Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выпускная квалификационная работа

Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Введение

дробь обучение математика школа

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

История развития математики тесно связана с измерением величин. Однако, как показала практика, для этих целей натуральных чисел недостаточно; довольно часто единица величины не укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело к возникновению дробных чисел - что явилось основой введения понятия рационального числа.

В V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. В связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Понятие рационального числа в начальных классах в явном виде не вводится. На этом этапе изучения математики идет пропедевтическая работа, направленная на формирование данного понятия. Младшие школьники знакомятся с понятием доли числа и с дробными числами. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие доли и дроби и обучать младших школьников выполнять с ними простейшие действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Все вышеизложенное позволило нам определить тему выпускной квалификационной работы: «Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы».

Объект исследования - процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования - пропедевтика формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Цель исследования - разработать и апробировать на практике дидактические материалы, способствующие формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы.

Гипотеза исследования: пропедевтическая работа, направленная на формирование понятия дроби как рационального числа будет успешной, если учитель:

- изучил теоретические основы введения понятия рационального числа в курсе математики;

- определил методику ознакомления младших школьников с понятиями доли и дроби;

- подобрал дидактические средства, способствующие формированию понятия доли и дроби в процессе обучения математики в четвертом классе.

В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

- выявить теоретические положения, лежащие в основе пропедевтике формирования понятия рационального числа на начальном этапе изучения математики;

- выявить методические приемы, способствующие формированию понятия доли и дроби на уроках математики;

- разработать и апробировать на практике методическое обеспечение уроков математики, направленных на пропедевтику формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Для решения поставленных задач использованы методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и научно - методической литературы по проблеме исследования, опрос, опытно - практическая работа.

Экспериментальная база исследования: МОУ Борисоглебская СОШ №11, 4 класса, учитель Энгель О.А.УМК «Школа России».

Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.

1. Теоретические основы формирования понятия доли и дроби

1.1 Исторический аспект происхождения дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной [21].

Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей - унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 - «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции - третью, шесть унций - половиной. Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8…, затем 1/3, 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте высокого развития достигла архитектура. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Уже 4000 лет назад египтяне имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Как и греки, египтяне записывали дроби в виде суммы единичных дробей. Так, например, если в результате измерения получалось дробное число , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей .

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, было обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Изучая их, ученые установили, что за 2000 лет до н.э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития. Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина Ў, обозначавшего единицу, и условного знака <, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления.

Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак ии, заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

1 талант = 60 мин;

1 мина = 60 шекель.

Поэтому они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60 с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

В Древней Греции арифметику - учение об общих свойствах чисел - отделяли от логистики - искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида . Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н.э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали [21].

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним - числитель дроби. Например, означало три пятых и т.д.

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси: 1/2 - половина, полтина; 1/3 - треть

1/4 - четь 1/6 - полтреть

1/8 - полчеть 1/12 - полполтреть

1/16 - полполчеть 1/24 - полполполтреть (малая треть)

1/32 - полполполчеть (малая четь) 1/5 - пятина

1/7 - седьмина 1/10 - десятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями [54].

В XV-XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало - зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти - основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином [54].

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид - проценты - применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille - «с тысячи»), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента -%. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.

В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполнения производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве, при разных денежных расчетах.

Таким образом, исторически первым расширением понятия о числе является присоединение к множеству натуральных чисел множества всех дробных чисел.

1.2 Понятие рационального числа и действий над рациональными числами в курсе математики

Формирование понятия доли и дроби тесно связано с измерением величин. Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз.



Рис. 1

Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде 14/4 Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ 14/4 называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа т и п - натуральные, т называется числителем, п - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

На рисунке 1, было показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью . Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида, где k - натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = пр.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Две дроби - называются равными, если mq = np

Если дроби равны, то пишут .

Например,, так как 17·21 = 119·3 = 357, а потому что 17·27 = 459, 19·23 = 437 и 459 ? 437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно так как равенство тп = пт справедливо для любых натуральных чисел т и п.

Равенство дробей симметрично: если , то , так как из тq = пр следует, что рп = qm (m, n, p, q Є N).

Оно транзитивно: если

В самом деле, так как , то тq = пр, так как , то ps = qr.

Умножив обе части равенства mq = пр на s, а равенства ps = qr на n, получим mqs = nps и nps = qrп. Откуда mqs = qrп или ms = nr. Последнее равенство означает, что Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только

на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D (5, 17)= 1.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей - является общее кратное чисел п и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К (п, q) [48].

1.3 Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби.

Например, множество дробей - это один класс, множество дробей - это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение. Положительным рациональным числом называется общее свойство класса эквивалентности равных между собой дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа [???].

Например, о дроби - мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: - это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью а положительное рациональное число b - другой дробью, то а = b тогда и только тогда, когда mq = пр [48].

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью. Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель т и знаменатель п разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка x выражается дробью , а длина отрезка у - дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z т + р раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью.

Поэтому полагают, что .

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью [48].

Таким образом, по определению .

Можно доказать, что при замене дробей представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно.

Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями . Тогда сумма а + b представляется дробью

а сумма b + а - дробью Так как т, р, п - натуральные числа, то т + р = р + т и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно,

что длина отрезка x выражается дробью при единице длины e, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы e1, и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка x, если измерить ее при помощи единицы длины e1?

Так как следует, что q·e = р·e1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе - на m. Тогда (nq) x = (mq) e и (mq) e = (тр) e1, откуда (nq) x = (mp) e1.

Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины e выражается дробью , а значит,, т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное число а представлено дробью а положительное рациональное число b - дробью , то их произведением называется число ab, которое представляется дробью [48].

Таким образом, по определению,

Можно доказать, что при замене дробей , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с [48].

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а > b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и тран-зитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т < р.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq < пр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.

Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,

представленных дробями .

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е., это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда a = bс.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями :

.

Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.

1.4 Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Покажем, что множество рациональных чисел является расширением множества натуральных чисел.

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N с Q+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно т·п раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m.

Следовательно, N с Q+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: и т.д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 2.



Рис. 2

Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как

Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа т и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

Обратно, если дана дробь то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и n:

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число т не кратно n, то разделим т на n с остатком: т = nq + r, где r < n.

Подставим nq + r вместо т в запись и применим правило (1) cложения положительных рациональных чисел:

Так как r < п то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например,

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо пишут и называют такую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

В практической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.

Определение. Десятичной называется дробь вида , где т и п - натуральные числа [48].

Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь записывают в виде 3,67, а дробь - в виде 0,007. Выясним, как образуется такая запись.

Пусть дана дробь , где т, п N. Представим ее числитель в следующем виде:

Тогда, по правилам действий над степенями при п < k, получим:

Сумма является записью целого неотрицательного числа (обозначим его буквой А), а сумма представляет дробную часть числа, ее принято записывать без знаменателя в виде Таким образом, дробь можно представить в следующем виде: , т.е. при записи дроби последние п цифр десятичной записи числа т отделяют запятой. Если числитель содержит менее чем п десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилась n + 1 цифра, после чего отделяют запятой п знаков, начиная с конца. Например,

Как известно, сравнение десятичных дробей и арифметические действия над ними легко выполнять, если дроби имеют один и тот же знаменатель.

В основе приведения десятичных дробей к общему знаменателю лежит следующее утверждение: если к десятичной дроби приписать справа любое число нулей, то получится десятичная дробь, равная данной.

Это свойство позволяет приводить десятичные дроби к общему знаменателю следующим образом: если у одной дроби после запятой стоит n цифр, а у другой р цифр, причем n < р, то для приведения их к общему знаменателю достаточно к первой дроби приписать справа р - n нулей. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять поровну цифр, а это значит, что они имеют один и тот же знаменатель.

Пользуясь этим правилом, легко выполнять сравнение десятичных дробей, так как оно сводится к сравнению натуральных чисел: чтобы сравнить две десятичные дроби, надо уравнять в них число десятичных знаков после запятой, отбросить запятые и сравнить получившиеся натуральные числа.

Например, 4,62517 > 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а 4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.

Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.

Например,

Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствующим действиям над натуральными числами.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. Запись р% обозначает .

Например, 25% - это дробь, или 0,25.

Проценты были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли прирост капитала из расчета 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (рго сеntum - на сто).

Простота сравнения и выполнения действий над десятичными дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида можно записать в виде конечной десятичной дроби, т.е. дроби, у которой после запятой стоит конечное число цифр? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя п на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Так, например, дробь можно записать в виде десятичной: она несократима и 80 = 24·5. Дробь - несократима, но 15 = 3·5. Поскольку в разложение знаменателя этой дроби входит множитель, отличный от 2 и 5, то дробь нельзя записать в виде десятичной.

Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Но, деля 1 на 3, получаем, что 0,3 < < 0,4.

Далее находим, что 0,33 < < 0,34; 0,333 < < 0,334 и т.д.

Вообще для любого n имеем:

Вместо того чтобы писать бесконечное множество неравенств, говорят, что дроби соответствует бесконечная десятичная дробь 0,33…3…. Это означает, что если отбросить в бесконечной дроби все цифры, начиная с некоторой, то будем иметь число, меньшее , а если в полученном числе увеличить последнюю цифру на 1, то будет число, большее .

Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, приписав к ней справа последовательность нулей. Например, дробь 0,25 можно записать так: 0,25000…0…. Здесь для всех цифр, начиная с некоторой, получится число, не превосходящее 0,25 (например, если оставить лишь одну цифру после запятой, то получится 0,2, меньшее 0,25, а если оставить три цифры после запятой, то будет число 0,250, равное 0,25). Если же после отбрасывания увеличить последнюю цифру на 1, то имеем число, большее 0,25 (например, 0,3 или 0,251).

Бесконечные десятичные дроби, которые получаются при записи положительного рационального числа, обладают особенностью - они являются периодическими. Это значит, что, начиная с некоторой цифры, они образуются бесконечным повторением одной и той же группы

цифр. Например, число - выражается бесконечной десятичной дробью 0,272727…27…, а число - бесконечной десятичной дробью 0,1454545…45…. Для краткости первую из дробей пишут в виде 0, (27), а вторую - в виде 0,1 (45). В скобки заключают повторяющуюся группу цифр, которую называют периодом этой дроби. Отметим, что вместо 0, (27) можно было написать и 0,2 (72), но эта запись более длинная. Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема. Любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Пусть рациональное число представлено несократимой дробью Чтобы преобразовать ее в десятичную, надо выполнить деление натурального числа т на натуральное число п. При этом будут остатки, меньшие n, т.е. числа вида 0, 1,2,… n-1. Если хотя бы один из остатков окажется равным нулю, то после деления получится конечная десятичная дробь (или, что то же самое, бесконечная десятичная дробь, заканчивающаяся последовательностью нулей). Если же все остатки отличны от нуля, то деление будет представлять собой бесконечный процесс, но количество различных остатков конечно, и поэтому, начиная с некоторого шага, какой-то остаток повторится, что приведет к повторению цифр в частном.

Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.

Пусть x - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок.

Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е - буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е, и отрезка х, который короче отрезка е (рис. 3.), т.е. пЕ< X< (п + 1) Е. Числа п и п + 1 есть приближенные

Рис. 3

значения длины отрезка x при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1. Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е1 - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке x. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е1 уложился в отрезке х1 точно п раз. Тогда длина п отрезка х выражается конечной десятичной дробью: .

Например,

2) Отрезок х1 оказывается состоящим из п отрезков, равных е1 и отрезка х2, который короче отрезка е1. Тогда

где - приближенные значения длины отрезка х с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е2 - сотую часть отрезка е.

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1) На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезка x выразится конечной десятичной дробью вида