Размещено на http://www.allbest.ru/

1

23

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Оренбургский государственный университет»

актуализаця дисциплины ЦОС при подготовке магистров по направлению «электроника и наноэлектроника»

Булатов В.Н.,

д-р техн. наук,

профессор, Тимонов Е.С.

Введение

В области цифровой обработки сигналов (ЦОС) число применяемых методов настолько велико, что глубокое изучение их в рамках одной дисциплины просто невозможно. Вместе с тем, практика эксплуатации электронных систем, содержащих элементы ЦОС, выпускниками по направлению подготовки магистров «Электроника и наноэлектроника» в Оренбургском регионе показывает, что число актуальных методов ЦОС в этих системах ограничено. В связи с этим при изучении дисциплины ЦОС и близких с ней разделов других дисциплин (Фурье-преобразование, численные методы обработки и анализа и тому подобное) имеет смысл актуализировать содержание ЦОС в отличие от всеохватывающего подхода, например, в прекрасном учебнике [4], поневоле дублирующем теоретические положения других дисциплин бакалавриата по этому же направлению.

В оговоренных выше системах преобладают системы приема-передачи данных с видами модуляции FSK и реже PSK. Причем на приемной стороне эти сигналы представляют собой сильно зашумленную смесь. Для цифровой обработки на приемной стороне предлагается разработать методы измерения мгновенных значений угловой частоты _Н(t) сильно зашумленных FSK-сигналов. Существующие методы ориентированы на разбивку сигнала на равные интервалы (окна) и регистрацию на каждом интервале максимального значения линейчатого спектра, полученного быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Частоты зарегистрированных спектральных составляющих берутся в качестве усредненных мгновенных значений (выборок) частоты FSK-колебания. Этот метод обладает хорошей производительностью, но имеет ограничения по разрешающей способности распознавания и точности (погрешность на уровне 10-15%), связанные с погрешностями алгоритма БПФ (вычисление вместо интеграла Фурье суммы аппроксимирующих прямоугольников) и «размытостью» спектра при большой девиации.

В основу изучаемого метода можно положить метод, который частично изложен в [2]. Предлагаемый метод выделения информативной части спектра зашумленных частотно-модулированных сигналов преследует своей целью увеличение указанной разрешающей способности и точности. Он основан на целенаправленном преобразовании «время-спектр» информативного колебания, заключенного в зашумленном сигнале е(t). Предварительные исследования спектральной характеристики модулированного по частоте колебания с амплитудой U_m и длительностью >>2/_Н(t) позволили установить, что существует следующая зависимость между значением спектральной составляющей |S(_Ц)| с центральной частотой _Ц главного лепестка спектра (глобальный максимум) и величиной девиации _Д:

|S(_Ц)|² k₁/_Д U_m /2,(1)

где k₁ - коэффициент масштаба, учитывающий влияние величины . Из (1) следует, что, уменьшая величину _Д, можно в области _Ц увеличить спектральную плотность информативного колебания по отношению к спектральной плотности шума в рамках установленной интервальной (оконной) выборки сигнала е(t). Но поскольку функция _Д(t) является информативным параметром, то для достижения указанной цели (увеличение разрешающей способности) процесс необходимо переместить в нелинейное время, функция которого может быть представлена как [2]

,(2)

где ₀ - значение частоты в начале окна сигнала. При подобном нелинейном масштабировании времени линейно модулированное по частоте колебание превращается в немодулированный по частоте радиоимпульс с частотой заполнения ₀. При этом _Д=0, а модуль |S(_ДЦ)| принимает максимальное значение. Для того чтобы использовать экстремум функции S_max()= |S(_Ц,_Н)| для установления факта выполнения условия (2), необходимо точно установить неизвестную функцию (объект измерения) _Н(t). Для этого требуется, как минимум, знать наличие и диапазон изменения производных функции _Н(t), дающих существенный вклад в (2). Нахождение численными методами значений этих производных (с обратным знаком) позволяет полностью устранить девиацию колебания. Таким образом, в результате для каждого интервала можно определить не только начальное значение колебания в окне, но и функцию _Н(t) в целом - с учетом найденных в ней производных. Для реализации указанной методики требуется соответствующий математический аппарат спектрального преобразования, а изучение и применение на практике самой методики может лечь в основу одного из разделов дисциплины ЦОС.

Методика при его изучении может содержать два этапа:

1-й этап - аппроксимация сигнала с неравномерной варьируемой дискретизацией аналитической функцией (интерполяция по выборкам сигнала);

2-й этап - получение решения спектрального преобразования аппроксимированного сигнала в аналитическом виде с установленной погрешностью.

1 Аппроксимация сигнала по его выборкам

Пусть на отрезке [t₀,t_n] заданы n+1 точек t₀,t₁,t₂,…,t_n , которые называются узлами интерполяции, известны значения некоторого сигнала е(t) в этих точках:

e(t₀)=e₀, e(t₁)=e₁, e(t₂)=e₂ ,…., e(t_n)=e_n .

При этом в общем случае допускается, что

Требуется построить функцию f(t), принимающую в узлах аппроксимации те же значения, что и е(t), то есть такую, чтобы

f(t₀)=e₀, f(t₁)=e₁, f(t₂)=e₂ ,…., f(t_n)=e_n . (3)

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции f(t) искать полином P_n(t) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (3), то есть такой, чтобы:

P_n(t₀)=e₀, P_n(t₁)=e₁, P_n(t₂)=e₂ ,…., P_n(t_n)=e_n .

Для решения поставленной задачи хорошо отработаны различные методы аппроксимации на основе интерполяционных формул. Анализ алгоритма формирования интерполяционных формул показывает, что наилучшим образом для цифровой обработки подходит полином Ньютона, так как при необходимости его «достраивать» (при увеличении n) полином не надо строить заново.

Полином Ньютона строится на основе разделенных разностей [3], что при изменении значения n приводит к вычислению или исключению высшего порядка разделенных разностей.

Разделенная разность первого порядка для функции е(t):

(4)

Разделенная разность второго порядка функции для е(t):

(5)

Учитывая очевидную закономерность формирования разделенных разностей, можно записать разделенную разность высшего порядка, которая завершает пирамиду вычисляемых значений разделенных разностей:

(6)

Интерполяционный многочлен Ньютона с учетом (4)-(6) будет определяться алгебраическим многочленом n-й степени:

(7)

что представляет собой степенной полином вида

(8)

Из выражения (7) очевидно определение для (8) только двух коэффициентов:

(9)

Формула для вычисления остальных коэффициентов а_i для (8) при n>3 может быть получена в результате систематизации сумм произведений из выражения (7) для весовых множителей перед степенным аргументом tⁱ , которая выглядит следующим образом:

(10)

где коэффициенты K_ij принадлежат неполной двухмерной матрице значений, определяемые как:

Из анализа выражений (4)-(6) и (9),(10) следует, что процесс вычисления коэффициентов а_i для степенного полинома вида (8) хорошо алгоритмизируется и, с точки зрения цифровой обработки сигнала е(t) по его выборкам e_i, является эффективной основой для получения аналитического выражения аппроксимированного сигнала е(t) на интервале [t₀,t_n].

Определение погрешности аппроксимации (8) функции сигнала е(t), представленного выборками с неравномерной дискретизацией, целесообразно разработать (с учетом обозначенной во введении методики измерений частоты сигнала при его интервальной разбивке) для частотной области. Для этого необходимо иметь корректное решение спектрального преобразования для выражения вида (8), в качестве которого можно использовать решение для спектральной плотности оконного сигнала, приведенного в [1]. Методика применения этого спектрального преобразования для оконного сигнала приведена ниже.

2 Спектральная функция для оконного аппроксимированного сигнала

По условиям интегрируемости степенных рядов спектральную характеристику сигнала, представленного (8), можно записать как

, (11)

где каждое слагаемое в общем случае можно представить интегральным преобразованием в виде первообразной без учета пределов интегрирования:

……………………………………………………………………

Подставив в выражение (11) полученные выражения для S_i() и произведя систематизацию по a_i , можно получить следующее интегральное решение в виде первообразной для спектральной характеристики функции вида (8):

(12)

При вычислении спектральной плотности оконной функции е(t) с целью исключения накопления ошибок вычислений, связанных с возведением в степень больших значений t, кроме нормирования t, необходимо привязывать отрезок к началу координат, используя теорему о смещении. Применяя понятие окна временной функции для спектрального преобразования длительностью

(13)

на основе первообразной (12) получим выражение спектральной плотности для любого окна [0,] функции е(t), представленного n+1 выборками и отстоящего от начала координат на величину t₀ :

(14)

Полученное выражение (14) для его использования в учебном процессе (в части практических занятий) замечательно тем, что оно для функций вида (8):

- не содержит погрешности спектрального преобразования (в отличие от БПФ);

- хорошо алгоритмизируется, то есть является удобным для программирования вычисления значений S() для различных значений , и t₀.

3 Оценка спектра аппроксимированного гармонического колебания

Как любой методический аппарат, используемый в процессе цифровой обработки, должен оцениваться методической погрешностью. В данном случае объектом для спектрального анализа является сигнал, представленный сложным колебанием с гармонической несущей. Функции подобных сигналов раскладываются в степенные ряды, в связи с чем, изъятие только нужного полинома, состоящего из первых членов степенного ряда, в качестве аппроксимирующей функции неизбежно приведет к погрешности аппроксимации. Следовательно, чтобы пользоваться рассмотренной выше технологией спектрального анализа для гармонических колебаний, нужно разработать методику оценки указанной погрешности.

При исследовании характера погрешности аппроксимации может быть предложена норма в виде отношения числа узлов интерполяции (моментов отсчетов), приходящейся на период синусоидального колебания Т=, при этом считалось бы, что крайние узлы совпадают соответственно с началом и окончанием периода колебаний.

Ошибка аппроксимации на интервале определяется выражением

_n(t) = e_n(t)-P_n(t).

Реперные значения амплитуд функции ошибки в зависимости от числа узлов интерполяции на периоде колебаний представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Значения ошибки аппроксимации полиномом Ньютона

По множеству значений _n(t) было получено с погрешностью не более 10% выражение функция ошибки на интервале :

(15)

Первый множитель в выражении (15) является весовым и зависит от числа узлов интерполяции (отсчетов), который можно обозначить как

(16)

С учетом (16), а также учитывая быстрое затухание экспонент в выражении (15) в пределах интервала аппроксимации , можно получить выражение для спектральной плотности функции ошибки:

.(17)

Выражение (17) было проверено на функции sin(0,2t) при различных значениях n на основе сравнения с выражением

(18)

с использованием численных методов интегрирования комплексных функций. При этом было установлено, что при равномерной дискретизации в области несущей спектры (17) и (18) полностью совпадают. На рисунке 1 представлен амплитудный спектр |S_er1()| при равномерной дискретизации.

При случайном распределении интервалов дискретизации с равномерным законом распределения амплитудный спектр ошибки достигает минимума. На рисунке 1 он представлен как |S_er2()|. Это объясняется тем, что спектр функции ошибки при неравномерной дискретизации приближается к спектру «белого» шума, то есть становится более равномерным, а не сосредотачивается в области частот, кратных частоте несущей.

Проведенное исследование по сравнению этих двух видов амплитудных спектров функции ошибки при интерполяции полиномом Ньютона гармонической функции на интервале, равном ее периоду повторения, при различных значениях выборок n показало, что существует устойчивое соотношение между их максимальными значениями в пределах 20-и процентной погрешности:

(19)

Рисунок 1 - Спектры интерполяционных ошибок

С учетом (19) на основе (17) можно составить выражение асимптотического амплитудного спектра функции ошибки интерполяции гармонического колебания, значений которого амплитудный спектр реальной ошибки аппроксимации не превысит ни при каких условиях:

.(20)

Полученное выражение, по сути, представляет собой предельную функцию амплитудного спектра шума интерполяции и может быть использовано для количественной оценки вклада этого вида шума в информационную составляющую спектра измерительного сигнала при его цифровой обработке.

Из выражения (20) можно получить огибающую спектра функции ошибки интерполяции, которая будет незаменимой при эскизной оценке наличия шумов интерполяции во всем диапазоне частот:

.(21)

График огибающей (21) спектра функции ошибки интерполяции гармонической функции представлен на рисунке 1.

Заключение

Полученный в данной работе математический аппарат для спектрального анализа аппроксимированного на конечном интервале времени сигнала с неравномерной дискретизацией может стать эффективной основой для одного из разделов дисциплины, связанной с цифровой обработкой сигналов. Он может быть использован как основной инструмент для разработки спектрального метода обнаружения и измерения мгновенного значения модулированного по частоте колебания в условиях сильных шумов. Ради справедливости необходимо признать, что недостатком разработанного аппарата является существенные временные затраты при его реализации вычислительными средствами по сравнению с использованием БПФ.

При внедрении в учебный процесс описанного метода может быть использована любая среда программирования, поддерживающая математические языки для операций с комплексными числами. Поэтому данный аппарат целесообразно использовать при проведении лабораторных работ по ЦОС, строго не регламентированных по времени для обработки зарегистрированных FSK-сигналов, но требующих высокой точности измерения.

цифровая обработка дискретизация сигнал

Список литературы

1.Булатов, В.Н. Спектральное преобразование сигналов с неравномерной дискретизацией / В.Н. Булатов, О.В. Худорожков // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - Тамбов: ТГТУ, 2017. - Т. 23. - № 1. - С. 33-47.

2.Булатов, В.Н. Спектрально-временной метод измерения мгновенных значений угловой частоты сильно зашумленного доплеровского колебания / В.Н. Булатов, Е.С. Тимонов // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: труды XI Международной конференции / Под ред.: акад. Е.А. Федосова и др. - Самара: Самарский научный центр РАН, 2009. - С. 347 - 353.

3.Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

4.Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. - СПб.: Питер, 2002. - 608 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru