Использование уравнения Колмогорова для моделирования управления компетенцией учащихся

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование уравнения Колмогорова для моделирования управления компетенцией учащихся

Жуков Д.О., Самойло И.В.

The management models of student competence, developed on the basis of the Boundary Value Problem solution and formulated on the Kolmogorov equation are presented in this work. The exact result of this equation for the description of the knowledge management process is also presented here.

В работе представлены модели управления компетенцией учащихся, разработанные на основе решения краевых задач, сформулированных на основе уравнения Колмогорова, и представлен точный вывод этого уравнения для описания процесса управления.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность разработки математических и информационных моделей управления компетенцией учащихся обусловлена как практическими задачами обеспечения качества образования, так и научными целями теоретического исследования социальных процессов массового обучения.

Для того чтобы индивидуализировать процесс массового обучения, необходимо разрабатывать математические и информационные модели, учитывающие индивидуальные особенности обучаемых, например, такие, как способность к восприятию учебной информации и склонность к её забыванию, что позволяет, формализовав учебный процесс, с одной стороны, описать его в общих терминах, а с другой стороны, создать индивидуальное управление для каждого обучаемого.

Существуют различные подходы управления знаниями и компетенциями, описание которых требует значительного места и отдельного доклада. колмогоров управление компетенция уравнение

Например, задачи управления обучением и компетенциями можно отнести к задачам нечеткой оптимизации и принятия решений при нечетких состояниях среды и условиях некоторой неопределенности, а представление знаний можно осуществлять на основе семантических сетей.

Однако представление знаний, которые являются составной частью компетенции, имеет более широкий смысл, чем просто формализация предметной области, т.е. совокупность декларативных методов, семантических сетей, формальных грамматик и т.д. Его необходимо рассматривать как совокупность процессов, включающих формализацию знаний, передачу их пользователю (обучение), усвоение (использование на практике для решения новых задач) и диагностику (для организации обратных связей). Все это требует дальнейшей разработки моделей управления знаниями и компетенцией.

ПРЕДЛАГАЕМАЯ МОДЕЛЬ ФОРМАЛИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ЗНАНИЯМИ

Обучение и управление знаниями в силу присутствия человеческого фактора можно отнести к классу стохастических процессов [1-3], которые (при определенных условиях), можно рассматривать как полумарковские процессы (вероятность перехода при которых из одного состояния в другое зависит как от этого состояния, так и от состояния, в которое будет осуществлен следующий переход [1]). Подобный подход получил обоснование и развитие в работе [1], в которой разработана статистическая динамика знаний. Согласно исследованиям [1], процесс обучения может быть представлен в виде графа переходов (см. рис.1) из одного состояния знаний в другое в интервале времени (t, t+dt) (процессы гибели и размножения динамики знаний характеризуются тем, что практически возможными являются лишь переходы в соседние состояния).

Рисунок 1 - Схема переходов между состояниями в процессе обучения

E₀, E₁, E₂, …….,E_n - соответствующие состояния, а л_i,i+1 = л_i , л_i,i-1 = м_i ,л_i,i = -(л_i + м_i) , л_i,j = 0 - соответствующие интенсивности переходов. На основании графа переходов можно получить соответствующую систему уравнений , где и - зависящие от времени вероятности состояний знаний с условием нормировки .

Интенсивности переходов между состояниями (интенсивности усвоения и забывания) могут зависеть от времени, и это позволяет получить линейные системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени, для которых не всегда могут быть получены аналитические решения.

Предлагаемый подход. Вся предметная область учебной дисциплины разделяется на смысловые зачетные единицы (например: определения, формулировки законов, теоремы с доказательствами, основные понятия, формулы и т.п.). Каждая такая единица знаний оценивается условной величиной в 1 балл. Наборы зачетных единиц могут образовывать взаимосвязанные комплексные оценки.

Любой процесс обучения необходимо рассматривать как пошаговый процесс, на каждом шаге которого обучаемый получает какое-то количество учебной информации (измеряемое числом смысловых зачетных единиц или условных баллов). В силу различия индивидуальных способностей каждый человек должен на одном шаге обучения получать различное количество учебной информации: не больше и не меньше того, что он может усвоить. Таким образом, обучение будет наиболее эффективным и индивидуальным. С другой стороны, в силу специфики памяти, каждому человеку свойственно забывать определенное количество полученной информации. Величина забытой информации также является индивидуальным параметром обучаемого.

Шаг обучения можно интерпретировать как период времени между занятиями (уроками, лекциями и т.д.) или интервал времени в течение которого проводится типовой набор учебных действий ( например: лекция, семинар, лабораторная работа, затем опять лекция, семинар, лабораторная работа).

Математическая модель. Рассмотрим некоторого условного обучаемого и обозначим его номером i. Пусть этот i-обучаемый должен достигнуть состояния обученности L_i (L_i - сумма всех смысловых зачетных единиц, или условных баллов, которые должен иметь/знать i-обучаемый к концу обучения). Отметим, что если в классе или учебной группе всего N обучаемых, то каждый из них должен достигнуть какого-либо состояния обученности L₁, L₂, L₃, …, L_i, …, L_N и эти состояния могут быть либо различными, либо одинаковыми (например L), что определяется целями обучения.

Время длительности одного шага обучения, равное ф₀. Мы считаем, что все обучаемые с одинаковой периодичностью посещают занятия. Однако на занятиях они могут получать разное количество учебной информации и по-разному её забывают за время ф₀. Таким образом, пусть i-обучаемый за время ф₀ получает е-учебных единиц и забывает о-учебных единиц (полученных на любом из предыдущих шагов обучения).

После каждого шага обучаемый переходит в одно из k-возможных состояний, которое задается тем количеством учебной информации, которая есть у обучаемого в данный момент времени (k может принимать значение от 0 до L). Введем понятие вероятности нахождения состояния обучаемого в том или ином значении.

Пусть после некоторого числа шагов обучения h: P_x-е,h - это вероятность того, что i-обучаемый обладает уровнем знаний, равным (x-е) единицам; P_x,h - уровнем знаний, равным x-учебным единицам, и P_x+о,h - уровнем знаний равным (x+о) учебным единицам. На одном шаге обучения ф₀ может быть получено е- единиц учебной информации и забыто о-учебных единиц.

Таким образом, можно ввести вероятность P_x,h+1 того, что на следующем (h+1) шаге обучения, обучаемый будет знать x-единиц учебной информации, которая будет равна 2:

Рисунок 2 - Схема возможных переходов между состояниями обученности для i-обучаемого на h+1 шаге обучения

P_x,h+1 = P_x-е,h + P_x+о,h - P_x,h (1)

Введем t = h · ф₀, где t - время процесса обучения, h - номер шага, ф₀ - длительность одного шага. Переходя от h к t, получим:

P(x,t+ф₀) = P(x-е, t) + P(x+о, t) - P(x, t) (2)

Раскладывая уравнение (2) в ряд Тейлора, получим:

Учитывая в правой и левой части полученного уравнения не более чем вторые производные, получим:

(3)

Член уравнения вида - определяет общее изменение состояния обученности с течением времени;

Член уравнения вида - описывает процесс, при котором полученные знания структурируются и сами становятся источниками дополнительных знаний. В силу специфики мышления человека, ему свойственно при определенных условиях, имея некоторый набор связей между элементами знания, находить новые или неизвестные связи, которые также являются знанием (процесс самообучения).

Если - быстрота изменения состояния обученности (скорость), то можно рассматривать, как быстроту изменения скорости, так как полученные знания сами являются источниками других знаний. Для исходной модели вторую производную по t можно исключить и рассмотреть её в более сложной модели несколько позже.

Член уравнения вида - описывает упорядоченный переход либо в состояние, когда знания увеличиваются (е > о), либо, когда они уменьшаются (е < о).

Член уравнения вида - описывает случайное изменение состояния обученности, что по сути дела избавляет от предположения о том, что е и о являются постоянными величинами на любом шаге процесса, т.е. за одно и то же время ф₀, е и о могут являться произвольными величинами.

Считая функцию P(x,t) непрерывной, перейдем от вероятности P(x,t) к плотности вероятности с(x,t), проведя операцию , что позволяет сформулировать следующую граничную задачу.

При состоянии обученности x = L процесс обучения можно закончить. Сама вероятность обнаружить такое состояние будет отлична от 0. Однако плотность вероятности, определяющая поток учебной информации в состоянии x = L, необходимо положить равной 0 (мы прекращаем обучение, прекратив поток), т.е.

(a)

Второе граничное условие выберем, исходя из следующих соображений: состояние x = 0 определяет полное отсутствие знаний у обучаемого. Сама вероятность обнаружить такое состояние может быть отлична от 0, однако плотность вероятности, определяющую поток заявок в состоянии x = 0 необходимо положить равной 0 (так как мы стремимся избежать этого состояния), т.е.

(b)

Cчитая, что е и о от x не зависят и, введя обозначение и , получим:

(4)

Поскольку в момент времени t = 0 состояние i-обучаемого уже может быть равно некоторому значению x₀, то начальное условие зададим в виде:

Используя методы операционного исчисления для плотности вероятности с₁(x,t) и с₂(x,t) обнаружения состояния обученности i-обучаемого в одном из значений на отрезке от 0 до L, можно получить следующие уравнения:

(5)

при x > x₀

(6)

при x ? x₀

Анализ математической модели. Уравнения (5) и (6) описывают поведение плотности вероятности обнаружения состояния обученности i-обучаемого в одном из значений на отрезке от 0 до L.

Отметим, что состояния могут принимать только целочисленные значения, однако уравнения (5) и (6) задают непрерывные распределения, что, тем не менее, не отвергает возможности их использования, поскольку эти уравнения могут быть дополнены условием, что значимыми являются только значения, полученные для целых величин x.

Поэтому все результаты, представленные далее на рисунках кривыми моделирования, можно рассматривать как заданные поточечно для целых значений х. С точки зрения практики е > о представляет наибольший интерес (знания накапливаются). Если вычислить интеграл P(L,t):

(7)

то функция P(L,t) будет задавать вероятность того, что состояние обученности к моменту времени t будет находиться на отрезке от 0 до L, т.е. порог необходимой обученности L не будет достигнут.

Соответственно, вероятность Q_i(t) того, что необходимый порог L окажется к моменту времени t достигнутым, можно определить следующим образом:

(8)

Проанализируем поведение вероятности Q_i(t). Пусть осуществляется учебный процесс, при котором за один шаг с длительностью ф₀ = 1 неделя, каждому обучаемому сообщается е = 10 единиц учебной информации. Всего на обучение отводится 15 недель, за которые они должны достигнуть уровня обученности L = 100 единиц учебной информации.

На рисунке 3 рассмотрен данный пример. Начальный уровень обученности составляет для каждого из обучаемых х₀=20 единиц, кривая 1 соответствует обучаемому, забывающему на одном шаге обучения о₁ = 2 единицы учебной информации, кривая 2 для о₂ = 3 единицы, кривая 3 для о₃ = 4 единицы, кривая 4 для о₄ = 5 единиц и кривая 5 для о₂ = 7 единиц учебной информации. Рисунок 3 показывает, что после 15 недель обучения (вертикальная пунктирная линия) вероятность достижения необходимой обученности для первого обучаемого составит 0,96, для второго - 0,89, для третьего - 0,70, для четвертого - 0,44 и для пятого обучаемого - 0,04.

Вероятность достижения обучаемым необходимой обученности напрямую отражает долю изученного им материала, а также оценку, которую он может получить при проверке. Если критерием отличной оценки является доля изученного материала от 0,85 и выше, то первый и второй обучаемый имеют все шансы быть оцененными при проверке на «отлично». Таким образом, если критерием хорошей оценки является доля изучения материала от 0,65 до 0,85, то хорошую оценку получит третий обучаемый и т.д.

Рисунок 3 - Зависимость вероятности (Qi(t)) достижения необходимого условного уровня обученности L = 100 от времени. На одном шаге ф0 = 1 неделя каждому обучаемому сообщается е = 10 единиц учебной информации

ВЫВОДЫ

1. При формализации задач управления знаниями для обеспечения компетенции процесс обучения можно рассматривать, как совокупность случайных переходов между соседними состояниями, описывающими знания объекта (субъекта) обучения. При величине знаний е, предоставляемой объекту обучения на одном шаге обучения за время ф₀, его балл из состояния (x-е) может переходить в состояние x, кроме того, изменение состояния x может осуществляться и за счет перехода x+о>x (процесс забывания).

2. На основе разработанной формализации задач управления знаниями для процессов обучения может быть получено уравнение Колмогорова, описывающее динамику обучения. Данное уравнение учитывает не только процесс «механического» накопления учебной информации объектом обучения в зависимости от числа шагов (времени) обучения, но и забывание знаний. Это позволяет сформулировать и решить для процесса обучения краевую задачу и получить аналитические выражения для зависимости плотности вероятности с(x, t) обнаружения обученности в одном из состояний x, находящихся на отрезке от 0 до L.

3. Решение сформулированных в работе краевых задач позволяет как качественно, так и количественно проанализировать динамику процессов обучения и определить необходимое количество учебной информации е, передаваемой на одном шаге обучения объекту обучения (в зависимости от его характеристик), для того чтобы процесс был наиболее эффективным (заданный уровень обученности был бы достигнут за наименьшее число шагов).

ЛИТЕРАТУРА

1. Свиридов, А.П. Введение в статистическую теорию обучения и контроля знаний [Текст] / А.П. Свиридов. - М.: МЭИ, 1974. - 152 с.

2. Коган, А.Б. Биологическая кибернетика [Текст] / А.Б. Коган, Н.П. Наумов, В.Г. Режабек, О.Г. Чораян. - М., «Высшая школа», 1977. - 384 с.

3. Майн, X. Марковские процессы принятия решений [Текст] / X. Майн, С. Осаки. - М., «Наука»,1977. - 75 с.

Размещено на Allbest.ru