Энергетика жизни и информация

Энергетика жизни и информация

Преобразования энергии и производство работы в природе происходят на основе термодинамических циклов. Они возможны при участии не меньше, чем двух форм энергии. Энергетика жизни использует многоступенчатые циклы, в которых химическая энергия преобразуется в электрическую, а потом обратно в химическую, запасённую в АТФ. Преобразование химической энергии в механическую работу в живых системах происходит преимущественно на основе термодинамических циклов в средах с отрицательным модулем упругости. Существующие формулировки второго начала термодинамики описывают разные свойства понятия об энтропии. Это устраняет введение аксиоматического определения энтропии, удовлетворяющего требованиям полноты и замкнутости. Природа определена в фазовом пространстве. Его особенности отражают квазикристаллы. Свойства квазикристаллов приводят к известному в биохимии принципу структурной комплементарности. Главная причина возникновения и существования жизни - повышение с её участием энтропии планет сверх неживого предела.

Энергия и работа

В термодинамике и её частной области - энергетике (как науке и как технологии человеческих призводств) существует два близких, но разных по содержанию, понятия: работа и энергия. Описывающие их переменные имеют одинаковую размерность и измеряются в одинаковых единицах - Джоулях.

И работа, и энергия согласно своему аксиоматическому определению выражаются как произведение переменных двух типов - силовой (интенсивной) и количественной (экстенсивной) в виде: [работа] = [сила] [величина пути], [энергия] = [сила] ? [величина пути].

Однако разница между ними принципиальна:

работа зависит от вида пути, по которому развивается процесс.

энергия не зависит от вида пути, по которому развивается процесс. Она определяется состоянием системы - математической точкой.

Пример. Сопротивление при движении в воздухе пропорционально квадрату скорости движения. Самолёт может находиться в воздухе только при больших скоростях движения. Работа по его подъёму в атмосфере существенно зависит от длины пути, по которому происходит подъём, а потому намного превышает потенциальную энергию, которую он при этом приобретает. Воздушный шар может подниматься сколь угодно медленно. Работа его подъёма практически равна изменению его потенциальной энергии.

Определение энергии включает в себя дополнительный термин - энергия есть функция состояния системы, то есть не зависит от пути развития процессов в ней. Приращения функций состояния в терминах математики всегда есть полные диффренциалы.

Физика (также аксиоматически) определяет несколько разных видов сил. Например, механические силы, электрические силы, магнитные силы, химические силы. Для каждого вида сил существуют свои экстенсивные переменные, сопряженные с ними. Уравнения физики записываются для большинства задач в такой форме, когда их переменными является пара: сила количество.

В механике это есть сила F и величина пути r. При этом обычно силу относят к величине поверхности, переходя для газов и жидкостей к давлению P (или подобным ему в задачах твёрдого тела механическим напряжениям ?), а в качестве эквивалента пути используют переменную - объём V (для газов и жидкостей) или относительное удлинение ?m (для твёрдых тел).

Для электрических процессов силовая переменная определена в виде напряженности электрического поля E, а количественная задана величиной его индукции D. Для магнитных соответственно - индукция магнитного поля B и величина его напряженности H (исторически названия оказались перекрестными).

Для химических превращений силовая переменная есть химический потенциал i для реакции вида i, а величина ni есть число молей вещества, то есть количественная переменная.

Эти пары определяют формы энергии - механическую, электрическую, магнитную, химическую. Данный перечень заведомо не исчерпывает известные формы энергии, но все формы энергии представимы в виде произведения силовой переменной Xj на количественную xj.

Траектория движения (процесса изменения системы) - путь - соединяет начальную и конечную точки движения. Длина траекторий, то есть величина пути при движении от начальной к конечной точке, для разных траекторий - различна. Работа, совершённая при переходе из точки А в точку В зависит от конкретного вида пути (траектории), по которой происходит движение между точками А и В.

Изменение энергии при переходе из точки А в точку В не зависит от формы пути (траектории), по которой происходит движение между точками, поэтому его можно вычислять вдоль кратчайшего пути между начальной и конечной точками процессов или двигаться ступеньками вдоль осей координат. Последнее составляет характерную особенность математического аппарата термодинамики.

Пусть задана механическая система, в которой изменение потенциальной энергии dW тела массой m есть , где g - ускорение силы тяжести (напряженность потенциального поля тяготения), а dh - приращение пути по вертикали.

Понятие - потенциальное поле - тавтологично обозначает объект, для которого справедливо понятие - энергия, то есть для которого при изменении переменных, описывающих поле, работа не зависит от пути развития процессов (траекторий), а определяется их начальной и конечной точками. В частности, для поля тяготения и потенциальной энергии в нём изменения потенциальной энергии зависят от величины dh.

Например, камень, масса которого m, находящийся на высоте dh крепостной стены, сваливают вниз на сооружения, которые строят осаждающие крепость для того, чтобы влезть на стену. Потенциальная энергия камня mg dh превратится в работу по разрушению сооружений.

В любом потенциальном поле (электрическом, магнитном, при химических реакциях) изменение энергии всегда может быть превращено в работу (и наоборот) таким образом, что при этом начальное и конечное состояние системы будут различными. Пример был дан выше - падение камня как однократный процесс.

Осаждённые одним камнем решить задачу не могут. Они непрерывно поднимают одинаковые по весу камни на стену и сбрасывают их вниз. Не важно, что камни каждый раз другие по “номеру”. Важно то, что система каждый раз возвращается в одни и те же состояния - за счёт работы людей камень может находиться на стене, имея приращение потенциальной энергии dW = mg dh или самопроизвольно упасть вниз, где его потенциальная энергия в данной задаче есть нуль.

Последняя часть примера связан с понятием цикла, преобразующего энергию в работу (и наоборот). При циклическом преобразовании энергии в работу система возвращается в исходное состояние.

Объект, для которого обсуждается взаимодействие работы и энергии в циклическом процессе, аксиоматически называют - рабочее тело.

Осажденные устали таскать камни. Нашёлся умелец, который захотел изобрести машину непрерывно, циклически превращающую разность потенциальной энергии поля тяготения в механическую работу - упавшие камни с помощью этой машины сами поднимаются наверх. Казалось бы, проще простого! Таких вечных двигателей изобретено тысячи. Например, классический в виде шаров, соединённых между собой на призме с разным наклоном граней. Шары сами скатываются по крутой части призмы и тащат за собой вверх шары на её пологой грани. Однако подобные двигатели работать не могут никогда.

Изложенные выше понятия элементарны и общеизвестны. Невозможность вечных двигателей описанного типа не оспаривают даже самые ортодоксальные из “изобретателей”. Однако далеко не все понимают при этом, что невозможность вечного двигателя есть следствие факта существования энергии как функции состояния системы. Поясню это в терминах работы и энергии.

В координатах “сила путь” (рис. 6.1) для любого потенциального поля (поле тяготения есть один из частных видов потенциального поля) непрерывный циклический процесс есть переход из точки А в точку В и обратно. Работа в циклическом процессе, как элементарно понятно, будет равна площади, ограниченной траекториями прямого и обратного процесса. Она может быть положительной или отрицательной в зависимости от направления обхода контура цикла.

Однако по определению энергии как функции состояния системы работа перехода из точки А в точку В от вида пути не зависит. Поэтому работа, получаемая в циклическом процессе, происходящем в любом единственном потенциальном поле (то есть с участием только одной формы энергии), всегда и неустранимо равна нулю. Это есть синоним утверждения о том, что к данной задаче применимо понятие - энергия. Это же одновременно запрещает “вечный” двигатель как способ получить циклически работу из энергии единственного вида поля.

Понятие о циклическом процессе не обязательно требует, чтобы он развивался только во времени. “Изделие” может реализовать циклическое преобразование энергии, когда прямая и обратная составляющие цикла разнесены в пространстве. Например, термопара как устройство для преобразования тепла в работу.

Невозможность циклического “вечного” двигателя на основе преобразования в работу единственной формы энергии (совершенно не важно какой именно - гравитационной, электрической, магнитной, химической) есть тавтология с понятием о существовании энергии и с законом её сохранения. Кстати, исторически было время, когда закон сохранения энергии включал в себя только её единственную форму - механическую энергию. Да и термина энергия ещё в науке не было. Именно тогда было “изобретено” большинство вечных двигателей.

Потенциальное поле не обязательно есть только поле тяготения. Независимость состояния от формы пути протекания процессов справедлива и для других потенциальных полей, которые описывают электричество, магнетизм, механические напряжения и деформации, химические реакции. В каждом из них есть своя силовая переменная (аналог механической силы для поля тяготения) и своя количественная (аналог изменения расстояния вдоль пути в поле тяготения).

Не все помнят, что понятие - функция состояния - не определено без существования уравнения состояния.

Когда в задаче о работе и энергии одновременно участвуют разные потенциальные поля, соответствующие разным формам энергии - механической, электрической, магнитной, химической - связь между функциями состояния задаёт система уравнений состояния вида: .

Энергия может рассматриваться как функция всех переменных, перечисленных в (6.2), или как функция части из них, или как функция большего числа переменных. Но если условие связи между независимыми переменными термодинамической задачи не сформулировано, то в ней некорректно существование энергии потому, что энергия есть именно и только то, что есть функция состояния системы. В общем случае произвольных независимых переменных энергия существует не обязательно. Энергия существует только и именно тогда, когда независимые переменные в задаче связаны между собой уравнением состояния.

Сначала это было установлено Л. Эйлером как чисто математический факт. Потом теория тепла у Р. Клаузиуса [34] стала механической именно потому, что он ввёл (как общий) принцип функций состояния и подчеркнул в нём роль уравнений состояния (для тепловых процессов).

Уравнение состояния, например, в виде уравнения Клапейрона знают все. Но происхождение слова - состояние - в его названии сегодня забывают многие.

Интересно, что необходимость уравнения состояния понимал ещё Карно. В своей знаменитой работе [108] он его использует как эмпирический факт (природу обмануть нельзя). Но именно Клаузиус ввёл на математической основе забытый сегодня многими фундаментальный смысл уравнений состояния. Потом Дж. Максвелл повторил в физике (известные ещё Эйлеру) соотношения между вторыми смешанными производными термодинамических переменных, которые носят его имя. Дополнительные пояснения уравнений состояния даны в конце этой главы.

В каждом из полей, переменные которых связывают уравнения состояния, работа не зависит от пути протекания процессов. В каждом одном из этих полей (при неизменных переменных во всех остальных) невозможно осуществить циклическое преобразование энергии единственного поля в работу (вечный двигатель).

Однако сосуществование одновременно, в одной задаче разных форм энергии и связывающих их уравнений состояния разрешает циклические процессы преобразования работы в энергию и наоборот (несмотря на то, что каждая из форм энергии есть функция состояния системы и переменные, входящие в уравнение состояния, есть функции состояния системы).

При совместном существовании разных форм энергии переход из заданной точки А в точку В может происходить при разных значениях переменных для других форм энергии. Например, переход по путям ACВ и АDB между точками AB на рис. 6.2 в магнитном поле может происходить при разных значениях переменных, определяющих механическую форму энергии (напряжения и деформации в твёрдом намагниченном теле). Это реализует термодинамический цикл магнитострикционного преобразования энергии магнитного поля в механическую работу (см., [109], [110]). Популярно об электромагнетизме см. [111].

Если требуется преобразовать в работу максимальное количество энергии той формы, которая соответствует заданному полю, и задан максимальный интервал, в котором могут изменяться интенсивные и экстенсивные переменные, то такому максимуму преобразования по элементарным соображениям отвечает прямоугольник как форма замкнутого цикла (рис. 6.2). Этот же циклический процесс в координатах сопряженной формы энергии, как правило, не может иметь форму прямоугольника. Причина в конкретности уравнений состояния. Более того, идеализированный предел площади цикла, отвечающий прямоугольнику, для тепловой энергии возможен потому, что работа цикла Карно не зависит от вида рабочего тела. Для других форм энергии такого условия нет, а потому ограничения уравнений состояния часто запрещают прямоугольную форму цикла в плоскостях любой из форм энергии, участвующих в данном цикле. Циклическое преобразование тепла в работу и понятие о тепловой энергии требуют отдельного объяснения.

Преобразование тепла в работу и информация

Исторически, как отмечалось выше, сначала был известен только один вид энергии - механическая энергия. В результате известных работ Ю. Майера, выполненных в 1841-1845 г.г., и Д. Джоуля (1843 г.) было установлено превращение механической работы в тепло. Этим закон сохранения механической энергии расширил свои рамки. Была создана циклическая паровая машина, к которой подводилось тепло и получалась механическая работа. В виде универсальной паровой машины она была завершена Дж. Уаттом в 1784 г. С. Карно в 1824 г. ещё на основе теории флогистона (теплорода), но интуитивно с двумя разными французскими терминами chaleur - тепло и calorique - теплород, доказал [108], что к.п.д. тепловой машины не зависит от вида рабочего тела. Через десять лет Б. Клапейрон обнаружил не замеченную работу Карно и вернул её к жизни. В. Томсон (лорд Кельвин) и У. Ранкин около 1850 г. ввели термин - энергия. Р. Клаузиус в 1876 г. создал механическую теорию тепла, упоминаемую прямо или косвенно всеми, но понятую далеко не всеми даже в наши дни. Он ввёл в ней термин: энтропия - способность к превращениям. Утвердился новый закон природы - второе начало термодинамики. Появились изобретатели новых вечных двигателей с тем же непониманием свойств функций состояния, но в другой форме - получить из тепла работу без использования разности температур.

Кстати, обратите внимание на хронологию в приведенном выше списке. Открытия во времени в этой области проходили, отнюдь, не той строгой логической цепочкой, как они кажутся из современности. Но важно не это, а итог истории. Существует переменная - количество тепла Q и его приращение ?Q. Количество тепла не есть функция состояния системы. Приращение количества тепла не есть полный дифференциал.

С помощью интегрирующего множителя по формуле (1):

(1)

можно образовать переменную - энтропию, которая есть функция состояния системы. Тогда произведение ?S есть функция состояния системы - тепловая энергия. В её составе интенсивная переменная - температура ? (аналог силы) и экстенсивная переменная - энтропия S как мера неопределённости (аналог количества). Как подчёркивалось в главе I, энтропия S по её определению есть мера системы в фазовом пространстве. Она задана приближённо в шестимерном или строго 6N-мерном фазовом пространстве. Поэтому отличие энтропии S как экстенсивной переменной от, например, объёма V менее значительно, чем обычно многим кажется.

Интенсивная переменная термодинамической задачи - сила - есть производная от энергии по экстенсивной переменной. Например, как обычно в термодинамике, её можно выразить с помощью полной энергии U и объёма V как экстенсивной переменной в виде:

(2)

Давление как выражение силы вполне наглядно. Энтропия так же есть экстенсивная переменная и поэтому справедливо определение:

(3)

Температура в роли силы непонятна и соотношение (6.4) принимается как факт, избегая пояснений. Они нетривиально даны в [11], [12].

Используемые в термодинамике частные производные и индексы постоянства других переменных - это есть реализация описания изменений переменных в потенциальных полях “ступеньками”.

Единица энергии (как эквивалент размерности) есть Джоуль [кг?м2/c2]. При строгом определении энтропии (1.1) единица адиабатического инварианта (в том же смысле размерностей) есть [Джоуль?секунда]. Отсюда размерность температуры согласно (6.4) есть [обратное время] (пояснения в [11] и в [12]). Температура ?? как эквивалент силы определена однородно с давлением как силой - в виде производной полной энергии по экстенсивной переменной. Определение тепловой энергии в виде произведения ?S однородно с определением, например, механической энергии как произведение давления (силы) на экстенсивную переменную в виде PV. Но за внешним подобием скрывается принципиальная разница - в определении энтропии как сомножителя в составе тепловой энергии существенно участвует фазовое пространство.

Для тепловых процессов существует “работа” - тепло Q (которое не есть функция состояния) и тепловая энергия ?S (функция состояния). Обе переменные имеют одинаковую размерность и одинаковую единицу измерения. В строгом виде она есть Джоуль. Однако существует другая общепринятая единица энергии и тепла в виде калории, которая есть эмпирическая единица для описания тепловых процессов (находящаяся вне общей системы размерностей физики). Между теплом и тепловой энергией существуют те же принципиальные отличия, которые были подробно пояснены выше в связи с работой и энергией.

К сожалению, необходимость подчеркнуть в учебниках тот факт, что количество тепла не есть и не может быть энергией, привела к запрету на термин “тепловая энергия” даже в тех случаях, когда он соответствует аксиоматике термодинамики и необходим. Это неправильно, создаёт путаницу и стойкое непонимание многих элементарных, но важных особенностей тепловых процессов.

Идеализацию циклического преобразования тепла в механическую работу описывает цикл Карно, который изображён на рис. 6.3 в координатах: энтропия S температура.

В силу объясненного раньше, максимальному к.п.д. цикла в координатах “температура - энтропия” отвечает прямоугольник, для которого выполняется S1 = S4, S2 = S3, ?1????2, ?3????4. Именно он получил название - цикл Карно. Образующие его прямые описывают изменения функций состояния системы. Его площадь есть работа, которая может быть получена в механической форме как результат замкнутого цикла. Сопряженная форма энергии в цикле Карно - механическая энергия, переменные которой давление P и объём V. В механических координатах цикл Карно не есть прямоугольник.

Плоскость на рис. 6.3 есть плоскость энергии. Работа, которая максимально может быть получена в циклическом процессе, изображается в этой плоскости разностью площадей прямоугольников II и I. Коэффициент полезного действия ???при производстве работы из тепла есть отношение этой разности площадей к площади прямоугольника II. Для цикла Карно оно равно:

(4)

где в нумерации индексов надо помнить о равенствах.

Обычно в связи с тепловыми машинами подчёркивают невозможность в земных условиях получить к.п.д. цикла Карно точно ? = 1, так как на Земле не встречается абсолютный нуль температуры (как минимальная температура для практических применений цикла Карно).

Главный результат С. Карно [108] в том, что к.п.д. цикла Карно не зависит от вида рабочего тела. Это общеизвестное утверждение нуждается в важных пояснениях.

Циклический процесс может быть осуществлён на основе любых форм энергии (но не менее двух). Его результатом, в частности, может быть механическая работа. Например, магнитострикционный преобразователь как циклическая термодинамическая машина [109], [110] использует магнитную и механическую энергию. Он производит механическую работу за счёт изменения магнитной энергии рабочего тела, каковым является его ферромагнитный сердечник. С хорошей точностью материал сердечника как рабочее тело может быть описан уравнениями состояния, например, вида: , где В - индукция магнитного поля, H - его напряженность, заданная током в катушке, намотанной на сердечник (рабочее тело), механические напряжения ? есть силы, отнесенные к единице его площади, ?m - относительные удлинения, а величина ? есть постоянная магнитострикции - эмпирическая константа в виде относительного удлинения (имеющая для ферромагнетиков порядок от 10-7 до 10-3). Она характеризует связь механической и магнитной энергии в рабочем теле.

К.п.д. преобразования магнитной энергии (запасаемой за счёт работы тока в катушке) в механическую работу в магнитострикционном преобразователе самым существенным образом зависит от вида рабочего тела и конкретных деталей уравнений состояния (6.6). Если рабочее тело не есть ферромагнетик, то к.п.д. магнитострикционного цикла равен нулю. В ферромагнетиках как рабочем теле для таких циклов заведомо невыгоден прямоугольник как траектория цикла в плоскости магнитной энергии. Причина заключена в свойствах ферромагнетиков (их уравнениях состояния) как рабочего тела цикла. Аналогичная зависимость результатов термодинамического цикла от вида рабочего тела справедлива для циклов, в которых работа производится за счёт химической энергии.

Только для преобразований тепла в работу, только для цикла Карно результат не зависит от вида рабочего тела.

Полезная механическая работа в цикле Карно выражается в виде:

(5)

Вторая форма энергии в цикле преобразования тепла в работу не обязательно механическая. Например, она может быть электрической или магнитной. Важно, что вторая форма энергии существует, а потому с её участием функции состояния могут изменяться так, что работа есть площадь, ограниченная путями циклического процесса. Но к.п.д. таких циклов (не механических по второй форме энергии) при той же разности температур так же не может превысить к.п.д. цикла Карно.

С учётом этого и конкретного выражения (6.7) утверждение Карно о независимости преобразования тепла в работу от вида рабочего тела состоит в том, что непосредственно в работу преобразуется изменение информации о движении молекул рабочего тела (газа или пара) - именно она есть та единственная характеристика, которая не зависит от вида вещества, образующего газ или пар. Рабочее тело в цикле Карно есть информация как физическая переменная [3], [11].

Надо отметить, что “вечные двигатели” сегодя достаточно одиозны. Им на смену пришёл бред об “энергоинформационном обмене”.

Однако взаимные преобразования энергии и информации как физической переменной существуют реально - они есть цикл Карно. Он работает в паровых и газовых турбинах, в бензиновых и дизельных двигателях, в природных процессах. К многозначительной мистической болтовне реальный энергоинформационный обмен отношения не имеет.

Цикл Карно описывает превращение тепла в механическую работу в устройствах, рабочим телом которых является информация. Понятие цикла требует возврата системы в исходное состояние. Цикл поэтому реализуем в переменных, описывающих энергию. Однако в процессе этого превращения тепловая машина потребляет и отдаёт не тепловую энергию (функцию состояния), а тепло, которое энергией не является (не есть функция состояния). Поток тепла проходит сквозь тепловую машину. В результате сопровождающих это изменений энергии возникает механическая работа.

Кстати, не мало научных работников искренне убеждены, что информация есть нематериальная переменная. Это заблуждение, хотя и привычное. Информация как физическая переменная материальна в той же мере, как любая термодинамическая переменная. Включая свет в комнате, нажимая на педаль газа в автомобиле, пользуясь холодильником вы используете взаимные превращения энергии и информации. Вопроса о нематериальности энергии (как противопоставления частице) сегодня уже нет. В той же мере нет и предмета для споров о материальности энтропии-информации как физической переменной.

В связи с циклом Карно В. Оствальдом был сформулирован принцип невозможности вечного двигателя второго рода, то есть двигателя, производящего за счёт тепла механическую работу без использования разности температур. Предыдущие объяснения показывают, что в том смысле, как это сделал Оствальд, разделять вечные двигатели на два рода причин нет. В циклическом процессе по его определению обязательно участвуют изменения энергии по разным путям. В силу определения энергии как функции состояния термодинамический цикл может стать источником работы только при участии в нём не менее двух форм энергии с перекрестно разными значениями переменных форм энергии, отличающих прямые и обратные процессы в составе цикла.

Любая переменная в циклическом процессе возвращается к одним и тем же значениям. Но ни одна из них не может оставаться постоянной на протяжении всего цикла. Тепловая энергия в этом не есть исключение. Разность температур в цикле Карно столь же необходима для получения работы, как и разность сопряжённых определяющих переменных, если цикл использует любые пары нетепловых форм энергии.

Энтропия S есть физическая переменная - мера информации. С такой точки зрения преобразование тепла в работу (и его обращение в виде циклов холодильников) уникально отличается от циклов с переменными, описывающими поля, перечисленные в начале параграфа - рабочим телом прямого и обратного цикла Карно является информация как физическая переменная. Кроме того, такие переменные термодинамики как P, V, Е, D, B, H определены в трёхмерном пространстве, а энтропия определена с участием 6N-мерного фазового пространства. Это же относится к химической энергии.

Переменные термодинамики однородны по их вкладу в полную энергию системы. Они существуют и действуют одновременно. Однако в иерархии синтеза информации об окружающей нас природе они относятся к её разным ступеням. Например, происхождение химического потенциала и химической энергии относится к уровню иерархии энтропии-информации, который определил возникновение атомов химических элементов и их составляющих.

Второе начало термодинамики

Система аксиом термодинамики приведена в любом учебнике. Её образуют три начала. Первое из них есть закон сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Про него много написано ещё в первой четверти ХХ века.

Второе начало термодинамики есть решающая аксиома термодинамики. Оно вводит в науку одно из исторически не имеющих прототипа фундаментальных понятий - энтропию S и её свойства. Хотя речь идёт о “первом принципе”, второе начало термодинамики имеет множество формулировок. Такое возможно тогда, когда в аксиоматике есть незавершённость. Её я устранил в [3], [5], [11] и в этой книге.

Для того, чтобы проиллюстрировать необходимость конкретизации аксиоматики термодинамики приведу и проанализирую более десятка наиболее известных формулировок второго начала термодинамики. При этом должен подчеркнуть, что этот список его формулировок далеко не полный, а также то, что не обсуждаются чисто математические определения энтропии. Например в книге из серии “Энциклопедия математики и её приложений”, том 12 [112], которая полностью посвящена энтропии, ни разу не упоминаются Карно, Клаузиус, Томсон, Больцман, Планк, Каратеодори, а Гиббс встречается один раз мельком в связи со второстепенным вопросом. Математика есть только язык науки. Словотворчество без оглядки на реальность окружения не имеет эффективности, достойной хорошего языка.

Надо подчеркнуть, что нижеследующий анализ не имеет цели указать на ошибочность каких-то из приведенных или не приведенных ниже формулировок второго начала термодинамики - ошибок в них нет. Речь идёт о другом - что кратко и исчерпывающе характеризует понятие об энтропии? - (в том числе и в составе известных формулировок). Следуя основополагающей для аксиоматизации работе Д. Гильберта [113], система аксиом, определяющая физическую или абстрактную переменную, должна быть полной, независимой, непротиворечивой, то есть замкнутой. Ни одна из существующих форм второго начала термодинамики этим требованиям не удовлетворяет.

Итак, некоторые из формулировок второго начала термодинамики.

Превращение, единственный конечный результат которого состоит в переводе в работу тепла, извлечённого из источника, который на всём протяжении имеет одинаковую температуру, невозможно (М. Планк).

Невозможно при помощи неодушевлённого материального двигателя непрерывно получать работу, только охлаждая какую-либо массу вещества ниже температуры самой холодной части окружающей среды (В. Томсон (Кельвин)).

Невозможно построить “вечный двигатель второго рода”, то есть периодически работающую машину, которая производила бы только подъём груза за счёт охлаждения теплового резервуара (В. Оствальд).

Тепло не может самопроизвольно переходить от более холодного к более тёплому телу (Р. Клаузиус).

Превращение механической работы в тепло может быть полным, однако обратное превращение тепла в работу обязательно должно быть неполным, поскольку всякий раз, когда количество тепла преобразуется в работу, другое количество тепла должно подвергнуться соответствующему компенсирующему изменению (М. Планк).

В силу пояснений, которые даны в предыдущем параграфе, эти формулировки тавтологично и строго утверждают, что энтропия есть функция состояния системы. Они повторяются в учебниках наиболее часто, хотя именно они наименее специфичны в описании отличия энтропии от переменных, описывающих поля в физике. Поэтому как аксиоматическое утверждение вместо них должна быть краткая и исчерпывающая формулировка - энтропия есть функция состояния системы. Тогда утверждения 1 - 5 теряют статус аксиом и становятся строго логически доказуемыми следствиями аксиомы о том, что энтропия есть функция состояния системы. Именно так формулирует второе начало термодинамики А. Зоммерфельд в своём классическом учебнике [15], разбивая свою формулировку на две части.

Каждая термодинамическая система обладает функцией состояния, называемой энтропией. Энтропия вычисляется следующим образом. Система переводится из произвольно выбранного начального состояния в соответствующее конечное состояние через последовательность состояний равновесия; вычисляются все подводимые при этом к системе порции тепла dQ, делятся каждая на соответствующую ей абсолютную температуру ? и все полученные таким образом значения суммируются. (Первая часть второго начала термодинамики.). При реальных (не идеальных) процессах энтропия замкнутой системы возрастает. (Вторая часть второго начала термодинамики). (А. Зоммерфельд).

В такой формулировке первое предложение этой аксиомы утверждает существование тепловой энергии, то есть устанавливает свойство энтропии общее со свойствами переменных, описывающих все другие поля, для которых справедливо понятие энергии.

Дальнейшее в первой части аксиомы Зоммерфельда определяет конкретный вид энтропии как функции состояния. Он задан путём описания процедуры, эквивалентной введению температуры как интегрирующего множителя в виде формулы типа (1.2). Энергия в неадиабатических процессах квантуется. Неявной констатацией этого факта в формулировке Зоммерфельда является специальная приближённая форма процедуры, описывающей переход системы между её состояниями.

Энтропия есть функция состояния системы, а тепло - нет. Формула (1.2) отражает обычные в математике преобразования, когда с помощью интегрирующего множителя произвольную функцию приводят к виду функции состояния. В этой процедуре (как она формулируется Зоммерфельдом в аксиоме 6 и используется при описании цикла Карно в любом учебнике) есть существенная особенность, которая в другой форме отображает сделанное выше замечание о квантовании.

Отец Сади Карно, образованный человек и активный деятель Французской революции, Лазарь Карно сделал работу о к.п.д. обычных механических машин. В ней он показал, что максимум их к.п.д. достигается тогда, когда в машине отсутствуют удары механических деталей друг о друга, то есть тогда, когда механические процессы обратимы. Идея безударности, обратимости была понята и использована как главная в работе Сади Карно. Для того, чтобы обеспечить безударность, цикл Карно должен быть представлен как сумма бесконечно малых обратимых циклов. Этот факт отображён в формулировке 6 упоминанием о последовательности состояний равновесия. Такое разбиение (как и у Зоммерфельда) подразумевает существование нулевого предела для “толщины элементарных циклов”, то есть нулевого предела приращений энергии. Как отмечено выше, в строгом виде такой предел невозможен. Не случайно в формулировке 6 Зоммерфельда упоминание о предельном переходе отсутствует. Поэтому ошибки в формулировке Зоммерфельда нет, но в ней присутствует умолчание.

Свойства энтропии по отношению к её приращениям выводит на первый план формулировку второго начала термодинамики, принадлежащую К. Каратеодори.

В окрестности любого адиабатически достижимого состояния имеются другие состояния, которые нельзя достичь адиабатическим и обратимым путём, то есть либо недостижимые вообще, либо такие, в которые система может попасть лишь в результате необратимого процесса (К. Каратеодори).

Эта формулировка вводит в термодинамику принципиально новое - изменения энтропии в неадиабатических процессах дискретны. Вот почему Зоммерфельд (цитирующий формулировку Каратеодори 7 в той же книге [15], в которой он приводит свою формулировку 6), умалчивает в своей формулировке о предельном переходе. Как всегда, обман природы не проходит. Поэтому среди формулировок второго начала термодинамики “скачки-удары” присутствуют в виде главнейшей идеи второго начала термодинамики - необратимости. Это отражает вторая часть формулировки Зоммерфельда 6, а также, например, следующая формулировка второго начала термодинамики.

В адиабатических процессах энтропия или увеличивается или остаётся неизменной: , где знак - больше - относится к необратимому, а знак равенства к обратимому процессу (П. Эпштейн).

Существуют формулировки второго начала термодинамики, которые вводят в аксиоматику термодинамики утверждение о детерминизме состояния максимума энтропии и его связи с равновесием.

Состояние с максимальной энтропией - наиболее устойчивое состояние для изолированной системы (Э. Ферми).

Природа стремится к переходу от менее вероятных состояний к более вероятным (Л. Больцман).

Для равновесия любой изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы во всех возможных изменениях состояния системы, при которых не изменяется её энергия, изменение её энтропии было бы нулевым или отрицательным (Дж. Гиббс).

Строго говоря, такие утверждения есть следствие процедуры нормировки энтропии (глава I), то есть установления связи количества энергии с количеством элементов системы и с величиной её энтропии.

Утверждение о том, что энтропия характеризует максимум вероятности состояния системы присутствует не только в формулировке Ферми 9, но есть главное в формулировках свойств энтропии у Больцмана 10 и Гиббса 11. Больцман впервые вводит определение энтропии типа (1.1). Гиббс нашёл для энтропии форму (1.1а).

Теперь изложу первичную формулировку второго начала термодинамики у Карно, приведенную к виду:

Максимальный к.п.д., теоретически возможный для тепловых машин, определяется лишь предельными температурами, между которыми работает машина, но не зависит от природы её рабочего тела (С. Карно).

Как было показано выше в этой главе и в [3], [5], [11] эта формулировка означает, что рабочим телом при преобразовании тепла в работу является энтропия как мера информации. В частности, эта формулировка утверждает, что информация есть физическая переменная.

Наиболее фундаментальными в масштабе науки в целом среди формулировок второго начала термодинамики являются те утверждения, в которых свойства энтропии связывают со свойствами времени и Вселенной в целом.

Энтропия - стрелка, отмеряющая время (А. Эддингтон).

Энергия Вселенной постоянна; энтропия же стремится к максимуму (Р. Клаузиус).

В природе каждый физический или химический процесс происходит таким образом, чтобы увеличить сумму энтропий всех тел, участвующих в этом процессе. В пределе, то есть для обратимых процессов, эта сумма энтропий остаётся постоянной (М. Планк).

Эти формулировки второго начала термодинамики о связи энтропии с направлением времени и о роли энтропии в определении направления самопроизвольных процессов в наглядном виде трудно сопоставимы с экспериментами. Именно здесь - в самом важном для определения понятия об энтропии как физической переменной - возник главный пробел существующей аксиоматики термодинамики.

Время необратимо. Определение необратимости времени явно, бесспорно (как это подчеркнул Эддингтон в 13) выражают свойства энтропии как физической переменной. Однако в общепринятом математическом аппарате оси пространственных координат и ось времени тождественны по своим свойствам относительно изменения направления отсчёта вдоль них. Этого быть не может “потому, что не может быть никогда”, так как это жаргонное выражение тавтологично понятию - аксиома. Стрелка потому стрелка, что имеет направление. Равноправные математические оси пространственных координат и времени не есть стрелки Эддингтона, так как для них прямое и обратное направления равноправны. Обозначения в виде стрелок на осях координат математических графиков этого не устраняют. Их можно направлять произвольно.

В той же мере, в какой невозможны “вечные двигатели”, ось координат, математически описывающая время, должна быть отлична от других математических осей. В математике известна только одна система неравноправных осей координат - функции комплексного переменного. Для них неравноправие осей координат отражает мнимая единица.

Время в таком фундаментальном виде в термодинамике не вводится. Но аксиоматически свойство необратимости времени отражает энтропия. Именно поэтому больцмановская процедура нормировки энтропии, устанавливающая количественно её свойства как характеристики максимума вероятности состояния системы (как показано в [5], [12] и в этой книге) приводит к необходимости использовать функции комплексного переменного.

Отдельно нужно остановиться на формулировке Клаузиуса 14. Именно она первично вводит понятие о “тепловой смерти Вселенной”. Концепция “тепловой смерти” сейчас не упоминается серьёзными научными работниками. Однако альтернативы ей в современной науке не было. Пусть неявно, но даже в “возникающем” Пригожина [26] присутствует цель в виде равновесия. На вопрос как и почему в пророде может происходить развитие, преодолевающее “тупик равновесия”, впервые ответ дан в работах [3], [5], [11]. Его выражает введенный в них принцип максимума производства энтропии. Что касается постулата Клаузиуса о постоянстве энергии Вселенной, то это отдельный вопрос, ответ на который дан в [12]. Кстати, ещё Э. Нетер [114] строго показала, что сохранение энергии есть следствие однородности времени. Для истории Вселенной такой постулат заслуживает самого серьезного обсуждения, а потому утверждение, что энергия Вселенной сохраняется, в период жизни Клаузиуса, несомненно, было правильным и передовым. Но сегодня оно может восприниматься только как одна из моделей в истории науки.

Можно спорить о гипотезе Большого Взрыва. Однако главное, что она утверждает в том, что есть неоднородность времени, которая особенно велика при возникновении Вселенной. Посмотрите литературу о Большом Взрыве. Несохранение энергии, которое вводит эта модель, стыдливо вуалируется. Возникновение Вселенной это есть возникновение энергии и энтропии-информации. Жизнь, человек, его разум существуют потому, что на поздних стадиях эволюции Вселенной неоднородность времени хоть и мала, но присутствует. Это означает, что энергия Вселенной не сохраняется, а растёт. Если энергия системы растёт, то в формулировках второго начала термодинамики типа 8 знак равенства невозможен - энтропия Вселенной должна расти. В частности, жизнь, человек, его разум есть выражение составляющих этого роста.

Человек удивительно самонадеян, утверждая, что может понять то, чему свидетелем он никогда не был и быть не может - возникновение Вселенной. История человечества, история науки показывают, что самонадеянность разума человека может быть оправдана только в том случае, когда он делает из своих открытий те выводы, которые из них реально следуют. Теорема Э. Нетер [114] утвержает несохранение энергии при возникновении Вселенной. Это необходимо признать в явной форме. Сохранение энергии в строгом виде означает только то, что для возникающей вновь энергии (“нарушений” закона сохранения энергии) должен быть указан источник этой энергии. Сегодня он известен [12] - время как материальная физическая переменная и его необратимость.

Если понимать формулировки второго начала термодинамики как отображение разных свойств энтропии, то в таком смысле (на основе изложенного ранее в этой книге) можно предложить ещё одну частную формулировку второго начала термодинамики.

16. Энтропия есть мера системы в фазовом пространстве, которая (по аналогии с увеличением размеров при расширении объёмов в трёхмерном пространстве), стремится к максимуму, совместимому с условиями, в которых находится система. (А. Хазен)

Из приведенного (ещё раз повторю - далеко не полного) перечисления известных формулировок второго начала термодинамики видно, что каждая из них описывает разные свойства одного и того же понятия - энтропии. Общепринято считать любую из них аксиоматическим единственным определением свойств энтропии и спорить, какое из таких определений лучше и полнее. Надеюсь, что из проведенного анализа наглядно и исчерпывающе понятно, что это не так.

Множественность формулировок второго начала термодинамики возникла и существует потому, что ни одна из них не обеспечивает полноту и замкнутость аксиоматического введения понятия о физической переменной - энтропии. Нельзя считать аксиоматическим описанием энтропии суммирование представителей групп аксиом (разбитых на группы примерно так, как выше). Например, формулировка Зоммерфельда 6 и формулировка Каратеодори 7 относятся к существенно разным моделям природы - классической и квантовой. Совместное их использование неизбежно создаёт путаницу. Полностью исключить из аксиоматики одну из них - неправильно. Это абсолютизирует только одну из моделей, когда они в природе существуют обе - модель Каратеодори при этом более общая. Но для тепловых задач общность формулировки Каратеодори обычно избыточна.

В дополнение к определениям энтропии (1.1) на основе числа возможных состояний системы (вероятностей состояний (1.1а)) или с помощью интегрирующего множителя (1.2) существует определение энтропии, использующее функцию распределения f. Его ввёл А. Эйнштейн в классической работе [115]: .

Аналогичное определение на основе вероятностей состояний использовал в своих работах К. Шеннон. Эти выражения могут быть получены как следствия (1.1) или (1.1а), а потому для аксиоматики не являются решающими.

Общепринятую классическую аксиоматику термодинамики завершает её третье начало. Его ввели работы В. Нернста 1906 г. Оно устанавливает нуль отсчёта энтропии как переменной термодинамики.

Аксиоматические свойства энтропии вводит второе начало термодинамики. Нуль её отсчёта есть аксиоматическое свойство. Поэтому неоправданно выносить определение нуля отсчёта энтропии вне рамок второго начала термодинамики

Надо отметить, что исторически термодинамика возникла как наука об общих связях тепловых процессов с механикой. Однако в современной физике уже давно её роль намного шире. Привычное название - второе начало термодинамики - оказывается неоправданно узким.

Полная и замкнутая формулировка аксиоматического определения энтропии и начал термодинамики

Из изложенного выше понятно, что необходима формулировка начал термодинамики в обычном для аксиоматики полном и замкнутом виде. Это не есть отрицание справедливости в отдельности каждой из известных индивидуальных аксиом термодинамики.

Уточнить формулировку начал термодинамики важно именно в этой работе потому, что возникновение жизни, её эволюция, возникновение и работа разума живых существ и человека есть, в первую очередь, прямой результат действия второго начала термодинамики (с учётом множественности его формулировок), а не противоречащая ему “гигантская флуктуация”. Поэтому введу полное и замкнутое аксиоматическое определение энтропии. Оно отличается от известных (не только как сумма от слагаемых), но не противоречит им.

Сначала необходимо напомнить об основных принципах аксиоматики. Для многих определение аксиомы исчерпывается тем, что она есть положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности - утверждение, которое бесспорно в силу своей очевидности. Однако такие представления далеки от реальности. Аксиомы не всегда очевидны или непосредственно убедительны. Более того, в истории науки большинство существующих сегодня аксиом возникало и закреплялось с трудом, так как они были неочевидны. Пример общеизвестен - аксиома Евклида о параллельных прямых и её изменения у Римана и Лобачевского. Аксиомы геометрии привели Гильберта к обоснованию принципов аксиоматизации [113].

Исходное для аксиомы есть система объектов, термины, выражающие свойства объектов и отношения между ними. Надо подчеркнуть, что сами объекты при этом не определяются, так же как их свойства и отношения. Высказываются только утверждения, которые должны для них выполняться. Эти утверждения и есть аксиомы. Первичное правило, по которому образуются аксиомы, не предполагает ни их очевидности, ни их истинности, ни их непосредственной убедительности! Более того, термины в составе аксиом не определяются! Строгое обоснование этого Гильберту известно не было, хотя эту особенность основ науки подчёркивал ещё Больцман. Более поздняя теорема Гёделя о неполноте (подробно о ней в последней главе этой книги) строго доказывает неизбежность и неустранимость такого подхода к аксиоматике.

Формулировка аксиом выделяет из совокупности объектов, присущих им свойств и отношений, класс объектов, отличающихся тем, что для них эти аксиомы предполагаются выполненными.

Аксиомы (в силу пояснённого выше) произвольны. Поэтому первое, что необходмо сделать после формулировки аксиом - убедиться, что в реальном мире есть объекты, для которых (хотя бы приближенно) такие аксиомы выполняются. Этот процесс называют - интерпретация системы аксиом. Любая формулировка аксиом получает право на существование только по итогам процесса их интерпретации - сопоставления с реальностью.

Как исходная составляющая математического и физического аппарата система аксиом должна быть:

непротиворечивой, то есть ни одна из аксиом не должна исключать другую;

независимой, то есть ни одна из них не должна являться логическим следствием других;

полной, то есть добавление к ней новых аксиом должно привести к противоречиям.

Для аксиом существует единственный путь их проверки - длительное, с участием многих научных работников сопоставление с реальностью. В частности, требования непротиворечивости, независимости, полноты системы аксиом могут быть проверены только этим же способом.

Как видно из сопоставления с реальностью шестнадцати аксиоматических формулировок второго начала термодинамики, приведенных в предыдущем параграфе, ни одна из них не удовлетворят всем перечисленным выше обязательным требованиям к аксиомам. Среди не перечисленных там формулировок ситуация аналогичная.

Ниже сформулирую систему аксиом, определяющих энтропию и основы термодинамики в непротиворечивом, независимом и полном (замкнутом) виде.

Первое, что при этом необходимо сделать - заменить аксиомы типа 1 - 5 в предыдущем параграфе одним утверждением: энтропия есть функция состояния системы. Это бесспорно хотя бы потому, что такая замена уже существует, например, в формулировках типа 6. Она не противоречит ни одной из формулировок типа 1 - 5, а только придаёт им краткую исчерпывающую форму. Такое аксиоматическое утверждение выделяет в тепловых и информационных взаимодействиях общее с другими разделами физики. В частности, это распространяет аксиомы термодинамики на любой вид информации, представленной в больцмановском виде, даже если она сугубо абстрактная.

Далее надо ввести аксиоматическое утверждение о математическом выражении энтропии. Вторая часть аксиомы 6 основой для этого быть не может. Как отмечалось, при математическом выражении энтропии с участием интегрирующего множителя (как в 6) возникают неясности в альтернативе непрерывности или дискретности приращений энтропии. Поэтому от определений энтропии типа 6 с использованием интегрирующего множителя как глобальных следует отказаться. За основу аксиоматики надо принять форму энтропии Больцмана - Гиббса, то есть выражения (1.1) или (1.1а). В результате формула (1.2) из аксиоматической превращается во вторичную.

В определении энтропии (1.1) или (1.1а) входит постоянный множитель Kk . Необходимо его аксиоматическое определение - единица измерения энтропии (множитель Kk) есть иерархический адиабатический инвариант данной системы с размерностью действия, величину которого определяет принцип максимума производства энтропии. В механике действие есть функция Ляпунова системы.

Множитель Kk - физически определённая единица измерения энтропии любой конкретной системы - позволяет описывать энтропию как иерархическую переменную. Для абстрактных систем, в которых возможно введение потенциалов, функций состояния (например, в случае марковских случайных процессов) определения больцмановской энтропии как характеристики максимума вероятности состояния системы приобретают смысл, который однороден с физикой.