Предмет логики как науки

Тема 1. Предмет логики как науки

1. Мышление и язык. Понятие логической категории

Логика - это наука об общих структурах правильного мышления в его языковой форме.

Само слово «логика» происходит от греческого слова «логос», которое может быть переведено как «разум, понятие, рассуждение». Это слово также служило в качестве философского понятия, обозначающего единый закон, управляющий человеческим мышлением и определяющим порядок вещей в мироздании.

В наиболее широком понимании предмета, логика исследует структуру мышления, выявляет лежащие в основе человеческого мышления закономерности движения к истине.

Мышление человека неразрывно связано с языком. Языковые выражения - это та реальность, строение и способ употребления которой дает нам знание не только о содержании мыслей, но и об их формах и законах мышления. Все выражения языка можно разбить на классы таким образом, что замена одного выражения другим из такого же класса не делает осмысленный текст бессмысленным, но если выражение заменить другим из другого класса, осмысленный текст станет бессмысленным. Арифметическое выражение «3 + 2 = 5» является осмысленным и истинным. Оно останется осмысленным, хотя и станет ложным, если число «2» заменить любым другим. Но оно перестанет быть осмысленным, и, вместе с тем, станет ни истинным, ни ложным, если вместо «2» поставить, например, знак деления или умножения.

Предельно общие классы таких взаимозаменяемых выражений называются логическими категориями. Соответственно, число «2» и знак деления или умножения соотносятся с различными логическими категориями.

Основными логическими категориями являются высказывания, имена и функторы.

Высказывание (в элементарной, т.е. двузначной логике) - это предложение, выражающее мысль, которая является истинной либо ложной. Истинность и ложность являются логическими значениями высказывания.

Имя - это слово или словосочетание, обозначающее какой-либо предмет мысли и используемое в качестве логического подлежащего или логического сказуемого в высказываниях типа: «А есть В».

Функтор - выражение, которое на основе других выражений, называемых аргументами, образует новое, более сложное осмысленное выражение. Выделяют разные виды функторов, на основании: а) логической категории выражения, образуемого с помощью функтора, б) числа аргументов, в) логической категории аргументов. Различают унарные, одноаргументные, и бинарные, двухаргументные функторы. К первым относятся выражения типа «неверно, что», ко вторым «и, или, либо, если, то; если, и только если». Перечисленные функторы называются логическими союзами.

Среди функторов особое место принадлежит именным функциям, пропозициональным функциям и операторам.

Именная функция - это выражение, содержащее переменные и превращающееся в имя при подстановке вместо переменных соответствующих аргументов.

Пропозициональная функция - выражение, содержащее переменные и превращающееся в высказывание при подстановке вместо переменных соответствующих аргументов.

Пропозициональная функция, аргументами которой являются имена, называется предикатом. Примером пропозициональной функции служит выражение «Если p то q», которое превращается в высказывание, если вместо p подставить высказывание «идет дождь», а вместо q - «улицы мокрые».

Пропозициональная функция, аргументами которой являются имена, называется предикатом. Предикат превращается в высказывание не только подстановкой имен вместо переменных. Например, предикат «х открыл Америку» превратится в высказывание, если ему предпослать выражение «для некоторого х верно, что» или «для всякого х верно, что». В первом случае мы получим истинное, во втором - ложное высказывание.

Выражение «для некоторого х верно, что» или «существует х» называется квантором существования и обозначается х.

Выражение «для всякого х верно, что» называется квантором общности и обозначается х.

Операция, когда предикату предпосылается квантор, называется квантификацией. Принято считать, что при квантификации квантор с переменной x (или y, z, др.), связывает одноименную переменную предиката. Такая переменная называется связанной. Переменная, не связанная квантором, называется свободной. Например, в предикате «xy (x сильнее y в z)», который читается «Существуют такие x и существуют такие y , что x сильнее y в z», переменные x и y - связанные, а z - свободная. Если кванторы связывают не все переменные, выступающие в предикате, то он не превращается в высказывание, а остается предикатом.

При введении переменных устанавливаются (иногда неявно), какого рода постоянные - конкретные имена, высказывания функторы можно подставлять вместо тех или иных переменных. Постоянные, которые можно подставлять вместо переменной называются значениями этой переменной, а множество таких постоянных - областью значений переменной. Значениями переменной также часто называют предметы, обозначаемые постоянными, а областью значений переменной - множество таких предметов.

Различаются: а) пропозициональные переменные, значениями которых выступают высказывания - p, q, r, … p1, q1, r1, …; б) индивидуальные переменные, т.е. переменные, значениями которых являются имена индивидуальных предметов x, y, z, … x1, y1, z1, …; в) предикатные переменные, т.е. переменные, значениями которых являются имена свойств и отношений P, Q, R, … P1, Q1, R1, … .

Кроме кванторов общности и существования есть другие выражения, связывающие переменные и объединенные общим названием «операторы». Например, выражение «множество таких x, что» называется оператором абстракции, выражение «тот x, который» - оператором дескрипции.

2. Понятие логической формы. Формальная логика - наука о логических формах

Логическая форма - это такая характеристика мысли, которая не зависит от ее конкретного содержания, но служит для связи и упорядочения ее элементов.

В языке логическая форма фиксируется с помощью пропозициональных, именных и прочих переменных, а также логических констант.

Логическая константа - это функтор, сохраняющий свое значение в любом рассуждении. Логические константы обозначают символами. Некоторые символы уже упоминались, назовем остальные. Функтор «и» обозначается , «или» - v, «либо, либо» - v, «если, то» - , «тогда и только тогда, когда» - , «неверно, что» - , «необходимо, что» - , «возможно, что» - .

Следует отметить, что вопросы о правильности мышления и логическом следовании одних мыслей из других не всегда могут быть решены, исходя из «здравого смысла». Формальная логика исследует и предлагает точные способы решения таких вопросов.

Формальная логика - это наука о закономерностях правильного мышления, т.е. такого мышления, при котором достигается переход от ранее установленных положений к новому знанию на основе мыслительных схем, сложившихся в результате многократного повторения в процессе постижения истины. Формальная логика обосновывает свои выводы, создавая и используя одну из разновидностей специального, т.н. формализованного языка, предложения которого состоят исключительно из логических констант и переменных

3. Логический закон. Правильные и неправильные рассуждения

Логический закон (или логическая истина) - это логическая форма, которая порождает истинное предложение при любой подстановке вместо переменных их значений (конкретного содержания).

Использование форм, которые являются логическими законам, позволяет оставаться в рамках истинного знания и на основе истинных знаний получать новое истинное знание. Рассуждение, форма которого - логический закон, называется правильным. Отклонение от требований логических законов ведет к нарушению правильности мышления. Правильность отличается от истинности рассуждения. Истинность характеризует мышление в его отношении к действительности, если мысль истинна, она соответствует действительности. Правильность характеризует рассуждение с точки зрения внутренней связи между его элементами. Правильные рассуждения могут приводить к ложным заключениям. Это возможно, когда исходные данные являются ложными.

Соблюдение правильности при истинных исходных данных ведет к истинным результатам. В то же время правильность можно определить как особого рода истинность. Логические связи находятся в соответствии с внешним миром, отражая наиболее простые и всеобщие отношения в нем. Поэтому логические законы определяются с помощью понятия истинности и сами называются логическими истинами. Познавательные ошибки, связанные с неверным представлением о действительности, называют содержательными. Ошибки, связанные с нарушением правильности мышления, называются формальными, или логическими. Они делятся на паралогизмы и софизмы.

Паралогизм - это непреднамеренная логическая погрешность. Она, как правило, является продуктом низкой логической культуры. Софизм - преднамеренное нарушение требований логики, прием интеллектуального мошенничества, связанный с попыткой выдать ложь за истину. Пр.: то, что ты не потерял, то ты имеешь. - Да. - Ты не терял рогов. Следовательно, ты рогат.

Тема 2. Высказывание

1. Логика высказываний как наиболее простой и фундаментальный раздел формальной логики. Понятие высказывания. Логические значения высказывания. Высказывание, вопрос, повеление

Логическая теория, которая изучает связи между высказываниями, игнорируя их внутреннее строение, называется логикой высказываний или пропозициональной логикой. Это наиболее простая и в то же время фундаментальная часть формальной логики. В ней под высказыванием понимается языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинное оно или ложное.

Соответственно, истинность и ложность выступают логическими значениями высказывания.

Следует учитывать, что отдельные слова, когда они не являются представителями высказываний (например, как «Похолодало»), вопросы, просьбы и приказы высказываниями не являются.

2. Высказывания простые и сложные. Логические союзы: конъюнкция, дизъюнкция слабая, дизъюнкция сильная, импликация, эквиваленция, отрицание. Выражение сложных высказываний в символической форме

Высказывания, и их логические формы, бывают простыми (атомарными) и сложными (молекулярными). Простые выказывания обычно обозначаются строчными буквами латинского алфавита: p, q, r, … Прописные буквы, A, B, C, D, могут использоваться как переменные любых высказываний, простых и сложных.

Сложные высказывания образуются при помощи особых функторов, или логических союзов, важнейшие из которых отрицание, конъюнкция, дизъюнкция слабая и сильная, импликация, эквиваленция. Сложное высказывание называют именем функтора, с помощью которого оно образовано.

Запишем определения этих высказываний и их выражения в символической форме:

Конъюнкция (логическое произведение) - это молекулярное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда все составляющие его высказывания (аргументы) истинны. Обозначается: A B, читается: A и B. В разговорном языке конъюнкции соответствуют союзы «а», «но», «да», «хотя», «однако» и др.

Слабая (не исключающая) дизъюнкция - это сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда, по крайней мере, только один его аргумент истинен. (Логическое сложение). Обозначается: A B, читается: «A или В»; «или» употребляется в не исключающем смысле.

Сильная (исключающая) дизъюнкция - это сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда только один его аргумент истинен. Обозначается: А В, читается: «либо А, либо В».

Импликация - это молекулярное высказывание, ложное тогда и только тогда, антецедент истинен, а консеквент ложен. Антецедент или основание - это выражение перед оператором импликации, а консеквент - то, что идет после. Импликация обозначается как «А В» и читается: « если А, то В», или «из А следует В».

Эквиваленция - молекулярное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба аргумента либо истины, либо ложны. То есть, когда их логические значения совпадают. Обозначается: А В, читается: «А тогда и только тогда, когда В», «А, если и только если В».

Вот таблица истинности этих высказываний:

А	В	A B	A B	А В	А В	А В
И	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Отрицанием высказывания А называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Оно обозначается ¬А и читается: «не-А», «неверно, что А». Определение выражается с помощью следующей таблицы, где «И» обозначает «истинно», а «Л» - «ложно»:

А	¬А
И	Л
Л	И

Перечисленные операции применяются как для действий с простыми, так и со сложными высказываниями зная логические значения исходных высказываний, можно составлять таблицы истинности высказываний более сложной формы. Порядок выполнения операций, как в математических примерах, будет указываться скобками. Пр.: если я устал или хочу спать, то я не могу переводить этот текст. Это высказывание является импликацией, антецедент которой сложное высказывание - слабая дизъюнкция.

Соединяя высказывания при помощи союзов, мы может соединять ими же их логические формы.

3. Отношения между логическими формами высказываний. Отношения сравнимости и несравнимости. Отношения совместимости: следование, полная совместимость (равнозначность), частичная совместимость, сцепление. Отношения несовместимости: противоречие, противность

При обсуждении практических и научных вопросов происходит сопоставление различных положений и мнений. Они сравниваются, сопоставляются, противопоставляются, и, таким образом, вступают между собой в различные логические отношения. Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения логических форм, в которые эти высказывания воплощаются. Выделяются сравнимые и несравнимые формы.

Логические формы альфа и бета сравнимы, если и только если имеется хотя бы одна переменная, содержащаяся как в альфа, так и в бета. Пр.: формы высказываний A B и С ¬В сравнимы, а A B и С D - нет. То есть:

Два высказывания сравнимы тогда и только тогда, когда имеется хотя бы одно простое высказывание, входящее в структуру как первого, так и второго высказывания.

Среди сравнимых логических форм различают совместимые и несовместимые.

Совместимость логических форм определяется наличием хотя бы одного случая, когда в них содержатся высказывания, являющиеся вместе истинными. Логические формы несовместимы при отсутствии такого случая. Пр.: формы высказываний A B и A B совместимы. Так, при подстановке вместо А и В порождаются истинные высказывания, которые вместе истинны. Это видно из таблицы:

А	В	A B	A B
И	И	И	И

Формы А В и А В несовместимы. При одинаковых значениях А и В они не имеют общего значения «истинно».

Совместимые формы находятся в отношениях: а) следования или подчинения, б) полной совместимости или равнозначности, в) частичной совместимости, г) сцепления.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении следования или подчинения, т.е. из альфа следует бета, если и только если всегда, когда форма альфа преобразуется в истинное высказывание, форма бета при тех же значениях переменных также преобразуется в истинное высказывание.

Формы альфа и бета находятся в отношении полной совместимости или равнозначности, если и только если всегда, когда первой соответствует истинное высказывание, второй также соответствует истинное высказывание и наоборот. Т.е., при одинаковых значениях составляющих логические значения высказываний полностью совпадают. В отношении равнозначности также находятся высказывания следующих логических форм:

1	(A B)	A B
2	(A B)	A B
3	A B	(A B)(А В)
4	А В	В А
5	А В	(А В)
6	(А В)	А В
7	А В	А В
8	А В	(А В) (В А)
9	( А В)	А В
10	А	А
11	А	А (А В)
12	А	(А В) (А В)
13	А	(А В) (А В)
14	(А С) (В С)	(А С) (В С) (А В)
15	(A С) (В С)	(A С) (B С) (А В)

Отношение равнозначности позволяет в процессе рассуждения без ущерба для смысла взаимозаменять высказывания различных форм, как во всех указанных случаях, устранять избыточную информацию, как в случаях 10, 13, выделять новые формы - 12, 15. Формулы, находящиеся в отношении полной совместимости, следуют друг от друга, т.е. находятся в отношении взаимоследования.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении частичной совместимости, если и только если они соответствуют высказываниям, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Несовместимые логические формы находятся в отношениях: а) противоречия, б) противоречивости.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении противоречия, если и только если с их помощью порождаются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, и не могут быть вместе ложными.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении противности, если и только если им соответствуют высказывания, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными.

Сравнимые логические формы альфа и бета находятся в отношении сцепления, если и только если истинность (ложность) высказываний формы альфа не исключает ложности (истинности) высказываний формы бета, и наоборот.

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность рассуждений.

4. Понятие закона в логике высказываний. Табличный способ селекции законов в логике высказываний. Простейшие законы логики высказываний: законы тождества, противоречия, исключенного третьего. Сокращенный способ селекции логических законов

Законы логики характеризуют правильность построения логического мышления, процесс его протекания с точки зрения его определенности, последовательности, непротиворечивости обоснованности. Человеческая практика подтверждает адекватность логических связей общим связям и отношениям между вещами. Законы формальной логики связаны с истинностью мышления, но не напрямую, а опосредованно. Правильность мышления совместима как с его истинностью, так и с ложностью. Пр.: из ложных положений «все рыбы - млекопитающие» и «кит - рыба» следует истинное заключение «кит - млекопитающее».

Следует помнить, что из истинных посылок при соблюдении законов и правил логики невозможно получить ложное заключение - оно с необходимостью будет истинным.

Под законом логики понимают необходимую связь как между элементами мысли, так и между мыслями, выраженную в суждении, умозаключении. Эта связь выражается в схемах правильных форм, сложившихся в процессе много вековой практики мышления. Эти схемы выражаются в формулах, принимающих значение «И» при всех значениях входящих в них переменных. В логике высказываний эти формулы называют тождественно-истинными. Специфика законов логики высказываний в том, то в качестве переменных, входящих в структуру логических форм, выступают отдельные высказывания как целостные образования. При подстановке в логический закон любых переменных, полученное сложное высказывание всегда будет истинным.

Число тождественно-истинных формул неограниченно, поэтому количество законов в логике бесконечно.

Основными законами логики высказываний являются законы тождества, противоречия, исключенного третьего.

Закон тождества: всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественна сама себе. Обозначается: А А.

Закон противоречия (непротиворечия): два высказывания, которые отрицают друг друга, не могут быть вместе истинными, по крайней мере, одно из них ложно. Обозначается: (А А).

Закон исключенного третьего: два высказывания, которые отрицают друг друга, не могут быть одновременно ложными. Одно из них необходимо истинно, третье исключено. Этот закон действует в отношении противоречащих, или т.н. контрадикторных высказываний и обозначается: АА.

Когда высказывание выражается формулой с малым количеством переменных, удобно использовать табличный метод, поэтому применяются сокращенные методы селекции логических законов.

С сокращенным методом селекции логических законов можно ознакомиться на примере формы ((А В) (В С) А) С. ход мысли здесь будет следующим:

допустим, эта форма не есть логический закон. Тогда при некоторой подстановке она будет ложным высказыванием.

Поскольку данная форма - импликация, она может оказаться ложным высказыванием только когда при некоторой подстановке ее антецедент будет истинным, а консеквент - ложным, т.е., когда ((А В) (В С) А) - истинно, а с - ложно.

Данный антецедент - конъюнкция, и чтобы он был истинным, необходимо, чтобы оба его члена были истинными, т.е., (А В) (В С) и А должны быть истинны.

Поскольку (А В) (В С) - конъюнкция, при ее истинности оба члена, А В и В С должны быть истинны.

А В - истинная импликация; ее антецедент А истинен согласно п.3, В тоже будет истинным.

Поскольку В С - истинная импликация, и в - истинно, то С тоже истинно.

Получается, что высказывание С одновременно должно быть и ложным, согласно п.2, и истинно, согласно п.6. это невозможно, так как по определению, всякое высказывание является либо истинным, либо ложным. Полученное противоречие - результат допущения в п.1, от которого придется отказаться и признать, что рассмотренная форма - логический закон.

Следует учитывать, что применение сокращенного метода требует хорошей ориентации в определениях основных логических союзов.

Тема 3. Имена

Понятие имени. Выражение имен в естественном языке. Объем и содержание как основные характеристики имени

Имя - выражение языка, обозначающее предмет или множество, совокупность предметов. «Предмет» в данном случае понимается обобщенно, в самом широком смысле. Предметы, мысленно объединяемые в некоторое множество, или класс, называют элементами множества (класса).

Имена обозначают, называют, представляют в языке какие-то предметы. Эти предметы называются значениями имен.

Основными характеристиами имени выступабт его объем и содержание.

Объем имени - это множество, совокупность, класс предметов, обозначаемых именем. Содержание имени - это совокупность мыслимых в имени признаков предметов.

2. Понятие признака. Виды признаков. Признаки общие (родовые) и отличительные (видовые). Основное и полное содержание имени

Признак - это любое свойство, любая характеристика предмета. Содержание имени фиксирует характеристики предметов, в совокупности принадлежащие каждому предмету, выделяемому этим именем, т.е. входящему в его объем.

Признаки, составляющие содержание имени, делятся на родовые, видовые и индивидуальные. Если мы в пределах более широкого класса объектов выдялем более узкий класс объектов, то признаки, выделяющие более широкий класс объектов будут называться родовыми, а выделяющие более узкий класс - видовыми. Т.е., родовые признаки выступают как общие, а видовые - как отличительные.

Родовые признаки - это признаки того класса предметов, в котором выделяется более узкий класс (подкласс).

Видовые признаки -это признаки, в соответствие с которыми выделяются подклассы в рамках класса.

Различают основное и полное содержание имени. Основное содержание имени - минимальная часть содержания имени, из которой выводимо все его остальное содержание (которое в этом случае называется производным).

Полное содержание имени - это совокупность основного и производного содержаний имени.

3. Имя и понятие. Имена единичные, общие, пустые. Понятие универсума рассуждения и универсальные имена. Имена четкие и нечеткие

Понятие - форма мышления, в которой выделяются и обобщаются предметы того или иного класса по существенным отличительным признакам. Существенным называется признак, определяющий качественную специфику тех или иных предметов и который отличает данные предметы ото всех остальных. Этот признак лежит в основе выделения предметов и их объединения в классы. Всякое понятие характеризуется объемом и содержанием.

Содержанием понятия называется признак, на основании которого предметы обобщаются в классы.

Объем понятия - это совокупность предметов, обладающих признаком, составляющим содержание понятия. Отдельный предмет, относящийся к объему того или иного понятия, называется элементом класса.

Понятия выражаются в естественном языке посредством имен - слов или словосочетаний. Имя, состоящее из одного слова, называется простым, из двух - сложным, выраженное словосочетанием - описательным или дескриптивным.

Объем, обозначаемый именем, называется денотатом, а отдельный предмет этого объема - десигнатом имени.

Различают имена единичные, общие, пустые.

Единичное имя обозначает один предмет и выражается именем собственным. Т.е., в объем единичного имени входит один элемент.

Общее имя обозначает более одного предмета. Т.е., в объем общего имени входит более одного элемента. Объемы общих имен - это классы (множества) охватываемых ими предметов. Класс, который является объемом имени, называется значением этого имени.

Нулевые (пустые) имена - это имена, объем которых не содержит ни одного элемента. Класс без единого элемента называют нулевым или пустым.

Особой разновидностью общих имен являются универсальные имена. Их название, как вы догадываетесь, происходит от слова «универсум». В каждой области познания выделяется свой класс исследуемых объектов. Это могут быть физические тела, живые организмы, числи и т.д. В логике и методологии познания такого рода класс, или множество, называется универсумом соответствующей области познания, или, как еще говорят, универсумом рассуждения. При этом имеется в виду, что высказывания и рассуждения данной области знания относятся к этим объектам. Например, для биологии универсумом в целом будет класс всех живых существ, для соответствующего раздела - класс позвоночных. В логике и методологии науки универсум иногда может толковаться как предельно широкое множество, - множество, включающее в качестве своих элементов все объекты. Итак:

Имя называется универсальным, если в видовой части его содержания фиксируются только такие признаки, которые присущи каждому элементу класса, являющегося универсумом рассуждения. Например, если объект - металл, то он обладает свойством проводить электрический ток.

Среди универсальных имен выделяются такие, в видовом содержании которых отражается некоторый объективный закон, и такие, в содержании которых такой закон не отражается. Имена первого типа - т.н. закономерно или необходимо универсальные, их видовое содержание выражает некоторую необходимую закономерность, связанную с законами объективного характера (логики или природы). Пр.: «объект, для которого верно, что он обладает свойством Р или не обладает свойством Р». Этой общей формулировке соответствует «треугольник с суммой углов 180 градусов» (в случае с эвклидовой геометртией). Имена второго типа можно отнести к случайно универсальным. Пр.: все собравшиеся в аудитории, надели шляпы. Тогда «человек, находящийся в данной аудитории в шляпе» будет случайно универсальным именем.

Имя называется четким (точным, определенным), если относительно любого предмета можно точно и однозначно решить, входит или не входит данный предмет в объем данного имени. В противном случае имя называют нечетким (неопределенным, расплывчатым, размытым, неточным) по объему.

4. Отношения между именами. Сравнимость и несравнимость имен. Совместимость и ее виды - полная совместимость (равнообъемность), подчинение, частичная совместимость (пересечение). Несовместимость и ее виды - противоречие, внеположенность, соподчинение, противоположность. Круговые схемы Эйлера и диаграммы Венна для изображения отношений между именами

Отношения между именами выделяют в зависимости от специфики отношений между их содержаниями и объемами.

Имена сравнимы между собой, если их содержания имеют общие признаки. Имена являются несравнимыми, если в их содержаниях нет общих признаков, позволяющих выделить основания для сравнения. Сравнимые имена делятся на совестимые и несовместимые.

Имена совместимы если их объемы хотя бы частично совпадают, т.е., имеют общие элементы. В противном случае имена несовместимы.

Отношения совместимости делятся на: 1) отношения равнообъемности (равнозначности), 2) подчинения, 3) пересечения (перекрещивания).

Имена, объемы которых полностью совпадают, являются равнообъемными (равнозначными).

Имена находятся в отношении подчинения, если объем одного полностью включается в объем другого, но не совпадает с ним. Включающее имя называется подчиняющим, включенное - подчиненным.

Имена являются пересекающимися (перекрещивающимися), если их объемы лишь частично входят друг в друга.

Несовместимость имен проявляется в случаях, когда имеют место: 1) отношения соподчинения, 2) противоречия, 3) противоположности.

Несовместимые имена называются соподчиненными, если их объемы в сумме составляют часть объема некого подчиняющего имени. Наличие более общего подчиняющего имени необходимо для отношения соподчинения.

Несовместимые имена называются противоречащими, если они полностью исчерпывают объем третьего, подчиняющего имени, причем одно их них обозначает предметы, лишенные свойств, входящих в содержание второго имени. Два таких имени, исчерпывая по объему весь универсум, исключают возможность третьего объема, находящегося между ними.

Несовместимые имена называются противоположными, если их содержания выражают какие-либо крайние характеристики в некотором упорядоченном ряду постепенно меняющихся свойств. Многие пары противоположных имен являются нечеткими по объему. Противоположные имена не исчерпывают по объему тот класс, в рамках которого сопоставляются. Каждое такое имя включает в свой объем лишь крайние множества элементов объема данного класса.

Для изображения отношений между именами применяются круговые схемы Эйлера и диаграммы Венна.

Отношение равнообъемности (равнозначности)

А и В. Пр.: А - квадрат, В - прямоугольник,

у которого диагонали взаимно перпендикулярны.

Отношение подчинения

А -студент, В - студент первого курса.

Отношение пересечения (перекрещивания)

А - студент, В - житель Минска.

Отношение соподчинения

А - житель Руденсска, В - житель Минска,

С - гражданин Республики Беларусь.

Отношение противоречия

А -- студент, В - не-студент

Отношение противоположности

А - самые богатые граждане

Республики Беларусь, В - самые бедные

граждане Республики Беларусь

Отношение между несравнимыми именами.

В отличие от соподчинения, в случае

несравнимости имен не указан более

широкий класс, подчиняющий их объемы.

5. Операции с объемами имен. Обобщение, ограничение, расширение, локализация, типизация. Мысленные переходы от части к целому и наоборот

Отношения между именами по объему позволяют проводить с ними логические операции, в результате которых появляются новые имена. Важнейшими операциями являются обобщение, ограничение, расширение, локализация, типизация.

Обобщение объема А - это логическая операция, в результате которой образуется имя с объемом В, содержащим в себе объем А. Т.е., обобщить имя А - значит образовать другое имя В (род), которое подчиняло бы А (вид).

Причем, при обобщении имя В может быть еще неизвестно , содержание нужно выбирать, объем установить или уточнить, само имя заново формулировать. Процесс обобщения - неотъемлемый компонент научного познания. В процессе познания обобщающее имя само может быть обобщено, - и т.д. пределом обобщения выступает некоторое универсальное имя. В разных науках - это имена, фиксирующие фундаментальные научные понятия - т.н. научные категории. Например, в математике, в геометрии - точка, плоскость; в логике - свойство, отношение: в физике, в механике - сила, масса, материальная точка.

Ограничение - это логическая операция, обратная обобщению. При ограничении происходит нахождение имени с объемом В, которое содержит в себе объем А. Ограничение объема А - это нахождение другого такого имени В (вида) , которое находится в отношении подчинения к имени А роду). Предел ограничения - имена, объемы которых равны одному предмету, т.е. единичные имена. Например, предел ограничения имени «столица» - Минск, Варшава и т.д.

Типизация - особая разновидность ограничения.

Тип - это имя, которому однородные предметы соответствуют в той или иной мере.

Если некоторые предметы составляют объем имени А и среди них есть такие, которые безусловно, т.е. со степенью, равной единице, принадлежат к объему в, а другие обладают этим свойством в некоторой степени, т.е., меньшей единицы, то имя с объемом В представляет собой тип. Пр.: ограничивая объем имени «человек», можно получить «низкий человек», или «высокий человек». «низкий человек» - это тип; другой тип - «высокий человек». Итак:

Тип - это имя с нечетким объемом.

Термин «тип» может употребляться и в ином смысле, когда к типичнным представителям относятся только те предметы, которые безусловно, со степенью, равной единице, принадлежат к объему нечеткого имени. В этом случае содержание типа в концентрированном виде заключает в себе признаки родственных предметов. В этом смысле тип - это имя-образец, этало для описания и оценки предметов. Вспомните типичных представителей из числа персонажей руской литературы 19 века, например, персонажей Гоголя или Достоевского («подросток», «подпольный человек», др.).

Расширение объема А - присоединение к объему А новых предметов, тождественных со старыми по некоторому признаку.

Локализация объема имени А - операция, обратная расширению, удаление из объема А предметов, тождественных с оставшимися по некоторым признакам. Пр.: в биологии из класса рыб в свое время удалили китов, но объем и содержание имени «рыба» остались неизменными.

Дело в том, что в случае прибавления или удаления некотороых предметов из объема некоторого имени, не изменяют объем или содержание имени. Признак, в соответствии с которым объем выделяется и фиксируется, остается неизменным.

От логических операций с объемам имен отличаются мысленные переходы от части к целому и от целого к части. В логических операциях устанавливаются взаимоотношения родовых и видовых признаков. Так, обобщаемое имя содержит в себе результат обобщения, но не наоборот. Вид обладает всеми признаками рода, но не наоборот, род не обладает всеми признаками вида. В отличие от отношений рода и вида, часть не обладает содержанием целого. Поэтому смешение операции обобщения или ограничения с операцией мысленного перехода от части к целому или от целого к части недопустимо и ведет к заблуждениям.

6. Деление. Логическое деление, его цели и структура. Виды логического деления - деление стандартное и нестандартное, дихотомическое и политомическое (по видоизменению признака)

Логическое деление -операция, посредством которой объем имени (род) распределяется по классам (видам) в соответствии с некоторым признаком. При этом род называют делимым именем, виды - членами деления, признак - основанием деления. Иногда признак может также называться точкой зрения или аспектом рассмотрения.

В содержательном плане логическое деление состоит в разбиении рода предметов соответственно основанию деления, т.е. особенностям или вариантам признака, присущего данным предметам.

Основанием деления может выступать признак, присущий лишь части предметов некоторого класса. В таком случае предметы делятся на обладающие этим признаком и необладающие. Такое деление называется дихотомическим. Пр.: деление чисел на четные и нечетные. Деление по признаку, которым обладают все предметы рода и который варьируется в видах, называется политомическим. Дихотомическое деление более простое и используется, как правило, на начальной стадии изучения предметов, когда имеется ясность относительно части преметов, обозначенных делимым именем.

Логическое деление бывает классическое и неклассическое. При классическом делении род и виды - это имена с четким объемом, при неклассическом - это нечеткие, расплывчатые имена или типы.

Охарактеризовать операцию деления можно с точки зрения объема и содержания.

С точки зрения объема классическое логическое деление состоит в нахождении для имени А таких имен А1, А2, …,Аn (n - конечное число), что:

каждый из объемов А1, А2, …,Аn находится в отношении подчинения к объему А, - А (А1 А, А2 А, …,Аn А);

сумма объемов А1, А2, …,Аn равна объему А, - (А1 А2 …Аn = А).

каждая пара объемов А1, А2, …,Аn связана отношением несовместимости, - (А1 А2 = ,… А1 Аn = ; А2 Аn = ,…). Имя А при этом является делимым именем, а А1, А2, …,Аn - членами деления. Пр.: если имя А - именная часть речи, то, соответственно, А1, А2, …,Аn - существительное, местоимение, прилагательное, числительное; отношения между ними - это отношения, отмеченные выше.

Для неклассического логического деления характерны свойства 1 и 2, но не свойство 3.

Члены неклассического деления могут находиться в отношении пересечения, - А1 А2 = , и др., когда некоторые из предметов оказываются как бы в «спорной зоне». Пр.: если делить всех людей на дураков, посредственных и умных, то некоторые попадут в рядом расположенные разряды, т.е. и туда, и туда.

В содержательном плане логическое деление состоит в разбиении рода предметов соответственно основанию деления, т.е. соответственно особенностям (или вариантам) признака, присущего данным предметам. Пр.: дома имеют признак этажности. Их можно делить на одно, двух и т.д.-этажные. Звезды делятся по силе света, светимости, которая выражается в единицах, равных светимости Солнца. Этажность домов и светимость звезд выступает основой деления. Особенности этих признаков позволяют относить предметы к тому или иному виду. В рамках вида все эти предметы оказываются в определенном смысле тождественными.

7. Классификация и типология. Классификация (типология) естественная и искусственная. Правила логического деления и ошибки при их нарушении. Аналитическое деление, периодизация

Вместо термина «логическое деление» в качестве синонима используют термин «классификация». Но в этот термин может вкладываться дополнительный смысл.

Классификация в узком смысле, и именно в этом смысле мы будетм использовать его в дальнейшем, - это многоступенчатое, разветвленное логическое деление, такое, что каждый из членов, полученных в процессе этой операции, становится предметом дальнейшего деления. Результат классификации - система соподчиненных имен, где делимое имя обозначает некоторый род, новые имена - виды, виды видов ( подвиды) и т.д.

В соответствии с классическим и неклассическим логическим делением различают классическую и неклассическую классификацию. Неклассическая классификация называется типологией.

Классификация подчиняетсся всем правилам логического деления, плюс имеет свои собственные правила. Это:

Правило непрерывности, согласно которому, при классификации предметов следует переходить к ближайшим видам, не пропуская их. Пр.: при классификации членов предложения сначала выделяют главные и второстепенные, затем главные делят на подлежащее и сказуемое, второстепенные - на определение, дополнение, обстоятельство и т.д.

Правило существенности основания, согласно которому классификация должна производиться по существенным признакам. Пр.: индейцы навахо классифицируют живые существа на говорящие и неговорящие.неговорящие подразделяются на животных т растения. Животные на основе очевидных свойств подразделяются на бегающих, летающих и ползающих. Каждая такая группа делится на передвигающихся днем и передвигающихся ночью. Такая классификация составлена в соответствии со способами охоты и вполне оправдана в определенных условиях существования данной общности. Современная научная классификация живых существ содержит таксономические единицы: роды, виды, семейства, порядки, классы, выделенные в соответствии с картиной эволюции живых существ.

Классификация по существенным признакам называется естественной. Она противополагается искусственной классификации, основанием которой выступают произвольно взятые, как правило, случайные признаки.

Правила логического деленния.

Правило адекватности (соразмерности). Каждый из объектов А1, А2, …,Аn должен быть видом объема А, а сумма А1, А2, …, Аn должна исчерпывать весь объем А. Нарушение правила ведет к ошибке «деление с лишними членами»., когда некоторые из объемов А1, А2, …, Аn не являются видом А.; «неполное деление», когда не все виды делимого рода названы, и сумма объемов членов деления меньше объема делимого делимого имени. Пр.: Люди делятся на кредиторов и должников.

Правило разграниченности (действует только для классического деления). Члены деления должны исключать друг друга, т.е. находиться в отношении несовместимости.

В правилах адекватности и разграниченности учитывается объемный аспект имени. Эти правила дополняются правилами по отношению к содержаниию.

3) Правило единственности основания. Деление должно производиться по одному основанию. При выполнении этого правила предметы, входящие в объем делимого имени, наделяются одним-единственным признаком - тем, который выступает в качестве основания деления. Отступление от правила ведет к ошибке «смешение оснований». Пр.: пресмыкающиеся делятся на морских, сухопутных, яйцекладущих и живородящих. Вначале за основание взят признак среды обитания, а затем - размножения, и изложение становится бессмысленным. Смешение оснований неизбежно сопровождается нарушением правил разграниченности.

Правило единственности основания не исключает возможность сочетать в основании два и более признака, выступающих как единый признак. Пр.: возьмем в качестве основания деления сумму двух признаков - прямоугольность и равнобедренность треугольиков. Тогда объем имени «треугольник» можно разделить на четыре вида: треугольники прямоугольные и равнобедренные, равнобедренные и непрямоугольные, неравнобедренные и прямоугольные, непрямоугольные и неравнобедренные.

От логического деления отличается аналитическое деление. Это отличие - в различном характере отношений «род - вид», «целое - часть». При логическом делении выявляются виды некоторого рода, при аналитическом - в целом мысленно выделяются его части или аспекты, и таким образом, предмет представляется в виде системы, каждая часть которой выполняет строго определенные функции. Например, операция анлитического деления применяется, когда мы выделяем в предложении подлежащее, сказуемое и второстепенные члены, или измеряя длину и ширину доски.

Частный случай аналитического деления - периодизация - установление качественно отличных друг от друга промежутков времени в процессе развития некоторого объекта.

Логическое и аналитическое деление связаны между собой. Каждое аналитическое деление превращается в логическое, если вместо имени расчленяемого предмета А использовать имя «часть А». Например, предложение - члены предложения - подлежащее, сказуемое, второстепенные члены. В этом случае члены аналитического деления становятся видами исходного рода. Обозначенного именем «часть предмета А». Таким образом возникает возможность подчинить аналитическое деление правилам логического деления.

8. Определение (дефиниция), его цель и структура. Номинальные и реальные определения. Явные и неявные определения. Виды явных определений (атрибутивные, генетические, операциональные). Неявные определения и их виды (через абстракцию, контекстуальные, индуктивные и аксиоматические). Специфика остенсивных определений. Определения регистрирующие, постулирующие, уточняющие. Правила определения и ошибки при их нарушении

[Не обязательно]--- (Приемы, сходные с определением (описание, характеристика, через указание на противоположность и т.д.). Значение определений в различных сферах человеческой деятельности.)] ]

Термин «определение» в науке употребляется в различных смыслах. В грамматике определение - член предложения, в юриспруденциии - одна из форм судебного решения. В философии определение - выделение необходимого признака предмета. В логике этот термин до сих пор однозначного не употребляется.

Итак, в логике термин «определение» имеет два разных смысла.

1) Под определением понимается операция, позволяющая выделить некий предмет среди других предметов, однозначно отличить его от них. Это достигается путем указания на признак, присущий этому и только этому предмету. 2) Определение (дефиниция) - это логическая операция, позволяющая раскрыть, уточнить или сформировать смысл одних языковых выражений с помощью других языковых выражений.

Определение, дающее отличительную характеристику предмета, называется реальным.

Определение, раскрывающее, уточняющее или формирующее смысл одних языковых выражений с помощью других языковых выражений, называется номинальным.

Эти понятия не исключают друг друга, определение выражения может быть одновременно определением соответствующего предмета. В структуре определения ввыделяют три части: 1) определяемое имя или выражение, его содержащее, - обозначается Dfd, сокращением от лат. definiendum; 2) выражение, раскрывающее, уточняющее или формирующее значение определяемого имени, - обозначается Dfn, сокращением от лат. definiens; 3) дефинитивная связка, соотносящая Dfd и Dfn по их значению, - обозначается . Формальная структура определения представляется выражением: Dfd Dfn.

Определения классифицируются по разным основаниям. По способу представления определяемого определенияделят на явные и неявные.

Явное определение - такое, в котором определяемое имя синтаксически совпадает с Dfd и непосредственно приравнивается к значению Dfn. Пр.: кислород - О2. Геометрическое тело - любая ограниченная часть пространства вместе с ее границей.

Особое место среди явных занимает классическое определение.

Классическое определение строится по схеме «А есть В и С», где А - Dfd, В и С - Dfn, «есть» - дефинитивная связка. При этом в является родовым именем по отношению к А (А В), а С фиксирует отличительный признак, которым А выделяется среди видов, подчиненных В. Поэтому классическое определение также называется определением через род и видовое отличие.

Близкими классическим являются генетические или индуктивные определения,.

К явным определениям относятся: атрибутивные, генетические и операциональные определения.

Генетические определения описывают предметы в соответствии со способами их образования, возникновения и построения. Пр.: круг - это фигура, образованная движением на плоскости отрезка прямой вокруг неподвижной точки. Как правило, генетические определения истоирчески предшествуют классическим, и, в ряде случаев, являются более эффективными и удобными.

Операциональные определения - это определения через описание совокупности специфицирующих эксперементально-измерительных операций. Они широко распространены в естествознании. Пр. из механики: сила - это физическая величина, пропорциональная расстоянию пружины в пружинных весах.

Определения именам могут даваться и в неявном виде. Так обстоит дело со многими математическими понятиями. Пр.: В математике - логарифм. Логарифм числа N числа при основании А есть показатель степени У, в которую нужнг овзвести А, чтобы получить N. В данном случае имя «логарифм» определяется не само по себе, а неявно, через контекст его использования, т.е. через словосочетание «Логарифм числа N числа при основании А», в котором определенное имя выступает в качестве его части.

Неявные определения включают:определения через абстракцию, контекстуальные, индуктивные и аксиоматические.

Определениями через абстракцию - это неявные определения, связанные с выделением в виде «абстрактных предметов» некоторых множеств и соответствующих им свойств через установление между изучаемыми предметами отношений типа равенства (эквивалентности) и введения для них некоторых имен.

Определения через абстракцию, т.н. логико-математические определения, реально применимы в математике.

Контекстуальными называются неявные определения, в которых имя определяется через контекст его использования, называются. Т.е., контекстуальными являются определения часто употребительных контекстов, из которых определяемый термин не может быть выделен с целью его определения изолированно от контекста.

Индуктивные определения - это неявные определения, которые позволяют из исходных объектов теории путем применения к ним определенных операций, строить новые объекты этой теории. Пр.: «1» - натуральное число. Следовательно, если n - натуральное число, то и n +1 -натуральное число.