Изучение производной в школьном курсе математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность темы “Факультативный курс «приложение производной функции»” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема «приложение производной функции» является одним из основных разделов начал математического анализа. В связи с недостаточной разработкой данной темы в методическом плане эта тема интересует многих методистов в настоящее время. Кроме того, материал по выбранной теме интересен с точки зрения истории. Данной темой и ее разработкой занимались такие великие ученые, как Лейбниц и Ньютон - основоположники дифференциального исчисления. В связи с перечисленными выше фактами эта тема интересна и мне.

Цель работы: изучить научно-методическую литературу и адаптировать наиболее интересный материал к процессу обучения, разработать факультативный курс по данной теме.

Объектом исследования явилась производная в школьном курсе математики.

Предметом исследования является методика обучения обучающихся по выбранной теме исследования.

Объект исследования и цель исследования обусловили выбор следующих частных задач исследования:

- провести реферативно-исследовательский анализ теоретических основ изучения производной в школьном курсе математики;

- разработать факультативный курс по теме исследования дипломной работы;

- составить систему упражнений, обеспечивающих прочное усвоение обучающимися основным приемам решения задач.

Структура дипломной работы следующая: она состоит из двух глав, каждая из которых разделена на главы.

Весьма существенное место на занятиях по математике должно занимать решение задач, для наиболее полного усвоения учебного материала. Предполагается, что изучение любой темы сопровождается решением значительного их числа. Большое количество однотипных упражнений по всем узловым темам позволяет выработать у обучающихся необходимые практические навыки. Поэтому в данной работе разработана система задач, для наиболее полного усвоения учебного материала.

1. Внеурочная деятельность по математике в школе

производная математика изучение упражнение

Проблема использования свободного времени школьников всегда была насущной для общества. Воспитание и развитие детей происходит в любой момент их деятельности. Но в условиях внедрения ФГОС внеурочная деятельность по предмету приобретает новую актуальность, ведь именно стандарты закрепили обязательность ее организации. Под внеурочной деятельностью в рамках реализации ФГОС следует понимать образовательную деятельность, осуществляемую в формах, отличных от классно-урочной, и направленную на достижение планируемых результатов освоения основной образовательной программы. На современном этапе в средней школе наблюдается снижение интереса обучающихся к учебным предметам физико-математического цикла, что влечет за собой ухудшение успеваемости и снижает общий уровень развития детей. А так как основными целями внеурочной работы по математике являются: формирование у учащихся качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе, развитие интереса к математике, развитие творческих способностей, расширение математического кругозора школьников, и другие. То именно внеурочная работа по математике может служить одним из факторов повышения уровня математического образования и образования вообще, Проанализировав требования стандартов к внеурочной деятельности, можно сделать ряд выводов относительно внеурочной работы по математике: ? внеурочная деятельность должна дополнять основную образовательную программу школы наравне с программами по учебным предметам и ? во внеурочной деятельности можно использовать разработанные ранее методики внеклассной работы по математике, если вводить в программу планируемые результаты ее освоения; ? планируемые результаты освоения программы должны включать в себя одно или несколько направлений: формирование универсальных учебных действий (личностных, регулятивных, коммуникативных, познавательных), учебную (общая и предметная) и общепользовательскую ИКТ -- компетентность обучающихся, опыт проектной деятельности, основы читательской компетенции, навыки работы с информацией; ? достичь планируемых результатов помогут педагогические технологии, использующие методы активного обучения. Существуют различные виды классификации внеклассной работы по математике. Выделим три вида: работа с обучающимися, отстающими от других в изучении программного материала, т. е. дополнительные занятия по математике; работа с обучающимися проявляющими интерес к математике или одаренными детьми; работа с обучающимися по развитию интереса в изучении математики. Внеклассная работа должна подчиняться следующим принципам: принцип развивающего обучения, принцип научности, принцип наглядности, принцип личной заинтересованности учащегося, принцип добровольного участия, принцип сотрудничества. В средней школе часто используют следующие формы внеклассной работы: математический кружок, факультатив; олимпиады, конкурсы, викторины; математические дискуссии; неделя математики; школьная и классная математическая печать; изготовление математических моделей; математические экскурсии. Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой-либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д. Основным видом внеурочной работы по математике в школе являются факультативные занятия по математике и кружки. Это одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать обучающихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятии, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих обучающихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисунков к данному занятию и т. д.). На занятиях математического кружка учитель должен создать «атмосферу» свободного обмена мнениями и активной дискуссии. Главной же целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества. Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по математике. Оценить итоги кружковой и факультативной работы в школе можно по результатам всевозможных олимпиад и конкурсов. Главная ценность олимпиад состоит не только в выявлении победителей и награждении особо одаренных учащихся, но и в общем подъеме их математической культуры, интеллектуального уровня и заинтересованности в предмете. Поэтому целесообразно организовывать большое количество соревнований по математике, участвовать в дистанционных конкурсах, чтобы ребенок смог увидеть разнообразие математических игр и почувствовать свой, пусть маленький, но успех. Здоровое соперничество в соревнованиях, нежелание уступить друг другу способствуют тому, что они читают больше дополнительной литературы, активнее участвуют во внеклассной работе. Одной из форм внеурочной деятельности является школьная математическая печать, которая дает педагогу возможность прививать интерес обучающихся к математике, развивать творческие способности обучающихся. Можно выделить несколько основных видов математической печати, которые используют в средней школе: математические газета и стенгазета, математический стенд, журнал математического кружка. Кроме того, используются также и другие формы математической печати, такие как: «Уголок математики» в классном уголке, математическая фотогазета, монтажи фотографий и рисунков, математические альбомы. Содержание газеты должно быть разнообразным. Например: математическая жизнь в нашей школе (наш кружок, недостатки в его работе, что было на заседании кружка, о математическом вечере предшествующем или предстоящем, связь с другими кружками и др.); математическая жизнь в нашей стране (математические олимпиады и турниры, достижения школьников, выдающиеся математики и их открытия и др.); краткое изложение некоторых математических вопросов (можно в нескольких номерах газеты помещать целую серию заметок, связанных общностью темы); биографии выдающихся математиков; заметки по истории математики небиографического характера; геометрические иллюзии, занимательные задачи, софизмы, парадоксы, арифметические ребусы, математические стихотворения; математический юмор и многое другое. Но наиболее эффективное средство формирования ключевых компетенций школьника и одна из распространенных на сегодняшний момент форм внеурочной деятельности -- проектная деятельность. В федеральных государственных стандартах проектной деятельности уделяется особое внимание. Проект -- это самостоятельная творческая завершенная работа ребенка, выполненная под руководством взрослого. Она обычно состоит из двух частей: теоретической и практической. В качестве последней выступают конкретное изделие, макет, модель, видеофильм, компьютерная разработка и т. п. Алгоритм работы над творческим проектом включает в себя следующие этапы: определение темы, мотивация, целеполагание, получение базовых данных, формирование группы, планирование, теоретическая подготовка, исследование, анализ результатов и оформление проекта, защита проекта, конференция, выставка и соревнования. Еще одной из форм внеурочной работы по предмету является неделя математики, которая проводится с целью активизации внеурочной деятельности. Разнообразные формы проведения этих мероприятий возбуждают и поддерживают у учеников интерес к предмету и желание заниматься ею дополнительно, как под руководством учителя во внеурочное время, так и при целенаправленной самостоятельной познавательной деятельности по приобретению новых знаний. Обычно в школах проходит «Неделя математического цикла». В некоторых школах это целый месяц, в течение которого проводятся: КВНы, Брейн-ринги, игры «Что? Где? Когда?», викторины и т. д., ежегодный конкурс презентаций по математике, выставки стенгазет, выставка геометрических моделей, выполненных своими руками и многое другое. Это дает учащимся возможность проявить свой талант, смекалку, мышление, оценить себя и других.

В МОУ СОШ № 102 п.Амазар ведется следующая внеурочная деятельность: кружок «Занимательная математика» (5-7 классы), на данный кружок выделен 1 час в неделю, в старших классах ведутся факультативы, основной задачей факультативного курса учителя нашей школы ставят подготовку к сдаче ЕГЭ, на факультатив по математике в нашей школе выделен один час в неделю, то есть 34 часа в год.

Факультативные занятия - форма учебной работы, состоящая в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой; зарождение интереса к математике на первичном уровне.

Целью организации факультативных занятий является расширение кругозора обучающихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углублённого изучения математики.

Основная задача факультативных занятий: учитывая интересы и склонности обучающихся, расширить и углубить знания по предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике. Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объём сложности изучаемого материала. Программы факультативных занятий должны существенно связывать теоретический материал общего характера с приложениями математики, вовлекая в процесс обучения знания, умения, характерные для этапов формирования и интерпретации. Примечательной особенностью факультативного курса является то, что программа курса для каждого класса составлена из ряда основных тем, содержание которых непосредственно примыкает к общему курсу математики. Однако содержание учебной работы обучающихся на факультативных занятиях определяется не только математическим содержанием изучаемых тем и разделов, но и различными методическими факторами:

характером объяснения учителя;

соотношением теории и учебных упражнений;

содержанием познавательных вопросов и задач;

сочетанием самостоятельной работы и коллективного обсуждения полученных каждым обучающимся результатов.

При выборе методов и приёмов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности обучающихся, их интерес к тем или иным разделам программы. Одним из важнейших требований к методам является активизация мышления обучающихся, развитие самостоятельности в различных формах её проявления. На факультативных занятиях могут использоваться разнообразные формы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады учеников, составление рефератов, экскурсии. Применение лекционно-семинарской системы при изучении ряда тем курса позволяет излагать учебный материал крупными блоками и на этой основе высвободить время для занятий является самостоятельная работа учащихся по закреплению и углублению теоретического материала, изложенного на лекции. На практических занятиях проводится целенаправленная работа по выработке у обучающихся умений и навыков решения основных типов задач. Семинарские занятия посвящены повторению, углублению и обобщению пройденного материала. По своим дидактическим целям они служат также приобретению новых знаний, обучению самостоятельному применению знаний в нестандартных ситуациях. Полезная форма работы - подготовка рефератов. Выполнение таких заданий важно прежде всего в отношении развития навыков самообразования, удовлетворение индивидуальных интересов обучающихся. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы.

Очень большое значение для успешности усвоения материала имеет подбор задач.

Хотелось ещё отметить, что факультативные занятия должны быть интересными, увлекательными. Хорошо известно, что занимательность изложения помогает раскрытию содержания сложных научных понятий и проблем. Занимательность поможет школьникам освоить факультативный курс, содержащиеся в нём идеи и методы математической науки, логику и приёмы творческой деятельности. В этом отношении цель учителя - добиться понимания учениками того, что они подготовлены к работе над сложными проблемами, но для этого необходима заинтересованность предметом, трудолюбие, владение навыками организации своей работы.

1.1 Методические рекомендации по организации математических факультативов

Для разработки рекомендаций по организации математических факультативов сформулируем некоторые общие требования взаимосвязанного построения факультативных занятий и уроков по математике:

Преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитания учащихся.

Взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математике не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.

Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения урока, внеклассных и факультативных занятий по математике должна стать в конечном счёте результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

Поскольку результативность учебно-воспитательного процесса зависит главным образом от “массовости” занятий, то преемственность и взаимосвязь уроков и факультативных занятий должна рассматриваться в такой последовательности: уроки математики - внеклассные занятия - факультативные занятия. Самая массовая форма обучения - уроки - главное звено этой цепи. Факультативные занятия не могут охватить всех учащихся, а отдельные внеклассные мероприятия - могут (математические вечера, например). Поэтому внеклассные мероприятия по массовости занимают второе место.

Учителя и методисты большое значение придают вопросам организации самостоятельной работы учащихся в процессе факультативных занятий. Важным для формирования устойчивого интереса учащихся к изучению математики обеспечить взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приёмов это показ новых идей и методов в действии, в применении к задачам, которые “программными” методами решаются гораздо сложнее. Это можно рассматривать как рекомендацию для успешного функционирования факультатива. Ещё одна важная рекомендация: процесс обучения должен строиться как совместная исследовательская деятельность учащихся -- математическая истина (определённое правило, теорема, свойство) не сообщается ученикам “в готовом виде”, а открывается ими самими. Этот процесс начинается с наблюдений, высказывания догадок, суждений о возможном способе решения, о возможном содержании теоремы, правила), после чего следует проверка, поиски дедуктивного обоснования выводов, обобщение, анализ прикладных возможностей. Исследовательская или проблемная структура изучения математики хорошо отвечает развивающим целям обучения при факультативной форме занятий. Без определённой подготовки надеяться включить учащихся в успешную многоэтапную творческую поисковую деятельность нереально. Этот успех надо готовить.

Итак, из всего выше сказанного, выделим методические рекомендации по организации математических факультативов:

Взаимосвязь в содержании, формах и методах организации учебной работы и факультативных занятий.

Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий.

Единство в содержании факультативных занятий различных разделов математики.

Активизация самостоятельной работы обучающихся.

Построение учебного процесса как совместная исследовательская деятельность обучающихся.

Использование наглядных пособий, различных видов занятий.

Использование системы ключевых задач по темам на факультативных занятиях.

Использование историко-математического материала.

Принципы занимательности занятий.

Построение занятий проблемного изучения материала.

Заключение.

На основе изучения педагогической, методико-математической, психолого-педагогической литературы по организации факультативных занятий разработаны рекомендации для успешного функционирования математического факультатива. Наиболее важные задачи, которые стояли при определении основных идей и положений рекомендаций математического факультатива заключается в следующем:

Важной задачей является раскрытие психолого-педагогических основ организации факультативных занятий как осуществление профильной дифференциации.

Основным направлением предложенных рекомендаций является максимальное повышение эффективности работы факультативных занятий.

Исходя из предыдущих задач, рекомендации предполагают раскрытия и достижения всех целей факультатива.

Обучать на основе прогрессивных методов, то есть во-первых, обучать на наивысшем уровне, познав возможности обучающихся. Во-вторых, математические факультативы как форма профильной дифференциации позволяют повысить уровень подготовки обучающихся.

Предложенные рекомендации учитывают дидактические принципы:

при включении рекомендаций в работу факультатива обеспечивается достижение целей и задач факультативных занятий.

возможность обучающихся удовлетворять потребность в развитии своих способностей, углублять свои знания.

подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗ.

Основная черта всех рекомендаций - направленность на повышение эффективности работы обучающихся на факультативных занятиях, более глубокое усвоение материала.

Для успешного функционирования математического факультатива предусматриваются следующие условия:

наличие обучающихся, желающих углубить и расширить свои знания по математике, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой;

профильную дифференциацию целесообразно осуществлять по средствам математических факультативов;

содержание факультативов должно удовлетворять требованиям обучающихся, создавать условия для дальнейшего развития способностей обучающихся, подготовить почву для осознанного выбора будущей профессии.

Организация математических факультативов как осуществление профильной дифференциации даёт возможность всестороннего развития обучающихся как личности, как специалистов будущего.

1.2 Понятие производной у разных авторов

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение ?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при ?x > 0, называется производной от функции f(x).

В учебниках Алимова и Башмакова вначале определение производной дается через механический смысл: производная - это мгновенная скорость. Это соответствие, пожалуй, наиболее доступно для понимания школьника.

Рассмотрев задачу на скорость, Алимов сразу же переходит к точному определению производной через пределы, кратко объяснив значение понятия «предел» в той же задаче применительно к мгновенной скорости.

Башмаков же последовательно и детально рассматривает механический и геометрический смысл, рассматривая производную на разных случаях, и только потом переходит к точному определению.

Подход Колмогорова отличается тем, что глава, посвященная производной, начинается с пункта, в котором дается определение приращения функции. Понятие приращения рассматривается на примерах. Третий пример показывает, как найти угловой коэффициент секущей через приращение. В следующем пункте автор объясняет, что такое касательная к графику функции и дает определение мгновенной скорости. Причем, определение предела не рассматривается, вместо этого Колмогоров пользуется понятием «стремится к».

Проанализировав систему ознакомления обучающегося с понятием производной в этих учебниках, можно выявить следующие особенности: короткое вступление главы о производных в учебнике Алимова дает возможность обучающимся, получив минимум информации о производной, как можно быстрее приступить к вычислению производных. Далее, понятие производной обогащается новыми приложениями и свойствами и все это немедленно подкрепляется задачами. Колмогоров и Башмаков стремятся вначале подвести достаточно большую базу примеров и соответствий, опираясь на более легкие по усвояемости понятия и затем приступить к вычислениям.

2. Разработка факультативного курса по теме “Производная в школьном курсе математики”

2.1 Пояснительная записка

Данный факультативный курс разработан по теме: “Производная в школьном курсе математики”. Он представляет собой систему занятий, предназначенных для работы с учащимися старших классов общеобразовательных учреждений, а также может быть использован для изучения студентами обучающихся на математических факультетах педагогических университетов и просто людей, увлекающихся математикой. Факультативный курс призван помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области математического анализа. Данный факультативный курс состоит из 10 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться находить производные функций, решать задачи на экстремум с помощью производной, находить уравнение касательной, исследовать функции. Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали бы предметом учебной деятельности учащихся, необходимо представить их в виде задач, которые бы направляли и систематизировали их активность.

Тематическое планирование

№ п.п.	Тема	Формы контроля	Количество часов
1	Понятие производной	визуальный	1
2	Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования.	визуальный	1
3	Производная сложной функции	самостоятельная работа	1
4	Касательная к графику функции	визуальный	1
5	Приближенные вычисления с помощью производной	визуальный	1
6	Признак возрастания и убывания функций	самостоятельная работа	1
7	Критические точки функции, минимумы и максимумы	самостоятельная работа	1
8	Применение производной к исследованию функций	самостоятельная работа	1
9	Наибольшее и наименьшее значения функции	самостоятельная работа	1
10	Текстовые задачи на экстремум, решаемые с помощью производной	визуальный	1
	Итого		10

2.2 Материал к занятиям

Урок 1.

Тема: Понятие производной.

Цели:

-образовательная: рассмотреть понятие производной функции;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: формирование математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть мы имеем функцию , определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента из этого промежутка функция имеет определенное значение.

Пусть аргумент получил некоторое приращение . Тогда функция получит некоторое приращение . Таким образом:

при значении аргумента будем иметь ;

при значении аргумента будем иметь .

Найдем приращение функции :

.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции и обозначают . Таким образом, по определению,

Задача 1. Дана функция найти ее производную .

Решение. При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном , имеем . Находим приращение функции:

.

Составляем отношение :

.

Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:

.

Итак, производная от функции в произвольной точке равна

.

Задача 2. Дана функция , найти ее производную .

Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем примере, получаем:

, ,

,

, .

Задача 3. Дана функция , найти ее производную .

Решение. Дадим аргументу приращение , тогда

, , ,

,

Учитывая, что есть непрерывная функция, окончательно получим:

.

Задача 4. Дана функция . Найти ее производную .

Решение. Дадим аргументу приращение , тогда

,

,

Но так как

, .

Урок 2.

Тема: Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования.

Цели:

образовательная: рассмотреть таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования;

развивающая: углубить знания по теме;

воспитательная: формирование математически грамотной речи.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Укажем, вначале, производные основных элементарных функций:

Производная функции , где - любое действительное число равна ;

Функция имеет производную , причем, если дана функция , то ее производная равна ;

Производная логарифмической функции равна , причем, производная функции равна ;

Производные тригонометрических функций и равны соответственно и ;

Производные тригонометрических функций и равны соответственно и .

Доказательство первой формулы выходит за рамки школьного курса математики. Следующие две формулы доказываются по правилу дифференцирования сложной функции. Производные синуса и косинуса были найдены нами ранее. Последние две формулы докажем ниже, после того как рассмотрим правила дифференцирования.

Основные правила дифференцирования:

производная постоянной равна нулю, т.е. где ;

константу можно выносить за знак производной, т.е.

;

производная суммы равна сумме производных, т.е.

;

производная частного: .

Доказательство этих свойств приводить не будем, отметим лишь, что все они доказываются на основании определения производной функции.

Задача 1. Найти производную функции

Решение. На основании таблицы производных, а также правил дифференцирования находим, что .

Задача 2. Найти производную функции .

Решение. Как известно . Тогда по правилу дифференцирования частного, получим:

.

Задача 3. Вычислите значение производной функции при . Решение. Найдем производную данной функции:

Теперь найдем значение производной при .



Задача 4. Решите неравенство , если .

Решение. Найдем производную данной функции:

Теперь решаем неравенство:

,

.

Ответ: .

Урок 3.

Тема: Производная сложной функции.

Цели:

-образовательная: рассмотреть правило нахождения производной сложной функции;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

На предыдущих занятиях мы рассмотрели производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции , хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требуется очень большого объема работы: надо представить в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причем

.

Для доказательства формулы надо при рассмотреть дробь и установить, что при . Введем обозначения:

Тогда .

при , т. к. дифференцируема в точке .

Далее доказательство проведем только для таких функций , у которых в некоторой окрестности точки . Тогда

при , т. к. при , а при , что выполнено при .

Задача 1. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

Задача 2. Найти производную показательной функции .

Решение. Представим показательную функцию в следующем виде:

.

Докажем вначале, что . Найдем приращение функции :

.

Теперь найдем производную этой функции, пользуясь определением:

Теперь по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Задача 3. Найти производную логарифмической функции .

Решение. Покажем вначале, что . По основному логарифмическому тождеству , т.е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция. Поэтому производные и равны, т.е.

Известно, что . Производную правой части вычисляем по правилу дифференцирования сложной функции: . Подставляя найденные производные в равенство , получим .

Теперь используя формулу перехода к другому основанию, получим: . Теперь найдем производную этой функции:

.

Задача 4. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Задания для самостоятельной работы: найти производные функций: а)

; б) ; в) ; г) ; д) ;

Урок 4.

Тема: Касательная к графику функции.

Цели:

-образовательная: рассмотреть понятие касательной и ее уравнение;

-развивающая: углубить знания по теме;

-воспитательная: формирование умения анализировать.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть мы имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т.д.

Рис. 1

Если при неограниченном приближении точки по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то прямая называется касательной к кривой в точке .

Кроме того, нетрудно установить, что значение производной , где - функция, задающая данную кривую, при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .

В этом заключается геометрический смысл производной.

Выведем теперь уравнение касательной к графику функции в точке .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

.

Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку :

, откуда ,

значит, уравнение касательной имеет вид:

.

Задача 1. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках

Решение. Используя геометрический смысл производной, получим:

для точки : ;

для точки : .

Задача 2. Найти уравнение касательной к касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

Решение. Здесь . Подставляя эти числа в уравнение касательной, получим:

.

Задача 3. вывести уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

Решение. Имеем , а . Подставляя эти значения в уравнение касательной, получаем , т.е. . Например, при получаем касательную, имеющую уравнение .

Найдем координаты точки пересечения касательной к параболе в точке осью абсцисс. Если - координаты точки , то, поскольку принадлежит касательной, имеем . Если , то .

Полученный результат дает простой способ построения касательной к параболе к любой ее точке (кроме вершины): достаточно соединить точку с точкой , делящий отрезок оси с концами 0 и пополам; прямая - искомая касательная. При касательная - ось абсцисс.

Урок 5.

Тема: Приближенные вычисления с помощью производной.

Цели:

-образовательная: рассмотреть приближенные вычисления с помощью производной;

-развивающая: развитие алгоритмического мышления;

-воспитательная: воспитание умения анализировать полученное решение.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть, например, требуется вычислить приближенное значение функции

в точке . Значение в близкой к 2,02 точке находится легко: . График в окрестности точки 2 близок к прямой

- касательной к нему в точке с абсциссой 2. Поэтому . Имеем .

Вычисление на калькуляторе дают результат .

Вообще для дифференцируемой в точке функции при , мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой ), т. е. при малых

Если точка такова, что значения и нетрудно вычислить то формула позволяет находить приближенные значения при , достаточно близких к . Так, при вычислении значения естественно взять в качестве число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения и при нетрудно найти: . По формуле при получаем:

.

Задача 1. Выведем из формулы приближенную формулу

.

Решение. Возьмем . Имеем , откуда . По формуле

.

В частности, .

Значение также можно найти по формуле:

.

Задача 2. Выведем из формулы приближенную формулу

.

Решение. Полагаем , и . Находим , откуда . По формуле

.

Например, . Значение , вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512.

Задача 3. Для вычисления значения удобно воспользоваться формулой при :

.

Задача 4. Вычислить .

Решение. Для вычисления удобно взять , при этом . Имеем и

,

Т. е. . Вычисляя значение на калькуляторе, получаем .

Урок 6.

Тема: Признак возрастания и убывания функций.

Цели:

-образовательная: рассмотреть признак возрастания и убывания функций;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: поддержание интереса к урокам математики.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Достаточный признак возрастания функции :Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на .

Достаточный признак убывания функции: Если в каждой точке интервала , то функция убывает на . Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа. Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть . По формуле Лагранжа существует число , такое, что

.

Число принадлежит интервалу , т. к. все и принадлежат . Если для , то , и поэтому , т. к. . Этим доказано возрастание функции на . Если же для , то , и поэтому , т. к. . Доказано убывание функции на .

Задача 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства следует, что , если . Решая это неравенство методом интервалов, получим, что на интервале , и, значит, на этом интервале возрастает.

Аналогично на интервалах и , поэтому на этих интервалах убывает.

Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Имеем

Точки 0 и 1 разбивают область определения на три интервала:

При функция возрастает;

При функция убывает;

При функция возрастает.

Задача 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена на всей числовой прямой и ее производная:

Поскольку , легко получаем, что для всех действительных .

Задача 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Производная функции равна:

Находим корни производной:

При имеем , т.е. на функция возрастает.

При имеем , т.е. на функция убывает.

При имеем , т.е. на функция возрастает.

Задания для самостоятельной работы: найти промежутки возрастания и убывания указанных функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Урок 7.

Тема: Критические точки функции, минимумы и максимумы.

Цели:

образовательная: рассмотреть метод нахождения максимальных и минимальных значений функций;

развивающая: расширить кругозор учащихся;

воспитательная: формирование математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Рассмотрим вначале понятия максимума и минимума функции.

Определение. Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала содержащего точку . Иначе говоря, функция имеет максимум при , если при любых , достаточно малых по абсолютной величине.

Так, например, функция , график которой изображен на Рис. 1, имеет максимум при

Рис. 2

Определение. Функция имеет минимум при , если

при любых , достаточно малых по абсолютной величине.

Например, функция (Рис 3) при имеет минимум, так как при и при других значениях .

Рис. 3

В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства:

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях , заключенных внутри рассматриваемого отрезка;

Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Так, на рис. 3 изображена функция, определенная на отрезке , которая на этом отрезке

при и имеет максимум,

при и имеет минимум,

но минимум функции при больше максимума функции при . При значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке.

Рис. 4

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции или экстремальными значениями функции.

Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке минимум или максимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. .

Из этой теоремы следует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция в этих точках параллельна оси . Действительно, из того, что , где - угол между касательной и осью , следует, что . (рис. 4)

Рис. 5

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум.

Кроме того, функция может достигать максимума или минимума в тех точках, где производная терпит разрыв. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв.

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует.

Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или критическими значениями.

Задача 1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Производная этой функции равная , определена во всех точках и обращается в нуль при и . В точке производная меняет знак с минуса на плюс. В точке производная меняет знак с плюса на минус. Значит, при функция имеет минимум, а при - максимум.

Задача 2. Исследовать на максимум и минимум функцию

.

Решение. Находим первую производную:

Находим ее корни:

При переходе через значение производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, при функция имеет максимум.

При переходе через значение производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при функция имеет минимум.

Задача 3. Найти наименьшее значение функции .

Решение. Эту задачу можно решить, используя производную функции. Однако эту задачу можно решить и элементарным способом, тем более применяемый здесь прием приемлем для решения многих типов задач.

Функцию представим в виде:

.

Числа являются положительными, поэтому

.

Отсюда следует, что , когда все члены равны между собой

Тогда .

Задания для самостоятельной работы: найти минимумы и максимумы функций: а) ; б) ; в) ; г) ;

Урок 8.

Тема: Применение производной к исследованию функций.

Цели:

образовательная: рассмотреть применение производной к исследованию функций;

развивающая: углубить знания по теме;

воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Задача 1. Исследовать функцию

.

Решение.

Находим первую производную:

.

Находим критические значения аргумента:

a) находим точки, в которых функция обращается в нуль:

.

b) находим точки, в которых производная терпит разрыв (в данном случае обращается в бесконечность). Такой точкой будет, очевидно, точка:

.

(отметим, что при рассматриваемая функция определена и непрерывна). Других критических точек нет. Исследуем характер полученных критических точек. Исследуем точку .

Заметим, что , .

Заключаем, что при функция имеет минимум. Значение функции в точке минимума равно .

Исследуем вторую критическую точку .

Заметив, что

, ,

Заключаем, что при функция имеет максимум, причем .

График исследуемой функции изображен на (рис. 6).

Рис. 6

Задача 2. Исследовать функцию

.

Решение. Так как функция является периодической периода , то достаточно исследовать функцию на отрезке .

1) Находим производную:

2) Находим критические значения аргумента:

, , , .

3) Исследуем характер каждой критической точки:

.

Следовательно, в точке имеем максимум: .

Далее, аналогично:

в точке имеем минимум:

при функция имеет максимум:

в точке имеем минимум:

На основании этих данных можем построить эскиз графика (рис. 7)



Рис. 7

Задания для самостоятельной работы: исследовать функции и построить их графики: а) ; б) ;

Урок 9.

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Цели:

образовательная: рассмотреть нахождение наибольших и наименьших значений функции;

развивающая: расширить кругозор учащихся;

воспитательная: формирование способности анализировать, вести диалог с учителем, классом.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда на этом отрезке имеет место следующая теорема: если функция непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется, по крайней мере, одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

,

где - любая другая точка отрезка, и найдется, по крайней мере, одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

.

Тогда, по только что приведенной теореме, функция достигает на этом отрезке своего наибольшего значения. Будем предполагать, что на этом отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка, то очевидно, что это значение будет одним из максимумов (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Итак, функция на отрезке , достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение функция на отрезке , то надо:

найти все максимумы на отрезке;

определить значения функции на концах отрезка , т.е. вычислить и ;

из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке .

Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.

Задача 1. Определить на отрезке наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение. 1) Находим минимумы и максимумы функции на отрезке : ,

В точке имеет место минимум: .

В точке имеет место максимум: .

2) Определяем значение функции на концах отрезка:

Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке есть , а наименьшее значение есть

График рассматриваемой функции изображен на рис. 8.



Рис. 8.

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Сначала найдем критические точки. Так как производная определена для любого , остается решить уравнение . Его корни и .

Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел , и . Ясно, что наименьшее значение достигается в точке 2 и равно -1, а наибольшее - в точке -2 и равно 4,5, т.е.

Задания для самостоятельной работы: найти наибольшее и наименьшее значение функций на указанных отрезках: а) на ; б) на ; в) на ; г) на ;

Урок 10.

Тема: Текстовые задачи на экстремум, решаемые с помощью производной.

Цели:

образовательная: рассмотреть некоторые типы задач, которые решаются с помощью производной;

развивающая: расширить кругозор учащихся;

воспитательная: поддержание интереса к урокам математики.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи механики, динамики и т.д. Рассмотрим конкретный пример решения одной из таких задач.

Задача 1. Дальность (рис. 14) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью из орудия, наклоненному под углом к горизонту, определяется формулой

.

( - ускорение силы тяжести). Определить угол , при котором дальность будет наибольшей при начальной скорости .

Решение.

Рис. 9

Величина представляет собой функцию переменного угла . Исследуем эту функцию на максимум на отрезке .

критическое значение ;

, .

Следовательно, при дальность полета имеет максимум

.

Значения функции на концах отрезка равны:

.

Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение дальности полета .

До сих пор мы находили наименьшие и наибольшие значения на отрезках, однако встречаются задачи, в которых требуется находить экстремальные значения на бесконечных интервалах, либо просто на интервалах. Рассмотрим различные случаи . В этом случае поступать следует, так как это описано выше, т.е.

а) найти значение функции на концах отрезка и в критических точках;

б) если на отрезке одна критическая точка, то ее подвергают исследованию на максимум и минимум и делают вывод.

. В этом случае следует поступать следующим образом:

а) вместо интервала берут отрезок и поступают, так как в п. 1а и если наибольшее значение достигается в концевой точке, то наибольшего значения нет;

б) если на наибольшее значение достигается внутри отрезка, то оно и будет наибольшим значением на интервале;

в) если на интервале одна критическая точка, то поступаем как в случае 1б.

Пусть , тогда:

а) если на этом промежутке более одной критической точки, то бесконечный интервал разбивается на два: конечный и бесконечный. На бесконечном промежутке помещают только одну критическую точку. Все остальные помещаются в конечный.

Рис. 10

б) если на бесконечном интервале одна критическая точка, то ее подвергают исследованию на минимум и максимум и делают вывод.

Задача 2. Какие размеры нужно придать цилиндру, чтобы при данном объеме его полная поверхность была наименьшей.

Решение. Обозначая через радиус основания цилиндра и через высоту цилиндра, будем иметь

.

Так как объем цилиндра задан, то при данном радиусе величина определяется формулой

откуда

.

Подставляя это выражение в формулу для , получим

Здесь - заданное число. Таким образом, мы представили как функцию одного независимого переменного .

Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке :

.

Следовательно, в точке функция имеет минимум. Заметив, что и , т.е. что при стремлении к нулю или к бесконечности поверхность неограниченно возрастает, приходим к выводу, что в точке функция имеет наименьшее значение.

Но если , то

.

Таким образом, для того, чтобы при данном объеме полная поверхность цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться диаметру.

Часто также встречаются текстовые задачи на экстремумы, особенно на вступительных и выпускных экзаменах и, в частности ЕГЭ. Алгоритм решения таких задач выглядит так:

укажите в задаче все постоянные величины, переменные величины и величину, которая исследуется;

из всех переменных величин одну выбрать за независимую и указать область ее изменения;

величину исследуемую задачей выразить через выбранную независимую переменную найдите критические точки полученной функции на области изменения е аргумента найдите наибольшее или наименьшее значение этой функции выбрав наименьшее или наибольшее значение, ответьте на вопрос задачи.

Задача 3. Корабль отстает от берега (точка А) на расстоянии 3 км. С корабля отправлен гонец с донесением в штаб В, находящегося от точки А по берегу на расстоянии 10 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы донесение в штаб было доставлено в кратчайшее время. Если .

Решение.

Рис. 11

АВ, АК, ;

АМ, МВ, КМ - переменные величины;

;

;

Находя производную и приравнивая ее к нулю, находим критическую точку . Явно видно, что эта точка минимума.

Ответ 4 км.

Заключение

В данной дипломной работе были рассмотрены основные положения, связанные с производной в школьном курсе математики. Производная, как отмечалось выше, представляет собой одно из мощных орудий исследования, поэтому данная работа спланирована таким образом, чтобы изложенный материал представлял собой интересный и освобожденный от излишних трудностей для обучающихся.