Фундаментальні проблеми теорії чисел і задачі шкільної математики

Admiral Makarov National University of Shipbuilding, Mykolaiv, Ukraine;

Vorobyov A.,

діофантове рівняння

n = xf + x2k + ... xsk (1)

має хоча б один розв'язок у Z .

Як легко бачити, проблема Варінга складається із трьох, не обов'язково пов'язаних між собою задач:

- власне існування розв'язків;

- знаходження їх кількості;

- знаходження формул для коренів даного рівняння.

1. Аналіз проблеми Варінга

До XX століття проблему вдавалось вирішити лише частково. Тільки в 1908 р. відповідь на перші два питання дав Д. Гільберт [5]. Нове доведення цієї проблеми в 1928р. було запропоновано Г. Х. Харді та Дж. І. Літлвудом [5]. Великий внесок у розв'язання проблеми пізніше зробили І. М. Виноградов [1], Г. Бейтмен та інші. У середині XX ст. у дослідженні проблеми Варінга значні результати отримав Ю. В. Лінник [11]. Серед перших здобутків відомий результат Лагранжа, що якщо k = 2, то s = 4, Vn є N Також ще Л. Ейлер показав, що всі натуральні числа за виключенням чисел виду 4” * (8n + 7), m, n = 0,1,2,... можуть бути представлені у вигляді

n = x2 + y2 + Z2 (2)

Але, крім деяких часткових випадків, загальних алгоритмів чи формул, які розв'язували б третю задачу проблеми Варінга нам невідомі. Тобто, не існує єдиного алгоритму чи методу, що дозволяє знаходити розв'язки (1) чи (2) для Vn є N.

Враховуючи, що (2) відоме також під назвою «тернарної квадратичної форми», яка надзвичайно широко використовується в прикладних питаннях фізики, зокрема в кристалографії не дивно, що саме на її дослідженні найбільше зупинялись Л. Ейлер, Г. Бейтмен, Ю. В. Лінник. Так, наприклад, для часткового випадку (2) у вигляді

n = x 2 + y2 + p±p2,

де p i p2 пробігають всі прості числа, Ю. В. Лінник одержав асимптотичну формулу для підрахунку кількості розв'язків цього рівняння [11]:

lnln nyv (P - 1)(P ~%4(P)) In n pp - p + X4(p)

F = 100...001.

Лема 2. Для чисел виду

x = 10...1011, у = 10.10, Z = 0.10110, n > 3

2n-2 -1 2n-2 2n-2-2

Справедлива рівність

x2 + у2 + Z2 = 100. .01.2n-i

Справедливість леми 1 і леми 2 в свою чергу ґрунтується на теоремі про можливість запису будь-якого натурально числа в р-ічній системі числення (p > 2) єдиним способом [1, 3]. А також на властивостях арифметичних операцій в цих системах [1, 3].

Безумовно, в силу того, що числа Ферма, уже починаючи з n = 6 є досить великими, формула (3) носить скоріше теоретичний, ніж практичний характер. Проте, ми легко можемо продемонструвати результат для n = 3, 4, 5, 6, що і пропонуємо, як апробацію формули (3) із сформульованої теореми у наступних прикладах.

1) n = 3 :

223 +1 = 257 = 1000000012 =7 (10112 )2 +(10102 )2 +(1102 )2 = 112 +102 + 62 = 121 +100 + 36 = 257

2) n = 4 :

224 +1 = 65537 = 100.001 =101010112

V 3 a=nh І4( p) = 1712 +1702 + 862 = 65537 3) n = 5:

225 +1 = 4294967297

Результати досліджень. Ми свідомо не зупинилися на самому моменті пошуку чисел x, y, Z у формулі (3), двійковій системі числення можуть бути подані у вигляді суми трьох квадратів (тернарної квадратичної форми) наступним чином:

Виходячи з вищесказаного, можна говорити про наукову актуальність задачі № 10 «Зображення чисел Ферма», в якій іде мова про представлення чисел Ферма тернарною квадратичною формою. А сам розв'язок задачі можна вважати науковою новизною, що пропонує вирішення третьої задачі у проблемі Варінга, для чисел Ферма.

Розв'язок задачі завершується теоремою.

Теорема. Всі числа Ферма

Fn = 22 + 1 , n > 3 у

роботи. Всі, хто пройде цей шлях, зможе не тільки зробити відкриття формули самостійно, а ще і встановити багато фактів, які, можливо, виявляться непотрібними для даної задачі, але безумовно стануть в нагоді при її різноманітних розширеннях і узагальненнях. В рамках даної статті ми також не мотивуємо наш перехід до двійкової системи числення, хоча це майже очевидно і на це надихають слова Г. В. Лейбніца: «... лічба двійками, тобто за допомогою 0 і 1, виявляється найбільш фундаментальною у науковому сенсі і дозволяє робити нові відкриття.» [4].

Отже, задача № 10 розв'язана. Проте залишається багато питань, пов'язаних з даною проблематикою, які можуть послужити стимулом для майбутніх учнівських досліджень. Наприклад:

1. При яких n рівняння (2) ще допускає знаходження досить простих формул для розв'язків.

2. Як впливають вагові коефіцієнти а є N, і = 1,3 на кількість розв'язків рівняння2 2 2

n = а x + а2 У + а z .

3. Показати, що

Ј R (n) xn =(і + 2x + 2x4)

n=0 де R (n) -- кількість розв'язків рівняння (2).

4. При будь-якому натуральному n позначимо через r (n) число розв'язків рівняння

x2 + x22 +...xs2 = n

в цілих числах x1,x2,...,xs. Покладемо що f = (2s) 1 rs (n). Відомо, що при

s = 1, 2, 4, 8 функція f мультиплікативна,

тобто для будь-якої пари взаємно простих натуральних чисел m і n виконується рівність

fs (mn) = f (m)f (n) . що fs не є

мультиплікативною при будь-якому іншому значенні s .

Питання з проблемам адитивної теорії чисел можна продовжувати див. [7; 8; 9].

Висновки

Система формування дослідницьких компетентностей та розвиток математичних здібностей учнів-слухачів Малої академії наук базується на тісній співпраці учня та наукового консультанта, керівника.

Проблема розвитку інноваційного потенціалу майбутніх науковців, враховуючи їх вікові психологічні особливості, потребує насамперед правильної науково обґрунтованої постановки дослідницької задачі. В розв'язання цієї проблеми питому вагу ми надаємо теоретичним напрацюванням вчених-математиків України - авторам задач математичних турнірів юних математиків [10].

Література

1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. [Текст] / И. М. Виноградов. - Издание шестое, переработанное и дополненное. М.-Л., Гостехиздат, 1952. - 180 с.

2. Воробйова А. І. Матеріали математичних турнірів як джерело задач дослідницького характеру для роботи в системі МАН. Наукові праці: Науково-методичний журнал. Вип. 176. Т. 188. Педагогіка / А. І. Воробйова, В. А. Майборода, О. В. Майборода. - Миколаїв, 2012. - С. 55-58.

3. Завало С. Т., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра и теория чисел [Текст] / С. Т. Завало, В. Н. Костарчук, Б. И. Хацет / Ч. 1., - К. : «Вища школа», 1980. - 398 с.

4. Лейбниц Г. В. Письма и эссе о китайской философии и двоичной системе исчесления / Г. В. Лейбниц. - М., 2005. - 404 с.

5. Ожигова Е. П.Что такое теория чисел [Текст] / Е. П. Ожигова. - М. : Знание, 1970. - 94 с.

6. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения [Текст] / Д. Пойа ; пер. с англ. И. А. Вайнштейна. - Изд. 2-е испр. - М. : Наука, 1975. - 4б3 с.

7. Серпинский В. Сто простых, но одновременно и трудных вопросов арифметики / В. Серпинский. - М., Учпедгиз, 1961. - 76 с.

8. Тригг Ч. Задачи с изюминкой [Текст] / Ч. Тригг ; пер. с англ. Ю. Н. Сударева. - М. : Мир, 1975. - 302 с.

9. Wooley T. D. Large improvements in Waring's problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131-164.

10. Завдання для відбірних етапів XVII Всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка. [Електронний ресурс]. - Режим доступу : http://ukrtym.blogspot.com/.

11. Линник Ю. В. Простые числа и степени двойки, Тр. МИ-АН СССР, 1951, том 38, 152-169; http ://1 matematiki .ru/yurij -vladimiro vich-linnik/

Размещено на Allbest.ru