Задачи на разрезание
Поиск путей решения задач на разрезание в геометрии. Исследование вопроса о системе задач на разрезания и методах решения этих задач. Развитие у учащихся комбинаторных навыков, умения формировать геометрические представления о разнообразном материале.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.02.2020 |
| Размер файла | 96,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Сургутский государственный педагогический университет
Задачи на разрезание
Иманова Кристина Николаевна,
Мугаллимова Светлана Ринатовна
Искать решение задач на разрезание ученые начали еще с древнейших времен. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Первые попытки к решению были разработаны древними греками, китайцами. Так, в древнем Китае зародилась головоломка «Танграм», а в Греции - «Пентамино», где используется метод комбинаторной геометрии. Но систематизировать подход к решению задач на разрезание смог арабский математик, астроном Абул Вефа, который жил в X веке. Он разработал приемы решения геометрических задач, связанных с разложением фигур. В конце XX века ученые вновь занялись изучением, а также поиском новых путей решения задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них новой фигуры. Известные специалисты в этой области - Генри Эрнест Дьюдени и Гарри Ландгрен. Например, в своей книге «Занимательные задачи на разрезание» Ландгрен приводит пример, как составить новую фигуру, при этом разрезав начальную на наименьшее число частей, а также дает возможность разработать свой подход к решению задач и найти новые способы их решения [3].
В 1832 году на основе полученных знаний о разрезании фигур, была разработана теорема Бояи-Гервина, в основу которой вошло положение о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Эта теорема позволила сократить и упростить ход решений и доказательств в различного рода задачах.
Возможности для решения практических проблем и математическое «изящество» задач на разрезание вызывает постоянный интерес к этой теме. Однако остается не до конца исследованным вопрос о системе задач на разрезания и методах решения этих задач.
Познакомившись с историей, перейдем к основной теории задач на разрезание.
Определение 1. Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Свойство 1. У выпуклого многоугольника все углы меньше 180
Свойство 2. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.
Свойство 3. Сумма углов выпуклого n-угольника равна
Определение 2. Определить площадь многоугольника - значит поставить в соответствие каждому плоскому многоугольнику величину («площадь»), обладающую следующими свойствами:
1. Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь.
2. Многоугольник, составленный из нескольких многоугольников, имеет площадь, равную сумме их площадей.
3. За единицу площади принимается площадь квадрата со стороной, равной единице длины.
Аксиомы площади:
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Площадь некоторого квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице.
3) Если фигура F разбита на две части B и C то
Определение 3. Фигуры, имеющие одну и ту же площадь, называются равновеликими.
Определение 4. Будем говорить, что многоугольник F представляет соединение многоугольников Q1, Q2, …, Qk. Два многоугольника F1 и F2 называются равносоставленными, если каждый из них можно разложить на одно и то же конечное число многоугольников так, что каждому многоугольнику одного разложения соответствует равный ему многоугольник другого разложения, и обратно.
В изучении равносоставленных фигур ключевую роль играет теорема Бояи-Гервина о равносоставленности многоугольников.
Равносоставленность позволяет находить множество решений задач и доказательств теорем. Благодаря свойствам равносоставленных фигур стало возможным применение задач на разрезание. А они, в свою очередь, позволяют сократить и упростить ход решений и доказательств, особенно, если речь идет о площадях [1].
Г. Лингрен в своей книге: «Занимательные задачи на разрезание» предлагает выделить некоторые виды разрезания, опишем далее три базовых разрезания.
I. Разрезание типа S- преобразование одного параллелограмма в другой.
Сначала мы проводим разрез AB, равный по длине стороне второго параллелограмма. Затем, прикладываем часть С к противоположной стороне DE (рис.5).
Рис.5
В некоторых случаях полученные углы могут не совпадать с углами требуемого параллелограмма. Поэтому, мы проводим второй разрез DF (равный другой стороне искомого параллелограмма) и прикладываем часть G к противоположной верхней стороне (рис.6).
задача разрезание геометрия
Рис.6
II. Разрезание типа P -сдвиг.
Сначала мы проводим разрез NO и сдвигаем часть Р вверх вправо вдоль линии разреза, до тех пор, пока точка О не попадет на продолжение правой стороны параллелограмма. Затем мы проводим разрез, вдоль пунктирной линии и вставляем полученный треугольник в выемку, расположенную ниже О. В итоге получили новый параллелограмм, стороны которого отличны от прежнего, но углы равны (рис.7).
Рис.7
III. Ступенчатое разрезание.
При использовании такого разрезания, прямоугольник размерностью 9Ч4 можно преобразовать в квадрат, при этом, число частей окажется равным не трем, а двум (рис.8).
Рис.8
Если часть X передвинуть на одну ступеньку вверх, поместив ее над частью Y, то сразу получим квадрат [6].
Для решения задач на разрезание необходимо знать: основы планиметрии, теорию геометрии, геометрические фигуры (их признаки и свойства).
Ниже представлены виды задач на разрезание:
1. Танграм.
2. Пентамино.
3. Задачи на клетчатой бумаге.
4. Разбиение плоскости.
5. Задачи на площади фигур (равносоставленность).
6. Превращение фигур.
7. Задачи на разрезание в пространстве.
Данные задачи составляют основу для решения многих практических задач, а приемы их решения используются в доказательстве серьезных математических утверждений. Они имеют различный уровень трудности, тем самым помогая развивать комбинаторные навыки, формировать геометрические представления о разнообразном материале, проявлять свою смекалку, интуицию, способность творчески мыслить.
Список литературы
1. Вернер, А.Л. Геометрия. Ч.1 [Текст]: учеб. пособие для физико-мат. фак. пед. ин-тов / А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. - СПб.: Спец.лит., 1997. - 351 с.
2. Дьюдени, Г.Э. 250 головоломок. /Сост. и ред. амер. изд. М. Гарднер. Пер. с анг. Ю.Н. Сударева. - М.: Мир, 1975. - 426 с.
3. Екимова, М.А. Задачи на разрезание [Текст] / М.А Екимова, Г.П. Кукин. - М.: МЦНМО, 2014. - 120 с.
4. Кордемский, Б.А. Удивительный квадрат [Текст] / Б. А. Кордемский. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 158 с.
5. Жарковская, Н.М. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика [Текст] / Н.М. Жаровская, Е.А. Рисс // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
6. Лингрен, Г. Занимательные задачи на разрезание [Текст]. Пер. с анг. Ю.Н. Сударева. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. - М.: Мир, 1977. - 341 с.
7. Погорелов, А.В. Геометрия. 7 - 9 кл [Текст] / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2002. - 132 с.
8. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. - 2-е изд. - Часть II [Текст] / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991. -87 с.
9. Савин, А.П. Задачи на разрезание [Текст] / А.П Савин // Квант. - 1987. - № 7.
10. Савин, А.П. Задачи на разрезание [Текст] / А.П. Савин // Квант. - 1987. - № 8
11. Смирнова, И.М. Геометрия. 7 - 9 классы [Текст]: учеб. Для общеобразоват. Учреждений -2 -е изд., испр / И.М Смирнова, В.А. Смирнов. - М: Мнемозина, 2007. - 376 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Введение понятия задачи с параметрическими данными на материале линейных уравнений. Система упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами. Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрам. Задачи на использование теоремы Виета.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 18.04.2012История возникновения координат на плоскости. Этапы решения задач методом координат. Два вида задач, решаемых методом координат. Контрольная работа по теме "Метод координат" для учащихся 9 класса. Умения, необходимые для решения задач методом координат.
курсовая работа [706,7 K], добавлен 30.03.2015- Проектирование творческих задач для учащихся средней ступени на материале знаменитых задач древности
Общая характеристика знаменитых задач древности. Анализ средств решения задач о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга. Творческая задача как форма освоения подростками математической деятельности. Описание логики решения творческих задач.
дипломная работа [2,9 M], добавлен 26.08.2011 Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.
дипломная работа [387,1 K], добавлен 24.02.2010Понятие, задачи, виды и этапы решения задач. Сущность эвристического подхода в решении задач по физике. Понятие эвристики и эвристического обучения. Выявление различных эвристических методов в решении задач и подбор задач к этим методам.
курсовая работа [29,6 K], добавлен 08.02.2011О возможности применения векторных многоугольников для решения физических задач. Роль решения задач в процессе обучения физике. Традиционный способ решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. О векторных способах решения задач механики.
курсовая работа [107,3 K], добавлен 23.07.2010Формирование учебных умений младших школьников в процессе обучения решению текстовых задач. Формирование умения устанавливать взаимосвязь между условием и вопросом. Развитие математического мышления учащихся посредством решения эвристических задач.
курсовая работа [120,1 K], добавлен 02.05.2011Особенности логического мышления младших школьников. Постановка обучения математике в начальной школе по развивающей системе Л.В. Занкова. Подход к решению простых и сложных задач при обучении учащихся первого класса. Объяснение порядка записи решения.
реферат [79,1 K], добавлен 28.02.2012Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.
курсовая работа [231,8 K], добавлен 20.08.2010Сущность, распространенность на современном этапе Теории Решения Изобретательских Задач, ее назначение и оценка возможностей. Суть экспериментов и концептов ТРИЗ. Методика и порядок решения "открытых задач". Исследование на разрешимость и число решений.
курсовая работа [248,1 K], добавлен 04.02.2011