Использование векторов к решению задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование векторов к решению задач



Применение векторов к решению геометрических задач на вычисление расстояний и углов.

В большинстве случаев при решении задач на вычисление применение векторов лучше всего конструктивных подходов, связанных с использованием дополнительных построений, применения элементарной алгебры и тригонометрии.

Чтобы успешно решать геометрические задачи посредством векторов, требуется не только знание законов векторной алгебры, знакомство с понятием разложения вектора в базисе, умение переводить геометрический факт на язык векторов, но и определенная методика при составлении плана решения. Отметим несколько важных положений.

1. Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применить скалярное умножение векторов.

2. При введении векторов можно идти двумя путями: а) выбрать точку, от которой откладываются известные векторы; б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.

3. Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.

4. В ряде случаев, напримep при решении задач на многогранные углы, вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла [1].

Задача 1.

Вычислить расстояние d от вершины С треугольника АВС до точки М - пересечения медиан треугольника АНВ, где Н - точка пересечения высот треугольника АВС.

Решение: Имеем

=(++),

=-, =++

Отсюда =(+-), а тогда

dІ(+-)І(3RІ+2RІ-cІ-2RІ+aІ-2RІ+bІ)(RІ+aІ+ bІ-cІ).

Очевидно, RІ+aІ+ bІ=cІ, причём знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда +-=0, или =+. Отсюда RІ=2RІ+2RІ-cІ и сІ=R. Это значит, что АСВ=120°.

Далее (-)І=І, 2RІ-2RІcos?AOC=RІ, cos?AOC=, ?AOC=60°. Поэтому ?САВ =?СВА=30°.

Итак, приcІ=RІ+aІ+bІ имеем ?АВС с углами ?АСВ=120° и ?САВ=?СВА=30°.

Задача 2.

По длинам сторон и диагоналей четырёхугольника вычислить расстояние l между серединами его диагоналей.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, вкотором |АВ|=а, |ВС|=b, |CD|=c, |DA|=d, |AC|=m, |BD|=n. Если M и N - середины диагоналей AC и BD, а О - произвольная точка пространства, то 2=+, 2=+. Отсюда 2=2 (-)=+-- и 4|MN|І=4lІ=(+--)І=(-)І+(-)І+2 (-) ()=aІ+cІ+2 (•-•-•+•)= aІ+bІ+cІ+dІ-mІ-nІ.

Итак, lІ (aІ+bІ+cІ+dІ - mІ-nІ).

Очевидно, для четырёхугольника ABCD имеет место неравенство

aІ+bІ+cІ+dІ-mІ-nІ=0, причём знак равенства будет иметь место только для параллелограмма, т.е. когда M=N. В этом случае aІ+bІ+cІ+dІ=mІ+nІ.

Примечание:

Если в качестве точки О взять точку D, то решение получится короче: =0 и 2=--, тогда

4MNІ=4lІ=dІ+cІ+nІ - (nІ+dІ-aІ) - (nІ+cІ-bІ)+(dІ+cІ-mІ)=aІ+bІ+cІ++dІ-mІ-nІ.

Задача 3.

Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что для любой точки М пространства разность

(|МА|І+|МС|І) - (|МВ|І+|МD|І)

принимает одно и ту же значение д. Найти его.

Задача 4.

По длинам рёбер тетраэдра вычислить расстояние от вершины тетраэдра до точки пересечения медиан противолежащей грани.

Задача 5.

Дан тетраэдр ABCD, у которого |AB|=|CD|=a, |CA|=|BD|=b, |AD|=|BC|=c. Вычислить косинусы углов между его противоположными рёбрами.

Задача 6.

Дана прямая треугольная призма: АВСА₁В₁С₁ |ВС|=а, |АС|=b, |АВ|=с, АА₁=h. Вычислить косинус угла: 1) между диагоналями и, 2) между стороной АВ и диагональю В₁С.

Задача 7.

Известны плоские углы трехгранного угла SABC: BSC=б,CSA=в,ASB=г. Вычислить косинус угла: 1) между ребром SC и биссектрисой угла ASB; 2) между биссектрисами углов ASB u ASC; 3) между ребром SC и его ортогональной проекцией на плоскость противолежащей грани [3].

Задача 8.

Выразить расстояние d от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до центра вписанной в него окружности через радиусы Rur этих окружностей.

Решение:

Как известно,

= (а+b+c)



где М - центр вписанной окружности, а О - произвольная точка пространства (в данной задаче центр описанной окружности). Отсюда

dІ= ((aІ+bІ+cІ) RІ+ab (2RІ-cІ)+bc (2RІ-aІ)+ac (2RІ-bІ)).

После выполнения упрощение получим

dІ= + (ab+bc+ac) -

• аbc•2 р = RІ - , или

dІ= RІ-

Но S_?АВС =pr, поэтому

d=

Эффективность применения векторов при решении этой задачи несомненна.

Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач.

Задача 1.

Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 4. Известно также, что AS=BS=, а CS=3. Найти площадь сферы, описанной около этой пирамиды.

Задача 2.

На продолжении ребра SKЗа точку K правильной четырёхугольной пирамиды SKLMN с вершиной S взята точка А так, что расстояние от точки А до плоскости MNS равно 24. Найдите длину отрезка KA, если SL=2, MN=16.

Решение уравнений и систем уравнений.

1. Решить уравнение.

2 - х =

Решение. На первый взгляд: возводи, возводи и решай. Что и будем делать.

4 (1 - 2х) + х² (2х + 9) - 10 (х²+ 4) = 4х •,

2х³ - х² - 8х - 36 = 4х •.

Возводя еще раз мы придем к многочлену, где будет и х⁶, и х⁵ и т.д.

Вряд ли приведет к успеху и введение новой переменной (какой)?!

А «везунчики» нам помогут.

а) ОДЗ: ; 4,5 ? х ? 0,5 или х [-4,5; 0,5]

б) введем векторы = (;) = (2; - х)

в) находим их скалярное произведение

• = 2 - х

г) вычислим длины и , и их произведение

¦¦ = = , ¦¦= = ;

¦¦• ¦¦ = • = .

д) Согласно условия • = ¦¦• ¦¦, то есть векторы^^, следовательно соответственные координаты пропорциональны, то есть



= х²(1-2х) = 4 (2х + 9), 2х³ - х² + 8х + 36 = 0.

Решаем, используя т. Безу.

Сразу замечаем, что х = - 2.

Второе уравнение не имеет решений, т.к. D< 0; с учетом ОДЗ х = -2

Ответ: -2

Замечание. Из первого задания вы заметили алгоритм, т.е. мы создали ритм своей работы. Мы будем стремиться придерживаться его, а некоторые задачи будем выполнять тезисной, телеграфно - из-за экономии.

2. Решите систему уравнений

х + у + z = 6

х² + у² + z² = 12

log_ху² = z

3. Решите систему уравнений

36 х²+ 9 у⁴ + 4 z⁶ = 1

х + у² +z³ = 

4. Решите систему уравнений

+ = 10

3х + 4у = 26

+ = 5

Доказательство неравенств.

1. Для любых действительных чисел докажите неравенство:

?

Доказательство: Пусть

= (х, у, z), = (; ; ) · = .

¦¦= , ¦¦= ¦¦·¦¦=

На основании неравенства • ?¦¦• ¦¦ имеем ? . Что и требовалось доказать [4].

2. Докажите неравенство:

а • 2^х +b • 3^у + 1 ? •

Доказательство: Пусть = (а, b, 1), = (2^х, 3^у, 1) · = а • 2^х + b • 3^у + 1



¦¦=, ¦¦= ¦¦•¦¦=•

В силу векторного неравенства • ?¦¦• ¦¦ данное неравенство доказано.

3. Для любых действительных чисел а, в и с доказать неравенство.

а⁴ + b⁴ + с⁴ ? а²b²+ b² с² + с² а²

4. Докажите неравенство:

+ + ? 15

для всех чисел а, b и с, которые удовлетворяют условию а + b + с =1 и для которых левая часть неравенства имеет смысл.

Наибольшее и наименьшее значения функций.

Нахождение наибольших и наименьших значений целого ряда функций с помощью производной приводит к неоправданно громоздким вычислениям, большим затратам времени и, как следствие к грубым арифметическим просчетам. Этих трудностей можно избежать, если при их вычислении использовать векторный метод.

1. Найти наибольшее значение функции [5].

у = + 4

Решение. D(у) = [0; 2]. Выполним ряд преобразований, чтобы длины векторов не зависели от переменной х:



у = + 4 = + 2. Пусть = (,), = (1; 2) • = + 2; ¦¦= ; ¦¦= 3 + 4 ? 3.

Векторы • равно направлены, если =. х = .

Ответ: max у(х) = у() = 3

2. Найдите наибольшее значение функции

у = х (2+ 3)

3. Найдите наибольшее возможное значение выражения

6а - 4b + 24с, если известно, что 9а² + 16b² + 144с² = 169 [6]

Итоги работы:

Окцентироваю ваше внимание на, что и в тригонометрии векторный способ облегчает нахождение наибольших и наименьших значений выражений.

Векторный способ облегчает решение некоторых олимпиадных заданий. Например, решить систему уравнений (МГУ - 2004)

+ + … + = 100 •

+ + … + = 100 •

Решение. У первого уравнения 100 слагаемых и их сумма равна 100 • .

Значит все слагаемые равны и =. Аналогично и для второго уравнения = . Решая их находим, что х=. Но как доказать, что данный корень единственный. К, сожалению, оно объемное (надо использовать ФСУ, метод математической индукции, формулы тригонометрии и т.д.). А с помощью «везунчиков» намного легче: по условию n = 1, 2, …, 100. Рассмотрим вектор = (; ). Длина каждого из векторов равна .

Пусть + + … + =. Согласно правила сложения векторов и условия задания, вектор имеет координаты (100 • ; 100 • ). ¦¦ = 100. И она равна сумме векторов ,, …, . Поэтому эти векторы коллинеарные (со направленные). А так как их длины равны, то они равны между собой. Поэтому х₁ = х₂ =…..=х₁₀₀= [6].

Векторы широко применяются и при решении геометрических задач, особенно в стереометрии.

Примененный мной векторный метод показывает, что довольно большое число примеров на решение уравнений, систем уравнений, доказательство неравенств, особенно задач на нахождение наибольших и наименьших значений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.

Итогом нашего заинтересованности стало, то, что вы намного лучше стала понимать роль векторов в математике, взаимосвязь курса алгебры и геометрии. Кроме того, векторы позволяют «сжать» информацию, сделать ее наглядной и оперативной, и тем самым способствуют поиску путей решения математических заданий, что очень важно. И замечу, что приведенные выше решения задач не обладают для многих из нас признаком привычностью.

Необходимо отметить и то, что порой аналогичные задания являются частью более сложных задач. Например, при решении уравнений методом оценки: в которых максимум левой части совпадает с минимумом правой части; причем решение обычным путем не предоставляется возможным.

Надеюсь, что метод решения заданий, обобщенный нами, может оказать вам активную помощь при подготовке к итоговым и приемным испытаниям. Также будет способствовать развитию и обогащению вашей математической культуры, а значит общечеловеческой культуры.



Литература

вектор уравнение задача

1. Научно-методический журнал «Математика в школе». Март - апрель 2008 г. 5 - 6 с.

2. Научно - методический журнал «Математика в школе». №2, 2014 г. 10 - 12 с.

3. Научно - методический журнал «Математика в школе». №5, сентябрь - октябрь 2011 г. 15 - 18 с.

4. Научно - теоретический и методический журнал «Shkola Press», №3 2009 г. 7 - 12.

5. Научно - теоретический и методический журнал «Shkola Press», №1 2012 г. 5 с.

6. Учебник для 7 - 9 классов общеобразовательных учреждений «Геометрия». Москва, «Просвещение» 2005 г. 9 с.

Размещено на Allbest.ru