Использование возможностей специального представления учебного материала в обучении высшей математике (на примере темы "Интегрирование по частям" и "Числовые ряды")

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Использование возможностей специального представления учебного материала в обучении высшей математике (на примере темы «Интегрирование по частям», «Числовые ряды»)

Ирина Темникова

Часто высшая математика преподается как наука абстрактная, не связанная с задачами подготовки специалистов определенного профиля. В связи с этим отдельные студенты не понимают огромного значения высшей математики и относятся к этому предмету формально.

В основу реализации предлагаемого подхода положено специальное представление учебного материала, основанное на психолого-педагогических приемах использования и развития визуального мышления в процессе обучения. Под визуализацией понимается «представление, структурирование и оформление учебной математической теории, основанное на различных способах предъявления информации (текст-рисунок-формула) и взаимосвязей между ними.

Данная среда позволяет сохранить и обновить достижения методик дисциплин отдельных предметных областей школьного и вузовского образования. Большую помощь в этом оказывают специальные приемы введения и преобразования информационных сообщений: расчленение на отдельные фрагменты, визуально ясное оформление, постоянное взаимодействие различных способов предъявления информации. Этот момент мы считаем чрезвычайно важным. Он создает необходимую основу для взаимно обратного перевода с «языка слов» на «язык символов» и «язык зрительных образов».

Здесь налицо важный психологический аспект. При введении нового объекта (до установления дефиниции) учащийся может не бояться недостаточно «складно и точно» описывать его существенные особенности. Основная задача в этот период - узнать, соотнести термин и образ. И только приобретя достаточный навык в опознании, привыкнув к наименованию и формуле, студент будет обязан дать точное определение.

Продолжая развивать вышеизложенные положения, первоначально реализуемые на бумажных носителях, мы в своих исследованиях переложили их в компьютерную среду, создав информационные источники сложной структуры.

Продемонстрируем основные идеи на одной из наиболее трудных для изучения тем курса высшей математики, а именно «Элементы дифференциального и интегрального исчисления».

С большими трудностями мы сталкиваемся при введении понятий первообразной и неопределенного интеграла, даже несмотря на то, что большинство умственных действий, которые осуществляются над операцией интегрирования, им якобы были уже продемонстрированы. По-видимому это происходит из-за того, что в школьном курсе связь между первообразной и интегралом в достаточной мере не усваивается. Так одним из самых сложных в формировании техники интегрирования является знаменитое правило интегрирование по частям.

Существует весьма распространенный способ вычисления таких интегралов, где подынтегральное выражение рассматривается как произведение двух структур, одна из которых есть некоторая функция и (х), а другая dv(х). Продемонстрируем оформление действий на примере одного из известных учебников. «При вычислении интеграла дифференцировать степень, так как при этом показатель степени понижается на единицу (поэтому интегрировать по частям придется два раза); в то же врем при дифференцировании синуса, как и при его интегрировании, он не упрощается и не усложняется:

Среди преподавателей вуза существует мнение, что представленные методы интегрирования не будут усвоены, пока человек не возьмет около 200 интегралов. Это объяснимо, т.к. если использовать наиболее распространенные способы, то необходимо научить студентов четко определять (может быть, даже на уровне интуиции), что брать в качестве функций и(х) и у{х). Но интуитивная догадка всегда приходит только тогда, когда присутствует большой опыт работы над аналогичной информацией.

Мы же строим процесс обучение интегрированию по частям другим образом, позволяя сразу же визуально обнаружить и подтвердить свою догадку. И при этом укладываемся даже в 2-3 занятия (иногда и с минимумом домашних заданий). Как мы предлагаем решать такую сложную с методической точки зрения проблему?

Наряду с визуализацией уже имеющихся способов действий, мы выбираем новые, на наш взгляд, методически наиболее удачные. Приведем конкретный пример. Рассуждаем так. Проводить процесс интегрирования мы можем на заключительном этапе только с помощью таблицы интегралов. До этого должны быть произведены надлежащие над интегрируемыми функциями либо алгебраические операции (сложение, деление, сокращение, тригонометрические преобразования и т.д.), приводящие подынтегральное выражение к «хорошо» интегрируемым функциям, либо применены какие-то другие способы. информатизация образование учебный математический

Ориентиром для понимания служит сама структура интеграла. Так, когда подынтегральное выражение представляет собой однотипные наборы алгебраических и тригонометрических символов, то скорее всего здесь необходимо применять алгебраические преобразования или тригонометрическое упрощение подынтегрального выражения. Например:

Если же подынтегральное выражение составлено из разнородных функций, то мы рекомендуем применять операцию внесения под знак дифференциала.

Разложим на множители подынтегральное выражение последнего примера, т.е. применим операцию введения под знак дифференциала, в точности адекватную нахождению первообразной подынтегральной функции, тогда получим следующий результат:

На первых порах сделать это оказывается не так уж легко по совершенно «смешным» причинам. К примеру, выявить, что подынтегральное выражение, имеющее вид , имеет два множителя, представляет для наших слушателей большую сложность...

Разложение этого выражения на множители и позволяет переходить к операции введения под знак дифференциала. Для этого необходимо только выяснить, какой же из множителей можно ввести под знак дифференциала. Ответ на это дает таблица. По ней видно, что ответ на вопрос «Чему равна первообразная от 1п X ?» нет, а на вопрос «Чему равна первообразная от ?» есть. Поэтому мы ее и вносим под знак дифференциала.

Однако и здесь есть трудность: первокурсники плохо знают и практически не понимают формулу й/^) = f'{х)dх. В результате же ее объяснения и демонстрации практических применений алгоритм решения становится очевиден:

Данный подход имеет еще одно достоинство: если в качестве подынтегральных взять не произведение каких-нибудь функций, а, например, функции вида , то множество первообразных вычислить можно практически в 3 основных шага.

Ниже приведен соответствующий пример «Структуры и элементы основной схемы интегрирования по частям» (рис. 1), помогающий первоначально сформировать у студентов технику интегрирования по частям.

Рис. 1

В качестве обобщения представленного метода мы предлагаем нашим слушателям следующую информационную схему (рис. 2).

Этот подход к передаче знаний повлечет за собой изменение взгляда на сами принципы изложения учебной информации, - подача учебного материала осуществляет так, чтобы стал возможен активный зрительный анализ его структуры.

В наших материалах есть возможность прочно сформировать триаду «текст-рисунок- формула» с помощью графической интерпретации, специального выделения (цвет, различные шрифты, специальное расположение и центрирование текста и т.п.). Главным отличием нашей методики является то, что мы очень внимательно относимся к общим и частным алгоритмам, которые выстраиваем и визуализируем специальным образом. Мы определили такую идеологию, которая учитывает плохую математическую подготовку учащихся. Придерживаясь принципов визуализации учебного материала, мы акцентировали свое внимание на трудностях восприятия знакового математического материала.

Рис. 2

Кроме того, нас интересует и адаптационный аспект процесса обучения высшей математике. Мы видим решение представленных проблем в следующих положениях:

обеспечение достаточного уровня знаний в общеобразовательных учреждениях;

привитие навыков самообразования;

повышение мотивации на получение образования (как в школе, так и в вузе).

Вследствие описанных выше причин необходимо искать новые пути и

модернизировать уже имеющиеся. Мы полагаем, что это можно реализовать в том числе и с помощью принципа наглядности. Наши действия направлены не на формальное изучение материала, а его сознательное усвоение. Это мы осуществляем с помощью специальных приемов, основанных на работе с учебными образами. Причем мы не настаиваем на том, чтобы все разделы преподавать именно таким способом. Это должно быть избирательно, включая и традиционные лекции, практические занятия и семинары.

Выявив трудности в восприятии текста, рисунков и формул, мы внедряем специальные методические средства обучения (в том числе и компьютерные), которые активно внедряли в учебным процесс и для объяснения нового материала, и для восстановления необходимого.

Рис. 3

Тестирование и апробация их проводилась нами в группах студентов направлений «Экономика» и «Юриспруденция» Филиала «Балтийского института экологии, политики и права» в г. Мурманске. Мы как бы «наводили на определенные базовые понятия с помощью специальных вопросов или определенных действий так, чтобы обучающийся в итоге смог сам правильно сформулировать необходимое определение или вывести правило. Это особенно ярко видно при объяснении такой сложной для усвоения темы как «Ряды». В сложившейся ситуации нам было просто необходимы такие методы изложения, которые бы раскрыли все основные понятия, а также выявили некоторый алгоритм исследования ряда на сходимость.

Казалось бы, впредь возникающие сложности при объяснении нахождения формулы общего члена, были устранены. Как показали практические занятия, это произошло благодаря специальному расположению информации на экране, а также правильно дозированному ее появлению (рис. 3). Применяя традиционные способы изложения пришлось бы не только уделить намного больше времени для объяснения, но и прорешать гораздо больше задач подобного типа.

Рис. 4

Этот момент еще раз доказывает, что нашим студентам очень сложно абстрагироваться. Они считают, то, что им понятно на каком-то их интуитивном уровне, выполняется везде и всегда. А посмотреть со стороны на рассматриваемый объект не всегда для них предоставляется возможным. Можно отметить, что комплекс фильмов, посвященных раскрытию первоначальных моментов данной темы, помогает еще и развитию логических связей между какими либо элементами. Так, например, очень наглядно показывается, почему мы на практике не можем употреблять необходимые признаки (рис. 4). А если же их употребляем, то четко формулируем цели, задачи и область применения.

Такой подход дает студенту возможность восстановить утраченные знания и навыки с одновременным постижением содержания нового материала. При этом «даже разовое переживание успеха может настолько изменить психологическое самочувствие студента, что резко меняет ритм и стиль его деятельности» [1, с. 216].

Список используемой литературы

1. Кудрявцев, Л. Д. Мысли о современной математике и её изучении. - М.: Наука, 1977. - 358 с.

2. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике: Учебное пособие. - М.: Наука, 1969. - 640 с.

Аннотация

Содержание статьи автор связывает с процессом информатизации, активно проводимым в ходе реформ в российском образовании, сосредотачивая внимание на принципиально важном вопросе: представление учебного математического материала таким образом, чтобы успешно проходила адаптации первокурсников.

Ключевые слова: адаптация, студент, высшая математика, числовые ряды, методические приемы.

Темнікова Ірина. Використання можливостей спеціального представлення навчального матеріалу в навчанні вищій математиці (на прикладі теми «Інтегрування по частинах», «Числові ряди»).

Зміст статті автор пов 'язує з процесом інформатизації, який активно проводиться в ході реформ в російській освіті, зосереджуючи увагу на принципово важливому питанні: подання навчального математичного матеріалу таким чином, щоб успішно проходила адаптації першокурсників.

Ключові слова: адаптація, студент, вища математика, числові ряди, методичні прийоми.

The author links the contents of the article to the informatization process which is actively carried out in the course of reforms in the Russian system of education, paying an rapt attention to a question of a great importance: presentation of educational mathematical materials for a successful adaptation of the first-year students. The implementation of the proposed approach put a special presentation of educational material based on psycho-pedagogical techniques for the use and development of visual thinking in the learning process. This approach to knowledge transfer will entail a change of view on the very principles of presentation of educational information in the form of educational material performs so that it became possible active visual analysis of its structure.

In addition, we are interested in the adaptation aspect of the process of teaching higher mathematics. We see the solution to the issues presented in the following provisions: ensuring a sufficient level of knowledge in educational institutions; developing the skills of self-education; increase motivation for education (both in school and at University).

Keywords: adaptation, student, higher mathematics, numerical series, methodological techniques.

Размещено на Allbest.ru