Если А, то В;

А

В

Здесь «если А, то В» и «А» -- посылки, «В» -- заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись: Если А, то В. А. Следовательно, В. Благодаря этому правилу от посылки «если А, то B», используя посылку «A», мы как бы отделяем заключение «B». Например:

Если у человека грипп, он болен

У человека грипп

Человек болен

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так: (А > B) & А > В, если верно, что если А, то В, и А, то верно В. Это закон логики. Например: «Если при дожде трава растет быстрее и идет дождь, то трава растет быстрее». Рассуждение по правилу модус поненс идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Если висмут -- металл, он проводит электрический ток. Висмут -- металл.

Висмут проводит электрический ток

Но внешне сходное с ним умозаключение:

Если висмут -- металл, он проводит электрический ток. Висмут проводит электрический ток

Висмут металл

Логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению. Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер.

Человек -- коллекционер.

Человек собирает марки

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует истинности заключения. Чтобы не смешивать правило модус ноненс с указанной неправильной схемой надо помнить, что от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания -- нет.

33. Modus tollens. Обоснование его правильности

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Если А, то В; неверно B

Неверно А

Другая запись:

Если А, то В. He-B.

Следовательно, не-А

((a > b) & b c черт.) > в - это тоже закон логики

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий -- металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен

Гелий -- не металл

Смысл modus tollens: можно строить достоверные умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания.

34. Modus ponendo tollens. Обоснование его правильности

Это модус разделительно-категорического умозаключения, в нем 1 посылка - разделительное суждение, другая - простое категорическое суждение.

Либо А, либо В; А Либо А, либо В; В

Неверно В

Неверно А

Другая запись:

Либо А, либо В. А. Следовательно, не-B

Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А

Соответствующие формулы: ((a v с точк. b) & a) > b c чертой; ((a v с точк. b) & b) > в . Обе эти формулы являются логическими законами. Если будет взята не строгая дизъюнкция, то они не будут законами.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге. Он родился в Москве.

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:

На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт. На Южном полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был Скотт.

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

На этом полюсе первым был Амундсен.

Неверно, что там первым был Скотт.

35. Modus tollendo ponens. Обоснование его правильности

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения -- разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая -- категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:

А или В; неверно А

В

Или:

А или В; неверно В

А

Другая форма записи: А или В. Не-А. Следовательно, В.

А или В. Не-B. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно. Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

Иногда эту схему рассуждения называют дизъюнктивным силлогизмом. С использованием логической символики умозаключение формулируется так:

A v В, ~ А

В

Или:

A v В, ~ В

А

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон: (A v В) & ~ А > В, если А или В и ~ А, то В. Вообще этому модусу соответствуют 4 формулы, каждая из кот. является логическим законом.

((a v b) & в) > b; ((a v b) & b с черт.) > a;

((a v с точк. b) & в ) > b; ((a v с точк. b) & b с черт.) > a

36. Дилемма

Дилеммами называются рассуждения, посылками которых являются по меньшей мере два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»). Выделяются следующие разновидности дилеммы.

Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:

Если А, то С.

Если В, то С. Формула, закон логики: ((a>b)&(c>b)&(a v c) > b

А или В.

С

Например: «Если прочту детектив Агаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона, тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона; значит, хорошо проведу вечер». Рассуждение этого типа в математике принято называть доказательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид: Если бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна; при справедливости второго допущения теорема также была бы верна; при верном третьем допущении теорема верна; если верно четвертое допущение, теорема верна; справедливо или первое, или второе, или третье, или четвертое допущение.

Значит, теорема верна.

Сложная конструктивная дилемма:

Если А, то В.

Если С, то D. Формула: ((a>b)&(c>b)&(a v c) >(b v d)

А или С.

В или D.

Например: «Если будет дождь, мы пойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».

Простая деструктивная (отрицающая) дилемма:

Если А, то В.

Если А, то С. Формула: ((a>b)&(a>c)&(~b v~c) > ~a

Неверно В или неверно С.

Неверно А.

Например: «Если число делится на 6, то оно делится на 3; если число делится на 6, то оно делится на 2;

рассматриваемое число не делится на 2 или не делится на 3; следовательно, число не делится на 6».

Сложная деструктивная дилемма:

Если А, то В.

Если С, то D. Формула: ((a>b)&(c>d)&(~b v ~d) > (~a v ~c)

Не-В или не-D.

Не-А или не-С.

Например: «Если поеду на север, то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери или не буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг».

37. Полная и неполная индукция. Популярная и научная индукция. Ч. 1

Индуктивное умозаключение -- это умозаключение, в основе которого не лежит логический закон и в котором истинность посылок не гарантирует истинности выводимого из них заключения. Индукция - умозаключения от знания меньшей степени общности к знанию большей степени общности. Индуктивными являются, к примеру, следующие два умозаключения:

Алюминий проводит электрический ток. Железо, медь, цинк, серебро, платина, золото, никель, барий, кадмий, свинец -- также проводят электрический ток.

Следовательно, все металлы проводят электрический ток.

Алюминий -- твердое тело.

Железо, медь, цинк, серебро, платина, золото, никель, барий, кадмий, свинец -- тоже твердые тела.

Следовательно, все металлы -- твердые тела.

Оба эти умозаключения построены по одной и той же схеме, не являющейся законом логики. И в первом, и во втором все посылки истинны. Но если в первом заключение тоже истинно, то во втором оно ложно, поскольку ртуть -- единственный из металлов -- жидкость. Индукция может вести от истинных посылок как к истинному, так и к ложному заключению. В отличие от дедукции, опирающейся на логический закон, она не гарантирует получения истинного заключения из истинных посылок. Заключение индуктивного умозаключения всегда только предположительно, или вероятно.

Индуктивное умозаключение, результатом которого является общий вывод обо всем классе предметов на основании знания лишь некоторых предметов данного класса, принято называть неполной индукцией.

Общая схема неполной индукции:

Объект А₁ имеет признак В.

Объект А₂ имеет признак В.

Объект А₃ имеет признак В.

А₁, А₂, А₃ -- объекты класса А.

Следовательно, все А имеют признак В.

Здесь от утверждений об отдельных объектах А₁, А₂ и А₃ рассматриваемого класса А осуществляется переход к утверждению обо всех объектах этого класса.

Неполная индукция очевидным образом расширяет наше знание, так как ее заключение содержит информацию большую, чем та, которая содержалась в посылках.

38. Полная и неполная индукция. Популярная и научная индукция. Ч. 2

Пример неполной индукции:

Канада -- большая страна.

США -- большая страна.

Канада и США -- североамериканские страны.

Значит, каждая североамериканская страна -- большая.

Это обобщение является верным, но обосновано слабо. Риск здесь очевиден: в пределах класса могли встретиться исключения. Допустим, мы рассуждаем не о величине американских стран, а о господствующем в них языке:

В Аргентине говорят на испанском языке.

В Венесуэле и Эквадоре говорят на этом же языке. Аргентина, Венесуэла и Эквадор -- латиноамериканские страны. Следовательно, в каждой латиноамериканской стране говорят на испанском языке.

Это рассуждение аналогично по своей схеме, по общему ходу мысли предыдущему. Но заключение ошибочное: португальская Бразилия представляет собой исключение.

Наряду с неполной индукцией принято выделять в качестве особого вида индуктивного умозаключения полную индукцию, в ней рассматривается каждый элемент какого-то класса. Ее схема:

А₁ есть В, А₂ есть В, ..., А_n есть В. Никаких А, кроме A₁, ..., А_n, нет; Следовательно, каждое А есть В. Здесь в посылках о каждом из предметов, входящих в рассматриваемое множество, утверждается, что он имеет определенное свойство. В заключении говорится, что все предметы данного множества обладают этим свойством.

К примеру, учитель, читая список учеников какого-то класса, убеждается, что названные им ученики присутствуют. На этом основании учитель делает вывод, что присутствуют все ученики. В полной индукции заключение с необходимостью, а не с некоторой вероятностью вытекает из посылок. Эта «индукция» является, таким образом, разновидностью дедуктивного умозаключения, хотя по внешней форме, по ходу мысли напоминает неполную индукцию.

39. Полная и неполная индукция. Популярная и научная индукция. Ч. 3

К дедукции относится и так называемая научная индукция, широко используемая в математике. Умозаключение научной индукции слагается из двух посылок и заключения. Первая из посылок говорит, что рассматриваемое свойство присуще первому предмету рассматриваемого ряда. Вторая посылка утверждает, что если это свойство есть у произвольного предмета данного ряда, то оно есть и у непосредственно следующего за ним предмета. Заключение утверждает, что свойство присуще каждому предмету ряда. Научной индукцией называется умозаключение, в посылках которого наряду с повторяемостью признака у некоторых явлений класса содержится также информация о зависимости этого признака от определенных свойств явления.

Общая схема научной индукции схожа со схемой математической индукции: Пусть 1. свойство А имеет место при n=1; если этим свойством обладает какое-то натуральное число n, то n+1 тоже обладает этим свойством. Следовательно, этим свойством обладает любое натуральное число, (это схема матем. инд). В научной индукции на основании познания необходимых признаков части предметов класса делается заключение о всех предметах класса. Ни полная, ни научная индукция не являются индуктивным умозаключением в собственном смысле этого слова. И та, и другая всегда дают истинные заключения из истинных посылок и только внешне напоминают индуктивные рассуждения.

Необходимо иметь в виду, что на характере вывода отрицательно сказывается упущение следующих требований научной индукции:

* планомерный и методический отбор предметов для исследования;

* установление их существенных свойств, необходимых для самих предметов и важных для нашей практики;

* раскрытие внутренней обусловленности этих свойств (признаков);

* сопоставление полученного вывода с другими однотипными положениями науки в данной области знания. Выводы научной индукции не только дают обобщенные знания, но и раскрывают причинную связь, что представляет особую ценность процесса познания. В популярной индукции на основе повторяемости одного и того же признака у некоторой части однородных предметов и при отсутствии противоречащего случая делается общее заключение, что все предметы этого рода обладают этим признаком. Степень вероятности заключения в популярной индукции невысока, так как неизвестно, почему дело обстоит так, а не иначе.

Выводы популярной индукции - часто начальный этап формирования гипотезы. Главная ценность данного вида умозаключения состоит в том, что оно является одним из эффективных средств здравого смысла и дает ответы во многих жизненных ситуациях, причем нередко там, где наука безмолвствует. На основе популярной индукции народ вывел немало примет, пословиц и поговорок. Например: "Когда туман, с неба вниз опускаясь, ложится на землю, значит к доброй погоде, а ежели с вечера туман от земли или воды поднимается, на утро - жаркий день".

Эффективность популярной индукции во многом зависит от того, насколько число случаев, закрепленных в посылках, по возможности будет: а) больше, б) разнообразнее, в) типичнее.

40. Структура доказательства

Под доказательством в логике понимается процедура обоснования истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.

В доказательстве различаются тезис -- утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) -- те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Способ логической связи между тезисом и аргументами называют формой доказательства, или демонстрацией. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства.

К примеру, нужно доказать тезис «Все металлы проводят электрический ток». Подбираем в качестве аргументов утверждения, которые являются, во-первых, истинными и из которых, во-вторых, логически вытекает тезис. В качестве таких утверждений можно принять, в частности, следующие: «Все вещества, имеющие в своей кристаллической решетке свободные электроны, проводят электрический ток» и «Все металлы имеют в своей кристаллической решетке свободные электроны». Строим умозаключение:

Все вещества, имеющие в своей кристаллической решетке свободные электроны, проводят электрический ток.

Все металлы имеют в своей кристаллической решетке свободные электроны.

Все металлы проводят электрический ток.

Данное умозаключение является правильным (оно представляет собой категорический силлогизм), посылки его истинны; значит, умозаключение является доказательством исходного тезиса.

Доказательство -- это правильное умозаключение с истинными посылками. Логическую основу каждого доказательства (его схему) составляет логический закон.

Задача доказательства -- исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.

Раз в доказательстве речь идет о полном подтверждении, связь между аргументами и тезисом должна носить дедуктивный характер.

По своей форме доказательство -- дедуктивное умозаключение или цепочка таких умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому положению.

41. Доказательство и опровержение

Опровержение -- это рассуждение, направленное против выдвинутого тезиса и имеющее целью установление его ложности или недоказанности. Опровержение является операцией как бы зеркальной операции доказательства. Оно должно показать, что: неправильно построено само доказательство; выдвинутый тезис ложен или не доказан. Суждение, которое надо опровергнуть называется тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых это делается, называются аргументами опровержения. Есть 3 способа: опровержение тезиса, критика аргументов, выявление несостоятельности демонстрации.

Опровержение тезиса:

1. выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения ложно, то ложным является и само положение. Доказательств ложных утверждений не существует

2. доказательство истинности его отрицания. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является отрицание тезиса, вопрос об истинности самого тезиса автоматически отпадает. Достаточно показать одного белого медведя, чтобы опровергнуть убежденность в том, будто медведи бывают только бурыми. Если утверждается, что у каждой планеты во Вселенной есть спутники, стоит указать одну планету без спутников (скажем, Венеру), чтобы опровергнуть это утверждение.

3. Опровержение фактами

Критика аргументов: В этом случае нужно показать что приводимые аргументы ложны или несостоятельны. Ложность аргументов не означает ложности тезиса. Ошибочность аргументов выявляется так же, как и ошибочность тезиса: выведением из них следствий, оказывающихся в итоге несостоятельными, или доказательством утверждений, противоречащих аргументам.

Несостоятельность демонстрации: показывают ошибки в форме доказательства. Обычная ошибка: истинность тезиса не вытекает из аргументов, приведенных в его подтверждение. В критике демонстрации мы опровергаем ее ход, а не сам тезис.



42. Прямое и косвенное доказательства

Под доказательством в логике понимается процедура обоснования истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое. Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные.

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

Это прямое доказательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргументы, и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того, чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

43. Правила и типичные ошибки аргументации

Если в процессе доказательства не соблюдать определенные правила, то могут произойти ошибки относительно доказываемого тезиса, ошибки по отношению к аргументам и ошибки в форме доказательства. Правила тезиса: * Тезис должен быть сформулирован точно и ясно, не должен допускать многозначности. Ошибки: Кто слишком много доказывает, тот не доказывает ничего. или же «Кто слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает». В первом случае ошибка возникает, когда вместо одного истинного тезиса пытаются доказать другой, более сильный тезис, и при этом он может быть ложным. Если из a следует b, то из b не следует a. Если, например, вместо того, чтобы доказывать, что человек не начинал первым драки, начнут доказывать, что он и не участвовал в ней, то этим ничего не докажут, если он действительно дрался и это видели свидетели. Вторая ошибка возникает, когда вместо тезиса a доказывают более слабый тезис b. Если, пытаясь доказать, что это животное - зебра, мы доказываем, что оно полосатое, то это ни к чему не приведет, т.к. тигр тоже полосатый.

* На всём протяжении доказательства тезис должен быть одним и тем же. Ошибка: подмена тезиса. При ней один тезис подменяется другим, и этот новый тезис начинают доказывать или опровергать. Здесь происходит нарушение закона тождества. Еще одна ошибка - «довод к человеку». Доказательство тезиса подменяется ссылками на личные качества того, кто выдвинул этот тезис. Правило аргумента:

* Аргументы должны быть истинными суждениями, не противоречащими друг другу. Ошибка: заблуждение - в качестве аргументов используются заведомо ложные факты. Может быть умышленной, с целью запутать, и неумышленной (до Коперника считали, что Солнце вращается вокруг Земли и от этого строили теории). Предвосхищение оснований - в качестве аргументов используются такие факты, которые сами нуждаются в доказательстве. Недоказанные аргументы только предвосхищают, но не доказывают тезис.

* Аргументы должны быть достаточными основанием для доказательства тезиса. Ошибка: мнимое следование - когда тезис не следует из приводимых в его подтверждение аргументов. (это ошибка в форме доказательства).

* Аргументы должны быть доказаны независимо от тезиса. Ошибка: Порочный круг, круг в доказательстве - тезис доказывается аргументом, а аргумент доказывается этим же тезисом.

* Правило демонстрации, то есть при связывании тезиса с аргументами, должны быть соблюдены правила того умозаключения, по схеме которого строится доказательство. Ошибки: смешение относительного смысла высказывания с безотносительным - высказывание истинное в конкретных условиях, рассматривается как истинное для всех других условий. Смешение собирательного смысла понятия с разделительным.



К вопросам 36, 37, 38, 39 - обоснования правильности модусов

Modus ponens

A	B	A>B	A>B & A	(A>B & A)>B
и	и	и	и	и
и	л	л	л	и
л	и	и	л	и
л	л	и	л	и

Modus tollens

A	B	A>B	~B	(A>B) & ~B	~A	(A>B) & ~B>~A
и	и	и	л	л	л	и
и	л	л	и	л	л	и
л	и	и	л	л	и	и
л	л	и	и	и	и	и

Modus ponendo tollens

A	B	A<|>B	(A<|>B) & B	~A	(A<|>B) & B>~A
и	и	л	л	л	и
и	л	и	л	л	и
л	и	и	и	и	и
л	л	л	л	и	и

Modus tollendo ponens

A	B	AvB	~A	(AvB) & ~A	(AvB) & ~A>B
и	и	и	л	л	и
и	л	и	л	л	и
л	и	и	и	и	и
л	л	л	и	л	и

Размещено на Allbest.ru