускательная способность тела r,Т численно равна энергии тела dW, излучаемой телом c единицы площади за единицу времени при температуре Т, в диапазоне длин волн от до +d

(5.2)

Эту величину называют также спектральной плотностью энергетической светимости тела. Энергетическая светимость связана с испускательной способностью

(5.3)

Поглощательная способность тела ,T - число, показывающее, какая доля энергии падающего на поверхность тела излучения, поглощается им в диапазоне длин волн от до +d

. (5.4)

Тело, для которого ,T = 1 (поглощается вся энергия падающего излучения) во всем диапазоне длин волн, называется абсолютно черным телом (АЧТ). Тело, для которого ,T=const<1 во всем диапазоне длин волн называют серым.

5.2 Закон Кирхгофа

Если абсолютно черное (АЧТ) и серое тело окружить идеальной отражающей поверхностью, то через некоторое время эта система придет в состояние термодинамического равновесия. Энергия dWл погл, поглощаемая серым телом из (5.4)

dWл погл=,T dWл пад =,T dW0л, (5.5)

где dW0л - энергия, излучаемая абсолютно черным телом в том же диапазоне длин волн. Энергию dW0л можно определить из соотношения (5.2), следовательно

dWл погл=,T dWл пад=,T dW0л = ,T r0,ТSt d, (5.6)

где r0,Т - испускательная способность АЧТ, dW0л энергия излучаемая АЧТ. Аналогично, энергия, поглощаемая АЧТ

dW0л погл=0,T dWл пад= 0,T r,ТSt d, (5.7)

В состоянии термодинамического равновесия энергии этих тел, поглощаемые (и излучаемые) единицей площади в единицу времени, равны. Приравнивая (5.6) и (5.7) и учитывая, что 0,T=1 получим

(5.8)

Отношение испускательной способности тела r,Т к его поглощательной способности ,T не зависит от природы тела и является для всех тел универсальной функцией длины волны и температуры, равной испускательной способности АЧТ.

Отсюда следует, что тело, которое сильнее поглощает какие-либо лучи, будет сильнее эти лучи и испускать.

5.3 Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Формула Планка

Рис. 1

Рис. 2

Абсолютно черных тел в природе не существует. Его функции может выполнять малое отверстие в почти замкнутой полости (рис. 1). Излучение, прошедшее внутрь этого отверстия, претерпевает многократные отражения и практически полностью поглощается. Поглощательная способность такого тела ,T = 1 и по закону Кирхгофа (5.8) испускательная способность r,Т такого устройства очень близка к испускательной способности АЧТ . Если стенки такой полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выйдет излучение, весьма близкое к излучению AЧТ.

Разлагая полученное излучение в спектр, с помощью дифракционной решетки и измеряя интенсивность разных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции от (сплошные линии рис. 2).

В 1900 г. Планк показал, что выражение для , согласующееся с опытом, можно получить, предположив, что излучение испускается не непрерывно, а в виде отдельных порций (квантов). Энергия кванта излучения, пропорциональна частоте

=hv=h c/, (5.9)

где h=6.610-34 Джс - постоянная Планка. Исходя из этого предположения, Планк получил формулу для испускательной способности АЧТ (формула Планка)

. (5.10)

Для низких частот (больших длин волн) (hv<<kT) формула Планка (5.10) переходит в закон Релея - Джинса (штриховая линия рис. 2).

. (5.11)

5.4 Закон Стефана-Больцмана

Из соотношения (5.10) следует установленный экспериментально закон Стефана-Больцмана: Энергетическая светимость (энергия, излучаемая единицей площади в единицу времени (5.1)) АЧТ пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры . Согласно (5.3)

(5.12)

где =5.6710-8 Вт/(м2К4) - постоянная Стефана-Больцмана.

5.5 Закон смещения Вина

Позволяет определить длину волны, соответствующую максимуму испускательной способности при данной температуре (cм. рис. 2 лm1, лm2).

Для получения закона смещения Вина необходимо исследовать (5.10) на максимум. Взяв производную d/d и приравнивая ее к нулю, получим

, где - постоянная Вина. (5.13)

Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности АЧТ обратно пропорциональна термодинамической температуре.

5.6 Оптическая пирометрия

Оптической пирометрией называют совокупность оптических (бесконтактных) методов измерения температуры. Для определения температуры тел применяются специальные приборы - пирометры. В простейшем визуальном яркостном пирометре добиваются, чтобы яркость накала нити и тела были одинаковыми (нить становится неразличимой на фоне тела). Температуру тела определяют, сравнивая ее с температурой нити.