Логика - наука о "правильном мышлении"

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Общая характеристика понятия

Понятие - форма мысли, в которой отражаются общие, специфические, существенные признаки предмета или класса предметов. Понятие лишено наглядности и индивидуальности. Сущность - закон существования вещи. Существенные признаки - признаки, без которых нельзя помыслить тот или иной предмет.

С логической точки зрения понятие характеризуется 2-мя параметрами: содержанием и объёмом.

Методы формирования понятия: анализ - выделение в предмете его признаков; синтез - объединение всех зафиксированных признаков; сравнение - установление определенных отношений между вещами; абстрагирование - осмысление признаков независимо от самой вещи; обобщение.

2. Содержание и объем понятия

Понятие - форма мысли, в которой отражаются общие, специфические, существенные признаки предмета или класса предметов. Характеризуется 2-мя параметрами: содержанием и объёмом.

Содержание понятия - совокупность признаков предмета, обозн. данным понятием.

Объём понятия - это совокупность тех предметов, кот. обладают признаками, ,входящими в это понятие.

По содержанию все понятия делятся:

Положительные - выражается наличие каких-либо признаков предметов.

Отрицательные - отрицается те признаки, которые утверждаются в положительном. Выражаются словам с отрицательными частицами не и без. Когда отрицательная частица слилась со словом и без него не употребляется, эти понятия переходят в разряд положительных

Абстрактные - выражаются либо свойства, либо отношения отвлеченные от множества вещей. Бездна, вечность.

Конкретные - выражаются либо свойства, либо отношения, которые мыслятся в единстве их свойств. Парта, стол, стул.

Относительные - выражены предметы, существование которых неизбежно связано с другим понятием.

Безотносительные - мыслятся предметы, не нуждающиеся в своём существовании в существовании других предметов.

По объему все понятия делятся:

Единичные - объём которых составляет один предмет.

Общие - объём которых составляет два и более элемента. Могут быть нулевыми, пустыми и универсальными.

Нулевые - несуществующие в действительности предметы и вещи, объём которых равен нулю.

Универсальные - объём охватывает всю предметную область (человек, животное).

Собирательные - мыслятся вещи и предметы как единое целое (человечество, библиотека).

Разделительные - мыслятся вещи и предметы, существующие как элементы логического класса (звезда).

Регистрирующие - объём которых составляет конечное множество предметов и поддаётся учёту.

Не регистрирующие - объём которых составляет бесконечное множество предметов, и поэтому не поддаётся учёту (молекула<->молекула земли).

3. Отношения между понятиями

Отношения между понятиями по объёму возможны лишь между сравнимыми понятиями - в содержании которых имеются общие признаки. Несравнимые - в содержании которых не имеются общие признаки для сравнения.

Сравнимые делятся на: Совместимые - объёмы которых содержат общие элементы. Несовместимые - объёмы которых не содержат общие элементы.

Виды совместимости:

1. Равнозначность - содержание разное, но объёмы совпадают. (студент и учащийся в высшей школе).

2. Подчинение - когда объём одного понятия полностью включает в себя объём другого; цветок-роза

Подчиняющие понятие называется родом, а подчиненное -- видом. Понятие «цветок» есть род для вида «роза».

3. Перекрещивание - объёмы совмещены частично. «летчик» и «космонавт»: некоторые летчики являются космонавтами, есть летчики, не являющиеся космонавтами, и есть космонавты, не являющиеся летчиками.

Виды несовместимости:

1. Соподчинение - имеет место как минимум между тремя понятиями, одно из которых является родовым, а остальные видами данного рода, не находящимися в состоянии пересечения. А дерево, В - дуб, С - берёза.

2. Противоречие - одно понятие утверждает наличие каких-либо признаков, а другое понятие эти признаки отрицает. Противоречивое понятие выражается отрицательными частицами. Сумма объёмов противоречивых понятий равна объёму родового понятия. А - белый, Не-А - не белый. Изображается с черточкой сверху В.

3. Противоположность - одно понятие содержит какие-либо признаки предмета, а другое - их отрицает, заменяя на противоположное понятие. Сумма объёмов противоположных понятий не исчерпывает объёма родового понятия. Хороший - Плохой, Белый - Чёрный.



4. Обобщение и ограничение понятия

Понятие - форма мысли, в которой отражаются общие, специфические, существенные признаки предмета или класса предметов.

Ограничение понятий - логическая операция, посредством которой мы из данного понятия получаем новое, видовое по отношению к данному, добавляя к содержанию данного понятия видообразующие признаки. Дерево - лиственное дерево - фруктовое дерево - яблоня. Это перехое от понятия с большим объёмом, но меньшим содержанием (род), к понятию с меньшим объёмом, но большим содержанием (вид). Ограничение имеет предел, пределом ограничения является единичное понятие

Обобщение понятий - логическая операция, посредством которой мы из данного понятия получаем новое, родовое по отношению к данному, исключая из содержания понятия видообразующий признак. Яблоня - фруктовое дерево - лиственное дерево - дерево. Это переход от понятия с меньшим объёмом, но большим содержанием (вид), к понятию с большим объёмом, но меньшим содержанием (вид). У обобщения предел - категория.

5. Определение через род и видовое отличие

Определение - логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Элементы определения: определяемое - definiendum - Dfd; определяющее - definience - Dfn; связка = «есть», «суть».

Определение через род и видовое отличие = родовидовое определение = классическое, т.к. очень распространено и очень просто (часто в энциклопедиях, словарях).

Род = родовой признак - признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых надо выделить определяемое.

Видовое отличие - признаки, при помощи которых это делается.

Схема: S есть P и М. S - определяемое, Р - понятие (род), более общее по отношению к S, М (вид) - видовое отличие, - те признаки, которые выделяют S.

Обычное словарное определение гиперболы: «Гипербола -- это стилистическая фигура, состоящая в образном преувеличении. Определяющая часть - «стилистическая фигура, состоящая...» и слагается из двух частей. Сначала понятие гиперболы подводится под более широкое понятие «стилистическая фигура». Затем гипербола отграничивается от всех других стилистических фигур. Это достигается указанием признака («образное преувеличение»), присущего только гиперболе и отсутствующего у иных стилистических фигур, с которыми можно было бы спутать гиперболу.

Функция определения - узнавание предмета, раскрытие сущности предмета.

6. Реальное и номинальное определения

Определение - логическая операция, раскрывающая содержание понятия, либо значение термина. Определить понятие - значит указать, какие признаки входят в его содержание.

Вообще определения делятся на неявные (контекстуальные, аксиоматические, индуктивные) и явные (классические, генетические, номинальные, реальные). В явных - есть определяемое и определяющее. В неявных - вместо определяющего - контекст или аксиомы. Пример контекстуального определения - понимание незнакомых слов в тексте. Индуктивного - 1. 1 натуральное число; 2. if n - натур. число => n+1 нат. число. 3. любое число нат., if соотв. пункту 1, 2.

1. Реальные - выражают существенные признаки предметов (кислота, треугольник).

2. Номинальные - раскрывающие значение термина, которым обозначен предмет мысли (g - ускорение свободного падения. Обычно есть слово «называется»).

7. Остенсивное определение

Остенсивные определения -- это определения путем показа.

Нас просят объяснить, что представляет собой зебра. Мы, затрудняясь сделать это, ведем спрашивающего в зоопарк, подводим его к клетке с зеброй и показываем: «Это и есть зебра».

Определения такого типа напоминают обычные контекстуальные определения. Но контекстом здесь является не отрывок какого-то текста, а ситуация, в которой встречается объект, обозначаемый интересующим нас понятием. В случае с зеброй -- это зоопарк, клетка, животное в клетке и т.д.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, отличаются некоторой незавершенностью, неокончательностью.

Определение посредством показа не выделяет зебру из ее окружения и не отделяет того, что является общим для всех зебр, от того, что характерно для данного конкретного их представителя. Единичное, индивидуальное слито в таком определении с общим, тем, что свойственно всем зебрам.

Остенсивные определения -- и только они -- связывают слова с вещами. Без них язык -- только словесное кружево, лишенное объективного, предметного содержания.

Определить путем показа можно, конечно, не все имена, а только самые простые, самые конкретные. Нельзя показать и увидеть бесконечное, абстрактное, и т.д. Здесь нужно уже не остенсивное, а вербальное определение, т.е. чисто словесное определение, не предполагающее показа определяемого предмета.



8. Правила определения

1. Определяемое и определяющее понятия должны быть взаимозаменяемы. Если в каком-то предложении встречается одно из этих понятий, всегда должна существовать возможность заменить его другим. При этом предложение, истинное до замены, должно остаться истинным и после нее. Для определений через род и видовое отличие это правило формулируется как правило соразмерности определяемого и определяющего понятий: совокупности предметов, охватываемые ими, должны быть одними и теми же. Соразмерны понятия «голкипер» и «вратарь», «нонсенс» и «бессмыслица». Встретив в каком-то предложении понятие «нонсенс», мы вправе поменять его на «бессмыслицу» и наоборот.

Вероятные ошибки: широкое определение - объем определяющего понятия шире, чем объем определяемого.Такую ошибку мы допустили бы, определив, к примеру, ромб просто как плоский четырехугольник. В этом случае к ромбам отказались бы отнесенными и трапеции, и все прямоугольники, а не только те, у которых равны все стороны. узкое определение - объем определяющего понятия уже объема определяемого. Такую ошибку, допускает, в частности, тот, кто определяет ромб как плоский четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны. Ромб в этом случае отождествляется со своим частным случаем -- квадратом, и из числа ромбов исключаются четырехугольники, у которых не все углы равны. В одном отношении широкое, в другом узкое. Ящик - тара для хранения овощей. Но в ящиках хранят не только овощи, а овощи - не только в ящиках.

2. Нельзя определять понятие через само себя или через такое другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него. Иначе возникает порочный круг.

Содержат очевидный круг определения. «Война есть война» и «Театр -- это театр, а не кинотеатр». Задача определения -- раскрыть содержание ранее неизвестного понятия и сделать его известным. Определение, содержащее круг, разъясняет неизвестное через него же. В итоге неизвестное так и остается неизвестным.

3. Определение должно быть ясным. Это означает, что в определяющей части могут использоваться только имена, известные и понятные тем, на кого рассчитано определение. Желательно так же, чтобы в ней не встречались образы, метафоры, сравнения, т.е. все то, что не предполагает однозначного и ясного истолкования.

Не особенно ясны и такие определения, как «Дети -- это цветы жизни», «Архитектура есть застывшая музыка". Они образны, иносказательны, ничего не говорят об определяемом предмете прямо и по существу, каждый человек может понимать их по-своему.

9. Деление как логическая операция. Правила деления

Деление -- это операция распределения на группы тех предметов, которые мыслятся в исходном понятии. Члены деления - получаемые в результате деления группы. Основание деления - признак, по которому производится деление. В каждом делении имеются, таким образом, делимое понятие, основание деления и члены деления. С помощью деления раскрывается объем понятия, из каких подклассов состоит класс, соответствующий делимому понятию.Так, по строению листьев класс деревьев может быть подразделен на два подкласса: лиственные деревья и хвойные. По признаку величины угла все треугольники могут быть подразделены на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Правила деления: 1. Деление должно вестись только по одному основанию. Избранный вначале в качестве основания отдельный признак или совокупность признаков нельзя в ходе деления подменять другими признаками. Неверными являются деления людей на мужчин, женщин и детей; обуви -- на мужскую, женскую и резиновую.

2. Деление должно быть соразмерным, т.е. сумма объемов членов деления должна равняться объему делимого понятия. Это требование предостерегает против пропуска отдельных членов деления. Ошибочным будет деление треугольников на остроугольные и прямоугольные (пропускаются тупоугольные треугольники). Ошибочным будет деление с лишними членами. Например, деление углов на тупые, острые, прямые и накрест лежащие.

3. Члены деления должны взаимно исключать друг друга. Согласно этому правилу, каждый отдельный предмет должен находиться в объеме только одного видового понятия и не входить в объемы; других видовых понятий. Ошибочно деление людей на тех, которые ходят в кино, и тех, которые ходят в театр: есть люди, которые ходят и в кино и в театр.

4. Деление должно быть непрерывным. Это правило требует не делать скачков в делении, переходить от исходного понятия к однопорядковым видам, но не к подвидам одного из таких видов. Например, правильно делить людей на мужчин и женщин, женщин -- на живущих в Северном полушарии и живущих в Южном полушарии. Но неверно делить людей на мужчин, женщин Северного полушария и женщин Южного полушария. Можно заметить, что из третьего правила вытекает первое. Так, деление обуви на мужскую, женскую и детскую нарушает не только первое правило, но и третье: члены деления не исключают друг друга.

Частным случаем деления является дихотомия (буквально: разделение надвое). Дихотомическое деление опирается на крайний случай варьирования признака, являющегося основанием деления: с одной стороны, выделяются предметы, имеющие этот признак, с другой -- не имеющие его. В случае обычного деления люди могут подразделяться, к примеру, на мужчин и женщин, на детей и взрослых и т.п. При дихотомии множество людей разбивается на мужчин и «немужчин», детей и «недетей» и т.п. Грибы съедобные и несъедобные.



10. Классификация

Классификация является частным случаем деления -- логической операции над понятиями. Деление -- это распределение на группы тех предметов, которые мыслятся в исходном понятии. Получаемые в результате деления группы называются членами деления. Признак, по которому производится деление, именуется основанием деления.

В каждом делении имеются, таким образом, делимое понятие, основание деления и члены деления. Например, треугольники можно разделить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Основанием деления служит характер углов треугольника.

Классификация представляет собой многоступенчатое, разветвленное деление. Скажем, ощущения можно разделить на зрительные, слуховые, осязательные, обонятельные и вкусовые. Затем внутри отдельных групп выделить подгруппы (например, пространственные и цветовые зрительные ощущения), сами подгруппы подвергнуть более дробному делению и т.д.

От обычного деления классификация отличается относительно устойчивым каркасом. Придает строгость и четкость. Чтобы была правильной, надо выполнить все правила деления.

Классификация всегда устанавливает определенный порядок. Классификации делятся на классификации по видообразующему признаку и на дихотомические классификации. Пример последней: Зеркала делятся на плоские и сферические. Сферические зеркала - на вогнутые и выпуклые. Классификации могут производится по существенным признакам (естественные классиф.) (пример - периодическая система Менделеева) и несущественным (вспомогательные) (пример - алфавитный список фамилий).



11. Общая характеристика суждения

Суждение - это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности. Если то, что утверждает суждение истинно => оно истинно. Ложное суждение - «все растения съедобны». Суждение может быть неопределенным: «на марсе есть жизнь». Неизвестно, правда это или ложь.

Состав простого категорического суждения - это такое суждение, в котором что-либо утверждается или отрицается о предмете с необходимостью (осёл - это животное). Состоит из 3-х элементов:

1. Субъект - это часть суждения, которая выражает предмет мысли. S (subjectum)

2. Предикат - это та часть суждения, в которой что-либо утверждается или отрицается о предмете мысли. (praedicatum)

Связка. «есть, суть, является»

Иногда кванторное слово - «все, ни один, что-то».

Субъект и предикат - термины суждения. В зависимости от характера предиката все суждения делятся на 3-и группы:

1. Атрибутивные -в предикате которых выражены свойства или признаки предметов. Схема: S есть Р «Мед сладкий»; S не есть Р «Мед не сладкий».

2. Релятивные -в предикате которых выражены не свойства или признаки предметов, а отношения между ними (Иван старше Петра, Волга длиннее Оки). Схема: aRb или R(a, b), где R - имя отношения.

3. Экзистенциональные - такие суждения, в предикате которых выражен факт существования или не существования каких-либо сущностей. Пример: Существуют электростанции.



12. Деление суждений по качественной и количественной характеристикам

Суждение - форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается.

Простые категорические суждение по качеству делятся на:

Утвердительные - которые что-либо утверждают о предмете (Луна спутник Земли).

Отрицательные - которые что-либо отрицают (некоторые люди не честны).

По количеству делятся на:

Единичные - в которых нечто утверждается или отрицается об одном единственном элементе. Везувий - действующий вулкан. Это S есть/не есть Р.

Частные - в которых что-либо утверждается или отрицается относительно части логического класса (некоторые люди невежественны). Некоторые S суть/не суть P. Частные суждения могут быть определенными: Только некоторые S суть/не суть P, и неопределенными: некоторые S суть/не суть P.

Общие - в которых что-либо утверждается или отрицается относительно всего логического класса (все люди желают счастья). Все S суть/не суть P. Делятся на выделяющие: Только S суть/не суть P и на исключающие: Все S, за исключением… суть/не суть P

Объединённая классификация по качеству и количеству:

Общеутвердительные (А - Affirmo) -являются общими по количеству, и утвердительными по качеству (Все металлы проводники). Все S суть P.

Частноутвердительные (I - affIrmo) - частные по количеству и утвердительные по качеству. Некоторые S суть P

Общеотрицательные (E - nEgo)- являются общими по количеству, отрицательными по качеству. Все S не суть P

Частноотрицательные (O - negO) - частные по количеству и отрицательные по качеству. Некоторые S не суть P

Единичные суждения не выделяются в особую группу, они рассматриваются как общие суждения, потому что и в общем и единичном суждении утверждение или отрицание производится в отношении всего объёма суждений.

13. Распределенность терминов в суждении

Распределенность выражает количественную характеристику терминов. Термин считается распределенным, если его объем полностью включен или исключен из объёма другого термина. Термин считается распределённым, если он мыслится в полном объёме.В общеутвердительных (А) субъект распределён, предикат не распределён (рис.1). Все караси - рыбы. Но может быть так, что S и P совпадают, к примеру: Все люди разумные существа или все квадраты - равносторонние прямоугольники (рис 2).

Общеотрицательные (Е). Оба распределены (рис 3). Ни один лев не есть травоядное животное.

Частноутвердительные (I). Ни S ни P полностью не распределены (рис 4). Исключение: Объём P полностью входит в S. Некоторые люди честны (рис 5).

Частноотрицательные (О). Объём P полностью исключен из S (рис 6). P распр, S нет.

Общая схема распределённости терминов - S всегда распределён в общих суждениях, P в отрицательных.



К билету 16

14. Отношения между категорическими суждениями. (“Логический квадрат”)

SaP -- «Все, S есть Р» -- «Все жидкости упруги»,

SiP -- «Некоторые S есть Р» -- «Некоторые животные говорят»,

SeP -- «Все S не есть P -- «Все дельфины не есть рыбы»,

SoP -- «Некоторые S не есть Р» -- «Некоторые металлы не есть жидкости».

Отношения между терминами в четырех видах категорических высказываний представляются с помощью кругов Эйлера.

“Логический квадрат”

Некоторые отношения между четырьмя видами категорических высказываний графически представляются так называемым логическим квадратом.

1. Противоречащие высказывания (SaP и SoP; SeP и SiP) не могут быть одновременно истинными и ложными; если одно из них истинно, то другое ложно. Так, если высказывание «Все киты дышат легкими» истинно, то высказывание «Некоторые киты не дышат легкими» ложно. Если высказывание «Некоторые медведи - не бурые» истинно, то высказывание «Все медведи -- бурые» ложно.

2. Противные высказывания (SaP и SeP) могут вместе быть ложными, но не могут быть вместе истинными. Если одно истинно, то другое ложно. Так, высказывания «Все спортсмены -- гроссмейстеры» и «Ни один спортсмен не гроссмейстер» оба ложны. Поскольку высказывание «У всех людей есть головы» истинно, то высказывание «Ни у одного человека нет головы» ложно; и если высказывание «Все металлы не являются газами» истинно, то высказывание «Все металлы -- газы» ложно.

3. Подпротивные высказывания (SiP и SoP) не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Если одно ложно, то другое истинно. Так, если высказывание «Некоторые овцы -- хищники» ложно, то высказывание «(По меньшей мере) некоторые овцы не являются хищниками» истинно. Высказывания же «Некоторые спортсмены -- футболисты» и «Некоторые спортсмены не футболисты» оба истинны.

4. В отношении подчинения находятся попарно высказывания SaP и SiP, SeP и SoP. Из подчиняющего высказывания логически следует подчиненное: из SаР вытекает SiP и из SeP вытекает SoP. Это означает, что из истинности подчиняющего высказывания логически следует истинность подчиненного, и из ложности подчиненного следует неопределенность подчиняющего, из ложности подчиняющего - неопределенность подчиненного; К примеру, из высказывания «Все киты являются млекопитающими» следует высказывание «Некоторые киты млекопитающие», а из высказывания «Все металлы не являются сжимаемыми» следует высказывание «Некоторые металлы не сжимаемы».

Еще раз подчеркнем, что противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» и высказывания «Все S не есть Р» и «Некоторые S есть Р. Высказывания же «Все S есть Р» и «Все S не есть Р», а также высказывания «Некоторые S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» не противоречат друг другу.

15. Обращение суждений

Суждение - это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности. Обращение - преобразование суждения, в результате которого в заключении субъект исходного суждения становится предикатом, а предикат - субъектом. Схема: S есть Р. Р есть S.

Обращение подчиняется правилу распределенности терминов в суждениях, согласно которому субъект распределен в общих и не распределен в частных суждениях, предикат распределен в отрицательных и не распределен в утвердительных суждениях. В соответствии с этим правилом различают простое (чистое) обращение и обращение с ограничением.

Простым (или чистым) называется обращение без изменения количества суждения. Оно бывает тогда, когда и S и Р распределены или не распределены.

Если же предикат исходного суждения не распределен, то он не может быть распределен и в заключении, где он является субъектом. Поэтому его объем ограничивается. Такое обращение называется обращением с ограничением. Иными словами, обращение с ограничением получается тогда, когда изменяется количество исходного суждения, т.е. изменяется кванторное слово ( так «все» меняется на «некоторые» и наоборот).

Схема обращения суждения А (Р не распр):

Все S суть Р. Некоторые Р суть S

Простое обращение: Все квадраты - равносторонние прямоугольники. Все равносторонние прямоугольники - квадраты.

С ограничением: “Все студенты нашей группы (S) сдали экзамены (Р не распр)”. Следовательно, некоторые сдавшие экзамены - студенты нашей группы”. Обращая суждение, необходимо опираться на правило вывода: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении. => становясь S выводного суждения, Р также не может быть распределен. Его объем ограничивается (“некоторые ”).

Схема обращения суждения Е. Так как в нем и S, и Р распр., то его обращение простое.

“Ни один студент нашей группы не является неуспевающим. Следовательно, ни один неуспевающий не является студентом нашей группы”. Ни одно S не есть Р. Ни одно Р не есть S

Частноутвердительное суждение (I).

Простое обращение. Р, не распределенный в исходном суждении, не распределен и в выводном суждении. “Некоторые студенты нашей группы - отличники. Следовательно, некоторые отличники - студенты нашей группы”. Некоторые S cуть Р. Некоторые Р суть S

С ограничением. Когда Р распределен, S нет. «Некоторые музыканты - композиторы. Все композиторы - музыканты». Было некоторые, стало все. Некоторые S cуть Р. Все Р суть S

Частноотрицательное суждение (О), как правило, не обращается. «Некоторые животные не являются собаками».

16. Превращение суждений

Суждение - это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности.

Превращение суждения - изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом Р заключения является отрицанием предиката посылки, т.е. преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения. Схема: S есть Р. S не есть не-Р. При этом частноутвердительное суждение превращатется в частноотрицательное и наоборот, а общеутвердительное - в общеотрицательное и наоборот.

Превращать можно любые категорические суждения: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные.

Общеутвердительное суждение (А) превращается в общеотрицательное (Е). Записывается А > Е. Все S суть Р. Ни одно S не есть не-Р. «Все волки - хищные животные. Ни один волк не является нехищным животным».

Общеотрицательное суждение (Е) превращается в общеутвердительное (А). Е > А Ни одно S не есть Р. Все S суть не-Р. «Ни одна ель не является лиственным деревом. Все ели - нелиственные деревья».

Частноутвердительное суждение (I) превращается в частноотрицательное (О). I > O Некоторые S cуть Р.Некоторые S не суть не-Р Например: “Некоторые грибы съедобны. Некоторые грибы несъедобны».

Частноотрицательное суждение (О) превращается в частно­утвердительное (I). О > I Некоторые S не суть Р. Некоторые S суть не-Р Например: “Некоторые из присутствующих не являются совершеннолетними. Следовательно, некоторые из присутствующих являются несовершеннолетними”.

Таким образом, чтобы превратить суждение, нужно заменить его связку на противоположную, а предикат - на понятие, противоречащее предикату исходного суждения. Суждение, полученное посредством превращения, сохраняет количество, но изменяет качество исходного суждения. Субъект исходного суждения не изменяется. Заключения, полученные с помощью этой логической операции, содержат новые знания о предмете.



17. Противопоставление предикату

Противопоставление предикату - это непосредственное умозаключение, при котором в заключении предикатом является субъект, а субъектом - понятие, противоречащее предикату исходного суждения, связка же меняется на противоположную.

Непосредственное умозаключение - дедуктивное умозаключение, делаемое из одной посылки. Схема: S есть Р. не-Р не есть S. То есть, мы вместо Р берем не-Р, меняем местами не-Р и S, связку меняем на противоположную. Противопоставление предикату является сложной операцией, состоящей из двух других - превращения, а затем обращения результата превращения. Так, если взять суждение типа А - "Все рыцари - благородные люди", то в результате превращения его мы получим суждение типа Е с понятием, отрицающим предикат посылки, - "Ни один рыцарь не является неблагородным человеком". Подвергнув же это суждение обращению, мы получим суждение типа Е с отрицанием предиката посылки (не-Р) на месте субъекта - "Ни один неблагородный человек не является рыцарем". Что и вытекает из общего правила для противопоставления предиката.

Для А. Все S есть Р. Ни одно не-Р не есть S. (пример с рыцарем).

Для Е. Ни одно S не есть Р. Некоторые не-Р есть S. Ни одна поганка не является съедобным грибом. Некоторые несъедобные грибы - поганки.

Для О. Некоторые S не есть Р. Некоторые не-Р есть S. Некоторые студенты - отличники. Некоторые неотличники - студенты.

Для I правило не работает. Из такого суждения мы не можем осуществить однозначного противопоставления предикату, так как в результате превращения такого суждения образуется частно-отрицательное суждение типа О, которое не имеет однозначного формального обращения. Поэтому, частно-утвердительное суждение не имеет формального противопоставления предикату.

18. Закон тождеств

Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: А > А; если А, то А. Например: «Если дом высокий, то он высокий», «Если трава черная, то она черная» и т.п.

«В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должно быть тождественным самим себе». Пример нарушения: Материя вечна. Сукно - материя. Сукно вечно. В процессе рассуждения нельзя подменять одно понятие другим. Часто такая ошибка возникает из-за слов омонимов.

В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью обнаруживается общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, «предметной» информации. Это -- общие схемы, отличительная особенность которых в том, что, подставляя в них любые конкретные высказывания (как истинные, так и ложные), мы обязательно получим истинное выражение.

19. Закон противоречия

Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания «Луна - спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава -- зеленая» и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом -- это же самое отрицается.

Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не-А (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.

Идея, выражаемая законом противоречия: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.

Используя вместо высказываний буквы, эту идею можно передать так: неверно, что А и не-А. Неверно, например, что трава зеленая и не зеленая, что Луна -- спутник Земли и не спутник Земли и т.п.

Закон противоречия выражается формулой: ~ (A & ~ A), неверно, что А и не-А.

Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях -- отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости -- отсюда другое распространенное понятие -- закон непротиворечия. Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным.

Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.

20. Закон исключенного третьего

Закон исключённого третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным, другое ложным, а третьего не дано.

Символически: A v ~ А, А или не-А. Например: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» и т.п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет. Человек говорит прозой или не говорит прозой, собака выполняет команду или не выполняет ее и т.п. -- других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива или противоречива.

Отрицающие пары суждений: Это S есть Р. Это S не есть Р (единичные суждения); Все S есть Р. Некоторые S не есть Р (суждения А и О); Ни одно S не есть Р. Некоторые S есть Р (Суждения Е и I). В отношении пар А и О, Е и I действует как данный закон, таки закон противоречия. В этом их сходство. Но например в паре А Е будет действовать только закон противоречия: Все грибы съедобны. Ни один гриб не является съедобным. Они оба могут быть ложными, но не истинными.

логический понятие суждение доказательство

21. Закон достаточного основания

Закон достаточного основания - согласно этому закону, для того, чтобы признать высказывание о предмете истинным, должно быть указано достаточное основание. Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованна. Ложные мысли обосновать нельзя. Был сформулирован в XVII в. Лейбницем. У этого закона нет формулы, у него только содержательный характер. В доказательстве аргументами для подтверждения тезиса служат единичные факты, аксиомы, постулаты. В настоящее время выделяется достаточное условие (основание, необходимость), которое не является достаточным, но тем не менее не противоречит закону, это что-то ранее доказанное, аксиомы, леммы, данные эксперимента и т.д.

22. Общая характеристика умозаключения. Виды умозаключений

Умозаключение - это форма мысли, в результате которой выводится новое знание на основе раннее известного. Раннее известное знание называется посылками, новое заключением. Все рыбы дышат жабрами (1-ая посылка), карась рыба (2-ая посылка), карась дышит жабрами (заключение). Логический переход от посылок к заключению - вывод.

По составу или по структуре все умозаключения делятся на 2-е группы: Непосредственные - это такие умозаключение, заключение в которых выводится из одной посылки. Все львы хищники, нет львов, которые не были бы хищниками. Посредственные - это такие умозаключения, заключение в которых выводится из 2-х и более посылок.

По характеру логического следования все умозаключения делятся на 2-е группы:

Дедуктивные (необходимые) - между посылками и заключением которых имеет место отношение логического следования. Отношение логического следования имеет место тогда и только тогда, когда: 1. Посылки связанны по смыслу. 2. Импликация если А, то В, является логическом законом, то есть тождественно-истинной формой.

Тождественно-истинная формула - это формула, принимающая логическое значение истины при всех наборах логических значений входящих в неё переменных.

Для выяснения дедуктивного суждения:

1) Символически выразить посылки и заключение

2) Присоединить посылки к друг другу логическим союзом конъюнкция и получить то, что обозначается как совокупность посылок, то есть основание импликации

3) присоединить посылки и заключение логическим союзом импликация

4) Построить таблицу истинности для полученного выражения и проверить является ли оно логическим законом. Если нет, тогда будет вероятностным.

Не дедуктивные (вероятностные) - это такие умозаключения, между посылками и заключениями которых не имеет место отношение логического следования.



23. Простой категорический силлогизм

Термин силлогизм - от греч. syllogismos - выведение следствия.

Категорический силлогизм (или просто: силлогизм) -- это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических высказываний выводится новое категорическое высказывание.

Выражения «Все ... есть ...», «Некоторые ... есть ...», «Все ... не есть ...» и «Некоторые ... не есть...» рассматриваются как логические постоянные, т.е. берутся как единое целое. Это не высказывания, а определенные логические формы, из которых получаются высказывания путем подстановки вместо многоточий каких-то имен. Подставляемые имена называются терминами силлогизма. Существенным является следующее традиционное ограничение: термины силлогизма не должны быть пустыми или отрицательными.

В силлогизме, как и во всяком дедуктивном умозаключении, в заключении не может содержаться информация, отсутствующая в посылках. Заключение только развертывает информацию посылок, но не может привносить новую информацию, отсутствующую в них.

Примером силлогизма может быть:

Все жидкости упруги.

Вода -- жидкость.

Вода упруга.

В каждом силлогизме должно быть три термина: меньший, больший и средний.

Меньшим термином называется субъект заключения (в примере таким термином является термин «вода»). Большим термином именуется предикат заключения («упруга»). Термин, присутствующий в посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним («жидкость»). Меньший термин обозначается обычно буквой S, больший -- буквой Р и средний -- буквой М. Посылка, в которую входит больший термин, называется большей. Посылка с меньшим термином называется меньшей. Большая посылка записывается первой, меньшая -- второй. Логическая форма приведенного силлогизма такова:

Все М есть Р.

Все S есть М.

Все S есть Р.

24. Фигуры и модусы категорического силлогизма

Фигуры кат. силл. различаются по положению среднего термина в посылках (является он субъектом или предикатом в большей и меньшей посылках). Различаются четыре фигуры силлогизма.

1. Все птицы (М) имеют крылья (Р).

Все страусы (S) -- птицы (М).

Все страусы имеют крылья.

2. Все рыбы (Р) дышат жабрами (М).

Киты (5) не дышат жабрами (М).

Все киты, не рыбы.

3. Все бамбуки (М) цветут один раз в жизни (Р).

Все бамбуки (М) -- многолетние растения (S)

Некоторые многолетние растения цветут один раз в жизни.

4. Все рыбы (Р) плавают (М)...

Все плавающие (М) живут в воде (S).

Некоторые живущие в воде -- рыбы.

Посылками и заключениями силлогизмов могут быть категорические суждения четырех видов: SaP, SiP, SеР и SoP.

Силлогизмы, как и все дедуктивные умозаключения, делятся на правильные и неправильные. Задача логической теории силлогизма -- систематизировать правильные силлогизмы, указать их отличительные черты.

Модусами силлогизма называются разновидности фигур, отличающиеся характером посылок и заключения.

Всего с точки зрения всевозможных сочетаний посылок и заключения в каждой фигуре насчитывается 64 модуса. В четырех фигурах 4 х 64 = 256 модусов. Из всех возможных модусов силлогизма только 24 модуса являются правильными, по шесть в каждой фигуре. Из них 5 модусов ослабленны, т.е. их заключения О и I. Итого 19.

1-я фигура: Barbara, Celarent, Darii, Ferio,

2-я фигура: Cesare, Camestres, Festino, Baroco,

З-я фигура: Barbari, Cesaro, iai, oao, aii, eio

4-я фигура: aai, aee, iai, eao, eio

В каждом из этих названий содержатся три гласных буквы. Они указывают, какие именно категорические высказывания используются в модусе в качестве его посылок и заключения. Так, название Celarent означает, что в этом модусе первой фигуры большей посылкой является общеотрицательное высказывание (SeP), меньшей -- общеутвердительное (SaP) и заключением -- общеотрицательное высказывание (SeP).

25. Общие правила категорического силлогизма

Кат. силлогизм - вид дедуктивного умозаключения, в кот. из 2х категорических высказываний получается новое. Для того, чтобы получить истинное заключение, надо брать истинные посылки и соблюдать следующие правила.

Правила терминов.

1. Должны быть только 3 термина (SPM), ошибка учетверение термина. Движение вечно, хождение в университет это движение, хождение в университет вечно. В 1-ой посылке термин употребляется в общефилософском смысле, во второй - конкретный вид механического передвижения

2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок. Все гусеницы едят салат. Я ем салат. Я гусеница. При анализе силлогизма рассматривать где больший, где меньший термин, надо с конца. Необходимо квалифицировать ошибку: Надо найти S, M, P. В заключении первый термин всегда - меньший, второй - всегда больший, тот термин, который не указан в заключении, но присутствует в посылках - средний. Обозначить распределённость терминов в посылках и заключении. Та посылка, которая содержит больший термин, называется большей. Та, которая меньший - меньшей.

3. Термин, не распределённый в посылке, не может быть распределён в заключении. «Во всех городах за полярным кругом есть белые ночи. СПб не за полярным кругом. В СПб нет булых ночей». Р вывода распределен, а в посылке нет.

Правила посылок

1. Из 2-ух отрицательных посылок нельзя получить достоверную. Одна из посылок должна быть утверждающим суждением. Ни один папоротник никогда не цветёт. Данное растение не цветёт. Данное растение - папоротник.

2. Из 2-ух частных посылок заключение не следует с необходимостью, оно будет неопрелделенным. 1-а из посылок должна быть общим суждением. Некоторые учащиеся являются студентами. Некоторые дворники являются учащимися. Некоторые дворники-студенты.

3. Если 1-а из посылок является отрицательным суждением, то и заключение должно быть отрицательным. Все гейзеры - горячие источники. Это источник не горячий. Это не гейзер.

4. Если одна из посылок является частным суждением, то и заключение должно быть частным. Все христиане выступают за мир на земле. Некоторые студенты - христиане. Некоторые студенты за мир на земле.



26. Первая фигура категорического силлогизма, ее модусы

Возьмем силлогизм:

Все металлы (М) ковки (Р)

Железо (S) -- металл (М).

Железо (S) ковко (Р).

Отношения между тремя терминами этого силлогизма (модус Barbara) представляются тремя концентрическими кругами. Эта схема интерпретируется так: если все М (металлы) входят в объем Р (ковких тел), то с необходимостью S (железо) войдет в объем Р (ковких тел), что и утверждается в заключении «Железо ковко». Правило первой фигуры: Большая посылка должна быть общей. Меньшая утвердительной.

(Celarent, Darii, Ferio)

27. Энтимема

В обычных рассуждениях нередки силлогизмы, в которых не выражается явно одна из посылок или заключение. Такие силлогизмы называются энтимемами (в переводе «в уме»). Примеры энтимем: «Щедрость заслуживает похвалы, как и всякая добродетель», «Он -- ученый, поэтому любопытство ему не чуждо», «Керосин -- жидкость, поэтому он передает давление во все стороны равномерно» и т.п. В первом случае опущена меньшая посылка «Щедрость -- это добродетель», во втором -- большая посылка «Всякому ученому не чуждо любопытство», в третьем -- опять-таки большая посылка «Всякая жидкость передает давление во все стороны равномерно».

Для оценки правильности рассуждения в энтимеме следует восстановить ее в полный силлогизм.



28. Определение формулы логики высказываний

Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.

Логика высказываний -- это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1) неограниченное множество переменных: А, В, С, ... , А₁, В₁, С₁, ..., представляющих высказывания;

2) особые символы для логических связок: & -- «и», v -- «или», v (с точкой наверху) -- «либо, либо», > -- «если, то», - -- «если и только если», ~ -- «неверно, что»;

3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка.

Чтобы использовать меньшее количество скобок операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание «Сейчас день», В -- высказывание «Сейчас светло» и С -- высказывание «Сейчас холодно», то формула: А > В v С, иди со всеми скобками: (А > (В v С)), представляет высказывание «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно». Формула: В & С > А, или ((В & С) > А), представляет высказывание «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день». Формула: ~ B > ~ A, или ((~ B) > (~A)), представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.

29. Построение таблицы истинности для данной формулы

Логика высказываний исходит из следующих двух допущений: 1.всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности); 2.истинное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями союзов. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением. Согласно принятым определениям:

-- конъюнкция (и) истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны;

-- дизъюнкция (или) истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно;

-- строгая дизъюнкция (или) истинна, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно;

-- импликация (если.. то) истинна в трех случаях: ее основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;

-- эквивалентность (если и только если) истинна, когда два приравниваемых в ней высказывания оба истинны или оба ложны;

-- отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.

С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно. Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, -- это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний. Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.

Покажем для примера что формула (A > B) > (~ B > ~ A) является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной

30. Тождественно-истинные, тождественно-ложные и промежуточные формулы

Законом логики или тождественно-истинной формулой (тавтологией) называется формула, которая принимает значение истинности при любых значениях входящих в нее переменных. Например: ((а>b)Лb c черточкой) > в. Каждая тождественно-истинная формула выражает какой-то логический закон. Все тождественно-истинные формулы равносильны друг другу.

Существуют также формулы, которые при любых наборах логических значений переменных получают в заключительном столбце своей таблицы логическое значение "ложь". Они называются тождественно-ложными (противоречивыми) формулами. Тождественно-ложные формулы равносильны друг другу.

Формулы, которые могут принимать как истинные значения, так и ложные называются промежуточными или выполнимыми.



31. Отношение логического следования

Логическое следование -- это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики.

Будучи исходным, понятие логического следования не допускает точного определения. Понятие следования обычно характеризуется путем указания его связей с другими логическими понятиями, и прежде всего с понятиями логического закона и модели.

Логический закон - закон мышления (или логический закон), это необходимая существенная связь мысли в процессе рассуждения или доказательства.

Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация «если А, то В» является частным случаем закона логики.

Например, из высказывания «Если натрий металл, он пластичен» логически вытекает высказывание «Если натрий не пластичен, он не металл», поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием второе, представляет собой частный случай логического закона контрапозиции.

Иное, семантическое определение логического следования: из посылок А₁, ..., А_n логически следует высказывание В, если не может быть так, что высказывания A₁, ..., A_n истинны, а высказывание В -- ложно, (т.е. если В истинно в любой модели, в которой истинны A₁, ..., А_n).

Отличительной чертой логического следования является, таким образом, то, что оно ведет от истинных высказываний только к истинным.

32. Modus ponens. Обоснование его правильности

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» -- термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон. Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания: