Взаимодействует ли реальная форма с идеальной? Исследование овладения счетом на числовой прямой с помощью записи движений глаз

Размещено на http://www.allbest.ru/

Утрехтский Университет

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

ВЗАИМОДЕЙСТВУЕТ ЛИ РЕАЛЬНАЯ ФОРМА С ИДЕАЛЬНОЙ? ИССЛЕДОВАНИЕ ОВЛАДЕНИЯ СЧЕТОМ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ С ПОМОЩЬЮ ЗАПИСИ ДВИЖЕНИЙ ГЛАЗ

А.Ю. ТИВАРТТ

Москва

Резюме

В статье рассматривается проблема овладения математическим знанием на примере обучения дошкольников счету на числовой прямой. С помощью записи движений глаз раскрывается многообразие стратегий определения числа на числовой прямой. Показано существенное различие между стратегиями, используемыми взрослыми, стратегиями, используемыми в процессе обучения, и стратегиями детей после обучения (X = 44.936;р < 0.001). Выявленные различия в стратегиях по ряду параметров (направление пересчета вверх или вниз по числовой прямой, положение целевой точки в начале или в конце счета) свидетельствуют о том, что самостоятельные решения детей после обучения в большей степени похожи на решения задач взрослыми, чем стратегии, предложенные при обучении. Анализ данных о движениях глаз и видео совместной деятельности родителей и детей в ходе формирующего эксперимента показывают, что взрослые формируют способ восприятия числовой прямой детьми с помощью жестикуляции и синхронизированных с ней вербальных указаний. Однако родители не раскрывают в ходе обучения идеальную форму, т.е. многообразие стратегий, характерное для взрослого восприятия, а выстраивают базовую, учебную форму действия, надежно доступную ребенку. Несмотря на это, дети самостоятельно дополняют предложенную взрослыми базовую стратегию пересчета другими стратегиями, основываясь на интегральном представлении о числе. Недоступной оказывается лишь стратегия, требующая принципиально иного способа действия: рассмотрения числовой прямой как системы равных интервалов, а не последовательного ряда чисел. Согласно результатам нашего исследования, идеальная, культурная форма восприятия существует в скрытом виде, ребенку необходимо самостоятельно переоткрывать ее, как используя предложенную взрослым базовую стратегию пересчета, так и встраивая конкретную задачу в целостную систему знаний. математический знание восприятие прямая

Ключевые слова: культурно-исторический подход, Выготский, математическое образование, обучение, идеальная форма, совместная деятельность, числовая прямая, математическое понятие, движения глаз, окулография.

Annotation

Does the Real Form Interact with the Ideal Form? A Study of the
Teaching-Learning to Count on the Number Line by Means
of Eye-Tracking

A.Yu. Shvarts

Utrecht University, 5 Princetonlaan

Lomonosov Moscow State University

The article investigates acquisition of mathematical knowledge in collaboration with an adult as it is exemplified by preschoolers' learning to count on the number line. A qualitative analysis of the eye-movements reveals the diversity of possible strategies in determination of a number on the number line. The developmental experiment discloses the mechanisms of emergence of these strategies in children. The quantitative comparison of the adults' strategies, the strategies, which are involved in the teaching-learning process, and the strategies that the children used after the learning stage demonstrates the process of development (x²= 44.936; p <.001). We distinguished the statistically significant differences between the stages in the ratio of counting up versus down along the number line and in the ratio of counting from versus towards the target point. The results demonstrate that children's strategies after the learning stage are more similar to the adults' inherent strategies than to the strategies that were introduced by the adults during the teaching stage. The analysis of the videos of shared activity that was synchronized with the eye movements showed that the adults demonstrated the basic strategy to the children at the teaching phase as they guided children's perception by their pointing gestures and speech. However, the adults did not expose the ideal form, namely the diversity of their own strategies during their teaching. Nevertheless, the children were able to supplement the given teaching/learning form of counting from zero up along the number line to the target point with a variety of strategies by themselves, relying on their coherent notion of the number concept. The strategy that required the sequence-to-proportion shift was the only one that children were not able to constitute by themselves. According to our results, the ideal, cultural form of perception exists in the latent form, and a child needs to re-constitute it in their own practice. The children rely on the basic strategy and enrich this strategy as they include it in the integral conceptual knowledge about numbers. The results enrich our understanding of microgenesis of mathematical knowledge during the collaboration with an adult and open perspective on learning as an active reinvention of ideal form on the ground of cultural practice.

Keywords: cultural-historical approach, Vygotsky, mathematics education, teaching, learning, ideal form, shared activity, number line, mathematical concept, eye-tracking, oculography.

Основная часть

Исследование математических способностей и обучения математике находится на стыке психологии развития, когнитивной психологии и наук об образовании. Интрига совмещения проблематики и инструментария этих областей в том, что результаты такого совмещения одновременно проясняют фундаментальные закономерности человеческого развития и позволяют делать конкретно-практические выводы, способствующие совершенствованию образовательного процесса. Согласно современным представлениям (Duval, 2006; Hitt, 1998; Presmeg et al., 2016; Radford, 2010; и мн. др.), математическое знание является мультимодальным и формируется как единство множества моделей или репрезентаций, представленных в формальной, вербальной, визуальной, тактильной форме. Наше исследование посвящено изучению процессов овладения одной из таких репрезентаций понятия числа -- числовой прямой. Формирующий эксперимент в духе Л.С. Выготского позволяет описать процесс развития и приблизиться к пониманию значения взаимодействия различных компонентов понятия числа в обучении.

Пространственные представления о числовой прямой в составе понятия числа

Согласно данным экспериментальных и клинических исследований, пространственные представления являются существенной составляющей понятия числа, а также того, что принято называть чувством числа (number sence). Результаты исследований А.Р Лурии (1962) показывают, что арифметические операции разрушаются при поражении теменно-затылочных долей мозга, ответственных за пространственные представления. Пациенты с такими поражениями путают зрительно схожие числа (такие как 69 и 96), а также затрудняются в понимании разрядного строения чисел. Кроме того, возникают ошибки, вызванные разрушением представления о направлении счета, т.е. о последовательном и направленном расположении чисел в числовом ряду и на числовой прямой. Так, при вычитании с переходом через десяток они могут вычесть до десятка, а потом прибавить, двинувшись в другую сторону (например, вычисляя 31--7, они считают 30--7 и потом вычитают еще 1 вместо того, чтобы прибавить, и получают 22 вместо 24).

Современные исследования с использованием методов нейровизуализации подтверждают эти данные и показывают, что активация внутритеменной борозды связана с различными арифметическими операциями. В частности, латеральная часть этой области мозга, вероятно, выполняет функцию прослеживания вдоль числовой прямой, сходную с прослеживанием на визуальной сцене при оперировании другими мысленными образами (Hubbard et al., 2005).

С этим выводом согласуются данные поведенческих экспериментов. Феномен, известный как SNARC-эффект (Dehaene et al., 1993), заключается в том, что испытуемые отчитываются о маленьких числах быстрее, если числа (или вербальная запись числа -- Fias, 1996) предъявлены в левое полуполе, и быстрее о больших числах, если они предъявлены в правое полуполе. Предполагается, что, даже решая задачу, не требующую активации представления о величине числа, испытуемые связывают число с его положением на числовой прямой или в числовом ряду. Аналогичные данные были получены при анализе поворота глаз испытуемыми в темной комнате, т.е. при отсутствии внешней зрительной стимуляции. Решая задачу на нахождение числа посередине между двумя числами, они совершали горизонтальные саккады, причем если первое названное число было больше, то саккады совершались преимущественно справа налево, как будто двигаясь к среднему по мысленной числовой прямой (Loetscher et al., 2008).

Возникновение представлений о числовой прямой в онтогенезе

Каким образом возникают пространственные представления о числе? Одним из механизмов является освоение числовой прямой -- одной из внешних визуальных репрезентаций, или моделей, понятия числа. Серия исследований об оценке положения числа на числовой прямой вскрывает основные стратегии и очередность их появления в ходе обучения.

В целом выделяются такие стратегии, как счет от начальной точки, счет от конечной точки и счет от середины отрезка.

Первыми в онтогенезе появляются стратегии отсчета от начальной или конечной точки. Способность уже первоклассников использовать конечные точки показана в ряде исследований (Link et al., 2014; Petitto, 1990; Schneider et al., 2008; и др.). Согласно выводам некоторых авторов (Schneider et al., 2008), дети, уже начиная с первого класса, также могут использовать и серединную точку для нахождения числа на числовой оси, согласно другим данным (Petitto, 1990; Siegler, Opfer, 2003), первоклассники не используют серединную точку.

Более детальный анализ когнитивных операций, лежащих за представлениями о числовой прямой, в отличие от числового ряда, показывает, что использование срединной точки содержит представление не только о последовательном расположении чисел слева направо, но также об относительных расстояниях между числами. Такой сдвиг от представления о последовательности к представлению о пропорциональном соотношении (sequence-to-proportion shift) наблюдается только к третьему классу¹, когда дети для оценки положения числа на отрезке числовой прямой начинают использовать срединную точку, опираясь на равенство интервалов от нее до концов отрезка (Petitto, 1990).

Другой объяснительной конструкцией по сути того же феномена является предположение, что мысленное представление о логарифмическом расположении чисел на числовой прямой постепенно сменяется адекватным линейным представлением. Так, если в втором и четвертом классе превалирует скопление чисел в начале числовой оси (как если бы использовалась логарифмическая линейка для оценки длины), то к шестому классу это проходит и числа оказываются распределены равномерно, то же наблюдается и у взрослых испытуемых (Siegler, Opfer, 2003).

Третий класс в США посещают дети 8-9 лет.

В ряде работ используется метод регистрации движений глаз при выполнении заданий на оценку положения числа на числовой прямой. Согласно этим данным, дети уже начиная с первого класса чаще фокусируются на концах отрезка числовой прямой, а также на срединной точке, используя все три положения как точки ориентации. При этом превалирующей стратегией является счет от 0 или от середины до целевой точки (Schneider et al., 2008). Данные о движениях глаз, полученные той же группой исследователей (Heine et al., 2010), свидетельствуют о линейных представлениях о расположении чисел на числовой прямой уже в первом классе, несмотря на соответствие поведенческих данных логарифмической модели. Можно говорить, что данные о движениях глаз вскрывают раннее созревание определенных операций, которое может еще не проявляться в итоговом ответе и обнаруживаться в поведенческих данных только более старших возрастных групп. Это соответствует данным C. Голдин-Медоу (см., например: Goldin-Meadow, 1999): телесная (embodiment) подготовка математических знаний и навыков предвосхищает их эксплицитное проявление при непосредственном тестировании.

Как можно видеть, большинство исследований посвящено изучению числовой прямой как уже сформированному ментальному образу, позволяющему выносить некоторые суждения о числах. Нас интересуют механизмы возникновения этого образа и стратегий работы с ним.

Как указывает Л.С. Выготский, «величайшая особенность детского развития заключается в том, что это развитие совершается в таких условиях взаимодействия со средой, когда идеальная форма, конечная форма... реально взаимодействует, реально оказывает влияние на первичную форму, на первые шаги детского развития» (Выготский, 2001, с. 83-84). Идеальная форма -- это не записанные правила или определения, хранящие культурное достояние, но сами формы поведения, деятельности, существующие в культуре, окружающей ребенка, такие как речевая деятельность, оперирование бытовыми предметами и знаковыми системами со стороны взрослых. В приложении к освоению математического знания к идеальной форме следует отнести математические действия, в частности, действие пересчета и другие способы количественной оценки, присущие культурному поведению взрослых.

Каким образом происходит усвоение этой идеальной формы? Согласно Выготскому, идеальная форма усваивается в ходе совместной деятельности со взрослым, который раскрывает ее в интерпсихическом взаимодействии с ребенком. В психологии математического образования значительное внимание уделяется микроанализу процессов этой совместной деятельности, в которой ребенок научается воспринимать математические изображения и знаки так же, как взрослый. Л. Радфорд (Radford, 2010) вслед за К. Марксом рассматривает этот процесс как «окультуривание» (domestication) органов чувств в ходе социальной практики. Исследуя видео- и аудиозаписи совместной деятельности учителя и ученика, Радфорд показывает, как все семиотические регистры (визуальная репрезентация, жесты, интонации, их ритм и др.) соединяются вместе, позволяя ребенку наполнить визуальную репрезентацию смыслом, выделить ее существенные аспекты и объективировать (objectification) математическое содержание изображения. B.-M. Рош (Roth, 2008) детально анализирует, как просодические характеристики речи направляют внимание слушающего и как при этом внимание к одним и тем же частям диаграммы может сопровождаться различными жестами, делающими наиболее выпуклыми необходимые аспекты математического смысла. Р Бюланд (Bjuland, 2012) подчеркивает значение жестов учителя, включенных в мультимодальную коммуникацию, для формирования ранних алгебраических представлений у учеников, а также показывает, как жесты одного ученика становятся средством переосмысления задачи для другого ученика.

Недостатком приведенных исследований является отсутствие инструмента для непосредственного анализа перцептивных процессов ребенка. О том, что культурный способ восприятия был усвоен, исследователи судят по решению задач и успешной коммуникации с учителем или сверстником. В нашем исследовании с помощью записи движений глаз мы непосредственно проанализировали используемые ребенком стратегии счета на числовой прямой, соотнесли их со стратегиями взрослых и стратегиями, разворачивающимися в интерпсихическом пространстве совместной деятельности.

Эмпирическое исследование формирования культурного способа
восприятия числовой прямой

Общей целью эмпирического исследования было изучение механизмов передачи идеальной формы от взрослого к ребенку на примере обучения родителями детей культурному способу действия, а именно счету на числовой прямой.

Конкретными задачами исследования являлись:

1. раскрытие стратегий счета на числовой прямой у взрослых;

2. анализ стратегий ребенка в ходе совместной деятельности ребенка со взрослым в ходе обучения;

3. выявление стратегий восприятия числовой прямой детьми при решении задач самостоятельно после обучения;

4. анализ жестов, интонаций и вербальных указаний взрослых, направленных на трансформацию операциональной стороны восприятия ребенка, выявление стратегий, использованных в обучении;

5. сопоставление стратегий, присущих взрослым и детям, а также стратегий, актуализированных в ходе обучения.

Исследование выполнено с помощью качественно-количественного анализа глазодвигательной активности детей, синхронизированной с видео- и аудиозаписью жестов и речи детей и родителей. На первом этапе, в ходе качественного анализа, были выделены стратегии восприятия числа на числовой прямой, а на втором этапе статистические процедуры позволили сопоставить применение выделенных стратегий разными группами испытуемых.

Методика

Испытуемые. В исследовании приняли участие шесть пар родителей и детей-дошкольников в возрасте от 5.3 до 6.8 лет. Участвовали двое пап и четыре мамы, два мальчика и четыре девочки. (Для удобства, в ходе качественного анализа мы будем называть каждую пару буквами А, Б, В, Г, Д, Е -- по порядку участия в исследовании.) Возраст детей выбирался исходя из цели изучения процесса развития, т.е. такой, в котором освоение числовой прямой находилось в зоне ближайшего развития детей. Никто из них не видел числовую прямую до исследования и не знал, как самостоятельно решить экспериментальную задачу. За участие в исследовании детям давалось печенье Барни.

Небольшое количество испытуемых определялось трудоемкостью качественного анализа, потребовавшего для оценки стратегий восприятия ручного анализа всех фиксаций испытуемых.

Процедура и материалы исследования. Всего испытуемым предлагалось решить три вида задач на счет в пределах 10, задача каждого типа предъявлялась восемь раз с разными ответами (от 2 до 9). Основной задачей был счет на числовой оси.

На оси, изображенной в интервале от 0 до 10 (см. рисунки 1, 2, стимульный материал предоставлен образовательной платформой Uchi.ru), каждое целое число было отмечено риской. Были подписаны числа 0, 5 и 10, они отмечались более жирными рисками. Такая числовая ось существенно отличается от принятой в исследованиях стратегии оценки положения числа на числовой оси. Во всех известных нам работах (Heine et al., 2010; Link et al., 2014; Petitto, 1990; Schneider et al., 2008; Siegler, Opfer, 2003; Sullivan et al., 2011; и др.) в качестве числовой прямой используется горизонтальный сплошной отрезок с рисками и подписями чисел только на концах. Выбор нами более математически нагруженной визуальной модели обусловлен следующим. В большинстве из этих работ исследуется внутреннее, ментальное представление о числе и возможность трансформировать его в пространственные соотношения. Целью же нашей работы было изучить процессы становления культурного восприятия внешней визуальной модели числа - числовой оси, поэтому наш стимуль- ный материал более полно отражал систему отношений, стоящую за пониманием числового ряда в пределах десяти.

В большинстве работ исследуется восприятие и процессы оценки взрослых (Link et al., 2014; Sullivan et al., 2011; и др.) и школьников с первого по шестой класс (Link et al., 2014; Schneider et al., 2008; и др.), чаще используется ось от 0 до 100 (Heine et al., 2010; Schneider et al., 2008), но в некоторых работах -- ось до 10 (Link et al., 2014), до 1000 (Sullivan et al., 2011) или даже до 10000 (Link et al., 2014). Нас же интересовала ситуация, когда дети еще заведомо не сталкивались с числовой прямой в ходе формального обучения, поэтому нашими испытуемыми стали дошкольники; однако для того, чтобы задача находилась в их зоне ближайшего развития, мы выбрали числовую прямую от 0 до 10.

Испытуемым предъявлялись числовая ось, над одной из рисок которой располагался кузнечик. Наверху того же слайда предъявлялось задание: «На какой точке сидит кузнечик?» Ответ давался нажатием цифры на клавиатуре. В том случае, когда число 5 было целевым, соответствующая риска не была подписана.

Использовалось две интерферирующих задачи: счет бусин, расположенных на экране в хаотичном порядке, и выбор банки с указанным количеством фруктов из трех банок, предъявленных на экране. Таким образом интерферирующие задачи также задействовали операцию счета, но не использовали визуальную модель «Числовая ось» и не актуализировали операции счета на ней.

Процедура проведения исследования для каждой диады была следующей.

На первом этапе производилась запись движений глаз родителя, который сначала решал основную задачу, а потом две интерферирующие. Таким образом мы получали информацию о стратегиях счета у взрослых. Во время этого этапа ребенок знакомился с процедурой калибровки и записи движений глаз, а в процессе прохождения задач родителем занимался складыванием пазла и не имел возможности предварительно ознакомиться с задачами.

На втором этапе к исследованию приглашались оба участника: ребенок находился перед монитором для записи глазодвигательной активности, а взрослый садился рядом. Взрослому давалась инструкция: «Помогите ребенку решить задачи. Чувствуйте себя свободно. Вы можете прерывать ребенка в любой момент и давать дополнительные разъяснения». Таким образом у взрослого создавалась установка на активное взаимодействие с ребенком. Необходимость такого достаточно настойчивого побуждения взрослого к активному вмешательству в процесс решения задач была обусловлена результатами пилотажа, который показал, что иначе родители склонны предоставлять детей самим себе и минимально вмешиваться в процесс обучения.

На третьем этапе производилась регистрация движений глаз при самостоятельном решении задач ребенком. Сначала ребенок решал интерферирующие задачи, а затем переходил к основной, решая ее повторно после обучения родителем.

Аппаратура

Запись движений глаз проводилась с помощью установки SMI RED с частотой регистрации 120 Гц. Положение головы участников фиксировалось с помощью подбородника, чтобы облегчить детям процесс калибровки и необходимость удерживать голову в достаточно узком коридоре, позволяющем осуществлять запись движений глаз. Использовалась пятиточечная калибровка. Экран (21 дюйм) располагался на расстоянии 45 см.

Взаимодействие ребенка и родителя записывалось на внешнюю видеокамеру с частотой 30 Гц. Стимуляция подавалась с помощью программы Experiment Center 3.1 с подключаемым пакетом Observational package для записи взаимодействия на внешнюю камеру. Для записи глазодвигательной активности использовался iViewX 3.1, качественный анализ результатов проводился в программе Begaze 3.1, также использовалось собственное программное обеспечение, написанное в МаШаЬ 2014Ь и позволяющее более точно синхронизировать данные внешней видеокамеры и данные о движениях глаз. Для статистического анализа использовался пакет SPSS 20.0.0.

Результаты и их обсуждение

Стратегии счета взрослых и детей: идеальная форма и ее усвоение

Как показали решения интерферирующих задач, все наши испытуемые уже владели числовым рядом и были способны к последовательному пересчету отдельных объектов, делая ошибки лишь в редких случаях. Следовательно, в ходе прохождения основной серии задачей являлась именно координация числового ряда и незнакомой визуальной модели, а не усвоение порядка счета.

Качественный анализ записей движений глаз небольшого количества испытуемых позволил нам оценить используемый способ действия в каждой пробе, что рассматривается как перспективный, но трудоемкий шаг (Schneider et al., 2008). Запись движений глаз одного из родителей не была произведена вследствие его косоглазия. В некоторых случаях (в 4 пробах из 136) выявление способа действия было затруднительно из-за потери взора, такие пробы не учитывались. Таким образом, мы получили данные о способах перцептивных действий взрослых, детей при решении задачи совместно со взрослыми и детей при самостоятельном решении. В ряде случаев испытуемые использовали сразу две стратегии, вероятно, проверяя свой результат, тогда мы засчитывали обе.

Опишем стратегии, которые использовались взрослыми и детьми для определения числа на числовой прямой (таблица 1 содержит примеры сырых данных о движении глаз, соответствующих определенным стратегиям). В целом они повторяют стратегии, указанные в работе Петитто (Petitto, 1990), но имеется существенное расширение.

Большинство стратегий связаны с пересчетом рисок на числовой оси. Однако риски можно считать разными способами: можно считать от 0 до целевой точки, это всегда будет счет по числовой оси «вверх», в порядке, соответствующем числовому ряду (стратегия 1). Другой стратегией будет счет от целевой точки до числа 0, это будет счет «вниз» (стратегия 2). Результат получится один и тот же, но ребенку придется применить нетривиальное знание, что результат счета не зависит от порядка пересчета (Gelman, Gallistel, 1978).

Таблица 1

Стратегии определения числа на числовой прямой

Кроме того, можно пользоваться числом 10, обозначенным на конце отрезка числовой прямой, и посчитать, сколько делений от целевой точки до числа 10 (стратегия 3, это будет счет «вверх»), или посчитать, сколько делений будет от числа 10 до целевой точки (стратегия 4, счет «вниз»). Кроме того, можно использовать серединную точку. В данных были представлены три из возможных четырех стратегий, опирающихся на число 5: счет от числа 5 к целевой точке «вверх» и «вниз» в зависимости от того, было ли целевое число больше или меньше пяти (стратегии 5 и 6), а также счет от целевой точки к числу 5 «вниз» для чисел больше пяти (стратегия 7). Для целевых чисел меньше 5 счет вверх от целевой точки до числа 5 является, по всей видимости, нецелесообразным.

Стратегии сходны с указанными Петитто (Petitto, 1990) по ориентационным точкам. Однако такие стратегии характеризуются непосредственным пересчетом на числовой оси, используемым довольно редко при оценке положения числа на числовой прямой без делений (Link et al., 2014). Нами исследуются несколько другие процессы: не приблизительной оценки положения числа на числовой прямой, а точного вычисления. Стратегии сходны в общих чертах, но отличаются по конкретной операциональной реализации. Кроме того, нам удалось детальнее описать существующие стратегии за счет качественного анализа записей движений глаз отдельных субъектов, тогда как в существующих работах анализируются лишь частота фиксации в разных частях числовой оси и точность полученной оценки, а на основе этого делаются предположения о стратегии.

Таким образом, по своему операциональному составу действия вычисления варьировались по следующим характеристикам:

1. точка ориентира (orientational point) (0 -- стратегии 1 и 2; 10 -- стратегии 3 и 4; 5 -- стратегии 5, 6 и 7);

2. направление пересчета (вверх по числовой оси -- стратегии 1, 3, 5; вниз по числовой оси -- стратегии 2, 4, 6, 7);

3. позиция целевой точки в пересчете (счет до целевой точки -- стратегии 1, 4, 5, 6; счет от целевой точки к точке ориентира - стратегии 2, 3, 7).

В некоторых случаях испытуемые использовали в качестве точки ориентира целевую точку предыдущего задания (стратегия 8).

Помимо стратегий пересчета, нам удалось выявить принципиально другую стратегию, она применялась для целевых точек 5 и 8 (стратегия 9). Испытуемый смотрел на целевую точку, а затем быстро, зачастую даже без фиксаций, переводил взгляд к соседним ориентационным точкам. По всей видимости, эта стратегия связана с оценкой относительных расстояний от точек-ориентиров до целевой.

Еще один вариант глазодвигательной активности -- это ответ после единственной фиксации на целевом числе (стратегия 10). В данном случае данные о движении глаз не дают оснований для выявления стратегии, но можно предположить, что она не требовала пересчета. Эта стратегия встречалась для целевых чисел 2, 6 и 9, т.е. близких к точкам ориентира, а также для вопроса о числе 5, где испытуемые могли ориентироваться на выделенную риску.

Мы сравнивали частоту встречаемости разных стратегий у родителей, детей под руководством родителей и детей, решавших задачи самостоятельно. Анализ с помощью таблиц сопряженности показал, что имеются существенные различия в предпочитаемых стратегиях (х² = 44.936; p < 0.001).

Как видно из таблицы 1, отражающей, сколько раз была использована каждая стратегия, дети преимущественно пользовались стратегиями с пересчетом. Стратегия 9 была доступна практически только взрослым. Это согласуется с данными исследований о том, что дети только к третьему классу начинают понимать числовую прямую как отражающую расстояния между числами, лишь тогда они начинают использовать стратегию пропорциональной оценки расстояний (Link et al., 2014), которая у взрослых становится доминирующей (Sullivan et al., 2011).

Далее мы сравнили различия между группами для разных стратегий пересчета, разделив их по указанным выше факторам: 1) точка ориентира, 2) направление пересчета, 3) позиция целевой точки.

Не выявлено статистически значимых различий в использовании чисел 0, 5 или 10 в качестве точек ориентира взрослыми и детьми дошкольного возраста. Согласно литературным данным, уже первоклассники способны использовать конечные точки (Link et al., 2014; Petitto, 1990; Schneider et al., 2008; и др.). Мы дополнили эти данные информацией о дошкольниках. Мнения о доступности использования серединной точки в литературе расходятся (Link et al., 2014; Petitto, 1990; Schneider et al., 2008; Siegler, Opfer, 2003). Однако в нашем случае серединная точка была специально выделена и даже подписана, вероятно, поэтому ее использование оказалось доступно дошкольникам.

По двум другим факторам различия наблюдаются. Так, стратегии, используемые в разных сериях, различаются по направлению пересчета (д² = 9.576; p = 0.008). Как видно из таблицы 2, взрослые чаще считают «вниз» по числовой оси (если совершается пересчет, то он делается вверх только в 32.3% случаев), тогда как дети при обучении чаще считают «вверх» (66.1%). Когда же дети считают самостоятельно, то они занимают промежуточное положение -- считают «вверх» в 53% случаев, что отличается от стратегий взрослых на уровне тенденции (д² = 9.576; p = 0.056).

Это выявляет интересный факт: поведение детей при самостоятельном решении в большей степени соответствует идеальной форме, наблюдаемой у взрослых, чем то поведение, которое дети показывают в процессе обучения. В предположении, что в процессе обучения взрослые передают ту самою идеальную форму, те способы счета, которыми обладают сами, этот результат выглядит парадоксально. Природа этого факта раскрывается ниже при анализе стратегий, выбираемых взрослыми для обучения.

Также обнаруживаются значимые различия в позиции целевой точки (д² = 8.574; p = 0.014). Как видно из таблицы 3, взрослые пользуются как стратегией счета к целевому числу (58.1%), так и стратегией счета от целевого числа к точке ориентира (41.9%), однако в процессе обучения дети используют стратегию счета до целевого числа, т.е., например, «0-1 -2-3-4!» или «5-6-7!» в 83.9 % случаев, а стратегию счета от целевой точки до точки ориентира только в 16.1% случаев. Как и в случае с направлением пересчета, самостоятельные решения детей в большей степени похожи на стратегии родителей (64.8% при счете к целевой точке и 35.2% при счете от целевой точке) и статистически от них не отличаются.

Таблица 2