Курсовая работа

Расчет оптических функций халькогенидов свинца, теллуридов олова и германия

Оглавление

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1.Кристаллическая структура халькогенидов свинца, теллуридов олова и германия

1.2 Обзор известных экспериментальных данных

Глава 2. Методика расчета оптических функций

2.1 Фундаментальные оптические функции

2.2 Дисперсионные соотношения Крамерса - Кронига

2.3 Правила сумм для оптических функций

2.4 Расчет оптических функций по спектрам отражения

2.5 Расчет ₁ и Re^-1 на основе известных спектров ₂ и -Im^-1

2.6 Расчет n_eef и _eef

2.7 Разложение интегральных спектров на компоненты с помощью объединенных диаграмм Арганда-

Глава 3. Оптические функции CdCl₂

3.1 Расчет оптических функций по спектру -Im^-1

3.2 Расчет оптических функций по спектру отражения для Ec

3.3 Расчет оптических функций по спектру отражения для E||c

3.4 Разложение спектров е₂, -Im^-1

3.5 Сопоставление оптических функций в зависимости от поляризации

Глава 4. Оптические функции Cd Br₂

4.1 Расчет оптических функций по спектру -Im^-1

4.2 Расчет оптических функций по спектру отражения для Ec

Глава 5. Оптические функции CdI₂

Глава 6. Сопоставление оптических функций трех кристаллов в зависимости от аниона

Глава 7. Оптические функции GeTe

Глава 8. Оптические функции соединений Pb_1-xSn_xTe

Заключение

Список литературы

Введение

Практическое применение твердых тел зависит от степени их изученности. В настоящее время исследование энергетической структуры вещества является одним из важнейших направлений в физике твердого тела. Существуют как теоретические, так и экспериментальные методы изучения электронной структуры и собственных энергетических уровней в широкой области энергии фундаментального поглощения.

Наиболее полная информация об электронной структуре заключена в наборе фундаментальных оптических функций (коэффициент отражения R, показатель преломления n и поглощения k, реальная ₁ и мнимая ₂ части диэлектрической проницаемости и др.). При исследовании свойств твердого тела необходим анализ всех или большинства функций этого комплекса в широкой области энергии собственного поглощения.

Расчет же полного комплекса оптических функций, а также разложение спектров ₂ и характеристических потерь -Im^-1 на элементарные составляющие до сих пор никем не выполнялись. Поэтому исследование энергетических структур кристаллов халькогенидов свинца, теллуридов олова и германия представляет очень актуальную задачу.

Глава 1. Литературный обзор

1.1 Кристаллическая структура халькогенидов свинца (`PbS, PbSe, PbTe), теллуридов олова и германия (SnTe, GeTe)

Соединения группы A^IVB^VI кристаллизуются с простой решеткой типа NaCl (PbS, PbSe, PbTe, SnTe) или со сложными анизотропными структурами (PbO, SnO₂, SnS, SnSe, SnS₂, SnSe₂, GeO₂, GeS, GeSe,GeTe, GeS₂, GeSe₂, SiO₂, SiS₂, SiSe₂, SiTe₂), что и определяет большое разнообразие их различных свойств и применений. Теоретически и экспериментально их собственные электронные спектры исследованы весьма неодинаково: наиболее подробно - для халькогенидов свинца, наименее - для халькогенидов кремния. Энергия запрещенной зоны меняется от 0.2 (PbSe) до 7 эВ (SiO₂).

Монохалькогениды Pb, Sn, Ge составляют изоморфное семейство со средней валентностью ”5” в отличие от алмазоподобных соединений со средней валентностью “4”, причем этих двух групп кристаллов тип и характер ковалентных межатомных связейсильно различаются - p³ и sp3 соответственно. Химическая связь в A^IVB^VI весьма сложна, включает три составляющие (ковалентная, ионная, металлическая), соотношения между которыми определяет три структуры монохалькогенидов; причем металлизация может играть большую роль при стабилизации структуры.

Подробное рассмотрение графика зависимости среднего квантового числа от переноса относительно заряда показало, что по структуре все монохалькогениды хорошо разделяются на три типа: ромбические (GeTe), орторомбические (GeS, GeSe, SnS, SnSe), и типа NaCl (PbS, PbSe, PbTe, SnTe, GeTe). При этом хорошо объясняются полиморфные превращения в зависимости от температуры или давления: SnTe, PbS, PbSe и PbTe меняют структуру типа NaCl на орторомбическую при повышении давления p>18, 25, 42, 43 кбар соответственно, а GeTe - ромбоэдрическую на NaCl при p>35 кбар; при увеличении температуры до T>373, 423, 473 и 673 K GeTe переходит из ромбоэдрического в NaCl, а SnTe - наоборот, из орторомбических в NaCl cсоответственно. До сих пор не решен количественно вопрос о соотношении трех конкурирующих компонент межатомных составляющих сил взаимодействий. Обычно распространение хорошо известной теории химической связи в A^IIIB^V на A^IVB^VI приводит к противоречиям: одни опыты как будто свидетельствуют об очень большой ионности A^IVB^VI, другие - о ковалентности.

Выход из этих противоречий предлагается на основе учета металлизации связей и вывода о том, что в A^IVB^VI связи не являются преимущественно ионными.

Благодаря особенностям диаграмм состояния многие соединения A^IVB^VI в отличие от других бинарных кристаллов кристаллизуются с большими отклонениями от стехиометрии, что существенно усложняет получение совершенных образцов с малой концентрацией носителей тока и исследование их свойств.

По-видимому, это и объясняет сравнительно небольшой объем известных до недавнего времени исследований многих из A^IVB^VI за исключением кристаллов группы PbS, изучение свойств которых форсировалось благодаря их большим и разнообразным прикладным применениям.

С самого начала следует подчеркнуть, что теория экситонов группы A^IVB^VI нет, а форма длинноволнового поглощения рассмотрена в основном только для PbX. Это существенно затрудняет расшифровку тонкой структуры зон вблизи E~E_g.

Объем элементарной ячейки равен 0.2096, 0.2292, 0.2746 и 0.216 нм³ для PbS, PbSe, PbTe и GeTe (SnTe) соответственно. Число функциональных единиц z=4 для всех кристалов.

1.1.1. Халькогениды свинца.(`PbS, PbSe, PbTe)

Кристаллы группы PbS резко выделяются среди известных соединений благодаря четырем особенностям - положительной величине температурного смещения E_g, громадной величине статистической диэлектрической постоянной, аномалии изменения величины E_g в ряду PbS - PbSe - PbTe и локализациям экстремумов зон, определяющих E_g, не в Г, а в L. Они кристаллизируются в гранецентрированной кубической решетке типа NaCl с четырьмя “молекулами” в элементарной ячейке и координационным числом для каждого иона 6; поэтому ЗБ у них такая же, как у A^IV.

1.1.2. Теллуриды олова и германия. (SnTe, GeTe)

Теллуриды олова обычно кристаллизуются в кубической гранецентрированной решетке типа NaCl, как и PbX(0⁵_h), которая может переходить в ромбоэдрическую при 100 К, а при давлении Р>18 кбар - в орторомбическую. Теллурид германия имеет три модификации: низкотемпературная ромбоэдрически искаженная решетка типа NaCl с восьмью атомами в элементарной ячейке -a(c⁵_3v); при повышении температуры до 663 - 733 К a - GeTe переходит в b - GeTe типа NaCl; орторомбическая решетка типа SnS(D¹⁶_2h) g - фаза; при Р>35 кбар a->b.--Из-за особенностей диаграмм состояний оба теллурида получаются очень сильно легированными (до 10²⁰ см^-3), что существенно затрудняет установление ожидаемых сравнительно малых различий между электронными спектрами модификаций типа NaCl и других возможных низкосимметричных структур. Это обстоятельство в сочетании с большими трудностями расчета зон кристаллов с орторомбической или ромбоэдрической решеткой привело к тому, что зоны SnTe, GeTe и многие их свойства обсуждаются в модели решетки типа NaCl, как у PbX. Анализ данных теории и опыта показывает, что SnTe и GeTe весьма близки к кристаллам типа PbTe.

1.2 Обзор известных экспериментальных данных

Заметим, что ни кто еще не рассчитывал полный комплекс оптических функций данных кристаллов и не проводил разложение спектров ₂ и характеристических потерь.

Поэтому целью нашей работы является:

1. Рассчитать полный комплекс оптических функций CdСl₂, CdВr₂ и CdI₂ в интервале энергий 4-11 эВ по известным спектрам отражения работ [1,2].

2. Рассчитать полный комплекс оптических функций кристаллов галогенидов кадмия широкой области энергий (до 50 эВ) по спектру функции объемных характеристических потерь -Im^-1 работы [3].

3. Выполнить разложение спектров ₂ и -Im^-1 всех трёх кристаллов на элементарные лоренцевсткие осцилляторы и определить из параметры.

4. Сопоставить результаты расчетов оптических функций в зависимости от анионов.

5. Выполнить сравнение оптических функций зависимости от поляризации света (Ес, Е||с) и способа подготовки поверхности образцов.

6. Провести сопоставление разложений спектров ₂ и -Im^-1 в зависимости от анионов и поляризации света.

7.

Глава 2. Методика расчета оптических функций по соотношениям Крамерса - Кронига

2.1 Фундаментальные оптические функции

Для изучения свойств твердых тел большую роль играют следующие оптические функции: коэффициент отражения R, показатель преломления n и поглощения k, реальная е₁ и мнимая е₂ части диэлектрической проницаемости, электропроводность , функции объемных -Imе^-1 и поверхностных -Im(1+е)^-1 характеристических потерь электронов и их реальные части Reе^-1 и Re(1+е)^-1, эффективную диэлектрическую проницаемость е_eff, эффективное число электронов, участвующих в переходах, n_eff, функцию е₂Е², пропорциональную объединенной плотности состояний, фазу отраженной волны . Все эти функции взаимосвязаны.

Диэлектрическая проницаемость

Многие оптические явления находят удовлетворительное объяснение в предположении, что связь между векторами электрической индукции D и напряженностью электрического поля E локальна во времени и пространстве:

D = еE = E + 4рP, (2.1)

где P - вектор поляризации,

е - постоянная величина, называемая диэлектрической проницаемостью.

Это значит, что вектор D в любой точке пространства и в любой момент времени t определяется значением вектора Е в той же точке и в тот же момент времени. Однако, это справедливо лишь для статических и медленно меняющихся электромагнитных полей. Если связь между D (r, t) и E (r, t) не имеет локального и синхронного характера, то говорят о пространственной и временной дисперсии. Учтем сначала нарушения последнего условия - синхронности. Для простоты предположим, что среда является однородной.

Временная нелокальность проявляется в оптической дисперсии. Допустим, что от момента t = 0 в течение времени dt среда подверглась воздействию электрического поля Е. Такой «электрический толчок» возбудит вынужденные колебания электронов, ядер, ионов. Эти колебания не прекращаются после окончания действия поля в силу инерционных свойств частиц. В рамках линейной термодинамики поляризация среды dР пропорциональна Edt. Предполагая, что среда однородна и изотропна, для вектора dP в момент времени t можно написать

dP(t) = f(t)E(0)dt, (2.2)

где функция f(t) зависит только от свойств среды и от времени t.

Функция f(t) должна обращаться в нуль при t = 0, так как из-за своей инерционности частицы не могут мгновенно получить конечные смещения. Она должна обращаться в нуль и при t = ?, так как все реальные среды диссипативны, так что любое свободное колебание в конце концов должно затухнуть.

Если поле Е действует в течение длительного промежутка времени, то этот промежуток можно разбить на бесконечно малые промежутки и таким путем свести к действию последовательных импульсов. Вклад в поляризацию среды в момент времени t, внесенный более ранним электрическим толчком Е(t')dt', будет

dP(t) = f(t - t')E(t')dt'.

Так как при сделанных нами предположениях справедлив принцип суперпозиции, то полный вектор поляризации будет

P(t) = . (2.3)

Следовательно, из (1) и (3) можно получить

D(t) = E(t) + 4р . (2.4)

Интеграл в правой части (4) может быть записан в виде

,

если сделать дополнительное предположение, что

f(t - t^') = 0

при t' > t. То, что значение D(t) определяется значениями E(t') в предшествующие моменты времени, следует из принципа причинности.

Перейдем к фурье-представлению функций D(t), E(t) и f(t):

D(t) = , (2.5)

E(t) = , (2.6)

f(t) = . (2.7)

Подставляя (2.5), (2.6), (2.7) в (2.4), получим

e^-iщtdt = 0.

Так как интеграл должен равняться нулю для всех значений t, то

D(щ) = (щ)E(щ), (2.8)

где

(щ) = 1 + 4рf(щ) = 1 + 4рf(t)e^iщtdt. (2.9)

Таким образом, для монохроматического поля связь между D и E формально может быть записана в локальной форме с помощью диэлектрической проницаемости как функции частоты щ. Оптическая дисперсия, т.е. зависимость е от щ, эквивалентна нелокальной связи по времени между D и E. Поэтому такую дисперсию называют временной или частотной.

Так как f(t) - вещественная функция, то из (2.9) следует, что диэлектрическая проницаемость комплексна, т.е.

(щ) = е₁(щ) + iе₂(щ). (2.10)

Кроме того, (щ) при изменении знака щ переходит в *(щ), откуда

е₁(-щ) = е₁(щ), е₂(-щ) = -е₂(щ), (2.11)

т.е. вещественная часть диэлектрической проницаемости четная, а мнимая - нечетная функции щ.

Показатель преломления

Из курса общей физики [4] известно, что для статических электромагнитных полей диэлектрическая проницаемость связана с показателем преломления N соотношением Максвелла

ем = N², (2.12)

где м - магнитная проницаемость среды.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только немагнитные среды, то можно положить м = 1. В случае поглощающих сред принято рассматривать комплексный показатель преломления

= n + ik (2.13)

предполагая, что он связан с комплексной диэлектрической проницаемостью (1.10) также, как и обычные N и е соотношением Максвелла. Отсюда следует, что

е₁(щ) = n² - k², (2.14)

е₂(щ) = 2nk. (2.15)

Для того чтобы определить физический смысл величин n и k , рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны

E=E₀expi(t-kr) (2.16)

вдоль оси х в среде с диэлектрической проницаемостью .

Подставляя (2.16) в волновое уравнение:

,

получим

k²=(/c)²=(/c)²

(здесь мы переобозначили волновой вектор как k), или

. (2.17)

То есть волновой вектор k тоже должен быть комплексным. Подставим это значение в (2.16)

E=E₀expexp (2.18)

Отсюда видно, что в области прозрачности совпадает с обычным показателем преломления N, а k, называемый показателем поглощения, определяет затухание амплитуды электрического поля. Величину k можно как же определить как отношение длины волны света в вакууме к глубине проникновения света в вещество.

Коэффициент поглощения

При распространении света в поглощающей среде справедлив закон Бугера:

I=I₀e^-x, (2.19)

где I - интенсивность прошедшего,

I₀ - интенсивность падающего, - коэффициент поглощения.

Так как I ~ E² , то из (2.19) и (2.18) следует

(2.20).

Электропроводность

Выражение для волнового вектора (2.17) мы вывели в предположении, что среда является непроводящей. В общем случае для проводящей среды уравнение имеет вид

,

как это следует из уравнений Максвелла. Здесь - диэлектрическая постоянная, определяющая вектор индукции D, - удельная электропроводность, определяющая ток j по закону Ома (j=E). Для плоской волны получаем, что комплексный волновой вектор равен

. (2.21)

То есть комплексная диэлектрическая проницаемость

, (2.22)

а её мнимая часть

. (2.23)

Коэффициенты отражения и пропускания

Рассмотрим отражение света от поверхности твердого тела с показателем преломления и диэлектрической проницаемостью . Разложим электрическое поле каждой волны (падающая, отраженная и преломленная) на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости падения, другая перпендикулярна к ней. Они обозначаются индексами || и соответственно. В этом случае для отраженной и прошедшей волн известны формулы Френеля

r = , d = ,

r_|| = , d_|| = . (2.24)

Здесь - угол падения, - угол преломления, r_{, ||} - коэффициенты Френеля для отраженной волны, d_{, ||} - коэффициенты Френеля для прошедшей волны. Эти коэффициенты по определению равны отношениям напряженностей соответствующих волн (отраженной или преломленной) к напряженности падающей волны. Отношение энергии отраженной волны к энергии падающей волны называется коэффициентом отражения. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то формулы (2.24) дают

R ? |r|² = ¦¦², R_|| ? |r_|||² = ¦¦². (2.25)

Отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей волны называется коэффициентом пропускания

T = ¦¦¦¦², T_|| =¦¦¦¦².(2.26)

Нетрудно проверить, что

R + T = R_|| + T_|| = 1.

При энергиях падающей электромагнитной волны меньших энергии запрещенной зоны Е_g (область прозрачности) все коэффициенты Френеля вещественны, так как показатель поглощения k = 0. Отсюда следует, что отражение и преломление света либо не сопровождается изменением фазы, либо фаза скачком изменяется на 180⁰. Иной случай реализуется когда среда поглощает свет: показатель поглощения отличен от нуля и, следовательно, r и r_|| комплексны

r = |r|eⁱ, r_|| = |r_|||e^i||. (2.27)

Это значит, что фаза волны испытывает скачок , вообще говоря, отличный от нуля или р. Для нормального угла падения из (2.25) и (2.27) следует

r = , R = R_|| = R = , tg = - . (2.28)

Величина равна изменению фазы волны при отражении, однако далее мы будем называть ее просто фазой отраженной волны, предполагая, что для падающего света фаза равна нулю.

Характеристические потери

Диэлектрическую проницаемость, фигурирующую в описании оптических свойств, называют поперечной диэлектрической проницаемостью е. Это связано с тем, что она обусловлена взаимодействием твердого тела с поперечным электромагнитным полем. Интересно рассмотреть другую диэлектрическую проницаемость, которая используется при анализе реакции вещества на продольные поля. К проблемам такого рода относятся плазменные колебания и электронные возбуждения, возникающие в результате прохождения быстрых заряженных частиц. При рассмотрении этих явлений свойства вещества характеризуются продольной диэлектрической проницаемостью е_||. Скорость, с которой быстрая заряженная частица передает электронному газу импульс ћК и энергию ћщ, описывается выражением

W(K, щ) = - . (2.29)

Для изотропных твердых тел в приближении случайных фаз

е (К, щ) = е_|| (К, щ).

Таким образом, можно установить связь между оптическими свойствами и явлениями, возникающими при прохождении быстрых частиц через вещество. Часто характеристические потери быстрых частиц в среде упрощенно рассматривают через функцию потерь -Imе^-1

-Imе^-1 = -Im() = . (2.30)

Reе^-1 = Re() = . (2.31)

В случае малости е₂ и близости е₁ к нулю функция потерь имеет очень интенсивную и широкую полосу, обусловленную возбуждением всех валентных электронов как целого, называемого плазменными колебаниями или плазмонами. Кроме плазмонной полосы, функция -Imе^-1 содержит много других полос, обусловленных продольными компонентами переходов.

Необходимо отметить, что функция -Imе^-1 характеризует потери энергии в объеме среды. Однако плазменные колебания могут возбуждаться также и в тонком поверхностном слое. Функция потерь для поверхностных явлений имеет вид

-Im(1+е)^-1 = -Im = . (2.32)

Re(1+е)^-1 = Re = . (2.33)

2.2 Дисперсионные соотношения Крамерса - Кронига

Всего было введено пять комплексных оптических функций

r = eⁱ,

= е₁ + iе₂,

= n + ik,

^-1 = ,

(1 + )^-1 = .

Отметим, что для компонент пар R и , е₁ и е₂, n и k и др. связь не имеет аналитического вида. Каждая из этих функций выражается только через две другие. В то же время эти функции обладают такими свойствами, что для них справедливы интегральные соотношения Крамерса - Кронига.

Для реальной и мнимой частей диэлектрической проницаемости они выглядят следующим образом

е₁(щ₀) - 1 = , (2.34)

е₂(щ₀) = . (2.35)

Для того, чтобы получить соотношения Крамерса - Кронига для коэффициента отражения и фазы вычислим натуральный логарифм комплексного r

ln r = ln + i

и выберем его в качестве функции F, где F - аналитическая комплексная функция F()=F_R()+iF_I(), удовлетворяющая условиям |F|>0 при >. Тогда

(Е₀) = , (2.36)

ln - 1 =. (2.37)

2.3 Правила сумм

При частотах, больших любой собственной частоты среды, отклик на электромагнитное возмущение оказывается таким же как отклик системы свободных электронов. Это предположение и особенности соотношений Крамерса-Кронига позволили установить большое семейство правил - сумм. Которые содержат ряд свойств и ограничений для оптических функций. Рассмотрим лишь наиболее простые из них.

Для негиротропной среды, пренебрегая пространственной дисперсией, можно вывести следующие соотношения

, (2.38)

, (2.39)

, (2.40)

, (2.41)

где _p - частота плазменных колебаний, для свободных электронов равная

, (2.42)

N - число электронов в единице объема (электронная плотность), e, m - заряд и масса электрона.

Для изотропной среды можно также записать

, (2.43)

, (2.44)

. (2.45)

Правила сумм (2.38) и (2.39) характеризуют временные изменения оптических постоянных. Из них следует, что даже в случае изменения поля поляризация остается плавноизменяющейся функцией. В этом проявляется инерционность отклика системы электронов. Из соотношений (2.43) и (2.45) следует, что среднее значение показателя преломления равно единице независимо от наличия при нем множителя - показателя поглощения.

Из правил сумм (2.40), (2.41) и (2.44) с учетом (2.42) можно определить электронную плотность N

,

,

.

На основе этих выражений обычно рассматривают эффективное число валентных электронов n_eff , участвующих в процессах формирования е₂ , k и Imе^-1, до определенной частоты ₀

n_eff (е₂) = , (2.46)

n_eff (k) = , (2.47)

n_eff (Imе^-1) = . (2.48)

При больших энергиях

n_eff (е₂) = n_eff (k) = n_eff (Imе^-1) = N.

Однако в области энергии собственного поглощения они могут значительно изменяться. Это связано с тем, что функции е₂, k, Imе^-1 обусловлены разными физическими процессами.

Аналогично вводят эффективную диэлектрическую проницаемость

е_eff = 1 + . (2.49)

Это выражение легко получить, положив в (2.34) ₀ = 0. В пределе ₀> , как это следует из (2.34), должно выполняться

е_eff () = е₁(0) ? е₀,

т.е. эффективная диэлектрическая проницаемость стремится к статической диэлектрической постоянной.

Так как подынтегральные выражения в (2.46) - (2.49) положительны, то функции n_eff и е_eff являются возрастающими. В области прозрачности n_eff = 0, е_eff = 1, а области интенсивных переходов они могут иметь изломы. При больших энергиях обе функции часто имеют малый наклон и близки к насыщению.

2.4 Расчет оптических функций по спектру отражения

Расчет фазы отраженной волны на основе известного спектра отражения

Для того чтобы рассчитать фазу (Е) с помощью соотношений Крамерса - Кронига, необходимо знание коэффициента отражения во всей бесконечной области длин волн. Естественно, экспериментально R(E) измеряют только в ограниченном интервале энергии (Е_а, Е_b). Поэтому возникает проблема экстраполяции R(E) в неизмеренные области энергии. Однако, прежде чем перейти к непосредственному изучению методов экстраполяции спектра отражения, рассмотрим важное свойство соотношения Крамерса - Кронига (2.36).

Интегрируя (2.36) по частям, легко получить следующее выражение:

(Е₀) = . (2.50)

Отсюда видно, что основной вклад в значение фазы дают окрестность энергии Е₀ и форма R(dR/dE) в этой области. Благодаря этим особенностям, вклад неизмеренных областей оказывается существенным только в сравнительно небольших интервалах энергии вблизи Е_а и Е_b. Тем не менее, возможно еще более уменьшить влияние экстраполяции. Допустим, что при некоторой энергии Е_р из независимых измерений известно значение фазы _р = (Е_р). Тогда можно записать:

. (2.51)

Вычитая (2.51) из (2.36), получим соотношение Крамерса - Кронига, называемое обычно разностным:

 + ,

(Е₀) = Е₀ . (2.52)

Преимущество этого разностного соотношения заключается в том, что сходимость интеграла теперь типа Е^-4, а не Е^-2, то есть существенно быстрее и роль неизмеренных областей заметно уменьшается.

Усовершенствованный метод расчета (Е)

Разработан метод расчета фазы (Е) с помощью разностного соотношения (2.52). Разделим полную фазу на три части. При этом

_I(Е₀) = , (2.53)

_II(Е₀) =E₀, (2.54)

_III(E₀)= . (2.55)

Расчет фазы в области энергии (E_a, E_b )

Предположим, что в интервале энергии (E_a, E_b) коэффициент отражения задан в виде дискретного набора E_i и R_i (i = 0…N, E₀ = E_a,, E_N = E_b). Для удобства вычислений рассчитаем также значения lnи полученный набор E_i и ln интерполируем кубическими сплайнами. В каждом интервале (E_i-1, E_i) функция ln представляется в виде полинома:

ln= a_i + b_i(E - E_i-1) + c_i(E - E_i-1)² + d_i(E - E_i-1)³, (2.56)

где E (E_i-1, E_i).

Коэффициенты полинома легко вычисляются стандартными численными методами. Тогда формулу (2.54) можно записать в виде:

_II (Е') = E'. (2.57)

Интегралы в (2.57) можно вычислить аналитически:

= [

E_p(a_i + b_i(E' - E_i-1) + c_i(E' - E_i-1)² + d_i (E' - E_i-1)³ ) ln¦E' - E¦-

- E'(a_i + b_i(E_p - E_i-1) + c_i(E_p - E_i-1)² + d_i (E_p - E_i-1)³ ) ln¦E_p - E¦-

- E_p(a_i - b_i(E' + E_i-1) + c_i(E' - E_i-1)² - d_i (E' - E_i-1)³ ) ln¦E' - E¦+

+ E'(a_i - b_i(E_p + E_i-1) + c_i(E_p + E_i-1)² - d_i (E_p + E_i-1)³ ) ln¦E_p + E¦] (2.58)

Соотношение (2.54) имеет особенности при энергиях Е = Е' и Е = Е_р. Покажем, что при интерполировании кубическими полиномами интеграл сходится в смысле его главного значения. Очевидно, что в выражении (2.58) при Е = Е' обращается в бесконечность только слагаемое с ln¦E' - E¦. Пусть Е' = Е_n. Тогда в сумме (2.57) будет два таких слагаемых с i = n и i = n + 1:

E_p(a_n + b_n(E' - E_{n -1}) + c_n(E' - E_{n -1})² + d_n (E' - E_{n -1})³ ) ln¦E' - E_n¦-

E_p(a_n+1 + b_n+1(E' - E_n) + c_n+1(E' - E_n)² + d_n+1 (E' - E_n)³ ) ln¦E' - E_n¦=

E_p[ln ln¦E' - E_n¦- a_n+1 ln¦E' - E_n¦= 0,

так как по определению кубических сплайнов выражение в скобках в первом слагаемом равно значению интерполируемой функции в точке Е_n = Е', а во втором слагаемом коэффициент сплайна a_n+1 также равен ln. Аналогично можно показать, что и при Е = Е_р интеграл сходится.

Расчет фазы в области энергии (Е_b, )

Применим в этом интервале неизмеренного коэффициента отражения экстраполяцию согласно Филиппу и Тафту:

R = R(E_b) .

Подставляя эту формулу в выражение (2.55), получаем:

_III(E') = =

. (2.59)

Интеграл в данном случае проще всего вычислить численно.

Параметр р рассчитывается из условия равенства полной фазы нулю в области прозрачности.

Расчет фазы в области энергии (0, Е_а)

Значение (Е') можно представить в виде:

(Е') = ^*(Е') + (Е'), (2.60)

где ^*(Е') - истинное значение, (Е') - отклонение, обусловленное погрешностями экстраполяции R(Е). Тогда

 ^*(Е') + (Е') = (Е_р) ,

где R(Е) отлично от нуля только в интервале (0, Е_а).

Разложим логарифм под интегралом в ряд относительно R и ограничимся при этом двумя слагаемыми:

^*(Е') + (Е') = (Е_р) =

(Е_р) .

Легко видеть, что первые два слагаемые тождественно равны ^*(Е'). Таким образом

(Е') = . (2.61)

Разобьем интервал (0, Е_а) на N областей (E_i-1, E_i), i = 0…N (E₀ = 0, E_N = E_a) и введем для удобства обозначения

f_i = R(Е_i)/R(Е_i), E'(E_p² - E'²) = (E').

Применяя для вычисления интеграла в (7.9) метод трапеций, можно записать:

 (Е') = (E') =

(E') (2.62)

Записывая выражение (7.10) для Е' = Е_j, (j = 0…N), получим систему алгебраических N + 1 уравнений с неизвестными переменными f_i. Решив ее, легко найти поправки R(Е_i). Значения (Е) в области прозрачности можно рассчитать с помощью любой экстраполяции R(Е) (например, R = R(E) = const). Так как в области прозрачности ^*(Е) = 0, то полученные при расчете значения и будут равны (Е). Далее с помощью поправок R найдем новые значения коэффициента отражения. Полученный результат можно использовать для второго цикла расчетов (Е) и R и т.д. Для удобства можно также объединить параметры Е_р и Е_а. Тогда _р = (Е_р) = 0 и Е_р ограничивает интервал экстраполяции коэффициента отражения со стороны больших энергий. Кроме того, систему (7.10) необходимо дополнить условием f_N = 0, (R(Е_N) = 0), а коэффициенты интерполяции R(E) в области (Е_а, Е_b) рассчитывать при условии непрерывности производных в точке Е_а. Таким образом оказываются обеспечены условия гладкости сшивания двух интервалов энергии коэффициента отражения.

2.5 Расчет ₁ и Re^-1 на основе известных спектров ₂ и -Im^-1

Для расчета реальных частей функций и ^-1 необходимо воспользоваться соотношением (2.34). Задачу экстраполяции ₂(Е) и -Im^-1 в неизвестные интервалы энергии облегчают два факта. Во-первых, в области прозрачности эти функции равны нулю. Во-вторых, в области больших энергий для обеих функций наблюдается резкое снижение интенсивности и, соответственно, вклад этой области будет весьма мал. Это наталкивает на мысль использовать в области больших энергий экстраполяцию вида

(2.63)

Здесь А, В, Е - параметры экстраполяции, которые можно найти из условий непрерывности функции и ее двух производных в точке Е = Е_b.

А = , (2.64)

, (2.65)

. (2.66)

В области энергии (Е_a, E_b) также, как в случае расчета фазы интерполируем заданную функцию кубическими сплайнами. Тогда

, (2.67)

где интеграл равен

. (2.68)

2.6 Расчет n_eef и _eef

Для вычисления функций с помощью соотношений (2.46)-(2.49) необходимо знать подынтегральную функцию в области энергии (0, Е₀). Так как ₂, k и -Im^-1 в области прозрачности равны нулю, то расчет интегралов не представляет никаких трудностей.

Воспользуемся вновь интерполяцией кубическими сплайнами

, (2.69)

, (2.70)

где

, (2.71)

(2.72)

Здесь оба интеграла не имеют особенностей в области интегрирования

2.7 Разложение интегральных спектров на компоненты с помощью объединенных диаграмм Арганда

Разложение спектра е₂

Оптические спектры возникают как результат наложения многих компонент, обусловленных междузонными переходами, то есть представляют собой интегральные кривые. При детальном анализе, сопоставлении с теорией возникает принципиально важная проблема разделения интегральной кривой на элементарные составляющие и определение их параметров. Обычно выполняют разложение спектра е₂.

Общепринято теоретически представлять кривую е₂ как набор симметричных невзаимодействующих лоренцевских осцилляторов. Однако каждый из них имеет три параметра. Кроме того, неизвестно число осцилляторов. Поэтому возникла идея попытаться ограничить эту неоднозначность учетом тесной взаимосвязи оптических функций. В наиболее простом виде эта связь проявляется на диаграмме Арганда, т.е. зависимости е₂=f(е₁). Для отдельного осциллятора диаграмма Арганда представляет собой кривую, близкую к окружности:

, ( 2.73 )

где -максимальное значение е₂,

- значение е₁ при E=0,

- константа,

Е₀ - определяет положение максимума полосы,

Г - полуширина полосы.

 (2.74)

(2.75)

На объединенных кривых Арганда обычно есть участки, хорошо описываемые дугами окружности и соответствующих наиболее интенсивным структурам спектров е₂. Построив окружность, включающую подобный участок, определим параметры осциллятора и вычтем его из е₂, е₁. На диаграмме для остатков этих функций снова выделятся части, хорошо аппроксимируемые окружностями, для которых процедура вычислений повторяется. Данный процесс следует выполнять, пока на остатках кривых Арганда имеются участки, представляющие части окружности. Корме энергии, полуширины и высоты, важно знать вероятность перехода. Её обычно определяют через площадь полосы, которую легко вычислить, проинтегрировав (2.75):

, (2.76)

при чем это выражение значительно упрощается в случае Г<<Е₀:

(2.77)

Силу осциллятора вычисляют по формуле:

(2.78)

Разложение спектра -Im^-1

В спектрах диэлектрической проницаемости проявляются поперечные составляющие оптических переходов, а в спектрах характеристических потерь - их продольный компонент. Имея набор элементарных компонент обоих спектров, получаем весьма обширную информацию о переходах (энергия, полуширина, вероятность).

Если отдельная полоса в е₂ имеет лоренцевский вид, ее продольный аналог также описывается лоренциатом, поэтому и для разложения спектров -Im^-1 можно применить объединенные диаграммы Арганда.

Глава 3. Оптические функции PbS

В настоящей работе были выполнены расчеты полного комплекса оптических функций для кристалла PbS. Расчеты проводились на основе экспериментальных спектров мнимой и вещественной части диэлектрической проницаемости e₂ и e₁ соответственно работы [1].

3.1 Расчет оптических функций PbS по спектрам ₁ и e₂ в области от 0 до 5.3 эВ

По полученным в результате расчетов данным нами были построены графики зависимости оптических функций от энергии.

На первом графике (рис. 3.1) представлены спектры коэффициента отражения R, реальной части диэлектрической проницаемости е₁, электропроводность s и показатель преломления n в интервале энергии 0-5.3 эВ.

В указанной области энергии спектр R имеет две хорошо выраженных структуры. Полоса с максимумом при энергии 1.9 эВ слабо интенсивная и отчетливо проявляется. Структура при 3.6 эВ представляет собой самую интенсивную широкую полосу в спектре R. При энергиях больше 4 эВ спектр R монотонно убывает.

Спектр е₁ имеет также две полосы. Однако первый максимум 1.7 эВ у е₁, соответствующий максимуму при 1.9 эВ у R, является самым интенсивным и слабо выраженным, а второй 2.4 эВ - менее интенсивен.

Спектр n имеет сходную структуру со спектром е₁. Но вторая полоса у n при 2.6 эВ проявляется лучше.

Сравнивая пики в спектрах R, е₁ и n, можно заметить, что максимумы полос е₁ и n, сдвинуты в длинноволновую часть спектра по отношению к R. Величина сдвига растет с увеличением энергии от 0.2 эВ до 1.2 эВ для е₁, и от 0.1 эВ до 1.0 эВ для n.

Спектр е₂ имеет две структуры. Первая структура (2.0 эВ) вырождается в ступеньку, тогда как в спектре R это интенсивный максимум (1.9 эВ). Второй максимум - самый интенсивный.

Спектр е₂Е² имеет аналогичную структуру, что и спектр е₂.

Спектры и k сходны между собой и имеют по две полосы. Первая полоса у k (2.0 эВ)и у a (2.1 эВ) имеет вид ступеньки. Второй максимум у k и у a самые интенсивные. Максимумы полос спектра k сдвинуты в область меньших энергий (примерно 0.1 эВ) по отношению к .

Следующая группа функций, представленная на рис. 3.3 - это эффективная диэлектрическая проницаемость е_eff, эффективное число электронов n_eff, функции объемных -Imе^-1 и поверхности -Im(1+е)^-1 характеристических потерь.

Спектры первых двух функций растут во всем интервале энергии и достигают максимального значения при 5.3 эВ n_{eff max} = 4.1, е_{eff max} = 14.

Функции -Imе^-1 и -Im(1+е)^-1 имеют по одной структуре. Эти ступеньки практически идентичны в этих спектрах.

Параметры структур, наблюдаемых в спектрах вышеперечисленных функций, приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 . Максимумы и ступеньки (в скобках) оптических функций кристалла PbS.

PbS H. Kanazawa
№	E	R	E	e1	E	e2	E	n	E	k
1	1.87	0.45	1.7	20.3	(2.02)	(13.41)	1.75	4.65	(2.06)	(1.53)
2	3.64	0.62	2.36	17.01	3.13	26.72	2.57	4.57	3.41	3.8

Таблица 3.1 (продолжение). Максимумы и ступеньки (в скобках) оптических функций кристалла PbS.

№	E	a,1_5--см-1	E	e2E2	E	-Ime-1	E	-Im(e+1)-1
1	(2.1)	(_.33)	(2.02)	(54.76)	(2.1)	(0.029)	(2.1)	(0.027)
2	3.54	1.34	3.28	278.28	-	-	-	-

Мы рассчитали эффективное число электронов n_eff по е₂, k, -Imе^-1 и -Im(1+е)^-1. По полученным данным был построен график зависимости n_eff от энергии, представленный на рис. 3.4

Расчет по е₂ дает более резкое возрастание функции n_eff, а по -Im(1+е)^-1 - очень слабое. Тем не менее, n_eff(е₂) _max = 4.1 при 5.3 эВ, n_eff(k) _max=1.7, n_eff(-Imе^-1) _max=0.024, а вот для n_eff(-Im(1+е)^-1) _max=0.022.

Глава 4. Оптические функции PbSe

В настоящей работе были выполнены расчеты полного комплекса оптических функций для кристалла PbSe. Расчеты проводились на основе экспериментальных спектров мнимой и вещественной части диэлектрической проницаемости e₂ и e₁ работы [2,3], мнимой части диэлектрической проницаемости e₂ работы [4], мнимой части диэлектрической проницаемости e₂ работы [5] для квантовых ям и двух поляризаций света E||c и E_|_c и спектра отражения работы [6].

4.1 Расчет оптических функций PbSe по спектрам ₁ и e₂ в области от 0 до 5.4 эВ

По полученным в результате расчетов данным нами были построены графики зависимости оптических функций от энергии.

На первом графике (рис. 4.1) представлены спектры коэффициента отражения R, реальной части диэлектрической проницаемости е₁, электропроводность s и показатель преломления n в интервале энергии 0-5.4 эВ.

В указанной области энергии спектр R имеет две хорошо выраженных структуры. Полоса с максимумом при энергии 1.6 эВ слабо интенсивная и отчетливо проявляется. Структура при 3.0 эВ представляет собой самую интенсивную широкую полосу в спектре R. При энергиях больше 3.2 эВ спектр R монотонно убывает.

Спектр е₁ имеет также две полосы. Однако первый максимум 1.4 эВ у е₁, соответствующий максимуму при 1.6 эВ у R, является самым интенсивным и слабо выраженным, а второй 1.9 эВ - менее интенсивен.

Спектр n имеет сходную структуру со спектром е₁. Но вторая полоса у n при 2.2 эВ проявляется лучше.

Сравнивая пики в спектрах R, е₁ и n, можно заметить, что максимумы полос е₁ и n, сдвинуты в длинноволновую часть спектра по отношению к R. Величина сдвига растет с увеличением энергии от 0.2 эВ до 1.1 эВ для е₁, и от 0.1 эВ до 0.8 эВ для n.

Спектр е₂ имеет две структуры. Первая структура (1.6 эВ) слабо интенсивный максимум. Второй максимум - самый интенсивный.

Спектр е₂Е² имеет аналогичную структуру, что и спектр е₂ , но первый максимум при 1.7 эВ вырожден в ступеньку.

Спектры и k сходны между собой и имеют по две полосы. Первая полоса у k (1.6 эВ) и у a (1.7 эВ) имеет вид ступеньки. Второй максимум у k и у a самые интенсивные. Максимумы полос спектра k сдвинуты в область меньших энергий (примерно 0.1~0.2 эВ) по отношению к .