Учебно-исследовательская работа учащихся математических классов, связанная с решением некоторых задач по теории конических сечений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учебно-исследовательская работа учащихся математических классов, связанная с решением некоторых задач по теории конических сечений

Далингер В.А.1

1ФГБОУВО «Омский государственный педагогический университет», Омск

В статье рассматривается одна из важнейших проблем современного периода школьного образования - организация учебно-исследовательской работы учащихся профильных математических классов по математике, отмечается ее развивающая функция, связанная в первую очередь с формированием универсальных учебных действий (УУД), таких как личностные, регулятивные, познавательные (логические УУД, общеучебные УУД, формирование межпредметных понятий, математическое моделирование); проводится экскурс в историю развития теории конических сечений (этот материал может быть использован на вводном занятии математического кружка, посвященном изучению кривых второго порядка); предложен ряд задач по теории конических сечений, которые могут послужить материалом для проведения учебно-исследовательской работы (рассмотрены задачи, в которых объектом исследования является эллипс, описывается способ построения эллипса с помощью циркуля и линейки, отличный от уже известных, и дается логическое обоснование этого способа); рассматриваются и другие планиметрические задачи, в которых затронуты вопросы, связанные с понятием «эллипс», они могут быть предложены школьникам, обучающимся в профильных математических классах. Большое внимание уделено вписанным и описанным в эллипс геометрическим фигурам и дана сравнительная характеристика площадей этих фигур. Материал, приведенный в статье, окажет существенную помощь учителю математики в организации учебно-поисковой работы учащихся математических классов по геометрии. Такая деятельность учащихся классов математического профиля продемонстрирует их способности и сформированные исследовательские умения; эта учебно-поисковая работа школьников формирует качества их творческой деятельности и напрямую связана с развитием познавательного интереса как к различным видам математической деятельности, так и к различным аспектам содержания математики.

Ключевые слова: учебно-поисковая работа учащихся, история развития теории конических сечений, геометрические построения циркулем и линейкой, эллипс, охватывающий эллипс, геометрическое место точек.

TRAINING AND RESEARCH WORK OF STUDENTS OF MATHEMATICAL CLASSES RELATED TO THE SOLUTION OF SOME PROBLEMS ON THE CONIC SECTION THEORY

Dalinger V. A.1

1FGBOU VO «OmskState Pedagogical University», Omsk

Основными проблемами школьного образования в настоящее время являются немотивированность учебно-познавательной деятельности учащихся, их слабое стремление к познанию, отсутствие познавательного интереса и др. Сейчас идет активный поиск выходов из создавшегося положения.

Образовательная теория и школьная практика показывают, что многие проблемы могут быть решены не столько за счет корректировки содержания обучения, сколько за счет использования активных методов обучения, таких как метод проектов, мозговой штурм, кейс-метод и т. д.

Анализ школьной практики и передовых технологий обучения показывает, что значимой является организация учебно-исследовательской работы учащихся, в ходе которой школьники овладевают навыками и способами умственной деятельности, систематической самостоятельной поисковой деятельности.

Учебно-исследовательская деятельность учащихся по математике выполняет как обучающую, так и развивающую функцию, и это есть результат того, что настоящая деятельность воспитывает у обучающихся осознанное отношение к своему труду, формирует качество творческой деятельности и напрямую связана с развитием познавательного интереса как к различным видам математической деятельности, так и к различным аспектам содержания математики.

По организации учебно-исследовательской деятельности учащихся по математике читатель найдет материал в работах [1-3].

Подходящей темой для организации учебно-исследовательской работы учащихся является тема «Конические сечения». В данной статье мы ставим задачу провести исторический экскурс в развитие темы «Конические сечения» (этот материал может быть использован на вводном занятии математического кружка, посвященном изучению кривых второго порядка), а также предложить ряд задач по теории конических сечений, которые могут послужить материалом для проведения учебно-исследовательской работы (предложены задачи, в которых объектом исследования является эллипс).

Материалы и методы исследования

учебный исследовательский учащийся математический

Ученые-математики Древней Греции активно занимались исследованиями задач, которые впоследствии стали называться знаменитыми задачами древности: об удвоении куба, о трисекции угла, о квадратуре круга. Работа с ними вывела ученых на проблему, связанную с изучением линий, отличных от прямых и окружностей: эллипс, парабола, гипербола.

Менехм (IV в. до н.э.) предложил для решения этих задач конические сечения - это такие кривые, которые получаются сечением конуса плоскостью, перпендикулярной одной из образующих (получаются три различные кривые в зависимости от того, какой конус сечется плоскостью - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный). Позднее Аполлоний (III в. до н.э.) назвал их эллипсом, параболой, гиперболой. Он проводил сечения в произвольном конусе плоскостью под любым углом к оси конуса.

Основателем современного учения о кривых по праву считают великого немецкого художника и ученого А. Дюрера (1471-1528 гг.). В его сочинениях изложены основания геометрии и теории перспективы; подробно рассмотрено учение о правильных многогранниках; предложены решения знаменитых задач древности (скорее всего следует сказать - показана невозможность их решения с помощью циркуля и линейки); дана теория кривых линий.

Одно сечение конуса плоскостью называется эллипсом (эта фигура получается в тех случаях, когда секущая плоскость расположена под разными углами к оси конуса). На рисунке 1 приведено такое сечение.

Ссылаясь на книгу Эрика Т. Белла «Математика - царица и служанка наук», можно отметить, что круг и окружность нас привлекают с первого взгляда своей простотой, но при пристальном изучении различных кривых можно прийти к выводу, что идеальная пустота круга и окружности уступает тем сведениям, которые щедро дарит эллипс.

Среди древних греков, изучавших кривые второго порядка, были Менехм и Аполлоний Пергский. Их исследования показали, что после окружности эллипс является простейшей фигурой. Ученые прилагали усилия, дабы дать эллипсу определения: одни шли путем составления соответствующей формулы, задающей эллипс, другие же за основу определения брали существенное свойство эллипса.

Рис. 1. Эллипс

На рисунке 1 показан способ построения эллипса, основанный на его главном свойстве: расстояние от точек эллипса до его двух фокусов есть величина постоянная.

На рисунке 2 показан способ построения эллипса с помощью двух кнопок, на которые надета петля из нитки; двигая карандаш вокруг кнопок, натянув при этом нитку, можно изобразить эллипс.

В реальной жизни мы увидим эллипс в том случае, если стакан с водой наклонить, в результате чего поверхность воды примет форму эллипса [4, 5].

Рис. 2. Построение эллипса с помощью нитки и карандаша

У эллипса есть замечательное оптическое свойство [6]: если из одного фокуса эллипса направить луч света, то он, отражаясь от эллипса, попадет в другой его фокус.

Если вращать эллипс вокруг прямой, проходящей через его фокусы, то получим эллипсоид. Если покрыть его изнутри зеркальным слоем, то эта зеркальная поверхность обладает интересными свойствами:

1) если точечный источник света поместить в одном из фокусов эллипсоида, то лучи, отразившись от стенок эллипсоида, пройдут через его второй фокус;

2) если в одном из фокусов эллипсоида поместить точечный источник света и произвести «мгновенную» вспышку, то через некоторое время после многократных отражений от идеальной зеркальной поверхности эллипсоида все лучи практически сконцентрируются вдоль его большой оси [7, 8].

Результаты исследования и их обсуждение

Существуют способы построения точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Например, в справочнике [4] на страницах 60, 61 описаны два способа. Еще один способ - авторский - предлагается в данной статье. Решается следующая задача.

Задача 1. На плоскости заданы точка О и два отрезка с длинами a, b; а > b. Построить точки эллипса с этими полуосями и центром О.

Для решения проведем через точку О две взаимно перпендикулярные прямые, одну из них назовем горизонтальной, другую - вертикальной. На ней отложим отрезок OB = b вверх, вниз отложим отрезок OB1 = а - b. Берем произвольно точку N между O и B1, построим окружность с центром в этой точке радиуса а - b. Она пересекает горизонталь в двух точках; выберем ту из них, которая лежит правее O. Обозначим ее через M. Проведем прямую NM. Опишем окружность с центром M радиуса «b». Она пересекает прямую в двух точках. Пусть P - та из них, которая лежит «северо-восточнее». Это и будет искомая точка эллипса.

Меняя N, получим новые точки эллипса.

Рисунок 3а поясняет описанное построение. Рисунок 3б служит для его обоснования, приводимого ниже.

Рис. 3. Построение точек эллипса

Получим известное параметрическое задание эллипса.

В заключение предлагаем читателям, любителям алгебры, решить следующую задачу. Запишите систему уравнений, в которой первое уравнение - это уравнение окружности с центром M, радиуса «Ь», второе уравнение - уравнение эллипса. Докажите, что одним из решений системы является пара (хР,уР).

Задача 2. Требуется ответить на проблемный вопрос: «Можно ли эллипс, площадь которого равна -^=, вписать в квадрат, сторона которого равна 1?

Решение. Контекст задачи подсказывает, что мы должны найти полуоси а и Ь того эллипса, который мы хотим вписать (положим полуось а > полуоси Ь). Не будем рассматривать случаи, когда а = | и Ь = |.

На поставленный в задаче 1 вопрос можно ответить утвердительно.

Введем понятие «прямоугольник, охватывающий эллипс»: если у эллипса полуоси а и b, то такой эллипс оказывается вписанным в прямоугольник 2а X 2Ъ, и такой прямоугольник мы и назовем охватывающим. Два прямоугольника подобны, если отношения их сходственных сторон равны:

аА _ ЬА а b .

Задача 3. С помощью циркуля и линейки в заданный эллипс, полуоси которого a и b, вписать прямоугольник, подобный прямоугольнику, охватывающему эллипс.

Решение. У прямоугольника, охватывающего эллипс, проведем диагонали и обозначим точки пересечения этих диагоналей с эллипсом. Этот эллипс и окажется искомым.

Аргументируем построение такого эллипса. На рисунке 5 изображена система координат, в которой построен квадрат, а в него вписан эллипс. Проведены диагонали квадрата, вертикальная и горизонтальная оси симметрии.

Заключение

Как показывает практика, предложенные задачи вызывают у учащихся математических классов интерес, их решение формирует у них умения исследовательского характера.

Материал по данной теме читатель найдет в наших работах [10, 11], в статьях журнала «Математика в школе» [12-14] и в работах Е.В. Потоскуева [15, 16].

Список литературы

1. Бородина У.Н. Исследовательская деятельность учащихся на уроках математики - условие развития школьников//Актуальные вопросы современной науки и образования: материалы I Международной научно-практической конференции. М.: Изд-во «Перо», 2016. С.5-7.

2. Курило М.С. Системно-деятельностный подход при обучении математике на примере организации учебно-исследовательской деятельности учащихся // Педагогика и современность.2015. №5(19). С.22-25.

3. Фишман Б.Е., Эйрих Н.В. Сценарное представление исследовательско-учебной деятельности учащихся на примере темы «линейная функция» // Математика в школе. 2017. №7. Электронное приложение на СД - диске.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964. 872 с.

5. Далингер В.А., Грибова Е.Н. Фейерверк замечательных кривых: учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1998.87 с.

6. Болтянский В.Г. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы // Квант. 1975. №12. С. 5-12.

7. Далингер В.А, Громов В.А., Симонженков С.Д. По эллипсной орбите: некоторые задачи про эллипс для профильных математических классов // Актуальные проблемы математического образования в школе и вузе: материалы Х международной научнопрактической конференции. (г. Барнаул, 24-25 октября 2019) / Под науч. ред. И.В. Кисельникова, И.Г. Кулешовой. Барнаул: Изд-во АлтГПУ, 2019. С. 138-145.

8. Далингер В.А. Некоторые задачи про эллипс, ориентированные на учащихся математических классов // Познание и деятельность: от прошлого к настоящему: материалы I Всероссийской междисциплинарной научной конференции (Омск, 5 декабря 2019 года) / Отв. ред. И.П. Геращенко. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2019. С. 392-399.

9. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: учебник для университетов. М.: Наука, 1988. 224 с.

10. Далингер В.А., Симонженков С.Д. О вписывании квадрата в некоторые криволинейные плоские фигуры // Ежемесячный международный научный журнал «International Science Project». 2019. № 23 (Часть 1). С.15-17.

11. Далингер В.А. О площадях ромбов, вписанных в эллипс или описанных вокруг него // Евразийский союз ученых (ЕСУ): Ежемесячный научный журнал. 2019. № 4(61). С. 17-20.

12. Елезарова Н.Г., Понарядова Р.С. О систематизации геометрических знаний учащихся (на примере решения задачи разными способами) // Математика в школе. 2018. №5. С.11-15.

13. Крачковский С.М. Многовариантное визуально-графическое представление математических задач // Математика в школе. 2013. №1. С. 51-63.

14. Крачковский С.М. Изменяем визуальный образ геометрических объектов// Математика в школе. 2015. №8. С. 32-36.

15. Потоскуев Е.В. О принципе наглядности в геометрии // Математика в школе. 2017. №5. С. 18-26.

16. Потоскуев Е.В. О содружестве наглядности и логики рассуждений при решении геометрических задач // Математика в школе. 2018. №3. С. 40-48.

Размещено на Allbest.ru