Элементы квантовой механики

Основные формулы и решение задач

Энергетическая светимость тела RТ, численно равна энергии W, излучаемой телом во всем диапазоне длин волн (0<<) с единицы площади в единицу времени, при температуре Т

(1)

Закон Стефана- Больцмана: Энергетическая светимость АЧТ пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры:

R0T=уT4, (2)

где =5.6710-8 Вт/(м2К4) - постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина: Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности АЧТ, обратно пропорциональна термодинамической температуре:

, (3)

где b= 2.9•10 -3 м•К - постоянная Вина.

Пример 1

0. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца приходится на длину волны m=0.48 мкм (0.48 •10-6 м). Определить 1) температуру T поверхности Солнца; 2) Мощность, излучаемую его поверхностью (радиус Солнца rc=6.95•108 м).

Решение

1) В соответствии с законом смещения Вина (5.13)

, с учетом данных задачи К.

2) Мощность P численно равна энергии, излучаемой в единицу времени (t=1 c). Из определения энергетической светимости (5.1)

, откуда ,

где S -площадь излучающей поверхности (площадь поверхности Солнца S=4рr2C). Энергетическая светимость АЧТ из закона Стефана-Больцмана (5.12) R0T=уT4 .

С учетом вышесказанного

Подставляя данные и вычисленное в первом пункте значение Т, имеем

Р=5.67•10-8•60424•4р?(6.95?108)2=4.58?1026 Вт

Пример 11

Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением, определить какую мощность Р необходимо подводить к свинцовому шарику радиуса r=1 см (r=0.01 м), чтобы при температуре окружающей среды tc=-13 C (Tc=260 К), поддерживать его температуру t0=17 C (T0=290 К). Принять поглощающую способность свинца ,T=0.6.

Решение

Из (5.1) энергия, излучаемая поверхностью шарика в единицу времени (мощность излучения):

. (1)

Энергетическую светимость шарика можно определить на основании законов Кирхгофа (5.8) и Стефана-Больцмана (5.12): RT=,T R0T=,T уT40 (2)

Таким образом, из (1) и (2), мощность, излучаемая шариком:

Pизл=,T R0T4рr2=,T уT40 4рr2, (3)

Аналогично, мощность, поглощаемая шариком из окружающей среды:

Pпогл=,T уT4С 4рr2, (4)

Мощность, необходимая для поддержания постоянной температуры равна разности излучаемой (3) и поглощаемой (4) мощностей

Р= Pизл- Pпогл= ,T уT40 4рr2-,T уT4С 4рr2=,T у 4рr2(T40 -T4С).

С учетом данных задачи Р=0.6•5.67•10-84•3.14•0.012(2904-2604)=0.11 Вт

Лекция 6. Квантовые свойства электромагнитного излучения

6.1 Фотоны, энергия и импульс фотона

В 1905 г. Эйнштейн пришел к выводу, что излучение испускается, распространяется и поглощается в виде квантов. Этот вывод позволил объяснить все экспериментальные факты (фотоэффект, эффект Комптона, и др.), которые не могла объяснить классическая электродинамика, исходившая из волновых представлений о свойствах излучения.

Согласно Эйнштейну, распространение света следует рассматривать как поток локализованных в пространстве дискретных частиц, движущихся со скоростью распространения света в вакууме. В 1926г. эти частицы получили название фотонов. Фотоны обладают всеми свойствами частицы (корпускулы).

1. Энергия фотона

=hv= , (6.1)

где h=6.610-34 Джс - постоянная Планка,=h/2=1.05510-34 Джс также постоянная Планка, =2v - круговая частота.

Как видно из (6.1) энергия фотона увеличивается с ростом частоты (или с уменьшением длины волны). Так фотон фиолетового света (=0.38мкм) имеет большую энергию, чем фотон красного света (=0.77 мкм).

2. Масса фотона равна нулю

mФ=0. (6.2)

3. Импульс фотона: Энергия релятивиской частицы . У фотона m=0, поэтому импульс фотона

p=Е/c=hv/c=h/л. (6.3)

6.2 Давление света

Рис. 1

Пусть на площадку dS (Рис. 1) нормально падает фотон, обладающий импульсом. При полном отражении (абсолютно упругий удар) площадка будет действовать на фотон с силой

, (6.4)

где - импульс фотона после отражения, dt - время соударения. При полном отражении (3). Проецируя (6.4) на ось X, получаем

(6.5)

По III закону Ньютона, фотон действует на площадку с такой же по модулю силой dF0. Сила dF, с которой на площадку действуют все фотоны: dS = dF0N, (6.6)

где N - число фотонов, падающих на площадку за время соударения одного фотона dt. За время dt на площадку dS попадут все фотоны находящиеся в объеме dV=cdtdS. Их число N=ndV =n cdtdS, (6.7)

где n - oбъемная плотность фотонов (число фотонов в единице объема). Подставляя (6.5) и (6.7) в (6.6) можно рассчитать силу, действующую на площадку dS

. (6.8)

По определению давление Р

Па, (6.9)

где w=nhv - объемная плотность падающей электромагнитной энергии, измеряется в Дж/м3 (Дж/м3=Нм/м3=Н/м2=Па).

При полном поглощении света (=0) давление Р=w, при частичном отражении с коэффициентом с

P =(1+ )w, ( 0<<1) (6.10)

6.3 Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

Вырывание электронов с поверхности вещества под действием света называется внешним фотоэффектом.

На рис. 2 представлена схема, использовавшаяся А.Г. Столетовым для исследования внешнего фотоэффекта. Плоский конденсатор, одной из пластин которого служила медная сетка С, а в качестве второй цинковая пластина К, был включен через гальванометр G в цепь аккумуляторной батареи. При освещении отрицательно заряженной пластины К в цепи возникал электрический ток, называемый фототоком.

На рис. 3 приведены зависимости фототока I от напряжения U между электродами при различных интенсивностях света (энергетической освещенности).

Рис. 2 Рис. 3

Столетов установил следующие законы внешнего фотоэффекта:

1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

2. Для каждого вещества (катода) существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота v0, при которой еще возможен фотоэффект.

3. Фототок насыщения пропорционален энергетической освещенности Е катода.

При некотором напряжении UЗ (рис.3) фототок обращается в нуль, т.е. фотоэлектроны не достигают анода. В этом случае тормозящее внешнее поле уменьшает кинетическую энергию фотоэлектронов до нуля, совершая работу

eUЗ= mv 2max/2, (6.11)

где e и m - соответственно заряд и масса электрона.

Первые два закона противоречат классической теории, согласно которой энергия (а, следовательно, и скорость) фотоэлектронов, вырванных из катода, должна зависеть только от интенсивности падающего света.

Внешний фотоэффект хорошо объясняется квантовой теорией. Электрон поглощает фотон и получает целиком всю его энергию =hv, которая расходуется на совершение работы выхода электрона из вещества (катода) и на сообщение электрону кинетической энергии:

. (6.12)

Это закон называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Из (6.12) следуют все законы Столетова. В частности, максимальная начальная скорость электронов зависит только от частоты v и материала катода (АВЫХ). Красная граница v0 соответствует vmax=0

hv0=AВЫХ, v0=AВЫХ/h. (6.13)

При v>v0 (<0) фотоэффект наблюдается, при v<v0 (>0) - фотоэффект не наблюдается.

6.4 Эффект Комптона

Заключается в увеличении длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии на свободных электронах вещества (Рис.3).

Рис. 3

Это явление можно объяснить, рассматривая рассеяние как упругое соударение двух частиц - фотона и электрона, при котором выполняются законы сохранения импульса и энергии

, (6.14)

hv+ E= hv'+ E', (6.14')

где pф и p', pe и p'е - импульсы фотона и электрона до и после соударения: pф= h/л, p'ф=h/л' (6.3), pe=0 (до соударения электрон покоился), ;

hv и hv', E и E'- энергия фотона и электрона до и после соударения: hv= hc/л, hv'= hc/л' (6.1), E=0, . После столкновения с рентгеновским квантом скорость электрона может быть велика, поэтому используются релятивистские соотношения для импульса и энергии.

Решение системы (6.14), (6.14') позволяет определить изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на веществе:

==к(1-cos)=2кsin2(/2), (6.15)

где к=h/(mеc) - комптоновская длина волны, mе - масса электрона, к=2.4310-12 м=0.0243 (1 A=10-10 м), - угол рассеяния рентгеновского фотона.

Рентгеновские лучи рассеиваются не только на свободных электронах, но и на атомах вещества. Масса атома намного превышает массу электрона, следовательно в этом случае 'к=h/(mаc)<< к=h/(mеc) и смещение длины волны (6.15) мало.

6.5 Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения

Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн (интерференция, дифракция, поляризация) и свойствами дискретных фотонов (теплового излучение, фотоэффект, эффект Комптона). В этом заключается корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) электромагнитного излучения. Ниже будет показано, что корпускулярно-волновыми свойствами обладают и элементарные частицы.

Основные формулы и решение задач

Энергия и импульс фотона

=hv= , p=Е/c=hv/c=h/л. (1)

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

, (2)

где hv - энергия падающего на поверхность вещества фотона, АВЫХ - работа выхода электрона, UЗ -задерживающее напряжение, при котором прекращается фототок. Работа выхода АВЫХ численно равна минимальной энергии фотона, при которой еще возможен фотоэффект:

AВЫХ= hv0= hc/л0, (3)

где v0, л0 - красная граница фотоэффекта.

Изменение длины рентгеновского излучения при комптоновском рассеянии

='-=к(1-cos)=2кsin2(/2), (4)

где к=2.4310-12 м=0.0243 (1 A=10-10 м), - угол рассеяния фотона.

Пример 12

Натрий освещается монохроматическим светом с длиной волны =400 нм (0.4•10-6 м). Красная граница фотоэффекта для натрия 0=594 нм (0.594•10-6 м) Определить: 1) Работу выхода электрона AВЫХ ;

2) наименьшее задерживающее напряжение UЗ, при котором фототок прекратится.

Решение

1) Работа выхода АВЫХ численно равна минимальной энергии фотона, при которой еще возможен фотоэффект:

AВЫХ= hv0= hc/л0,

в нашем случае AВЫХ=6.63•10-34•3•108/0.594•10-6=3.3•10 -19 Дж

В квантовой механике часто применяется внесистемная единица измерения энергии - электрон - вольт (эВ) . 1 эВ численно равен энергии, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов 1 В. В этом случае работа поля равна

A=qU=eU (е=1.6•10-19 Кл - заряд электрона), т.е. 1эВ=1.6•10-19•1=1.6•10-19 Дж.

Таким образом, вычисленная ранее работа выхода

2) Из уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта (6.12)

, откуда .

Подставляя данные, получим

Пример 13

Определить энергию электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с длиной волны =100 пм (10-10 м) был рассеян на угол =180.

Решение

Длина волны рассеянного рентгеновского ' фотона согласно (6.15)

'=+=к(1-cos)+, производя расчеты '=2.4310-12 (1-(-1))+ 10-10 =1.05•10-10м Энергия E' электрона отдачи равна разности энергий падающего и рассеянного фотонов (6.14') E'= hv- hv'=, подставляя полученное выше значение ', имеем

или E'=0.58 эВ

Лекции 7,8. Элементы квантовой механики

7.1 Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона-Джермера

В 1924 г. де Бройль выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. В соответствии с (6.3) каждой частице соответствует волна, длина которой связана с импульсом (формула де Бройля)

(7.1)

а частота определяется энергией Е частицы (6.1) v=E/h, (7.2)

Рис. 1

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. Девиссон и Джермер в 1927 г. наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля. Узкий пучок электронов направлялся на поверхность монокристалла никеля. Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом (рис.1), присоединенным к гальванометру. Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр.

Кинетическая энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле

, скорость . (7.3)

Из (7.1) и (7.3) длина волны де Бройля для электрона ( е=1.610-19 Кл, m=9.110-31 кг)

. (7.4)

При ускоряющем напряжении от 1 до 104В, длины волн летящих электронов составляют 100.1, что соответствует диапазону длин волн рентгеновских лучей.

Согласно формуле Вульфа-Брегга (4.8) условие максимума при дифракции на кристаллической решетке 2dsin=m. Для никеля расстояние между атомными плоскостями d=2.03 А, опыт проводился при угле скольжения =80. Подставляя эти данные и формулу для (7.4) в (4.8) получим, что максимум силы тока через гальванометр, соответствующий максимуму дифракции электронов на решетке никеля, должен наблюдаться при ускоряющем напряжении

. (7.5)

Это соотношение подтвердилось на опыте. При определенных дискретных напряжениях, определяемых из (7.5), гальванометр фиксировал максимальный ток (рис. 2).



Рис. 2

Итак, опыт Девиссона-Джермера подтвердил гипотезу де Бройля о наличии волновых свойств у движущихся частиц. Позднее были поставлены другие опыты, подтверждающие волновые свойства микромира.

7.2 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Пусть частица нормально падает на диафрагму со щелью (рис. 3). Наличие у частицы волновых свойств (волна де Бройля) приведет к возникновению за щелью дифракционной картины. Иными словами, после прохождения щели имеется целый набор направлений распространения или неопределенность в направлении вектора скорости (и импульса) частицы. C наибольшей вероятностью частица будет обнаружена в промежутке между направлениями на первый минимум (см. § 4.2).

Первому минимуму m=1, получающемуся от щели шириной b=х соответствует угол (4.6)

sin=/ х. (7.6)



Рис. 3

Как видно из рис.3

sin=рх/ р, (7.7)

где рх - неопределенность импульса после дифракции (до дифракции вектора скорости и импульса направлены перпендикулярно щели, т.е. неопределенность этих векторов равна нулю).

Из (7.6) и (7.7), с учетом (7.1)

хрх =р=h. (7.8)

В общем случае соотношение

хрх h, yрy h, zрz h (7.9)

называют соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из него следует, что чем точнее определена координата (х мало, т.е. узкая щель), тем больше неопределенность в импульсе частицы рх h/х и наоборот. Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Запишем (7.9) в виде

хvх h/m. (7.10)

Формула (7.10) показывает, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10-12 кг и линейными размерами 10-6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е. х=10-8 м) неопределенность скорости согласно (7.10) vх=6.6210-31/(10-810-12)=6.6210-14 м/c, т.е. ничтожно мала. Поэтому для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

В квантовой механике также имеет место соотношение между неопределенностью энергии частицы Е и промежутком времени t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии. Оно аналогично (7.8) и имеет вид

Еth. (7.11)

7.3 Волновая функция

Наличие у частиц малой массы, ярко выраженных волновых свойств приводит к тому, что описание движения таких частиц носит вероятностный характер (§ 7.2). Поэтому в квантовой механике имеет смысл говорить лишь о вероятности dP нахождения частицы в данный момент времени бесконечно малом объеме dV. Эта вероятность dP пропорциональна некоторой комплексной функции (x,y,z,t), которую называют волновой функцией

dP= 2 dV=* dV, (7.12)

где * - комплексно-сопряженная волновая функция.

Волновая функция удовлетворяет условию нормировки. Интеграл от (7.12), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность обнаружить частицу во всем пространстве равна единице).

(7.13)

В квантовой механике каждой физической величине (координате, энергии, импульсу, моменту импульса) ставится в соответствии некоторый оператор. Так, например, операторы импульса px и кинетической энергии Т в одномерном случае имеют вид (m- масса частицы, ). Выражения для этих величин определяются из дифференциальных соотношений

(7.14)

Как видно из (7.14) с помощью волновой функции можно рассчитать любой физический параметр частицы, если известен оператор этого параметра.

7.4 Уравнение Шредингера

Уравнения Шредингера позволяет определить волновую функцию частицы, если известна ее полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий). Для случая, когда потенциальная энергия U частицы зависит от времени (нестационарное состояние) уравнение Шредингера имеет вид

, (7.15)

где , U - операторы кинетической и потенциальной энергии, - оператор Лапласа (1.11), - оператор энергии частицы.

Если U не зависит от времени (стационарное состояние) решение уравнения (7.15) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/)t], (7.16)

где E/h=.

Подставляя (7.16) в (7.15) и сокращая на экспоненциальный множитель получаем уравнение Шредингера для стационарных состояний

. (7.17)

Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Шредингера.

7.4.1 Свободная частица

Свободной называют частицу, на которую не действуют внешние силы. Скорость такой частицы постоянна по модулю и направлению (одномерное движение), ее потенциальная энергия U=0. Направив ось Х вдоль направления движения из (7.17) имеем

. (7.18)

Решением уравнения (7.18) является функция (х)=Аexp(ikx). Подставляя это выражение в (7.18) получаем значение энергии частицы

Е= . (7.19)

C учетом (7.16) волновая функция свободной частицы

(х,t)=Аexp(-it+ ikx)= Аexp[-i(щt-kх)]. (7.20)

Сравнение (7.20) и (1.6) показывает, что функция (7.20) представляет собой плоскую монохроматическую волну (волну де Бройля).

7.4.2 Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

Частица в «яме» обладает потенциальной энергией U=0 при 0<x<l,

U=? при x<0, x<l.

При таких условиях частица не проникает за пределы "ямы", т.е. (0)=

(l)=0. (7.21)

В пределах ямы (0<x<l) уравнение (7.17) примет вид

или (k2=). (7.22)

Общее решение (7.22)

(х)=Аsinkx+Bcoskx. (7.23)

Согласно (7.21) ш(0)=0, поэтому В=0 и

(х)=Аsinkx . (7.24)

Условие (7.21) (l)=Аsinkl=0 выполняется при kl=n, где n=1,2...целые числа, т.е.

k=n/l. (7.25)

Из (7.22) и (7.25) следует, что

(7.26)

Таким образом, энергия в «потенциальной яме» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n называется главным квантовым числом. Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е10.

Подставив в (7.24) значения k из (7.25), найдем собственные функции

. (7.27)

Из условия нормировки (7.13) , откуда

(7.28)

С учетом вышесказанного, окончательное выражение для волновой функции

(7.29)

Графики этих функций для уровней энергии при n=1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) показаны плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы

Рис. 5

Из рис.5 следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

7.4.3 Квантовый осциллятор

Потенциальная энергия гармонического осциллятора

U=kx2/2=mx2/2. (7.30)

Подставляя (7.30) в (7.17) для одномерного случая получим

. (7.31)

Уравнение (7.31) имеет решения при значениях энергии Е (рис.6)

n=0, 1, 2... - квантовые числа. (7.32)

Наименьшее значение энергии E0=0/2 определяется только собственной частотой 0 и ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при Т=0К.

Из (7.32) видно, что уровни находятся на равных расстояниях друг от друга



Рис. 6

?Е=Еn+1- Еn=hw0. (7.33)

При больших квантовых числах n Е/Еn=1/(n+12)0, т.е. происходит относительное сближение энергетических уровней и получаются результаты, близкие к результатам классического рассмотрения, когда энергия частицы может изменяться непрерывно, и, следовательно, может иметь любые значения. В этом заключается принцип соответствия, сформулированный Бором в 1923 г.:

При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать выводам и результатам классической механики.

Основные формулы и решение задач

Формула де Бройля

(1)

где л - длина волны частицы, движущейся со скоростью v.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

хрх h и Еth, (2)

где х,рх - неопределенности координаты и импульса частицы; Е- неопределенность энергии, t - время измерения энергетического состояния.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

, (3)

где - оператор Лапласа (1.11), U- оператор потенциальной энергии частицы, Е -полная энергия частицы (определяется из решения уравнения).

Пример 14

Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U=0.5 кВ (U=500 В). Принимая, что неопределенность импульса равна 0.1% от его числового значения (?px=0.001px), определить 1) частоту v и длину волны л де Бройля движущегося электрона; 2) неопределенность ?x координаты электрона.

1) Кинетическая энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле

, скорость . (1)

Из соотношений (6.1) и (1) имеем =hv=еU, откуда

. (2)

В соответствии с (7.1) и (1)

. (3)

Подставляя в (2) и (3) данные задачи, получим

и

Примечание: при заданном ускоряющем напряжении скорость электрона v<<c,поэтому электрон является нерелятивистской частицей. В противном случае в формуле (3) нужно использовать релятивистское выражение для импульса р.

2) Из (1) импульс электрона

p=mv=. (4)

По условию задачи

?px=0.001px=0.001 (5)

Подставляя данные ?px=0.001 1.2•10-26 кг•м/c

Искомая неопределенность ?x координаты электрона, в соответствии с (7.8) , с учетом данных задачи

 =5.4•10-8 м=54 нм

Лекция 9. Физика атомов и молекул. Элементы квантовой электроники

9.1 Модель атома Резерфорда

В 1911 г. Резерфорд и его сотрудники исследовали рассеяние -частиц при прохождении через тонкие металлические слои (-частицы - элементарные частицы с положительным зарядом 2е, массой, приблизительной равной массе четырех атомов водорода и скоростью 107 м/с). Было установлено, что при облучении листка золота толщиной 6 мкм значительное отклонение от первоначального направления движения испытывала лишь одна из 8000 -частиц.

Для объяснения результатов опыта Резерфорд предположил, что весь положительный заряд атома находится в его ядре - области занимающей достаточно малый объем по сравнению со всем объемом атома. Значительное отклонение от первоначального направления распространения будут испытывать только -частицы, проходящие в непосредственной близости от положительно заряженного ядра (одноименные заряды отталкиваются). Вероятность попадания частиц в малое по объему ядро невелика, поэтому и число -частиц отклоняющихся на большие углы также мало.

Таким образом, согласно ядерной модели атом состоит из положительного ядра, имеющего заряд Zе (Z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева, е - элементарный заряд) и размер 10-5 -10-4 А (1А= 10-10 м). Вокруг ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Атомы нейтральны, поэтому вокруг ядра должно вращаться Z электронов, суммарный заряд которых - Zе. Размеры атома определяются размерами внешних орбит электронов и составляют единицы ангстрем. Масса электронов составляет очень малую долю массы ядра (для водорода 0,054%, для остальных элементов менее 0,03%).

9.2. Постулаты Бора

Ядерная модель противоречила законам классической механики и электродинамики. Если электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r, то кулоновская сила взаимодействия между электроном и ядром сообщает электрону нормальное ускорение, определяемое из второго закона Ньютона

. (9.1)

где m, v - масса и скорость электрона. По законам электродинамики ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и, в конце концов, упадут на него, что противоречит действительности.

Выход из создавшего тупика был найден в 1913 г. Нильсом Бором, который сформулировал 2 постулата, противоречащие классическим представлениям. Исходя из них, Бор создал полуклассическую теорию водородоподобного атома. К водородоподобным атомам относятся атом водорода (Z=1), ион гелия Не+ (Z=2), ион лития Li++ (Z=3) и др. Для них характерно, что вокруг ядра с зарядом Ze вращается только один электрон.

1. Первый постулат: Существуют некоторые стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает энергию. Этим состояниям соответствуют определенные (стационарные) орбиты, по которым движутся электроны. Двигаясь по стационарным орбитам, электроны не излучают электромагнитных волн. В стационарном состоянии электрон должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса

Ln = mrv = n, n = 1, 2, ... (9.2)

С учетом (9.1) и (9.2) радиусы стационарных орбит электронов

. (9.3)

Для атома водорода (Z=1) радиус первой орбиты (n = 1), называемый первым боровским радиусом (а), равен r1 = a = 0,528 А.

Энергия атома (равная энергии электрона, так как ядро атома неподвижно) слагается из кинетической энергии электрона (Т = mv2/2) и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром (U =-Ze2/(40r)),

(9.4)

при выводе формулы (9.4) учли формулу (9.1). Подставляя в (9.4) квантовые радиусы орбит электронов (9.3), получим дискретные (квантовые) значения энергии электрона в водородоподобном атоме

(9.5)

2. Второй постулат: При переходе атома (электрона) из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается фотон с энергией

, (9.6)

где Еn, Еm - энергии атома (электрона) в стационарных состояниях n и m (9.5).

9.3 Линейчатый спектр атома водорода

В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн (или частоты) излучения атомарного водорода (Z = 1) могут быть представлены формулой. Из (9.6) и (9.5)

, (9.7)

где R = 2,07 1016 с -1 - постоянная Ридберга. Учитывая, что 1/ = v/с = /2с, имеем

, (9.8)

где R =1,0974107 м-1 - называется также постоянной Ридберга.



На рис. 1 показана схема энергетических уровней атома водорода (Z = 1), рассчитанных из (9.5). При переходе электрона с более высоких энергетических уровней на уровень n=1 возникает ультрафиолетовое излучение (излучение серии Лаймана (СЛ)). При переходах на уровень n = 2 возникает видимое излучение (серия Бальмера (СБ)). При переходах на уровень n = 3 - инфракрасное излучение (серия Пашена (СП)) и т.д.

Частоты и длины волн излучения рассчитываются по формулам (9.7) и (9.8) (m=1 - серия Лаймана, m=2 - серия Бальмера и m = 3 - серия Пашена). Энергия фотонов определяется по формуле (9.6), которую с учетом (9.5) запишется в виде

, эВ (9.9)

Постулаты Бора сыграли огромную роль в создании атомной физики. Однако теория Бора имела существенные недостатки, в частности, не позволяла создать теорию многоэлектронных атомов. Эта теория стала переходным этапом на пути создания последовательной квантовой теории атомных и ядерных явлений.

9.4 Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа электрона в атоме

Результаты, полученные Бором в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобных атомах, могут быть получены в квантовой механике без привлечения постулатов Бора. Покажем это.

Потенциальная энергия электрона в водородоподобном атоме поэтому уравнение Шредингера для стационарных состояний (7.17) запишется в виде

(9.10)

Решением уравнения (9.10) в трехмерной сферической системе координат являются собственные функции , каждая из которых зависит от трех целочисленных параметров n, l, m. n - называют главным квантовым числом, l - орбитальным (азимутальным) и m - магнитным квантовым числом.

Главное квантовое число n определяет значение энергии электрона, соответствующее данной волновой функции

, n = 1, 2, ... - главные квантовые числа. (9.11)

Орбитальное квантовое число l определяет величину квантованных значений момента импульса L электрона в атоме:

l= 0, 1, 2, ... (n-1) (9.12)

Магнитное квантовое число m определяет значение проекции вектора момента импульса электрона на направление Z магнитного поля Lz (пространственное квантование)

(9.13)

На рис. 2 показаны возможные ориентации вектора момента импульса для электрона в атоме водорода при значениях l=1 и l=2.

Рис. 2

При данном l магнитное квантовое число m может принимать (2l+1) различных значений.

Кроме момента импульса, обусловленного вращением электрона вокруг ядра, электрон обладает собственным моментом импульса LS называемым спином (spin - верчение). Спин имеет квантовую природу. Это внутреннее свойство, присущее электрону, подобно тому, как ему присущ и заряд и масса.

Собственный момент импульса электрона LS (спин) выражается через спиновое квантовое число s равное 1/2, т.е. спин квантуется по закону

. (9.14)

Проекция спина на заданное направление Z может принимать два квантованных значения

, (9.15)

где ms = s = 1/2 называют магнитным спиновым квантовым числом или просто спиновым квантовым числом, т.е. также как и s.

9.5 Принцип Паули. Многоэлектронные атомы

Состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

Главное квантовое число n (n = 1, 2 ... ).

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l (l = 0, 1, 2, ... n-1)

Магнитное квантовое число m (m = 0, 1, 2, ... l)

Спиновое квантовое число ms (ms = 1/2 ).

Один из главных законов квантовой механики - принцип Паули, гласит:

В любой системе, содержащей множество электронов (например, в атоме) в стационарном состоянии не может быть двух электронов, обладающих одинаковым набором квантовых чисел n, l, m, ms .

Электроны в атоме, имеющие одинаковые значения главного квантового числа n, образуют электронный слой. При n=1 это К-слой, n=2 - L-слой и т.д. (см. таблицу 1).

В каждом из слоев электроны распределяются по оболочкам. Оболочка соответствует определенному значению орбитального квантового числа l. Если l=0, состояние электрона называется s-состоянием, l=1 - р- состояние, l=2 - d-состояние, l=3 - f- состояние и т.д. (см. таблицу 1)

При заполнении электронами состояний различных слоя вначале заполняются состояния с наименьшей энергией. Для многих атомов это соответствует наименьшему значению n. В пределах одного слоя сначала заполняются состояния с l=0, затем l=1 и так далее, вплоть до l=n-1. В таблице 1. приведены максимальные числа электронов, находящихся в данном электроном слое и имеющих данные значения орбитального квантового числа.

Таблица 1.

n	Электронный слой	Число электронов в состояниях	Максимальное число электронов
		s (l=0)	p (l=1)	d (l=2)	f (l=3)	g (l=3)
1	К	2	-	-	-	-	2
2	L	2	6	-	-	-	8
3	M	2	6	10	-	-	18
4	N	2	6	10	14	-	32
5	O	2	6	10	14	18	50

Для одного фиксированного значения главного квантового числа n существует 2n2 различных квантовых состояний электрона.

Физические и химические свойства элементов объясняются поведением валентных электронов, которые находятся на последнем заполненном электронном слое. Периодичность свойств химических элементов связана с периодичностью в расположении валентных электронов атомов различных элементов.

Таким образом, принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости свойств атомов, т.е. периодической системе элементов Менделеева.

9.6 Спонтанное и вынужденное излучение. Принцип работы лазеров

При поглощении фотона с энергией h атом переходит с нижнего уровня m на более высокий энергетический уровень n (рис. 2а), при этом h = En - Em (9.6).

Атом может самопроизвольно перейти c высшего энергетического состояния En в низшее Em с излучением фотона (рис.2, б).

а) б) в)

Рис. 2

Такое излучение называют спонтанным (самопроизвольным). Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

В 1916 г. Эйнштейн постулировал, что кроме поглощения и спонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Обсудим его.

Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии Еn, действует внешнее излучение с частотой , удовлетворяющей условию h=Еn-Еm, то возникает вынужденный (индуцированный) переход в состояние m с излучением фотона той же энергии (рис. 2, в). Возникшее при этом излучение называют вынужденным (индуцированным) излучение. В процесс вынужденного излучения вовлечены 2 фотона: первый фотон, вызывающий испускание излучения, и вторичный фотон, испускаемый атомом. При этом вторичные фотоны неотличимы от первичных, являясь их копией.

Следовательно, вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественны вынуждающему излучению (первичным фотонам): оно имеет такие же частоту, фазу, поляризацию, направление распространения, т.е. строго когерентно с вынуждающим излучением.

Чтобы вынужденное излучение превосходило спонтанное излучение и вынужденное поглощение необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии. Такие состояния называются состояниями с инверсией населенности или инверсными.

Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды. Накачку можно осуществить оптическими, электрическими и другими способами.

В средах с инверсными состояниями вынужденное излучение может превысить поглощение, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через эти среды будет усиливаться (такие среды называются активными).

Практическое инверсное состояние среды было осуществлено в 1960 г. в принципиально новых источниках излучения - оптических квантовых генераторах или лазерах. В 1964 г. за фундаментальные работы по квантовой электронике советским ученым Басову Н.Г., Прохорову А.М. и американскому ученому Ч. Таунсу были присуждена Нобелевская премия.

Пример активной среды с инверсией населенностей - трехуровневый лазер, идея которого была предложена Басовым и Прохоровым в 1955 г. За счет энергии накачки (например, благодаря вспышкам импульсной ксеноновой лампы) атомы среды переходят из состояния 1 в состояние 3, показанное стрелкой Е13 (рис. 3).



Рис. 3

Время жизни уровня 3 очень мало (~10-8c). В течение этого времени некоторые

электроны перейдут спонтанно с уровня 3 на уровень 1. Однако большинство атомов перейдет на метастабильный (относительно устойчивый) уровень 2. При достаточной мощности накачки число атомов, находящихся на уровне 2, становится больше числа атомов на уровне 1, т.е. возникает инверсия населенностей.

Излученный при спонтанном переходе 2-1 фотон вызывает вынужденное испускание дополнительных фотонов, соответствующих переходу Е21, которые в свою очередь вызовут также вынужденное излучение и т.д.

Полученное таким образом вынужденное излучение было использовано для генерации когерентных световых волн. Чтобы активное вещество превратить в генератор световых колебаний, необходимо, чтобы часть излученного света все время находилась в зоне активного вещества и вызывала вынужденное излучение все новых и новых атомов. Для этого активное вещество, например, цилиндрический кристалл рубина, легированного атомами хрома, помещают между двумя параллельными зеркалами, плоскости которых перпендикулярны к оси цилиндра. Тогда луч, отражаясь от зеркал, будет проходить много раз через активное вещество, усиливаясь при этом в результате вынужденных переходов атомов с высшего энергетического уровня Е2 на более низкий Е1. Такой резонатор не только усиливает свет, но также коллимирует (делает лучи параллельными) и монохроматизирует его. Коллимация происходит за счет того, что лучи, идущие параллельно оси цилиндра, будут проходить через активное вещество туда и обратно неограниченное число раз и максимально усилятся. Лучи, идущие наклонно, в конце концов, попадут на боковую стенку цилиндра, где они рассеются или выйдут наружу. Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

Время когерентности составляет 10-3с, что соответствует длине когерентности l ког = С ког 105 м, т.е. в 107 раз выше, чем для обычных источников света.

Строгая монохроматичность : < 10-11 м.

Большая плотность потока энергии 1010 Вт/м2.

Очень малое угловое расхождение в пучке.

Лазеры имеют многочисленные применения в технике для сварки, резки и плавления металлов, науке и медицин, используются в волоконно-оптических линиях связи для передачи и обработки большого объема информации. Наконец, применяя лазеры для нагрева плазмы, пытаются решить проблему управляемого термоядерного синтеза.

Основные формулы и решение задач

Энергия е, испускаемая (или поглощаемая) атомом при переходе из одного стационарного состояния в другое (второй постулат Бора)

е=hщ=hv= Еn- Еm, (1)

где v - частота излучаемого (поглощаемого) фотона, Еn, Еm - энергии атома (электрона) в стационарных состояниях n и m.

Энергия е фотонов, испускаемых (поглощаемых) водородоподобными атомами

эВ, m,n=1,2,3…? (2)

где Z- порядковый номер элемента в таблице Менделеева.

Пример 15

Атом водорода находится в возбужденном состоянии, характеризуемом главным квантовым числом n=3. Определить: 1) возможные спектральные линии, появляющиеся при переходе атома из возбужденного состояния в основное; 2) работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон с возбужденного уровня n=3 за пределы притяжения его ядром.

Решение

1) Энергия фотонов, испускаемых водородоподобными атомами (9.9)

эВ,

Для атома водорода Z=1. Переход электрона из возбужденного состояния с n=3 в основное с n=1 может осуществиться двумя способами. Первый способ - непосредственно из n=3 в n=1. В этом случае в формуле (9.9) n=3, m=1 и энергия излучаемого фотона

.

Второй возможный способ включает два последовательных перехода из n=3 в n=2 (n=3, m=2), далее из состояния с n=2 в основное состояние n=1 (n=2, m=1). Энергии фотонов е3-2 и е2-1, испускаемых при этих переходах соответственно равны (9.9)

 и .

Для определения длин волн излучения необходимо перевести полученные значения энергии в систему СИ (1эВ=1.6•10-19 Дж), затем воспользоваться формулой (6.1) =hv= , откуда л= . Подставляя вычисленные значения , имеем

л3-1= ,

л3-2=

л2-1= .

2) Работа по удалению электрона численно равна разности энергий уровней с n1=3 и n2=?. В соответствии (9.5) А=Е?-Е3=0-(-=1.5 эВ.

Пример 16

Определить порядок заполнения электронных оболочек атома 11Na.

Решение

Порядковый номер Na в таблице Менделеева Z=11, следовательно, число электронов в нейтральном атоме натрия также равно 11. Заполнение электронами слоев и оболочек происходит в соответствии с принципом Паули и правилами расчета главных квантовых чисел l, m, ms (§ 9.5).

Произведем расчет емкости оболочек и слоев. Число различных состояний в оболочке определяется числом различных проекций орбитального момента l или магнитным квантовым числом m. Число таких состояний равно 2l+1 (§ 9.5). Кроме того, необходимо учесть, что в состоянии с заданным n, l, m может существовать два электрона с противоположными по знаку проекциями спинов (ms = 1/2 ). Таким образом, оболочка l в любом слое может вмещать 2(2l+1) электронов.

Емкость слоя определяется числом различных оболочек, его образующих, и емкостью самих оболочек. Поскольку в n-слое имеется n оболочек (0? l ?n-1), полная емкость слоя

(1)

Для первого слоя (К-слоя) n=1. Так как 0? l ?n-1 для данного n возможно только одно значение орбитального квантового числа l=0 (s-состояние) и одно значение магнитного квантового числа m=0 (m=0, 1,…l). В состоянии с n=1, l=0 и m=0 может находиться два электрона с противоположными спинами (ms = 1/2 ). Таким образом, К-слой включает в себя два электрона. Существует традиционная схема записи электронных конфигураций атомов. В ней указываются слои (своим номером) и оболочки (символом). Для оболочек для оболочек приводится число находящихся в них электронов в виде показателя степени. Заполненный К-слой обозначается как 1s2.

Далее происходит заполнение слоя с n=2 (L-слоя). Для n=2 l=0 (s-состояние) и l=1 (р-состояние). Выше показано, что в s-состоянии может находится два электрона. Для l=1 m=-1, 0, +1. C учетом проекций спина, число возможных электронных состояний для l=1 равно 6 . Таким образом, полная емкость второго слоя - 2+6=8 электронов. Заполненный L-слой обозначается как 2s22р6.

Суммарное число электронов в К-слое и L-слое 2+8=10. Последний, одиннадцатый электрон атома натрия находится в М-слое в s-состоянии (обозначение 3s1).

Исходя из вышесказанного, электронная конфигурация атома натрия

11Na 1s22s22р63s1

Вопросы для подготовки к экзамену по физике. Курс II, часть 3

Волны в упругих средах. Продольные и поперечные волны. Уравнение гармонической бегущей волны, ее график, фазовая скорость, длина волны, волновое число (1.1, 1.3).

Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость, волновое уравнение (1.3, 1.4).

Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость. Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии - вектор Умова (1.5, 1.6).

Электромагнитные волны и их основные свойства. (2, 2.1, 2.2).

Энергия электромагнитной волны. Поток энергии. Вектор плотности потока энергии - вектор Пойнтинга (2.3). Шкала электромагнитных волн (2.4, 2.5).

Интерференция света. Монохроматичность и когерентность волн. Расчет интерференции двух волн (3.1.1 - 3.1.3). Оптическая длина пути и оптическая разность хода (3.3).

Интерференция света в тонких пленках. Просветление оптики. Интерферометры (3.4, 3.5).

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля (4.1, 4.2).

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске (4.3).

Дифракция Фраунгофера на одной щели (4.4).

Дифракционная решетка (4.5).

Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брэгга (4.6).

Разрешающая способность оптических приборов. Понятие голографии (4.7, 4.8).

Взаимодействие света с веществом. Поглощение света. Закон Бугера. Рассеяние света. Закон Релея (6.1. - 6.3).

Дисперсия света. Электронная дисперсия света. Нормальная и аномальная дисперсия (6.4).

Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса (6.5).

Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера (6.6).

Двойное лучепреломление. Искусственная оптическая анизотропия. Вращение плоскости поляризации (6.7, 6.8).

Тепловое излучение. Характеристики теплового излучения. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа (7.1 -7.3).

Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Законы Стефана-Больцмана и Вина (7.4 - 7.6).

Формула Релея-Джинса. «Ультрафиолетовая катастрофа». Гипотеза Планка. Формула Планка. Связь формулы Планка с законами Стефана-Больцмана и Вина (7.7).

Фотон. Энергия, масса и импульс фотона. Давление света (8.1, 8.2).

Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта (8.3).

Эффект Комптона. Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения (8.4, 8.5).

Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона-Джермера (9.1).

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Невозможность классического задания состояния микрочастиц (9.2).

Волновая функция и ее статистический смысл (9.3).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица (9.4, 9.5).

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» (9.6).

Классический и квантовый осцилляторы (9.7).

Модель атома Резерфорда (11.1). Постулаты Бора (11.2).

Линейчатый спектр атома водорода (11.3).

Атом водорода согласно квантовой механики. Квантовые числа электрона в атоме (11.4).

Принцип Паули (11.5).

Спонтанное и вынужденное излучение. Принцип работы лазера (12.2).

При написании конспекта лекций использовались известные учебники по физике, изданные в период с 1923 г. (Хвольсон О. Д. «Курс физики») до наших дней (Детлаф А.А., Яворский Б.М., Савельев И.В., Сивухин Д.В., Трофимова Т. И., Суханов А. Д. и др.).