Понятие "вектор" в школе и в вузе

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 001.891.57

Омский государственный университет путей сообщения

ПОНЯТИЕ «ВЕКТОР» В ШКОЛЕ И В ВУЗЕ

В.А. Фёдоров

Попытаемся разобраться с понятием «вектор», в котором, на мой взгляд, возникла некоторая путаница. Так, например, в школе «вектор» определяют как «направленный отрезок». Во всяком случае, студенты-первокурсники его так и понимают и хором об этом говорят. Однако, для дальнейшего изложения физико-математических дисциплин в технических вузах такое определение не только не верно, но и вносит неразбериху.

Определим вектор как математическую абстракцию разности состояния системы, имеющей две характеристики: количественную, которая называется «модуль» и качественную, называемую «направлением». Кроме того векторами могут быть признаны лишь те объекты, относительно которых известным образом определены операции над ними. Направленный же отрезок есть просто один (из многих) способов изображения вектора.

Разберём конкретный пример. Мы надули воздушный шарик, и через некоторое время часть воздуха из него вышла, для определённости, положим, что его объём уменьшился на 2 литра. Какими способами можно передать эту информацию?

Способ 1. Указать начальный и конечный объёмы шарика: «Начальный объём 3 литра, конечный - 1 литр».

Способ 2. Записать с помощью числа: {-2}.

Способ 3. Вербально: «Объём шарика уменьшился на 2 литра».

Способ 4. Изобразить рисунком (рис.1):

Рис.1. Начальное и конечное состояния шарика

Способ 5. Изобразить с помощью направленного отрезка (рис.2):

Рис.2. Изображение разности объёмов стрелкой.

Заметим, что нас интересует только разница между начальным и конечным объёмами, а не сами объёмы в начале и в конце. Если нам известна эта разница, то, задавая начальный объём, мы без труда найдём конечный, а задавая конечный - найдём начальный. Абстрагируясь от конкретной системы (шарик) и параметра (объём) можно сказать, что этими способами мы описываем разность состояний системы, которая имеет один параметр. Именно она - эта разность - и есть простейший одномерный вектор, а приведённые выше пять способов есть варианты задать, описать, изобразить вектор, который имеет определённую величину (в нашем примере равную 2) и направленность (в нашем примере - уменьшение).

Если у системы несколько параметров, предположим три, то разность конечного и начального значения каждого из них записывается в определённом порядке, например {ах; ау; аz}. Или её можно изобразить в трёхмерной Декартовой системе координат с помощью «направленного отрезка», где каждое из чисел будет разностью между координатами конца этого отрезка и соответствующими координатами начала.

Будем иметь в виду, что изображение вектора и сам вектор это совершенно разные объекты, и они имеют разные свойства. Так, например, направленный отрезок может лежать на прямой или в плоскости, иметь с чем-либо общую точку, а вектор этого не может. Являясь, как и, к примеру, число, абстракцией он нигде не находится и может быть изображён, как и число, где угодно. Поясним рисунком, сделанным, к примеру, на доске на котором 4 направленных отрезка имеют одинаковую длину и направление, а пятый - будет отличаться от них:

Рис.3. Пять направленных отрезков

Зададимся вопросами:

- Сколько на доске изображено направленных отрезков?

- Сколько на доске изображено векторов?

- Сколько на доске векторов?

На первый вопрос ответ однозначный - «пять». А вот на второй вопрос доводилось слышать самые разные ответы, от нуля до пяти. Между тем ответ очевиден: здесь изображено два вектора, просто один из них изображён 4 раза. Это похоже на то, как если бы вы держали в руках пять фотографий, четыре из которых были бы одинаковыми фотографиями одного и того же человека, а пятая - другого. Фотографий было бы пять, а людей на них было бы изображено только два, просто один из них изображён четырежды. На третий вопрос ответ: «ноль». Возвращаясь к аналогии с фотографиями, эквивалентный вопрос «сколько у Вас в руках людей?». Так же как фотография человека (или другие способы его описания - словесный портрет, или его скульптурное изображение, или его антропометрические характеристики) и сам человек имеют разные свойства, также и направленный отрезок и вектор - разные объекты с разными свойствами.

При этом понятие параллельности векторов друг другу или геометрическому объекту допустимо, но не рекомендуемо. В случае, если изображения одного или нескольких векторов можно расположить на одной и той же прямой, то используется термин «коллинеарный(-ые)» вектор(-ы), а если эти изображения могут принадлежать одной и той же плоскости - «компланарный(-ые)» вектор(-ы).

Несмотря на очевидную неправомерность отождествлять объект с его изображением, мы вновь и вновь встречаем в самой разнообразной литературе как для средней, так и для высшей школы, определение вектора как направленного отрезка. Справедливости ради заметим, что в таких определениях к слову «вектор» иногда добавляют прилагательное «геометрический». Правда нигде не говорится о том, чем «вектор» отличается от «геометрического вектора» и, в дальнейшем изложении, как правило, прилагательное «геометрический» опускается и остаётся только «вектор». Видимо, отождествление вектора с направленным отрезком произошло из-за того, что такой способ задать или изобразить вектор оказался очень удобным и наглядным. Такое «прилипание» слова, обозначающего объект, к своему изображению наблюдается и в повседневной жизни. Часто показывая альбом с фотографиями, мы говорим: «А это мой брат», или «друг» и т.п. На самом деле в альбоме нет ни вашего брата, ни друга, ни вообще людей - там есть только их изображения.

Однако, посмотрим как определяется вектор в различных словарях и справочниках в Интернете, куда современный студент и школьник обращается за подсказками.

Математическая энциклопедия1:

«ВЕКТОР геометрический - направленный отрезок прямой евклидова пространства, у к-рого один конец (точка А).называется началом В., другой конец (точка В).концом В».

Википедия2: школьный математический образование вектор

«Вектор -- многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением.

Основная статья. Вемктор (от лат. vector, «несущий») -- в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости)».

Современная энциклопедия3:

«ВЕКТОР -- (от латинского vector, буквально несущий), отрезок прямой определенной длины и направления. С помощью вектора изображают так называемые векторные величины: силу, скорость, ускорение».

Научно-технический энциклопедический словарь4:

«ВЕКТОР -- в математике величина, имеющая как размер, так и направление, в противоположность СКАЛЯРУ, имеющему только размер».

Большой Энциклопедический словарь5:

«ВЕКТОР -- (от лат. vector несущий) отрезок определенной длины и направления. Обычно вектор обозначается буквой a или (первая буква начало, вторая конец отрезка); абсолютная величина (длина) вектора записывается …»

Толковый словарь Ожегова6:

«ВЕКТОР -- а, муж. (спец.). Изображаемая отрезком прямой математическая величина, характеризующаяся численным значением и направлением. | прил. векторный, ая, ое. Векторное исчисление (математическая дисциплина)».

Энциклопедический словарь по металлургии7:

«Вектор -- [vector] направляющий отрезок: Смотри также: вектор элементарной трансляции вектор тождественной трансляции вектор…»

Начала современного естествознания8:

«Вектор -- направленный отрезок прямой, или отрезок, один из концов которого называется началом вектора, а другой его концом».

Большой энциклопедический политехнический словарь9

«ВЕКТОР -- (от лат. vector, букв. несущий) направленный отрезок; иначе пара точек, взятых в оп редел. порядке: первая точка наз. началом В., вторая его концом. Обычно В. обозначается буквой (жирным шрифтом) а или АВ, где А начало, а В конец В. …»

Естествознание. Энциклопедический словарь10:

«ВЕКТОР -- (от лат. vector несущий), отрезок определ. длины и направления. Обычно В обозначается буквой жирного шрифта а или АВ (первая буква начало, вторая конец отрезка); абс. величина (длина) В. записывается |а| либо АВ».

Порадовала Российская социологическая энциклопедия11, в которой дано правильное, но не полное определение вектора: «ВЕКТОР -- математич. абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением».

Это определение не полное потому, что не все объекты, у которых есть две характеристики - модуль и направление - могут быть признаны векторами. Как мы отмечали выше, необходимо, чтобы эти объекты отвечали договорённостям, относительно как линейных, так и нелинейных операций над ними. Т.е. они должны умножаться на число, складываться и перемножаться между собой определённым образом и никак иначе. Поясним это на примере электрической цепи, изображённой на рисунке 4:

Рис. 4. Схема электрической цепи

Электрическому току на каждом из трёх участков можно присвоить определённую величину, например, силу тока и направление - направление проводника по которому он течёт в ту или иную сторону. На рисунке два тока складываются в точке контакта и их сумма равна току в третьем участке цепи I1+ I2= I3, количественно I3 будет равен сумме количественных характеристик I1 и I2, а его направление - совпадать с направлением I1, тогда как векторы должны складываться по другому правилу - правилу сложения векторов. Таким образом, объекты I1, I2, I3, несмотря на наличие у них характеристик, присущих векторам, векторами не являются. Аналогичные примеры можно привести с потоками жидкостей в трубах, автомобилями на дорогах и т.д.

Итак. Определение вектора через направленный отрезок совершенно неправомочно и некорректно. Они имеют разные свойства и их отождествление может привести (и приводит) к путанице в дальнейшем использовании понятия «вектор» в физико-математических дисциплинах.

Аннотация

В настоящее время, как никогда остро стала актуальна проблема разрыва школьного и вузовского математического образования. Речь идёт даже не о содержательном, а о понятийном аспекте. В данной статье мы рассмотрим проблему несоответствия школьного и вузовского подходов к формированию ключевых понятий математики на примере понятия «вектор» с целью корректного его определения. Мы покажем, что к вектору нельзя относиться как к направленному отрезку, т.к. он им не является, поэтому, пока средняя школа не исправит ошибку, в вузе следует на первых же занятиях переопределить данное понятие.

Ключевые слова: Вектор; модуль; направление; направленный отрезок; понятие; изображение; математический объект.

Размещено на Allbest.ru