Аналогія як метод формування логічних операцій мислення здобувачів початкової освіти

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

ДВНЗ «Донбаський державний педагогічний університет»

Кафедра теорії і практики початкової освіти

Миколаївський заклад загальної середньої освіти І-ІІІ ступенів №1

Аналогія як метод формування логічних операцій мислення здобувачів початкової освіти

Н. Ляшова, к.п.н., доцент

Н. Бєлік, учитель

м. Слов'янськ, м. Миколаївка Донецька обл., Україна

Анотація

У статті проаналізовано наукові джерела спрямовані на дослідження методу аналогії. Серед яких значне місце посідають роботи філософів, психологів, дидактів, математиків як українських, так і зарубіжних науковців. Розглянуто різновекторне спрямування у застосуванні методу аналогії. Особливу увагу приділено аспектам методу аналогії у навчанні математики учнів початкової школи. Окреслено універсальність особливостей методу аналогії, які найґрунтовніше розвинуті в теорії подібностей. Для формування логічних операцій мислення учнів запропоновано різноманітні способи подачі матеріалу, в тому числі словесні, числові та завдання-аналогії під час вивчення нумерації багатоцифрових чисел та арифметичних дій над ними. Наведено приклади складання аналогічних задач, що сприяє встановленню загальних зв'язків між даними і шуканим у різних життєвих ситуаціях. А також завдання, які спрямовані на виявлення істинних та хибних суджень. Доведено, що побудова процесу навчання математики з використанням методу аналогії дозволяє максимально розвинути потенційні можливості логічного мислення здобувачів початкової освіти.

Ключові слова: метод аналогії; логічне мислення; математика.

Abstract

Однією із основних завдань сучасної української школи є допомога здобувачам початкової освіти у повній мірі проявити свої математичні здібності, розвинути ініціативу, самостійність, творчий потенціал. Реалізація поставлених завдань залежить від сформованості в учнів пізнавальних інтересів, які виникають лише тоді, коли вони мають змогу включитися у виконання таких видів завдань, за допомогою яких досягають успіхів і, разом з тим, відчувають необхідність подолання певних перепон при досягненні навчальних результатів. Учитель має використовувати методи та форми навчання, орієнтовані на персоніфікацію особистості здобувача початкової освіти, а не узагальнену її модель. Одним із таких методів досягнення значних результатів з математики, на наш погляд, є метод аналогії.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Вибірковий аналіз наукових джерел свідчить про те, що серед праць, присвячених дослідженню методу аналогії, значне місце посідають роботи філософів В. Асмус, К. Батороєва, О. Старченко, А. Уйомова, які аналогію розглядають як метод наукового пізнання. Різновиди використання аналогії в навчанні знаходимо у роботах психологів і дидактів П. Гальперіна, П. Костюка, В. Крутецького, О. Леонгьева, Ю. Машбиця, Н. Менчинської, О. Савченко, Л. Фрідмана та інших. Питання аналізу і оцінки методу аналогій розглядали науковці з різних галузей знань, у тому числі з математики та методики навчання математики. Зокрема застосування аналогії в навчанні математики досліджували Е. Бєляєв, Н. Кісєльова, В. Пермінов; ефективність методу при актуалізації знань, засвоєнні та повторенні навчального матеріалу, встановленні зв'язків між різними темами шкільного курсу математики та міжпредметних зв'язків висвітлювали М. Жалдак, Н. Кугай, П. Магомедбеков, Г. Михалін, 3. Слєпкань, В. Швець та ін. Реалізація методу аналогії під час роботи над видами простих і складених задач та способів їх розв'язування учнями виявлена у дослідженнях Г. Бевза, П. Ерднієва, Т. Крилової, О. Колесникова та ін. Розгляд аналогії в навчальному процесі як розвиток математичних здібностей учнів, підвищення рівня творчості особистості засвідчено у працях В. Бевз, М. Бурди, М. Ігнатенка, О. Скафи та інших.

Формулювання цілей статті (постановка завдання). Мета статті полягає у визначенні можливостей використання методу аналогії при формуванні логічних операцій мислення здобувачів початкової освіти.

Теоретичні основи дослідження. У сучасному тлумачному словнику української мови (2009; 28) подаються наступні визначення поняття аналогія. У загальному розумінні аналогія (від грецької analogos - відповідність) - схожість, подібність різних предметів, явищ, подій, процесів за певними ознаками, властивостями, поведінкою; співмірність величин, пропорцій, рівність відносин. У логіці це поняття трактується як тип умовиводу, коли на підставі зовнішньої подібності предметів за деякими ознаками робиться висновок про ймовірність їхньої схожості за іншими ознаками. У психологічному словнику подаються два напрямки трактування аналогії. З одного боку, аналогія трактується як подібність між предметами, явищами тощо. А з іншого, аналогія розглядається як індуктивний умовивід, коли на основі подібності двох об'єктів за певними параметрами робиться висновок про подібність цих об'єктів і за іншими параметрами (Кондаков, 1995).

Визначення поняття аналогії подають і дослідники цієї проблематики (В. Білокурський, Е. Бєляєв, Н. Кісельова, Р. Костюченко, А. Конверський, В. Лукашевич, І. Мамикін та ін.). Зокрема вважається класичним та логічним визначення, яке наводить А. Конверський: «Аналогія - це не дедуктивний умовивід, у якому судження про належність певної ознаки об'єкту виводиться на основі подібності одного об'єкта з іншим; ... а такий умовивід, в якому із подібності двох предметів по ряду певних ознак робиться висновок про їхню подібність і по усіх інших ознаках» (Конверский, 2010, с. 209). Безпосередньо математичну аналогію Е. Бєляєв, Н. Кісєльова, В. Пермінов розуміють як «тотожність певних систем властивостей математичних об'єктів, що виникає як результат суміщення даних систем і ґрунтується на внутрішній подібності і взаємозв'язку математики в цілому» (Бєляєв, Кісєльова & Пермінов, 1975, с. 26).

Р. Костюченко, на основі філософської, психолого -педагогічної, математичної літератури з проблеми методу аналогії, визначив суттєві підходи до розуміння поняття аналогії. Він виділив такі, які найбільш часто зустрічаються: а) аналогія - як поняття, що виражає відношення подібності між різними об'єктами, системами, явищами, процесами; б) аналогія як особлива логічна форма умовиводу, яка використовується поряд з індукцією та дедукцією; в) аналогія як метод пізнання (Костюченко, 2017).

На роль методу аналогії в математиці вказують і зарубіжні науковці. Наскільки важлива аналогія в математиці, можна судити по наступному висловлюванню відомого польського математика С. Банаха (Stefan Banach). Він вважав, що математик - це той, хто уміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто помічає аналогії теорій; а найкращий - той, хто між аналогіями бачить аналогії (Самойленко & Банах & Притула, 2017). Відомий венгерський і американський математик Д. Пойа, (George Polya), розглянувши метод аналогій як метод пізнання, зауважив, що «аналогія . має долю у всіх відкриттях, а в деяких вона має левову долю» (Пойа, 1975, с. 39).

Британські дослідники математики і логіки Р. Бертран (Bertrand Arthur William Russell) та А. Уайтхед (Alfred North Whitehead) зробили значний внесок у розвиток сучасної математичної логіки. Ними було видано тритомну монографію «Principia Mathematica» (Уайтхед & Рассел, 2006), яка і в наш час привертає істотну увагу науковців і впливає на сучасний розвиток математики та логіки. У своїй праці вони зазначали, що аналогія охоплює майже всю математику і звернули увагу на два основні типи аналогії: аналогію властивостей та аналогію відношень.

Калмицький математик-методист П. Ерднієв відмічає, що широке застосування аналогії дає можливість більш легкого та міцного засвоєння учнями шкільного математичного матеріалу, так як часто забезпечує перенесення певної системи математичних знань і умінь від відомого об'єкта до невідомого, від загального до часткового (Ерднієв, 1990).

Застосування методу аналогії має різновекторне спрямування. Використання методу аналогії в умовах університетської освіти стало предметом досліджень В. Далінгера (Далінгер, 2016, 2018), який доводить значення оволодіння методом аналогії, зокрема застосування аналогій у навчанні розвиває творчі здібності, а рівень оволодіння аналогією характеризує рівень творчого розвитку особистості студента; аналогія привчає і організовує студентів до дослідницької діяльності та полегшує засвоєння навчального матеріалу і дозволяє здійснити уявне перенесення певної системи знань, умінь і навичок з відомого об'єкта на невідомий; висновки за аналогією дозволяють зменшити ступінь схематизації й ідеалізації дійсності і навчають проводити поряд з логічними умовиводами, ще й раціональні. Подальші дослідження цього напрямку засвідчено у працях Л. Вовк, Н. Кугай, Л. Петько, А. Шерстньової, Е. Пахомової та ін. (Петько, 2016, Кугай, 2017).

Зазначимо, що у сучасній математичній науці визначається універсальність особливостей методу аналогії, які найґрунтовніше розвинуті в теорії подібностей, що спирається на вчення про розмірність величин і слугує науковою основою моделювання. Аналогія є логічною основою висновків, здобутих за допомогою методу моделювання, які полягають у тому, що при пізнанні певного математичного об'єкта використовують другий об'єкт, який має подібні властивості і заміняє перший. В. Штофф зазначав, що під моделлю розуміється така уявна або матеріально реалізована система, яка відображає або відтворює об'єкт дослідження, замінює його таким чином, що його вивчення надає нам нову інформацію про цей об'єкт (Штофф, 1986). При моделюванні відбувається співставлення відомого з невідомим за аналогією, а модель виконує функції замінника математичного об'єкта та дозволяє отримати нові знання про цей об'єкт. При моделюванні можливі різні рівні аналогій. Важливим видом знакового моделювання є логіко-математичне моделювання. На основі порівняння моделей будуються умовиводи гіпотетичні, справедливість яких потім перевіряється. Гіпотетичними умовиводами можуть бути умовиводи за аналогією.

Напрям евристичної аналогії засвідчений у наукових працях Г. Буша, С. Женжери. Латиський дослідник Г. Буш, досліджуючи методи евристичної аналогії зазначав, що за допомогою цих методів винахідницькі задачі розв'язуються шляхом знаходження аналогічних ситуацій в інших явищах, а використання знайдених аналогій сприяють усуненню протиріч у проблемних ситуаціях (Женжера, 2016).

У математиці аналогія тісно пов'язана з логікою. Існують дві форми проявлення аналогії в пізнанні: асоціативна та логічна. Асоціативна аналогія проявляється в основному в психологічних актах творчості. У ході асоціативної аналогії об'єднуються іноді дуже далекі за своєю суттю явища та об'єкти. Інакше відбувається тоді, коли розглядаються явища та об'єкти на основі паралельного їх вивчення та порівняння. У такому разі проявляється логічна аналогія, що набагато прискорює виявлення певного рівня подібності різних предметів, явищ, подій, процесів за певними ознаками, властивостями.

Відомий американський логік і математик С. Кліні (Stephen Cole Kleene) зазначав: «Як би не ставилися до питання, чи зростають наші здібності знаходити правильні докази, доведення, судження в результаті вивчення логіки чи ні, безумовно, в результаті вивчення логіки збільшується можливість перевірки правильності власних міркувань та обчислень. Адже логіка дає чіткі методи аналізу міркувань, структуру суджень та умовиводів». (Кліні, 1983; 79). А. Конверський зазначає, що в структуру аналогії входять чотири види суджень;

г) судження про наявність перенесеної ознаки в іншому математичному об'єкті.

Аналогія як метод формування логічних операцій мислення учнів початкових класів реалізується у різних посібниках, підручниках, методичних порадах (Є. Косоротова, О. Митник, С. Цибульська, С. Якименко та ін.). Їх основною метою є навчання молодших школярів послідовній побудові розумових операцій, здатності розвивати зв'язки в побудованих ланцюжках міркувань, доводити будь-які твердження тощо. Реалізація відбувається через цікаві логічні ігри, задачі, оригінальні завдання, які спрямовані на формування уявлень про важливі математичні поняття. Завдання за аналогією допоможуть прищепити дітям інтерес до математики, розвинути спостережливість, кмітливість, логічне мислення; сформувати уміння порівнювати, узагальнювати, відтворювати інформацію за допомогою плану, ілюстрації, схеми, алгоритму; аналізувати предмети за формою, розміром, кольором; групувати, класифікувати та описувати математичні об'єкти та явища (Ляшова, 2017).

логічний мислення аналогія математика початковий школа

Результати дослідження

Розвиток логічного мислення здобувачів початкової освіти на уроках математики реалізується через організацію різноманітних форм роботи з логічними завданнями, задачами тощо. Для формування операцій логічного мислення учнів під час вивчення нумерації та арифметичних дій над числами, ми пропонуємо використовувати різноманітні способи подачі матеріалу, в тому числі словесними, числовими завданнями - аналогіями.

1. Знайти невідоме число

а) кронакран 51379?

б) перед біг 39084

2. Продовж числовий ряд 34, 30, 26, 22, 18,

У процесі використання на уроках математики прийому аналогії вчимо учні робити логічні умовиводи. Зокрема такі висновки допомагають учням засвоїти нумерацію багатоцифрових чисел, перехід до письмового додавання та віднімання багатоцифрових чисел, порівнюючи за аналогією з нумерацією трицифрових чисел та процесом додавання і віднімання трицифрових чисел. Для правильного умовиводу за аналогією пропонуємо виділити суттєві ознаки даного процесу, в іншому випадку висновок може бути неправильним. Важливими логічними операціями, які полегшують учням вивчення нумерації багатоцифрових чисел, вважаються аналіз і синтез. Аналіз - виділення елементів даного об'єкта, його ознак, властивостей. Синтез - поєднання різних елементів у єдине ціле. Під час міркування над математичним завданням на порівняння та класифікацію операції аналізу і синтезу доповнюють одна одну. Варто використовувати завдання, які спрямовані на виявлення істинних та хибних суджень.

Також ми пропонуємо завдання за аналогією під час виконання практичних вправ по засвоєнню нумерації багатоцифрових чисел, які сприяють перетворенню складених іменованих чисел у прості і, навпаки, простих іменованих чисел у складені. Зазначимо, що основою перетворення (за виключенням часу) є число 10 (десяткова система числення). Наприклад: представте 4760 см у метрах і сантиметрах. Міркування учнів може бути таким: один метр - це сто сантиметрів. У іменованому числі 4760 см стільки метрів, скільки в ньому сотень. У числі 4760 всього 47 сотень. Отже, 4760 см = 47 м 60 см. Наступне завдання: подайте 37 км 254 м у метрах. Міркування за аналогією: один кілометр - це тисяча метрів. 37 км - це 37 тисяч метрів та ще 254 м, тож, відповідь дорівнює 37254 м.

1000 - 550 : 9 : 2 + 3 + 5 - 55 =

800 - 200 : 10 - 20 : 8 * 4 - 4 =

60 * 3 : 2 : 2 + 65 : 10 =

можна сформулювати інакше: «Виконай ланцюжок обчислень, і дізнаєшся, скільки морів належить до кожного океану»:

1000 - 550 : 9 : 2 + 3 + 5 - 55 =

До Атлантичного океану:

800 - 200 : 10 - 20 : 8 * 4 - 4 =

До Індійського океану:

60 * 3 : 2 : 2 + 65 : 10 =

Різноманітність подібних завдань сприяє не лише ефективному формуванню обчислювальних навичок учнів, а й активізації мислення, викликає інтерес до навчання, всебічно розвиває особистість молодшого школяра.

Під час роботи над простими і складеними задачами ефективними вправами є складання задач за аналогією. Аналогічними називають задачі, які мають однакову математичну структуру. Складання учнями аналогічних задач допомагає встановлювати загальні зв'язки між даними і шуканим у різних життєвих ситуаціях. Аналогічні задачі складаються після розв'язування заданої готової задачі, пропонуючи при цьому, коли є можливість, змінювати не лише сюжет і числові дані, а й величини. Якщо, наприклад, у третьому класі учні розв'язували задачу з величинами: ціна, кількість, вартість, то можна запропонувати скласти аналогічну задачу, але з величинами: швидкість, час, відстань. Після розв'язання задач доцільно порівняти способи розв'язування та зробити висновок.

Для розвитку логічного мислення учнів важливою є система задач, яку побудовано на одній і тій самій змістовій основі, але умову задач подано в різних знаково-символічних оболонках. Наприклад, із задачі: «Обчисліть периметр прямокутника зі сторонами 10 см і 15 см» можемо отримати три види задач унаслідок зміни змістового компоненту даної задачі:

Також цей метод сприяє розвитку вербально-логічного мислення, про що стверджують наведені приклади. Завдяки методу аналогії діти вчаться усвідомлено оперувати математичними поняттями, аналізувати та узагальнювати, робити правильні висновки та умовиводи. У процесі складання завдань за аналогією необхідно враховувати можливості змістового компонента кожного завдання. Виконання таких завдань вимагає від учнів застосування здобутих знань у різних комбінаціях, що сприяє ефективному створенню платформи для розвитку логічного мислення.

Висновки з дослідження і перспективи подальших розвідок у цьому напрямі

Зазначимо, що метод аналогій відіграє важливу роль у поглиблені досвіду пізнання математики учнями початкових класів. Систематичне використання завдань-аналогій, спрямованих на розвиток логічного мислення, організованих у різний спосіб, поширює математичний кругозір, сприяє свідомій орієнтації у закономірностях, властивостях, задачах, а також активному застосуванню математичних знань у повсякденному житті. Для свідомого розвитку логічного мислення учнів початкових класів у перспективі нашого дослідження маємо сконцентрувати увагу щодо застосовування методу аналогії якнайраніше, показати можливості його у процесі вивчення не лише арифметичного матеріалу, роботи над задачами, а й з алгебраїчним та геометричним матеріалом.

Список використаних джерел

1. Беляев, Е.А., Киселева, Н.А., & Перминов, В.Я. (1975). Некоторые особенности развития математического знания. Москва: Изд-во МГУ.

2. Далингер, В.А. (2016). Аналогия как научный метод познания и методические особенности его использования в обучении математике. Единый всероссийский научный вестник, №5, 101-107.

3. Далингер, В. А. & Костюченко, Р. Ю. (2018). Геометрия: метод аналогии: учеб. пособие для СПО. Москва: Издательство Юрайт.

4. Женжера, С. (2016). К вопросу об эвристическом значении метода аналогии. Університетська кафедра, № 5, 101-118.

5. Клини, С. (1983). Математическая логика. Перев. с анг. Ю.А. Гастева. Москва: Мир.

6. Конверский, А.Е. (2010). Логика традиционная и современная. Москва: Идея-Пресс.

7. Кондаков, Н.И. (1995). Логический словарь-справочник. Москва: Наука.

8. Костюченко, Р. (2017). Аналогия в науке и в обучении. Вестник Сибирского института бизнеса и информационных технологий, №4 (24), 136-142.

9. Кугай, Н.В. (2017). Методологічні знання майбутнього вчителя математики: монографія. Харків : ФОП Панов А. М.

10. Ляшова, Н.М. (2017). Сегмент логічної складової в методико-математичній підготовці майбутніх учителів початкової школи. Молодий вчений, №9.2 (49.2), 68-72.

11. Петько, Л.В. (2016). Метод аналогії як засіб підвищення якості процесу навчання в умовах університету. Педагогічні науки, Вип. 2, 158-163.

12. Пойа, Д. (1975). Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. И. Вайнштейн. Москва: Наука.

13. Самойленко, А.М., Банах, Т.О., & Притула, Я.Г. (2017). Стефак Банах і математика у Львові в першій половині ХХ століття. Вісник НАН України, №11, 92-102.

14. Сучасний тлумачний словник української мови. (2006). За заг. ред. проф. В.В. Дубічинського. Харків: ВД «ШКОЛА».

15. Уайтхед, А. & Рассел, Б. (2006). Основания математики: В 3 т. Т.1. / Под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Самарский университет. 2006.

16. Цибульська, С. (2016). Математика. Літній зошит. Тернопіль: Підручники і посібники.

17. Штофф, В.А. (1986). Моделирование и философия. Москва: Наука.

18. Эрдниев, П.М. (1990). Аналогия в математике. Москва: Знание.

19. Maligranda, L., Prytula, J.G. (2012). Przesluchania Stefana Banacha z 1944 roku. Wiadomosci Matematyczne, T. 48, Nr. 1, 51-72.

References

1. Belyaev, E.A., Kiseleva, N.A. & Perminov, V.Ya. (1975). Nekotorye osobennosti razvityia matematicheskoho znanyia [Some features of the development of mathematical knowledge]. Moscow: Moscow State University Publishing House. [in Russian].

2. Dalinger, V.A. (2016). Analogiia kak nauchnyi metod poznaiya i metodicheskie osobennosti ego ispolzovaniya v obuchenii matematike. [Analogy as a scientific method of cognition and methodological features of its use in teaching mathematics]. Unified All-Russian Scientific Bulletin, 5, 101-107. [in Russian].

3. Dalinger, V.A. & Kostiuchenko, R.Yu. (2018). Geometriya: metod analogii [Geometry: method of analogy]. Moscow: Yurayt Publishing House. [in Russian].

4. Zhenzhera, S. (2016). K voprosu ob evristicheskom znachenii metoda analogii [On the question of the heuristic significance of the method of analogy]. University Department, 5, 101-118. [in Russian].

5. Klini, S. (1983). Matematycheskaia logika [Mathematical logic]. Translated. by Yu.A. Gastev. Moscow: Mir. [in Russian].

6. Konversky, A.E. (2010). Logika traditsionnaia i sovremennaya [The logic is traditional and modern]. Moscow: Idea-Press. [in Russian].

7. Kondakov, N.I. (1995). Logicheskii slovar-spravochnik [Logical dictionary-reference]. Moscow: Science. [in Russian].

8. Kostyuchenko, R. (2017). Analogiya v nauke i v obuchenii [Analogy in science and teaching]. Bulletin of the Siberian Institute of Business and Information Technology, №4 (24), 136142.

9. Kuhai, N.V. (2017). Metodolohichni znannia maibutnoho vchytelia matematyky [Methodological knowledge of the future teacher of mathematics]. Kharkiv: PI Panov A.M. [in Ukrainian].

10. Liashova, N.M. (2017). Sehment lohichnoi skladovoi v metodyko-matematychnii pidhotovtsi maibutnikh uchyteliv pochatkovoi shkoly [A segment of the logical component in the methodological and mathematical training of future primary school teachers]. Young Scientist, №9.2 (49.2), 68-72. [in Ukrainian].

11. Petko, L.V. (2016). Metod analohii yak zasib pidvyshchennia yakosti protsesu navchannia v umovakh universytetu [The method of analogy as a means of improving the quality of the learning process in the university]. Pedagogical Sciences, Vol. 2, 158-163. [in Ukrainian].

12. Poya, D. (1975). Matematika i pravdopodobnye rassuzhdeniya [Mathematics and plausible reasoning]. Transl. by I. Vainstein. Moscow: Science. [in Russian].

13. Samoilenko, A.M., Banach, T.O. & Pritula, Ya.G. (2017). Stefak Banakh i matematyka u Lvovi v pershii polovyni KhKh stolittia [Stefak Banakh and mathematics in Lviv in the first half of the twentieth century]. Bulletin of the National Academy of Sciences of Ukraine, 11, 92-102. [in Ukrainian].

14. Suchasnyi tlumachnyi slovnyk ukrainskoi movy [Modern explanatory dictionary of the Ukrainian language]. (2006). Za zah. red. prof. V.V. Dubichynskoho. Kharkiv: VD «ShKOLA». [in Ukrainian].

15. Uaitkhed, A. & Rassel, B. (2006). Osnovaniya matematiki [Fundamentals of mathematics]: In 3 vol. Vol.1. Ed. by H.P. Yarovoy, Yu. N. Radaev. Samara: Samarskyi universitet. [in Russian].

16. Tsibulska, S. (2016). Matematyka. Litnii zoshyt [Mathematics. Summer notebook]. Ternopil: Pidruchnyky i posibnyky. [in Ukrainian].

17. Shtoff, V.A. (1986). Modelyrovanye y fylosofyia. [Modeling and philosophy]. Moscow: Science. [in Russian].

18. Erdniev, P.M. (1990). Analogiya v matematike [Analogy in mathematics]. Moscow: Knowledge. [in Russian].

19. Maligranda, L. & Prytula, J.G. (2012). Przesluchania Stefan Banach from 1944. Wiadomosci Matematyczne, T. 48, no. 1, 51-72.

Размещено на Allbest.Ru