Актуальність вивчення теорії ймовірності в шкільній математиці та закладах вищої освіти

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», м. Київ

Актуальність вивчення теорії ймовірності в шкільній математиці та закладах вищої освіти

Кушлик-Дивульська Ольга Іванівна

кандидат фізико-математичних наук

доцент кафедри математичної фізики та диференціальних рівнянь

Золотухіна Катерина Ігорівна

кандидат технічних наук

доцент кафедри технології поліграфічного виробництва

Навчально-науковий видавничо-поліграфічний інститут

Авдєєва Тетяна Василівна

старший викладач кафедри

математичної фізики та диференціальних рівнянь

Анотація

шкільний курс математика

Проаналізовано вивчення теорії ймовірності та елементів математичної статистики в шкільному курсі математики. Показано подібність та відмінності викладення основних понять, тем за підручниками для 9-го та 11-го класу рівня стандарту, поглибленого та профільного рівня різних авторів. Елементи комбінаторики, класичне означення ймовірності, аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та випадкові величини, початкові відомості статистики є наріжним каменем як майбутнього спеціаліста в будь-якій галузі, так і просто освіченої людини. Підкреслено важливість дистанційної форми вивчення математики під час війни, проблеми та ідеї реалізації навчання. Важливим в даному ракурсі є організація, співпраця наставника та учня в роботі позашкільних творчих центрів, зокрема, науково-дослідницька робота КМАН під час проведення літньої та зимової математичних шкіл відділення «Математика», в роботі якої є вебінар та практичне заняття за вказаною тематикою.

Для закладів вищої освіти технічного спрямування розглянуто вивчення даної тематики в ракурсі підготовки кваліфікованих спеціалістів, продемонстровано виклад матеріалу в навчальному посібнику-практикумі для спеціальності 186 «Видавництво та поліграфія» із використанням вирішення практичних задач за допомогою програмного пакету Microsoft Excel.

Показано перевірку виробничих експериментальних даних прилагоджування фальцмашини підляганню нормальному законові розподілу. Використання пакету STATISTICA показало статистики для тестів критерія Колмогорова-Смірнова та %2: частоту, накопичену частоту, теоретичну частоту, різницю емпіричної та теоретичної частоти, обчислені значення статистик для тестів. Для зручності продемонстровано із рисунками використання можливостей програмного пакету як послідовного виконання дій: розрахунковий модуль, використання закладок, відповідного натискання кнопок і проведення аналізу отриманих результатів.

Ключові слова: теорія ймовірностей, математична статистика, експериментальні дані, програмний пакет STATISTICA, нормальний закон розподілу, критерій Колмогорова-Смірнова.

Kushlyk-Dyvulska Olha Ivanivna candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Physics and Differential Equations, National Technical University of Ukraine «Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv

Zolotukhina Kateryna Ihorivna candidate of technical Sciences, Associate Professor of Department of Printing Technology, Associate Professor Publishing and Printing Institute National Technical University of Ukraine «Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv

Avdieieva Tetiana Vasylivna senior Lecturer of Physical and Mathematical Sciences of Department of Mathematical Physics and Differential Equations, National Technical University of Ukraine «Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv

The relevance of studying the theory of probability in school mathematics and institutions of higher education

Abstract

The study of probability theory and elements of mathematical statistics in the school mathematics course is analyzed. Similarities and differences in the presentation of basic concepts, topics according to textbooks for the 9th and 11th grade of the standard, advanced and profile level by different authors are shown. Elements of combinatorics, the classical definition of probability, axioms of probability theory, random events and random variables, initial information of statistics are the cornerstone of both a future specialist in any field and an educated person. The importance of the remote form of studying mathematics during the war, the problems and ideas of the implementation of education are emphasized. Important in this perspective is the organization and cooperation of the mentor and the student in the work of extracurricular creative centers, in particular, the scientific research work of the KMAN during the summer and winter mathematics schools of the «Mathematics» department, which includes a webinar and a practical session on the specified topic.

For institutions of higher education of a technical direction, the study of this subject from the perspective of training qualified specialists is considered, the presentation of the material in the training manual-workshop for the specialty 186 «Publishing and printing» using the solution of practical problems with the help of the Microsoft Excel software package is demonstrated.

The verification of the production experimental data of the adjustment of the folding machine to the normal distribution is shown. The use of the STATISTICA package showed statistics for tests of the Kolmogorov-Smirnov criterion and: frequency, accumulated frequency, theoretical frequency, difference between empirical and theoretical frequency, calculated values x2of statistics for tests. For convenience, the use of the capabilities of the software package as a sequential execution of actions is demonstrated with pictures: the calculation module, the use of bookmarks, the appropriate pressing of buttons and the analysis of the obtained results.

Keywords: probability theory, mathematical statistics, experimental data, STATISTICA software package, normal distribution law, Kolmogorov-Smirnov criterion.

Постановка проблеми

Вивчення теорії ймовірностей, елементів математичної статистики у загальноосвітній школі має свої певні особливості та суттєво відрізняється від вивчення навчальної дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» (вивчення ймовірнісно-стохастичних методів як розділу курсу «Вища математика») у закладах вищої освіти технічного, економічного напряму. Шкільний курс стохастики має не систематичний, поверхневий характер [15]. При ознайомленні та засвоєнні теорії ймовірностей в профільних закладах вищої освіти акцент в основному робиться на практичну значимість теоретичних знань.

В умовах сучасності, воєнного стану, відсутності енергоносіїв проблема організації навчання математики в сучасній школі не лише відповідає на сучасні виклики, але й визначає новий вектор розвитку освіти, забезпечуючи підготовку учнів до життя в цифровому суспільстві. В статті [17] виокремлено недоліки та виклики, які виникають при використанні традиційних методів, проведено порівняння системи та рівня онлайн освіти в Україні та США, обґрунтовано специфіку навчання математики онлайн.

Важливим є визначення перспектив та надання рекомендацій, що створюють основу для подальшого розвитку онлайн-навчання математики, забезпечуючи ефективну та інноваційну освітню практику.

Аналіз останніх досліджень та публікацій

В умовах сьогодення надзвичайно важливим є організація навчального процесу, як офлайн, з урахуванням проблематики попереднього вивчення деяких тем дисципліни, так і в змішаному режимі, чи, можливо, повністю в онлайн-режимі. В роботі [16] показано актуальність використання дистанційної освіти - типу шкільного навчання, який забезпечує навчання учням, які фізично не присутні в традиційних класах. Дистанційне навчання також може стосуватися самостійного навчання, яке пропонують освітні організації з використанням різних методів, таких як онлайн-ресурси або мобільні додатки. Використання мобільних додатків в математиці дозволяє ефективно організувати процес навчання.

Важливим в даному ракурсі є організація, співпраця наставника та учня в роботі позашкільних творчих центрів. Як приклад, в «Центрі технічної творчості та професійної орієнтації шкільної молоді Дарницького району міста Києва, територія STEAM освіти» [10] містить тему: «Теорія ймовірності як розділ математики (6 год.) Теоретична частина. Поняття випадкової події, випробування, імовірності. Неможливі й вірогідні події. Частота та відносна частота події. Складена подія. Сума і добуток двох подій. Практична частина. Розв'язування задач, у т.ч. прикладного характеру», з розділу «Теорія ймовірності».

Проведення літньої математичної школи, зимової математичної школи за напрямом «Математика» для учнів-членів Київської Малої академії наук (зазвичай, відвідувачами є школярі різних вікових груп) передбачає роботу одного дня, пов'язану з цікавими представленнями теоретичних знань елементів теорії ймовірності та математичної статистики з практичними дослідженнями: «Як знайти закономірність у випадках? Обробка даних та елементи статистичних досліджень на практиці», Практична робота «Статистична обробка даних та аналіз отриманих результатів на практичних прикладах», вебінар «Як спрогнозувати невідоме? Спробуємо разом...», локспорт «Зламай код».

Мета роботи - показати важливість вивчення елементів теорії ймовірностей та математичної статистики в курсі шкільної математики, її правонаступництво у закладах вищої освіти, затребуваність для аналізу закономірностей, опрацювання даних.

Виклад основного матеріалу

Тематично вивчення елементів теорії ймовірності та математичної статистики починається в 9 класі. Правда, вже в 6 класі школярі знайомляться з поняттям ймовірності, в параграфі «Ймовірність випадкової події» описано достовірні, неможливі, сумісні та несумісні, рівноможливі події. Означено ймовірність випадкової події із математичним поданням формулою як кількісної характеристики можливості настання цієї події в ході випробування [14]. Прослідкуємо виклад матеріалу в шкільному курсі математиці. В розділі «Для тих, хто хоче знати більше» [11] подано теми «Основні правила комбінаторики» (правило суми та правило добутку), «Частота та ймовірність випадкової події», «Класичне означення ймовірності» (достовірна подія, неможлива, приклади рівноймовірних подій), «Початкові відомості про статистику». Статистика є наукою про отримання, обробку й аналіз кількісних даних, які характеризують масові явища. Статистичне дослідження складається з кількох етапів: збирання даних, обробка даних та їх подання у зручній формі; аналіз даних; висновки та рекомендації. Введено поняття вибірки, репрезативної вибірки, способи подання даних у вигляді таблиць, графіків, діаграм. Навчальний посібник [1] включає окремо «Розділ 4. Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики», який містить аналогічні теми.

Вирізняються деякі відмінності подання матеріалу в 11 класі. Так, в [3] «Розділ 3. Елементи комбінаторики та теорії ймовірностей» містить параграфи: 1. Множина та її елементи. 2. Елементи комбінаторики. Розміщення, перестановки, комбінації. 3. Випадковий дослід і випадкова подія. Ймовірність події. 4. Операції над подіями. Аксіоми теорії ймовірностей та основні наслідки з них. 5. Незалежні події. Умовна ймовірність. 6. Випадкова величина та її математичне сподівання. Прослідковується більш теоретичне обґрунтування тематики з наведенням ряду прикладів застосування. Зокрема, розглянуто поняття геометричної ймовірності (задача про зустріч, використання геометричної ймовірності наближеного обчислення площі методом Монте-Карло) в [9].

Слід звернути увагу на шкільний підручник [7] рівня стандарту, який містить багато доповнюючого матеріалу до вище описаних питань. Введено поняття міри розсіювання випадкової величини навколо її математичного сподівання - дисперсії, показано її обчислення на прикладі, поняття середнього квадратичного, як оцінки сукупності похибок або відхилень від норми. Показано секторні та стовпчасті діаграми, побудову гістограми та полігону розподілу. Означено елементарну подію, простір елементарних подій, як множину всіх можливих наслідків експерименту. Також, на відміну від інших видань, описано деякі розподіли випадкових величин: означено рівномірний дискретний розподіл, біномний розподіл при послідовному проведенні в однакових умовах випробувань (як приклади, вимірювання зросту А. Муавром 1375 навмання вибраних жінок - «успіх» - наступна зустрінута жінка має зріст, який знаходиться в певних межах), дошка Гальтона, яка наочно показує формування випадкової величини за біномним законом з ймовірністю 0,5). Показано, що при зростанні кількості кульок на дошці Гальтона відбувається наближення до кривої Гаусса, кривої щільності нормального розподілу. Розуміння суті нормального розподілу потрібне для всіх науковців, які досліджують закономірності живої чи неживої природи і особливо - людського суспільства.

В роботі [11] виділено три основні складові професійної підготовки майбутніх учителів математики: змістову (оволодіння спеціальними математичними знаннями, формування математичної компетенції); технологічну (оволодіння знаннями з методики навчання математики, формування вмінь застосовувати ці знання на практиці); особистісну (наявність особистісних якостей, які є необхідними для майбутнього вчителя). Запропоновано методичні рекомендації щодо вивчення курсу теорії ймовірностей, спрямованого на фахову підготовку майбутніх учителів математики. Зроблено висновок про те, що фахове спрямування курсу теорії ймовірностей може бути реалізовано при вивченні основних понять стохастики, що входять до змісту шкільного курсу математики; використанні базових знань з елементарної математики, яка є одним з основних фахових курсів у підготовці студентів математичних спеціальностей педагогічних університетів; виконанні спеціальних індивідуальних завдань, що тісно пов'язані з курсом «Методика навчання математики».

В закладах вищої освіти практично для всіх освітніх програм, де вивчають теорію ймовірностей та математичну статистику, розроблено науково-педагогічними працівниками навчальні посібники, методичні вказівки, практикуми, лабораторні роботи для конкретних спеціальностей. Для спеціальності 186 «Видавництво та поліграфія» навчальне видання [4] , як комп'ютерний практикум має метою закріплення знань, одержаних студентами під час вивчення теми «Елементи теорії ймовірності», їх застосування для вирішення конкретних практичних завдань із використанням можливостей пакету Microsoft Excel. Виконання лабораторних робіт сприяє формуванню самостійності у аналізі проведених обчислень, дослідженні практичних задач, які є необхідною складовою підвищення технічного та наукового рівня підготовки студента для вивчення фахових дисциплін, подальшого вміння використовувати отримані знання для задач в поліграфічній галузі [18]. Зміст і структура відображають новітні тенденції у питаннях навчання та підготовки кваліфікованих спеціалістів.

Як приклади, де описана теоретична частина та прикладні задачі у відповідній галузі, можна вказувати їх наявність для всіх спеціальностей, де вивчаються відповідні розділи, в кожному закладі вищої освіти [12], [13], Матеріали таких навчальних видань спрямовані на формування у студентів системи знань та умінь для застосування ймовірнісно-статистичного апарату при розв'язуванні теоретичних і практичних задач у професійній діяльності, а також при дослідженні закономірностей в процесах вимірювання та обробці експериментальних даних.

В підручнику [2] для здобувачів ступеня бакалавра за технічними та економічними спеціальностями, який містить теоретичний матеріал із доведенням, також наведено значну кількість розв'язування прикладів та прикладних задач. В умовах воєнного стану, навчання в змішаному режимі, винесення частини тем на самостійне опрацювання, надзвичайно цінним є розв'язування задач із використанням програмного пакету Microsoft Excel з детальним описом. Для практичного вирішення статистичних задач, які є трудомісткими через значну кількість математичних обчислень, показано використання програмного пакета STATISTICA. Викладання цього матеріалу розраховане на широке коло користувачів, які мають чи можуть мати доступ до програмного забезпечення і початкові необхідні знання з теорії ймовірностей.

Розглянемо використання програмного пакета STATISTICA на прикладі перевірки отриманих експериментальних даних підпорядкуванню нормальному закону розподілу. В таблиці подано кількість браку (на 5000 од. продукції), отриманого в результаті прилагоджування фальцмашини при фальцюванні книжкових зошитів-підручників в три згини, за рядками - підручник 1, підручник 2 і так далі.

Відомий ряд робіт, в яких використано методики математичної статистики опрацювання даних для визначення типу розподілу основних вимірюваних чинників. В статтях [5], [6] показано виконання основного великої кількості незначних незалежних одна від одної випадкових величин і згідно з наслідком теореми Ляпунова [2] має нормальний розподіл. Вважають, що результат вимірювання є випадкова величина X, математичне сподівання якої x дорівнює істинному значенню а вимірюваної випадкової величини M(X) = а. Оскільки сумарна похибка V = X - а підпорядковується нормальному закону розподілу, то можливий результат вимірювання X = а + V теж є нормальним законом.

Вважають, що отримані дані виявлення кількості бракованих підручників є однорідною вибіркою. Перевірку проведено із використанням пакету STATISTICA за критерієм Колмогорова-Смірнова (позначається d), який базується на максимальній відмінності між емпіричною функцією і теоретичною функцією розподілу. Якщо статистика d є значущою, то гіпотеза, що емпіричний розподіл є нормальним, має бути відхилена. Для багатьох програм розраховані значення ймовірності мають силу, коли середнє та стандартизоване відхилення нормального розподілу відоме апріорі та не оцінене за даними. Проте зазвичай ці характеристики обчислені за фактичними даними, як і в даному дослідженні.

Критерій Колмогорова-Смірнова використовують для вибірок обсягом більших за 20 значень, в основному для перевірки гіпотези про нормальність розподілу випадкової величини. Заснований на визначенні максимального відхилення накопиченої частоти (емпірична функція розподілу) від прогнозованої, очікуваної теоретичної функції розподілу.

Дослідивши емпіричний розподіл статистичної вибірки значень, встановлюють його підпорядкування теоретичному законові. Висувається основна і альтернативна статистичні гіпотези: Н0-розподіл значень відповідає закону розподілу А; Н - розподіл не відповідає закону розподілу А, в якості А може виступати будь-який закон розподілу.

В [2], [4] (перевірка гіпотези про закони розподілу) описано послідовність дій (алгоритм) для перевірки за критерієм згоди X, детально показано для перевірки гіпотези Н0: генеральна сукупність має нормальний закон розподілу N(а, а2), де a = x, а2 = s2. Також наведено приклади перевірки із використанням програмного продукту Microsoft Excel.

Розглянемо виконання розрахунків за допомогою програми STATISTICA.

Послідовне натискання Statistics ^ Basic Statistics ^ Descriptive Statistics та кнопки ОК приведе до початку виконання задачі та отримання результатів досліджень. Обравши Graphs 1 та змінну Var 1 (рис. 1) отримуємо обчислення основних статистичних даних поставленої задачі: побудована гістограма, вказано обсяг вибірки, медіана, найменше та найбільше значення, середнє квадратичне відхилення; зображена «коробка з вусами», в якій маленький прямокутник відповідає значенню медіани, великий прямокутник - нижній та верхній квартилі, а вуса - найменшому та найбільшому значенню вибірки. Також є зображення з точками та прямою, яка є підказкою до визначення закону розподілу досліджуваних даних. Отриманий Q-Q графік аналізують таким чином: чим ближче точки графіка розміщені до прямої, тим краще заданий тип розподілу описує дані вибірки (обрано нормальний закон розподілу).

Проведений аналіз, візуальне оцінювання емпіричного розподілу досліджуваних даних, найбільше підходить до нормального закону розподілу; в меню програми розрахунковий модуль «Distribution Fitting», тобто Statistics ^ Distribution Fitting, далі нормальний розподіл (рис. 2) і OK. В розрахунковому модулі «Fitting Continuous Distribution» вказуємо досліджуваний ряд, як Var 1.

У закладці Options відмітимо Yes (continuous) у розділі Kolmogorov- Smirnov test та кнопку Summary (доступ до розрахунку емпіричних («observed») і теоретичних («expected») частот розподілу. В цьому режимі можна почергово підбирати усі доступні у меню програми теоретичні закони і вибрати оптимальний за найменшим значенням критерію %2.

Рис. 1. Вигляд отриманих даних на екрані

Натискання кнопки Summary (рис. 3) приводить зразу до статистики для тестів Колмогорова-Смірнова та %2.

Як видно, вихідна сукупність із 50 даних розбита на 13 інтервалів, у кожному інтервалі розраховані такі характеристики: Observed Frequency (частота), Cumulative Observed (накопичена частота), Percent Observed (відсоток від загальної частоти), Cumul % Observed (накопичений відсоток від загальної частоти), Expected Frequency (теоретична частота), Cumulative Expected (накопичена теоретична частота), Percent Expected (відсоток від загальної теоретичної частоти), Cumul % Expected (накопичений відсоток від загальної теоретичної частоти), Observed-Expected (різниця емпіричної та теоретичної частот).

Рис. 2. Вибір закону розподілу

Рис. 3. Статистика опрацьованих даних, результати угрупування вибірки

Стосовно статистик, то ^=0,11963 ( чим менша її величина, тим ближчий розподіл до нормального) та %2=6,147. Отримане значення X можна також порівняти із критичним значенням, використовуючи таблицю значень %2. Тоді враховується об'єднання інтервалів з однаковими частотами, скориговане значення середньоквадратичного відхилення, степені вільності для нормального розподілу та рівень значущості.

Якщо тести Kolmogorov-Smirnov та %2 (Chi-Square) видають значення р, які відмінні від 0 або є запис «n.s.», то це означає, що ймовірність помилки при відхиленні гіпотези про даний тип розподілу велика, і гіпотезу потрібно прийняти.

Для наочності натискання кнопки Plot of observed and expected distribution на закладці Quick дає графічне порівняння гістограми з накладеною кривою нормального розподілу (рис. 4).

Варто зауважити, що для зручності, візуалізації, тобто припущення наскільки вибірка відповідає нормальному закону розподілу у вікні Descriptive Statistics в закладці Prob. & Scatterplots натискають Normal Probability Plot.

Рис. 4. Гістограма

Висновки

Таким чином, дистанційне навчання доступне кожному, хто хоче вчитися. Дистанційне навчання - це можливість розвивати такі якості, як активність, самостійність, самовдосконалення, самоорганізація, самоконтроль і творчість. Сучасні технології дають нам можливість вивчати те, що нас цікавить, користуватися найновішою інформацією та покращувати своє життя. Розвиток дистанційної освіти в українській системі освіти буде продовжуватися і вдосконалюватися з розвитком інтернет-технологій та вдосконаленням методів дистанційного навчання.

Література

1. Г.П. Бевз. Алгебра: підр. для 9 кл. закл. заг. середньої освіти / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. -. 2-ге видання, перероблене, 2022.

2. Горбачук, В.М. Теорія ймовірностей та математична статистика [Електронний ресурс]: підручник для здобувачів ступеня бакалавра за технічними та економічними спеціальностями / В.М. Горбачук, О.І. Кушлик-Дивульська; КПІ ім. Ігоря Сікорського. - Електронні текстові дані (1 файл: 7,93 Мбайт). - Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2023. - 351 с. URL: https://ela.kpi.ua/handle/123456789/52357.

3. Істер О.С. Алгебра і початки аналізу: (профіл. рівень): підруч. для 11-го кл. закл. заг. серед. освіти / Олександр Істер, Оксана Єргіна. - Київ: Генеза, 2019. - 416 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І. Вища математика: Елементи теорії ймовірності: Практикум [Електронний ресурс]: навч. посіб. для студ. спеціальності 186 «Видавництво та поліграфія» / КПІ ім. Ігоря Сікорського; уклад.: О.І. Кушлик-Дивульська, Н.П. Селезньова. - Електронні текстові дані (1 файл: 2,4 Мбайт). - Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2022. - 105 с. URL: https://ela.kpi.ua/handle/123456789/46693.

5. Кушлик-Дивульська О.І. Принципи статистичного аналізу показників при аналізі якості відбитків плоского офсетного друку/ О.І. Кушлик-Дивульська, Б.Р. Кушлик // Технологія і техніка друкарства. - К.: ВПІ КПІ ім. Ігоря Сікорського. - 2017. - № 1 (55). - С. 10-20.

6. Кушлик-Дивульська О.І. Оцінка похибок вимірювань показників якості відбитків плоского офсетного друку / О.І. Кушлик-Дивульська, Б.Р. Кушлик // Математика в сучасному технічному університеті: матеріали V Міжнар. наук.-практ. конф., Київ, 29-30 груд. 2016 р. - Київ: НТУУ «КПІ», 2016.- С. 68-71.

7. Математика: Алгебра і початки аналізу та геометрія. Рівень стандарту: підр. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. - К.: Видавничий дім «Освіта», 2019. - 272 с.

8. Мерзляк А.Г. Алгебра: підр. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. - Х.: Гімназія, 2017. - 272 с.

9. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу: початок вивчення на поглиб. рівні з 8 кл.: проф. рівень: підр. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський та ін. - Х.: Гімназія, 2019.

10. Навчальні прогарами з позашкільної освіти, розроблені педагогами центру ТГМ, що використовуються в освітньому процесі 2023-2024 н.р.. URL: https://cttm.inet.ua/?page_id=5225.

11. Розуменко А.О. Фахове спрямування курсу теорії ймовірностей при підготовці майбутніх вчителів математики [Електронний ресурс] / А.О. Розуменко, А.М. Розуменко // В зб.: Фізико-математична освіта: науковий журнал. - 2018. - Вип.1(15). - Ч. 2. - С. 67-71. URL: https://repo.snau.edu.ua/handle/123456789/6985.

12. Селезньова Н.П. Спеціальні питання вищої математики. Елементи теорії ймовірностей. Теорія і практикум. [Електронний ресурс] навч. посіб. для студ. спеціальності 151 «Автоматизація та комп'ютерно-інтегровані технології» КПІ ім. Ігоря Сікорського; уклад. Н.П. Селезньова, Т.О. Рудик, Н.В. Селезньова та ін. - Електронні текстові дані (1 файл: 0,97 Мбайт). - Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2021. - 78 с. Назва з екрана. URL: https://ela.kpi.ua/handle/123456789/42309.

13. Спецрозділи вищої математики [Електронний ресурс]: навч. посіб. для студ. спеціальності 152 «Метрологія та інформаційно-вимірювальні технології» / КПІ ім. Ігоря Сікорського; Уклад.: Кушлик-Дивульська О.І., Защепкіна Н.М. - Електронні текстові данні (1 файл: 2.94 Мбайт). - Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2022. - 182 с. URL: https://ela.kpi.ua/handle/123456789/50171.

14. Тарасенкова Н.А. Математика: підр. для 6 класу загальноосвіт. навч. закл. / Н.А. Тарасенкова, І.М. Богатирьова, О.М. Коломієць, З.О. Сердюк. - К.: Видавничий дім «Освіта», 2014. - 304 с.

15. Шаман М.І. Наступність вивчення теорії ймовірностей в загальноосвітній школі та педагогічному закладі вищої освіти / М.І. Шаман, О.І. Проскурня // Наумовські читання [Електронний ресурс]: матеріали XVII студ. наук. конф. студ. та молод. вчених, присвяч. 80-річчю фіз.-мат. ф-ту, Харків, 14-15 листоп. 2019 р. / Харків. нац. пед. ун-т ім. Г.С. Сковороди. - Харків: [б. в.], 2019. - С. 117-119. URL: https://dspace.hnpu.edu.ua/items/53a3500a-30da-46f0-bad8-b5277f18ca71.

16. Штонда О.Г. Організація самостійної освітньої діяльності учнів при вивченні математики в умовах дистанційного навчання / О.Г. Штонда, І.Г. Сівочка // Наумовські читання: матеріали ХІХ наук.-метод. конф. здобувачів вищої освіти та молодих учених, присвяч. року мат. освіти в Україні, Харків, 23-24 листоп. 2021 р. / Харків. нац. пед. ун-т ім. Г.С. Сковороди; [редкол.: Н.О. Пономарьова та ін.]. - Харків: [Б. в.], 2022. - С. 114-117. URL: https://dspace.hnpu.edu.ua/items/3af448fb-967c-429b-8cce-cf8e003d2219/full.

17. Чернишова О. Організація онлайн-навчання математики: виклики сучасності / О. Чернишова, О. Штонда // Науково-дослідна робота студентів як чинник удосконалення професійної підготовки майбутнього вчителя: зб. наук. пр. / Харків. нац. пед. ун-т ім. Г.С. Сковороди; [редкол.: Н.О. Пономарьова, Н.В. Олефіренко, В.М. Андрієвська та ін.]. - Харків, 2024. - Вип. 23. - С. 173-182. URL: https://dspace.hnpu.edu.ua/items/a7dbe07f-6d34-4ee1-aa71-0a8bd6fc4d56.

18. Zolotukhina K. Researching the interaction of different printed materials types with liquids // K. Zolotukhina, S. Khadzhynova, O. Velychko, B. Kushlyk, O. Kushlyk-Dyvulska // Eastern-european journal of enterprise technologies. 2019. 3/1 (99). P. 26-35. URL: https://www.researchgate.net/publication/334157233_Researching_the_interaction_of_different_printed_materials types with liquids.

References

1. Bevz H.P. Alhebra: pidr. dlya 9 kl. zakl. zah. seredn'oyi osvity / H.P. Bevz H.P., V.H. Bevz. - 2-he vydannya, pereroblene, 2022. [Bevs H.P. Algebra: sub. For 9 th grade closing general of secondary education / H.P. Bevs, V.G. Bevs. -. 2 nd edition, revised, 2022] [in Ukrainian].

2. Horbachuk V.M. Teoriya ymovirnostey ta matematychna statystyka [Elektronnyy resurs]: pidruchnyk dlya zdobuvachiv stupenya bakalavra za tekhnichnymy ta ekonomichnymy spetsial'nostyamy / V.M. Horbachuk, O.I. Kushlyk-Dyvul's'ka; KPI im. Ihorya Sikors'koho. - Elektronni tekstovi dani (1 fayl: 7,93 Mbayt). - Kyyiv: KPI im. Ihorya Sikors'koho, 2023. - 351 s. [Gorbachuk V.M. Probality theory and mathematical statistics [Electronic resource]: textbook for bachelor's degree applicants in technical and economic specialties / V.M. Gorbachuk, O.I. Kushlyk-Dyvulska; KPI named after Igor Sikorsky. - Electronic text data (1 file: 7.93 MB). - Kyiv: KPI named after Igor Sikorskyi, 2023. - 351 p.] Retrieved from https://ela.kpi.ua/handle/123456789/52357 [in Ukrainian].

3. Ister O.S. Alhebra i pochatky analizu: (profil. riven'): pidruch. dlya 11-ho kl. zakl. zah. sered. osvity / Oleksandr Ister, Oksana Yerhina. - Kyyiv : Heneza, 2019. - 416s. [Ister O.S. Algebra and the beginnings of analysis: (professional level): tutorial. for the 11th grade closing general among. of education / Oleksandr Ister, Oksana Yergina. - Kyiv: Geneza, 2019. - 416 p.] [in Ukrainian].

4. Kushlyk-Dyvul's'ka O.I. Vyshcha matematyka: Elementy teoriyi ymovirnosti: Praktykum [Elektronnyy resurs]: navch. posib. dlya stud. spetsial'nosti 186 «Vydavnytstvo ta polihrafiya» / KPI im. Ihorya Sikors'koho; uklad.: O.I. Kushlyk-Dyvul's'ka, N.P. Selezn'ova. - Elektronni tekstovi dani (1 fayl: 2,4 Mbayt). - Kyyiv: KPI im. Ihorya Sikors'koho, 2022. - 105 s. [Kushlyk-Dyvulska O.I. Higher mathematics: Elements of the theory of probability: Workshop [Electronic resource]: teaching. manual for students specialty 186 "Publishing and printing" / KPI named after Igor Sikorskyi; editor: O.I. Kushlyk-Dyvulska, N.P. Seleznyova. - Electronic text data (1 file: 2.4 MB). - Kyiv: KPI named after Igor Sikorskyi, 2022. - 105 p.] Retrieved from https://ela.kpi.ua/handle/123456789/46693 [in Ukrainian].

5. Kushlyk-Dyvul's'ka O.I. Pryntsypy statystychnoho analizu pokaznykiv pry analizi yakosti vidbytkiv ploskoho ofsetnoho druku/ O.I. Kushlyk-Dyvul's'ka, B.R. Kushlyk // Tekhnolohiya i tekhnika drukarstva. - K.: VPI KPI im. Ihorya Sikors'koho. - 2017. - № 1 (55). - S. 10-20. [ Kushlyk-Dyvulska O.I. Principles of statistical analysis of indicators in the analysis of the quality of prints of flat offset printing / O.I. Kushlyk-Dyvulska, B.R. Kushlyk // Technology and technique of printing. - K.: VPI KPI named after Igor Sikorsky. - 2017. - No. 1(55). - P. 10-20] [in Ukrainian].

6. Kushlyk-Dyvul's'ka O.I. Otsinka pokhybok vymiryuvan' pokaznykiv yakosti vidbytkiv ploskoho ofsetnoho druku / O.I. Kushlyk-Dyvul's'ka, B.R. Kushlyk // Matematyka v suchasnomu tekhnichnomu universyteti: materialy V Mizhnar. nauk.-prakt. konf., Kyyiv, 29-30 hrud. 2016 r. - Kyyiv: NTUU «KPI», 2016.- S. 68-71. [Kushlyk-Dyvulska O.I. Evaluation of measurement errors of flat offset print quality indicators / O.I. Kushlyk-Dyvulska, B.R. Kushlyk // Mathematics in a modern technical university: materials V International. science and practice conference, Kyiv, December 29-30. 2016. - Kyiv: NTUU "KPI", 2016. - P. 68-71] [in Ukrainian].

7. Matematyka: Alhebra i pochatky analizu ta heometriya. Riven' standartu: pidr. dlya 11 kl. zakladiv zahal'noyi seredn'oyi osvity / H.P. Bevz, V.H. Bevz. - K.: Vydavnychyy dim «Osvita», 2019. - 272 s. [Mathematics: Algebra and the beginnings of analysis and geometry. Standard level: sub. for 11th grade institutions of general secondary education / H.P. Bevs, V.G. Bevs. - K.: "Education" publishing house, 2019. - 272 p.] [in Ukrainian].

8. Merzlyak A.H. Alhebra: pidr. dlya 9 kl. zahal'noosvit. navch. zakladiv /A.H. Merzlyak, V.B. Polons'kyy, M.S. Yakir. - kH.: Himnaziya, 2017. - 272 s. [Merzlyak A.G. Algebra: subd. for 9th grade general education education institutions /A.H. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. - Kh.: Gymnasium, 2017. - 272 p.] [in Ukrainian].

9. Merzlyak A.H. Alhebra i pochatky analizu: pochatok vyvchennya na pohlyb. rivni z 8 kl.: prof, riven': pidr. dlya 11 kl. zakladiv zahal'noyi seredn'oyi osvity / A.H. Merzlyak, D.A. Nomirovs'kyy, V.B. Polons'kyy ta in. - KH.: Himnaziya, 2019. [Merzlyak A.G. Algebra and the beginnings of analysis: the beginning of an in-depth study. levels from 8th grade: prof, level: sub. for 11th grade institutions of general secondary education / A.G. Merzlyak, D.A. Nomirovskyi, V.B. Polonskyi and others. - Kh.: Gymnasium, 2019] [in Ukrainian].

10. Navchal'ni proharamy z pozashkil'noyi osvity, rozrobleni pedahohamy tsentru THM, shcho vykorystovuyut'sya v osvitn'omu protsesi 2023-2024 n.r..[ Training programs for extracurricular education, developed by teachers of the TGM center, used in the educational process of 2023-2024] Retrieved from https://cttm.inet.ua/?page_id=5225 [in Ukrainian].

11. Rozumenko A.O. Fakhove spryamuvannya kursu teoriyi ymovirnostey pry pidhotovtsi maybutnikh vchyteliv matematyky [Elektronnyy resurs] / A.O. Rozumenko, A.M. Rozumenko // zb.: Fizyko-matematychna osvita: naukovyy zhurnal. - 2018. - Vyp.1(15). - CH. 2. - S. 67-71 [Rozumenko A.O. Professional direction of the probability theory course in the preparation of future mathematics teachers [Electronic resource] / A.O. Rozumenko, A.M. Rozumenko // In the collection: Physical and mathematical education: scientific journal. - 2018. - Issue 1(15). - Part 2. - P. 67-71] Retrieved from https://repo.snau.edu.ua/handle/123456789/6985 [in Ukrainian].

12. Selezn'ova N.P. Spetsial'ni pytannya vyshchoyi matematyky. Elementy teoriyi ymovirnostey. Teoriya i praktykum. [Elektronnyy resurs] navch. posib. dlya stud. spetsial'nosti 151 «Avtomatyzatsiya ta komp"yuterno-intehrovani tekhnolohiyi» KPI im. Ihorya Sikors'koho; uklad. N.P. Selezn'ova, T.O. Rudyk, N.V. Selezn'ova ta in. - Elektronni tekstovi dani (1 fayl: 0,97 Mbayt). - Kyyiv: KPI im. Ihorya Sikors'koho, 2021. - 78 s. [Seleznyova N.P. Special questions of higher mathematics. Elements of probability theory. Theory and practice. [Electronic resource] education. manual for students specialty 151 "Automation and computer-integrated technologies" KPI named after Igor Sikorskyi; structure. N.P. Seleznyova, T.O. Rudyk, N.V. Seleznyova and others. - Electronic text data (1 file: 0.97 MB). - Kyiv: KPI named after Igor Sikorskyi, 2021. - 78 p.] Retrieved from https://ela.kpi.ua/handle/123456789/42309 [in Ukrainian].

13. Spetsrozdily vyshchoyi matematyky [Elektronnyy resurs]: navch. posib. dlya stud. spetsial'nosti 152 «Metrolohiya ta informatsiyno-vymiryuval'ni tekhnolohiyi» / KPI im. Ihorya Sikors'koho; Uklad.: Kushlyk-Dyvul's'ka O.I., Zashchepkina N.M. - Elektronni tekstovi danni (1 fayl: 2.94 Mbayt). - Kyyiv: KpI im. Ihorya Sikors'koho, 2022. - 182 s. [Special sections of higher mathematics [Electronic resource]: teaching. manual for students specialty 152 "Metrology and information and measurement technologies" / KPI named after Igor Sikorskyi; Compiler: O.I. Kushlyk-Dyvulska, N.M. Zaschepkina - Electronic text data (1 file: 2.94 Mbytes). - Kyiv: KPI named after Igor Sikorskyi, 2022. - 182 p.] Retrieved from https://ela.kpi.ua/handle/123456789/50171 [in Ukrainian].

14. Tarasenkova N.A. Matematyka: pidr. dlya 6 klasu zahal'noosvit. navch. zakl. / N.A. Tarasenkova, I.M. Bohatyr'ova, O.M. Kolomiyets', Z.O. Serdyuk. - K.: Vydavnychyy dim «Osvita», 2014. - 304 s. [Tarasenkova N.A. Mathematics: subs. for the 6th grade of general education. education closing / N.A. Tarasenkova, I.M. Bogatyreva, O.M. Kolomiets, Z.O. Serdyuk. - K.: "Education" publishing house, 2014. - 304 p.] [in Ukrainian].

15. Shaman M.I. Nastupnist' vyvchennya teoriyi ymovirnostey v zahal'noosvitniy shkoli ta pedahohichnomu zakladi vyshchoyi osvity / M.I. Shaman, O.I. Proskurnya // Naumovs'ki chytannya [Elektronnyy resurs]: materialy XVII stud. nauk. konf. stud. ta molod. vchenykh, prysvyach. 80-richchyu fiz.-mat. f-tu, Kharkiv, 14-15 lystop. 2019 r. / Kharkiv. nats. ped. un-t im. H.S. Skovorody. - Kharkiv: [b. v.], 2019. - S. 117-119 [ Shaman M.I. Continuity of the study of the theory of probabilities in a comprehensive school and a pedagogical institution of higher education / M.I. Shaman, O.I. Proskurnia // Naumov readings [Electronic resource]: materials of XVII stud. of science conf. study and young scientists, devote. On the 80th anniversary of Phys. - Math. F-TU, Kharkiv, November 14-15. 2019 / Kharkiv. national ped. University named after H.S. Skovorody. - Kharkiv: [b. v.], 2019. - pp. 117-119] Retrieved from https://dspace.hnpu.edu.ua/items/3af448fb-967c-429b-8cce-cf8e003d2219/full [in Ukrainian].

16. Shtonda O.H. Orhanizatsiya samostiynoyi osvitn'oyi diyal'nosti uchniv pry vyvchenni matematyky v umovakh dystantsiynoho navchannya / O.H. Shtonda, I.H. Sivochka // Naumovs'ki chytannya: materialy KHIKH nauk.-metod. konf. zdobuvachiv vyshchoyi osvity ta molodykh uchenykh, prysvyach. roku mat. osvity v Ukrayini, Kharkiv, 23-24 lystop. 2021 r. / Kharkiv. nats. ped. un-t im. H.S. Skovorody; [redkol.: N.O. Ponomar'ova ta in.]. - Kharkiv: [B. v.], 2022. - S. 114-117 [Shtonda O.G. Organization of students' independent educational activity when studying mathematics in the conditions of distance learning / O.G. Shtonda, I.G. Sivochka // Naumov readings: materials of the 19th scientific method. conf. students of higher education and young scientists, dedicated. year mat. of Education in Ukraine, Kharkiv, November 23-24. 2021 / Kharkiv. national ped. University named after H.S. Skovorody; [edited by: N.O. Ponomaryova and others]. - Kharkiv: [B. v.], 2022. - P. 114-117] Retrieved from https://dspace.hnpu.edu.ua/items/3af448fb-967c-429b-8cce-cf8e003d2219/full [in Ukrainian].

17. Chernyshova O. Orhanizatsiya onlayn-navchannya matematyky: vyklyky suchasnosti / O. Chernyshova, O. Shtonda // Naukovo-doslidna robota studentiv yak chynnyk udoskonalennya profesiynoyi pidhotovky maybutn'oho vchytelya: zb. nauk. pr. / Kharkiv. nats. ped. un-t im. H.S. Skovorody; [redkol.: N.O. Ponomar'ova, N.V. Olefirenko, V.M. Andriyevs'ka ta in.]. - Kharkiv, 2024. - Vyp. 23. - S. 173-182. [Organization of online mathematics education: modern challenges / O. Chernyshova, O. Shtonda // Scientific research work of students as a factor in improving the professional training of the future teacher: coll. of science Ave. / Kharkiv. national ped. University named after H.S. Skovorody; [edited by: N.O. Ponomaryova, N.V. Olefirenko, V.M. Andrievska and others]. - Kharkiv, 2024. - Issue 23. - pp. 173-182] Retrieved from https://dspace.hnpu.edu.ua/items/a7dbe07f-6d34-4ee1-aa71-0a8bd6fc4d56 [in Ukrainian].

18. Zolotukhina K. Doslidzhennya vzayemodiyi riznykh vydiv drukovanoyi produktsiyi z ridynamy // Zolotukhina K., Khadzhynova S., Velychko O., Kushlyk B., Kushlyk-Dyvul's'ka O. // Skhidnoyevropeys'kyy zhurnal pidpryyemnyts'kykh tekhnolohiy. 2019. 3/1 (99). S. 26-35 [Zolotukhina K. Researching the interaction of different printed materials types with liquids // K. Zolotukhina, S. Khadzhynova, O. Velychko, B. Kushlyk, O. Kushlyk-Dyvulska // Eastern- european journal of enterprise technologies. 2019. 3/1 (99). P. 26-35] Retrieved from https://www.researchgate.net/publication/334157233_Researching_the_interaction_of_different_printed_materials_types_with_liquids [in English].

Размещено на Allbest.ru